CN101635465A - 根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法，其特点是它包括以下步骤：建立惯性中心坐标系下系统模型；惯性中心坐标下发电机单机能量函数；基于单机能量函数的发电机稳定指标；稳定指标的灵敏度计算。利用本发明的方法对电力系统稳定运行的极限值的求取，是基于轨迹分析法以及轨迹灵敏度，所求取的稳定指标关于参数的灵敏度，能充分反映参数对动态系统稳定性的影响，据此得到的电力系统稳态运行极限值的计算结果准确，方法简捷；与以往的方法相比仅根据动态系统的动态轨迹，不依赖于事先得到的稳定边界，模型适应性强，具有较高的应用价值。

Description

根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法

技术领域：

本发明是根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法，应用于电力系统暂态稳定性定量分析、稳定控制以及电力系统运行调度。

背景技术

电力系统的安全稳定供电对国民经济建设和社会文明进步至关重要。准确地计算电力系统稳定运行极限特别是参数的极限值，制定适当的控制对策，防止系统发生安全稳定问题，是电力系统设计以及运行人员所面临的重要任务之一。

现有对稳定运行极限的计算一方面受其所采用的暂态稳定分析方法的制约，或者采用反复迭代试算的方法，或者受所采用的模型制约需要两次仿真结果进行推算，而且不能充分利用系统的响应轨迹。

发明内容

本发明的目的是，提供一种能充分反映参数对动态系统稳定性的影响，计算结果准确，方法简捷，应用价值高的根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法。

本发明的目的是由以下技术方案来实现的：

一种根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法，其特征是它包括以下步骤：

1.惯性中心坐标系下系统模型

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\δ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_i{\mathrm{\ω}}_N\\ \frac{d{\mathrm{\ω}}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{M_i}{P}_{\mathrm{ai}}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(1\right)$

其中： $P_{\mathrm{ai}}\underset{=}{\mathrm{\Δ}}{P}_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}}-\frac{M_i}{M_T}{P}_{\mathrm{COI}}$ 为发电机i相对于惯性中心的加速功率，

$P_{\mathrm{COI}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(P_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}})$ 为惯性中心的加速功率；n为发电机台数，

$M_T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i$ 为惯性中心的惯性时间常数，

δ_i＝δ_{syn_i}-δ_o为发电机i相对于惯性中心的功角，

${\mathrm{\δ}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的功角，

ω_i＝ω_{syn_i}-ω_o为发电机i相对于惯性中心的角速度，

${\mathrm{\ω}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的角速度；

2.惯性中心坐标下发电机单机能量函数

惯性中心坐标系下的发电机的动能和势能，分别为

$V_{\mathrm{KEi}}=\frac{{\mathrm{\ω}}_N}{2}{M}_i{{\mathrm{\ω}}_i}^2---\left(2\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left({\mathrm{\δ}}_{i0}\right)+{\∫}_{{\mathrm{\δ}}_{i0}}^{{\mathrm{\δ}}_i}[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\mathrm{du}---\left(3\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left(t_0\right)+{\∫}_0^t{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\left({\mathrm{\ω}}_i\left(u\right)\right)\mathrm{du}---\left(4\right)$

3.基于单机能量函数的发电机稳定指标

具有规范轨迹的发电机在其势能第一次抵达最小值时刻为t_ai，在势能第一次抵达最大值时刻为t_bi，当发电机势能第一次达到最大值时，其稳定指标为

$S_i=\frac{{\frac{{\mathrm{dV}}_{{\mathrm{PE}}_i}}{{\mathrm{d\θ}}_i}|}_{t_{\mathrm{bi}}}}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}=\frac{-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}---\left(5\right)$

$V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})={\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(t\right)]{\mathrm{\ω}}_i\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

其中具有规范轨迹的发电机i的加速功率P_ai，势能V_PEi，角速度ω_i均为在惯性中心坐标下的值；

4.稳定指标的灵敏度计算

1)、参考时刻关于参数的灵敏度

此时刻设为τ，τ既能够表示极大值，也能够表示极小值，用τ^-表示τ^-＜τ，

$\frac{\mathrm{d\τ}}{\mathrm{d\α}}\left({\mathrm{\τ}}^{-}\right)=-\frac{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}+\mathrm{\ω}\frac{{\∂P}_a}{\∂\mathrm{\α}}}{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂t}+\mathrm{\ω}\frac{{\∂P}_a}{\∂t}}{|}_{{\mathrm{\τ}}^{-}}---\left(7\right)$

