CN102162728B - 变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域的测量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定方法，该方法首先测量并获取变椭圆活塞裙部横截面测点坐标，如果测点坐标是直角坐标则转换为极坐标，建立了变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定模型；然后随机产生粒子的初始位置和初始速度，根据粒子初始位置及横截面线轮廓测量值计算粒子的目标函数值，确定局部和全局最佳粒子；采用浓缩因子法修改粒子速度、改变粒子位置，用改变后的粒子位置更新局部最佳粒子位置和全局最佳粒子位置，当达到预定的终止条件时，输出变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度；本发明能够同时计算变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度。

Description

变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域的测量方法

技术领域

本发明涉及一种线轮廓误差的测量方法，尤其涉及变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域的测量方法，属于精密计量与计算机应用领域。

背景技术

形状误差的大小对产品质量及其使用寿命至关重要，实现形状误差快速、准确的评定，具有重要的实际意义。评定形状误差有多种方法，以直线度误差评定为例，评定方法有最小区域法、最小二乘法、两端点连线法，但各种方法得出的结果都不相同，甚至差异很大，导致产品出现误收或误废，直接影响产品的质量和成本，因此国际标准ISO/1101和国家标准GB/T1958-2004都规定，形状误差值用包容实际被测要素且具有最小宽度f或最小直径φf的包容区域来表示（简称最小区域法），并以此为仲裁方法。以最小区域法评定形状误差，能够在不改变硬件设备的前提下，提高测量设备的检测精度。

随着内燃机性能和可靠性不断提高，对内燃机活塞裙部外形型面的设计要求越来越高，其设计方法也不断得到发展与完善,传统的正圆柱、正圆锥外形的活塞已基本不用，取而代之的是外轮廓形状更趋复杂的新型活塞，其中以中凸变椭圆活塞最为常见。采用中凸变椭圆活塞裙可以增加活塞与气缸套的接触面积,减少热应力，降低活塞和气缸套的敲击声，减轻气缸套穴蚀，减少窜气窜油，从而降低整机噪声和机油消耗率，延长发动机使用寿命。中凸变椭圆活塞特点是活塞裙部不同高度上的横截面轮廓形状为不同的椭圆，即横截面的椭圆度在裙部高度方向上是变化的，同时，椭圆长短轴方向也可能变化，活塞轴剖面轮廓形状是一条中凸曲线。变椭圆活塞几何形貌精度评价不仅包括圆度、圆柱度、直线度等典型形状误差的测量和评定，更重要的是要解决其裙部轮廓形状误差的测量和评定问题。由于变椭圆活塞形状的复杂性，从而使其几何形貌精度的评价成为一个难题。而现有的变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差评定方法都采用最小二乘法，由于最小二乘法提供的仅是形状误差的近似评价结果，并不保证解的最小区域性，按最小二乘法计算的结果比最小区域法求得结果大1.8%~30%，平均过估计为10%，因而不适宜于精密、超精密零件评定。

综合上述分析，当前对相关领域的研究工作存在的不足主要是：缺乏能够对变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差进行高效、精确测评的方法。

发明内容

本发明的主要目的是克服现有变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差测量方法的不足，建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓形状误差最小区域测量方法；提出变椭圆活塞裙部横截面线轮廓形状误差最小区域的测量方法，克服了传统方法采用最小二乘测量方法，对误差产生过估计，导致合格品的误废。本方法不仅提高了变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差的测量精度，而且算法简单灵活，可以推广应用于其它形状误差的测量中。

本发明的技术方案为：一种变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域的测量方法，包括如下步骤：

步骤1以测量平台回转中心o为测量坐标系xoy的中心建立测量直角坐标系xoy，将被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓置于测量直角坐标系xoy中且被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的长轴与ox轴之间的夹角φ₀为-10°≤φ₀≤10°，测量并获取变椭圆活塞裙部横截面线轮廓上点P_i(x_i,y_i)并将测得的点P_i(x_i,y_i)坐标转化为极坐标P_i(r_i,θ_i)，i＝1,2,…,n,n为测点数目且n为正整数，x_i和y_i分别为测点P_i在测量直角坐标系xoy下的坐标值，r_i和θ_i为测点P_i相对测量平台回转中心o的半径和极角，

