CN103344514B - 一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法 - Google Patents

Abstract

一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，步骤如下：一、确定产品的初始疲劳极限，利用巴斯金公式计算仅在疲劳载荷作用下单级载荷对应的疲劳寿命；二、根据冲击到达的频率，确定是随机冲击还是固定冲击；三、按步骤一选定的疲劳累积损伤法则损伤计算方法，计算前1000次冲击后的疲劳累积损伤；四、计算冲击超过1000次时的疲劳累积损伤以及t时刻产品总的累积损伤值；五、分别计算不发生疲劳失效的概率和随机冲击失效的概率，最后得到产品的可靠度。本发明能够更好地对复杂环境下产品的疲劳寿命和可靠度做出评估，对冲击和疲劳累积损伤模型分情况讨论，选择面和适用面广，方法的分析和计算过程简便，工程实用性强。

Description

一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法

技术领域

本发明提供一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，属于疲劳损伤分析及可靠性评估技术领域。

背景技术

疲劳破坏是机械和机电产品重要的失效方式之一。产品在载荷的反复循环作用之下，会产生疲劳损伤，当损伤值达到一定的阈值时，将导致疲劳破坏，这个载荷称为疲劳载荷。除了疲劳载荷之外，产品工作或者储存过程中还可能受到冲击载荷的作用。冲击载荷不仅可能直接导致产品的失效，还会对疲劳损伤造成影响，进而对整个产品的疲劳寿命造成影响。因此，为了更准确的评价产品的寿命和可靠性，必须要对疲劳和冲击载荷之间的耦合效应进行分析，计算由它们引起的综合损伤。目前为止，还没有实用的、可以对疲劳-冲击载荷综合作用下的损伤进行具体计算的方法，也没有对这种情况下的产品寿命或可靠性进行评估的方法。

疲劳损伤的定义方式有多种，不同的定义方式对应着不同的理论，总体上可以分为微观和宏观两种。微观上主要有微观裂纹、空洞体积比、电阻抗变化、显微硬度变化等；宏观上主要有1/N（N为疲劳寿命）、剩余刚度、剩余强度、循环耗散能等。由于微观理论的物理过程非常复杂，而且还受到实验条件等因素限制和影响，很少有定量的细观模型。目前工程上应用比较广泛的主要是以单级载荷疲劳寿命N为基础的疲劳累积损伤理论。疲劳累积损伤理论主要有线性疲劳累积损伤理论、非线性疲劳累积损伤理论和概率疲劳累积损伤理论。其中线性疲劳累积损伤理论由于其简单易于计算，在工程上应用最多。非线性疲劳累积损伤理论则是针对线性理论没有考虑应力之间相互作用，不能解决不同载荷加载次序效应而提出的，最典型的有损伤曲线（DC）法和克尔顿-多兰（Carten-Dolan）理论，它们在工程上均有较多应用。概率疲劳损伤理论则是建立在“不确定”的理论之上，认为疲劳损伤有随机性，因而表现出分散性。从疲劳寿命的角度，又可以分为高周疲劳和低周疲劳。高周疲劳断口没有明显的塑性变形区，一般用名义应力法分析；而低周疲劳考虑了塑性变形的影响，一般用局部应力应变法分析。

冲击损伤没有明确的定义，一般来说，如果冲击较少、强度较大，其主要的作用方式是单个冲击造成的损伤，如果冲击次数比较多、强度较小，则其主要作用形式为累积损伤。研究表明，1000次以内的冲击的破坏形式与一次冲击相似，多于1000次时，则表现出疲劳破坏的特征。也有很多试验表明，一次冲击会减少材料的剩余强度。因此，冲击对疲劳损伤的影响也可以从少次数冲击影响强度，高次数冲击损伤累积的角度分析。另外当冲击的应力大于产品的强度时，还可能直接导致产品的冲击破坏。

基于以上背景和分析，本发明针对缺少疲劳-冲击载荷综合作用下的损伤进行具体计算的方法这一情况，在高周疲劳和低强度多次冲击的前提下，给出一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法。

发明内容

（1）本发明的目的：针对缺少对于疲劳-冲击载荷综合作用下的具体损伤计算方法以及可靠度计算方法，本发明提供一种实用的基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法。它首先建立各个阶段冲击对疲劳的影响模型，基于几种典型的疲劳累积损伤理论建立综合载荷下的疲劳损伤计算方法以及发生疲劳破坏的概率，然后针对冲击载荷直接导致产品失效建立失效模型，最后建立综合载荷和竞争失效下的产品可靠度的模型。

