CN102564661A

CN102564661A - 钛合金表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法

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Publication number: CN102564661A
Application number: CN2011104448102A
Authority: CN
Inventors: 李晓延; 邓云华; 李庆庆
Original assignee: Beijing University of Technology
Current assignee: Beijing University of Technology
Priority date: 2011-12-27
Filing date: 2011-12-27
Publication date: 2012-07-11
Anticipated expiration: 2031-12-27
Also published as: CN102564661B

Abstract

钛合金表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法属于材料分析测试技术领域，其特征在于，在X射线透射深度内测试方向上的应力沿深度线性分布的基础上，利用3组不同被测材料表面法线与衍射晶面法线的夹角进行X射线应力测试得到的被测材料x方向和y方向的应力，通过测试应力与测试方向上表面最大应力、测试方向上应力沿深度的应力梯度和垂直于测试方向上应力沿深度应力梯度的关系式，建立求解方程组，并结合钛合金材料X射线应力测试的特点，对方程组进行修正，从而计算出表面最大应力和表层应力梯度。在钛合金X射线应力测试区域因存在较大应力梯度而影响X射线应力测试结果时，本发明可方便准确地给出表面最大应力和应力梯度值。

Description

钛合金表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法

技术领域

本发明涉及的是钛合金表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法，具体的说，是一种在钛合金材料X射线应力测试中被测材料表面存在较大应力梯度时表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法。用于材料分析测试技术领域。

背景技术

X射线衍射应力测试时，测定的应变是X射线透入深度内应变的加权平均值。材料经过磨削、表面改性等加工过程后，表面应力沿深度方向存在应力梯度。当应力梯度较大时，X射线应力测试中测定的应变ε失去与sin²ψ的线性关系，应力测试结果偏离真实值。

经过对现有技术文献的检索发现，目前X射线应力测试中应力梯度问题的解决主要有两种方法。一种是采用电解抛光逐层剥除法，在新抛光的表面依次测得各个深度的应力值。此时所选择的测试参数必须保证X射线的有效透射深度和存在的应力梯度相比十分小，同时在被照射体积内有均一的二维应力状态，此外由于剥层产生了新的应力分布，若有可能应对测试值进行修正。因此只适合X射线穿透深度小和应力梯度不大的情况，当应力测试对象存在较大的应力梯度时，测试结果还是不能给出准确的应力值。另一种方法是选用不同波长和一系列不同晶面的衍射线来测得不同深度的加权平均值，再从测得的加权平均值反推出试样表层真实的应力分布，测试过程复杂，测试精度要求高。

发明内容

本发明针对现有技术的不足和缺陷，提供了钛合金材料X射线应力测试中被测区域存在较大应力梯度时表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法。

本发明采用的方法包括以下步骤：

步骤(1)X射线应力测试

初始化与X射线应力仪配套的计算机，然后选择被测材料3组不同的表面法线与衍射晶面法线的夹角ψ，3组ψ角中最大角度值分别记为ψ₁、ψ₂和ψ₃，ψ₁、ψ₂和ψ₃互相间差值≥5°，在试样的测试方向x方向和与x方向垂直的y方向，使用X射线应力仪按照选定的每组ψ角进行5次应力测试，求5次测试应力结果的平均值作为每组ψ角下的应力测试结果，x方向3组不同的ψ角应力测试结果分别记为：σ_x1、σ_x2和σ_x3，y方向3组不同的ψ角应力测试结果分别记为：σ_y1、σ_y2和σ_y3；

步骤(2)按以下步骤计算出x方向表面最大应力值σ_x0、x方向应力沿深度的应力梯度A_x、y方向表面最大应力值σ_y0和y方向应力沿深度的应力梯度A_y

步骤(2.1)按下式计算两个由测试参数和被测材料确定的系数a和b，3组不同的ψ角对应的a和b分别记为：a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃，

a = \frac{&PartialD; [(\frac{1 + v}{E} \sin^{2} ψ - \frac{v}{E}) \cdot 0.418 τ]}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{E}{1 + v}

b = - 0.418 \cdot \frac{&PartialD; τ}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{v}{E} \cdot \frac{E}{1 + v}

