CN101976311B - 基于漂移布朗运动模型的加速退化试验贝叶斯评估方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于漂移布朗运动模型的加速退化试验贝叶斯评估方法，属于寿命及可靠性评估技术领域，本发明的具体步骤为：步骤一、建立并确定相关模型；步骤二、确定加速模型参数的初值；步骤三、建立各应力水平下模型参数的先验及后验分布；步骤四、拟合加速模型参数的最终值；步骤五、评估产品的寿命及可靠度。本发明通过加速模型参数的初值确定及终值拟合等步骤，提高了加速模型参数的评估精度，从而提高了产品寿命及可靠度的评估精度。由于本发明可以通过已有应力水平的试验信息及结果对接下来应力水平的试验及评估进行指导，因此通过它，结合相应的试验优化方法，可以对各应力水平分阶段进行优化试验设计。

Description

基于漂移布朗运动模型的加速退化试验贝叶斯评估方法

技术领域

本发明是一种针对退化数据，基于漂移布朗运动模型及贝叶斯理论的加速退化试验评估方法，属于寿命及可靠性评估技术领域。

背景技术

通常，在评估产品的寿命及可靠性时，通过加速寿命试验来获得产品的寿命数据，并利用所获得的寿命数据来对其进行评估。但随着科学技术的发展，长寿命、高可靠性产品正逐渐成为当今的主流，因此评估对象的特点亦向着长寿命、高可靠性方面转变。由于产品的长寿命、高可靠性特点，在通过试验来评估其寿命及可靠性时，寿命数据越来越难以获得，这就对评估造成了一定的困难。针对这一困难，加速退化试验应运而生，通过试验时实时获得的大量产品的性能退化数据来对产品的可靠性进行评估。目前，应用比较广泛的加速退化可靠性评估方法是北京航空航天大学的姜同敏，李晓阳等人提出的基于漂移布朗运动的加速退化试验可靠性评估方法(李晓阳，姜同敏.基于加速退化模型的卫星组件寿命与可靠性评估方法[J].航空学报，2007，vol 28：101-103)。但在其发展过程中，仍存在以下问题。

首先，对于基于漂移布朗运动的加速退化试验评估方法，在其评估产品退化过程的加速模型时，模型参数通常是使用最小二乘法对不同温度下的退化率进行拟合而得到的。但往往由于退化率的求解过程及评估结果相对粗糙，从而影响加速模型及退化率外推值的准确性。

其次，在利用贝叶斯方法对加速退化试验进行评估方面，已开展了一定的研究，如北京航空航天大学的王立志、李晓阳、姜同敏等人提出的基于多源退化数据的贝叶斯可靠性综合评估方法(专利申请号：200910242987.7)。其中对于不同应力下的退化数据，往往是首先对其进行折合，将其统一为同一条件及形式后，再进行处理评估。而退化数据的准确性往往在这种折合过程中受到影响，并损失大量的信息，使得评估质量降低。

最后，2009年新加坡国立大学的Xiao Liu及Loon-Ching Tang等人提出了一种针对加速寿命试验的评估及设计方法(Xiao Liu and Loon-Ching Tang.A SequentialConstant-stress Accelerated Life Testing Scheme and Its Bayesian Inference[J].Qual.Reliab.Engng.Int.2009；25：91-109)，这种方法的核心思想在于它能够利用贝叶斯方法，将试验中已完成的应力水平下的数据及评估结果，用于指导下一应力水平的试验设计工作，最大程度的利用试验信息，从而使试验的结果达到最优。而目前还没有能够实现这种思想的加速退化试验评估方法。

发明内容

本发明的目的是为了解决了上述问题，提高加速模型和退化率及其外推值的准确性，降低不同应力下退化数据折合过程中精度及信息的损失，同时将最新的试验设计思想引入加速退化试验评估领域，提出了一种基于漂移布朗运动模型的加速退化试验贝叶斯评估方法。

