CN101604346A - 惯性载荷作用下结构构型设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种惯性载荷作用下结构构型设计方法，其特点是对材料密度和杨氏模量分别采用线性和RAMP插值模型。该方法以结构整体刚度最大(即柔顺度最小)为目标，给定材料体积为约束，采用数学规划法或渐进结构优化方法进行惯性载荷作用下的结构构型设计。每次优化设计迭代中，计算得到目标函数灵敏度后进行灵敏度过滤。本发明的有益效果是，采用数学规划法和渐进结构优化方法获得一致的设计结果，与现有商业软件的设计结果相比提高了惯性载荷作用下结构的整体刚度。

Description

惯性载荷作用下结构构型设计方法

技术领域

本发明涉及一种结构构型设计方法，特别涉及惯性载荷作用下结构构型设计方法。

背景技术

惯性载荷是在加速度作用下产生的与结构质量直接相关的一种体积载荷，因此惯性载荷与材料的有无直接相关。根据加速度的形式不同，可分为线性加速度产生的惯性过载(包括结构自重)和旋转角速度作用下产生的离心力两种。惯性载荷作用下的结构优化设计具有重要的理论和应用价值。

惯性载荷作用下的结构构型优化设计主要有两种主要方式：数学规划法和渐进结构优化方法。数学规划法中如果材料插值模型采用常用的SIMP(Solid Isotropic Material withPenalization)模型，优化设计结果结构边界不清晰。

文献1“Bruyneel，M.and Duysinx，P.Note on topology optimization of continuum structuresincluding self-weight.Structural and Multidisciplinary Optimization.2005.29：245-256.”对SIMP模型进行了改进获得了清晰的设计结果。

参照图6、图7。数学规划法和渐进结构优化方法两类方法得到的构型设计结果具有明显差异。例如对纯自重作用两端固支梁，数学规划法的结果为典型的拱形结构，而渐进结构优化方法的结果由支撑点上方两根立柱以及连接立柱的细横梁构成。

文献2“Ansola，R.，Canales，J.and Tárrago，A.J.An efficient sensitivity computation strategyfor the evolutionary structural optimization(ESO)of continuum structures subjected to self-weightloads.Finite Elements in Analysis and Design.2006.42：1220-1230.”中，每一有限元单元的材料密度ρ_i和杨氏模量E_i，计算式分别为

ρ_i＝x_iρ₀

E_i＝x_iE₀

其中x_i为拓扑设计变量，i表示单元编号，ρ₀和E₀分别为实体材料密度和杨氏模量；同时将结构整体柔顺度的灵敏度计算式改为

$\frac{\∂C}{\∂x_i}=\frac{1}{x_i}(\frac{2v}{v_0}{F}_i^t{u}_i^T-{\mathrm{Sene}}_i)$

其中v和v₀分别为当前实体材料体积和设计空间体积，Sene_i为单元弹性应变能，F_i ^t和u_i分别为惯性载荷产生的单元节点力矢量和单元节点位移矢量。这一结构构型设计方法在灵敏度计算式中人为增加

项，强制修改灵敏度使渐进结构优化方法得到与数学规划法类似的拱形结构，虽然设计结果刚度有一定的提高，但处理方式缺乏理论基础。

发明内容

为了克服现有技术结构构型设计结果刚度差的不足，本发明提供一种惯性载荷作用下结构构型设计方法，采用材料插值模型方法和相应的数学规划法，以及渐进结构优化方法的设计流程，以结构整体刚度最大(即柔顺度C最小)为设计目标，可以提高惯性载荷作用下结构构型的刚度。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：惯性载荷作用下结构构型设计方法，其特点是包括以下步骤：

(a)建立设计空间有限元模型和拓扑设计变量初始值x_i，其中i表示单元编号；给定设计变初始值为x_i＝vf；给定实体材料密度和杨氏模量分别为ρ₀和E₀；给定惯性过载a或匀速旋转角速度ω；给定灵敏度过滤半径r^F；采用渐进结构优化方法时，给定每次迭代最大去除和增加单元体积上限RR和GR，前者大于后者；

(b)根据当前设计变量值，分别采用线性和RAMP材料插值模型计算每一有限元单元的材料密度ρ_i和杨氏模量E_i，更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；计算式分别为

ρ_i＝x_iρ₀

$E_i=\frac{x_i}{1+R(1-x_i)}{E}_0$

式中，R为给定参数，取值范围为[2，100]；

(c)从有限元分析结果中提取每一单元的弹性应变能Sene_i、惯性载荷产生的单元节点力矢量F_i ^t和单元节点位移矢量u_i，计算结构整体柔顺度C及其对每一设计变量的灵敏度S_i，计算式分别为

$C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$

$S_i=\frac{\∂C}{\∂x_i}=\frac{1}{x_i}(2F_i^t{u}_i^T-\frac{1+R}{1+R(1-x_i)}{\mathrm{Sene}}_i)$