步骤2由变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计公式设计变椭圆活塞裙部横截面线轮廓并以o’为设计中心，再以变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的设计中心o’为坐标原点，建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计直角坐标系x′o′y′，再将测点P_i的坐标(r_i,θ_i)转化为设计直角坐标系x'o'y'所对应的设计极坐标系下映射点P_i′的极坐标(r_i',θ_i′)，并计算得到设计极坐标系下的同一极角下的映射点P_i′的极半径r_i′与设计点Q_i的极半径l_i之差ε_i，并由此建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定模型，得到目标函数值为：

f=min(max(ε_i)-min(ε_i))

其中，

${\mathrm{\ϵ}}_i=r_i^{\′}-l_i$

$=r_i^{\′}-\{\frac{D}{2}-\frac{D-d}{4}[1-\cos 2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+2\sin \left(2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′}+$

$\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+4\sin \left(4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′})\left]\right\}$

$r_i^{\′}=\sqrt{r_i^2+e^2-2{\mathrm{er}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)}$

其中e为测量平台回转中心o与横截面线轮廓设计中心o’之间距离并称为安装偏心，θ₀为oo’与ox轴夹角并称为偏心角,φ₀为被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的长轴与ox轴之间的夹角，D为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓长轴直径，d为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓短轴直径,β为鼓度系数,G＝D-d称为椭圆度,

步骤3使用粒子群算法求解变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度

步骤3.1随机产生粒子的初始位置和初始速度

选择粒子大小popsize为20的种群，以1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的位置pos_j，j=1,2,…,20，第j个粒子的位置表示为pos_j=(a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j)，其中a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j分别为对应θ₀，e，φ₀,β,D,d的可能取值，以另一1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的速度，表示为v_j=(b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j)，其中b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j分别为对应粒子在θ₀,e,φ₀,β,D,d上的飞行速度，

在[-0.5，0.5]数值区域内随机产生20个粒子的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j，在[-0.5+max(r_i),0.5+max(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_5j，max(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最大值，在[-0.5+min(r_i),0.5+min(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_6j，min(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最小值，以产生的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j作为第j个粒子初始位置为第j个粒子在第t代的位置，令t=1，第j个粒子初始位置

进入粒子迭代，并根据随机产生的粒子初始位置

计算粒子初始位置的目标函数值

选取初始位置目标函数值最小的粒子的位置作为第一代全局最佳粒子位置gbest^t，t=1；第j个粒子初始位置作为第j个粒子第一代的局部最佳粒子位置

进入粒子迭代，t=1，j=1,2,…,20，在[-0.05，0.05]数值区域内随机产生20个粒子的b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j作为初始速度

t=1，第j个粒子初始速度进入粒子迭代，

第j个粒子至第t代以前搜索到的最优位置称为粒子j第t代的局部最佳粒子位置

整个粒子群至第t代以前搜索到的最优位置称为第t代的全局最佳粒子位置gbest^t，

步骤3.2采用浓缩因子法修改粒子速度

第j个粒子在迭代的第t代采用如下浓缩因子法修改速度：

$v_j^{t+1}=K(v_j^t+c_1{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{pbest}}_j^t-{\mathrm{pos}}_j^t)+c_2{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{gbest}}^t-{\mathrm{pos}}_j^{\text{t}}))$

式中

分别为第j个粒子在第t代的速度和位置,

和

分别为在第t代随机产生的1×6维向量，向量中的每一元素在[0,1]区间随机产生，c₁，c₂为加速因子，分别决定第j个粒子向局部最佳粒子

和全局最佳粒子gbest^t方向飞行的相对拉力，K为浓缩因子，c₁，c₂满足

为加速因子的和，加速因子c₁，c₂和浓缩因子K取值分别为2.05，2.05和0.73，

步骤3.3用步骤3.2得到修改后的速度

改变粒子位置

在迭代的第t代，将第j个粒子位置

修改为：

${\mathrm{pos}}_j^{t+1}={\mathrm{pos}}_j^t+v_j^{t+1}\mathrm{\Δt}$

△t是时间步长，设置为1，

步骤3.4计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值

计算第j个粒子位置改变为

后的粒子目标函数值

j=1,2,…,20，

步骤3.5更新局部最佳粒子位置

如果位置改变后第j个粒子的目标函数值

小于未改变前第j个粒子局部最佳位置的目标函数值

则用更新第j个粒子的第t代的局部最佳粒子位置作为第j个粒子的第t+1代的局部最佳粒子

位置，否则，第j个粒子的局部最佳粒子位置

作为第t+1代的局部最佳粒子位置

步骤3.6更新全局最佳粒子位置

找出位置改变后所有粒子

目标函数值

最小的粒子mpos，如果粒子mpos的目标函数值f(mpos)小于未改变前全局最佳粒子位置的目标函数值f(gbest^t)，则用mpos更新全局最佳粒子位置gbest^t，作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，否则，第t代的全局最佳粒子位置gbest^t作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，

