CN104019971B - 一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法 - Google Patents

Abstract

一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，它有五大步骤：一、通过疲劳试验测定简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线；二、根据单个紧固件孔处的平衡方程，建立多钉连接件危险紧固件连接处的旁路应力与连接件尺寸参数之间的关系；三、建立循环应力下多钉连接件疲劳寿命计算公式；四、建立谱载下多钉连接件疲劳寿命计算公式；五、将已知的单钉连接件小试样的基本疲劳特性和多钉连接件的结构特性代入疲劳寿命计算公式中，即可确定多钉连接件在谱载作用下的周期总数，即为多钉连接件的疲劳寿命。本发明简单实用，仅仅需要将单钉连接件小试样的疲劳性能和多钉连接件的应力状态和尺寸参数代入模型中，就可以得到任何排列形式的多钉连接件的疲劳寿命。

Description

一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法

技术领域

本发明提供一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，属于金属结构疲劳可靠性技术领域。

背景技术

飞机主要结构——机身、机翼和尾翼等都是采用大量紧固件连接起来的薄壁结构件，而飞机结构实际使用中疲劳裂纹的萌生往往发生在这类多钉连接结构件的细节处。长期以来，航空部门一直关注并致力于飞机结构疲劳设计，并制定适航标准以防止灾难性疲劳失效事故发生。为保飞机飞行安全，精确地进行多钉连接件的谱载疲劳寿命预测至关重要。现今多钉连接件谱载疲劳寿命预测方法主要基于疲劳试验和理论计算，试验方法需要多个连接件元件，试样和试验成本高，且不方便设计使用；而理论计算方法主要通过有限元模拟螺栓数量、半径、摩擦系数、刚度、位置等对传递载荷以及应力应变分布的影响，需考虑的影响因素多，计算复杂，误差大，计算精度和效率低；目前尚缺乏预测多钉连接件谱载疲劳寿命的简便方法，为此，发明一种简单实用的预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，该方法仅仅需要简单的单钉连接件小试样的疲劳性能和多钉连接件的几何尺寸参数，便可以计算谱载下多钉连接件的疲劳寿命，本发明具有重要学术意义和工程应用价值。

发明内容

1、目的：本发明目的是提供了一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，该方法具有所需计算参数少、计算简便，计算精度高等优点，对于复杂排列形式的多钉连接件的疲劳寿命评定具有重要价值。

2、技术方案：一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，该方法具体步骤如下：

步骤一、简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线

图1为单钉连接件的加载示意图，按照图1的载荷加载形式和国家标准《金属轴向疲劳试验方法》(GB3075-82)，通过疲劳试验，测定指定应力比R₀下简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线：

式中，S_max和S_min分别为疲劳试验循环应力的最大值和最小值；S₀为单钉连接件的疲劳极限，由试验测定；N为单钉连接件的疲劳寿命；m和C为曲线方程的形状参数，由试验数据按照《材料疲劳试验统计分析》(HB/Z112-86)拟合得到。

不同应力比下的疲劳应力等效计算的等寿命曲线(古德曼方程)为

式中，S_-1为单钉连接件的疲劳寿命为N、应力比为-1时的最大循环应力；σ_b为单钉连接件的强度极限，由试验测定。

和为任一应力比R下的疲劳应力，代入式(2)可得

联立式(2)和式(3)，消去S_-1可得应力比R下的疲劳应力和和指定应力比R₀下的疲劳应力S_max和S_min的关系

将式(4)代入式(1)，得到任一应力比R下的S-N曲线方程：

影响疲劳强度的因素有载荷特性(包括应力状态、交变频率等)、零件几何形状及表面状态(包括尺寸效应、表面光洁度、表面防腐蚀、缺口效应等)、材料本质和表面热处理及残余内应力、连接件装配状态(包括孔的表面状态、紧固件与连接板配合的填充状态、装配间隙、挤压状态等)。事实上，单钉连接件小试样选取的是多钉连接件的单个结构细节，其材料、零件、生产、装配均按照多钉连接件的实际生产、制造和装配工艺获得。其试验测定的S-N曲线，综合反映了上述因素的影响效应，即疲劳强度包含了载荷、材料、尺寸、表面状态、装配、生产等因素对疲劳强度综合影响，可以表征多钉连接件单个性能的包含多种影响效应的疲劳强度性能，可为多钉连接件的谱载疲劳寿命提供性能参数。只需已知最危险紧固件周边的应力状态，获得循环应力和便可利用式(5)得到该危险紧固件连接处的疲劳寿命，即得到整个多钉连接件的疲劳寿命。