（2）技术方案：

本发明提出的一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法基于以下几点假设：

假设1疲劳载荷谱已知，由m级大小不同的载荷组成，第i级载荷记为S_i，对应的频率为f_i。疲劳载荷连续不间断地作用于产品，间断部分可看成S₀=0。

假设2冲击载荷可能随机到达也可能按固定周期T到达。冲击应力大小为随机变量SS(t)，其服从平均应力大小为μ_S(t)，方差为V(S(t))的正态分布。

假设31000次以下的冲击主要影响产品的强度极限σ_b；1000次以上的冲击直接造成疲劳损伤。

其中强度极限与所受冲击应力之间的关系为：

${{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(\mathrm{SS}\left(t\right)\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(0\right)-\underset{i=1}{\overset{n\left(t\right)}{\mathrm{\Σ}}}q{\mathrm{SS}}_i{\left(t\right)}^p---\left(1\right)$

式中，p、q为与材料有关的常数（当n(t)趋于某一应力对应的疲劳寿命N时，σ_b ^*(t)远小于σ_b(0)，即（1）式左边项可以忽略近似为0，右边可看成S-N曲线，则通过试验得到S-N曲线即可求出p、q）；n(t)为t时刻冲击到达的次数，且n(t)≤1000。

假设4冲击载荷可能导致过应力失效。

基于上述假设，本发明提供一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：确定产品的初始疲劳极限，利用巴斯金（Basquin）公式计算仅在疲劳载荷作用下单级载荷对应的疲劳寿命；分析疲劳累积损伤模式，从常用的疲劳累积损伤模型中选择合适的模型，为计算疲劳损伤做准备。

首先利用古德曼（Goodman）公式（29）修正疲劳应力，再利用Basquin公式（30）计算每一级载荷对应的疲劳寿命，之后利用累积损伤公式计算每级载荷循环产生的疲劳损伤。

一般来说，结构简单、载荷级数多的产品可以选择迈纳（Miner）线性累积损伤模型；结构比较复杂、有损伤试验基础、能确定材料参数的产品可以选择非线性损伤曲线模型；而Corten-Dolan模型适用于汽车、拖拉机等机械产品的零件。

步骤二：根据冲击到达的频率，确定是随机冲击还是固定冲击，根据公式（1）计算前1000次冲击对产品强度极限σ_b造成的损害后，修正的强度极限σ_b ^*(t)。

若是随机冲击

${{\mathrm{\σ}}_b}^{*}={\mathrm{\σ}}_b\left(\mathrm{SS}\left(t\right)\right)$

$={\mathrm{\σ}}_b\left(0\right)-\underset{i=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{e}^{\mathrm{\λt}}\frac{{\mathrm{\λ}}^i}{i!}\underset{j=1}{\overset{\min (i,100)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{qSS}}_j{\left(t\right)}^p---\left(2\right)$

式中，p、q为与材料有关的常数，λ为泊松过程的参数，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限。

若是固定冲击

${{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(\mathrm{SS}\left(t\right)\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(0\right)-\underset{i=1}{\overset{\min \left(\right[t/T],1000)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{qSS}}_i{\left(t\right)}^p---\left(3\right)$

式中，p、q为与材料有关的常数，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限。

步骤三：按步骤一选定的疲劳累积损伤法则损伤计算方法，计算前1000次冲击后的疲劳累积损伤。首先计算每次冲击后的等效应力及其对应的疲劳寿命，然后按照步骤二选定的疲劳累积损伤法则，计算单级载荷下每次冲击之间的损伤。

首先是每次冲击后的疲劳载荷的等效应力：

${\mathrm{\σ}}_s\left(t\right)=\frac{{\mathrm{\σ}}_a\left(t\right)}{1-\frac{{\mathrm{\σ}}_m\left(t\right)}{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)}}---\left(4\right)$

若为随机冲击

${\mathrm{\σ}}_s\left(t_i\right)=\frac{{\mathrm{\σ}}_a\left(t_i\right)}{1-\frac{{\mathrm{\σ}}_m\left(t_i\right)}{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t_i\right)}}---\left(5\right)$

若为固定冲击

${\mathrm{\σ}}_s\left(\mathrm{nT}\right)=\frac{{\mathrm{\σ}}_a\left(\mathrm{nT}\right)}{1-\frac{{\mathrm{\σ}}_m\left(\mathrm{nT}\right)}{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(\mathrm{nT}\right)}}---\left(6\right)$

式中，为应力幅，σ_a(t)为t时刻的应力幅；

为平均应力，σ_m(t)为t时刻的平均应力；

σ_b为强度极限，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限。

再根据Basquin公式计算强度变化之后载荷对应的疲劳寿命

$N_i\left(t\right)={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_s\left(t\right)}{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}\right)}^b{N}_0={\left(\frac{\frac{{\mathrm{\σ}}_a\left(t\right)}{1-{\mathrm{\σ}}_m\left(t\right)/{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)}}{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}\right)}^b{N}_0---\left(7\right)$