步骤3.7令t=t+1，如果t=301，则进入步骤4，否则，重复步骤3.3~3.6，

步骤4输出变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数θ₀，e，φ₀,β,D,d最优值及椭圆度。

当算法达到终止条件时，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰对应参数θ₀,e,φ₀,β,D,d的最优值，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰的目标函数值f(gbest³⁰⁰)即为搜索到的变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解，椭圆度G由得到的最优参数值D和d根据G＝D-d获得。

具体实施方式

步骤1以测量平台回转中心o为测量坐标系xoy的中心建立测量直角坐标系xoy，将被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓置于测量直角坐标系xoy中且被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的长轴与ox轴之间的夹角φ₀为-10°≤φ₀≤10°，测量并获取变椭圆活塞裙部横截面线轮廓上点P_i(x_i,y_i)并将测得的点P_i(x_i,y_i)坐标由式（1）转化为极坐标P_i(r_i,θ_i)，i=1,2,…,n,n为测点数目且n为正整数，x_i和y_i分别为测点P_i在测量直角坐标系xoy下的坐标值，r_i和θ_i为测点P_i相对测量平台回转中心o的半径和极角，

$r_i=\sqrt{x_i^2+y_i^2},$ ${\mathrm{\θ}}_i=\arctan \frac{y_i}{x_i}---\left(1\right)$

步骤2由变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计公式设计变椭圆活塞裙部横截面线轮廓

建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计直角坐标系x′o′y′，在设计直角坐标系x'o'y'中，设线轮廓上点Q_i的极角为α_i，变椭圆活塞裙部横截面线轮廓上极角为α_i时对应的半径缩减量Δl_i为：

$\mathrm{\Δ}{l}_i=\frac{D-d}{4}[(1-\cos 2{\mathrm{\α}}_i)+\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4{\mathrm{\α}}_i)]---\left(2\right)$

极角α_i对应的半径设计值l_i为：

$l_i=\frac{D}{2}-\mathrm{\Δ}{l}_i---\left(3\right)$

其中，D为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓长轴直径，d为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓短轴直径,β为鼓度系数,G＝D-d称为椭圆度。

以变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的设计中心o’为坐标原点，建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计直角坐标系x'o'y'，在变椭圆活塞裙部横截面线轮廓测量过程中，测量平台的回转中心o与活塞裙部横截面线轮廓设计中心o’很难做到完全重合，e为测量平台回转中心o与横截面线轮廓设计中心o’之间距离并称为安装偏心，θ₀为oo’与ox轴夹角并称为偏心角,φ₀为被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的长轴与ox轴之间的夹角，将测点P_i的坐标(r_i,θ_i)转化为设计直角坐标系x′o′y′所对应的设计极坐标系下映射点P_i'的极坐标(r_i',θ_i′)，β_i为P_i′O′与长轴ox’夹角，η_i为P_i'O与长轴ox’夹角，δ_i为OP_i'与O′P_i'的夹角，因为偏心e为微量，所以δ_i也是微量。

在ΔP_i'OO'中,由余弦定理得

$r_i^{\′2}=r_i^2+e^2-2{\mathrm{er}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)---\left(4\right)$

所以

$r_i^{\′}=\sqrt{r_i^2+e^2-2{\mathrm{er}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)}---\left(5\right)$

根据三角形一外角等于其它两内角之和，有

β_i=η_i+δ_i

θ_i=η_i+φ₀

因此

β_i=θ_i-φ₀+δ_i                           (6)

根据泰勒级数展开,得

cos2β_i=cos2(θ_i-φ₀+δ_i)=cos2(θ_i-φ₀)-2sin(2(θ_i-φ₀))δ_i

cos4β_i=cos4(θ_i-φ₀+δ_i)=cos4(θ_i-φ₀)-4sin(4(θ_i-φ₀))δ_i

当α_i=β_i时，极角α_i对应的半径设计值l_i可重写为：

$l_i=\frac{D}{2}-\frac{D-d}{4}[1-\cos 2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+2\sin \left(2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right){\mathrm{\δ}}_i$ (7)