式中：ψ是试样表面法线与衍射晶面法线的夹角，v衍射晶面泊松比，E衍射晶面弹性模量，τ是X射线的透射深度，对不同的X射线衍射几何条件，τ值不同，

Ω-衍射几何：

τ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} ψ}{2 μ \sin θ \cos ψ}

ψ-衍射几何：

τ = \frac{\sin θ \cos ψ}{2 μ}

式中：μ为X射线线吸收系数，θ为衍射角，ψ是试样表面法线与衍射晶面的夹角，

步骤(2.2)利用关系式σ_x＝σ_x0+a·A_x+b·A_y，建立由步骤(1)中选择的3组ψ角所确定的如下方程组：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + b_{1} \cdot A_{y} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + b_{2} \cdot A_{y} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + b_{3} \cdot A_{y} \end{matrix},

步骤(2.3)钛合金材料X射线应力测试中步骤(1)中选择的3组ψ角所确定的系数b值的变化范围小于0.0383时，将b看作定值，进而将b与A_y的乘积C₁看作定值，步骤(2.2)中方程组改写为下式：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + C_{1} \end{matrix},

方程组是σ_x与a的线性方程组，σ_x0与C₁之和是与线性无关的量，方程组求解出A_x最小二乘解，

步骤(2.4)利用关系式σ_y＝σ_y0+a·A_y+b·A_x，建立由步骤(1)中选择的3组ψ角所确定的如下方程组：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + b_{1} \cdot A_{x} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + b_{2} \cdot A_{x} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + b_{3} \cdot A_{x} \end{matrix},

步骤(2.5)钛合金材料X射线应力测试中步骤(1)中选择的不同组ψ角所确定的系数b的变化范围小于0.0383时，将b看作定值，进而将b与A_x的乘积C₂看作定值，步骤(2.4)中方程组改写为下式：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + C_{2} \end{matrix},

方程组是σ_y与a的线性方程组，σ_y0与C₂之和是与线性无关的量，方程组求解出A_y最小二乘解，

步骤(2.6)将A_x和A_y代入步骤(2.2)中建立的方程组中，求解出方程组中所包含的3个方程式的x方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为x方向的表面最大应力σ_x0，

步骤(2.7)将A_x和A_y代入步骤(2.4)中建立的方程组中，求解出方程组中所包含的3个方程式的y方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为y方向的表面最大应力σ_y0。

本发明适用于钛合金材料X射线应力测试中因为测试区域表面应力沿深度存在较大应力梯度使2θ-sin²ψ出现弯曲时，方便快速的给出测试区域表面最大应力值和应力梯度，从而准确地评定被测材料测试区域应力状态。

附图说明

图1是本发明的测试和计算过程的流程图

具体实施方式

本发明的理论基础推导过程如下：

X射线应力测试时，X射线透入深度内的加权平均值

表达式为：

式中：z是试样内一点到表面的距离；τ是X射线的穿透深度，对不同的衍射几何条件，τ值不同。

Ω-衍射几何：

τ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} ψ}{2 μ \sin θ \cos ψ} - - - (2 a)

ψ-衍射几何：

τ = \frac{\sin θ \cos ψ}{2 μ} - - - (2 b)

式中：μ为X射线线吸收系数，θ为布拉格角，ψ是试样表面法线与衍射晶面的夹角。

宏观应变的表达式：

式中：x为测试方向，

为测试方向与x的夹角，ψ是试样表面法线与衍射晶面的夹角，σ_ij为应力分量，E为测试晶面的弹性模量，v为测试晶面的泊松比。

X射线应力测试基础理论认为一定应力引起的晶格应变和按弹性理论求出的宏观应变是一致的，将(3)带入(1)，得到：

其中：

< σ_{ij} > = \frac{{&Integral;}_{0}^{τ} e^{- \frac{z}{τ}} σ_{ij} (z) dz}{{&Integral;}_{0}^{τ} e^{- \frac{z}{τ}} dz} - - - (5)