本发明的具体步骤为：

步骤一、建立并确定相关模型；

步骤二、确定加速模型参数的初值；

步骤三、建立各应力水平下模型参数的先验及后验分布；

步骤四、拟合加速模型参数的最终值；

步骤五、评估产品的寿命及可靠度。

本发明的优点在于：

(1)通过加速模型参数的初值确定及终值拟合等步骤，提高了加速模型参数的评估精度，从而提高了产品寿命及可靠度的评估精度；

(2)通过各应力水平数据分别运算、逐步迭代等步骤以及贝叶斯方法，本发明无需将数据折合到同一应力水平再进行运算，从而避免了数据折合过程所带来的误差影响；

(3)由于本发明可以通过已有应力水平的试验信息及结果对接下来应力水平的试验及评估进行指导，因此通过它，结合相应的试验优化方法，可以对各应力水平分阶段进行优化试验设计；

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是本发明实施例的评估结果。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种基于漂移布朗运动的加速退化试验贝叶斯评估方法，流程图如图1所示，包括以下几个步骤：

步骤一、建立并确定相关模型及参数退化模型

本发明选择漂移布朗运动来描述产品的退化，对于漂移布朗运动模型：

Y(t)＝σB(t)+d(s)·t+y₀                (1)

其中：Y(t)为产品参数的退化过程；B(t)为均值为0，方差为时间t的标准布朗运动B(t)～N(0，t)；σ为扩散系数，不随应力和时间而改变，为常数；d(s)为漂移系数，即产品的性能退化率；y₀为产品性能的初始值；

1)加速模型

对基于漂移布朗运动退化模型而言，漂移系数d(s)为产品的性能退化率，它是一个与应力水平有关的函数，应用它可将加速模型与退化模型相结合。若假设产品性能退化率代表的加速模型为：

其中，

是应力s的某一已知函数。若得到加速模型中参数A，B的值，那么便可建立应力与退化数据之间的关系，确定加速模型，并得到漂移系数d(s)的值。

2)贝叶斯总体分布及其数据形式

由漂移布朗运动的性质可知，单位时间Δt的退化增量ΔY服从均值为d(s)·Δt，方差为σ²Δt的正态分布，即

ΔY～N(d(s)·Δt，σ²Δt)                  (3)

为了便于贝叶斯方法的应用，本发明将ΔY作为后续运算的数据形式，式(3)作为贝叶斯方法中的总体分布；

3)可靠度模型

如果设l为参数的失效阈值，即设Y(t)-l＜0时产品失效；可以利用漂移布朗运动可靠度模型对可靠度函数进行求解：

$R\left(t\right)=\mathrm{\Φ}\left[\frac{l-y_0-d\left(s\right)t}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right]-\exp \left(\frac{d2\left(s\right)(l-y_0)}{{\mathrm{\σ}}^2}\right)\mathrm{\Φ}[-\frac{l-y_0+d\left(s\right)t}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}]---\left(4\right)$

其中R(t)为产品t时刻的可靠度，Φ为正态分布。

步骤二、确定加速模型参数的初值

1)已知退化数据的情况下

为了确定加速模型中参数A、B的初值，由公式(1)、(2)可建立线性回归方程如下：

因此可由不同应力水平s_i下的退化增量数据Δy_i通过(6)拟合得到参数A、B的初值A₀和B₀。

2)未知退化数据的情况下

可以通过历史数据或工程经验确定参数A、B的初值A₀和B₀，并在后续的试验过程中，随着数据的增加对初值A₀和B₀不断的进行修正。

步骤三、建立各应力水平下模型参数的先验及后验分布

本发明的主旨在于利用已有应力水平下的数据及结果指导下一应力水平的评估工作。若有一组加速退化数据，共有m个应力水平S＝(s₁，s₂，…s_m)，每个应力水平的退化增量数据为

其中i＝1…m，应首先对初始应力s₁的数据进行处理，从而对下一应力水平进行指导。

1)应力s₁数据的处理

由(3)及共轭先验分布理论可知，漂移系数与时间间隔的乘积服从正态分布，扩散系数与时间间隔的乘积服从倒伽马分布，即：

d(s)·Δt～N(μ，τ²)                       (7)

σ²·Δt～IG(b，a)                          (8)

其中μ、τ分别为正态分布的均值及标准差，a、b分别为倒伽马分布的尺度参数、形状参数。

由应力s₁下的数据

可以确定分布(7)、(8)中超参数的初始值，根据共轭先验分布的性质，所选用的公式为：

$a_1=\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\Δy}}_{1j}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_1})}^2---\left(9\right)$

$b_1=\frac{n_1}{2}---\left(10\right)$

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{1}{n_1}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Δy}}_{1j}---\left(11\right)$