$+\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+4\sin \left(4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right){\mathrm{\δ}}_i)]$

在ΔP_i'OO'由正弦定理得：

sinδ_i/e=sin(θ_i-θ₀)/r_i′                    (8)

因为δ_i是微量，因此δ_i≈sinδ_i，代入式(7)，式(7)可近似为

δ_i=esin(θ_i-θ₀)/r_i′                        (9)

将式（9）代入式（7），有

$l_i=\frac{D}{2}-\frac{D-d}{4}[1-\cos 2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+2\sin \left(2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′}+$ （10）

$\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+4\sin \left(4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′})]$

在设计直角坐标系x'o y'所对应的设计极坐标系下的同一极角下的映射点P_i′的极半径r_i'与设计点Q_i的极半径l_i之差ε_i

${\mathrm{\ϵ}}_i=r_i^{\′}-l_i$

$=r_i^{\′}-\{\frac{D}{2}-\frac{D-d}{4}[1-\cos 2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+2\sin \left(2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′}+---\left(11\right)$

$\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+4\sin \left(4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′})\left]\right\}$

其中 $r_i^{\′}=\sqrt{r_i^2+e^2-2{\mathrm{er}}_i\cos ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)}$

根据国际标准ISO/1101和国家标准GB/T1958-2004，线轮廓度误差的最小区域解是指包容被测实际轮廓的两理想等距设计轮廓的最小宽度值。因此变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定的目标函数值表示为：

f=min(max(ε_i)-min(ε_i))                                (12)

步骤3使用粒子群算法求解变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度

步骤3.1随机产生粒子的初始位置和初始速度

选择粒子大小popsize为20的种群，以1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的位置pos_j，j＝1,2,…,20，第j个粒子的位置表示为pos_j=(a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j)，其中a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j分别为对应θ₀,e,φ₀,β,D,d的可能取值，以另一1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的速度，表示为v_j=(b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j)，其中b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j分别为对应粒子在θ₀,e,φ₀,β,D,d上的飞行速度，

在[-0.5，0.5]数值区域内随机产生20个粒子的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j，在[-0.5+max(r_i),0.5+max(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_5j，max(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最大值，在[-0.5+min(r_i),0.5+min(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_6j，min(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最小值，以产生的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j，a_6j作为第j个粒子初始位置

为第j个粒子在第t代的位置，令t=1，第j个粒子初始位置

进入粒子迭代，并根据随机产生的粒子初始位置计算粒子初始位置的目标函数值

选取初始位置目标函数值最小的粒子的位置作为第一代全局最佳粒子位置gbest^t，t=1；第j个粒子初始位置作为第j个粒子第一代的局部最佳粒子位置

进入粒子迭代，t=1，j＝1,2,…,20，在[-0.05，0.05]数值区域内随机产生20个粒子的b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j作为初始速度

t=1，第j个粒子初始速度

进入粒子迭代，

第j个粒子至第t代以前搜索到的最优位置称为粒子j第t代的局部最佳粒子位置

整个粒子群至第t代以前搜索到的最优位置称为第t代的全局最佳粒子位置gbest^t，

步骤3.2采用浓缩因子法修改粒子速度

第j个粒子在迭代的第t代采用如下浓缩因子法修改速度：

$v_j^{t+1}=K(v_j^t+c_1{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{pbest}}_j^t-{\mathrm{pos}}_j^t)+c_2{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{gbest}}^t-{\mathrm{pos}}_j^{\text{t}}))$