(d)对任意单元i，以单元i的质心为圆心，半径为r_i ^F的圆作为单元i的过滤区域；所有质心位于该区域内的单元均参与单元i的灵敏度过滤；采用数学规划法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

采用渐进结构优化方法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i{V}_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

这里H_i，j计算式为

H_i，j＝r^F-d_i，j

d_i，j为单元i和j质心之间的距离；

(e)采用数学规划法时，根据当前设计变量值和灵敏度值，采用任意一种数学规划法对优化问题进行求解得到新的设计变量值；采用渐进结构优化方法时，将当前灵敏度值按照数值大小排序；在设计变量x_i＝1的单元中从灵敏度数值最大的单元开始，依次选择总体积不超过RR·v₀的单元令相应设计变量x_i＝0；在设计变量x_i＝0的单元中从灵敏度数值最小的单元开始，依次选择总体积不超过GR·v₀的单元令相应设计变量x_i＝1；

(f)重复步骤(b)至步骤(e)，采用数学规划法时，直至最近两次迭代计算得到结构整体柔顺度相对误差小于1％或达到预设的最大迭代次数；采用渐进结构优化方法时，直至当前vf与给定vf的相对误差小于1％。

本发明的有益效果是：由于采用材料插值模型方法和相应的数学规划法，以及渐进结构优化方法的设计流程，以结构整体刚度最大(即柔顺度C最小)为设计目标，提高了惯性载荷作用下结构构型的刚度。根据公式： $C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$ 计算，本发明的整体柔顺度为0.367W；采用商业软件Opti-Struc的设计结果采用相同公式计算得到的整体柔顺度为0.597W。由于结构整体刚度与柔顺度成倒数关系，即柔顺度越小结构整体刚度越大，因此本发明技术方案产生的效果整体刚度比采用商业软件Opti-Struc设计结果大30％以上。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1是实施例1采用数学规划法迭代步骤的设计结果图。

图2是实施例1采用渐进结构优化方法迭代步骤的设计结果图。

图3是实施例2的模型示意图。

图4是实施例2采用数学规划法迭代步骤的设计结果图。

图5是实施例2采用商业软件Opti-Struc的设计结果图。

图6为文献2中采用数学规划法的设计结果图。

图7为文献2中采用渐进结构优化方法的设计结果图。

具体实施方式

以下实施例参照图1～5。

实施例1：(1)将长宽分别为10cm和5cm的矩形平面结构划分为80×40的正方形网格；结构底边两端固支，仅考虑结构自重作用即竖直方向的惯性过载a＝9.8m/s²；给定vf＝0.4，实体材料为钢(即ρ₀＝7800kg/m³，E₀＝210GPa)；给定灵敏度过滤半径r^F＝0.2cm。采用渐进结构优化方法时，给定RR＝0.01和GR＝0.002。

(2)根据当前设计变量值及步骤(1)所设参数，给定R＝16，分别采用线性和RAMP(Rational Approximation of Material Properties)材料插值模型计算每一有限元单元的材料密度ρ_i和杨氏模量E_i，更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；计算式分别为

ρ_i＝x_iρ₀

$E_i=\frac{x_i}{1+R(1-x_i)}{E}_0$

(3)从有限元分析结果中提取单元弹性应变能Sene_i、单元节点力矢量F_i和单元节点位移矢量u_i等数据，根据以下公式计算结构整体柔顺度及其对每一设计变量的灵敏度

$C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$

$S_i=\frac{\∂C}{\∂x_i}=\frac{1}{x_i}(2F_i^t{u}_i^T-\frac{1+R}{1+R(1-x_i)}{\mathrm{Sene}}_i)$

(4)对结构整体柔顺度的灵敏度进行灵敏度过滤。采用数学规划法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

采用渐进结构优化方法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i{V}_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

这里H_i，j计算式为

H_i，j＝r^F-d_i，j

d_i，j为单元i和j质心之间的距离。

(5)采用数学规划法时或渐进结构优化方法时，分别根据步骤(4)进行优化计算新的设计变量值或进行单元设计变量更新。

(6)重复步骤(2)至步骤(5)，直至优化结束。

分别采用数学规划法和渐进结构优化方法，依据以上迭代步骤得到的自重作用下结构构型设计结果。显然，两种方法得到结构边界清晰且构型一致，均为拱形结构。

实施例2：(1)平面环状循环对称结构沿圆周方向划分为12个单胞，即12个单胞始终具有相同的构型；内外圆周半径分别为10cm和30cm，整个圆环划分为240×40的有限元网格；假设内圆周全部固定，载荷为作用在某一单胞对称轴上的切向集中载荷F＝50kN以及结构绕轴作500r/min匀速转动(即角速度ω＝52.36rad/s)所产生的离心力；给定vf＝0.4，实体材料为铝(即ρ₀＝2700kg/m³，E₀＝70GPa)；给定灵敏度过滤半径r^F＝0.8cm。

