CN101196394A - 小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法。本方法是通过测量圆的一小段圆弧上的若干测量点的坐标，求解出圆心坐标，由求得的圆心坐标求出最小二乘半径，最后求出圆的圆度误差。本发明能够更准确地找到圆心，从而所拟合的圆就更好的反映了圆的真实情况，提高了计算的精度和可靠度。

Description

小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法

技术领域

本发明涉及一种对圆度误差的精确评价方法，特别是用在名义半径已知的前提下，对精密测量中小段圆弧圆度误差的精确评价方法。

背景技术

在现代制造业，特别是精密制造过程中，人们对零件加工和装配的精度要求越来越高，这就要求与之相适应的精密测量技术，能够准确的测量和评价各种特征。随着计算机技术的飞速发展及其在精密测量技术中的应用，测试技术也上了一个新的台阶。在精密测量中，圆的几何特征参数的测量及评定是最基本、也是最主要的测量内容之一。

圆度误差是指圆形零件在与其轴线垂直的平面内表面形状的不圆程度，它属于宏观几何形状误差。对于圆弧的测量和评价，现在用的比较多的方法是最小二乘法，在通常的状况下，最小二乘法是能够准确对圆径行的评价。但当所要测量的圆弧只占整圆的一小部分(附图1比如说10°)时，传统最小二乘法就不能很好的评价这个圆。若用传统最小二乘法去拟合这些点以得到圆的半径及圆心坐标，此时圆弧仅是圆的一部分，因为坐标测量机或其它测量设备总有一定的不确定度，所以这些圆的参数也会存在相关的不确定度，此时由局部圆弧所决定的不确定度相对于覆盖整个圆弧的不确定度会大得多。

我们所测量的局部圆弧是对应于一个圆的一个中心角的，假设均匀测量8个点。设想圆弧缩短了一半，那么中心角也为原来的一半，若仍均匀采8点，但覆盖了较短的圆弧，此时所计算得到的半径的不确定度增加为原来的4倍，而中心坐标也有了较大的变化，实践证明在中心角为80°以内均是这样。

如果一段圆弧对应中心角为80°，另一段圆弧中心角为5°那么结果非常明显，后者半径的不确定度为前者的250倍。如果一个测量设备的不确定度是5μm，那么最后所得到的圆的不确定度就是1.25mm，在精密测量中，这种情况是不允许出现的。

发明内容

本发明的目的在于提供一种小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法，能够精确评价小段圆弧圆度。

为达到上述目的，本发明的构思是：在传统最小二乘法的基础上找到一种拟合圆的新方法，该新的算法能够很好的反映小段圆弧的真实情况：可以简单分析一下传统最小二乘法在拟合小段圆弧不准确的原因，如果测量数据都是真值的情况下，用传统的最小二乘法拟合可以获得理想的结果；但是测量仪器存在不确定度，如果测量点仅仅分布在小段圆弧上，采用传统最小二乘法拟合圆的时候就会把不确定度放大，造成拟合圆圆心存在较大偏差，并导致拟合圆半径与真值之间产生较大的偏差，从而不能准确计算出被测量小段圆弧的圆度误差。因此本发明就采用一种新的算法，目的是找到一个比较准确的圆心，从而能精确的评价小段圆弧，本算法宏观描述是这样的：

精密测量中，在名义半径给定的情况下，就可以用一个半径大小等于被测量圆弧名义半径的圆来靠近这些测量的点，在各点偏差(最小二乘偏差)最小的情况下，这个圆的圆心就确定了。然后再利用这些点和所得的圆心来评价整个圆，这样拟合出来的圆能更好的反映了小段圆弧的实际情况。优化的最小二乘法详细的数学推导过程如下：

圆的一般方程可表示为：

(x-a)²+(y-b)²＝r²    (1)

式中(a，b)表示圆的圆心坐标，r表示半径。其偏差为：

δ_i＝(x_i-a)²+(y_i-b)²-r²    (2)

式中(x_i，y_i)表示第i个测量点坐标，δ_i表示第i个点偏差的平方。根据最小二乘法原理，优化目标函数是：

$Q=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\δ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{[{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2-r^2]}^2---\left(3\right)$

式中n表示测量点的个数。式(3)分别对a，b，r求偏导数，则有下式：

$\frac{\∂Q}{\∂a}=\frac{\∂Q}{\∂b}=\frac{\∂Q}{\∂r}=0---\left(4\right)$

优化的最小二乘法，目标解是要使Q取得最小值。当名义半径是已知的情况下，式(4)变化为：

$\frac{\∂Q}{\∂a}=\frac{\∂Q}{\∂b}=0---\left(5\right)$

即：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2[{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2-r^2]g2(x_i-a)(-1)=0\\ \underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}2[{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2-r^2]g2(y_i-a)(-1)=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

经过进一步的整理运算得到如下方程组：

$\left\{\begin{array}{c}((m\left(5\right)+m\left(7\right)-r^{2}m\left(1\right))+(r^2-m\left(4\right)-3*m\left(2\right))a\\ +3m\left(1\right)a^2-a^3-2m\left(9\right)b+m\left(1\right)b^2+2\mathrm{abm}\left(3\right)-{\mathrm{ab}}^2=0\\ ((m\left(6\right)+m\left(8\right)-r^{2}m\left(3\right))+(r^2-m\left(2\right)-3*m\left(4\right))b\\ +3m\left(3\right)b^2-b^3-2m\left(9\right)a+m\left(3\right)a^2+2\mathrm{abm}\left(1\right)-a^{2}b=0\end{array}\right.----\left(7\right)$

式中：

式中(x_i，y_i)表示测量点的第i个点的坐标，n为测量点的个数；

由方程(7)解出圆心坐标后，再由如下公式即可求得最小二乘半径：

$r=\sqrt{a^2-2m\left(1\right)a+b^2-2m\left(3\right)b+m\left(2\right)+m\left(4\right)}---\left(9\right)$

同样在求得圆心后，可以得出每一个测量点处的半径如下式：

$r_i=\sqrt{{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2}---\left(10\right)$

式中r_i表示第i个测量点处相对于所求圆心的半径。

然后再由下式求出每一测量点的半径偏差：

Err_i＝r_i-r    (11)

式中Err_i表示每一点处的半径偏差。

最后一步是圆度评价，根据圆度误差定义，最大偏差与最小偏差的代数差就是圆度误差如式：

Err＝Err_max-Err_min    (12)

式中Err表示圆度误差，Err_max表示各点误差的最大值，Err_min表示各点误差的最小值。

根据上述的发明构思，本发明采用下述技术方案：

一种小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法，其特征在于通过测量圆的一小段圆弧上的若干测量点的坐标，求解出圆心坐标，由求解所得到的圆心坐标求出最小二乘半径，最后求出圆的圆度误差。

上述评价方法的具体步骤为：

a)在小段圆弧上的若干点上测量出的各个测量点的坐标，计算m(1)～m(9)的值

式中(x_i，y_i)表示测量点的坐标，n为测量点的个数；

b)再由求出的m(1)～m(9)的值，按如下方程求解出圆心坐标：

$\left\{\begin{array}{c}((m\left(5\right)+m\left(7\right)-r^{2}m\left(1\right))+(r^2-m\left(4\right)-3*m\left(2\right))a\\ +3m\left(1\right)a^2-a^3-2m\left(9\right)b+m\left(1\right)b^2+2\mathrm{abm}\left(3\right)-{\mathrm{ab}}^2=0\\ ((m\left(6\right)+m\left(8\right)-r^{2}m\left(3\right))+(r^2-m\left(2\right)-3*m\left(4\right))b\\ +3m\left(3\right)b^2-b^3-2m\left(9\right)a+m\left(3\right)a^2+2\mathrm{abm}\left(1\right)-a^{2}b=0\end{array}\right.$

式中(a，b)表示圆的圆心坐标；

c)由求出的圆心坐标求出最小二乘半径：

$r=\sqrt{a^2-2m\left(1\right)a+b^2-2m\left(3\right)b+m\left(2\right)+m\left(4\right)}$

式中r表示圆的最小二乘半径；

d)最后求出圆的圆度误差：

①由求得的圆心坐标，按下式求得每一个测量点的半径：

$r_i=\sqrt{{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2}$

式中r_i表示每一个测量点相对于所求圆心的半径；

②由下式求出每一个测量点的半径偏差：

Err_i＝r_i-r

③最后对圆度评价，按下式求出圆度误差：

Err＝Err_max-Err_min

式中Err_max和Err_min是所求得的Err_i中的最大值和最小值。

本发明与现有的技术相比较，具有显而易见的突出实质性特点和显著有点：

本发明采用优化的最小二乘法来准确拟合和评价只能测量到一小段圆弧的圆，能够准确得出所测量圆的圆心坐标，从而得到准确的半径，反映圆的真实情况，提高圆度误差评价的精度和可靠性。

附图说明

图1是小段圆弧测量评价整圆的示意图；

图2是优化的最小二乘法与传统最小二乘法比较图；

图3是本发明评价方法步骤流程图。

具体实施方式

本发明的一个实施过程结合附图详述如下：

参见图3，本小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法，其评价步骤为：首先要通过测量设备测量出能够测量到的圆弧上的各点坐标；然后根据测量的值来计算m(1)～m(9)的值；再解方程(7)从而得出圆心坐标；再由式(8)得出圆的最小二乘半径；最后由式(9)、式(10)和式(11)即可以计算出圆的圆度误差。

具体评价步骤为：

a)参见图1，在小段圆弧(中心角为β，为10°)上的8个点上测量出各测量点的坐标，计算m(1)～m(9)的值

式中(x_i，y_i)表示测量点的坐标，n为测量点的个数；

b)再由求出的m(1)～m(9)的值，按如下方程求解出圆心坐标：

$\left\{\begin{array}{c}((m\left(5\right)+m\left(7\right)-r^{2}m\left(1\right))+(r^2-m\left(4\right)-3*m\left(2\right))a\\ +3m\left(1\right)a^2-a^3-2m\left(9\right)b+m\left(1\right)b^2+2\mathrm{abm}\left(3\right)-{\mathrm{ab}}^2=0\\ ((m\left(6\right)+m\left(8\right)-r^{2}m\left(3\right))+(r^2-m\left(2\right)-3*m\left(4\right))b\\ +3m\left(3\right)b^2-b^3-2m\left(9\right)a+m\left(3\right)a^2+2\mathrm{abm}\left(1\right)-a^{2}b=0\end{array}\right.$

式中(a，b)表示圆的圆心坐标；

c)由求出的圆心坐标求出最小二乘半径：

$r=\sqrt{a^2-2m\left(1\right)a+b^2-2m\left(3\right)b+m\left(2\right)+m\left(4\right)}$

式中r表示圆的最小二乘半径；

d)最后求出圆的圆度误差：

①由求得的圆心坐标，按下式求得每一个测量点的半径：

$r_i=\sqrt{{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2}$

式中r_i表示每一个测量点相对于所求圆心的半径；

②由下式求出每一个测量点的半径偏差：

Err_i＝r_i-r

③最后对圆度评价，按下式求出圆度误差：

Err＝Err_max-Err_min

式中Err_max和Err_min是所求得的Err_i中的最大值和最小值。

从附图2可以看出，在所测量圆弧很短的情况下，优化的最小二乘法所求得的半径比传统的最小二乘法所求得的半径真实，由此而得到了能相对准确评价这个圆的半径和圆度误差。

Claims (2)

1.一种小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法，其特征在于通过测量圆的一小段圆弧上的若干测量点的坐标，求解出圆心坐标，由求解所得到的圆心坐标求出最小二乘半径，最后求出圆的圆度误差。

2.根据权利要求1所述的小段圆弧圆度的优化最小二乘评价方法，其具体的评价步骤为：

a)在小段圆弧上的若干点上测量出的各个测量点的坐标，计算m(1)～m(9)的值

式中(x_i，y_i)表示第i个测量点的坐标，n为测量点的个数；

b)再由求出的m(1)～m(9)的值，按如下方程求解出圆心坐标：

$\left\{\begin{array}{c}((m\left(5\right)+m\left(7\right)-r^{2}m\left(1\right))+(r^2-m\left(4\right)-3*m\left(2\right))a\\ +3m\left(1\right)a^2-a^3-2m\left(9\right)b+m\left(1\right)b^2+2\mathrm{abm}\left(3\right)-{\mathrm{ab}}^2=0\\ ((m\left(6\right)+m\left(8\right)-r^{2}m\left(3\right))+(r^2-m\left(2\right)-3*m\left(4\right))b\\ +3m\left(3\right)b^2-b^3-2m\left(9\right)a+m\left(3\right)a^2+2\mathrm{abm}\left(1\right)-a^{2}b=0\end{array}\right.$

式中(a，b)表示圆的圆心坐标；

c)由求出的圆心坐标求出最小二乘半径：

$r=\sqrt{a^2-2m\left(1\right)a+b^2-2m\left(3\right)b+m\left(2\right)+m\left(4\right)}$

式中r表示圆的最小二乘半径；

d)最后求出圆的圆度误差：

①由求得的圆心坐标，按下式求得每一个测量点的半径：

$r_i=\sqrt{{(x_i-a)}^2+{(y_i-b)}^2}$

式中r_i表示第i个测量点相对于所求圆心的半径；

②由下式求出每一个测量点的半径偏差：

Err_i＝r_i-r

式中Err_i表示第i点的半径偏差；

③最后对圆度评价，按下式求出圆度误差：

Err＝Err_max-Err_min

式中Err_max和Err_min是所求得的Err_i中的最大值和最小值。

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