步骤二、多钉连接件危险紧固件连接处的旁路应力与连接件尺寸参数之间的关系

当紧固件搭接区域承受复杂载荷作用时，其整体上呈现双向应力状态(如图2所示)，在图2中，上下板之间以多排n个紧固件连接，搭接区域同时承受双向正应力(σ_x和σ_y)和切应力(τ)。将正应力和切应力等效为主应力(如图3所示)：

σ₁和σ₂分别为最大主应力和最小主应力，α₀为主平面外法线与x轴正向夹角。只考虑最大主应力方向的旁路应力和传递应力对疲劳寿命的影响。图4中虚线所选为第i个孔处沿σ₁垂直方向的一块平衡体。

上下板之间的载荷由n个紧固件传递，假定n个紧固件平均分担了所传递的总载荷，则相同尺寸的紧固件其传递应力相同。另外，假定σ₁和σ₂方向上的载荷传递相互之间不影响，则可以独立计算两方向上的载荷传递。因此，对图4中的平衡体沿σ₁方向建立受力平衡方程可得

σ_P,i-1W_it＝σ_P,iW_it+σ_△Pdt(7)

式中：σ_P,i为i孔处旁路载荷引起的应力；σ_△P为紧固件传递载荷引起的应力，在假定每个紧固件的传递应力相同的条件下，由力和反作用力的关系可知，每个孔的传递应力相同；d为紧固件的直径；t为平板的厚度；W_i为过孔i中心的σ₁垂直方向的截面宽度，对于x方向第m_i排、y方向第n_i排的孔i，其计算公式为

式中，d₁为孔间距，d₂为紧固件距平板边缘距离。

由式(7)可得相邻孔的旁路应力之间的关系：

图5给出了孔1处沿垂直方向的平衡体，将式(9)中的i取为1，可得孔1的旁路应力表达式：

联立公式(9)和(10)，递推得孔i的旁路应力表达式：

图6给出了孔n处沿垂直方向的平衡体，它只承受紧固件的传递应力的作用，其旁路应力为零，即σ_P,n＝0，因此，由式(11)，可得孔n的传递应力为

将式(12)代入式(11)，得到孔i的旁路应力为

由公式(13)可知，孔1的旁路应力σ_P,1最大，可见孔1附近的区域为该应力状态下连接件的危险部位：

步骤三、复杂应力下多钉连接件疲劳S-N曲线

按图2中的应力状态对多钉连接件施加循环应力(σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min)，保证σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，利用式(6)可得到：

式中，σ_1,max和σ_1,min分别为最大循环应力和最小循环应力所对应的最大主应力；α_0,max和α_0,min分别为最大循环应力和最小循环应力下的主应力方位角，由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，故α_0,max和α_0,min相同。因此，最大循环应力和最小循环应力下连接件的危险部位位于同一个紧固件连接处，且σ_1,max和σ_1,min的方向和位置都相同。

将式(15)代入式(14)，得到危险紧固件连接处的旁路应力的最大值和最小值：

将σ_P,max和σ_P,min作为危险紧固件连接处的循环应力的最大值和最小值，即： 则可将式(16)表示为

由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，令R＝σ_x,max/σ_x,min＝σ_y,max/σ_y,min＝τ_max/τ_min，联立式(17)，得

将式(17)和式(18)代入式(5)，得到循环应力(σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min)作用时多钉连接件的疲劳寿命为

步骤四、谱载下多钉连接件疲劳寿命计算公式

对于交变应力不断变化的载荷谱，可利用常用载荷谱编制方法将其转化为多对循环应力按序依次施加在多钉连接件上。载荷谱的一个周期内由l对循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)(i＝1,2,…,l)按序组成，代入式(19)得到多钉连接件在循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)单独作用下的破坏循环数：