其中，σ_s(t)—t时刻疲劳载荷对应的等效应力；

b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_i(t)—σ_s(t)对应的疲劳寿命。

然后按照步骤二选定的疲劳累积损伤法则，计算单级载荷i下每次冲击之间的损伤：

（1）若选择Miner法则

若为随机冲击

$D_j=\frac{t_j-t_{j-1}}{N\left(t_j\right)}{f}_i---\left(8\right)$

其中f_i为该级载荷对应的加载频率，j为第j次冲击，t_j为第j次冲击的时刻。

若为固定冲击

$D_j=\frac{{\mathrm{Tf}}_i}{N\left(\mathrm{Tj}\right)}---\left(9\right)$

其中f_i为该级载荷对应的加载频率，j为第j次冲击，T为固定冲击间隔。

（2）若选择DC法则

若为随机冲击

$D_j={\left[\frac{t_j-t_{j-1}}{{\mathrm{\σ}}_s\left(t_j\right)}{f}_i\right]}^a---\left(10\right)$

其中a为与载荷大小有关的常数，j为第j次冲击，t_j为第j次冲击的时刻，σ_s(t)为t时刻载荷对应的等效应力，f_i为该级载荷对应的加载频率。

若为固定冲击

$D_j={\left[\frac{{\mathrm{Tf}}_i}{{\mathrm{\σ}}_s\left(\mathrm{Tj}\right)}\right]}^a---\left(11\right)$

其中a为与载荷大小有关的常数，σ_s(t)为t时刻疲劳载荷对应的等效应力，j为第j次冲击，T为固定冲击间隔，f_i为该级载荷对应的加载频率。

（3）若选择Carten-Dolan法则

首先根据步骤三中计算的每次冲击后的等效应力，求出t时刻之前且冲击次数少于1000次时最大的等效应力

σ₁=max{σ_s(t),SS(t)}（12）

式中，σ_s(t)为t时刻载荷对应的等效应力，SS(t)为t时刻受到的冲击应力。

然后根据公式（30）求出其相应的疲劳寿命N₁，再根据公式（13）计算单级两次冲击之间的损伤值

$D_j=\frac{t_j-t_{j-1}}{N_1{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_s\left(t_j\right)}\right)}^d}{f}_i---\left(13\right)$

式中，j为第j次冲击，t_j为第j次冲击的时刻，d为材料常数，σ_s(t)为t时刻载荷对应的等效应力，f_i为该级载荷对应的加载频率。

之后再对多级载荷i进行累加：

$D\left(t\right|n\≤1000)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Σn}{s}_i\≤1000}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{{\mathrm{ns}}_i}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ij}}---\left(14\right)$

其中D_ij表示第i级载荷下的第j次冲击造成的损伤，ns_i表示第i级载荷下的冲击次数，而且各级载荷累计的冲击次数ns不超过1000次，即∑ns_i≤1000，否则进入步骤四。

步骤四：计算冲击超过1000次时的疲劳累积损伤以及t时刻产品总的累积损伤值。

首先计算疲劳载荷造成的损伤。当冲击超过1000次时，产品的强度不再变化，故利用公式（1）有 ${{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(0\right)-\underset{i=1}{\overset{1000}{\mathrm{\Σ}}}q{\mathrm{SS}}_i{\left(t\right)}^p.$

根据公式（29）计算冲击超过1000次之后疲劳载荷的等效应力σ_si，根据公式（30）计算对应的各级疲劳寿命N_i，根据公式（32）、（34）或（35）分别计算不同模型下累积损伤，记为D(t|n>1000)。

若为Miner法则：

$D\left(t\right|n>1000)=\underset{i(\mathrm{\Σ}{\mathrm{ns}}_i=1000)}{\overset{j(\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i\≤t)}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n_i-f_i(t_{i,{\mathrm{ns}}_i}-t_{i,0})}{N_i}+\frac{1/f_{j+1}(t-\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i)}{N_{j+1}}---\left(15\right)$

式中，i(∑ns_i=1000)表示从冲击超过1000次时经历的疲劳载荷等级i开始计算，表示t时刻之前所有完整的疲劳载荷历经的级数为j，ns_i表示第i级载荷下受到的冲击次数，t_i,0表示1000次冲击以后第i级载荷下冲击开始计数的时刻，f_i为该级载荷对应的加载频率，N_i表示该级载荷对应的疲劳寿命。

若为DC法则：

$D\left(t\right|n>1000)=\underset{i(\mathrm{\Σ}{\mathrm{ns}}_i=1000)}{\overset{j(\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i\≤t)}{\mathrm{\Σ}}}{\left(\frac{n_i-f_i(t_{i,{\mathrm{ns}}_i}-t_{i,0})}{N_i}\right)}^{a_i}+{\left[(t-\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i)\frac{1}{f_{j+1}{N}_{j+1}}\right]}^{a_{j+1}}---\left(16\right)$

式中a_i表示与载荷大小有关的常数，其它含义与（15）式相同。

若为Carten-Dolan法则：

$D\left(t\right|n>1000)=\underset{i(\mathrm{\Σ}{\mathrm{ns}}_i=1000)}{\overset{j(\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i\≤t)}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n_i-f_i(t_{i,{\mathrm{ns}}_i}-t_{i,0})}{N_1{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{si}}}\right)}^d}+\frac{1/f_{j+1}(t-\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{n}_i{f}_i)}{N_1{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_1}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{sj}}}\right)}^d}---\left(17\right)$

式中d为材料常数，σ_si为第i级载荷对应的等效应力，N₁为最大的等效应力对应的疲劳寿命，其它含义与（15）式相同。

然后计算超过1000次后冲击载荷造成的疲劳损伤。先确定其等效应力，由于冲击载荷是服从正态分布的随机变量，可取其盈利均值均值μ_S(t)为等效应力。利用公式（2）计算其疲劳寿命可得

$N_S={\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_S\left(t\right)}{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}\right)}^b{N}_0---\left(18\right)$

式中，b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_S—冲击等效应力μ_S(t)对应的疲劳寿命。

再利用前面选定的公式（32）、（34）或（35）计算超过1000次后冲击载荷造成的疲劳累积损伤。

若为Miner法则：

式中，λ为泊松过程的参数，N_S为冲击等效应力μ_S(t)对应的疲劳寿命，D_S(t)为超过1000次后冲击载荷造成的疲劳累积损伤。

若为DC法则：

式中，a_s表示与冲击应力大小有关的常数，其它含义与（19）式相同。

若为Carten-Dolan法则：

式中d为材料常数，μ_S(t)为冲击等效应力，N₁为最大的等效应力对应的疲劳寿命，其它含义与（19）式相同。

最后通过对之前步骤三和步骤四的计算结果进行相加，可以得到一定时刻t产品的累积损伤值，即

D(t)=D(t|n≤1000)+D(t|n>1000)+D_s(t)（22）

步骤五：分别计算不发生疲劳失效的概率和随机冲击失效的概率，最后可得到产品的可靠度：

R(t)=R_fR_h(t)（23）

式中，R_f(t)为t时刻不发生疲劳破坏的概率，R_h(t)为t时刻不发生冲击破坏的概率。

首先计算不发生疲劳失效的概率。对于综合载荷导致的疲劳破坏，由于材料本身和外界因素导致的分散性，产品的临界破坏损伤值不是一个定值，而是一个随机变量D_f，其具体分布由实际材料和所处的环境决定，一般可由经验给出。

故在t时刻不发生疲劳破坏的概率为

R_f=P{D(t)≤D_f}（24）

其次计算不发生随机冲击失效的概率。

根据应力-强度干涉模型，可以计算产品不发生冲击突发失效的概率。

若为随机冲击：

$R_h(t+\mathrm{\Δt})=P\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(\mathrm{\τ}\right)\≥S\left(\mathrm{\τ}\right)+\mathrm{SS}\left(\mathrm{\τ}\right),\∀\mathrm{\τ}\∈[0,t\left]\right\}P\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(\mathrm{\τ}\right)\≥{\mathrm{\σ}}_s\left(\mathrm{\τ}\right)+{\mathrm{\μ}}_S\left(\mathrm{\τ}\right),\∀\mathrm{\τ}\∈[t,t+\mathrm{\Δt}\left]\right\}$

$=R_h\left(t\right)[1-\mathrm{\λ\ΔtP}\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left({\mathrm{\τ}}_0\right)\≤{\mathrm{\σ}}_s\left({\mathrm{\τ}}_0\right)+{\mathrm{\μ}}_S\left({\mathrm{\τ}}_0\right),\∃{\mathrm{\τ}}_0\∈[t,t+\mathrm{\Δt}]\}+o\left(\mathrm{\Δt}\right)]---\left(25\right)$

$-R_h\left(t\right)(1-\mathrm{\λ})\mathrm{\ΔtP}\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left({\mathrm{\τ}}_0\right)\≤{\mathrm{\σ}}_s\left({\mathrm{\τ}}_0\right),\∃{\mathrm{\τ}}_0\∈[t,t+\mathrm{\Δt}\left]\right\}$

式中，λ为泊松过程的参数，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限，μ_S(t)为t时刻冲击的等效应力，σ_s(t)为t时刻疲劳载荷对应的等效应力。

由于 $P\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left({\mathrm{\τ}}_0\right)\≤S\left({\mathrm{\τ}}_0\right),\∃{\mathrm{\τ}}_0\∈[t,t+\mathrm{\Δt}\left]\right\}=0,$ 因此让△t→0，此时τ₀→t，则

$\frac{{\mathrm{dR}}_h\left(t\right)}{\mathrm{dt}}=-R_h\left(t\right)\mathrm{\λP}\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(\mathrm{\τ}\right)\≤{\mathrm{\σ}}_s\left(\mathrm{\τ}\right)+{\mathrm{\μ}}_S\left(\mathrm{\τ}\right)\}---\left(26\right)$

式中含义与（25）式相同。

对（25）式积分可得

$R_h\left(t\right)=\exp (-\mathrm{\λ}{\∫}_0^{t}P\{{{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(\mathrm{\τ}\right)\≤{\mathrm{\σ}}_s\left(\mathrm{\τ}\right)+{\mathrm{\μ}}_S\left(\mathrm{\τ}\right)\left\}\mathrm{d\τ}\right)---\left(27\right)$

式中含义与（25）式相同。

若为固定冲击：

R_h(nT)=P{σ_b ^*(nT)≥σ_s(nT)+μ_S(nT)}P{σ_b ^*((n-1)T)≥σ_s((n-1)T)+μ_S((n-1)T)}

...P{σ_b ^*(T)≥σ_s(T)+μ_S(T)}（28）

=R_h((n-1)T)P{σ_b ^*(nT)≥σ_s(nT)+μ_S(nT)}

式中T为固定冲击间隔，其它含义与（25）式相同。

将以上计算结果代入（23）式即可得到可靠寿命。

通过以上五个步骤，达到了计算基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤以及评估综合载荷下产品可靠性的目的。

其中，在步骤一中，应首先使用有限元软件将疲劳载荷转化成连续截面最大应力σ_max和最小应力σ_min，然后根据Goodman公式修正应力。

${\mathrm{\σ}}_s=\frac{{\mathrm{\σ}}_a}{1-\frac{{\mathrm{\σ}}_m}{{\mathrm{\σ}}_b}}---\left(29\right)$

式中， ${\mathrm{\σ}}_a=\frac{{\mathrm{\σ}}_{\max }-{\mathrm{\σ}}_{\min }}{2}$ 为应力幅，

${\mathrm{\σ}}_m=\frac{{\mathrm{\σ}}_{\max }+{\mathrm{\σ}}_{\min }}{2}$ 为平均应力，

σ_b为强度极限。

然后再用Basquin公式的变形计算该级载荷对应的疲劳寿命

$N_i={\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{is}}}{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}\right)}^b{N}_0---\left(30\right)$

其中，σ_is—各级载荷下的等效应力；

b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_i—σ_is对应的疲劳寿命。

常用的疲劳累积损伤模型主要有Miner线性累积损伤模型、非线性损伤曲线模型和Carten-Dolan累积损伤模型：

①Miner线性累积损伤模型：

单级载荷下，损伤值为

$D_i=\frac{n_i}{N_i}---\left(31\right)$

在变幅载荷下，其累积损伤值为

$D=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n_i}{N_i}---\left(32\right)$

其中N_i为第i级载荷对应的疲劳寿命（循环次数）。一般来说当累积损伤值达到1时，疲劳破坏发生。

②非线性损伤曲线（DC）模型：

单级载荷下，累积损伤计算法则为

$D_i={\left(\frac{n_i}{N_i}\right)}^{{\mathrm{\α}}_i}---\left(33\right)$

在变幅载荷下，累积损伤为

$D=\mathrm{\Σ}{\left(\frac{n_i}{N_i}\right)}^{{\mathrm{\α}}_i}---\left(34\right)$

其中a_i为与载荷大小有关的常数，其具体形式可以通过多级疲劳试验获得。一般来说当累积损伤值达到1时，疲劳破坏发生。

③Carten-Dolan累积损伤模型：

变幅载荷下造成的损伤为

$D=\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{n_i}{N_1{\left(\frac{S_1}{S_i}\right)}^d}---\left(35\right)$

其中S₁和N₁分别为最大级载荷大小及其对应的疲劳寿命。两级载荷下，当材料为高强度钢时，d的参考取值为4.8，其它材料为5.8。转化后临界损伤值一般为1。

（3）优点和功效：本发明提供一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，其优点是：

①本发明在考虑疲劳载荷和随机冲击载荷同时作用的基础上，建立了综合累积损伤计算模型和竞争模式下综合可靠性评估模型，与传统疲劳损伤计算方法相比，考虑了随机冲击对产品强度与疲劳累积损伤的影响、随机冲击直接导致的突发失效对产品寿命的影响，能够更好地对复杂环境下产品的疲劳寿命和可靠度做出评估。

②本发明对冲击和疲劳累积损伤模型分情况讨论，选择面和适用面广。

③本发明充分考虑了产品的复杂环境，使得模型计算和评估更加细致，与此同时，结合了工程实践的经验，使得方法的分析和计算过程简便，能够为工程所实践。

附图说明

图1是本发明方法流程图。

图2是疲劳-冲击综合载荷下的可靠度曲线。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。

以下实施例是按照如图1所示的流程进行实施的，案例选取了某作动器筒体作为疲劳-冲击分析对象，主要包括分析冲击载荷特征，确定其类型、分析选用合适的疲劳累积损伤模型、冲击后疲劳累积损伤计算、疲劳破坏概率估计、产品强度受疲劳损伤影响模型的建立、可靠性评估模型建立。具体步骤如下：

步骤一：收集产品信息，确定产品的疲劳极限，利用Basquin公式计算仅在疲劳载荷作用下单级载荷对应的疲劳寿命；分析疲劳累积损伤模式，从常用的疲劳累积损伤模型中选择合适的模型，为计算疲劳损伤做准备。

作动筒疲劳载荷按照0%、50%、90%、50%、10%、5%水平分6个阶段循环加载，其频率为f_i=0.1HZ，其循环单元的具体次数n_i见表1所示。再用Ansys软件对筒体模型进行分析，每级载荷对应的最大和最小应力也见表1所示。

表1作动器加速疲劳试验循环单元载荷谱及有限元计算结果

作动筒材料的强度极限为σ_b=1310MPa，根据Goodman公式（29）修正得到等效应力，结果见表2所示。

表2Goodman修正后的等效应力

再用Basquin公式（其中b=-3.92；σ_-1A=343Mpa；N₀=10⁷）计算该级载荷对应的疲劳寿命，结果见表3所示。

表3各级载荷对应的疲劳寿命

由作动器筒体的特征，其结构较为简单，线性疲劳累积损伤模型就能满足要求，因此此处选择Miner线性累积损伤模型。

步骤二：冲击载荷为压力脉冲载荷，从第二个循环单元开始在施加疲劳载荷之前固定地每隔1000s冲击一次，其大小SS(t)服从N(500,100)Mpa，可知平均冲击应力大小为μ_S(t)=500MPa。

由于是固定冲击

${{\mathrm{\σ}}_b}^{*}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_b\left(0\right)-\underset{i=1}{\overset{\min \left(\right[t/T],1000)}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{q\μ}}_S{\left(t\right)}^p$ $=1310-\underset{i=1}{\overset{\min \left(\right[t/T],1000)}{\mathrm{\Σ}}}{0.036\×500}^{1.26}---\left(36\right)$

$=1310-0.036{\×500}^{0.48}\×\min \left(\right[t/1000],1000)$

$=1310-0.711\×\min \left(\right[t/1000],1000)$

其中p=0.48，q=0.036。

步骤三：根据式（6）计算前1000次冲击每次冲击后的等效应力，结果见表4。由于冲击从第二个疲劳循环单元开始，通过分析可知，疲劳载荷的第二个循环单元前100000循环正好对应前1000次冲击。其中序号1-4表示第二个循环单元的前4个阶段（或一部分）。

表4前1000次冲击后的剩余强度极限及疲劳载荷的等效应力

再根据公式（8）计算强度极限变化之后载荷对应的疲劳寿命。在第二个单元循环内的前3个阶段，以及第4阶段的上部分循环下，分别将表4中对应的等效应力代入公式（7），即可得到疲劳寿命。从第4阶段的下部分循环开始，等效应力是一个常数，对应的疲劳寿命列于表4中的最后一列。

接下来根据Miner累积损伤法则，根据（9）式计算单级载荷i下每次冲击之间的损伤，然后按照公式（13）进行多级载荷的累加：

$D\left(t\right|n\≤1000)=\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Σ}{\mathrm{ns}}_i\≤1000}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{{\mathrm{ns}}_i}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ij}}$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\Σ}{\mathrm{ns}}_i\≤1000}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{{\mathrm{ns}}_i}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100}{{\left(\frac{{\mathrm{\σ}}_s\left((j-1)1000\right)}{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}\right)}^b{N}_0}$

其中，b=-3.92；σ_-1A=343Mpa；N₀=10⁷。

$D\left(t\right|n=1000)$

$=\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{162.4}^b{N}_0}+\underset{j=1}{\overset{40}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{289}{2-\frac{289}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}+\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{162.9}^b{N}_0}+\underset{j=41}{\overset{120}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{423}{2-\frac{423}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}$

$=\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{255.7}^b{N}_0}+\underset{j=121}{\overset{300}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{534}{2-\frac{534}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}+\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{352.9}^b{N}_0}+\underset{j=301}{\overset{1000}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{423}{2-\frac{423}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}$

$\≈\underset{j=1}{\overset{40}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{289}{2-\frac{289}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}+\underset{j=41}{\overset{120}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{423}{2-\frac{423}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}$

$+\underset{j=121}{\overset{300}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{534}{2-\frac{534}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}+\underset{j=301}{\overset{1000}{\mathrm{\Σ}}}\frac{100\·{{\mathrm{\σ}}_{-1A}}^b}{{\left(\frac{423}{2-\frac{423}{1310-0.711j}}\right)}^b{N}_0}$

$\≈0.006$

步骤四：当冲击次数超过1000次时，产品的剩余强度σ_b ^*(t)=599.1，之后相应的疲劳载荷等效应力如表5所示。其中序号4-6表示第二个循环单元的几个剩余阶段，序号1’-6’表示第三个循环单元的6个阶段。

表5超过1000次冲击后的剩余强度极限及疲劳载荷的等效应力

结合表5中的等效应力和疲劳寿命，用式（15）计算冲击超过1000次时疲劳累积损伤。为了表达上的简便，取一个循环单元为计算单位，则当第二个疲劳载荷循环单元结束时，D2=0.0257，当第三个疲劳载荷循环单元结束时D3=0.03899，以后每个单元的疲劳损伤均为0.03899。