式(7)势能达到最小值和最大值时刻关于参数的灵敏度的求解需要角速度、加速功率关于参数的轨迹灵敏度以及角速度、加速功率关于时间的导数；

2)、势能关于参数的灵敏度

根据(6)式，发电机势能关于参数的灵敏度为

$\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PE}}}{\mathrm{d\α}}=-\frac{{\∂t}_{\mathrm{bi}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{bi}}}+\frac{{\∂t}_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{ai}}}-{\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N(\frac{{\∂P}_a}{\∂\mathrm{\α}}\mathrm{\ω}+P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}})\mathrm{dt}---\left(8\right)$

3)、在势能达到最大值时刻，加速功率关于参数的灵敏度

$\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}=(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ai}}}{\∂t}\frac{\∂t}{\∂\mathrm{\α}}){|}_{t_{\mathrm{bi}}}---\left(9\right)$

4)、稳定指标关于参数的灵敏度dS_i/dα

$\frac{{\mathrm{dS}}_i}{\mathrm{d\α}}=\frac{\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}{V}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}{\mathrm{d\α}}}{{\left(V_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})\right)}^2}---\left(10\right)$

5)、根据稳定指标灵敏度求稳定运行的参数极限值α_lmt

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{lmt}}=-\frac{S_i}{({\mathrm{dS}}_i/\mathrm{d\α})}+\mathrm{\α}---\left(11\right)$

利用本发明的根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法对电力系统稳定运行的极限值的求取，是基于轨迹分析法以及轨迹灵敏度，所求取的稳定指标关于参数的灵敏度，能充分反映参数对动态系统稳定性的影响，据此得到的电力系统稳态运行极限值的计算结果准确，方法简捷；与以往的方法相比仅根据动态系统的动态轨迹，不依赖于事先得到的稳定边界，模型适应性强，具有较高的应用价值。

附图说明

图1是单机无穷大系统示意图。

图2是发电机功角随时间变化轨迹示意图。

图3是发电机角速度随时间变化轨迹示意图。

图4是故障后发电机的加速功率变化轨迹示意图。

图5是故障后发电机的势能变化轨迹示意图。

具体实施方式

一种根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法，它包括以下步骤：

1.惯性中心坐标系下系统模型

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\mathrm{\δ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_i{\mathrm{\ω}}_N\\ \frac{d{\mathrm{\ω}}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{M_i}{P}_{\mathrm{ai}}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(1\right)$

其中： $P_{\mathrm{ai}}\underset{=}{\mathrm{\Δ}}{P}_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}}-\frac{M_i}{M_T}{P}_{\mathrm{COI}}$ 为发电机i相对于惯性中心的加速功率，

$P_{\mathrm{COI}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(P_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}})$ 为惯性中心的加速功率；n为发电机台数，

$M_T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i$ 为惯性中心的惯性时间常数，

δ_i＝δ_{syn_i}-δ_o为发电机i相对于惯性中心的功角，

${\mathrm{\δ}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的功角，

ω_i＝ω_{syn_i}-ω_o为发电机i相对于惯性中心的角速度，

${\mathrm{\ω}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的角速度；

2.惯性中心坐标下发电机单机能量函数

惯性中心坐标系下的发电机的动能和势能，分别为

$V_{\mathrm{KEi}}=\frac{{\mathrm{\ω}}_N}{2}{M}_i{{\mathrm{\ω}}_i}^2---\left(2\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left({\mathrm{\δ}}_{i0}\right)+{\∫}_{{\mathrm{\δ}}_{i0}}^{{\mathrm{\δ}}_i}[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\mathrm{du}---\left(3\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left(t_0\right)+{\∫}_0^t{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\left({\mathrm{\ω}}_i\left(u\right)\right)\mathrm{du}---\left(4\right)$

3.基于单机能量函数的发电机稳定指标

具有规范轨迹的发电机在其势能第一次抵达最小值时刻为t_ai，在势能第一次抵达最大值时刻为t_bi，当发电机势能第一次达到最大值时，其稳定指标为

$S_i=\frac{{\frac{{\mathrm{dV}}_{{\mathrm{PE}}_i}}{{\mathrm{d\θ}}_i}|}_{t_{\mathrm{bi}}}}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}=\frac{-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}---\left(5\right)$

$V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})={\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(t\right)]{\mathrm{\ω}}_i\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

