CN100533119C - 机械结构的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法 - Google Patents

Abstract

一种机械结构的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法，属于机械结构的疲劳裂纹扩展率和裂纹扩展长度的计算方法。本方法首先建立S-N、P-S-N曲线表达式(幂函数形式)与裂纹扩展率曲线表达式(Paris公式)之间的关系；提出了块谱载荷、超载迟滞载荷以及随机载荷下裂纹扩展率的确定方法；并提出了S-N和P-S-N曲线不能用幂函数形式表达时Paris曲线参数的确定方法，提出了提高裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测精度的方法。本方法用S-N和P-S-N曲线预测裂纹扩展率和裂纹扩展寿命，对试验的依赖性小，精度高，并可缩短产品开发周期，节省大量的人力、物力和财力。

Description

机械结构的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法

技术领域

本发明涉及在使用期限内需要承受反复应力水平的机械结构的疲劳裂纹扩展率和裂纹扩展长度的计算方法。

背景技术

裂纹扩展率曲线是进行裂纹扩展分析的基本数据，然而其受多种因素的影响，如结构形式、加工工艺、载荷谱型、应力水平等，较难确定，特别是变幅载荷下的裂纹扩展率更难确定。一般地，只有通过大量的裂纹扩展试验才能获得准确的裂纹扩展率，该方法对试验技术要求较高，且费时费力，增加了产品开发的费用和周期。

一直以来，人们尝试着将传统疲劳设计方法(包括静强度设计法)与基于断裂力学的耐久性设计法联系起来，建立它们之间的相互关系，如建立疲劳极限σ_W与裂纹扩展门槛值△K_th之间的关系，从而通过某些疲劳性能参数确定其他性能参数，简化设计和试验过程，但它们尚不能与裂纹扩展率建立联系，不能对裂纹扩展率进行预测。

S-N曲线是传统疲劳设计方法的基础。在过去的几十年的发展过程中，积累了丰富的经验和试验数据。若能建立S-N曲线与裂纹扩展率曲线之间的函数关系，则可利用传统疲劳设计中丰富的数据预测结构的裂纹扩展率，从而减小裂纹扩展率对试验的依赖，大大节省产品开发的成本和时间。

发明内容

本发明针对上述背景技术，提供一种对试验依赖性小、精度高、可缩短产品开发周期、能节省人力、物力和财力的机械结构裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法。

一种机械结构的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：

(1)建立S-N、P-S-N曲线表达式与裂纹扩展率曲线表达式之间的关系；

S-N曲线表达式与裂纹扩展率曲线表达式之间的关系为

$\left\{\begin{array}{c}C=\frac{1}{C_1}{\∫}_{a_0}^{a_f}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^m}\\ n=m\end{array}\right.$

其中S-N曲线表达式为C₁＝Δσ^mN_f，裂纹扩展率曲线表达式为 $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\mathrm{\Δ\σ}\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^n,$ 式中C₁、m、C、n为材料常数，Δσ表示结构承受的应力水平，N_f表示结构疲劳寿命，a₀、a_f分别表示初始裂纹尺寸和极限裂纹尺寸，a、N分别表示裂纹长度和载荷循环次数，

表示裂纹长度随载荷循环次数的变化率，即裂纹扩展率，β(a)表示应力强度因子修正系数，其与结构形式和裂纹长度等有关。

若P-S-N曲线表达式为 $C_{1p}={\mathrm{\Δ\σ}}^{m_p}{N}_p,$ 则P-S-N曲线与裂纹扩展率曲线之间的关系为

$\left\{\begin{array}{c}C=\frac{1}{C_{1p}}{\∫}_{a_0}^{a_f}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{m_p}}\\ n=m_p\end{array}\right.$

式中C_1p、mp为材料常数，N_p表示具有一定可靠度p的疲劳寿命；

(2)块谱载荷、超载迟滞载荷以及随机载荷下的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法；

机械结构在块谱载荷下工作时，每级载荷下的裂纹扩展率参数为

$\left\{\begin{array}{c}{C}_i=\frac{1}{C_{1i}}{\∫}_{a_0}^{a_{\mathrm{fi}}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{m_i}}\\ n_i=m_i\end{array}\right.$

