WO2016147782A1 - 膜厚測定装置および膜厚測定方法 - Google Patents

膜厚測定装置および膜厚測定方法 Download PDF

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monochromatic
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    • G01B11/0616—Measuring arrangements characterised by the use of optical techniques for measuring length, width or thickness for measuring thickness ; e.g. of sheet material of coating
    • G01B11/0625—Measuring arrangements characterised by the use of optical techniques for measuring length, width or thickness for measuring thickness ; e.g. of sheet material of coating with measurement of absorption or reflection

Definitions

  • the present invention relates to a film thickness measuring device and a film thickness measuring method.
  • Patent Document 1 Conventionally, a film thickness measuring device and a film thickness measuring method are known (see, for example, Patent Document 1).
  • Patent Document 1 discloses a film thickness measuring apparatus and a film thickness measuring method that collectively estimate film thicknesses at a plurality of points using information of reflected light at a plurality of points on a transparent film.
  • this film thickness measuring apparatus and film thickness measuring method light including monochromatic light having a plurality of wavelengths is irradiated onto a transparent film that is a measurement target. Then, a plurality of observation points are selected from the interference image generated by the reflected light from the surface of the transparent film and the reflected light from the back surface, the luminance signal of the interference image of the selected observation point, and a predetermined interference fringe model Based on the (interference fringe model for the transparent film), the film thicknesses at a plurality of points are estimated collectively.
  • the film thickness measurement apparatus and the film thickness measurement method described in Patent Document 1 are configured such that the film thicknesses at a plurality of points of the transparent film are estimated collectively, while the light absorption coefficient is compared. It is desired to estimate the film thickness of a plurality of points at once for a relatively large semitransparent film.
  • the present invention has been made in order to solve the above-described problems, and one object of the present invention is to provide a film thickness capable of collectively estimating film thicknesses at a plurality of points of a translucent film. It is to provide a measuring apparatus and a film thickness measuring method.
  • a film thickness measuring apparatus is irradiated from a light source that irradiates light including monochromatic light of a plurality of wavelengths to a translucent film that is a measurement target,
  • An imaging unit that captures an interference image generated by reflected light from the surface of the translucent film and reflected light from the back surface, i is the observation point number of the interference image captured by the imaging unit, and the type of wavelength of the monochromatic light ,
  • the wavelength of monochromatic light is ⁇ (j)
  • the film refractive index of the semitransparent film is n
  • the luminance value observed at the observation point is g (i, j)
  • the reflected light from the surface of the semitransparent film I 1 (j) the intensity of the reflected light from the back surface when there is no light absorption in the translucent film
  • I 20 (j) the absorption coefficient of the translucent film is k (j), and translucent
  • the thickness of the film was t (i), based on the following equation
  • the “semi-transparent film” in the present invention means a film that allows light to pass therethrough but reduces the intensity of light that passes through the film (a part of the light is absorbed),
  • the subject matter is a colored transparent film that absorbs a specific wavelength, or a film that contains granules or the like and has turbidity (haze).
  • unknown variables I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) are estimated based on the above equation (1).
  • I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) for a plurality of observation points (i) are collectively estimated. That is, unlike the case of the transparent film, the above formula (1) considering the light absorption (e ⁇ 2k (j) t (i) , e ⁇ k (j) t (i) ) by the translucent film should be used.
  • the film thickness t (i) at a plurality of points of the translucent film can be estimated in a lump.
  • the control unit is configured to obtain I 1 (j), I 20 (j), and k (j) obtained based on the above formula (1), and the following: Based on the equation (2), the film thickness t of the observation point other than the observation point of the interference image used when obtaining I 1 (j), I 20 (j) and k (j) is an unknown variable. It is configured to estimate.
  • the above equation (1) (the number of unknown variables is I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i)) are used, and the film thickness t can be estimated at a higher speed.
  • the control unit sets an initial value for the unknown variable and nonlinearly minimizes the objective function based on a value calculated from the function including the unknown variable. It is configured to estimate unknown variables by programming. If comprised in this way, even when the function containing an unknown variable cannot be solved analytically (in the case of a nonlinear function), an unknown variable can be estimated.
  • the film thickness measuring apparatus preferably, when the number of wavelengths of the plurality of monochromatic lights is m and the number of observation points of the interference image is N, it is unknown based on the following equation (3). It is configured to set the number N of interference image observation points for obtaining variables I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i).
  • the plurality of monochromatic lights include three colors of monochromatic light of blue, green, and red. If comprised in this way, since the wavelength of three colors of monochromatic light differs, the interference color produced
  • the film thickness can be estimated based on the luminance value g (i, j) (or luminance value g (j)) observed at the observation point.
  • the film thickness measuring method includes a step of irradiating a translucent film to be measured with light containing monochromatic light having a plurality of wavelengths, reflected light from the surface of the translucent film, and from the back surface.
