Schaltungsanordnung zur Umwandlung eines Zahlenwertes aus einem Zahlensystem in einen Zahlenwert eines anderen Zahlensystems
Die Erfindung betrifft eine Schaltungsanordnung zur
Umwandlung eines Zahlenwertes aus einem Zahlen system in einen Zahlenwert eines anderen Zahlen systems. Insbesondere betrifft sie eine Anordnung zur
Transformation von binär codierten Zahlen in Dezimal zahlen.
Moderne Datenverarbeitungsanlagen arbeiten be kanntlich meistens mit mehreren Zahlensystemen. So werden oft Daten in dem üblichen Dezimalsystem der
Maschine zugeführt; da die zentralen Einheiten jedoch im Binärsystem, also mit Zahlen, die die Basis 2 be sitzen, arbeiten, müssen diese Zahlen erst vom Dezimal- system in das Binärsystem transformiert werden. Umge kehrt ist bei der Ausgabe von Ergebnissen, die ja wieder im gebräuchlichen Dezimalsystem vorliegen sollen, die Umwandlung von Binärzahlen in Dezimalzahlen not wendig. Natürlich ist die vorliegende Erfindung nicht nur auf die Transformation von Binär- in Dezimalzahlen beschränkt, sondern kann auf beliebige Zahlensysteme angewandt werden.
Die naheliegendste, aber auch sehr aufwendige, bekannte Lösung für das Problem der Transformation ist eine Anordnung in Form einer Kontaktpyramide. Dabei wird beispielsweise beim Übergang vom Binärsystem zum Dezimalsystem pro Ziffer der Binärzahl (L oder 0) einer von zweiStronzweigen durch Schliessen eines Kon- taktes markiert. Vom markierten Stromzweig ausgehend, wird bei der nächsten Ziffer wieder einer von zwei Stromzweigen ausgewählt. In einer ersten Stufe sind also zwei Stromzweige, in einer zweiten vier Stromzweige, in einer x-ten Stufe 2x Stromzweige mit den entsprechenden Kontakten vorzusehen. Mit x Stufen können dabei 2x verschiedene Zeichen decodiert werden.
Bei grossen Zahlenwerten ergibt sich natürlich ein entsprechend hoher Aufwand.
Bekannt sind auch Anordnungen, bei denen die einzelnen Ziffern einer Zahl entsprechend ihrer Wertigkeit aufaddiert werden. So wird z. B. im Binäraddierer die Binärzahl
LLOLO = 1 24 + 1 23 + 0.22+1 1 2t + 0.20 in mehreren Additionsoperationen in die entsprechende Dezimalzahl überführt. Auch hier ist der Aufwand sehr hoch.
Andere Umwandlungseinrichtungen benutzen Matrizen, bei denen durch die zu transformierende Zahl lein bestimmter Strompfad zu einem oder auch mehreren bestimmten Ausgängen festgelegt ist und die Markierung dieser Ausgänge den Wert der transformierten Zahl bestimmt. Jedoch ist auch hier der Aufwand verhältnis massiv gross.
Weiterhin sind Anordnungen bekannt, die beispielsweise eine reine Binärzahl erst in eine binärcodierte De mmalzahl und dann diese - am einfachsten durch eine Matrix anordnung - in reine Dezimalzahlen überführen.
Die erste Umwandlung kann in einem Schieberegister geschehen, wobei bei bestimmten Verschiebungen Ände- rungen an der Binärzahl vorgenommen werden müssen.
Durch diese Art der Umwandlung erspart man sich grosse, unübersichtliche und aufwendige Matrixdecodiereinrichtungen.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es ebenfalls, eine einfache, übersichtlich aufgebaute, schnell arbeitende Schaltungsanordnung zur direkten Transformation von Zahlenwerten eines Zahlensystems mit der Basis b in Zahlenwerte eines anderen Zahlensystems mit der Basis d zu schaffen.
Dazu dient eine Schaltungsanordnung, die auf den Verfahren der polynomischen Multiplikation und synthetischlen Division beruht und die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Anordnung entsprechend der Zahl der verschiedenen Wertigkeiten dk-x, wobei x = O, 1,... k, des neuen Zahlensystems mit der Basis d in einzelne Stufen Sk X unterteilt ist und des weiteren jede Stufe SÇ-X abhängig von der in dieser je- weils zu verarbeitenden Anzahl von Wertigkeiten der insgesamt gegebenen Wertigkeiten bi wobei j = 0, 1,...
i, der umzusetzenden Zahl in gleich viele Unterstufen Utki-jX) unterteilt ist, dass alle Unterstufen mit Ausnahme der jeweils höchstwertigen in jeder Stufe neben dem Informationseingang für die Eingabe der umzu setzenden Teilinformation bzw.
eines gleichartigen übertragers ein Bündel weiterer Informationseingänge für die Übernahme des Restwertes einer vorgeordneten Unterstufe aufweisen, dass mit jedem der zuletzt genannten Informationseingänge der einzelnen Unterstufen eine die zugeführte Information mit der Basis des umzusetzenden Zahlensystems vervielfältigende Multiplizierstufe verbunden ist, der eine Addierstufe nachgeschaltet ist, die zugleich mit dem anderen Informations- eingang der Unterstufe verbunden ist, dass des weiteren der Ausgang der Addierstufe mit einer den von der Ad dierstufe zugeführten Summenwert durch die Basis des neuen Zahlensystems teilenden Dividiersfe verbunden ist, die zwei Informationsausgänge aufweist,
nämlich einen zur Anzeige des bei der Division gewonnenen ganzzahligen Vielfachen, der mit dem Informationseingang für die Eingabe einer umzusetzenden Teilinformation einer Unterstufe der nächsthöheren Stufe verbunden ist, sowie einen zur Anzeige des bei der Division gewonnenen Restwertes, der mit dem gleichartigen Informationseingang einer nachfolgenden Unterstufe verbunden ist, wobei die Informationsausgänge zur Kennzeichnung der Restwerte der rangniedrigsten Unterstufen in jeder Stufe die gewünschte Zahl im neuen Zahlensystem anzeigen.
Unter polynomischer Multiplikation (Handbook of Automation, Computation and Control, Vol 2, Seiten 2 bis 17) wird dabei eine Operation verstanden, die zwei Werte pj und ai-j(k-x) nach der Funktion p'j+1 = Pj pj b + a < Li) zu einem neuen Wert p + i verbindet.
Mit synthetischer Division (Handbook of Automation, Computation and Control, Vol 2, Seiten 2 bis 17) wird eine Operation definiert, die einen Wert p'j+ nach den Formeln
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in zwei neue Werte pj+ und ai-j(k-x+1) zerlegt. Dabei bedeuten die eckigen Klammern, dass nur der ganzzahlige Teil des von ihnen eingefassten Quotienten zu berücksichtigen ist, Pi+i stellt also den Rest des Quotienten dar.
Die sukzessive Anwendung der polynomischen Multiplikation allein ist als Verfahren der Transformation von Zahlen eines Zahlensystems in Zahlen eines anderen bekannt. Bei diesem Verfahren wird eine Zahl des Systems mit der Basis b, die durch nb = ai . bi + aj-1 . bi-1 + . . . + a1 . b1 + an .b0 oder kurz durch aiai-1 . . . a1a0 dargestellt wird, durch die Transformationsformeln p1 = ai, pj+1 = pj . b + ai-j j und Pi+ = nd in den gewünschten Zahlenwert nd, der durch nd = ck dk + Ck¯ dk-t + . . . + c3dt + c0 d oder kurz durch ckck-1... c1c0 dargestellt wird, übergeführt. Die Umwandlung wird dabei in der Arithmetik des neuen Systems mit der Basis d vorgenommen.
Ebenso kann die sukzessive Anwendung des Verfahrens der synthetischen Division zur Umcodierung angewandt werden. Dabei wird eine Zahl, die durch nb = a.bi+ ai-1 . bi-1 +...+ ai . bÚ + a0 . b0 dargestellt wird, durch die Formeln
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in eine Zahl nb des Zahlensystems mit der Basis d, die durch nd = ck . dk + ck-t . dk-t . . . + c1dÚ + c0d0 dargestellt wird, übergeführt. Die Umwandlung wird dabei in der Arithmetik des ursprünglichen Zahlensystems mit der Basis b vorgenommen.
Das der Erfindung zugrundeliegende Prinzip sieht nun im Gegensatz zur alleinigen Anwendung eines dieser beiden Verfahren vor, in einer Unterstufe zwei Eingangswerte zuerst nach dem Verfahren der polynomi- schen Multiplikation zu einem Zwischenwert zu verarbeiten und diesen Zwischenwert dann nach dem Verfahren der synthetischen Division zu zerlegen und diesen Prozess bis zur Erreichung des Endergebnisses sukzessiv durchzuführen.
Da die von den einzelnen Unterstufen auszuführenden Funktionen jeweils dieselben sind, ergibt sich ein einheitlicher und damit übersichtlicher und leicht zu prüfen der Aufbau.
Eine entscheidende Vereinfachung der Anordnung ergibt sich nun, wenn für d > b bzw. d < b ein Quotient d b q = bY bnv. q = dy mit y)O als ganzzahliger Wert existiert.
Für d > b ergibt sich dann eine Anordnung, die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Grösse y gleich dem grösstmöglichen Wert ist, der für die Grösse q einen ganzzahligen Wert ergibt, dass in jeder Unterstufe eine den von der Addierstufe zugeführten Summenwert durch den Wert q teilende Dividierstufe vorgesehen ist und dass der das ganzzahlige Vielfache kennzeichnende Informationsausgang einer Unterstufe Ui-j(k-y) der Stufe Sk y mit dem gleichartigen Informationseingang der rangniedrigeren Unterstufe U(ki-J.x-9) der nachgeordneten ranghöheren Stufe Sk-x+1 verbunden ist.
Analog ergibt sich für d < b eine Anordnung, die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Grösse y gleich dem grösstmöglichen Wert ist, der für die Grösse q einen ganzzahligen Wert ergibt, dass in jeder Unterstufe eine den über den einen Informationseingang zugeführten Restbetrag der Dividierstufe einer vorgeordneten Unterstufe mit dem Wert q vervielfältigende Multiplizierstufe vorgesehen ist und dass der den Restbetrag der nachgeschalteten Dividierstufe kennzeichnende Informationsausgang einer Unterstufe U(ki-X3) der Stufe Sk x mit dem gleichartigen Informationseingang der rangniedrigeren Unterstufe U(k-x+l) der nachgeordneten ranghöheren Stufe Sk-x+y verbunden ist.
Durch den dabei etwas veränderten Operationsablauf ergibt sich für d > b eine kleine Änderung des Aufbaues, die darin besteht, dass die letzten y Unterstufen innerhalb jeder Stufe lediglich eine Multiplizierund eine Addierstufe aufzuweisen brauchen.
Die Verwendung des Divisons bzw. Faktors q statt dem Wert d bewirkt, dass die Zerlegung bereits bei kleineren Werten vorgenommen werden kann bzw. dass die Zusamrnenfassung keine so hohen Zwischenwerte ergibt. In beiden Fällen folgt daraus ein erheblich geringerer Aufwand an Schaltmitteln innerhalb Ider einzelnen Unterstufen, ohne Idass die Einfachheit und leichte Prüfbarkeit der Anordnung verloren ginge.
Der Gegenstand der Erfindung wird nun anhand von Figuren und Zahlenbeispieien näher erläutert.
Fig. 1 zeigt einen einfachen Aufbau einer Dekodiereinrichtung nach der Erfindung, an dem besonders die Verfahren der polynomischen Multiplikation und synthetischen Division leicht zu überblicken sind.
Fig. 2 zeigt das vollständige Blockschaltbild für eine Dekodieranordnung nach Fig. 1.
Fig. 3 stellt ein Blockschaltbiid für eine vorteilhaftere Dekodiereinrichtung dar.
Fig. 4 und 5 stellen die beiden verschiedenen Typen der Unterstufen von Fig. 3 in einer Ausführung mit Kontakten dar.
Fig. 6 und Fig. 7 zeigen den Aufbau der Unterstufe B von Fig. 3 in einer allgemeinen Darstellung mit logischen Symbolen.
Fig. 8 zeigt eine Einrichtung zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Binärzahlen.
In Fig. 1 ist ein Teil eines Decodierers mit Kontakten und für 1024 = 1010 Zahlen dargestellt, an dem das Prinzip der Erfindung besonders gut zu sehen ist. Die Funktionsweise dieser Schaltungs anordnung sei anhand eines Zahlenbeispiels erklärt. Die zu transformierende zehnstellige Binärzahl habe den Wert LLLLOLOOLL = 979.
Jede Unterstufe U(k;Zf) der Stufe 5k - - zur leichteren Unterscheidung sind in Fig. 1 bis Fig. 3 Unterstufen in der Einerstufe mit E, in der Zehnerstufe mit Z, in der Hunderterstufe mit H bezeichnet - muss nun Mittel besitzen, um den von der vorhergehenden Unterstufe gelieferten Wert pj mit 2 zu multiplizieren und ausserdem die entsprechenden Eingangswerte ai-1j(b-x) (binäre 0 oder L, die im dezimalen System, in dem die gesamten Operationen ausgeführt werden, einer 0 bzw. 1 entsprechen) aufzuaddieren. Die ersten drei daraus in der Einerstufe resultierenden Zwischenwerte, die mit P'i+ bezeichnet seien, sind im obigen Beispiel p'1, = p1 = a(o) = aq(0) = 1.
P2 = P2 = 1 2 + 1 = 3 p'3 = p3 = 3 2 + 1 = 7
Da die Zwischenwerte p' bis P'3 den Wert d = 10 nicht überschreiten, stimmen sie mit denWerten p1 bis p3 überein. Dementsprechend wird in der Unterstufe E9 der Ausgang 1, in der Unterstufe E8 der Ausgang 3, in der Unterstufe E7 Ider Ausgang 7 markiert. Erst in der Unterstufe E6 kann der aus p3 durch Anwendung der polynomischen Multiplikation gewonnene Zwischenwert P's+l i, = p'4 Werte von 10 bis 15 - maximal sind in den nachfolgenden Unterstufen 20 (0 bis 19) Leitungen für P'i+l notwendig - annehmen.
Wenn einer dieser die Werte p'j+1 anzeigenden Ausgänge 10 bis 19 gekennzeichnet wird, wird diese Zwischensumme nach dem Verfahren der synthetischen Division in zwei Ausgangswerte zerlegt. In unserem Beispiel wind für die Zwischensumme p'4 in der Unterstufe E6, der die Wertig keit 26 zugeordnet ist, der Wert 15 erhalten, die in eine 1 und in eine 5 aufgeteilt wird. Die 5 ist der Eingangspert p4 für die Unterstufe E5, während die 1 der Unterstufe Z6 ider Zehnerstufe, der der Wert 10' 26 zugeordnet ist, als Übertrag und Eingangsvariable zugeführt wird.
Dieses Prinzip Ider Zerlegung, das sich mathematisch durch P'j+l . bi-j dk-x = (Pj +1 - a(k-x+1) . d) bi-j . dk-x + a(k-ixj+l) . bi-i . dk-x+1 formulieren lässt, wird nun zusammen mit dem Prinzip der Zusammenfassung nach der polynomischen Multiplikation in beiden Stufen - der Einerstufe und Zehner stufe fortgesetzt. Die Überträge für die Zehnerstufe, also die 1 in der Unterstufe Z6 mit der Wertigkeit 26 10t, die 1 in der Unterstufe Z5 mit der Wertigkeit 25.101 usw. stellen die neue in das Dezimalsystem transformierte Binärzahl dar, die als Ausgangspunkt für die Ermittlung der Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle der gesuchten Dezimalziffer dienen.
In Fig. 2 ist ein Blockschaltbild für die gesamte Dekodiereinrichtung nach Fig. 1 dargestellt, allerdings nur für dreistellige Ziffern, d. h. 1000 Zahlen. Die einzelnen Ziffern des neuen Zahlenwertes werden an Iden Ausgängen der letzten Unterstufe jeder Stufe angezeigt.
Eine entscheidende Vereinfachung der Anordnung lässt sich nun herbeiführen, wenn ein ganzzahliger Quotient q = d für y > O (y ganzzahlig) existiert. Die Vereinfachung beruht auf der mathematischen Aquiva- lenz von b'-i dk-x = (p'+1 - aQ-X.+l) q) bi-i dk-x + ai-j-y(k-x+1) . bi-i-Y .
dk-x+l
I-J-y Da q für grösser werdendes y kleiner wird, kann man die Zerlegung nach der polynomischen Division bereits bei kleineren Werten P'i+t vornehmen und muss dafür nur der Unterstufe der nachgeordneten, um eine Wertigkeit höher stehenden Stufe, der der Übertrag zugeführt wird, eine um den Faktor bY niedrigere Wertigkeit zuordnen als der Unterstufe der Stufe zugeordnet ist, von der der Übertrag kommt. In den letzten y Unterstufen jeder Stufe entfällt allerdings dann die Zerlegung der Zwischenwerte; diese Unterstufen führen nur mehr die polynomische Multiplikation durch und können in Form einer Kontaktpyramide oder einer ähnlichen Anordnung aufgebaut sein.
Bei der Transformation von Binär- in Deximalzahlen ergibt sich als kleinster, ganzzahliger Quotient q= Lfy 5 für y =1. Die Zerlegung wird also bereits vorgenommen, wenn eine Zwischensumme p'1 + 1 - 5 ist. Die schon vorher als Zahlenbeispiel ange führte Binärzahl LLLLOLOOLL soll nun wieder nach diesem verfeinerten Prinzip, auf dem das Blockschaltbild der Fig. 3 beruht, transformiert werden. In der Unterstufe E7 der Einerstufe, der die Wertigkeit 27-100 zugeordnet ist, wird die Zwischensumme p'3 = 7 zerlegt.
Da 7. 27 . 100 = (7-5). 27 . 100 + 5 27 . 100 = 2 . 27 100 + 1 26. 101, wird der Ausgang 2 der Unterstufe E7 innerhalb der Einerstufe markiert und ausserdem ein Übertrag auf die Unterstufe Z6 mit der Wertigkeit 20 innerhalb der Zehnerstufe weitergegeben. Der Deko d.evorang läuft dann weiter nach diesem Schema ab.
In der Fig. 3 ist zwischen zwei Typen von Unterstufen unterschieden. Die Unterstufe vom Typ B nimmt Multiplikation, Addition und Zerlegung vor. Eine einfache Ausführungiform ist in Fig. 4 gezeigt. Ihre Ar b itsweise sei an einem Beispiel erklärt. Es sei angenommen, dass der Eingangswert pj = 2 betrage, also Eingang J2 markiert ist. Ist ai-1(k-x) = 0 (tYJ nicht mar kiert), so wird p'j l = 4 n = 5; der Ausgangswert pj+1 ist in diesem Fall gleich p.+1, so dass der Aus- gang 04 markiert wird.
Ist dagegen ai-j(k-x) = 1, so werden die Umschaltekontakte umgelegt (p'j = 5) und es ergeben sich zwei Markierungsstrompfade Eingang
D51 - Aurgang 00 J2-e2- D52-Ü0 Es wird als entsprechend
Pj+1
Pjlr = +t Pj+1 - q = 5 - 1.5 = 0 q der Ausgang 00 sowie entsprechend
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der Ausgang für den übertrag CO markiert.
Die Unterstufen vom Typ A brauchen keine Zerlegung mehr vorzunehmen; ihr Aufbau und ihre Arbeitsweise ( Einsaddierer ) ist aus der Fig. 5 ersichtlich.
In Fig. 6 und 7 sind weitere allgemeine Möglichkeiten des Aufbaues der Unterstufe vom Typ B aus einer oder auch mehreren verschiedenen logischen Verknüpfungen, nämlich aus NOR bzw. aus UND-, ODER- und NEGATIONS-Gattern dargestellt.
Zur Erläuterung der Unterstufe nach Fig. 6, die aus NOR-Gattern und einem NEGATIONS-Gatter aufgebaut ist, sei wieder angenommen, dass pj = 2 Ist a'l-J) = 0, und nimmt man dieses Mal an, dass Strom = 0, kein Strom = 1 bedeuten, so sind nur am Eingang vom NOR-Gatter G4 zwei Strommarkierungen (zweimal 0), woraus am Ausgang dieses Gatters eine 1 resultiert. An den Eingängen aller übrigen Gatter liegen entweder eine 1 und eine 0 oder zweimal 1, so dass sich an ihrem Ausgang jeweils eine 0 ergibt. Von den nächsten NOR-Gattern TO bis TC liegt nur am Eingang von Gatter T4 eine 1 und eine 0, an den übrigen dagegen jeweils zweimal 0. Damit ist nur der Ausgang 04 markiert. Als Ergebnis für pj+1 ergibt sich also 4.
Mit pj = 2 (A O am Eingang ID und ai-j(k-x) = 1 (A O am Eingang ÜI)ergibt sich unter denselben Voraussetzungen eine Strommarkierung am Ausgang 00 sowie am Ausgang für den Übertrag Ü0.
Die Unterstufe B nach Fig. 7 ist aus UND-, ODERund NEGATIONS-Gattern aufgebaut. Ihre Funktionsweise ist ohne nähere Erläuterungen klar, wenn man voraussetzt, dass Strom einer 1, kein Strom einer 0 entspricht und die bekannten Funktionstabellen von UNDund ODER-Gattern zugrunde legt.
Durch Vergleich von Fig. 2 mit Fig. 3 sieht man, dass der Aufwand an Dioden und Zwischenleitungen sich ungefähr um die Hälfte verringert hat. Grundsätzlich kann mit dem beschriebenen Prinzip und den danach aufgebauten Anordnungen die Umwandlung von Ziffern eines beliebigen Zahlensystems in Ziffern eines anderen beliebigen Zahlensystems erfolgen. Es ist jedoch aus den einzelnen Transformationsschritten ersichtlich, dass sich besonders günstige Verhältnisse er d geben, wenn q = by klein, also y > 0 wird. So wird beim Übergang vom Binär- zum Dezimalsystem mit y = 1 ungefähr de Hälfte an Aufwand gegenüber dem Aufbau mit y=0 gespart. Beim Übergang vom Bi na zum Duodezimalsystem würden mit y = 2 sogar ca. 2/9 des Aufwandes für y = 0 wegfallen.
Natürlich kann die Dekodierung in einer Unterstufe sofort aufgenommen werden, wenn der zugeordnete Wert des übertrag bekannt ist. So kann z. B. in Fig. 3, während in der Einerstufe E3 die Zerlegung vorgenommen wird, bereits auch die Verarbeitung in der Zehnerstufe Z3 und der Hunderterstufe H3 erfolgen. Das Endergebnis wird dann parallel in allen drei Stufen gleichzeitig erhalten.
In Fig. 8 ist eine Anordnung für den Fall gezeigt, dass b (Basis des Eingangszahlensystems) grösser als d (Basis des Ausgangszahlensystems) ist. In dem gezeigten Beispiel ist eine Einrichtung zur Umwandlung von Dezimalzahlen mit 3 Stellen in Binärzahlen für q = ds = 5 dargestellt. Der Signalfluss in Fig. 8 ist dem von Fig. 3 entgegengesetzt gerichtet. Dadurch erge ben sich modifizierte Formeln für die polynomische Multiplikation und Division.
Die Eingangswerte ai-j(k-x) und pfk J X) einer Unterstufe Ui-j der Stufe Sx x werden zuerst nach der Formel p'(kj-x) = p(kx) q + a(k.-x.) j+1 j -1 zusammengefasst und dann der Wert p'j,l nach den Formeln
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und
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zerlegt
Für die höchstwertigen Unterstufen Ui = U2 jeder Stufe Sk x ist dabei in jedem Fall p0(k-x) = 0, also p'(k-X) = a(,k-x). Es ergibt sich weiterhin im Gegensatz zur Anordnung für d d > b, dass die Werte p(jk+1x) auch an nachgeordnete, höherwertige Stufen weitergegeben werden, während die Werte ai-j(k-x) immer nur an die gleichwertige Unterstufe der nächsten Stufe weitergegeben werden.
Wenn als Beispiel die Dezimalzahl 979 = 9 . 102 + 7 10' + 9 . 100 mit der Anordnung nach Fig. 8 in eine Binärzahl transformiert werden soll, so ergibt sich mit den obigen Formeln - wenn man berücksichtigt, dass y=1 und q= 5 - in der Unterstufe U2 der Stufe So für p',(O) = a( ) = 9 und für p(11 > = 1 sowie für a2(1) = 4. Ebenso wird in den Unterstufen U2 der Stufen S1, S2 und S3 vorgegangen.
Gleichzeitig mit der Verarbeitung des Wertes a(2 ) kann in der Unterstufe U1 der Stufe SO der Wert a(,0) nur nach dem Verfahren der synthetischen Division ver arbeitet werden. Es ist dabei ersichtlich, dass in den ersten y Stufen in den einzelnen Unterstufen die Operation der polynomischen Multiplikation entfällt. Für die Ausgangswerte von U1 ergeben sich a1(1) = 3 und p(10) = 1. In der Unterstufe S1 sind die Eingangswerte p(,1) = 1 und a1(1) = 3.
Als Zwischenwert p'(t) folgt daraus mit den obigen Formeln p'2(i) = 1 5 + 3 = 8; dieser Wert wiederum wird in die beiden Ausgangswerte 8 =8-(-8, 8 P(2) = 8 - < 2 > 2 = 0 sowie a(t2) = < 2 > = 4 zerlegt. Dieser Prozess wird von links oben nach rechts unten sukzessiv durchgeführt und ergibt das gewünschte Ergebnis in den Unterstufen UO der einzelnen Stufen, wobei die Ausgangswerte p(8kx+Y) den Ziffern ck-x der gesuchten Zahl nd = ck ck ..- Ck x ... c1c0 ent- sprechen.
Auch hier ist der Aufwand im allgemeinen beson b ders günstig, wenn q = dr möglichst klein ist. Die Fig. 8 ist für y = 1, alsoq = 5 aufgebaut.
Die Anzahl der benötigten Unterstufen innerhalb einer Stufe hängt natürlich von der Anzahl der Stellen des Eingangszahlenwertes, von Ider Basis b des Eingangs- sowie der Basis Id des Ausgangszahlensystems und von der Grösse y bzw. q ab. Auf die nähere mathematische Behandlung zur Ermittlung der notwendigen Unterstufen wird hier verzichtet, da sie nicht das Prinzip der Erfindung berührt. Es sei auch noch darauf hingewiesen, dass - wie aus Fig. 1 ersichtlich - ein Teil der Unterstufen nicht voll ausgebaut sein braucht.
In allen oben angeführten Beispielen wurden sämtliche Operationen in Ider geläufigen Arithmetik des Dezimalsystems durchgeführt. Grundsätzlich wären jedoch auch Anordnungen gemäss der Erfindung möglich, die z. B. in der Arithmetik des Binärsystems arbeiten. Im allgemeinen ist jedoch zu sagen, dass immer die Anordnung vorteilhafter hinsichtlich des Aufwandes ist, die unter Zugrundelegung der Arithmetik des Systems mit der grösseren Basis - sei es nun die Basis b des Eingangszahlensystems (vgl. Fig. 8) oder die Basis d des Ausgangszahlensystems (vgl. Fig. 3) aufgebaut ist.