${{\mathrm{\τ}}_1}^2=\frac{1}{n_1}\·\frac{1}{n_1-1}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\Δy}}_{1j}-{\mathrm{\μ}}_1)}^2---\left(12\right)$

其中：

为s₁下数据的平均值，n₁为其数据量，a₁和b₁分别为应力s₁下(8)中倒伽马分布的尺度参数和形状参数、μ₁和τ₁ ²分别为应力s₁下(7)中正态分布的均值及标准差，则由正态分布的性质可知应力s₁下d(s₁)·Δt的评估值为：

E(d(s₁)·Δt)＝u₁                                     (13)

2)应力s₂的先验分布

由(2)及加速模型中参数A、B的初值A₀和B₀可知，对于应力s_i和s_j，其加速模型的比值为：

p_ij＝d(s_i)/d(s_j)＝exp(-B₀·(1/s_i-1/s_j))               (14)

若已知s_j下漂移系数与时间间隔的乘积服从的正态分布为：

d(s_j)·Δt～N(μ_j，τ_j ²)                              (15)

则由正态分布的性质可以得到：

d(s_i)·Δt＝p_ij·d(s_j)·Δt～N(p_ij·μ_j，p_ij ²·τ_j ²)  (16)

而由漂移布朗运动的性质可知，σ不随应力和时间而改变，是个常数，因此σ²·Δt的分布亦不随应力和时间而改变。

因此，当由(14)得到应力s₂和s₁的退化率比值p₂₁后，便可将应力s₁数据所确定的参数分布超参数转化为应力s₂参数的先验分布，可利用应力s_i和s_i-1下参数分布超参数的转化公式，若已知应力s_i-1的参数分布超参数分别为a_i-1、b_i-1、u_i-1、

及应力s_i和s_i-1的退化率比值p_ii-1，则：

a_i0＝a_i-1                                             (17)

b_i0＝b_i-1                                             (18)

u_i0＝p_ii-1·u_i-i                                      (19)

${\mathrm{\τ}}_{i0}^2=p_{\mathrm{ii}-1}^2\·{\mathrm{\τ}}_{i-1}^2---\left(20\right)$

其中a_i0和b_i0分别为应力s_i下先验分布(8)中倒伽马分布的尺度参数和形状参数、u_i0和

分别为应力s₂下先验分布(7)中正态分布的均值及标准差。从而便可得到应力s₂下先验分布(8)中倒伽马分布的尺度参数和形状参数a₂₀和b₂₀，先验分布(7)中正态分布的均值及标准差u₂₀和

3)应力s₂的后验分布

由共轭先验分布的性质可知，漂移系数与时间间隔的乘积的后验分布仍服从正态分布，扩散系数与时间间隔的乘积的后验分布则仍服从倒伽马分布。其后分布中的超参数可由以下公式确定：

$a_2={\mathrm{\α}}_{20}+\frac{n_2}{2}\left(\frac{1}{n_2}\underset{j=1}{\overset{n_2}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\Δy}}_{2j}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_2})}^2\right)+\frac{n_2}{2}\frac{{(\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_2}-p_{21}\·\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_1})}^2}{n_2/n_1+1}---\left(21\right)$

$b_2=b_{20}+\frac{n_2}{2}---\left(22\right)$

其中：a₂和b₂分别为应力s₂下后验分布(8)中倒伽马分布的尺度参数和形状参数，n₂为应力s₂下的数据量，

为s₂下数据的平均值。

从而得到σ²·Δt的评估值：

$E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|{\mathrm{\Δy}}_2)=\frac{a_2}{b_2-1}---\left(23\right)$

由σ²·Δt的评估值可知：

$u_2=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{\Δy}}_2}/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+u_{20}{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}---\left(24\right)$

${\mathrm{\τ}}_2^2=\frac{1}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}---\left(25\right)$

其中u₂和分别为应力s₂下后验分布(7)中正态分布的均值及标准差，则应力s₂下d(s₂)·Δt的评估值为：

E(d(s₂)·Δt)＝u₂                                        (26)

4)应力s_i的先验及后验分布的确定

通过应力s₂的先验及后验分布的确定过程，可知对于应力s_i，其先验及后验分布的确定过程如下：

已知应力s_i-1的后验分布超参数分别为a_i-1、b_i-1、u_i-1、

利用(6)对A₀和B₀进行修正，从而通过(14)、(17)、(18)、(19)、(20)便可得到应力s_i的先验分布中倒伽马分布的尺度参数a_i0和形状参数b_i0，正态分布的均值u_i0及标准差

