CN113962520B - 一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于核电厂设备可靠性领域，具体公开了一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，包括S1、根据对数正态分布型设备失效的先验分布函数和实际电厂失效样本数据，按照贝叶斯公式，后验分布的λ概率密度函数；S2、计算积分区间；S3、计算后验分布函数中的积分项，从而得到不带积分项的后验分布函数；S4、拟合后验分布参数。本发明相比于工程上通用的转化法，本方法避免了对数正态分布转共轭分布所引入的转化误差，提高了计算准确性；同时通过估算后验分布函数积分区间大大简化了数值积分计算量，并采取防计算溢出处理方法，提高了计算速度和稳定性。

Description

一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法
技术领域
本发明涉及核电厂设备可靠性领域，具体为一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法。
背景技术
核电厂设备可靠性数据作为概率安全评价(PSA)的基础，直接影响核电厂PSA定量化分析结果。对于设备可靠性数据，电厂设计阶段PSA一般直接取自行业通用数据库，而电厂运行阶段PSA则需结合电厂实际运行情况对其进行更新。
可靠性数据的更新一般采用贝叶斯方法，即以更新前的数据作为先验分布，按实际运行失效数据进行贝叶斯更新从而得到后验分布。
对于先验分布为Gamma、Beta分布的设备失效数据，因其共轭函数特性，贝叶斯更新后的分布仍为共轭函数，能方便得到后验分布参数。但对于先验分布为对数正态分布(Lognormal)分布的设备失效数据，不具备共轭函数，贝叶斯更新后无法得到后验分布参数的解析解，在工程上往往先将对数正态分布转化为共轭分布再进行处理(简称转化法)。虽然转化法计算简单，但转化过程会引入较大误差。因此，针对核电厂对数正态分布形式的设备失效数据，需要一种快速、稳定、准确的贝叶斯更新数值计算方法以解决上述问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，以解决上述背景技术中提出的问题。
为实现上述目的，本发明提供如下技术方案：一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，包括如下具体步骤：。
S1、根据对数正态分布型设备失效的先验分布函数和实际电厂失效样本数据，按照贝叶斯公式，后验分布的λ概率密度函数：
其中，
f(λE)：在给定新证据E情况下，λ的概率密度函数(后验分布)；
f(λ)：在给定已有证据情况下，λ的概率密度函数(先验分布)；函数形式为对数正态分布，表达式如下：
其中，σ表示正态分布均值；μ表示正态分布方差；
L(Eλ)：在确定λ情况下，发生失效的概率(似然函数)，运行失效概率假设服从泊松分布，需求失效概率假设服从二项分布，表达式分别如下：
L(E|λ)＝e-λt(λt)x/x！ (3)
其中，x表示运行失效次数；t表示运行时间；
其中，k表示需求失效次数；n表示需求次数；
S2、对(1)式求导，得到后验分布函数极大值点所对应的λ值，记为λm；然后对(1)式的积分项的积分区间进行计算；因为核电厂设备可靠性高，失效概率λ较小，因此积分下限取接近0的小量，积分上限按正态分布中心偏离m个标准差选取，即exp(ln(λm)+σ2+mσ)，得到积分区间范围为(0,exp(ln(λm)+σ2+mσ]；因为经验数据的累计效应，后验分布σ值一般较先验分布变小，这里保守取后验分布的σ值等于先验分布，同时，确保积分覆盖区间，取m＝5作为参考值；
S3、确定积分区后，在积分区间等间隔取w个点，利用积分公式(如辛普森公式)，计算后验分布函数中的积分项，从而得到不带积分项的后验分布函数；为确保积分运算中不出现溢出，需对计算过程中的可能溢出项式做相应处理：
泊松分布公式计算形式转化为：
二项分布公式计算形式转化为：
S4、考虑核电厂概率安全评价过程中更关注均值(作为点估计值)和95％分位值(作为风险估计上限)，因此按均值和95％分位值相同原则对后验分布函数进行拟合，得到后验分布对数正态分布的参数值；拟合结果会得到两套参数值，取函数峰值接近λm的作为最终后验分布参数值。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明为核电厂对数正态分布设备失效数据处理提供了一种快速、稳定、准确的贝叶斯更新方法。相比于工程上通用的转化法，本方法避免了对数正态分布转共轭分布所引入的转化误差，提高了计算准确性；同时通过估算后验分布函数积分区间大大简化了数值积分计算量，并采取防计算溢出处理方法，提高了计算速度和稳定性。
附图说明
图1为本发明提出的针对核电厂对数正态分布设备失效数据进行贝叶斯更新的方法流程图。
图2为本发明提出的针对核电厂对数正态分布设备失效数据进行贝叶斯更新的具体实施图。
图3为本发明具体实施方式中的运行失效算例概率密度函数计算结果及比较。
图4为本发明具体实施方式中的运行失效算例累积分布函数计算结果及比较。
图5为本发明具体实施方式中的需求失效算例概率密度函数计算结果及比较。
图6为本发明具体实施方式中的需求失效算例累积分布函数计算结果及比较。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
请参阅图1-2，本发明提供一种技术方案：一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，包括如下具体步骤：。
S1、根据对数正态分布型设备失效的先验分布函数和实际电厂失效样本数据，按照贝叶斯公式，后验分布的λ概率密度函数：
其中，
f(λ|E)：在给定新证据E情况下，λ的概率密度函数(后验分布)；
f(λ)：在给定已有证据情况下，λ的概率密度函数(先验分布)；函数形式为对数正态分布，表达式如下：
其中，σ表示正态分布均值；μ表示正态分布方差；
L(E|λ)：在确定λ情况下，发生失效的概率(似然函数)，运行失效概率假设服从泊松分布，需求失效概率假设服从二项分布，表达式分别如下：
L(E|λ)＝e-λt(λt)x/x！ (3)
其中，x表示运行失效次数；t表示运行时间；
其中，k表示需求失效次数；n表示需求次数；
S2、对(1)式求导，得到后验分布函数极大值点所对应的λ值，记为λm；然后对(1)式的积分项的积分区间进行计算；因为核电厂设备可靠性高，失效概率λ较小，因此积分下限取接近0的小量，积分上限按正态分布中心偏离m个标准差选取，即exp(ln(λm)+σ2+mσ)，得到积分区间范围为(0,exp(ln(λm)+σ2+mσ]；因为经验数据的累计效应，后验分布σ值一般较先验分布变小，这里保守取后验分布的σ值等于先验分布，同时，确保积分覆盖区间，m可取5作为参考值；
S3、确定积分区后，在积分区间等间隔取w个点，利用积分公式(如辛普森公式)，计算后验分布函数中的积分项，从而得到不带积分项的后验分布函数；为确保积分运算中不出现溢出，需对计算过程中的可能溢出项式做相应处理：
泊松分布公式计算形式转化为：
二项分布公式计算形式转化为：
S4、考虑核电厂概率安全评价过程中更关注均值(作为点估计值)和95％分位值(作为风险估计上限)，因此按均值和95％分位值相同原则对后验分布函数进行拟合，得到后验分布对数正态分布的参数值；拟合结果会得到两套参数值，取函数峰值接近λm的作为最终后验分布参数值。
算例1：运行失效数据贝叶斯更新
已知设备1的先验分布符合Lognormal(μ＝-10.632，σ＝0.209)，现有运行失效统计数据如下：运行失效次数为20次，运行时间为5869904.9小时。
得到后验分布参数μ＝-11.765，σ＝0.119。图3和图4分别给出了运行失效算例概率密度分布函数和累积分布函数计算结果。图中点划线为先验分布曲线，长虚线为真实后验分布曲线，细实线为本方法计算得到的后验分布曲线，短虚线为方差转化法得到的后验分布曲线。
算例2：需求失效数据贝叶斯更新
已知设备2的先验分布符合Lognormal(μ＝-8.701，σ＝0.286)，现有需求失效统计数据如下：需求失效次数93次，需求次数为226129次。
按照本发明方法计算最终得到后验分布参数μ＝-7.911，σ＝0.101。图5和图6分别给出了需求失效算例概率密度分布函数和累积分布函数计算结果，并与转化法中的方差法的计算结果进行了比对。图中点划线为先验分布曲线，长虚线为真实后验分布曲线，细实线为本方法计算得到的后验分布曲线，短虚线为方差转化法得到的后验分布曲线。
以上算例表明，相比于方差转化法，本发明方法计算结果与真实后验分布曲线吻合的更好。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (4)