式中分别为第j个粒子在第t代的速度和位置,

和

分别为在第t代随机产生的1×6维向量，向量中的每一元素在[0,1]区间随机产生，c₁，c₂为加速因子，分别决定第j个粒子向局部最佳粒子

和全局最佳粒子gbest^t方向飞行的相对拉力，K为浓缩因子，c₁，c₂满足

为加速因子的和，加速因子c₁，c₂和浓缩因子K取值分别为2.05，2.05和0.73，

步骤3.3用步骤3.2得到修改后的速度

改变粒子位置

在迭代的第t代，将第j个粒子位置修改为：

${\mathrm{pos}}_j^{t+1}={\mathrm{pos}}_j^t+v_j^{t+1}\mathrm{\Δt}$

△t是时间步长，设置为1，

步骤3.4计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值

计算第j个粒子位置改变为

后的粒子目标函数值

j=1,2,…,20，

步骤3.5更新局部最佳粒子位置

如果位置改变后第j个粒子的目标函数值

小于未改变前第j个粒子局部最佳位置的目标函数值

则用更新第j个粒子的第t代的局部最佳粒子位置

作为第j个粒子的第t+1代的局部最佳粒子位置，否则，第j个粒子的局部最佳粒子位置

作为第t+1代的局部最佳粒子位置

步骤3.6更新全局最佳粒子位置

找出位置改变后所有粒子目标函数值

最小的粒子mpos，如果粒子mpos的目标函数值f(mpos)小于未改变前全局最佳粒子位置的目标函数值f(gbest^t)，则用mpos更新全局最佳粒子位置gbest^t，作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，否则，第t代的全局最佳粒子位置gbest^t作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，

步骤3.7令t=t+1，如果t=301，则进入步骤4，否则，重复步骤3.3~3.6，

步骤4输出变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数θ₀,e,φ₀,β,D,d最优值及椭圆度。

当算法达到终止条件时，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰对应参数θ₀,e,φ₀,β,D,d的最优值，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰的目标函数值f(gbest³⁰⁰)即为搜索到的变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解，椭圆度G由得到的最优参数值D和d根据G＝D-d获得。

本发明的有益效果在于：

建立了变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域测量方法，克服了传统方法求解最小二乘解，对误差产生过估计，导致合格产品误废现象；采用浓缩因子法修改粒子的速度，极大地提高了收敛速度。该方法能够同时计算变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度，不仅算法简单，优化效率高，而且在不改变硬件检测设备的条件下，提高了检测的测量精度。

附图说明

图1为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计模型图。

图2为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓测量模型图。

图3为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域示意图。

图4本发明的流程图。

图5用粒子群算法搜索变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差进化过程图。

以下结合附图对本发明做进一步的说明：

1、在变椭圆活塞裙部横截面上获取测点P_i(r_i,θ_i)(i＝1,2,…,n,n为测点数目)，见附图2。如果测点坐标是直角坐标(x_i,y_i)则由式（1）转换为极坐标(r_i,θ_i)。

为了证实本方法的正确性，根据变椭圆活塞裙部横截面线轮廊误差的设计公式，通过坐标平移和旋转变换模拟实测中的安装偏心e和活塞长轴x’与测量坐标系x轴夹角φ₀，并附加一定的随机量，可以方便地获得仿真测量数据。

本实例中θ₀，e，φ₀,β,D,d六个参数的设计值见表1所示，噪声在[-0.01,0.01]范围内随机产生，生成的随机数其最大值与最小值之差等于0.0199，即设定的横截面线轮廓误差等于0.0199，通过坐标平移和旋转变换后得到仿真测量数据。

2、初始化算法参数

加速因子c₁，c₂和浓缩因子K取值分别为2.05，2.05和0.73。

3、随机产生粒子的初始位置和初始速度

在用粒子群算法求解变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差时，粒子的种群大小popsize取值为20，目标函数值f的大小由θ₀,e,φ₀,β,D,d六个参数决定，粒子j的初始位置pos_j=(a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j)的六个分量a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j分别在([-0.5,0.5],[-0.5,0.5],[-0.5,0.5],[-0.5,0.5],[-0.5+max(r_i),0.5+max(r_i)],[-0.5+min(r_i),0.5+min(r_i)])区间上随机产生；粒子j的初始速度v_j=(b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j)的六个分量b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j均在[-0.05,0.05]上随机产生。

4、根据已建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定模型及仿真测量数据，计算粒子初始位置的目标函数值，选取粒子初始位置目标函数值最小的粒子作为第一代全局最佳粒子位置gbest^t，t＝1；第j (j=1,2,…,popsize）个粒子初始位置作为粒子j第一代局部最佳粒子位置进入粒子迭代，t=1。