在此基础上结合以下公式：

$a_i={\mathrm{\α}}_{i0}+\frac{n_i}{2}\left(\frac{1}{n_i}\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\Δy}}_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_i})}^2\right)+\frac{n_i}{2}\frac{{(\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_i}-p_{\mathrm{ii}-1}\·\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_{i-1}})}^2}{n_i/n_{i-1}+1}---\left(27\right)$

$b_i=b_{i0}+\frac{n_i}{2}---\left(28\right)$

$E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|{\mathrm{\Δy}}_i)=\frac{a_i}{b_i-1}---\left(29\right)$

$u_i=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{\Δy}}_i}/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|{\mathrm{\Δy}}_i)+u_{i0}{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|{\mathrm{\Δy}}_i)+{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}---\left(30\right)$

${\mathrm{\τ}}_i^2=\frac{1}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|{\mathrm{\Δy}}_i)+{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}---\left(31\right)$

E(d(s_i)·Δt)＝u_i                          (32)

其中：

为s_i-1、s_i下数据的平均值，n_i-1、n_i为s_i-1、s_i下的数据量，a_i和b_i分别为应力s_i下后验分布(8)中倒伽马分布的尺度参数和形状参数，u_i和

分别为应力s_i下后验分布(7)中正态分布的均值及标准差。由此便可得到应力s_i的后验分布超参数以及所需的参数评估值。

步骤四、拟合加速模型参数的最终值

通过步骤三可以得到m个应力下的m个漂移系数与时间间隔的乘积评估值U＝(E(d(s₁)·Δt)，E(d(s₂)·Δt)，…E(d(s_m)·Δt))，由(2)可得：

因此通过(33)便可通过最小二乘法拟合得到参数A、B的最终值

和

步骤五、评估产品的寿命及可靠度

通过加速模型参数A、B的最终值

和及(2)可以得到产品工作应力s₀的漂移系数d(s₀)，同时将最后一个应力所得到的σ²的评估值作为最终的评估值将d(s₀)及

带入(4)中便可得到产品在某一寿命下的可靠度评估值

对于步进应力加速退化试验，本方法还可对每个样本分别评估，再最终拟合最后的结果。如：若有h个样本，对于其中第k个样本，可以通过以下方法处理：

a)通过(9)～(33)得到A、B的评估值

和

再对h组结果取平均值，从而得到最终值

和

b)通过(9)～(32)得到第k个样本的m个应力下的m个漂移系数与时间间隔的乘积评估值U_k＝(E_k(d(s₁)·Δt)，E_k(d(s₂)·Δt)，…E_k(d(s_m)·Δt))，再对h组结果取平均值，从而得到最终值和

实施例：

若对某产品实施温度步进应力加速退化试验，样本量为4，温度应力水平为4，温度分别为60℃、80℃、100℃、120℃；每个应力水平的试验时间分别为250、150、100、100小时；产品的性能检测时间间隔Δt为5小时。

步骤一、建立并确定相关模型

由于对产品施加的应力为温度，因此选择阿伦尼乌兹(Arrhenius)模型作为加速模型，即：

d(T)＝exp[A+B/T)]                                          (34)

其中T为温度。退化模型为(1)。贝叶斯总体分布及其数据形式为(3)。可靠度模型为(4)，其中性能参数的初始值y₀为100，参数的失效阈值l为40。

步骤二、确定加速模型参数的初值

由60℃、80℃、100℃、120℃下的退化增量数据ΔY₆₀、ΔY₈₀、ΔY₁₀₀、ΔY₁₂₀通过(6)拟合得到参数A、B的初值A₀＝7787.4和B₀＝4733.8。

步骤三、建立各应力水平下模型参数的先验及后验分布

将60℃作为初始应力，计算的顺序依次为60℃、80℃、100℃和120℃。

1)60℃数据的处理

根据共轭先验分布的性质，选择分布(7)、(8)作为漂移系数与时间间隔的乘积及扩散系数与时间间隔的乘积的先验及后验分布的形式。

由(9)～(12)可知，60℃下分布的超参数如表1所示。

表160℃下分布的超参数

a1	b1	μ1	τ1 2
				0.3284	100	0.0239	1.6501e-5

2)80℃的先验分布

由(14)可以得到80℃和60℃下漂移系数的比值p_2，1＝2.2361。因此结合(17)～(20)可知80℃漂移系数与时间间隔的乘积及扩散系数与时间间隔的乘积的先验分布超参数如表2所示。

表280℃先验分布的超参数

a20	b20	μ20	τ20 2
				0.3284	100	0.0534	8.2502e-5

3)80℃的后验分布

由80℃的退化增量数据、先验分布超参数及(21)、(22)、(24)、(25)可知80℃后验分布的超参数，如表3所示。

表380℃后验分布的超参数

a2	b2	μ2	τ2 2
				0.4918	160	0.0535	8.0359e-5

4)各温度下参数的评估值

通过(14)、(17)～(20)及(27)～(32)可以得到100℃及120℃的先验分布及后验分布的超参数及各温度应力水平下参数的评估值，所得到的评估值如表4所示。

表4各温度应力水平下的参数评估值

	60℃	80℃	100℃	120℃
					d(T)·Δt	0.0239	0.0535	0.1098	0.2112
σ2·Δt	0.0033	0.0031	0.0033	0.0032

步骤四、拟合加速模型参数的最终值；

由表4中各温度应力水平下d(T)·Δt的评估值及(33)可以得到参数A、B的最终值

和

步骤五、评估产品的寿命及可靠度；

由加速模型参数A、B的最终值可以外推出25℃下的漂移系数d(60℃)＝8.7164e-4，由120℃下σ²·Δt的评估值可以得到σ＝0.0254，将其带入(4)便可得到产品在某一寿命下的可靠度评估值，如图2所示，其中横坐标为时间，纵坐标为可靠度，表5所示。

表5可靠度及寿命评估值

	3年	5年	7年	10年
					可靠度	1	1	0.8384	0.0127

Claims (2)

1.一种基于漂移布朗运动的加速退化试验贝叶斯评估方法，其特征在于，包括以下几个步骤：

步骤一、建立并确定相关模型

选择漂移布朗运动来描述产品的退化，对于漂移布朗运动模型：

Y(t)＝σB(t)+d(s)·t+y₀（1）

其中：Y(t)为产品参数的退化过程；B(t)为均值为0，方差为时间t的标准布朗运动B(t)～N(0,t)；σ为扩散系数；d(s)为漂移系数，即产品的性能退化率，s为应力；y₀为产品性能的初始值；

1)加速模型

产品性能退化率代表的加速模型为：

其中，

是应力s的某一已知函数，若得到加速模型中参数A，B的值，则能够确定加速模型；

2)贝叶斯总体分布及其数据形式

单位时间Δt的退化增量ΔY服从均值为d(s)·Δt，方差为σ²Δt的正态分布，即

ΔY～N(d(s)·Δt,σ²Δt)（3）

式（3）作为贝叶斯方法中的总体分布；

3)可靠度模型

设l为参数的失效阈值，即设Y(t)-l＜0时产品失效，可靠度模型为：

$R\left(t\right)=\mathrm{\Φ}\left[\frac{l-y_0-d\left(s\right)t}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}\right]-\exp \left(\frac{2d\left(s\right)(l-y_0)}{{\mathrm{\σ}}^2}\right)\mathrm{\Φ}[-\frac{l-y_0+d\left(s\right)t}{\mathrm{\σ}\sqrt{t}}]---\left(4\right)$

其中R(t)为产品t时刻的可靠度，Φ为正态分布；

步骤二、确定加速模型参数的初值

确定式（2）中参数A的初值A₀和B的初值B₀；

1)已知退化数据的情况下

为了确定加速模型中参数A、B的初值，由公式（1）、（2）建立线性回归方程如下：

E(y_i(t))表示退化数据y_i(t)的期望，E(Δy_i)表示退化增量数据Δy_i的期望，因此由不同应力水平s_i下的退化增量数据Δy_i通过（6）拟合得到参数A、B的初值A₀和B₀；