其中每一级载荷下结构的S-N曲线表达式为 ${\mathrm{\Δ\σ}}_i^{m_i}{N}_{\mathrm{fi}}=C_{1i},$ 裂纹扩展率为 $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C_i{\left(\mathrm{\Δ}{K}_i\right)}^{n_i}=C_i{\left[{\mathrm{\Δ\σ}}_i\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{n_i};$ 式中Δσ_i表示第i级应力水平，N_fi表示与Δσ_i对应的疲劳寿命；C_1i、m_i、C_i、n_i分别为第i级载荷下材料常数；a_fi表示第i级载荷下的极限裂纹尺寸，ΔK_i表示与Δσ_i对应的应力强度因子。

机械结构在块谱载荷下工作时，其裂纹扩展长度计算式为

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)

其中a_i表示结构在第i级载荷作用后的裂纹长度，G^-1表示函数G的反函数， $G(a_1,a_2,m)={\∫}_{a_1}^{a_2}\frac{1}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^m}\mathrm{da}.$

机械结构在超载迟滞载荷下的裂纹扩展率和裂纹扩展长度计算公式分别为

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}={\mathrm{\Φ}}_i{C}_i{\left[{\mathrm{\Δ\σ}}_i\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{n_i}$

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)

其中 $C_i=\frac{1}{C_{1i}}{\∫}_{a_0}^{a_{\mathrm{fi}}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{m_i}},$ n_i＝m_i， $G(a_{i-1},a_i,m_i)={\mathrm{\Φ}}_{i}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)\frac{N_i-N_{i-1}}{N_{\mathrm{fi}}},$ N_i和N_i-1分别表示第i级和第i-1级载荷的循环次数，Φ_i为第i级载荷水平的超载迟滞因子。

机械结构在随机载荷下工作时，将整个随机载荷谱分成若干段，对每一段进行雨流计数，使每一段都近似为一个块谱载荷，然后根据上述块谱载荷下的裂纹扩展率确定方法，近似预测裂纹扩展率和裂纹扩展寿命。

当整条S-N曲线用C₁＝Δσ^mN_f表达存在较大误差时，则对S-N曲线的局部用式C₁＝Δσ^mN_f拟合，获取更为准确的S-N曲线参数，从而有效提高裂纹扩展率和裂纹扩展寿命的预测精度；同样，对于其他S-N曲线表达形式，将其转化为C₁＝Δσ^mN_f形式，然后计算裂纹扩展率和裂纹扩展寿命。

本发明适用于机械结构的疲劳扩展寿命预测，不需要进行裂纹扩展试验，只需利用试验测得的S-N曲线，能节省试验费用和时间，缩短了产品的开发周期，节省了人力物力和财力，在工程上可行、可靠、精度高。

附图说明

图1是机械结构的S-N曲线；图2是机械结构的裂纹扩展率曲线；图3是局部S-N曲线拟合；图4是多级载荷下裂纹扩展曲线；图5是随机载荷谱及分段示意图。

具体实施方式

图1中曲线的线性部分一般可以表示为

C₁＝Δσ^mN_f                       (1)

式中C₁、m为材料常数，可通过试验或机械设计手册确定；Δσ表示结构承受的应力水平，N_f表示结构疲劳寿命。

图2中曲线的线性部分一般可以表示为

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\mathrm{\Δ\σ}\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^n---\left(2\right)$

式中C、n为材料常数，一般通过试验确定；a、N分别表示裂纹长度和载荷循环次数；

表示裂纹长度随载荷循环次数的变化率，即裂纹扩展率；β(a)表示应力强度因子修正系数，其与结构形式和裂纹长度等有关，其表达形式可根据应力强度因子手册确定。

对式(2)进行分离变量并从(0，a₀)积分到(N_f，a_f)，得

$\frac{1}{C}{\∫}_{a_0}^{a_f}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^n}={\∫}_0^{N_f}{\mathrm{\Δ\σ}}^n\mathrm{dN}---\left(3\right)$

式中a₀表示初始裂纹尺寸，可根据结构的当量初始缺陷尺寸确定，或利用机械设计手册中的经验公式给出，对于给定的结构，a₀是常数；a_f表示极限裂纹尺寸，可由式(4)确定

$K_{\mathrm{IC}}={\mathrm{\σ}}_{\max }\mathrm{\β}\left(a_f\right)\sqrt{\mathrm{\π}{a}_f}---\left(4\right)$

式中K_IC表示材料的断裂韧性，可通过机械设计手册确定，σ_max表示最大应力水平。

易知式(3)的左边是一个常数，令

$C\′=\frac{1}{C}{\∫}_{a_0}^{a_{f_i}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^n}---\left(5\right)$

则式(3)可进一步写为

C′＝ΔσⁿN_f            (6)

式(6)中，△σ是施于结构的应力，而N_f为△σ对应的结构寿命，因此该式反映了应力与疲劳寿命之间的关系，即为常规疲劳设计中的S-N曲线。可见，裂纹扩展率曲线和S-N曲线间存在一定的关系，从裂纹扩展率曲线可推导出S-N则比较式(6)与(1)有

$\left\{\begin{array}{c}C\′=C_1\\ m=n\end{array}\right.---\left(7\right)$

因此裂纹扩展率曲线与S-N曲线表达式之间的关系可概括为

$\left\{\begin{array}{c}C=\frac{1}{C_1}{\∫}_{a_0}^{a_f}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^m}\\ n=m\end{array}\right.---\left(8\right)$

P-S-N曲线一般描述为

$C_{1p}={\mathrm{\Δ\σ}}^{m_p}{N}_p---\left(9\right)$

其中C_1p、m_p为实验常数，对于常见的材料，可通过机械设计手册查询，也可通过试验确定，N_p表示具有可靠度p的疲劳寿命。

式(9)表示利用参数C_1p和m_p即可计算具有一定可靠度p的疲劳寿命。由于S-N曲线方程和裂纹扩展率方程具有内在的联系，因此将C_1p和m_p带入式(8)而计算的疲劳裂纹扩展率也必然具有一定的可靠度p，从而预测的疲劳裂纹扩展寿命可靠度也为p。因此，利用P-S-N曲线也可预测具有一定可靠度p的裂纹扩展率。

由于材料性能不同，有些材料的S-N曲线在双对数坐标中或许没有明显的直线，或许只有部分直线，假如用式(1)去描述整条S-N曲线，则会引起较大的误差，从而使得预测结果不可靠。为了使得上述推导的结论适合于所有S-N曲线形式，可采用局部拟合方法得到S-N曲线参数。

假设图3中A₁～A₇为七组(△σ，N)数据点。若想得到该结构在△σ₂载荷作用下的裂纹扩展率参数，则可以利用式(1)对点A₁～A₃拟合，得到局部的S-N曲线参数C₁和m。然后根据式(8)确定裂纹扩展率参数。该结构在△σ₆载荷作用下的裂纹扩展率参数同样可通过对A₅～A₇拟合得到。

对于一个具有n级的载荷谱(图4)，分别令△σ_i、N_i、N_fi和a_fi为第i级载荷幅值、循环次数、疲劳寿命和极限裂纹尺寸，则在第i级载荷下，结构的S-N曲线和裂纹扩展率曲线分别可写为

${\mathrm{\Δ\σ}}_i^{m_i}{N}_{\mathrm{fi}}=C_{1i}---\left(10\right)$

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C_i{\left(\mathrm{\Δ}{K}_i\right)}^{n_i}=C_i{\left[{\mathrm{\Δ\σ}}_i\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{n_i}---\left(11\right)$

式中Δσ_i表示第i级应力水平，N_fi表示与第i级应力水平对应的疲劳寿命；C_1i、m_i、C_i、n_i分别为第i级载荷下材料常数；a_fi表示第i级载荷下的极限裂纹尺寸，ΔK_i表示与Δσ_i对应的应力强度因子。

根据式(8)，有

$\left\{\begin{array}{c}{C}_i=\frac{1}{C_{1i}}{\∫}_{a_0}^{a_{\mathrm{fi}}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{m_i}}\\ n_i=m_i\end{array}\right.---\left(12\right)$

令

$G(a_1,a_2,m)={\∫}_{a_1}^{a_2}\frac{1}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^m}\mathrm{da}---\left(13\right)$

则C_i可进一步写成

$C_i=\frac{1}{C_{1i}}{\∫}_{a_0}^{a_{\mathrm{fi}}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{m_i}}=\frac{1}{C_{1i}}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)---\left(14\right)$

设在第i级载荷作用下(时间从N_i-1到N_i)，裂纹从a_i-1扩展到a_i(如图4所示)，对式(11)积分得

${\∫}_{a_{i-1}}^{a_i}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{n_i}}={\∫}_{N_{i-1}}^{N_i}{C}_i{\mathrm{\Δ\σ}}_i^{n_i}\mathrm{dN}---\left(15\right)$