其中具有规范轨迹的发电机i的加速功率P_ai，势能V_PEi，角速度ω_i均为在惯性中心坐标下的值；

4.稳定指标的灵敏度计算

1)、参考时刻关于参数的灵敏度

此时刻设为τ，τ既能够表示极大值，也能够表示极小值，用τ^-表示τ^-＜τ，

$\frac{\mathrm{d\τ}}{\mathrm{d\α}}\left({\mathrm{\τ}}^{-}\right)=-\frac{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}+\mathrm{\ω}\frac{{\∂P}_a}{\∂\mathrm{\α}}}{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂t}+\mathrm{\ω}\frac{{\∂P}_a}{\∂t}}{|}_{{\mathrm{\τ}}^{-}}---\left(7\right)$

式(7)势能达到最小值和最大值时刻关于参数的灵敏度的求解需要角速度、加速功率关于参数的轨迹灵敏度以及角速度、加速功率关于时间的导数；

2)、势能关于参数的灵敏度

根据(6)式，发电机势能关于参数的灵敏度为

$\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PE}}}{\mathrm{d\α}}=-\frac{{\∂t}_{\mathrm{bi}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{bi}}}+\frac{{\∂t}_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{ai}}}-{\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N(\frac{{\∂P}_a}{\∂\mathrm{\α}}\mathrm{\ω}+P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}})\mathrm{dt}---\left(8\right)$

3)、在势能达到最大值时刻，加速功率关于参数的灵敏度

$\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}=(\frac{{\∂P}_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{{\∂P}_{\mathrm{ai}}}{\∂t}\frac{\∂t}{\∂\mathrm{\α}}){|}_{t_{\mathrm{bi}}}---\left(9\right)$

4)、稳定指标关于参数的灵敏度dS_i/dα

$\frac{{\mathrm{dS}}_i}{\mathrm{d\α}}=\frac{\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}{V}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}{\mathrm{d\α}}}{{\left(V_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})\right)}^2}---\left(10\right)$

5)、根据稳定指标灵敏度求稳定运行的参数极限值α_lmt

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{lmt}}=-\frac{S_i}{({\mathrm{dS}}_i/\mathrm{d\α})}+\mathrm{\α}---\left(11\right)$

具体实例：

对如图1所示的单机无穷大系统，发电机输出功率为0.7p.u.，暂态电抗X_d1＝0.19，机组惯性时间常数是11.28秒，变压器电抗X_t1＝0.13，X_t2＝0.108，线路电抗X₁＝0.58，母线2发生三相短路，短路发生时刻是0.2秒，故障切除时刻是0.31秒，故障后切除线路。图2、图3所示为发电机的功角和角速度随时间变化轨迹，图4为故障后发电机的加速功率变化轨迹，图5为故障后发电机的势能变化轨迹。故障后t_ai＝0.069秒，故障后t_bi＝0.487秒势能达到最小值和最大值，势能值为V_PEi(t_bi，t_ai)＝0.0885，关于故障切除时间的灵敏度为dV_PE/dt_cl＝1.2615。在势能达到最大值时加速功率为P_a(t_bi)＝-0.2642，关于故障切除时间的灵敏度为dP_a(t_bi)/dt_cl＝-0.9886，稳定指标为S_i＝2.9848，稳定指标关于故障切除时间的灵敏度为dS_i/dt_cl＝-31.3762。故障切除时间t_cl＝0.11秒，计算得到故障极限切除时间为t_cr＝0.2051秒，经过多次仿真计算得到故障的极限切除时间为t_cr＝0.207秒，采用稳定指标灵敏度计算得到的极限切除时间有很好的精度。

Claims (1)

1.一种根据稳定指标灵敏度计算电力系统暂态稳定极限值的方法，其特征是它包括以下步骤：

惯性中心坐标系下系统模型

$\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d\δ}}_i}{\mathrm{dt}}={\mathrm{\ω}}_i{\mathrm{\ω}}_N\\ \frac{{\mathrm{d\ω}}_i}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{M_i}{P}_{\mathrm{ai}}\end{array}\right.,i=\mathrm{1,2},...,n---\left(1\right)$

其中： $P_{\mathrm{ai}}\underset{=}{\mathrm{\Δ}}{P}_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}}-\frac{M_i}{M_T}{P}_{\mathrm{COI}}$ 为发电机i相对于惯性中心的加速功率，

$P_{\mathrm{COI}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}(P_{\mathrm{Mi}}-P_{\mathrm{Ei}})$ 为惯性中心的加速功率；n为发电机台数，