X射线衍射测试的穿透深度比较小，测定的应力为表面应力，可认为σ_z＝0，即被测材料表面存在如下应力张量：

σ_{ij} = [\begin{matrix} σ_{x} & σ_{xy} & σ_{xz} \\ σ_{yx} & σ_{y} & σ_{yz} \\ σ_{zx} & σ_{zy} & 0 \end{matrix}] - - - (6)

式中：i，j＝x，y，z。

将(6)带入(4)可得：

当

即测试方向与应力方向均为x方向时：

考虑到X射线透射深度小，在透射深度内可以认为测试方向应力沿深度线性分布，

即：σ_ij＝σ_ij0+A_ij·Z (9)

式中：A_ij表示σ_ij沿深度方向的应力梯度，σ_ij0为表面最大应力。

式(9)带入式(6)得：

<σ_ij>＝σ_ij0+0.418·A_ij·τ (10)

式(10)代入(8)得：

为了消去式(11)中的剪切应力，可进一步给出与式(10)中相反的-ψ所有位向的加权应变：

式(11)和(12)两式相加除以2。得：

即：

根据X射线应力分析理论可知，测试方向应力：

联立式(14)和式(15)可得x方向含应力梯度的σ_x表达式：

σ_{x} = σ_{x 0} + \frac{&PartialD; [(\frac{1 + v}{E} \sin^{2} ψ - \frac{v}{E}) \cdot 0.418 τ]}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{E}{1 + v} \cdot A_{x} - 0.418 \cdot \frac{&PartialD; τ}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{v}{E} \cdot \frac{E}{1 + v} A_{y} - - - (16)

记：

a = \frac{&PartialD; [(\frac{1 + v}{E} \sin^{2} ψ - \frac{v}{E}) \cdot 0.418 τ]}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{E}{1 + v} - - - (17)

b = - 0.418 \cdot \frac{&PartialD; τ}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{v}{E} \cdot \frac{E}{1 + v} - - - (18)

则：σ_x＝σ_x0+a·A_x+b·A_y (19)

式中：σ_x0，A_x，A_y，为所求未知量，是X射线应力测试结果，a，b是由测试参数和测试材料确定的参数，可以计算出。因此，只需要设置3组不同的ψ角，从而联立方程组：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + b_{1} \cdot A_{y} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + b_{2} \cdot A_{y} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + b_{3} \cdot A_{y} \end{matrix} - - - (20)

方程组(20)可解出：x方向表面最大应力值σ_x0，x方向应力沿深度应力梯度A_x和y方向应力沿深度应力梯度A_y的值。

对于钛合金材料X射线应力测试中由于不同组ψ角所确定的系数b的变化范围小于0.0383时和X射线应力测试结果中存在误差，直接利用方程组(20)求解的表面最大应力值计算结果远大于钛合金材料屈服强度。此时，因为不同组ψ角所确定的系数b的变化范围小于0.0383，所以可以将b与A_y的乘积为一定值C₁。此时，方程组(20)改写为：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + C_{1} \end{matrix} - - - (21)

方程组(21)方程组是σ_x与a的线性方程组，σ_x0与C₁之和是与线性无关的量，方程组求解出A_x最小二乘解。

同时，再考虑与测试方向垂直的y方向上应力，参考式(19)的推导过程，y方向X射线应力测试结果σ_y、y方向表面最大应力值σ_y0、y方向应力沿深度的应力梯度A_y和x方向应力沿深度的应力梯度A_x的关系式如下：

σ_y＝σ_y0+a·A_y+b·A_x (22)

在3组不同的ψ角下，有如下方程组：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + b_{1} \cdot A_{x} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + b_{2} \cdot A_{x} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + b_{3} \cdot A_{x} \end{matrix} - - - (23)

同理，将b与A_x的乘积看作定值C₂，方程组(23)改写为：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + C_{2} \end{matrix} - - - (24)

方程组(24)是σ_y与a的线性方程组，σ_y0与C₂之和是与线性无关的量，方程组求解出A_y最小二乘解；

将A_x和A_y代入方程组(20)中，求解出方程组中包含的3个方程式中的x方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为x方向的表面最大应力σ_x0；同时，将A_x和A_y代入方程组(23)中，求解出方程组中包含的3个方程式中的y方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为y方向的表面最大应力σ_y0。

实施例：

(1)测试对象

TC4表面砂纸打磨薄板试样。

(2)X射线应力测试

首先初始化与X射线应力仪配套的计算机。X射线应力测试时选择Cu-k_α射线，(213)晶面，选择3组不同的试样表面法线与衍射晶面法线的夹角，如表1。在试样的测试方向x方向和与x方向垂直的y方向，使用选定的每组ψ角进行5次测试。求5次测试结果的平均值作为每组ψ角下的测试结果，x方向3组不同的ψ角测试结果分别记为：σ_x1、σ_x2和σ_x3，y方向3组不同的ψ角测试结果分别记为：σ_y1、σ_y2和σ_y3。

表1 X射线应力测试中ψ角

(3)按以下步骤计算出x方向表面最大应力值σ_x0、x方向应力沿深度的应力梯度A_x、y方向表面最大应力值σ_y0和y方向应力沿深度的应力梯度A_y

(3.1)按下式计算两个由测试参数和被测材料确定的测试参数a和b，3组不同的ψ角对应的a和b分别记为：a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃

a = \frac{&PartialD; [(\frac{1 + v}{E} \sin^{2} ψ - \frac{v}{E}) \cdot 0.418 τ]}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{E}{1 + v}

b = - 0.418 \cdot \frac{&PartialD; τ}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{v}{E} \cdot \frac{E}{1 + v}

式中：ψ是试样表面法线与衍射晶面法线的夹角，v衍射晶面泊松比，E衍射晶面弹性模量，τ是X射线的透射深度，对不同的X射线衍射几何条件，τ值不同，测试中选择的为Ω-衍射几何，

τ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} ψ}{2 μ \sin θ \cos ψ},

μ为X射线线吸收系数，θ为衍射角，a₁、a₂、a₃和b₁、b₂、b₃的计算结果列于表2中；

(3.2)在步骤(2)中相应的3组ψ角下，利用x方向X射线应力测试结果σ_x、x方向表面最大应力值σ_x0、x方向应力沿深度的应力梯度A_x和y方向应力沿深度的应力梯度A_y的关系式σ_x＝σ_x0+a·A_x+b·A_y，建立如下方程组：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + b_{1} \cdot A_{y} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + b_{2} \cdot A_{y} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + b_{3} \cdot A_{y} \end{matrix};

(3.3)由于b在3组不同的ψ角下的变化范围最大值为0.0383，b的变化值很小且A_y为定值，因此将b与A_y的乘积为一定值C₁。此时，建立的方程组改写为：

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + C_{1} \end{matrix},

方程组是σ_x与a的线性方程组，σ_x0与C₁之和是与线性无关的量，方程组可以求解出A_x最小二乘解，A_x计算结果如表2；

(3.4)利用y方向X射线应力测试结果σ_y、y方向表面最大应力值σ_y0、y方向应力沿深度的应力梯度A_y和x方向应力沿深度的应力梯度A_x的关系式σ_y＝σ_y0+a·A_y+b·A_x，建立方程组：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + b_{1} \cdot A_{x} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + b_{2} \cdot A_{x} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + b_{3} \cdot A_{x} \end{matrix};

(3.5)由于b在3组不同的ψ角下的变化范围最大值为0.0383，b的变化值很小且A_y为定值，故将b与A_x的乘积看作常数C₂，可得下面方程组：

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + C_{2} \end{matrix},

方程组是σ_y与a的线性方程组，σ_y0与C₂之和是与线性无关的量，方程组可以求解出A_y最小二乘解，A_y计算结果如表2；

(3.6)将A_x和A_y代入方程组

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + b_{1} \cdot A_{y} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + b_{2} \cdot A_{y} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + b_{3} \cdot A_{y} \end{matrix}

中，求解出方程组中包含的3个方程式的x方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为x方向的表面最大应力σ_x0，σ_x0计算结果如表2；

(3.7)将A_x和A_y代入方程组

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + b_{1} \cdot A_{x} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + b_{2} \cdot A_{x} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + b_{3} \cdot A_{x} \end{matrix}

中，求解出方程组中包含的3个方程式的y方向表面最大应力解析值，取3个方程式计算的表面最大应力解析值的平均值为y方向的表面最大应力σ_y0，σ_y0计算结果如表2。

X射线应力测试结果与计算结果如表2。

表2 TC4试样残余应力测试结果与公式计算结果

(4)验证分析

对试样测试区域电解抛光，抛光区域直径12mm。根据ASTM E1558-09，抛光电压选择50V，每次抛光时间10s，电解液成分：酒精(95％)∶乙二醇单丁醚∶高氯酸(30％)＝7∶1∶2，每次抛光后选择表1中第二组ψ值连续进行5次X射线衍射应力测试，给出每次抛光后的应力值，剥层法残余应力测试结果如表3所示。

表3 剥层法残余应力测试结果

剥层次数	去除深度(μm)	σ_x(Mpa)	σ_y(MPa)
				0	0	-470.25	-378.64
1	7	-18.73	-4.95
				2	6	-3.61	-7.91

由表3剥层法测试的结果，如果认为在抛光深度内应力沿深度呈线性分布，则由剥层法可得x方向应力梯度为：A_x＝(-18.73+470.25)MPa/7μm＝64.50MPa/μm，y方向的应力梯度为：A_y＝(-4.95+378.64)MPa/7μm＝53.38MPa/μm。

对比分析表2和表3的计算结果测试结果表明：本发明的测试和计算结果与剥层法测试计算结果相近，本发明能准确的钛合金材料被测区域的表面最大应力和表层应力梯度。

Claims

1.钛合金表面最大应力和表层应力梯度的计算机测算方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤(1)X射线应力测试

a = \frac{&PartialD; [(\frac{1 + v}{E} \sin^{2} ψ - \frac{v}{E}) \cdot 0.418 τ]}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{E}{1 + v}

b = - 0.418 \cdot \frac{&PartialD; τ}{&PartialD; \sin^{2} ψ} \cdot \frac{v}{E} \cdot \frac{E}{1 + v}

Ω-衍射几何：

τ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} ψ}{2 μ \sin θ \cos ψ}

ψ-衍射几何：

τ = \frac{\sin θ \cos ψ}{2 μ}

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + b_{1} \cdot A_{y} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + b_{2} \cdot A_{y} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + b_{3} \cdot A_{y} \end{matrix},

\{\begin{matrix} σ_{x 1} = σ_{x 0} + a_{1} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 2} = σ_{x 0} + a_{2} \cdot A_{x} + C_{1} \\ σ_{x 3} = σ_{x 0} + a_{3} \cdot A_{x} + C_{1} \end{matrix},

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + b_{1} \cdot A_{x} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + b_{2} \cdot A_{x} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + b_{3} \cdot A_{x} \end{matrix},

\{\begin{matrix} σ_{y 1} = σ_{y 0} + a_{1} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 2} = σ_{y 0} + a_{2} \cdot A_{y} + C_{2} \\ σ_{y 3} = σ_{y 0} + a_{3} \cdot A_{y} + C_{2} \end{matrix},