由公式（18）得疲劳寿命为

N_S=2282394

然后根据（19）式计算超过1000次后冲击载荷造成的疲劳损伤。

$D_S\left(t\right)=\frac{[t/1000]-1000}{2282394}$

同样取一个循环单元为计算单位，则当第二个疲劳载荷循环单元结束时，D_S(2)=0.007，当第三个疲劳载荷循环单元结束时D_S(3)=0.00745，以后每个单元的疲劳损伤均为0.00745。

未进行冲击时的第一个循环单元产生的累积疲劳损伤值为0.019，累加步骤三合步骤四损伤，计算在整数个疲劳循环单元处（m≥3,m∈N⁺,对应t=17820000m秒=4950m小时）的损伤值为

D=0.019+0.006+0.0257+0.03899m+0.007+0.00745m

=0.0652+0.0464m

$D\left(t\right)=0.0652+\frac{0.0464(t-5000)}{5000}=0.0188+\frac{0.0464}{5000}t$

步骤五：根据工程经验，产品临界破坏损伤值D_f～N(1,0,1)，根据公式（24）：

$R_f=P\{D\left(t\right)\≤D_f\}$

$=P\{0.0188+\frac{0.0464}{5000}t\}$

$=1-\mathrm{\Φ}(\frac{0.464}{5000}t-9.812)$

再分析随机冲击失效，由于冲击载荷在疲劳载荷之前施加，因此公式（28）里的S(nT)=0，而且σ_b ^*(t|t≥1000)=599.1，因此P{σ_b ^*(t|t≥1000)≥SS(t|t≥1000)}≈1，因此随机失效概率可以忽略不计。

最后近似可得其中t=18000000m秒=5000m小时，m≥3且m∈N⁺。近似可靠度曲线如图2所示。

Claims (2)

1.一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，特征在于：该方法具体步骤如下：

步骤一：确定产品的初始疲劳极限，利用巴斯金即Basquin公式计算仅在疲劳载荷作用下单级载荷对应的疲劳寿命；分析疲劳累积损伤模式，从常用的疲劳累积损伤模型中选择模型，为计算疲劳损伤做准备；

首先利用古德曼即Goodman公式(1)修正疲劳应力；再利用Basquin公式(2)计算每一级载荷对应的疲劳寿命，之后利用累积损伤公式计算每级载荷循环产生的疲劳损伤；

式中，为应力幅，

为平均应力，

σ_b为强度极限；

σ_s为等效应力；

Basquin公式计算该级载荷对应的疲劳寿命如下所示：

其中，σ_is—各级载荷下的等效应力；

b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_i—σ_is对应的疲劳寿命；结构简单、载荷级数多的产品选择迈纳即Miner线性累积损伤模型；结构比较复杂、有损伤试验基础、能确定材料参数的产品选择非线性损伤曲线模型；而Corten-Dolan模型适用于汽车、拖拉机零件；其中Miner线性累积损伤模型如公式(3)和(4)所示：

单级载荷下，损伤值为

在变幅载荷下，其累积损伤值为

其中n_i为第i级载荷下的循环次数；N_i为第i级载荷对应的疲劳寿命即循环次数；当累积损伤值达到1时，疲劳破坏发生；

步骤二：根据冲击到达的频率，确定是随机冲击还是固定冲击，根据公式(5)计算前1000次冲击对产品强度极限σ_b造成的损害后，修正的强度极限σ_b ^*(t)；

式中，p、q为与材料有关的常数，σ_b ^*(t)当为修正后的强度极限，n(t)趋于某一应力对应的疲劳寿命N时，σ_b ^*(t)远小于σ_b(0)，即(1)式左边项忽略近似为0，右边看成S-N曲线，则通过试验得到S-N曲线即可求出p、q；n(t)为t时刻冲击到达的次数，且n(t)≤1000；SS_i(t)为第i次冲击应力大小，为了便于说明，假设其服从平均应力大小为μ_S(t)，方差为V(S(t))的正态分布，其它分布也同理；

随机冲击情况下

式中，p、q为与材料有关的常数，λ为泊松过程的参数，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限，j表示第j次冲击；

固定冲击情况下

式中，p、q为与材料有关的常数，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限，i表示第i次冲击；

步骤三：按步骤一选定的疲劳累积损伤法则损伤计算方法，计算前1000次冲击后的疲劳累积损伤；首先计算每次冲击后的等效应力及其对应的疲劳寿命，然后按照步骤二选定的疲劳累积损伤法则，计算单级载荷下每次冲击之间的损伤；