2)未知退化数据的情况下

通过历史数据或工程经验确定参数A、B的初值A₀和B₀，并在后续的试验过程中，随着数据的增加对初值A₀和B₀不断的进行修正；

步骤三、建立各应力水平下模型参数的先验及后验分布

若有一组加速退化数据，共有m个应力水平S＝(s₁,s₂,…s_m)，每个应力水平的退化增量数据为其中i＝1…m，应首先对初始应力s₁的数据进行处理，具体为：

1)应力s₁数据的处理

由（3）及共轭先验分布理论，漂移系数与时间间隔的乘积服从正态分布，扩散系数与时间间隔的乘积服从倒伽马分布，即：

d(s)·Δt～N(μ，τ²)（7）

σ²·Δt～IG(b,a)    （8）

其中μ、τ分别为正态分布的均值及标准差，a、b分别为倒伽马分布的尺度参数、形状参数；

由应力s₁下的数据

确定分布（7）、（8）中超参数的初始值，根据共轭先验分布的性质，所选用的公式为：

$a_1=\frac{1}{2}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{({\mathrm{\Δy}}_{1j}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_1})}^2---\left(9\right)$

$b_1=\frac{n_1}{2}---\left(10\right)$

${\mathrm{\μ}}_1=\frac{1}{n_1}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Δ}{y}_{1j}---\left(11\right)$

${{\mathrm{\τ}}_1}^2=\frac{1}{n_1}\·\frac{1}{n_1-1}\underset{j=1}{\overset{n_1}{\mathrm{\Σ}}}{(\mathrm{\Δ}{y}_{1j}-{\mathrm{\μ}}_1)}^2---\left(12\right)$

其中：

为s₁下数据的平均值，n₁为其数据量，a₁和b₁分别为应力s₁下（8）中倒伽马分布的尺度参数和形状参数、μ₁和τ₁ ²分别为应力s₁下（7）中正态分布的均值及标准差，则由正态分布的性质得到应力s₁下d(s₁)·Δt的评估值为：

E(d(s₁)·Δt)＝u₁    （13）

2)应力s₂的先验分布

由（2）及加速模型中参数A、B的初值A₀和B₀，对于应力s_i和s_j，其加速模型的比值为：

p_ij＝d(s_i)/d(s_j)＝exp(-B₀·(1/s_i-1/s_j))（14）

若已知s_j下漂移系数与时间间隔的乘积服从的正态分布为：

d(s_j)·Δt～N(μ_j,τ_j ²)（15）

则由正态分布的性质得到：

d(s_i)·Δt＝p_ij·d(s_j)·Δt～N(p_ij·μ_j,p_ij ²·τ_j ²)（16）

σ不随应力和时间而改变，因此σ²·Δt的分布亦不随应力和时间而改变；

当由（14）得到应力s₂和s₁的退化率比值p₂₁后，将应力s₁数据所确定的参数分布超参数转化为应力s₂参数的先验分布，利用应力s_i和s_i-1下参数分布超参数的转化公式，若已知应力s_i-1的参数分布超参数分别为a_i-1、b_i-1、u_i-1、及应力s_i和s_i-1的退化率比值p_ii-1，则：

a_i0＝a_i-1            （17）

b_i0＝b_i-1            （18）

u_i0＝p_ii-1·u_i-i     （19）

${\mathrm{\τ}}_{i0}^2=p_{\mathrm{ii}-1}^2\·{\mathrm{\τ}}_{i-1}^2---\left(20\right)$

其中a_i0和b_i0分别为应力s_i下先验分布（8）中倒伽马分布的尺度参数和形状参数、u_i0和

分别为应力s₂下先验分布（7）中正态分布的均值及标准差，得到应力s₂下先验分布（8）中倒伽马分布的尺度参数和形状参数a₂₀和b₂₀，先验分布（7）中正态分布的均值及标准差u₂₀和

3)应力s₂的后验分布

后验分布中的超参数由以下公式确定：

$a_2={\mathrm{\α}}_{20}+\frac{n_2}{2}\left(\frac{1}{n_2}\underset{j=1}{\overset{n_2}{\mathrm{\Σ}}}{(\mathrm{\Δ}{y}_{2j}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_2})}^2\right)+\frac{n_2}{2}\frac{{(\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_2}-p_{21}\·\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_1})}^2}{n_2/n_1+1}---\left(21\right)$

$b_2=b_{20}+\frac{n_2}{2}---\left(22\right)$

其中：a₂和b₂分别为应力s₂下后验分布（8）中倒伽马分布的尺度参数和形状参数，n₂为应力s₂下的数据量，

为s₂下数据的平均值；

得到σ²·Δt的评估值：

$E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|\mathrm{\Δ}{y}_2)=\frac{a_2}{b_2-1}---\left(23\right)$