将式(14)带入式(15)得

$G(a_{i-1},a_i,m_i)=\frac{{\mathrm{\Δ\σ}}_i^{m_i}}{C_{1i}}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)(N_i-N_{i-1})---\left(16\right)$

将式(10)带入式(16)得

$G(a_{i-1},a_i,m_i)={\mathrm{\Φ}}_{i}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)\frac{N_i-N_{i-1}}{N_{\mathrm{fi}}}---\left(17\right)$

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)          (18)

由上述推导可看出，对于一个给定的多级载荷谱，可根据常规的疲劳分析方法计算各级载荷下的疲劳损伤(N_i-N_i-1)/N_fi，并通过材料的断裂韧性计算各级载荷下的极限裂纹尺寸a_fi，然后通过式(17)～(18)计算每级循环载荷作用后结构相应的裂纹长度a_i，从而得到裂纹扩展曲线。

研究表明，在载荷谱中有高载荷出现之后，对随后的裂纹扩展率有较大的影响，即裂纹扩展率有显著降低，这种现象称之为超载对裂纹扩展的延缓作用。

对于一个含有n级载荷的载荷谱来说，若存在较大的超载应力水平，则必须考虑超载迟滞效应。应用Wheeler超载闭合模型，将式(11)改写为

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}={\mathrm{\Φ}}_i{C}_{2i}{\left(\mathrm{\Δ}{K}_i\right)}^{n_i}={\mathrm{\Φ}}_i{C}_{2i}{\left[{\mathrm{\Δ\σ}}_i\mathrm{\β}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\πa}}\right]}^{n_i}---\left(19\right)$

其中Φ_i为超载迟滞因子，可根据Wheeler模型确定。

根据裂纹扩展率曲线与S-N曲线之间的关系可得超载迟滞载荷下的裂纹扩展长度为

$G(a_{i-1},a_i,m_i)={\mathrm{\Φ}}_{i}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)\frac{N_i-N_{i-1}}{N_{\mathrm{fi}}}---\left(20\right)$

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)          (21)

由于随机载荷的幅值是无规律变化的，尚不能像确定载荷块谱那样根据S-N曲线确定随机载荷的裂纹扩展率。若用雨流计数法对随机载荷进行计数，将不能考虑载荷次序对裂纹扩展率和裂纹扩展尺寸。作为一种近似的办法，可将整个随机载荷谱分成若干段(如图5所示，将载荷谱分成t<T₁、T₁<t<t₂、t₂<t<T₂和t>T₂四段)，并对每一段进行雨流计数，使得每一段都近似为一个块谱。在此基础上，按照载荷段的先后顺序，逐段计算裂纹扩展率和裂纹扩展长度，从而得到近似预测裂纹扩展率和扩展寿命的目的。

实施发明的最佳方式

下面对本发明的块谱载荷下结构裂纹扩展分析实施方式加以说明(常幅载荷是块谱载荷的一个特例，随机载荷也可近似为块谱载荷)。

(1)通过手册确定结构所用材料的性能参数，如材料S-N曲线、断裂韧性K_IC、应力强度修正因子β(a)、疲劳缺口系数等。

(2)根据材料S-N曲线和疲劳缺口系数计算结构在各级应力水平下的S-N曲线，确定其参数C_1i和m_i，也可通过试验测得相应的S-N曲线。若有可靠度要求，用P-S-N曲线参数代替相应的S-N曲线参数。

(3)根据材料断裂韧性和应力强度修正因子计算每种应力水平下的极限裂纹尺寸a_fi。

(4)利用S-N曲线与裂纹扩展率曲线之间的关系，计算各级应力水平下的裂纹扩展率曲线参数C_i和n_i。再根据式(17)～(18)计算相应的裂纹长度。多级载荷下结构的极限裂纹尺寸取min{a_fi}，当a_i＝min{a_fi}时，结构失效。

(5)若载荷水平相差较大，即载荷迟滞效应影响较大，则应当考虑迟滞效应对裂纹扩展的影响，此时用式(20)～(21)计算相应的裂纹长度。

产业上利用的可能性

本发明的机械结构裂纹扩展率及裂纹长度预测方法适用于机械结构的抗疲劳设计。其主要思想是建立S-N曲线与裂纹扩展率曲线之间的关系，并基于此关系，计算块谱载荷、超载迟滞载荷以及随机载荷下的裂纹扩展率和裂纹长度等疲劳性能参数。由于S-N曲线数据较为丰富，因此新方法可以节省大量的试验费用和时间，缩短产品开发周期。另外，如果没有结构的S-N曲线，或者精度不够，新方法只需利用试验测得结构的S-N曲线即可，而不需进行裂纹扩展试验，对试验技术等要求不高。因此，新方法在工程上可行、可靠。

