CN101202444A - 用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法。本发明直接将多相耦合输电线路转换为在相坐标下的节点分析模型—节点导纳矩阵。本发明由于采用应用矩阵微分方程理论，直接导出多相耦合输电线路在相坐标下的节点分析模型—节点导纳矩阵。并给出了计算节点导纳矩阵的一种直接算法，这种算法不需要对Γ＝(ZY)^1/2矩阵进行对角化，从而避免了采用相—模变换方法所带来的麻烦。本发明的多相耦合输电线路的非解耦方法具有适应性广，可直接应用于分析电力网络，本发明是一种适应性广，可大大降低计算工作量，效率高的用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法。

Description

用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法

技术领域：

本发明是一种用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，属于多相耦合输电线路的解耦方法的创新技术。

背景技术：

输电线路是电力系统中最基本最大量的元件，如何有效地模拟输电线路是电力系统计算的重要一环。以往用相坐标法进行电力系统计算时，对多相耦合输电线路的模拟经常采用两种模型：一种是不考虑分布参数效应的与单相输电线路常规π模型相类似的常规矩阵π模型；另一种模型是考虑分布参数效应的精确矩阵π模型。而该两种方法存在的缺点是适应性差，计算烦琐，工作量较大，效率低。

发明内容：

本发明的目的在于考虑上述问题而提供一种适应性广，大大降低计算工作量，效率高的用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法。

本发明的技术方案是：本发明用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，其直接将多相耦合输电线路转换为在相坐标下的节点分析模型-节点导纳矩阵。

上述节点分析模型的建立方法为：

设输电线路包括有n相，其中，

和

分别为送端、受端和距送端x处的各相电流组成的n维列向量；_S，_R和_ph分别为送端、受端和距送端x处的各相对地电压组成的n维列向量，则多相输电线路特性的频域方程为：

$-\frac{d{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}=Z{\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}---\left(1\right)$

$-\frac{d{\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}=Y{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(2\right)$

上式中，Z和Y分别为线路单位长度串联阻抗矩阵和并联导纳矩阵。由式(1)和(2)可推得：

$-\frac{d^2{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{d^{2}x}=\mathrm{ZY}{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(3\right)$

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}=-Z^{-1}\frac{d{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}---\left(4\right)$

令Γ²＝ZY   (5)

求解方程(3)有：

${\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ph}}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& e^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中，C₁，C₂是n维常数列向量，由方程(4)可得：

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& {-e}^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(7\right)$

由边界条件：

x＝0时，_ph＝_S ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_S$

x＝l时，_ph＝_R ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_R$

代入方程(6)和(7)可得

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

上二式中，I为n阶单位矩阵，下文同。由(8)和(9)，可推得：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-e^{-\mathrm{\Γl}}& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& \\ & \frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}& -Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\\ {-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]---\left(10\right)$

上式即为节点分析模型，导纳矩阵为

$Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_s& Y_m\\ Y_m& Y_s\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中，

Y_s＝Z^-1Γsh^-1Γl·chΓl    (12)

Y_m＝-Z^-1Γsh^-1Γl          (13)

其中Y_s为自导纳矩阵，Y_m为互导纳矩阵。

上述节点分析模型的计算方法为：

根据矩阵分析理论，对于任意复方阵A，无穷级数

$\mathrm{shA}=A+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^5}{5!}+\frac{A^7}{7!}+\·\·\·$

和 $\mathrm{chA}=I+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^4}{4!}+\frac{A^6}{6!}+\·\·\·$

绝对收敛。因此

$\mathrm{sh\Γl}=\mathrm{\Γl}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^5}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^7}{7!}+\·\·\·$

故 ${\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{\Γl}\right)}^{-1}{[I+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^2}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^4}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^6}{7!}+\·\·\·]}^{-1}$

因此

$Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}{[I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{3!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{5!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{7!}+\·\·\·]}^{-1}---\left(14\right)$

同理

$\mathrm{ch\Γl}=I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{2!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{4!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{6!}+\·\·\·---\left(15\right)$

因此，计算自导纳矩阵Y_s和互导纳矩阵Y_m的主要工作是计算式(14)和式(15)方括号中的无穷级数，当式(14)方括号中的无穷级数只取第1项，式(15)方括号中的无穷级数只取前两项时，Y_s和Y_m分别为

$Y_s={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}+\frac{1}{2}\left(\mathrm{Yl}\right)---\left(16\right)$

Y_m＝(Zl)^-1    (17)

