JP2017044596A

JP2017044596A - 膜厚測定装置および膜厚測定方法

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Publication number: JP2017044596A
Application number: JP2015167555A
Authority: JP
Inventors: 克一北川; Katsuichi Kitagawa; 真左文大槻; Masafumi Otsuki
Original assignee: Toray Engineering Co Ltd
Current assignee: Toray Engineering Co Ltd
Priority date: 2015-08-27
Filing date: 2015-08-27
Publication date: 2017-03-02

Abstract

【課題】透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置を提供する。【解決手段】この膜厚測定装置１００は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜６０の層数をＮ、複数層の透明膜６０のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎk、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、白色光源１０から入射される光の入射光量をＩ0（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂij（ｊ）、複数層の透明膜６０のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔk（ｉ）とした場合、式（１）に基づいて、未知変数であるＩ0（ｊ）およびｔk（ｉ）を推定する制御部５０を備える。【選択図】図１

Description

この発明は、膜厚測定装置および膜厚測定方法に関する。

従来、膜厚測定装置および膜厚測定方法が知られている（たとえば、特許文献１参照）。

上記特許文献１では、１層の透明膜の複数の点の反射光の情報を用いて、複数の点の膜厚を一括して推定する膜厚測定装置および膜厚測定方法が開示されている。この膜厚測定装置および膜厚測定方法では、複数の波長の単色光を含む光が測定対象である１層の透明膜に照射される。そして、１層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像から複数の観測点が選択され、選択された観測点の干渉画像の輝度信号と、所定の干渉縞モデル（透明膜についての干渉縞モデル）とに基づいて、複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている。

特開２０１３−１４５２２９号公報

しかしながら、上記特許文献１に記載の膜厚測定装置および膜厚測定方法では、１層の透明膜の複数の点の膜厚が一括して推定されるように構成されている一方、複数層の透明膜では、複数の点の膜厚を一括して推定することは困難である。このため、従来では、複数層の透明膜についても複数の点の膜厚を一括して推定することが望まれている。

この発明は、上記のような課題を解決するためになされたものであり、この発明の１つの目的は、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することが可能な膜厚測定装置および膜厚測定方法を提供することである。

上記目的を達成するために、この発明の第１の局面による膜厚測定装置は、測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、光源から照射され、複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎ_k、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ₀（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂ_ij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔ_k（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する制御部とを備える。

この第１の局面による膜厚測定装置では、上記の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する制御部を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ₀（ｊ）と、複数層の透明膜の膜厚であるｔ_k（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。

上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ₀（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔ_kを未知変数として推定するように構成されている。

このように構成すれば、上記の式（２）においては、未知変数の数が膜厚ｔ_kのみであるので、上記の式（１）（未知変数がＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ））を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔ_kを推定することができる。

上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、制御部は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。このように構成すれば、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。

上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＰとした場合、以下の式（３）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている。

このように構成すれば、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３）に基づいて、容易に求めることができる。

上記第１の局面による膜厚測定装置において、好ましくは、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。このように構成すれば、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。これにより、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。

この発明の第２の局面による膜厚測定方法は、測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、撮像部により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎ_k、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ₀（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂ_ij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔ_k（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する工程とを備える。

この第２の局面による膜厚測定方法では、上記のように、上記の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する工程を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ₀（ｊ）と、複数層の透明膜の膜厚であるｔ_k（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することが可能な膜厚測定方法を提供することができる。

本発明によれば、上記のように、複数層の透明膜の複数の点の膜厚を一括して推定することができる。

本発明の一実施形態による膜厚測定装置の概略の構成を示した図である。Ｎ層膜の薄膜干渉を説明するための図である。２層膜の薄膜干渉を説明するための図である。２層膜（実験１に用いられた２層膜）の（ａ）膜厚分布、（ｂ）３波長の単色光の干渉画像、（ｃ）３波長の単色光の輝度値（光量）を示す図である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法を説明するための図である。本発明の一実施形態による膜厚測定方法のフロー図である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（１）である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（２）である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図（３）である。本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験１の結果を示す図である。２層膜（実験２に用いられた２層膜）の（ａ）膜厚分布、（ｂ）３波長の単色光の干渉画像、（ｃ）３波長の単色光の輝度値（光量）を示す図である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（１）である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（２）である。本発明の一実施形態によるＧＭＦＴ法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図（３）である。本発明の一実施形態による輝度合致法の妥当性を確認するための実験２の結果を示す図である。

以下、本発明を具体化した実施形態を図面に基づいて説明する。

［本実施形態］
（膜厚測定装置の構成）
図１を参照して、本実施形態による膜厚測定装置１００の構成について説明する。

図１に示すように、膜厚測定装置１００は、白色光源１０と、３波長帯域フィルタ２０と、顕微鏡３０と、カラーカメラ４０と、制御部５０とを備えている。なお、白色光源１０およびカラーカメラ４０は、それぞれ、特許請求の範囲の「光源」および「撮像部」の一例である。

白色光源１０は、測定対象である複数層の透明膜６０に複数の波長の単色光を含む光を照射するように構成されている。具体的には、図２に示すように、複数層の透明膜６０は、Ｎ層の透明膜６０₁〜６０_Nからなる。また、複数層の透明膜６０は、基板６１上に載置されている。ここで、本実施形態では、複数の単色光は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を含む。

３波長帯域フィルタ２０は、白色光源１０から照射された白色の光のうち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を透過させるように構成されている。

顕微鏡３０の内部には、ハーフミラー３１が設けられている。そして、ハーフミラー３１は、３波長帯域フィルタ２０を透過した青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の３色の単色光を測定対象である複数層の透明膜６０に照射するように構成されている。

カラーカメラ４０は、白色光源１０から照射され、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像するように構成されている。また、カラーカメラ４０は、たとえば、ＣＣＤ（ＣｈａｒｇｅＣｏｕｐｌｅｄＤｅｖｉｃｅ）イメージセンサや、ＣＭＯＳ（ＣｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙＭｅｔａｌＯｘｉｄｅＳｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）イメージセンサなどにより構成されている。

ここで、本実施形態では、制御部５０は、カラーカメラ４０により撮像された干渉画像の観測点番号をｉ、単色光の波長の種類に対する番号をｊ、単色光の波長をλ（ｊ）、複数層の透明膜の層数をＮ、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜屈折率をｎ_k、観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、光源から入射される光の入射光量をＩ₀（ｊ）、複数の波長の単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂ_ij（ｊ）、複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の透明膜の膜厚をｔ_k（ｉ）とした場合、後述する式（３１）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する。具体的には、制御部５０は、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成されている。以下、詳細に説明する。

（推定原理）
〈複数層の透明膜における干渉色と膜厚との関係〉
複数層の透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。

（層数Ｎの透明膜の干渉色と膜厚との関係）
まず、層数がＮである一般化された複数層の透明膜６０における干渉色と膜厚との関係について説明する。図２に示すように、複数層の透明膜６０の各界面を、ｓ₁、ｓ₂、ｓ₃、・・・、ｓ_N+1（Ｎは透明膜の層数）とし、Ｎ層の透明膜６０₁〜６０_Nの各々の膜厚を、ｔ₁、ｔ₂、・・・、ｔ_Nとし、Ｎ層の透明膜６０₁〜６０_N（および基板６１）の各々の膜屈折率を、ｎ₁、ｎ₂・・・ｎ_N、ｎ_N+1（ｎ_B）とし、白色光源１０から照射される光の波長をλとする。また、各界面ｓ₁、ｓ₂、ｓ₃、・・・、ｓ_N+1からの反射光の強度を、Ｉ₁、Ｉ₂、・・・、Ｉ_N、Ｉ_N+1とする。そして、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と、裏面からの反射光とによる干渉は、多重反射を無視すれば、反射光強度（反射光の和）は、下記の式（５）により表される。

上記の式（５）は、数列の和の記号「Σ」を用いると、下記の式（６）により表される。

ここで、上記の式（６）のｃｏｓの中の（φ_i‐φ_j）は、界面ｓ_iおよび界面ｓ_jからの反射光の位相差を表しており、下記の式（７）により表される。

上記の式（７）は、数列の和の記号「Σ」を用いると、下記の式（８）により表される。

上記の式（６）および式（８）から、下記の式（９）が得られる。

また、上記の式（９）を変形すると、下記の式（１０）が得られる。

ここで、ａは、複数の波長の単色光の平均輝度であり、ｂ_ijは、反射光の干渉変調度である。また、上層の透明膜の膜屈折率（ｎ_upper）が、下層の透明膜（または基板６１）の膜屈折率（ｎ_lower）よりも小さい場合（ｎ_upper＜ｎ_lower）には、上記の式（１０）において、右辺のｂ_ijの符号が正（＋）になる。すなわち、＋ｂ_ijになる。一方、上層の透明膜の膜屈折率（ｎ_upper）が、下層の透明膜（または基板６１）の膜屈折率（ｎ_lower）よりも大きい場合（ｎ_upper＞ｎ_lower）には、右辺のｂ_ijの符号が負（−）になる。すなわち、−ｂ_ijになる。

（２層の透明膜の干渉色と膜厚との関係）
次に、２層（Ｎ＝２）の場合の透明膜６０ａにおける干渉色と膜厚との関係について説明する。

図３に示すように、透明膜６０ａが２層（透明膜６０１ａ、６０２ａ）の場合には、上記の式（５）は、下記の式（１１）になる。

また、上記の式（９）は、下記の式（１２）になる。

また、上記の式（１０）は、下記の式（１３）になる。

なお、上記の式（１１）〜（１３）において、ｎ_upper＜ｎ_lowerの場合には、ｃｏｓの符号が正（＋）になり、ｎ_upper＞ｎ_lowerの場合には、ｃｏｓの符号が負（−）になる。また、ａ、ｂ₁、ｂ₂、ｂ₃は、下記の式（１４）〜式（１７）により表される。

また、フレネルの式を利用して、各界面の反射率と透過率を、膜屈折率で表すと、下記の式（１８）〜式（２２）が得られる。

また、入射光量を１とすると、下記の式（２３）〜式（２６）が得られる。なお、Ｉ₁〜Ｉ₃は界面ｓ₁〜ｓ₃の反射光量、Ｉ_T1は界面ｓ₁の透過光量を表す。

そして、上記の式（１８）〜式（２６）を用いると、上記の式（１４）〜式（１７）は、下記の式（２７）〜式（３０）により表される。

すなわち、各屈折率ｎ₁、ｎ₂およびｎ_Bが既知であるとすると、上記の式（１３）の右辺の未知変数は、Ｉ₀、ｔ₁およびｔ₂の３個になる。

ここで、白色光源１０から照射され、３波長帯域フィルタ２０を透過する単色光である青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λ_B＝４７０ｎｍ、λ_G＝５６０ｎｍ、および、λ_R＝６００ｎｍ、とする。また、Ｉ₀＝５００とする。また、膜屈折率の波長依存性はなく、膜屈折率ｎ₁＝１．５、ｎ₂＝２、および、ｎ_B＝４とする。そして、図４（ａ）に示すような、膜厚を有する透明膜６０１ａおよび６０２ａを仮定する。すなわち、透明膜６０１ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ１が大きくなる。また、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が小さくなる。そして、反射光量と膜厚の関係を、上記の式（１３）により算出することにより、３波長の単色光の干渉画像（図４（ｂ）参照）、および、３波長の単色光の輝度値（光量）（図４（ｃ）参照）が得られる。

図４（ａ）では、横軸はｘ座標を表し、縦軸は膜厚を表している。図４（ｃ）では、横軸はｘ座標を表し、縦軸は３波長の単色光の輝度値を表している。図４（ｃ）に示すように、波長（周期）は、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の順で長くなる。

図４（ｂ）は、図４（ｃ）に示された３波長の単色光の輝度値を加算することにより得られた干渉画像が示されている。図４（ｂ）は、干渉色のカラーチャーチ―トを表している。なお、図４（ｂ）では、グレーの濃淡で示されているが、実際には、カラーの濃淡の干渉色である。

〈ＧＭＦＴ法〉
次に、未知変数Ｉ₀およびｔ_kを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを、ＧＭＦＴ（ＧｌｏｂａｌＭｏｄｅｌＦｉｔｔｉｎｇｆｏｒＴｈｉｃｋｎｅｓｓ）法と呼ぶ。

カラーカメラ４０によって撮像された複数層（Ｎ層）の透明膜６０の画像（干渉色の画像）内の観測点ｉ（ｉ＝１，２，．．．,Ｎ）における、単色光の波長の種類に対する番号ｊ（ｊ＝１，２，．．．,ｍ）の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（９）を変形して、下記の式（３１）により表される。

ここで、入射光量Ｉ₀（ｊ）が、観測点に依存せず、一定であると仮定している。なお、この仮定は、白色光源１０から照射される光が均一であれば、一般的に成立する。

また、２層（Ｎ＝２）の場合は、上記の式（３１）は、下記の式（３２）になる。

ここで、本実施形態では、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）と、複数点において観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定するように構成されている。具体的には、下記の式（３３）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法（最小二乗法）により、未知変数（パラメータ）Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する。

ここで、ｇ（ｉ，ｊ）は、上記の式（３１）のモデル輝度値を表し、ｇ_ijは、観測輝度値を表す。

次に、上記の未知変数Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）が求められる条件について説明する。単色光の波長の数をｍ個、観測点数をＰ個とすると、未知変数の数は、ｍ＋２Ｐ個になる。また、Ｐ個の観測点からