CN102332976B - 异维可切换混沌系统设计方法及电路 - Google Patents

Abstract

一种异维可切换混沌系统设计方法和电路，以三维广义Lorenz系统族为基础，通过增加变量和反馈控制项的方法，构造了四维超混沌系统，采用Multisim软件中的多个开关控制器，设计了可切换的异维混沌电路。本发明构造的模拟电路使用方便，便于用硬件实现，且成本相对低廉；设计的切换电路不仅能够灵活的实现三维混沌系统与四维超混沌系统之间的切换，而且还能回归实现同维之间三种混沌系统之间的切换，这些系统可以作为实用的混沌调制和混沌加密信号，能够广泛应用于对保密性和可靠性要求较高的信息安全密码学领域中。

Description

异维可切换混沌系统设计方法及电路

技术领域

本发明属于非线性动力学中混沌同步控制技术，特别涉及信息安全密码学中的数字随机序列密码学领域。

背景技术

Lorenz方程是第一个混沌模型，并成为后来混沌研究的范例。经典低维混沌系统的正Lyapunov指数个数较少，系统复杂性不够，在具体的实际应用中会因为带宽的偏窄而受到限制。由反馈扩展系统维数提出的超混沌系统，具有两个或两个以上的正Lyapunov指数，相空间轨迹在更多方向上分离，其动力学行为更为复杂，能较好满足扩展频谱、保密通信、雷达同步控制等方面现实需要。近年来，研究人员对超混沌系统进行了卓有成效的探索并取得大量成果。

而在混沌丰富的研究成果中，混沌同步研究成果占有相当大的比重，而自从多系统切换混沌同步的思想被提出来以后，因其可以显著增强混沌同步保密通讯的安全性能而备受关注。因为相对于单一的混沌系统，多混沌切换系统同时满足2个或2个以上的动力学方程，其相轨在多个动力系统之间变换，使得这类系统具有更复杂的动力学特性和更好的伪随机性。由于切换混沌系统具有显著的方便性、灵活性等特性，可以运用于多种混沌研究领域中，因此混沌系统的切换问题也逐渐引起了非线性科学其他方面研究者的重视。而要使多系统切换混沌技术成功地应用于各种工程实际中，构建足够多的可供切换的混沌系统是重要的一步。而采用分立元器件设计模拟电路产生混沌信号的方法，在国内外已经运用地比较成熟了。

已有文献论述了通过开关选择器控制混沌切换。但是文献中是通过开关选择器控制非线性项的切换，来实现混沌电路的切换，且只是在两个三维混沌电路之间进行的切换，该切换电路产生的混沌信号有限，不能实现不同维数混沌系统与超混沌系统电路之间的切换。

发明内容

本发明的目的是设计模拟电路实现不同维数之间的混沌系统切换。

本发明以广义Lorenz系统为基础，通过拓展系统维数以及控制新引入的状态变量的方法，设计了一个四维超混沌切换系统，并利用Multisim软件设计相应的模拟电路。

1.四维超混沌系统构造。

1.1广义Lorenz混沌系统。

本发明中的三维混沌系统模型采用的是吕金虎和陈关荣提出的Lorenz系统族，其非线性动力学方程如下：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(y\left(t\right)-x\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})x\left(t\right)-x\left(t\right)z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)y\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=x\left(t\right)y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}z\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中参数α∈[0,1]。众所周知，当α取不同值时，可对应变换成为Lorenz系统族上的不同混沌系统。为方便计算，本发明分别选取α=0，α=0.8，α=0.9来实现Lorenz系统，Lü系统和Chen系统。

在三维混沌系统(1)的基础上，采用拓展系统变量并将其反馈回系统的方法，对三维系统进行改造。在系统(1)的基础上，引入一个新变量w，令

其中c,d,e和f为系统待定的增益常数，改造后的系统如(2)式所示：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(y\left(t\right)-x\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})x\left(t\right)-x\left(t\right)z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)y\left(t\right)+\mathrm{bw}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=x\left(t\right)y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}z\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{w}=\mathrm{cx}\left(t\right)+\mathrm{dy}\left(t\right)+\mathrm{ez}\left(t\right)+\mathrm{fw}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(2\right)$

该四维系统增加了一维状态，并将系统变量反馈作用在系统的第二个方程上。

1.2四维超混沌系统性能分析。

根据四维超混沌系统的Jacobian矩阵，在系统平衡点P₀(0,0,0,0)处取值，其特征方程为：

$\left[\begin{array}{cccc}-25\mathrm{\α}-10-\mathrm{\λ}& 25\mathrm{\α}+10& 0& 0\\ 28-35\mathrm{\α}& 29\mathrm{\α}-1-\mathrm{\λ}& 0& b\\ 0& 0& -\frac{\mathrm{\α}+8}{3}-\mathrm{\λ}& 0\\ c& d& e& f-\mathrm{\λ}\end{array}\right]=0---\left(3\right)$

由上式可知，特征值的取值与系统e无关，这就表示系统的Lyapunov指数与e无关。因此，令e=0。

令方程组(2)的各式均为0，可得到超混沌系统的平衡点：

当α=0时，x₁=0， $x_{\mathrm{2,3}}=\±\sqrt{\frac{8}{3}(24-\frac{b(c+d)}{f})},$ y=x， $z=\frac{3}{8}{x}^2,$ $w=-\frac{c+d}{f}x;$

当α=0.8时，x₁=0， $x_{\mathrm{2,3}}=\±\sqrt{\frac{8.8}{3}(19.2-\frac{b(c+d)}{f})},$ y=x， $z=\frac{3}{8.8}{x}^2,$ $w=-\frac{c+d}{f}x;$

当α=0.9时，x₁=0， $x_{\mathrm{2,3}}=\±\sqrt{\frac{8.9}{3}(18.6-\frac{b(c+d)}{f})},$ y=x， $z=\frac{3}{8.9}{x}^3,$ $w=-\frac{c+d}{f}x;$

在不同α指下，系统的分形维数可由：

$D_L=j+\frac{1}{\left|{\mathrm{LE}}_{(j+1)}\right|}\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{LE}}_i$

来确定，当系统参数为b=0.5，c=-3，d=-1和f=-0.01时，四维超混沌系统的动力学特征如下表所示。无论α取何值，系统都具有两个大于0的正Lyapunov指数，且分形维数为分数，因此三个子系统都处于超混沌状态。

四维超混沌系统性能分析

2.异维超混沌电路的构造规则。

2.1超混沌系统的设计思路。

由上述分析可知，四维超混沌系统(2)是在三维Lorenz系统族(1)的基础上，通过拓展系统维数并将其反馈回系统的方法来实现的。相应的电路设计是在理论框架基础上的应用实现，通过在三维混沌电路的基础上，增加系统维数和反馈控制项，来设计了可切换系统的实际电路。由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行，为了有效的进行电路仿真，对方程(2)进行适当的变换，使输入电压满足运算放大器和模拟乘法器对输入电压限制的要求。实际设计时对系统变量做了10倍的缩小变换，调整后的系统与系统(2)完全等价，不会改变系统(2)原有的超混沌特性。

2.2优化的超混沌系统方程。

本发明是使用放大器、乘法器、电阻、电容及开关控制器等元器件搭建，以实现可切换的超混沌系统。具体通过以下步骤实现。

(S1)、在三维Lorenz混沌系统的基础上，将变量增加一维并反馈回原系统，构成新的四维系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(y\left(t\right)-x\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})x\left(t\right)-x\left(t\right)z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)y\left(t\right)+\mathrm{bw}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=x\left(t\right)y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}z\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{w}=\mathrm{cx}\left(t\right)+\mathrm{dy}\left(t\right)+\mathrm{ez}\left(t\right)+\mathrm{fw}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(4\right)$

(S2)、为了能够实现电路仿真，把系统产生的混沌信号的输出电平调小为原来的1/10，设：x=10X，y=10Y，z=10Z，w=10W，而根据上述分析，e的取值不影响系统混沌特性，为计算方便起见，令e=0，代入上式得到新的混沌系统方程：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(Y\left(t\right)-X\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{Y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})X\left(t\right)-10X\left(t\right)Z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)Y\left(t\right)+\mathrm{bW}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{Z}\left(t\right)=10X\left(t\right)Y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}Z\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{W}\left(t\right)=\mathrm{cX}\left(t\right)+\mathrm{dY}\left(t\right)+\mathrm{fW}\left(t\right)\end{array}\right.---\left(5\right)$

(S3)、按照（S2）的混沌系统方程构造四维超混沌电路。

(S4)、在(S3)的超混沌电路的三维混沌电路与四维超混沌电路之间添加开关控制器，使系统实现三维混沌电路与四维超混沌电路的切换。

(S5)、在(S3)的超混沌电路中嵌入α值切换电路，使电路能够产生不同α值时的混沌或超混沌信号。

本发明通过(S4)和(S5)的两个切换电路能够生成六种不同的混沌信号，其中三种为混沌信号，另三种为超混沌信号。

本发明所述的异维可切换混沌系统设计方法实现的电路，其特征是由运算放大器U1-U12、电阻R1-R18、R33-R36、电容C1-C4、模拟乘法器A1、A2和子电路模块SUB1、SUB2、SUB3组成；其中。

运算放大器U1与R1并联，且U1输入端接SUB1的输出端，U1的输出端接R33；U2与C1并联，U2的输入端接R33，U2的输出端接R11，以及接SUB2的输入端IO5和A2的一个输入端；U3与R12并联，U3输入端接R11，U3的输出端接SUB1的输入端IO1，模拟乘法器A1的一个输入端，SUB2的输入端IO6，和R8的输入端。

运算放大器U4与R2并联，且U4的输入端接R3、SUB2输出端和R4的输出端；U4的输出端接R34；U5与C2并联，且U5的输入端接R34，输出端接R13，以及接SUB1的输入端IO2；SUB2的输入端IO7和A2的一个输入端；U6与R14并联，U6的输入端接R13，U6的输出端接SUB2的IO8，以及接R9的输入端。A1的输出端接R3的输入端。

运算放大器U7与R5并联，U7的输入端接R6和SUB3的输出端，U7的输出端接R35；U8与C3并联，U8的输入端接R35，输出端接R15，以及A1的一个输入端；U9与R16并联，输入端接R15，U9输出端接SUB3的输入端。A2的输出端接R6的输入端。

运算放大器U10与R7并联，U10的输入端接R8，R9和R10，U10的输出端接R36；U11和C4并联，输入端接R36，输出端接R17并接上开关J0，J0接上R4；U12与R18并联，输入端接R17，输出端接R10。

所述的子电路模块SUB1由接口IO1-IO4、电阻R19-R24和多路开关控制器J1-J3组成，其中：R19、R21和R23一端接IO1，R20、R22和R24一端接IO2；R19和R20的另一端接J1，R21和R22的另一端接J2，R23和R24另一端接J3；J1、J2和J3的上路开关接IO3，下路开关接IO4。

所述的子电路模块SUB2由接口IO5-IO10、电阻R25-R29和3个多路开关控制器J4-J6组成，其中：R25的一端接IO5，另一端接J4；R26的一端接IO6，另一端接J6；R28和R29的一端接IO7，R28的另一端接J5，R29另一端接J6；R27一端接IO8，另一端接J4；J4、J5和J6的上路开关接IO9，下路开关接IO10。

所述的子电路模块SUB3由接口IO11-IO12、电阻R30-R32和多路开关控制器J7组成，其中：R30、R31和R32的一端接IO11，另一端接J7；J7接IO12。

本电路切换结构简单，模块较少，可扩展性和灵活性强。

本发明步骤(S3)中电路使用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)。步骤(S4)中采用开关控制器，而在步骤(S5)的切换子电路中使用了多个多路开关控制器。

通过开关控制器的闭合与断开，电路实现了四维超混沌系统与三维混沌系统之间的切换。而通过多路开关控制器的闭合与断开，电路就能实现α值从0，0.8到0.9的切换，使系统在三维下实现3种混沌系统，在四维下也同样实现3种超混沌系统。该切换电路生成的3种超混沌信号具有极高的复杂性和稳定性，可以作为实用的混沌调制和混沌加密信号。

经试验数据比较，本发明的异维混沌切换电路运行稳定，可获得与计算机编程结果完全一致的混沌序列和超混沌序列。且该切换电路具有通用性和扩展性，能广泛运用于其它混沌系统的电路设计，可为混沌电路的一体化提供了可信赖的研究基础。

附图说明

图1为本发明的异维切换电路主电路图。

图2为主电路图图1中（a）部分的放大图。

图3为主电路图图1中（b）部分的放大图。

图4为控制α值的表示式子(25α+10)的电路。

图5为控制α值的表示式子(28-35α)和(29α-1)的电路。

图6为控制α值的表示式子

的电路。

图7为三维混沌系统中α取不同值时的相图。其中（a）和（b）分别为三维混沌系统中α=0时的相图；（c）和（d）分别为三维混沌系统中α=0.8时的相图；（e）和（f）分别为三维混沌系统中α=0.9时的相图。

图8为四维超混沌系统中α取不同值时的相图。其中（a）、（b）、（c）分别为四维超混沌系统中α=0时的相图，（d）、（e）、（f）分别为四维超混沌系统中α=0.8时的相图。

图9为四维超混沌系统中α取不同值时的相图。其中（g）、（h）、（i）分别为四维超混沌系统中α=0.9时的相图。

具体实施方式

本发明将结合附表和附图，通过以下实施例作进一步说明。

实施例。设计实现异维超混沌系统切换电路。

本发明基于系统切换方法设计超混沌系统切换电路。通过S(4)，S(5)的方法，得到新的系统方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}=(25\mathrm{\α}+10)(Y-X)\\ \frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dt}}=(28-35\mathrm{\α})X-10\mathrm{XZ}+(29\mathrm{\α}-1)Y+\mathrm{bW}\\ \frac{\mathrm{dZ}}{\mathrm{dt}}=10\mathrm{XY}-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}Z\\ \frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{cX}+\mathrm{dY}+\mathrm{fW}\end{array}\right.---\left(6\right)$

然后根据电路理论和各个元器件的特性，得其电路方程为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{RC}\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}=\frac{R_1}{\mathrm{Sub}1}(Y-X)\\ \mathrm{RC}\frac{\mathrm{dY}}{\mathrm{dt}}=\frac{R_2}{\mathrm{Sub}{2}_x}X-\frac{R_2}{R_3}\mathrm{XZ}+\frac{R_2}{\mathrm{Sub}{2}_y}Y+\frac{R_2}{R_4}W\\ \mathrm{RC}\frac{\mathrm{dZ}}{\mathrm{dt}}=\frac{R_5}{R_6}\mathrm{XY}-\frac{R_5}{\mathrm{Sub}3}Z\\ \mathrm{RC}\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{dt}}=-\frac{R_7}{R_8}X-\frac{R_7}{R_9}Y-\frac{R_7}{R_{10}}W\end{array}\right.---\left(7\right)$

(7)式中的电阻、电容等元器件的数值如图1（或图2和图3）所示。其中C=10nF，R=10KΩ，R₁=10.5KΩ，R₂=R₃=19.6KΩ，R₄=392KΩ，R₅=R₆=3KΩ，R₇=3KΩ，R₈=10KΩ，R₉=30KΩ，R₁₀=3KΩ，R₁₁=R₁₂=R₁₃=R₁₄=R₁₅=R₁₆=R₁₇=R₁₈=10KΩ。

(7)式中的Sub1，Sub2_x，Sub2_y，Sub3模块的作用是调节系统中的α值，如图4、图5和图6所示，具体切换说明如下：

(a)当J1，J4和J7的上开关都闭合，其它断开时α=0；

(b)当J2，J5和J7的中开关都闭合，其它断开时α=0.8；

(c)当J3，J6和J7的下开关都闭合，其它断开时α=0.9；

(d)而当图1中的J0断开时，电路呈现的是三维混沌系统；

(e)而当J0闭合时，电路则呈现四维超混沌系统；

(f)通过开关J0～J7的断开、闭合，使电路产生6种混沌信号，且这6种之间的能够进行方便、灵活的切换。

本发明采用使用美国国家仪器公司（NI）的Multisim10.0软件作为开发平台进行异维可切换混沌电路设计，直接调用软件库中的单元即可完成主电路和子模块的电路设计，图7、图8和图9分别显示了在不同维数下，不同α值时的系统相图。本发明由于避免了涉及底层的硬件级设计和硬件描述语言编程，因此开发周期更短，成本更低。

Claims (1)

1.一种异维可切换混沌系统设计方法，其特征是通过以下步骤实现：

(S1)、在三维Lorenz混沌系统的基础上，将变量增加一维并反馈回原系统，构成四维系统：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(y\left(t\right)-x\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})x\left(t\right)-x\left(t\right)z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)y\left(t\right)+\mathrm{bw}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{z}\left(t\right)=x\left(t\right)y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}z\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{w}=\mathrm{cx}\left(t\right)+\mathrm{dy}\left(t\right)+\mathrm{ez}\left(t\right)+\mathrm{fw}\left(t\right)\end{array}\right.$

上式中b,c,d,e,f为系统待定的增益常数，x(t),y(t),z(t),w(t)为系统变量，参数α∈[0,1]；

(S2)、设：x=10X，y=10Y，z=10Z，w=10W，根据分析e的取值不影响系统混沌特性，为计算方便起见，令e=0，代入上式，得系统方程：

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{X}\left(t\right)=(25\mathrm{\α}+10)(Y\left(t\right)-X\left(t\right))\\ \stackrel{\·}{Y}\left(t\right)=(28-35\mathrm{\α})X\left(t\right)-10X\left(t\right)Z\left(t\right)+(29\mathrm{\α}-1)Y\left(t\right)+\mathrm{bw}\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{Z}\left(t\right)=10X\left(t\right)Y\left(t\right)-\frac{\mathrm{\α}+8}{3}Z\left(t\right)\\ \stackrel{\·}{W}\left(t\right)=\mathrm{cX}\left(t\right)+\mathrm{dY}\left(t\right)+\mathrm{fW}\left(t\right)\end{array}\right.$

(S3)、按照(S2)的混沌系统方程构造四维超混沌电路；

(S4)、在(S3)的超混沌电路的三维混沌电路与四维超混沌电路之间添加开关控制器，使系统实现三维混沌电路与四维超混沌电路的切换；

(S5)、在(S3)的超混沌电路中嵌入α值切换电路，使电路能够产生不同α值时的混沌或超混沌信号；

利用上述的异维可切换混沌系统设计方法实现的电路，由运算放大器U1-U12、电阻R1-R18、R33-R36、电容C1-C4、模拟乘法器A1、A2和子电路模块SUB1、SUB2、SUB3组成；其中：

运算放大器U1与R1并联，且U1输入端接SUB1的输出端，U1的输出端接R33；U2与C1并联，U2的输入端接R33，U2的输出端接R11，以及接SUB2的输入端IO5和A2的一个输入端；U3与R12并联，U3输入端接R11，U3的输出端接SUB1的输入端IO1，模拟乘法器A1的一个输入端，SUB2的输入端IO6，和R8的输入端；

运算放大器U4与R2并联，且U4的输入端接R3、SUB2输出端和R4的输出端；U4的输出端接R34；U5与C2并联，且U5的输入端接R34，输出端接R13，以及接SUB1的输入端IO2；SUB2的输入端IO7和A2的一个输入端；U6与R14并联，U6的输入端接R13，U6的输出端接SUB2的IO8，以及接R9的输入端；A1的输出端接R3的输入端；

运算放大器U7与R5并联，U7的输入端接R6和SUB3的输出端，U7的输出端接R35；U8与C3并联，U8的输入端接R35，输出端接R15，以及A1的一个输入端；U9与R16并联，输入端接R15，U9输出端接SUB3的输入端；A2的输出端接R6的输入端；

运算放大器U10与R7并联，U10的输入端接R8，R9和R10，U10的输出端接R36；U11和C4并联，输入端接R36，输出端接R17并接上开关J0，J0接上R4；U12与R18并联，输入端接R17，输出端接R10；

所述的子电路模块SUB1由接口IO1-IO4、电阻R19-R24和多路开关控制器J1-J3组成，其中：R19、R21和R23一端接IO1，R20、R22和R24一端接IO2；R19和R20的另一端接J1，R21和R22的另一端接J2，R23和R24另一端接J3；J1、J2和J3的上路开关接IO3，下路开关接IO4；

所述的子电路模块SUB2由接口IO5-IO10、电阻R25-R29和3个多路开关控制器J4-J6组成，其中：R25的一端接IO5，另一端接J4；R26的一端接IO6，另一端接J6；R28和R29的一端接IO7，R28的另一端接J5，R29另一端接J6；R27一端接IO8，另一端接J4；J4、J5和J6的上路开关接IO9，下路开关接IO10；

所述的子电路模块SUB3由接口IO11-IO12、电阻R30-R32和多路开关控制器J7组成，其中：R30、R31和R32的一端接IO11，另一端接J7；J7接IO12。

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