首先计算每次冲击后的疲劳载荷的等效应力：

随机冲击情况下

固定冲击情况下

式中，为应力幅，σ_a(t)为t时刻的应力幅；

为平均应力，σ_m(t)为t时刻的平均应力；

σ_b为强度极限，σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限；

t_i表示第i次冲击的时间；

T为固定冲击间隔，n为n次冲击；

再根据Basquin公式计算强度变化之后载荷对应的疲劳寿命

其中，σ_s(t)—t时刻疲劳载荷对应的等效应力；

b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_i(t)—σ_s(t)对应的疲劳寿命；

σ_a(t)为t时刻的应力幅；

σ_m(t)为t时刻的平均应力；

σ_b ^*(t)为t时刻修正的强度极限；

然后按照步骤二选定的疲劳累积损伤法则，计算单级载荷i下每次冲击之间的损伤：

随机冲击情况下

其中f_i为该级载荷对应的加载频率，j为第j次冲击，t_j为第j次冲击的时刻，N(t_j)为第j次冲击后的应力对应的疲劳寿命；

固定冲击情况下

其中f_i为该级载荷对应的加载频率，j为第j次冲击，T为固定冲击间隔，Tj为j次冲击的时间，N(Tj)为第j次冲击后的应力对应的疲劳寿命；

之后再对多级载荷i进行累加：

其中D_ij表示第i级载荷下的第j次冲击造成的损伤，ns_i表示第i级载荷下的冲击次数，而且各级载荷累计的冲击次数ns不超过1000次，即Σns_i≤1000，否则进入步骤四；

步骤四：计算冲击超过1000次时的疲劳累积损伤以及t时刻产品总的累积损伤值；

首先计算疲劳载荷造成的损伤，当冲击超过1000次时，产品的强度不再变化，故利用公式(5)有

根据公式(1)计算冲击超过1000次之后疲劳载荷的等效应力σ_si，根据公式(2)计算对应的各级疲劳寿命N_i，根据公式(15)计算累积损伤，记为D(t|n＞1000)；

式中，i(Σns_i＝1000)表示从冲击超过1000次时经历的疲劳载荷等级i开始计算，表示t时刻之前所有完整的疲劳载荷历经的级数为

j，ns_i表示第i级载荷下受到的冲击次数，t_i,0表示1000次冲击以后第i级载荷下冲击开始计数的时刻，f_i为该级载荷对应的加载频率，N_i表示该级载荷对应的疲劳寿命；n_i为第i级载荷下的循环次数；表示1000次冲击以后第i级循环载荷下ns_i次冲击载荷的时刻；，f_j+1为第j+1级载荷对应的加载频率；N_j+1表示第j+1级载荷对应的疲劳寿命；

然后计算超过1000次后冲击载荷造成的疲劳损伤；先确定其等效应力，由于冲击载荷是服从正态分布的随机变量，取其应力均值μ_S(t)为等效应力；利用公式(16)计算其疲劳寿命则得

式中，b—与材料疲劳性能相关的常数；

σ_-1A—许用疲劳极限；

N₀—应力为疲劳极限时对应的疲劳寿命；

N_S—冲击等效应力μ_S(t)对应的疲劳寿命；

再利用前面选定的公式(17)计算超过1000次后冲击载荷造成的疲劳累积损伤；

式中，λ为泊松过程的参数，N_S为冲击等效应力μ_S(t)对应的疲劳寿命，D_S(t)为超过1000次后冲击载荷造成的疲劳累积损伤，T为固定冲击间隔，n(t)为t时刻的冲击次数；

最后通过对之前步骤三和步骤四的计算结果进行相加，得到一定时刻t产品的累积损伤值，即

D(t)＝D(t|n≤1000)+D(t|n＞1000)+D_s(t)；(18)

步骤五：分别计算不发生疲劳失效的概率和随机冲击失效的概率，最后得到产品的可靠度：

R(t)＝R_f(t)R_h(t)(19)

式中，R_f(t)为t时刻不发生疲劳破坏的概率，R_h(t)为t时刻不发生冲击破坏的概率；

首先计算不发生疲劳失效的概率，对于综合载荷导致的疲劳破坏，由于材料本身和外界因素导致的分散性，产品的临界破坏损伤值不是一个定值，而是一个随机变量D_f，其具体分布由实际材料和所处的环境决定；

故在t时刻不发生疲劳破坏的概率为

R_f(t)＝P{D(t)≤D_f}(20)

其次计算不发生随机冲击失效的概率；

根据应力-强度干涉模型，计算产品不发生冲击突发失效的概率；

随机冲击情况下

式中，λ为泊松过程的参数，σ_b ^*(t)为τ时刻修正的强度极限，μ_S(τ)为τ时刻冲击的等效应力，σ_s(τ)为τ时刻疲劳载荷对应的等效应力；

固定冲击情况下

式中T为固定冲击间隔，其它含义与(21)式中含义相同；

将以上计算结果代入(19)式即得到可靠寿命；

通过以上五个步骤，达到了计算基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤以及评估综合载荷下产品可靠性的目的。

2.根据权利要求1所述的一种基于名义应力法的高周疲劳和低强度冲击耦合的损伤计算方法，其特征在于：在步骤一中，应首先使用有限元软件将疲劳载荷转化成连续截面最大应力σ_max和最小应力σ_min，然后根据Goodman公式修正应力。