由σ²·Δt的评估值得到：

$u_2=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{\Δy}}_2}/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+u_{20}{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}---\left(34\right)$

${\mathrm{\τ}}_2^2=\frac{1}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt})+{{\mathrm{\τ}}_{20}}^{-2}}---\left(25\right)$

其中u₂和

分别为应力s₂下后验分布（7）中正态分布的均值及标准差，则应力s₂下d(s₂)·Δt的评估值为：

E(d(s₂)·Δt)＝u₂（26）

4)应力s_i的先验及后验分布的确定

通过应力s₂的先验及后验分布的确定过程，对于应力s_i，其先验及后验分布的确定过程如下：

已知应力s_i-1的后验分布超参数分别为a_i-1、b_i-1、u_i-1、

利用（6）对A₀和B₀进行修正，从而通过（14）、（17）、（18）、（19）、（20）便可得到应力s_i的先验分布中倒伽马分布的尺度参数a_i0和形状参数b_i0，正态分布的均值u_i0及标准差在此基础上结合以下公式：

$a_i={\mathrm{\α}}_{i0}+\frac{n_i}{2}\left(\frac{1}{n_i}\underset{j=1}{\overset{n_i}{\mathrm{\Σ}}}{(\mathrm{\Δ}{y}_{\mathrm{ij}}-\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_i})}^2\right)+\frac{n_i}{2}\frac{{(\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_i}-p_{\mathrm{ii}-1}\·\stackrel{\‾}{{\mathrm{\ΔY}}_{i-1}})}^2}{n_i/n_{i-1}+1}---\left(27\right)$

$b_i=b_{i0}+\frac{n_i}{2}---\left(28\right)$

$E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|\mathrm{\Δ}{y}_i)=\frac{a_i}{b_i-1}---\left(29\right)$

$u_i=\frac{\stackrel{\‾}{{\mathrm{\Δy}}_i}/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|\mathrm{\Δ}{y}_i)+u_{i0}{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|\mathrm{\Δ}{y}_i)+{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}---\left(30\right)$

${\mathrm{\τ}}_i^2=\frac{1}{1/E({\mathrm{\σ}}^2\·\mathrm{\Δt}|\mathrm{\Δ}{y}_i)+{{\mathrm{\τ}}_{i0}}^{-2}}---\left(31\right)$

E(d(s_i)·Δt)＝u_i    （32）

其中：

为s_i-1、s_i下数据的平均值，n_i-1、n_i为s_i-1、s_i下的数据量，a_i和b_i分别为应力s_i下后验分布（8）中倒伽马分布的尺度参数和形状参数，u_i和

分别为应力s_i下后验分布（7）中正态分布的均值及标准差；由此得到应力s_i的后验分布超参数以及所需的参数评估值；

步骤四、拟合加速模型参数的最终值

通过步骤三得到m个应力下的m个漂移系数与时间间隔的乘积评估值U＝(E(d(s₁)·Δt),E(d(s₂)·Δt),…E(d(s_m)·Δt))，由（2）得：

对式（33）通过最小二乘法拟合得到参数A、B的最终值

和

步骤五、评估产品的寿命及可靠度

通过加速模型参数A、B的最终值

和及（2）得到产品工作应力s₀的漂移系数d(s₀)，同时将最后一个应力所得到的σ²的评估值作为最终的评估值

将d(s₀)及

带入（4）中得到产品在某一寿命下的可靠度评估值。

2.根据权利要求1所述的一种基于漂移布朗运动的加速退化试验贝叶斯评估方法，其特征在于，还包括：当对于步进应力加速退化试验时，对每个样本分别评估，再最终拟合最后的结果，具体为：

若有h个样本，对于其中第k个样本，通过以下方法处理：

（a）通过（9）～（33）得到A、B的评估值

和

再对h组结果取平均值，从而得到最终值

和

（b）通过（9）～（32）得到第k个样本的m个应力下的m个漂移系数与时间间隔的乘积评估值U_k＝(E_k(d(s₁)·Δt),E_k(d(s₂)·Δt),…E_k(d(s_m)·Δt))，再对h组结果取平均值，从而得到最终值

和

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