CN108537423B - 一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种改进的核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法，包括以下步骤：以对数正态分布作为先验分布的运行失效和需求失效数据，利用Bayes公式的数学原理，结合特定电厂的样本信息，采用数值积分算法，计算得到Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布；以真实的后验分布为基础，生成后验数据；利用生成的后验数据，采用最小二乘拟合算法，得到后验分布为对数正态分布的后验参数。与传统的矩匹配和误差因子转化法相比，本发明计算出的后验对数正态分布与真实后验分布吻合的更好，拟合度最接近于1，进而解决了传统方法的计算结果误差偏大、不同转化方法的计算结果不一致的问题。

Description

一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法
技术领域
本发明涉及核电厂概率安全分析的可靠性数据处理技术，尤其涉及一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法。
背景技术
可靠性数据是核电厂开展概率安全分析的基础，其作为概率安全分析中故障树基本事件及事件树始发事件的输入参数，直接影响着核电厂的量化风险(例如堆芯损坏频率，大量放射性释放频率)。由于单个特定核电厂的设备失效样本容量小，运行核电厂的可靠性数据处理通常采用Bayes方法，即以通用数据为先验数据，以特定电厂的历史数据为样本数据，然后进行Bayes更新处理得到应用于特定核电厂概率安全分析定量化的后验参数。
对于先验分布是Gamma分布的运行失效和先验分布是Beta分布的需求失效，这两类失效数据的后验分布仍然是Gamma分布和Beta分布，经Bayes更新，后验参数是解析解，计算简单。
对于先验分布是对数正态分布的运行失效及需求失效，Bayes更新方法无法给出后验参数的解析解。目前核电厂的概率安全分析中，传统的做法，通常先将对数正态先验分布近似转化为Gamma/Beta先验分布，然后采用共轭先验的Bayes更新方法进行数据更新得到后验Gamma/Beta分布，最后再将后验Gamma/Beta分布近似转化为后验对数正态分布，见附图1。
传统的对数正态分布的Bayes方法将明显的引入两处误差：一处是处理先验分布时，将对数正态分布近似转化为Gamma分布/Beta分布；另一处是处理后验分布时，又将更新后的Gamma分布/Beta分布转化为对数正态分布。此外，先验对数正态转化成先验Gamma分布/Beta分布的方法多样，常用的有矩匹配法(均值和方差相同)，误差因子(EF)转化法(均值和95th/5th相同)，95th分位值法(均值和95th相同)。这些转化方法的共同点是利用转化前后的分布具备相同的两个特征量进行参数估计。由于不同核电厂采用的转化方法(特征量)不同，计算结果存在差异，且95th分位值法存在两个EF映射到一个超参数的问题。
因此，对于先验分布为对数正态分布的可靠性数据，需要一种可靠性数据处理的Bayes方法，以满足可靠性数据后验参数估计的准确性以及采用概率安全分析技术进行核电厂风险评价的可信性的要求。
发明内容
本发明的目的是提供一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法，以解决现有技术的计算结果误差偏大、不同转化方法的计算结果不一致的问题。
为实现上述目的，本发明采用的技术方案为：一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法，包含以下步骤：
(1)以对数正态分布作为先验分布的核电厂可靠性数据，完全利用Bayes公式的数学原理，结合特定电厂的样本信息，采用自适应Lobatto算法进行数值积分，计算得到Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布；
(2)以真实的后验分布为基础，程序生成若干后验数据；
(3)利用生成的后验数据，采用最小二乘拟合算法，得到后验分布为对数正态分布的后验参数。
进一步，步骤(1)中，以对数正态分布为先验分布可靠性数据，利用Bayes公式的数学原理，结合核电厂的样本信息，采用自适应Lobatto积分算法，计算Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布π(θ|x)，Bayes公式的数学原理为：
Figure GSB0000199705490000021
其中，
θ：待估参数；
Θ：待估参数空间；
x：样本信息；
π(θ)：待估参数的先验分布；
p(x|θ)：待估参数θ在给定值下的总体分布；
π(θ|x)：θ的条件分布，也称θ的后验分布；
h(x，θ)：考虑了先验信息、样本信息和总体分布信息的联合分布；
m(x)：x的边缘密度函数，采用自适应Lobatto积分算法计算；
Figure GSB0000199705490000022
进一步，步骤(2)中，利用步骤(1)计算的真实后验分布π(θ|x)产生m+n+1组后验数据(θi，yi＝π(θi|x)，i＝1，…，m+n+1)，其中包含1组后验分布的极大值、m组小于极大值的数据和n组大于极大值的数据。
进一步，步骤(3)中，利用步骤(2)中产生的m+n+1组后验数据，采用最小二乘算法，拟合出用于概率安全分析工程计算的后验对数正态分布的参数。最小二乘法原理如下：