(2)根据当前设计变量值及步骤(1)所设参数，给定R＝8，分别采用线性和RAMP(Rational Approximation of Material Properties)材料插值模型计算每一有限元单元的材料密度ρ_i和杨氏模量E_i，更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；计算式分别为

ρ_i＝x_iρ₀

$E_i=\frac{x_i}{1+R(1-x_i)}{E}_0$

更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析。

(3)从有限元分析结果中提取单元弹性应变能Sene_i、单元节点力矢量F_i和单元节点位移矢量u_i等数据，根据以下公式计算结构整体柔顺度及其对每一设计变量的灵敏度

$C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$

$S_i=\frac{\∂C}{\∂x_i}=\frac{1}{x_i}(2F_i^t{u}_i^T-\frac{1+R}{1+R(1-x_i)}{\mathrm{Sene}}_i)$

(4)对结构整体柔顺度的灵敏度进行灵敏度过滤.采用数学规划法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

这里H_i，j计算式为

H_i，j＝r^F-d_i，j

d_i，j为单元i和j质心之间的距离。

(5)根据当前设计变量值和灵敏度值，采用数学规划法对优化问题进行求解得到新的设计变量值。

(6)重复步骤(2)至步骤(5)，直至最近两次迭代计算得到结构整体柔顺度相对误差小于1％。

采用数学规划法，依据以上迭代步骤得到离心力作用下结构构型设计结果，结构边界清晰、构型合理。根据公式

$C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$

计算得到优化结果的整体柔顺度为0.367W。同时，本实施例采用商业软件Opti-Struc的设计结果采用相同公式计算得到的整体柔顺度为0.597W。由于结构整体刚度与柔顺度成倒数关系，即柔顺度越小结构整体刚度越大，因此本发明技术方案的结果整体刚度比Opti-Struc大30％以上。

Claims (1)

1、一种惯性载荷作用下结构构型设计方法，其特征在于包括以下步骤：

(a)建立设计空间有限元模型和拓扑设计变量初始值x_i，其中i表示单元编号；给定设计变初始值为x_i＝vf；给定实体材料密度和杨氏模量分别为ρ₀和E₀；给定惯性过载a或匀速旋转角速度ω；给定灵敏度过滤半径r^F；采用渐进结构优化方法时，给定每次迭代最大去除和增加单元体积上限RR和GR，前者大于后者；

(b)根据当前设计变量值，分别采用线性和RAMP材料插值模型计算每一有限元单元的材料密度ρ_i和杨氏模量E_i，更新结构有限元模型中的相应材料属性并进行结构有限元分析；

计算式分别为

ρ_i＝x_iρ₀

$E_i=\frac{x_i}{1+R(1-x_i)}{E}_0$

式中，R为给定参数，取值范围为[2，100]；

(c)从有限元分析结果中提取每一单元的弹性应变能Sene_i、惯性载荷产生的单元节点力矢量F_i ^t和单元节点位移矢量u_i，计算结构整体柔顺度C及其对每一设计变量的灵敏度S_i，计算式分别为

$C=\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{Sene}}_i$

$S_i=\frac{\∂C}{{\∂x}_i}=\frac{1}{x_i}(2F_i^t{u}_i^T-\frac{1+R}{1+R(1-x_i)}{\mathrm{Sene}}_{\text{i}})$

(d)对任意单元i，以单元i的质心为圆心，半径为r_i ^F的圆作为单元i的过滤区域；所有质心位于该区域内的单元均参与单元i的灵敏度过滤；采用数学规划法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

采用渐进结构优化方法时过滤操作后的灵敏度S_i ^F计算式为

$S_i^F=\frac{\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{x}_j{H}_{i,j}{S}_j}{x_i{V}_i\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{H}_{i,j}}$

这里H_i，j计算式为

H_i，j＝r^F-d_i，j

d_i，j为单元i和j质心之间的距离；

(e)采用数学规划法时，根据当前设计变量值和灵敏度值，采用任意一种数学规划法对优化问题进行求解得到新的设计变量值；采用渐进结构优化方法时，将当前灵敏度值按照数值大小排序；在设计变量x_i＝1的单元中从灵敏度数值最大的单元开始，依次选择总体积不超过RR·v₀的单元令相应设计变量x_i＝0；在设计变量x_i＝0的单元中从灵敏度数值最小的单元开始，依次选择总体积不超过GR·v₀的单元令相应设计变量x_i＝1；

(f)重复步骤(b)至步骤(e)，采用数学规划法时，直至最近两次迭代计算得到结构整体柔顺度相对误差小于1％或达到预设的最大迭代次数；采用渐进结构优化方法时，直至当前vf与给定vf的相对误差小于1％。

Images