  • the step of capturing an interference image generated by reflected light the observation point number of the captured interference image is i, the number for the type of wavelength of the monochromatic light is j, the wavelength of the monochromatic light is ⁇ (j), and is translucent
  • the film refractive index is n
  • the luminance value observed at the observation point is g (i, j)
  • the intensity of reflected light from the surface of the translucent film is I 1 (j)
  • the light absorption in the translucent film is When the intensity of the reflected light from the back surface is I 20 (j), the absorption coefficient of the translucent film is k (j), and the thickness of the translucent film is t (i),
  • the unknown variables I 1 (j), I 20 (j), k (j) and t By including the step of estimating i), I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) for a plurality of observation points (i) are collectively estimated. That is, unlike the case of the transparent film, the above formula (4) considering light absorption (e ⁇ 2k (j) t (i) , e ⁇ k (j) t (i) ) by the translucent film Can be used to collectively estimate the film thickness t (i) at a plurality of points of the semitransparent film. As a result, it is possible to estimate the film thickness t (i) at a plurality of points of the semitransparent film at a higher speed than in the case where the film thickness is estimated for each point.
  • the film thicknesses at a plurality of points of the translucent film can be estimated collectively.
  • the film thickness measuring apparatus 100 includes a white light source 10, a three-wavelength band filter 20, a microscope 30, a color camera 40, and a control unit 50.
  • the white light source 10 and the color camera 40 are examples of the “light source” and the “imaging unit” of the present invention, respectively.
  • the white light source 10 is configured to irradiate the translucent film 60 to be measured with light including monochromatic light having a plurality of wavelengths.
  • the plurality of monochromatic lights include three colors of monochromatic light of blue (B), green (G), and red (R).
  • the “semi-transparent film” in the present embodiment means a film that allows light to pass therethrough but reduces the intensity of light passing through the film (a part of the light is absorbed).
  • the subject matter is a colored transparent film that absorbs a specific wavelength, or a film that contains granules or the like and is turbid (haze).
  • the three-wavelength band filter 20 is configured to transmit monochromatic light of three colors of blue (B), green (G), and red (R) among the white light emitted from the white light source 10.
  • a half mirror 31 is provided inside the microscope 30.
  • the half mirror 31 is configured to irradiate the semi-transparent film 60 that is a measurement target with monochromatic light of three colors of blue (B), green (G), and red (R) that has passed through the three-wavelength band filter 20. Has been.
  • the color camera 40 is configured to capture an interference image that is emitted from the white light source 10 and is generated by reflected light from the surface of the translucent film 60 and reflected light from the back surface.
  • the color camera 40 is configured by, for example, a CCD (Charge Coupled Device) image sensor, a CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor) image sensor, or the like.
  • the control unit 50 sets the observation point number of the interference image to i, the number for the type of wavelength of the monochromatic light, j, the wavelength of the monochromatic light to ⁇ (j), and the film refraction of the translucent film 60.
  • the rate is n
  • the luminance value observed at the observation point is g (i, j)
  • the intensity of the reflected light from the surface of the translucent film 60 is I 1 (j)
  • no light is absorbed in the translucent film 60.
  • the control unit 50 In the case where the intensity of reflected light from the back surface is I 20 (j), the absorption coefficient of the semitransparent film 60 is k (j), and the film thickness of the semitransparent film 60 is t (i), 9), I 1 (j), I 20 (j), k (j) and t (i) are configured to be estimated. Further, the control unit 50, I 1 obtained based on the equation (9) described later (j), on the basis of the I 20 (j) and k (j), described below equations (19), I 1 (J), I 20 (j) and k (j) are configured to estimate the film thickness t of observation points other than the observation point of the interference image used when obtaining k (j) as an unknown variable. Specifically, the control unit 50 sets an initial value for the unknown variable, and estimates the unknown variable by nonlinear programming that minimizes the objective function based on a value calculated from the function including the unknown variable. It is configured as follows. Details will be described below.
  • the interference between the reflected light from the surface of the translucent film 60 and the reflected light from the back surface is expressed by the following formula (5) if multiple reflections are ignored.
  • I 1 and I 2 represent the intensity (light quantity) of reflected light from the front surface and the intensity (light quantity) of reflected light from the back surface, respectively.
  • ⁇ represents the wavelength of light irradiated on the semitransparent film 60, and ⁇ represents the phase difference between the reflected light from the front surface and the reflected light from the back surface.
  • the refractive index of the translucent film 60 is smaller than the refractive index of the substrate 61 (see FIG. 1) on which the translucent film 60 is placed (film refractive index ⁇ substrate refractive index), the above formula In (6), the sign of the third term on the right side is positive (+).
  • the intensity I 2 of the reflected light from the back surface of the semitransparent film 60 is expressed by the following equation (7) according to Lambert-Beer's law, where k is the absorption coefficient of the semitransparent film 60.
  • the horizontal axis represents the film thickness (nm) and the vertical axis represents the luminance value.
  • the wavelength (period) becomes longer in the order of blue (B), green (G), and red (R).
  • the luminance value decreases as the film thickness increases.
  • the upper part of FIG. 2 represents a color chart of interference colors for each film thickness (nm). That is, the upper part of FIG. 2 shows colors obtained by adding blue (B), green (G), and red (R) in the lower part of FIG. In the upper part of FIG. 2, gray shades are shown, but in actuality, the colors are interference colors. In this way, different interference colors are obtained for each film thickness.
  • GMFT Global Model Fitting for Thickness
  • the model luminance value g (i, j) of the interference fringes is expressed by the following equation (9) by modifying the above equation (8).
  • the intensity I 1 (j) of the reflected light from the surface of the semitransparent film 60 the intensity I 20 (j) of the reflected light from the back surface of the semitransparent film 60 when there is no absorption, and the semitransparent
  • the absorption coefficient k (j) of the film 60 is assumed to be a constant without depending on the observation point. This assumption is generally valid if the structure of the semitransparent film 60 to be estimated is the same (uniform) and the light emitted from the white light source 10 is uniform.
  • unknown variables I 1 (j) and I 20 (I 20 () are based on the model luminance value g (i, j) of the interference fringes and the luminance values observed at a plurality of points.
  • j), k (j) and t (i) are configured to be estimated.
  • unknown variables (parameters) I 1 (j), I 20 (j), k (j) are obtained by nonlinear programming (least-squares method) that minimizes the sum of squared errors of the following equation (10).
  • t (i) are estimated.
  • g (i, j) represents the model luminance value of the above equation (9), and g ij represents the observed luminance value.
  • the estimation (measurement) algorithm is schematically represented as shown in FIG. That is, 3N observed luminance values (g (1, B), g (1, G), g (1, R), ..., g (N, B), g (N, G), g ( N, R)) to N film thicknesses (t (1),..., T (N)) and nine parameters (I 1 (B), I 1 (G), I 1 (R) ), I 20 (B), I 20 (G), I 20 (R), k (B), k (G), k (R)).
  • the model luminance value of the above equation (9) includes a cosine function (cos function) that is a periodic function, when the least square method is used in the estimation algorithm of the present embodiment, the local minimum value (local minimum) is There are many. Therefore, it is necessary to set an appropriate initial value.
  • the median value a and the amplitude b of the luminance value are obtained by the following equations (12) and (13), respectively.
  • max represents the maximum luminance value
  • min represents the minimum value
  • the ⁇ sign depends on the magnitude relationship between I 1 and I 20 .
  • This magnitude relationship can be obtained by the following equation (18) derived from the Fresnel equation.
  • n represents the refractive index of the translucent film 60
  • n B represents the refractive index of the substrate 61 a semi-transparent film 60 is placed.
  • k (j) has no periodicity, so there is no problem because the initial value is “0”.
  • t (i) since t (i) is in the cos function, it has periodicity. Therefore, the initial value of t (i) is set to an accurate initial value from a priori information.
  • luminance matching method an algorithm for estimating one unknown variable t will be described.
  • This algorithm is called luminance matching method.
  • the remaining one unknown variable t is estimated using the three unknown variables I 1 , I 20 , and k estimated by the GMFT method.
  • the film thickness t of the observation point other than the observation point of the interference image used when obtaining I 1 (j), I 20 (j) and k (j) is estimated as an unknown variable.
  • t is an unknown variable based on the model luminance value g (j) of the interference fringes and the observed luminance value. That is, the unknown variable t (i) is estimated by a non-linear programming method that minimizes the sum of squared errors of the following equation (20).
  • g (j) represents the model luminance value of the above equation (19), and g j represents the observed luminance value.
  • the model luminance value g (j) in the above equation (19) includes a periodic function, there are many local minimum values (local minimum) when nonlinear programming is used. Therefore, in a general nonlinear programming method, the solution converges to a local solution near the initial value, and a correct solution may not be obtained. Therefore, in this embodiment, a multi-start method is used. That is, a plurality of solutions are obtained by using a nonlinear programming method, starting from a plurality of initial values having a preset step interval within the range of the expected film thickness. Then, a solution that minimizes the sum of squared errors is adopted as a global solution from a plurality of obtained solutions.
  • the film thickness t (i) of the translucent film 60 is estimated using the above formula (9) or formula (19), a relatively complicated optical system such as a spectroscope or a polarizing optical system is used. As a result, it is possible to simplify the configuration of the film thickness measuring apparatus 100.
  • the film thickness t (i) can be estimated without using a conversion table (calibration data) from the captured image (interference color) to the film thickness.
  • the film thickness t (i) can be estimated for each observation point (that is, for each pixel of the interference image), it is possible to configure the film thickness measuring apparatus 100 with a relatively high horizontal resolution.
  • step S ⁇ b> 1 monochromatic light having a plurality of wavelengths (blue, green, red) is transmitted from the white light source 10 to the translucent film 60 to be measured via the three-wavelength band filter 20 and the half mirror 31.
  • the light containing is irradiated.
  • membrane 60 and the reflected light from a back surface is imaged with the color camera 40, and an observation luminance value is acquired.
  • step S2 the number of observation points determined based on the above equation (11) is selected.
  • step S3 initial values of unknown variables I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) are set.
  • step S4 unknown variables I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) are estimated based on the GMFT method (the above equation (9)). .
  • I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) for a plurality of observation points (i) are collectively estimated. That is, the film thicknesses t (i) at a plurality of points of the semitransparent film 60 are estimated collectively.
  • step S5 using I 1 (j), I 20 (j), and k (j) estimated by the GMFT method, a desired matching method is obtained based on the luminance matching method (the above equation (19)).
  • An unknown variable t at the observation point is estimated.
  • a plurality of solutions can be obtained by using a multi-start method (starting from a plurality of initial values).
  • step S6 a solution having the smallest sum of squared errors (that is, a global solution) is adopted (estimated) as the film thickness from the plurality of obtained solutions.
  • the color chart shown in the upper part of FIG. 2 has 200 pixels in the horizontal direction.
  • the Solver (registered trademark) function of Excel (registered trademark) manufactured by Microsoft Corporation was used as the nonlinear programming method (specifically, the least square method).
  • the luminance matching method (the above formula (19)) is used by using unknown variables I 1 (j), I 20 (j), and k (j) estimated by the GMFT method. ) To estimate the film thickness t at 200 observation points in the horizontal direction of the color chart.
  • the multi-start method with a step interval of 100 nm was adopted assuming that the range of the film thickness t of the translucent film 60 was 1000 nm.
  • the control unit that estimates the unknown variables I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) based on the equation (9). 50 is provided.
  • I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) for a plurality of observation points (i) are collectively estimated. That is, unlike the case of the transparent film, the above formula (9) is used in consideration of light absorption (e ⁇ 2k (j) t (i) , e ⁇ k (j) t (i) ) by the semitransparent film 60.
  • the film thicknesses t (i) at a plurality of points of the translucent film 60 can be estimated collectively.
  • the film thickness t of the observation point other than the observation point of the interference image used when obtaining I 1 (j), I 20 (j) and k (j) is estimated as an unknown variable.
  • the number of unknown variables is one of the film thickness t, so that the above equation (9) (the number of unknown variables is I 1 (j), I 20 (j) , K (j) and t (i) (3m + N)), the film thickness t can be estimated at higher speed.
  • the initial value is set for the unknown variable, and the unknown variable is determined by nonlinear programming that minimizes the objective function based on the value calculated from the function including the unknown variable.
  • the control unit 50 is configured to estimate. Thereby, even when a function including an unknown variable cannot be solved analytically (in the case of a nonlinear function), the unknown variable can be estimated.
  • the unknown variable is based on the above equation (11).
  • the number N of interference image observation points for obtaining I 1 (j), I 20 (j), k (j), and t (i) is set.
  • the minimum number of interference image observation points required for the unknown variable can be easily obtained based on the above equation (11).
  • the plurality of monochromatic lights include three monochromatic lights of blue, green, and red.
  • the interference color generated by the interference of the three colors of monochromatic light varies depending on the film thickness.
  • the film thickness can be estimated based on the luminance value g (i, j) (or luminance value g (j)) observed at the observation point.
  • the semitransparent film may be irradiated with light from a light source that emits blue, green, and red monochromatic light.
  • the present invention is not limited to this.
  • luminance values of observation points other than six may be used as long as the above equation (11) is satisfied.
  • the multi-start method starts from a plurality of initial values
  • the present invention is not limited to this.
  • the film thickness may be estimated from one initial value.

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Abstract

　半透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置を提供する。具体的には、この膜厚測定装置１００は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、白色光源１０の単色光の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜６０の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜６０の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜６０における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜６０の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜６０の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部５０を備える。

Description

膜厚測定装置および膜厚測定方法
　この発明は、膜厚測定装置および膜厚測定方法に関する。
　従来、膜厚測定装置および膜厚測定方法が知られている（たとえば、特許文献１参照）。
　上記特許文献１では、透明膜の複数の点の反射光の情報を用いて、複数の点の膜厚を一括して推定する膜厚測定装置および膜厚測定方法が開示されている。この膜厚測定装置および膜厚測定方法では、複数の波長の単色光を含む光が測定対象である透明膜に照射される。そして、透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像から複数の観測点が選択され、選択された観測点の干渉画像の輝度信号と、所定の干渉縞モデル（透明膜についての干渉縞モデル）とに基づいて、複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。
特開２０１３－１４５２２９号公報
　しかしながら、上記特許文献１に記載の膜厚測定装置および膜厚測定方法では、透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている一方、光の吸収係数が比較的大きい半透明膜についても複数の点の膜厚を一括して推定することが望まれている。
　この発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、この発明の１つの目的は、半透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置および膜厚測定方法を提供することである。
　上記目的を達成するために、この発明の第１の局面による膜厚測定装置は、測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、光源から照射され、半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部とを備える。なお、本発明における「半透明膜」とは、光が透過することが可能である一方、膜を透過する光の強さが低下する（光の一部が吸収される）膜を意味し、特定の波長を吸収する着色透明膜や、顆粒等を含有して濁り（ヘイズ）が生じている膜が対象となる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
　この第１の局面による膜厚測定装置では、上記の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜による光の吸収（ｅ－２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ－ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（１）を用いることにより、半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
　上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
このように構成すれば、上記の式（２）においては、未知変数の数が膜厚ｔの１つであるので、上記の式（１）（未知変数の数がＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の４つ）を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔを推定することができる。
　上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。このように構成すれば、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
　上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、以下の式（３）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
このように構成すれば、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３）に基づいて、容易に求めることができる。
　上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。このように構成すれば、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。これにより、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。
　この発明の第２の局面による膜厚測定方法は、測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程とを備える。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
　この第２の局面による膜厚測定方法では、上記のように、上記の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜による光の吸収（ｅ－２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ－ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（４）
を用いることにより、半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
　本発明によれば、上記のように、半透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。
本発明の一実施形態による膜厚測定装置のブロック図である。 膜厚と輝度値（光量）との関係を示す図である。 本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法を説明するための図である。 本発明の一実施形態による膜厚測定方法のフロー図である。 本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（１）である。 本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（２）である。 本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図（３）である。 本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験の結果を示す図である。
　以下、本発明を具体化した実施形態を図面に基づいて説明する。
　［本実施形態］
　（膜厚測定装置の構成）
　図１を参照して、本実施形態による膜厚測定装置１００の構成について説明する。
　図１に示すように、膜厚測定装置１００は、白色光源１０と、３波長帯域フィルタ２０と、顕微鏡３０と、カラーカメラ４０と、制御部５０とを備えている。なお、白色光源１０およびカラーカメラ４０は、それぞれ、本発明の「光源」および「撮像部」の一例である。
　白色光源１０は、測定対象である半透明膜６０に複数の波長の単色光を含む光を照射するように構成されている。本実施形態では、複数の単色光は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を含む。なお、本実施形態における「半透明膜」とは、光が透過することが可能である一方、膜を透過する光の強さが低下する（光の一部が吸収される）膜を意味し、特定の波長を吸収する着色透明膜や、顆粒等を含有して濁り（ヘイズ）が生じている膜が対象となる。
　３波長帯域フィルタ２０は、白色光源１０から照射された白色の光のうち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を透過させるように構成されている。
　顕微鏡３０の内部には、ハーフミラー３１が設けられている。そして、ハーフミラー３１は、３波長帯域フィルタ２０を透過した青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を測定対象である半透明膜６０に照射するように構成されている。
　カラーカメラ４０は、白色光源１０から照射され、半透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像するように構成されている。また、カラーカメラ４０は、たとえば、ＣＣＤ（Ｃｈａｒｇｅ　Ｃｏｕｐｌｅｄ　Ｄｅｖｉｃｅ）イメージセンサや、ＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｍｅｔａｌ　Ｏｘｉｄｅ　Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）イメージセンサなどにより構成されている。
　ここで、本実施形態では、制御部５０は、干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、半透明膜６０の膜屈折率をｎ、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、半透明膜６０の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、半透明膜６０における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、半透明膜６０の吸収係数をｋ（ｊ）、半透明膜６０の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、後述する式（９）に基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定するように構成されている。さらに、制御部５０は、後述する式（９）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、後述する式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。以下、詳細に説明する。
　（推定原理）
　〈半透明膜における干渉色と膜厚との関係〉
　ます、半透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。
　半透明膜６０の表面からの反射光と、裏面からの反射光とによる干渉は、多重反射を無視すれば、反射光の和は、下記の式（５）により表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
　ここで、Ｉ１およびＩ２は、それぞれ、表面からの反射光の強さ（光量）、および、裏面からの反射光の強さ（光量）を表す。また、λは、半透明膜６０に照射される光の波長を表し、δは、表面からの反射光と裏面からの反射光との位相差を表す。
　また、半透明膜６０の物理的な膜厚をｔとし、膜屈折率をｎ（λ）として、半透明膜６０に対して光が垂直に入射すると仮定すると、表面からの反射光と裏面からの反射光との光路差（ｏｐｔｉｃａｌ　ｐａｔｈ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ；ＯＰＤ）は、ＯＰＤ＝２ｎ（λ）×ｔとなる。よって、位相差δ（λ）は、δ（λ）＝２π×ＯＰＤ／λ＝４πｎ（λ）×ｔ／λとなる。この式を、上記の式（５）に代入するとともに、屈折率の波長依存性がない（すなわち、ｎ（λ）＝ｎ）と仮定することにより、下記の式（６）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
　ここで、半透明膜６０の屈折率が、半透明膜６０が載置される基板６１（図１参照）の屈折率よりも小さい場合（膜屈折率＜基板屈折率）には、上記の式（６）において、右辺第３項の符号が正（＋）になる。一方、膜屈折率＞基板屈折率の場合には、位相差δが、δ（λ）＝４πｎ（λ）ｔ／λ＋πとなるので、上記の式（６）において、右辺第３項の符号が負（－）になる。
　また、半透明膜６０における裏面からの反射光の強さＩ２は、半透明膜６０の吸収係数をｋとして、ランベルト・ベールの法則により、下記の式（７）のように表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
　そして、上記の式（６）および式（７）から、下記の式（８）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
　ここで、白色光源１０から照射され、３波長帯域フィルタ２０を透過する単色光である青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λＢ＝４７０ｎｍ、λＧ＝５６０ｎｍ、および、λＲ＝６００ｎｍ、とする。また、Ｉ１＝２０、Ｉ２０＝８０、膜屈折率ｎ＝１．４とする。また、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の吸収係数を、ｋ（Ｂ）＝０．０００４（１／ｎｍ）、ｋ（Ｇ）＝０．０００３（１／ｎｍ）、および、ｋ（Ｒ）＝０．０００２（１／ｎｍ）とする。そして、反射光量と膜厚の関係を、上記の式（８）により算出することにより、図２に示すように、膜厚と輝度値（光量）との関係（図２の下段参照）、および、膜厚と干渉色との関係（図２の上段参照）が得られる。
　図２の下段では、横軸は膜厚（ｎｍ）を表し、縦軸は輝度値を表している。図２の下段に示すように、波長（周期）は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の順で長くなる。また、輝度値は、膜厚が大きくなるにしたがって、小さくなる。
　図２の上段は、各膜厚（ｎｍ）に対する干渉色のカラーチャーチ―トを表している。すなわち、図２の上段では、各膜厚において、図２の下段の青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）が加算された色が示されている。なお、図２の上段では、グレーの濃淡で示されているが、実際には、カラーの濃淡の干渉色である。このように、各膜厚に対して異なる干渉色が得られる。
　〈ＧＭＦＴ法〉
　次に、未知変数Ｉ１、Ｉ２０、ｋおよびｔを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを、ＧＭＦＴ（Ｇｌｏｂａｌ　Ｍｏｄｅｌ　Ｆｉｔｔｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）法と呼ぶ。
　カラーカメラ４０によって撮像された半透明膜６０の画像（干渉色の画像）内の観測点ｉ（ｉ＝１，２，．．．,Ｎ）における、単色光の波長の種類に対する番号ｊ（ｊ＝１，２，．．．,ｍ）の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（８）を変形して、下記の式（９）により表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
ここで、半透明膜６０の表面からの反射光の強さＩ１（ｊ）、吸収がない場合の半透明膜６０の裏面からの反射光の強さＩ２０（ｊ）、および、半透明膜６０の吸収係数をｋ（ｊ）は、観測点に依存せず、定数と仮定している。この仮定は、膜厚を推定しようとする対象の半透明膜６０の構成が同一（均一）であり、白色光源１０から照射される光が均一であれば、一般的に成立する。
　ここで、本実施形態では、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）と、複数点において観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定するように構成されている。具体的には、下記の式（１０）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法（最小二乗法）により、未知変数（パラメータ）Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
ここで、ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（９）のモデル輝度値を表し、ｇｉｊは、観測輝度値を表す。
　次に、上記の未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が求められる条件について説明する。単色光の波長の数をｍ個、観測点数をＮ個とすると、未知変数の数は、３ｍ＋Ｎ個になる。また、Ｎ個の観測点の数からｍＮ個の輝度信号が得られる。そして、本実施形態では、下記の式（１１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
たとえば、本実施形態では、単色光の波長の数は、青、緑および赤の３（ｍ＝３）であるので、Ｎは、５以上になる。すなわち、少なくとも５個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。
　単色光の波長の数が３（ｍ＝３）であり、観測点の数がＮ個の場合、推定（計測）アルゴリズムは、図３に示すように、模式的に表される。すなわち、３Ｎ個の観測輝度値（ｇ（１，Ｂ）、ｇ（１，Ｇ）、ｇ（１，Ｒ），．．．，ｇ（Ｎ，Ｂ）、ｇ（Ｎ，Ｇ）、ｇ（Ｎ，Ｒ））から、Ｎ個の膜厚（ｔ（１），．．．，ｔ（Ｎ））と、９個のパラメータ（Ｉ１（Ｂ）、Ｉ１（Ｇ）、Ｉ１（Ｒ）、Ｉ２０（Ｂ）、Ｉ２０（Ｇ）、Ｉ２０（Ｒ）、ｋ（Ｂ）、ｋ（Ｇ）、ｋ（Ｒ））が推定される。
　上記の式（９）のモデル輝度値は、周期関数である余弦関数（ｃｏｓ関数）を含むため、本実施形態の推定アルゴリズムにおいて最小二乗法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、適切な初期値を設定する必要がある。
　次に、観測輝度値から、Ｉ１およびＩ２０の概略値を推定する方法について説明する。
　観測輝度値（観測点における輝度値）から、輝度値の中央値ａと振幅ｂとを、それぞれ、下記の式（１２）および式（１３）により求める。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
ここで、ｍａｘは、輝度値の最大値を表し、ｍｉｎは、最小値を表す。
　次に、上記の式（９）において、半透明膜６０の光の吸収が小さい（すなわち、ｅ－２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）＝１、ｅ－ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）＝１）と仮定すると、下記の式（１４）
および（１５）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
　上記の式（１４）および式（１５）から、下記の式（１６）および式（１７）が得られる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
ここで、±符号は、Ｉ１とＩ２０との大小関係に依存する。この大小関係は、フレネルの式から導出した以下の式（１８）により求めることができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
ここで、ｎは、半透明膜６０の屈折率を表し、ｎＢは、半透明膜６０が載置される基板６１の屈折率を表す。上記の式（１８）が、１以上であれば、式（１６）の±符号は、正（＋）になり、１未満であれば、負（－）になる。同様に、上記の式（１８）が、１以上であれば、式（１７）の±符号は、負（－）になり、１未満であれば、正（＋）になる。よって、観測輝度値から、Ｉ１（ｊ）およびＩ２０（ｊ）の概略値を推定することができる。
　他の未知変数ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）のうち、ｋ（ｊ）は、周期性がないことから初期値は「０」で問題がない。一方、ｔ（ｉ）は、ｃｏｓ関数の中にあるので、周期性がある。そこで、ｔ（ｉ）の初期値は、先験的な情報から精度のよい初期値が設定される。
　〈輝度合致法〉
　次に、１つの未知変数ｔを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを輝度合致法と呼ぶ。輝度合致法では、ＧＭＦＴ法により推定された３つの未知変数Ｉ１、Ｉ２０、ｋを用いて、残りの１つの未知変数ｔが推定される。
　上記の式（９）を変形することにより、単色光の各波長（ｊ）に対する輝度値と膜厚との関係は、下記の式（１９）により表される。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
ここで、未知数は、ｔのみである。
　すなわち、本実施形態では、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、上記の式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｊ）と、観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるｔを推定するように構成されている。つまり、下記の式（２０）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法により、未知変数ｔ（ｉ）を推定する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
ここで、ｇ（ｊ）は、上記の式（１９）のモデル輝度値を表し、ｇｊは、観測輝度値を表す。
　上記の式（１９）のモデル輝度値ｇ（ｊ）は、周期関数を含んでいるため、非線形計画法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、一般的な非線形計画法の解法では、初期値近傍の局所解に収束してしまい、正しい解が得られない場合がある。そこで、本実施形態では、マルチスタート法を用いる。すなわち、予想される膜厚の範囲内で、予め設定された刻み間隔を有する複数の初期値からスタートして、非線形計画法を用いることにより、複数の解を求める。そして、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるものを、大域解として採用する。
　このように、上記の式（９）または式（１９）を用いて、半透明膜６０の膜厚ｔ（ｉ）が推定されるので、分光器や偏光光学系などの比較的複雑な光学系を用いる必要がない分、膜厚測定装置１００の構成を簡略化することが可能になる。また、撮像した画像（干渉色）から膜厚への変換テーブル（校正データ）などを用いることなく、膜厚ｔ（ｉ）を推定することが可能になる。また、観測点毎（つまり、干渉画像の画素毎）に膜厚ｔ（ｉ）を推定することができるので、比較的水平分解能の高い膜厚測定装置１００を構成することが可能になる。
　（膜厚測定方法）
　次に、図４を参照して、本実施形態による膜厚測定方法について説明する。
　図４に示すように、ステップＳ１において、白色光源１０から３波長帯域フィルタ２０およびハーフミラー３１を介して、測定対象である半透明膜６０に複数の波長（青、緑、赤）の単色光を含む光が照射される。そして、半透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像がカラーカメラ４０により撮像されて、観測輝度値が取得される。
　次に、ステップＳ２において、上記の式（１１）に基づいて定められる数の観測点が選択される。
　次に、ステップＳ３において、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）のそれぞれの初期値が設定される。
　次に、ステップＳ４において、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が推定される。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）が一括して推定される。
　次に、ステップＳ５において、ＧＭＦＴ法により推定されたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（１９））に基づいて、所望の観測点（ＧＭＦＴ法において使用された観測点以外の観測点）における未知変数であるｔが推定される。なお、マルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いることにより、複数の解が求められる。
　最後に、ステップＳ６において、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるもの（つまり大域解）が、膜厚として採用（推定）される。
　（実験）
　次に、図５～図８を参照して、ＧＭＦＴ法および輝度合致法の妥当性を確認するための実験について説明する。
　この実験では、図２の上段に示されるカラーチャートを実験対象の画像とした。すなわち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λＢ＝４７０ｎｍ、λＧ＝５６０ｎｍ、および、λＲ＝６００ｎｍ、とした。また、Ｉ１＝２０、Ｉ２０＝８０、膜屈折率ｎ＝１．４とした。また、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の吸収係数を、ｋ（Ｂ）＝０．０００４（１／ｎｍ）、ｋ（Ｇ）＝０．０００３（１／ｎｍ）、および、ｋ（Ｒ）＝０．０００２（１／ｎｍ）とした。そして、図２の上段のカラーチャートは、水平方向に２００画素を有する。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。
　ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点を観測点として使用した。そして、６点の観測点の輝度値を用いて、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定した。
　また、輝度合致法についての実験では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（１９））に基づいて、カラーチャートの水平方向の２００個の観測点の膜厚ｔを推定した。また、輝度合致法では、半透明膜６０の膜厚ｔの範囲が１０００ｎｍであるとして、刻み間隔１００ｎｍのマルチスタート法を採用した。
　〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
　図５に示すように、６個の観測点（点番号１～６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（９）により推定された輝度値とが、完全に一致した。
　また、図６に示すように、この実験では、未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の初期値を、各々の真値の９０％としてＧＭＦＴ法を適用した。その結果、未知変数Ｉ１（Ｂ、Ｇ、Ｒ）、Ｉ２０（Ｂ、Ｇ、Ｒ）およびｋ（Ｂ、Ｇ、Ｒ）の全てにおいて、真値と一致した。また、図６および図７に示すように、膜厚ｔ（１～６）の全てにおいて、真値と一致した。すなわち、誤差は、０％であった。これにより、ＧＭＦＴ法が、未知変数Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の推定に有効であることが確認された。
　〈輝度合致法についての実験結果〉
　図８に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１～２００）の全ておいて、推定された膜厚と真値とが、完全に一致した。これにより、輝度合致法が、未知変数ｔ（ｉ）の推定に有効であることが確認された。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図８では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。
　（本実施形態の効果）
　次に、本実施形態の効果について説明する。
　本実施形態では、上記のように、上記の式（９）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部５０を設ける。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）が一括して推定される。すなわち、透明膜の場合と異なり、半透明膜６０による光の吸収（ｅ－２ｋ（ｊ）ｔ（ｉ）、ｅ－ｋ（ｊ）ｔ（ｉ））を考慮した上記式（９）を用いることにより、半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に半透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。
　また、本実施形態では、上記のように、上記の式（９）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、上記の式（１９）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように制御部５０を構成する。これにより、上記の式（１９）においては、未知変数の数が膜厚ｔの１つであるので、上記の式（９）（未知変数の数がＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）の３ｍ＋Ｎ個）を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔを推定することができる。
　また、本実施形態では、上記のように、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように制御部５０を構成する。これにより、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。
　また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＮとした場合、上記の式（１１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｎを設定する。これにより、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（１１）に基づいて、容易に求めることができる。
　また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。これにより、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。その結果、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。
　［変形例］
　なお、今回開示された実施形態および実施例は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態および実施例の説明ではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更（変形例）が含まれる。
　たとえば、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを介して、青、緑および赤の単色光が半透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、青、緑および赤の単色光を照射する光源から、半透明膜に光を照射してもよい。
　また、上記実施形態では、青、緑および赤の３つの単色光が半透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、２つの単色光が半透明膜に照射されるようにしてもよい。
　また、上記実施形態（実験）では、ＧＭＦＴ法（上記の式（９））において、６個の観測点の輝度値が用いられる例を示したが、本発明はこれに限られない。本発明では、上記の式（１１）を満たせば、６個以外の数の観測点の輝度値を用いてもよい。
　また、上記実施形態（実験）では、膜厚の推定にマルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いる例を示したが、本発明はこれに限られない。膜厚の概略値（精度の良い初期値）が分かっている場合には、１つの初期値から膜厚を推定してもよい。
　１０　白色光源（光源）
　４０　カラーカメラ（撮像部）
　５０　制御部
　６０　半透明膜
　１００　膜厚測定装置

Claims (6)

  1. 　測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、
    　前記光源から照射され、前記半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、
    　前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記半透明膜の膜屈折率をｎ、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、前記半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、前記半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、前記半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する制御部とを備える、膜厚測定装置。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
  2. 　前記制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）およびｋ（ｊ）を求める際に用いられた前記干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔを未知変数として推定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
  3. 　前記制御部は、前記未知変数に初期値を設定するとともに、前記未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１または２に記載の膜厚測定装置。
  4. 　前記複数の単色光の波長の数をｍ、前記干渉画像の観測点の数をＮとした場合、以下の式（３）に基づいて、前記未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を求めるための前記干渉画像の観測点の数Ｎを設定するように構成されている、請求項１または３に記載の膜厚測定装置。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
  5. 　前記複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む、請求項１に記載の膜厚測定装置。
  6. 　測定対象である半透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、
    　前記半透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、
    　撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記半透明膜の膜屈折率をｎ、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記半透明膜の表面からの反射光の強さをＩ１（ｊ）、前記半透明膜における光の吸収がない場合の裏面からの反射光の強さをＩ２０（ｊ）、前記半透明膜の吸収係数をｋ（ｊ）、前記半透明膜の膜厚をｔ（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ１（ｊ）、Ｉ２０（ｊ）、ｋ（ｊ）およびｔ（ｉ）を推定する工程とを備える、膜厚測定方法。
    Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
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