Claims (1)

1、一种机械结构的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法，其特征在于：

(1)建立S-N、P-S-N曲线表达式与裂纹扩展率曲线表达式之间的关系；

S-N曲线表达式与裂纹扩展率曲线表达式之间的关系为

$\left\{\begin{array}{c}C=\frac{1}{C_1}{\&Integral;}_{a_0}^{a_{f\&prime;}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^m}\\ n=m\end{array}\right.$

其中S-N曲线表达式为C₁＝Δσ^mN_f，裂纹扩展率曲线表达式为 $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\mathrm{\&Delta;\&sigma;}\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^n,$ 式中C₁、m、C、n为材料常数，Δσ表示结构承受的应力水平，N_f表示结构疲劳寿命，a₀、a_f分别表示初始裂纹尺寸和极限裂纹尺寸，a、N分别表示裂纹长度和载荷循环次数，

表示裂纹长度随载荷循环次数的变化率，即裂纹扩展率，β(a)表示应力强度因子修正系数，其与结构形式和裂纹长度等有关；

若P-S-N曲线表达式为 $C_{1p}={\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}^{m_p}{N}_p,$ 则P-S-N曲线与裂纹扩展率曲线之间的关系为

$\left\{\begin{array}{c}C=\frac{1}{C_{1p}}{\&Integral;}_{a_0}^{a_f}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^{m_p}}\\ n=m_p\end{array}\right.$

式中C_1p、m_p为材料常数，N_p表示具有一定可靠度p的疲劳寿命；

(2)块谱载荷、超载迟滞载荷以及随机载荷下的裂纹扩展率和裂纹扩展寿命预测方法；

机械结构在块谱载荷下工作时，每级载荷下的裂纹扩展率参数为

$\left\{\begin{array}{c}{C}_i=\frac{1}{C_{1i}}{\&Integral;}_{a_0}^{a_{f_i}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^{m_i}}\\ n_i=m_i\end{array}\right.$

其中每一级载荷下结构的S-N曲线表达式为 ${\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_i^{m_i}{N}_{\mathrm{fi}}=C_{1i},$ 裂纹扩展率为 $\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}=C_i{\left({\mathrm{\&Delta;K}}_i\right)}^{n_i}=C_i{\left[{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_i\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^{n_i};$ 式中Δσ_i表示第i级应力水平，N_fi表示与Δσ_i对应的疲劳寿命；C_1i、m_i、C_i、n_i分别为第i级载荷下材料常数，a_fi表示第i级载荷下的极限裂纹尺寸，ΔK_i表示与Δσ_i对应的应力强度因子，

机械结构在块谱载荷下工作时，其裂纹扩展长度计算式为

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)

其中a_i表示结构在第i级载荷作用后的裂纹长度，G^-1表示函数G的反函数，

$G(a_1,a_2,m)={\&Integral;}_{a_1}^{a_2}\frac{1}{{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^m}\mathrm{da};$

机械结构在超载迟滞载荷下的裂纹扩展率和裂纹扩展长度计算公式分别为

$\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{dN}}={\mathrm{\&Phi;}}_i{C}_i{\left[{\mathrm{\&Delta;\&sigma;}}_i\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^{n_i}$

a_i＝G^-1(a_i-1，a_i，m_i)

其中 $C_i=\frac{1}{C_{1i}}{\&Integral;}_{a_0}^{a_{f_i}}\frac{\mathrm{da}}{{\left[\mathrm{\&beta;}\left(a\right)\sqrt{\mathrm{\&pi;a}}\right]}^{m_i}},$ n_i＝m_i， $G(a_{i-1},a_i,m_i)={\mathrm{\&Phi;}}_{i}G(a_0,a_{\mathrm{fi}},m_i)\frac{N_i-N_{i-1}}{N_{\mathrm{fi}}},$ N_i和N_i-1分别表示第i级和第i-1级载荷的循环次数，Φ_i为第i级载荷水平的超载迟滞因子；

机械结构在随机载荷下工作时，将整个随机载荷谱分成若干段，对每一段进行雨流计数，使每一段都近似为一个块谱载荷，然后根据上述块谱载荷下的裂纹扩展率确定方法，近似预测裂纹扩展率和裂纹扩展寿命。

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