根据Miner线性累积损伤理论可知，谱载下多钉连接件的疲劳寿命T(即周期总数)为

式中，n_i为载荷谱一周期内循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)对应的循环数。

步骤五、谱载下多钉连接件的疲劳寿命计算

利用式(20)和式(21)可确定多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命。将单钉连接件小试样的力学性能和疲劳特性以及多钉连接件的结构特性代入到模型中，即可预测多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命。

3、优点及功效：本发明提供了一种预测多钉连接件疲劳寿命的方法，其特点是简单实用，通过试验获得单钉连接件小试样的疲劳性能，利用紧固件相同则其疲劳寿命相同的原理，仅仅需要将多钉连接件的应力状态和尺寸参数代入模型中，就可以得到任何排列形式的多钉连接件的疲劳寿命。

附图说明

图1为单钉连接件疲劳试验的受载示意图。

图2为多钉连接件复杂应力状态示意图。

图3为多钉连接件等效主应力状态示意图。

图4为紧固件孔i处平衡体应力状态示意图。

图5为紧固件孔1处平衡体应力状态示意图。

图6为紧固件孔n处平衡体应力状态示意图。

图7为本发明所述方法的流程框图。

图中符号说明如下：

图1中的S为单钉连接件两端循环应力。

图2中的σ_x为多钉连接件两端x方向正应力，σ_y为多钉连接件两端y方向正应力，τ为多钉连接件周围的切应力。

图3中的σ₁为多钉连接件的最大主应力，σ₂为多钉连接件的最小主应力，α₀为多钉连接件最大主应力与x正方向的夹角，也就是最大主应力的方位角。

图4中的σ_P,i为i孔处旁路载荷引起的应力；σ_△P为紧固件传递载荷引起的应力，在假定每个紧固件的传递应力相同的条件下，由力和反作用力的关系可知，每个孔的传递应力相同；d为紧固件的直径；t为平板的厚度；W_i为过孔i中心的σ₁垂直方向的截面宽度。

图5中的σ_P,1为1孔处旁路载荷引起的应力，σ₁为多钉连接件的最大主应力，σ_△P为紧固件传递载荷引起的应力。

图6中的σ_P,n-1为n-1孔处旁路载荷引起的应力；σ_△P为紧固件传递载荷引起的应力。

具体实施方式

图7为本发明所述方法的流程框图，本发明分五步实现，具体为：

步骤一、简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线

图1为单钉连接件的加载示意图，按照图1的载荷加载形式和国家标准《金属轴向疲劳试验方法》(GB3075-82)，通过疲劳试验，测定指定应力比R₀下简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线：

式中，S_max和S_min分别为疲劳试验循环应力的最大值和最小值；S₀为单钉连接件的疲劳极限，由试验测定；N为单钉连接件的疲劳寿命；m和C为曲线方程的形状参数，由试验数据按照《材料疲劳试验统计分析》(HB/Z112-86)拟合得到。

不同应力比下的疲劳应力等效计算的等寿命曲线(古德曼方程)为

式中，S_-1为单钉连接件的疲劳寿命为N、应力比为-1时的最大循环应力；σ_b为单钉连接件的强度极限，由试验测定。

和为任一应力比R下的疲劳应力，代入式(2)可得

联立式(2)和式(3)，消去S_-1可得应力比R下的疲劳应力和和指定应力比R₀下的疲劳应力S_max和S_min的关系

将式(4)代入式(1)，得到任一应力比R下的S-N曲线方程：

影响疲劳强度的因素有载荷特性(包括应力状态、交变频率等)、零件几何形状及表面状态(包括尺寸效应、表面光洁度、表面防腐蚀、缺口效应等)、材料本质和表面热处理及残余内应力、连接件装配状态(包括孔的表面状态、紧固件与连接板配合的填充状态、装配间隙、挤压状态等)。事实上，单钉连接件小试样选取的是多钉连接件的单个结构细节，其材料、零件、生产、装配均按照多钉连接件的实际生产、制造和装配工艺获得。其试验测定的S-N曲线，综合反映了上述因素的影响效应，即疲劳强度包含了载荷、材料、尺寸、表面状态、装配、生产等因素对疲劳强度综合影响，可以表征多钉连接件单个性能的包含多种影响效应的疲劳强度性能，可为多钉连接件的谱载疲劳寿命提供性能参数。只需已知最危险紧固件周边的应力状态，获得循环应力和便可利用式(5)得到该危险紧固件连接处的疲劳寿命，即得到整个多钉连接件的疲劳寿命。