1.一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，其特征在于，包括如下具体步骤：
S1、根据对数正态分布型设备失效的先验分布函数和实际电厂失效样本数据，按照贝叶斯公式，后验分布的λ概率密度函数：
其中，
f(λ|E)：在给定新证据E情况下，λ的概率密度函数，即后验分布；
f(λ)：在给定已有证据情况下，λ的概率密度函数，即先验分布；函数形式为对数正态分布，表达式如下：
其中，σ表示正态分布均值；μ表示正态分布方差；
L(E|λ)：在确定λ情况下，发生失效的概率，运行失效概率假设服从泊松分布，需求失效概率假设服从二项分布，表达式分别如下：
L(E|λ)＝e-λt(λt)x/x！ (3)
其中，x表示运行失效次数；t表示运行时间；
其中，k表示需求失效次数；n表示需求次数；
S2、对(1)式求导，得到后验分布函数极大值点所对应的λ值，记为λm，然后对(1)式的积分项的积分区间进行计算；
S3、确定积分区后，在积分区间等间隔取w个点，利用积分公式，计算后验分布函数中的积分项，从而得到不带积分项的后验分布函数；
S4、按均值和95％分位值相同原则对后验分布函数进行拟合，得到后验分布对数正态分布的参数值。
2.根据权利要求1所述的一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，其特征在于：步骤S2中，在对(1)式的积分项的积分区间进行计算时，积分下限取接近0的小量，积分上限按正态分布中心偏离m个标准差选取，即：
exp(ln(λm)+σ2+mσ)，
得到积分区间范围为(0,exp(ln(λm)+σ2+mσ]；因为经验数据的累计效应，后验分布σ值一般较先验分布变小，这里保守取后验分布的σ值等于先验分布，同时，确保积分覆盖区间，取m＝5作为参考值。
3.根据权利要求1所述的一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，其特征在于：步骤S3中，为确保积分运算中不出现溢出，需对计算过程中的可能溢出项式做相应处理：
泊松分布公式计算形式转化为：
二项分布公式计算形式转化为：
4.根据权利要求1所述的一种核电厂对数正态分布贝叶斯更新的快速计算方法，其特征在于：步骤S4中拟合结果会得到两套参数值，取函数峰值接近λm的作为最终后验分布参数值。
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