所述模型退化为不计分布参数效应的常规矩阵π模型。对于一般长度的输电线路，工频情况下计算上述无穷级数时，只要取前4～5项即能保证有4～5位的有效位数；如考虑的频率较高，则所取项数也应增加，项数控制的原则是这样确定的：因为两个无穷级数的首项皆为单位矩阵，因此，只要从某项开始，其对应的矩阵比单位矩阵小很多，即可取到该项为止。矩阵大小的度量可以采用任意一种矩阵范数，而误差限的取值则视要求的计算精度而定。

本发明由于采用应用矩阵微分方程理论，直接导出多相耦合输电线路在相坐标下的节点分析模型-节点导纳矩阵。并给出了计算节点导纳矩阵的一种直接算法，这种算法不需要对Γ＝(ZY)^1/2矩阵进行对角化，从而避免了采用相-模变换方法所带来的麻烦。本发明的多相耦合输电线路的非解耦方法具有适应性广，可直接应用于分析电力网络，本发明是一种适应性广，可大大降低计算工作量，效率高的用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法。

附图说明：

图1为本发明多相耦合输电线路的示意图。

具体实施方式：

实施例：

本发明用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，其直接将多相耦合输电线路转换为在相坐标下的节点分析模型-节点导纳矩阵。

上述节点分析模型的建立方法为：

设考虑的n相输电线路如附图1所示。其中，

和分别为送端、受端和距送端x处的各相电流组成的n维列向量；_S，_R和_ph分别为送端、受端和距送端x处的各相对地电压组成的n维列向量。描述多相输电线路特性的频域方程为：

$-\frac{d{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}=Z{\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}---\left(1\right)$

$-\frac{d{\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}=Y{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(2\right)$

上式中，Z和Y分别为线路单位长度串联阻抗矩阵和并联导纳矩阵。由式(1)和(2)可推得：

$-\frac{d^2{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{d^{2}x}=\mathrm{ZY}{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(3\right)$

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}=-Z^{-1}\frac{d{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}---\left(4\right)$

令Γ²＝ZY   (5)

求解方程(3)有：

${\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ph}}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& e^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中，C₁，C₂是n维常数列向量，由方程(4)可得：

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& {-e}^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(7\right)$

由边界条件：

x＝0时，_ph＝_S ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_S$

x＝l时，_ph＝_R ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_R$

代入方程(6)和(7)可得

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& {-e}^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

上二式中，I为n阶单位矩阵，下文同。由(8)和(9)，可推得：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-e^{-\mathrm{\Γl}}& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& \\ & \frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}& -Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\\ {-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]---\left(10\right)$

上式即为节点分析模型，导纳矩阵为

$Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_s& Y_m\\ Y_m& Y_s\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中，

Y_s＝Z^-1Γsh^-1Γl·chΓl    (12)

Y_m＝-Z^-1Γsh^-1Γl          (13)

因此现在的关键问题是如何计算自导纳矩阵Y_s和互导纳矩阵Y_m。

根据矩阵分析理论，对于任意复方阵A，无穷级数

$\mathrm{shA}=A+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^5}{5!}+\frac{A^7}{7!}+\·\·\·$

和 $\mathrm{chA}=I+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^4}{4!}+\frac{A^6}{6!}+\·\·\·$

绝对收敛。因此

$\mathrm{sh\Γl}=\mathrm{\Γl}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^5}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^7}{7!}+\·\·\·$

故 ${\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{\Γl}\right)}^{-1}{[I+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^2}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^4}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^6}{7!}+\·\·\·]}^{-1}$

因此

$Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}{[I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{3!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{5!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{7!}+\·\·\·]}^{-1}---\left(14\right)$

同理

$\mathrm{ch\Γl}=I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{2!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{4!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{6!}+\·\·\·---\left(15\right)$

因此，计算自导纳矩阵Y_s和互导纳矩阵Y_m的主要工作是计算式(14)和式(15)方括号中的无穷级数。当式(14)方括号中的无穷级数只取第1项，式(15)方括号中的无穷级数只取前两项时，Y_s和Y_m分别为

$Y_s={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}+\frac{1}{2}\left(\mathrm{Yl}\right)---\left(16\right)$

Y_m＝(Zl)^-1  (17)

所述模型退化为不计分布参数效应的常规矩阵π模型。对于一般长度的输电线路，工频情况下计算上述无穷级数时，只要取前4～5项即能保证有4～5位的有效位数。如考虑的频率较高，则所取项数也应增加，项数控制的原则是这样确定的：因为两个无穷级数的首项皆为单位矩阵，因此，只要从某项开始，其对应的矩阵比单位矩阵小很多，即可取到该项为止。矩阵大小的度量可以采用任意一种矩阵范数，而误差限的取值则视要求的计算精度而定。

根据上述方法，具体线路导纳矩阵计算实例如下：

某输电系统由同杆架设的一回三相交流线路(a、b、c)和一回双极直流线路(d、e)构成。假设送端系统和受端系统容量充分大并装有完善的滤波装置，可以作为无穷大系统看待。已知换流站出口12次谐波电压值如表1所示，换流站的内电感皆为200mH，要求计算本输电系统中送端和受端各相/极的12次谐波电流。

表1  各换流器的12次谐波电压有效值和相位(kV)

整流侧正极对地电压	整流侧负极对地电压	逆变侧正极对地电压	逆变侧负极对地电压
				30∠0°	30∠180°	40∠30°	40∠210°

已知输电系统全长300km，消去地线后构成的5相耦合线路系统参数矩阵为

计算时输电线路的模拟分别采用了：(1)常规矩阵π模型多级级联；(2)基于相-模变换法的精确矩阵π模型；(3)本发明提出的计算线路导纳矩阵的直接算法。三种模型的计算结果列于表2。

表2同杆架设交直流耦合线路谐波计算结果(kA)

相/极	常规矩阵π模型多级级联			相-模变换法	本发明算法
						20级π	40级π	50级π
	送  abcd端  e	0.04230∠62.52°	0.04351∠67.25°						0.04370∠68.15°	0.04384∠68.88°	0.04384∠68.88°
0				0	0	0	0
		0.04230∠-117.48°	0.04351∠-112.75°					0.04370∠-111.85°	0.04384∠-111.12°	0.04384∠-111.12°
0.3938∠-118.04°				0.4042∠-113.04°	0.4058∠-112.09°	0.4070∠-111.33°	0.4070∠-111.33°
		0.3938∠61.98°	0.4042∠66.96°					0.4058∠67.91°	0.4070∠68.67°	0.4070∠68.67°
受  abcd端  e				0.03458∠-133.57°	0.03480∠-127.42°	0.03481∠-126.25°	0.03480∠-125.31°				0.03480∠-125.31°
	0	0	0					0	0
				0.03458∠46.43°	0.03480∠52.58°	0.03480∠53.75°	0.03480∠54.69°			0.03480∠54.69°
	0.3423∠52.34°	0.3470∠58.29°	0.3476∠59.42°					0.3479∠60.34°	0.3479∠60.34°
				0.3423∠-127.66°	0.3470∠-121.71°	0.3476∠-120.58°	0.3479∠-119.66°			0.3479∠-119.66°

由表2可见，采用本发明直接计算输电线路导纳矩阵的方法与基于相-模变换的精确矩阵π模型所得的计算结果完全一致。而如果采用多级常规矩阵π模型级联的方法，即使采用了60级π模型相级联，所得的计算结果仍然与精确模型有一定的差别。

上述节点分析模型应用于大型电力网络的分析计算为：

大型电力网络分析计算的基本方法是节点分析法，这一方面是因为该方法非常简单，更重要的是使用该方法后可充分利用稀疏矩阵技术以节省计算机内存。当考虑的电力网络不含多相耦合元件时，节点方程的形成可以通过支路扫描法或称添加支路法很方便地实现。当考虑的电力网络含有耦合元件时，节点方程的形成仍可通过逐个添加网络元件的方法实现。例如添加一条多相耦合输电线路时，该耦合输电线路作为一个网络元件对整个网络的节点导纳矩阵Y的影响可以用如下增量来表示：

这里S₁…S_n和R₁…R_n分别为送端各相节点号和受端各相节点号，Y_s、T_m的意义见式(12)、(13)。而该网络元件对整个网络节点方程的右端矢量没有作用。

Claims (3)

1.一种用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，其特征在于直接将多相耦合输电线路转换为在相坐标下的节点分析模型-节点导纳矩阵。

2.根据权利要求1所述的用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，其特征在于上述节点分析模型的建立方法为：

设输电线路包括有n相，其中，

和

分别为送端、受端和距送端x处的各相电流组成的n维列向量；_S，_R和_ph分别为送端、受端和距送端x处的各相对地电压组成的n维列向量，则多相输电线路特性的频域方程为：

$-\frac{{d\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}={Z\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}---\left(1\right)$

$-\frac{{d\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}={Y\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(2\right)$

上式中，Z和Y分别为线路单位长度串联阻抗矩阵和并联导纳矩阵。由式(1)和(2)可推得：

$-\frac{d^2{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{d^{2}x}={\mathrm{ZY}\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}---\left(3\right)$

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}=-Z^{-1}\frac{d{\stackrel{.}{U}}_{\mathrm{ph}}}{\mathrm{dx}}---\left(4\right)$

令Γ²＝ZY   (5)

求解方程(3)有：

${\stackrel{\·}{U}}_{\mathrm{ph}}=\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& e^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(6\right)$

其中，C₁，C₂是n维常数列向量，由方程(4)可得：

${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}\left[\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{\Γx}}& {-e}^{-\mathrm{\Γx}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(7\right)$

由边界条件：

x＝0时，_ph＝_S ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_S$

x＝l时，_ph＝_R ${\stackrel{.}{I}}_{\mathrm{ph}}={\stackrel{.}{I}}_R$

代入方程(6)和(7)可得

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(8\right)$

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& {-e}^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\end{array}\right]---\left(9\right)$

上二式中，I为n阶单位矩阵，下文同。由(8)和(9)，可推得：

$\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{I}}_S\\ {\stackrel{.}{I}}_R\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}& \\ & Z^{-1}\mathrm{\Γ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-I& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -e^{-\mathrm{\Γl}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-e^{-\mathrm{\Γl}}& I\\ e^{\mathrm{\Γl}}& -I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& \\ & \frac{1}{2}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_s\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}{Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}& -Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\\ {-Z}^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}& Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}\·\mathrm{ch\Γl}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\stackrel{.}{U}}_S\\ {\stackrel{.}{U}}_R\end{array}\right]---\left(10\right)$

上式即为节点分析模型，导纳矩阵为

$Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_s& Y_m\\ Y_m& Y_s\end{array}\right]---\left(11\right)$

其中，

Y_s＝Z^-1Γsh^-1Γl·chΓl    (12)

Y_m＝-Z^-1Γsh^-1Γl          (13)

其中Y_s为自导纳矩阵，Y_m为互导纳矩阵。

3.根据权利要求1所述的用于多相耦合输电线路的稳态非解耦方法，其特征在于上述节点分析模型的计算方法为：

根据矩阵分析理论，对于任意复方阵A，无穷级数

$\mathrm{shA}=A+\frac{A^3}{3!}+\frac{A^5}{5!}+\frac{A^7}{7!}+\·\·\·$

和 $\mathrm{chA}=I+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^4}{4!}+\frac{A^6}{6!}+\·\·\·$

绝对收敛。因此

$\mathrm{sh\Γl}=\mathrm{\Γl}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^3}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^5}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^7}{7!}+\·\·\·$

故 ${\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{\Γl}\right)}^{-1}{[I+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^2}{3!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^4}{5!}+\frac{{\left(\mathrm{\Γl}\right)}^6}{7!}+\·\·\·]}^{-1}$

因此

$Z^{-1}\mathrm{\Γ}{\mathrm{sh}}^{-1}\mathrm{\Γl}={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}{[I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{3!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{5!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{7!}+\·\·\·]}^{-1}---\left(14\right)$

同理

$\mathrm{ch\Γl}=I+\frac{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}{2!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^2}{4!}+\frac{{(\mathrm{Zl}\·\mathrm{Yl})}^3}{6!}+\·\·\·---\left(15\right)$

因此，计算自导纳矩阵Y_s和互导纳矩阵Y_m的主要工作是计算式(14)和式(15)方括号中的无穷级数，当式(14)方括号中的无穷级数只取第1项，式(15)方括号中的无穷级数只取前两项时，Y_s和Y_m分别为

$Y_s={\left(\mathrm{Zl}\right)}^{-1}+\frac{1}{2}\left(\mathrm{Yl}\right)---\left(16\right)$

Y_m＝(Zl)^-1    (17)

所述模型退化为不计分布参数效应的常规矩阵π模型。对于一般长度的输电线路，工频情况下计算上述无穷级数时，只要取前4～5项即能保证有4～5位的有效位数；如考虑的频率较高，则所取项数也应增加，项数控制的原则是这样确定的：因为两个无穷级数的首项皆为单位矩阵，因此，只要从某项开始，其对应的矩阵比单位矩阵小很多，即可取到该项为止。矩阵大小的度量可以采用任意一种矩阵范数，而误差限的取值则视要求的计算精度而定。

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