步骤二、多钉连接件危险紧固件连接处的旁路应力与连接件尺寸参数之间的关系

当紧固件搭接区域承受复杂载荷作用时，其整体上呈现双向应力状态(如图2所示)，在图2中，上下板之间以多排n个紧固件连接，搭接区域同时承受双向正应力(σ_x和σ_y)和切应力(τ)。将正应力和切应力等效为主应力(如图3所示)：

σ₁和σ₂分别为最大主应力和最小主应力，α₀为主平面外法线与x轴正向夹角。只考虑最大主应力方向的旁路应力和传递应力对疲劳寿命的影响。图4中虚线所选为第i个孔处沿σ₁垂直方向的一块平衡体。

上下板之间的载荷由n个紧固件传递，假定n个紧固件平均分担了所传递的总载荷，则相同尺寸的紧固件其传递应力相同。另外，假定σ₁和σ₂方向上的载荷传递相互之间不影响，则可以独立计算两方向上的载荷传递。因此，对图4中的平衡体沿σ₁方向建立受力平衡方程可得

σ_P，i-1W_it＝σ_P,iW_it+σ_△Pdt(7)式中：σ_P,i为i孔处旁路载荷引起的应力；σ_△P为紧固件传递载荷引起的应力，在假定每个紧固件的传递应力相同的条件下，由力和反作用力的关系可知，每个孔的传递应力相同；d为紧固件的直径；t为平板的厚度；W_i为过孔i中心的σ₁垂直方向的截面宽度，对于x方向第m_i排、y方向第n_i排的孔i，其计算公式为

式中，d₁为孔间距，d₂为紧固件距平板边缘距离。

由式(7)可得相邻孔的旁路应力之间的关系：

图5给出了孔1处沿垂直方向的平衡体，将式(9)中的i取为1，可得孔1的旁路应力表达式：

联立公式(9)和(10)，递推得孔i的旁路应力表达式：

图6给出了孔n处沿垂直方向的平衡体，它只承受紧固件的传递应力的作用，其旁路应力为零，即σ_P,n＝0，因此，由式(11)，可得孔n的传递应力为

将式(12)代入式(11)，得到孔i的旁路应力为

由公式(13)可知，孔1的旁路应力σ_P,1最大，可见孔1附近的区域为该应力状态下连接件的危险部位：

步骤三、复杂应力下多钉连接件疲劳S-N曲线

按图2中的应力状态对多钉连接件施加循环应力(σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min)，保证σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，利用式(6)可得到：

式中，σ_1,max和σ_1,min分别为最大循环应力和最小循环应力所对应的最大主应力；α_0,max和α_0,min分别为最大循环应力和最小循环应力下的主应力方位角，由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，故α_0,max和α_0,min相同。因此，最大循环应力和最小循环应力下连接件的危险部位位于同一个紧固件连接处，且σ_1,max和σ_1,min的方向和位置都相同。

将式(15)代入式(14)，得到危险紧固件连接处的旁路应力的最大值和最小值：

将σ_P,max和σ_P,min作为危险紧固件连接处的循环应力的最大值和最小值，即： 则可将式(16)表示为

由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，令R＝σ_x,max/σ_x,min＝σ_y,max/σ_y,min＝τ_max/τ_min，联立式(17)，得

将式(17)和式(18)代入式(5)，得到循环应力(σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min)作用时多钉连接件的疲劳寿命为

步骤四、谱载下多钉连接件疲劳寿命计算公式

对于交变应力不断变化的载荷谱，可利用常用载荷谱编制方法将其转化为多对循环应力按序依次施加在多钉连接件上。载荷谱的一个周期内由l对循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)(i＝1,2,…,l)按序组成，代入式(19)得到多钉连接件在循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)单独作用下的破坏循环数：