Figure GSB0000199705490000031
其中，
Figure GSB0000199705490000032
后验分布为对数正态分布的参数；
θi，yi：步骤(2)生成的后验数据；
Figure GSB0000199705490000033
拟合的对数正态的后验分布。
Figure GSB0000199705490000034
的后验分布为：
Figure GSB0000199705490000035
更进一步，步骤(3)中计算拟合度指标R
Figure GSB0000199705490000036
R值越接近1，表明拟合的后验分布与真实后验分布的拟合程度越好。
本算法中，只有步骤(3)的拟合会带来拟合值和真实值的偏差。但这种偏差远小于传统方法中两次将对数正态分布和Gamma分布/Beta分布进行近似转化造成的偏差。
本发明的有益效果如下：
1)采用Bayes公式的数学原理，通过数值积分，得到Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布，避免了传统方法中对数正态先验分布和先验Gamma分布/Beta分布近似转化带来的误差。
2)以真实的后验数据为基础，拟合出后验对数正态分布，避免了传统方法中Gamma后验分布/Beta后验分布和对数正态后验分布近似转化带来的误差。
3)本方案中的后验对数正态分布是基于真实的后验分布，避免了传统方法中仅依据两个特征量进行分布的近似转化，进一步解决了不同特征量对应的不同转化方法造成计算的后验参数结果不一致的问题。
附图说明
此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本发明的一部分。本发明的实施实例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1为本发明背景技术中的传统核电厂先验分布为对数正态分布的Bayes方法流程图；
图2为本发明具体实施方式中的一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法流程图；
图3是本发明具体实施方式中的一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法实施图；
图4是本发明具体实施方式中的运行失效(先验分布，EF＝10，均值＝3.0E-6)的各种Bayes方法计算结果比较图；
图5是本发明具体实施方式中的运行失效(先验分布，EF＝6，均值＝4.2E-7)的各种Bayes方法计算结果比较图；
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的说明。
本发明的计算流程图参考图2，实施图参考图3，具体步骤如下：
(1)以对数正态分布为先验分布可靠性数据，利用Bayes公式的数学原理，结合核电厂的样本信息，采用自适应Lobatto积分算法，计算Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布。
Bayes公式的数学原理为：
Figure GSB0000199705490000041
其中，
θ：待估参数；
Θ：待估参数空间；
x：样本信息；
π(θ)：待估参数的先验分布；
p(x|θ)：待估参数θ在给定值下的总体分布；
π(θ|x)：θ的条件分布，也称θ的后验分布；
h(x，θ)：考虑了先验信息、样本信息和总体分布信息的联合分布；
h(x，θ)＝p(x|θ)π(θ) (7)
m(x)：x的边缘密度函数，采用自适应Lobatto积分算法计算。
Figure GSB0000199705490000051
对于核电厂概率安全分析的运行失效和需求失效样本，其先验分布都可以为对数正态分布。以运行失效样本为实例，
a)运行失效的先验分布为：
Figure GSB0000199705490000052
其中，
λ：失效率，为待估参数
μ：先验分布中的超参数；
σ：先验分布中的超参数。
核电厂概率安全分析中，先验分布为对数正态的分布通常给出均值(mean)和误差因子(EF)两个参数，先验分布中的超参数与均值/误差因子的关系为：
Figure GSB0000199705490000053
进一步有：
Figure GSB0000199705490000054
b)描述样本信息的总体分布为：
p(x|λ)＝e-λt(λt)x/x！ (12)
其中，
x：样本中的失效次数；
t：样本中的累计运行时间。
c)严格的经Bayes更新后的待估参数λ的后验分布为：
Figure GSB0000199705490000055
Figure GSB0000199705490000056
(13)式是严格的基于Bayes公式的待估参数λ的真实后验分布。本发明中采用自适应Lobatto算法计算边缘密度函数m(x)，然后得真实的后验分布π(λ|x)。
(2)以真实的后验分布为基础，程序生成若干后验数据。
后验数据生成的基本原理：利用步骤(1)中的真实后验分布π(λ|x)产生后验数据(λi，yi＝π(λi|x))共计m+n+1组，其中包含1组后验分布的极大值、m组小于极大值的数据和n组大于极大值的数据，具体算法如下：
a)计算后验分布的极大值；
b)小于极大值的区间，等间距选取m组数据；
c)大于极大值的区间，等间距选取n组数据；
(3)利用生成的后验数据，采用最小二乘拟合算法，得到后验分布为对数正态分布的后验参数。