$M_T=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i$ 为惯性中心的惯性时间常数，

δ_i＝δ_{syn_i}-δ_o为发电机i相对于惯性中心的功角，

${\mathrm{\δ}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的功角，

ω_i＝ω_{syn_i}-ω_o为发电机i相对于惯性中心的角速度，

${\mathrm{\ω}}_o\underset{=}{\mathrm{\Δ}}\frac{1}{M_T}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{M}_i{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{syn}\_i}$ 为惯性中心的角速度；

惯性中心坐标下发电机单机能量函数

惯性中心坐标系下的发电机的动能和势能，分别为

$V_{\mathrm{KEi}}=\frac{{\mathrm{\ω}}_N}{2}{M}_i{{\mathrm{\ω}}_i}^2---\left(2\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left({\mathrm{\δ}}_{i0}\right)+{\∫}_{{\mathrm{\δ}}_{i0}}^{{\mathrm{\δ}}_i}[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\mathrm{du}---\left(3\right)$

$V_{\mathrm{PEi}}=V_{\mathrm{PEi}}\left(t_0\right)+{\∫}_{t_0}^t{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(u\right)]\left({\mathrm{\ω}}_i\left(u\right)\right)\mathrm{du}---\left(4\right)$

基于单机能量函数的发电机稳定指标

具有规范轨迹的发电机在其势能第一次抵达最小值时刻为t_ai，在势能第一次抵达最大值时刻为t_bi，当发电机势能第一次达到最大值时，其稳定指标为

$S_i=\frac{{\frac{{\mathrm{dV}}_{{\mathrm{PE}}_i}}{{\mathrm{d\θ}}_i}|}_{t_{\mathrm{bi}}}}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}=\frac{-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}---\left(5\right)$

$V_{{\mathrm{PE}}_i}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})={\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N[-P_{\mathrm{ai}}\left(t\right)]{\mathrm{\ω}}_i\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

其中具有规范轨迹的发电机i的加速功率P_ai，势能V_PEi，角速度ω_i均为在惯性中心坐标下的值；

稳定指标的灵敏度计算

1)、参考时刻关于参数的灵敏度

此时刻设为τ，τ既能够表示极大值，也能够表示极小值，用τ-表示τ^-＜τ，

$\frac{\mathrm{d\τ}}{\mathrm{d\α}}\left({\mathrm{\τ}}^{-}\right)=-\frac{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}}+\mathrm{\ω}\frac{\∂P_a}{\∂\mathrm{\α}}}{P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂t}+\mathrm{\ω}\frac{\∂P_a}{\∂t}}{|}_{{\mathrm{\τ}}^{-}}---\left(7\right)$

式(7)势能达到最小值和最大值时刻关于参数的灵敏度的求解需要角速度、加速功率关于参数的轨迹灵敏度以及角速度、加速功率关于时间的导数；

2)、势能关于参数的灵敏度

根据(6)式，发电机势能关于参数的灵敏度为

$\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PE}}}{\mathrm{d\α}}=-\frac{\∂t_{\mathrm{bi}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{bi}}}+\frac{\∂t_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}{\mathrm{\ω}}_N{P}_a\mathrm{\ω}{|}_{t_{\mathrm{ai}}}-{\∫}_{t_{\mathrm{ai}}}^{t_{\mathrm{bi}}}{\mathrm{\ω}}_N(\frac{{\∂P}_a}{\∂\mathrm{\α}}\mathrm{\ω}+P_a\frac{\∂\mathrm{\ω}}{\∂\mathrm{\α}})\mathrm{dt}---\left(8\right)$

3)、在势能达到最大值时刻，加速功率关于参数的灵敏度

$\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}=(\frac{\∂P_{\mathrm{ai}}}{\∂\mathrm{\α}}+\frac{\∂P_{\mathrm{ai}}}{\∂t}\frac{\∂t}{\∂\mathrm{\α}}){|}_{t_{\mathrm{bi}}}---\left(9\right)$

4)、稳定指标关于参数的灵敏度dS_i/dα

$\frac{{\mathrm{dS}}_i}{\mathrm{d\α}}=\frac{\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)}{\mathrm{d\α}}{V}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})-P_{\mathrm{ai}}\left(t_{\mathrm{bi}}\right)\frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})}{\mathrm{d\α}}}{{\left(V_{\mathrm{PEi}}(t_{\mathrm{bi}},t_{\mathrm{ai}})\right)}^2}---\left(10\right)$

5)、根据稳定指标灵敏度求稳定运行的参数极限值α_lmt

${\mathrm{\α}}_{\mathrm{lmt}}=-\frac{S_i}{({\mathrm{dS}}_i/\mathrm{d\α})}+\mathrm{\α}---\left(11\right)$

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