根据Miner线性累积损伤理论可知，谱载下多钉连接件的疲劳寿命T(即周期总数)为

式中，n_i为载荷谱一周期内循环应力(σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min)对应的循环数。

步骤五、谱载下多钉连接件的疲劳寿命计算

利用式(20)和式(21)即可确定多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命。将单钉连接件小试样的力学性能和疲劳特性以及多钉连接件的结构特性代入到模型中，即可预测多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命。

Claims (1)

1.一种预测多钉连接件谱载疲劳寿命的方法，其特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一、简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线

按照单钉连接件的载荷加载形式和国家标准《金属轴向疲劳试验方法》，通过疲劳试验，测定指定应力比R₀下简单的单钉连接件小试样的疲劳S-N曲线：

$\{\begin{array}{c}{\left(S_{\max }-S_0\right)}^{m}N=C\\ R_0=S_{\max }/S_{\min }\end{array}---\left(1\right)$

式中，S_max和S_min分别为疲劳试验循环应力的最大值和最小值；S₀为单钉连接件的疲劳极限，由试验测定；N为单钉连接件的疲劳寿命；m和C为曲线方程的形状参数，由试验数据按照《材料疲劳试验统计分析》拟合得到；

不同应力比下的疲劳应力等效计算的等寿命曲线即古德曼方程为

$\frac{S_{max}-S_{min}}{2S_{-1}}+\frac{S_{max}+S_{min}}{2{\mathrm{\σ}}_b}=1---\left(2\right)$

式中，S_-1为单钉连接件的疲劳寿命为N、应力比为-1时的最大循环应力；σ_b为单钉连接件的强度极限，由试验测定；

和为任一应力比R下的疲劳循环应力的最大值和最小值，代入式(2)得

$\frac{S_{max}^R-S_{min}^R}{2S_{-1}}+\frac{S_{max}^R+S_{min}^R}{2{\mathrm{\σ}}_b}=1---\left(3\right)$

联立式(2)和式(3)，消去S_-1得应力比R下的和和指定应力比R₀下的S_max和S_min的关系

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\max }=\frac{\left(1-R\right){\mathrm{\σ}}_b}{\left(1-R_0\right)\frac{{\mathrm{\σ}}_b}{S_{\max }^R}-\left(R+R_0\right)}\\ R=S_{\max }^R/S_{\min }^R\end{array}\right.---\left(4\right)$

将式(4)代入式(1)，得到任一应力比R下的S-N曲线方程：

${\[\frac{(1-R){\mathrm{\σ}}_b}{(1-R_0)\frac{{\mathrm{\σ}}_b}{S_{max}^R}-(R+R_0)}-S_0\]}^{m}N=C---\left(5\right)$

影响疲劳强度的因素有载荷特性、零件几何形状及表面状态、材料本质和表面热处理及残余内应力、连接件装配状态；事实上，单钉连接件小试样选取的是多钉连接件的单个结构细节，其材料、零件、生产、装配均按照多钉连接件的实际生产、制造和装配工艺获得；其试验测定的S-N曲线，综合反映了上述因素的影响效应，即包含了载荷、材料、尺寸、表面状态、装配、生产因素对疲劳强度综合影响，表征多钉连接件单个性能的包含多种影响效应的疲劳强度性能，为多钉连接件的谱载疲劳寿命提供性能参数；只需已知最危险紧固件周边的应力状态，获得和便可利用式(5)得到该危险紧固件连接处的疲劳寿命，即得到整个多钉连接件的疲劳寿命；

步骤二、多钉连接件危险紧固件连接处的旁路应力与连接件尺寸参数之间的关系

当紧固件搭接区域承受复杂载荷作用时，其整体上呈现双向应力状态，上下板之间以多排n个紧固件连接，搭接区域同时承受双向正应力σ_x和σ_y及切应力τ；将正应力和切应力等效为主应力：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_1=\frac{{\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}^2}\\ {\mathrm{\σ}}_2=\frac{{\mathrm{\σ}}_x+{\mathrm{\σ}}_y}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}^2}\\ {\mathrm{\σ}}_0=\frac{1}{2}\arctan \left(-\frac{2\mathrm{\τ}}{{\mathrm{\σ}}_x-{\mathrm{\σ}}_y}\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$

σ₁和σ₂分别为最大主应力和最小主应力，α₀为主平面外法线与x轴正向夹角；只考虑最大主应力方向的旁路应力和传递应力对疲劳寿命的影响；

上下板之间的载荷由n个紧固件传递，假定n个紧固件平均分担了所传递的总载荷，则相同尺寸的紧固件其传递应力相同；另外，假定σ₁和σ₂方向上的载荷传递相互之间不影响，则独立计算两方向上的载荷传递，因此，对平衡体沿σ₁方向建立受力平衡方程得

σ_P,i-1W_it＝σ_P,iW_it+σ_ΔPdt(7)

式中：σ_P,i为i孔处旁路载荷引起的应力；σ_ΔP为紧固件传递载荷引起的应力，在假定每个紧固件的传递应力相同的条件下，由力和反作用力的关系可知，每个孔的传递应力相同；d为紧固件的直径；t为平板的厚度；W_i为过孔i中心的σ₁垂直方向的截面宽度，对于x方向第m_i排、y方向第n_i排的孔i，其计算公式为

$W_i=\{\begin{array}{c}\frac{\[\left(m_i-1\right)\·d_1+d_2\]}{{\mathrm{sin\α}}_0}+\frac{\[\left(n_i-1\right)\·d_1+d_2\]}{{\mathrm{cos\α}}_0},i\≤\frac{n}{2}\\ \frac{\[\left(m_{n-i}-1\right)\·d_1+d_2\]}{{\mathrm{sin\α}}_0}+\frac{\[\left(n_{n-i}-1\right)\·d_1+d_2\]}{{\mathrm{cos\α}}_0},i>\frac{n}{2}\end{array}---\left(8\right)$

式中，d₁为孔间距，d₂为紧固件距平板边缘距离；

由式(7)得相邻孔的旁路应力之间的关系：

${\mathrm{\σ}}_{P,i-1}={\mathrm{\σ}}_{P,i}+\frac{d}{W_i}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\Δ}P}---\left(9\right)$

将式(9)中的i取为1，得孔1的旁路应力表达式：

${\mathrm{\σ}}_{P,1}={\mathrm{\σ}}_1-\frac{d}{W_1}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\Δ}P}---\left(10\right)$

联立公式(9)和(10)，递推得孔i的旁路应力表达式：

${\mathrm{\σ}}_{P,i}={\mathrm{\σ}}_1-d\left(\underset{k=1}{\overset{i}{\Σ}}\frac{1}{W_k}\right){\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\Δ}P}---\left(11\right)$

孔n处沿垂直方向的平衡体，它只承受紧固件的传递应力的作用，其旁路应力为零，即σ_P,n＝0，因此，由式(11)，得孔n的传递应力为

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\Δ}P}=\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{d\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}---\left(12\right)$

将式(12)代入式(11)，得到孔i的旁路应力为

${\mathrm{\σ}}_{P,i}=\frac{\underset{k=i+1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\mathrm{\σ}}_1---\left(13\right)$

由公式(13)可知，孔1的旁路应力σ_P,1最大，可见孔1附近的区域为该应力状态下连接件的危险部位：

${\mathrm{\σ}}_{P,1}=\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\mathrm{\σ}}_1---\left(14\right)$

步骤三、复杂应力下多钉连接件疲劳S-N曲线

对多钉连接件施加循环应力σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min，保证σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，利用式(6)可得到：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{1,\max }=\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }-{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\\ {\mathrm{\σ}}_{1,\max }=\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }+{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }-{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\min }^2}\\ {\mathrm{\α}}_{0,\max }=\frac{1}{2}\arctan \left(-\frac{2{\mathrm{\τ}}_{\max }}{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }-{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}\right)=\frac{1}{2}\arctan \left(-\frac{2{\mathrm{\τ}}_{\min }}{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }-{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}\right)\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中，σ_1,max和σ_1,min分别为最大循环应力和最小循环应力所对应的最大主应力；α_0,max和α_0,min分别为最大循环应力和最小循环应力下的主应力方位角，由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，故α_0,max和α_0,min相同；因此，最大循环应力和最小循环应力下连接件的危险部位位于同一个紧固件连接处，且σ_1,max和σ_1,min的方向和位置都相同；

将式(15)代入式(14)，得到危险紧固件连接处的旁路应力的最大值和最小值：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{P,\max }=\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }-{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\]\\ {\mathrm{\σ}}_{P,\min }=\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }+{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }-{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\]\end{array}\right.---\left(16\right)$

将σ_P,max和σ_P,min作为危险紧固件连接处的循环应力的最大值和最小值，即： 则可将式(16)表示为

$\left\{\begin{array}{c}{S}_{\max }^R=\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }-{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\]\\ S_{\min }^R=\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }+{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }-{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\min }^2}\]\end{array}\right.---\left(17\right)$

由于σ_x、σ_y和τ三者之间的比例不变，令R＝σ_x,max/σ_x,min＝σ_y,max/σ_y,min＝τ_max/τ_min，联立式(17)，得

$\frac{S_{\max }^R}{S_{\min }^R}=\frac{\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,max}+{\mathrm{\σ}}_{y,max}}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,max}-{\mathrm{\σ}}_{y,max}}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{max}^2}\]}{\frac{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }+{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\min }-{\mathrm{\σ}}_{y,\min }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\min }^2}\]}=R---\left(18\right)$

将式(17)和式(18)代入式(5)，得到循环应力σ_x,max和σ_x,min，σ_y,max和σ_y,min，τ_max和τ_min作用时多钉连接件的疲劳寿命为

${\left\{\begin{array}{c}N=C\left\{\frac{\left(1-R\right){\mathrm{\σ}}_b\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\]}{\frac{\left(1-R_0\right){\mathrm{\σ}}_b\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}-\left(R+R_0\right)\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{\max }^2}\]}-S_0\right\}\\ R={\mathrm{\σ}}_{x,\max }/{\mathrm{\σ}}_{x,\min }\end{array}\right.}^{-m}---\left(19\right)$

步骤四、谱载下多钉连接件疲劳寿命计算公式

对于交变应力不断变化的载荷谱，利用常用载荷谱编制方法将其转化为多对循环应力按序依次施加在多钉连接件上；载荷谱的一个周期内由l对循环应力σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min按序组成，代入式(19)得到多钉连接件在循环应力σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min单独作用下的破坏循环数：其中，i＝1,2,…,l；

${\left\{\begin{array}{c}{N}_i=C\left\{\frac{\left(1-R_i\right){\mathrm{\σ}}_b\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,i,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,i,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,i,\max }-{\mathrm{\σ}}_{y,i,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{i,\max }^2}\]}{\frac{\left(1-R_0\right){\mathrm{\σ}}_b\underset{k=1}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}{\underset{k=2}{\overset{n}{\Σ}}\frac{1}{W_k}}-\left(R_i+R_0\right)\[\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,i,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,i,\max }}{2}+\sqrt{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{x,i,\max }+{\mathrm{\σ}}_{y,i,\max }}{2}\right)}^2+{\mathrm{\τ}}_{i,\max }^2}\]}-S_0\right\}\\ R={\mathrm{\σ}}_{x,i,\max }/{\mathrm{\σ}}_{x,i,\min }\end{array}\right.}^{-m}---\left(20\right)$

根据Miner线性累积损伤理论可知，谱载下多钉连接件的疲劳寿命T即周期总数为

$T=\frac{1}{\underset{i=1}{\overset{l}{\Σ}}\frac{n_i}{N_i}}---\left(21\right)$

式中，n_i为载荷谱一周期内循环应力σ_x,i,max和σ_x,i,min，σ_y,i,max和σ_y,i,min，τ_i,max和τ_i,min对应的循环数；

步骤五、谱载下多钉连接件的疲劳寿命计算

利用式(20)和式(21)确定多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命，将单钉连接件小试样的力学性能和疲劳特性以及多钉连接件的结构特性代入到模型中，即可预测多钉连接件复杂应力状态下的疲劳寿命。