利用步骤(2)中产生的m+n+1组后验数据，采用最小二乘算法，拟合出用于概率安全分析工程计算的后验对数正态分布的参数。最小二乘法原理如下：
Figure GSB0000199705490000061
其中，
Figure GSB0000199705490000062
后验分布为对数正态分布中的参数；
λi，yi：步骤(2)产生的后验数据；
Figure GSB0000199705490000063
拟合的对数正态的后验分布。
Figure GSB0000199705490000064
的后验分布为：
Figure GSB0000199705490000065
进一步计算拟合度指标R
Figure GSB0000199705490000066
R值越接近1，表明拟合的后验分布与真实后验分布的拟合程度越好。
(4)实例计算结果及比较
实例选取不同的对数正态先验分布与不同的运行失效样本。
实例1某蓄电池的运行失效：先验分布为对数正态分布，误差因子为10，均值为3.0E-6；故障次数为0，累计运行时间为2759400小时。实例1中的参数为EF＝10，均值＝3.0E-6，t＝2759400h，x＝0。
图4是本发明中的方法、矩匹配法以及误差因子转化法的计算结果对比图。图4中黑线是真实的后验曲线，红线是本发明中方法的计算结果，虚线(蓝色和蓝绿)是矩匹配法的计算结果，点化线(绿色和紫红)是误差因子转化法的计算结果，纵坐标选取了对数坐标。图4表明：矩匹配法得到的Gamma后验分布(蓝绿虚线)与真实后验曲线趋势相反，因此进一步更新得到的对数后验分布(蓝色虚线)也与真实后验曲线相差甚远；误差因子转化法得到的Gamma后验分布(绿色点化线)在运行失效率小于极值时，结果远大于真实后验曲线，进一步更新得到的对数后验分布(紫红点化线)与真实后验曲线也相差较远；与传统方法相比，本发明中的计算结果(红线)与真实后验曲线吻合的更好。
表1实例1的各种Bayes方法的拟合度比较
Bayes方法 本发明的方法 矩匹配法 误差因子转化法
拟合度R 0.93 -11.67 0.12
实例1的拟合度计算结果表明，本发明方法的拟合度与1接近，远好于矩匹配法和误差因子转化法的拟合度。
实例2某蓄电池的短路失效：先验分布为对数正态分布，误差因子为6，均值为4.2E-7，故障次数为1，累计运行时间为1024920小时。实例2中的参数为EF＝6，均值＝4.2E-7，t＝1024920h，x＝1。
图5是本发明中的方法、矩匹配法以及误差因子转化法的计算结果对比图。图5中黑线是真实的后验曲线，红线是本发明中方法的计算结果，虚线(蓝色和蓝绿)是矩匹配法的计算结果，点化线(绿色和紫红)是误差因子转化法的计算结果，纵坐标选取了对数坐标。图5表明：矩匹配法(蓝色虚线)和误差因子转化法(紫红点化线)的对数后验分布与真实后验曲线趋势一致，但是，矩匹配法得到的后验分布相对真实后验曲线较低，而误差因子转化法得到的后验曲线近似真实后验曲线的向右平移；与传统方法相比，本发明中的计算结果(红线)与真实后验曲线吻合的更好。
表2实例2的各种Bayes方法的拟合度比较
Bayes方法 本发明的方法 矩匹配法 误差因子转化法
拟合度R 0.96 0.92 0.80
实例2的拟合度计算结果表明，本发明方法的拟合度与1最接近，优于矩匹配法和误差因子转化法的拟合度。
(5)对于需求失效的样本，以对数正态分布为先验分布的可靠性数据处理的Bayes方法与以上运行失效的计算方法相同。不同之处仅在于需求失效的总体分布为：
Figure GSB0000199705490000081
其中，
p：需求失效概率；
n：需求次数；
x：n次需求下的失效次数。
在具体计算中，将步骤(1)中的样本信息的总体分布(12)式替换为(18)式即可，其他计算分析方法与运行失效的计算分析方法相同。

Claims (1)

1.一种核电厂对数正态分布可靠性数据处理的Bayes方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
(1)对于核电厂中总体分布为泊松分布的运行失效样本和总体分布为二项分布的需求失效样本，在以已知对数正态分布作为先验分布，计算对数正态后验分布的可靠性参数估计中，首先利用Bayes公式的数学原理，结合特定电厂的样本信息，采用数值积分算法，计算得到Bayes更新后的真实特定电厂数据的后验分布π(θ|x)，π(θ|x)的计算公式如下，
Figure FSB0000198858910000011
其中，θ为待估参数；Θ为待估参数空间；x为样本信息；π(θ)为待估参数的先验分布；p(x|θ)为待估参数θ在给定值下的总体分布；π(θ|x)为θ的后验分布；h(x，θ)为考虑了先验信息、样本信息和总体分布信息的联合分布；m(x)为样本x的边缘密度函数，m(x)的计算公式为
Figure FSB0000198858910000012
(2)以步骤(1)计算得到的真实后验分布为基础，生成m+n+1组后验数据(θi，yi＝π(θi|x)，i＝1，…，m+n+1)，其中m+n+1组后验数据中的1组后验数据是后验分布极大值处的后验数据，m组后验数据是后验分布中在小于极大值的区间等间距选取的m组后验数据，n组后验数据是后验分布中在大于极大值的区间等间距选取的n组后验数据；
(3)利用步骤(2)生成的m+n+1组后验数据，采用最小二乘拟合算法，得到后验分布为对数正态分布的可靠性参数。
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