5、采用浓缩因子法修改粒子速度、改变粒子的位置

粒子j在迭代的第t代采用如下浓缩因子法修改速度：

$v_j^{t+1}=K(v_j^t+c_1{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{pbest}}_j^t-{\mathrm{pos}}_j^t)+c_2{\mathrm{rand}}_1^t({\mathrm{gbest}}^t-{\mathrm{pos}}_j^{\text{t}}))$

粒子j的位置根据

来改变，△t取值为1。

6、计算改变位置后所有粒子的目标函数值

根据式（11）、（12）计算位置改变后所有粒子的目标函数值

(j=1,2,…,popsize）。

7、更新局部最佳粒子位置

如果位置改变后粒子j的目标函数值

小于未改变前该粒子局部最佳位置的目标函数值

则用

更新局部最佳粒子位置

8、更新全局最佳粒子位置

如果位置改变后粒子j的目标函数值

小于未修改前全局最佳粒子位置的目标函数值f(gbest^t)，则用

更新全局最佳粒子位置gbest^t。

9、进化代数t大于300时，算法终止。

用上述算法搜索该实例横截面线轮廓误差最小区域解的优化过程见图5，由图可见，在约100代时就已搜索到该变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解，该最小区域解为0.0199，与设定的横截面线轮廓误差完全一致，证实了算法的正确性。参数θ₀,e,φ₀,β,D,d优化结果见表1，由表1可见参数最优值与设计值很接近，但不完全一致，说明变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小包容区域的位置不惟一，但最小包容区域的宽度即最小区域解是惟一的。由参数最优值求得椭圆度G为1.0004。

而采用最小二乘法对该实例计算得到的横截面线轮廓误差为0.0247，其过估计高达24.1%，因为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓上任意一点i的设计公式

$l_i=\frac{D}{2}-\frac{D-d}{4}[1-\cos 2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+2\sin \left(2({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′}+$

$\frac{\mathrm{\β}}{25}(1-\cos 4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)+4\sin \left(4({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\φ}}_0)\right)e\sin ({\mathrm{\θ}}_i-{\mathrm{\θ}}_0)/r_i^{\′})]$

该设计公式为一非线性方程，应用最小二乘法求解时，需要对该公式进行多次简化、近似；另外在应用最小二乘法求解时必须选择正确的初始值，因为一些非理想的局部最优解也满足正则方程，导致最小二乘法计算结果较大，使轮廓误差评定产生过估计。

表1设计值及优化结果

长度单位：mm,角度单位：弧度。

Claims (1)

1.一种变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域的测量方法，其特征在于，具体步骤如下：

步骤1以测量平台回转中心o为测量坐标系xoy的中心建立测量直角坐标系xoy，将被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓置于测量直角坐标系xoy中且被测变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的长轴与ox轴之间的夹角φ₀为-10°≤φ₀≤10°，测量并获取变椭圆活塞裙部横截面线轮廓上点P_i(x_i,y_i)并将测得的点P_i(x_i,y_i)坐标转化为极坐标P_i(r_i,θ_i)，i＝1,2,…,n,n为测点数目且n为正整数，x_i和y_i分别为测点P_i在测量直角坐标系xoy下的坐标值，r_i和θ_i为测点P_i相对测量平台回转中心o的半径和极角；

步骤2由变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计公式设计变椭圆活塞裙部横截面线轮廓并以o’为设计中心，再以变椭圆活塞裙部横截面线轮廓的设计中心o’为坐标原点，建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓设计直角坐标系x′o′y′，再将测点P_i的坐标(r_i,θ_i)转化为设计直角坐标系x'o'y'所对应的设计极坐标系下映射点P_i′的极坐标(r_i',θ_i′)，并计算得到设计极坐标系下的同一极角下的映射点P_i′的极半径r_i′与设计点Q_i的极半径l_i之差ε_i，并由此建立变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域评定模型，得到目标函数值为：

f=min(max(ε_i)-min(ε_i))

其中，

其中e为测量平台回转中心o与横截面线轮廓设计中心o’之间距离并称为安装偏心，θ₀为oo’与ox轴夹角并称为偏心角,φ₀为被测变椭圆活塞裙部横截面线 轮廓的长轴与ox轴之间的夹角，D为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓长轴直径，d为变椭圆活塞裙部横截面线轮廓短轴直径,β为鼓度系数,G＝D-d称为椭圆度；

步骤3使用粒子群算法求解变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数最优值及椭圆度；

步骤3.1随机产生粒子的初始位置和初始速度：

选择粒子大小popsize为20的种群，以1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的位置pos_j，j＝1,2,…,20，第j个粒子的位置表示为pos_j=(a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j)，其中a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j分别为对应θ₀,e,φ₀,β,D,d的可能取值，以另一1×6维的实数向量为种群中的第j个粒子的速度，表示为v_j=(b_1j,b_2j，b_3j,b_4j,b_5j,b_6j)，其中b_1j,b_2j,b_3j，b_4j,b_5j,b_6j分别为对应粒子在θ₀,e,φ₀,β,D,d上的飞行速度，

在[-0.5，0.5]数值区域内随机产生20个粒子的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j，在[-0.5+max(r_i),0.5+max(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_5j，max(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最大值，在[-0.5+min(r_i),0.5+min(r_i)]数值区域内随机产生20个粒子的a_6j，min(r_i)为所有测点相对测量平台回转中心o的半径r_i的最小值，以产生的a_1j，a_2j,a_3j,a_4j,a_5j,a_6j作为第j个粒子初始位置 

为第j个粒子在第t代的位置，令t=1，第j个粒子初始位置 

进入粒子迭代，并根据随机产生的粒子初始位置 

计算粒子初始位置的目标函数值 选取初始位置目标函数值最小的粒子的位置作为第一代全局最佳粒子位置gbest^t，t=1；第j个粒子初始位置作为第j个粒子第一代的局部最佳粒子位置 

进入粒子迭代，t=1，j=1,2,…,20，在[-0.05，0.05]数值区域内随机产生20个粒子的b_1j,b_2j,b_3j,b_4j,b_5j,b_6j作为初始速度 

t=1，第j个粒子初始速度 

进入粒子迭代，

第j个粒子至第t代以前搜索到的最优位置称为粒子j第t代的局部最佳粒子位置 

整个粒子群至第t代以前搜索到的最优位置称为第t代的全局最佳粒子位置gbest^t， 

步骤3.2采用浓缩因子法修改粒子速度：

第j个粒子在迭代的第t代采用如下浓缩因子法修改速度：

式中 

分别为第j个粒子在第t代的速度和位置, 

和 

分别为在第t代随机产生的1×6维向量，向量中的每一元素在[0,1]区间随机产生，c₁，c₂为加速因子，分别决定第j个粒子向局部最佳粒子 和全局最佳粒子gbest^t方向飞行的相对拉力，K为浓缩因子，c₁，c₂满足 

为加速因子的和，加速因子c₁，c₂和浓缩因子K取值分别为2.05，2.05和0.73，

步骤3.3用步骤3.2得到修改后的速度 

改变粒子位置：

在迭代的第t代，将第j个粒子位置 

修改为：

Δt是时间步长，设置为1，

步骤3.4计算粒子位置改变后的所有粒子目标函数值 

：

计算第j个粒子位置改变为 后的粒子目标函数值 

j=1,2,…,20，

步骤3.5更新局部最佳粒子位置 

：

如果位置改变后第j个粒子的目标函数值 

小于未改变前第j个粒子局部最佳位置的目标函数值 

则用 

更新第j个粒子的第t代的局部最佳粒子位置 

作为第j个粒子的第t+1代的局部最佳粒子 

位置，否则，第j个粒子的局部最佳粒子位置 

作为第t+1代的局部最佳粒子位置 

步骤3.6更新全局最佳粒子位置：

找出位置改变后所有粒子 

目标函数值 最小的粒子mpos，如果 粒子mpos的目标函数值f(mpos)小于未改变前全局最佳粒子位置的目标函数值f(gbest^t)，则用mpos更新全局最佳粒子位置gbest^t，作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，否则，第t代的全局最佳粒子位置gbest^t作为第t+1代的全局最佳粒子位置gbest^t+1，

步骤3.7令t=t+1，如果t=301，则进入步骤4，否则，重复步骤3.3~3.6，

步骤4输出变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解、参数θ₀，e，φ₀,β,D,d最优值及椭圆度；

当算法达到终止条件时，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰对应参数θ₀,e,φ₀,β,D,d的最优值，全局最佳粒子位置gbest³⁰⁰的目标函数值f(gbest³⁰⁰)即为搜索到的变椭圆活塞裙部横截面线轮廓误差最小区域解，椭圆度G由得到的最优参数值D和d根据G＝D-d获得。 

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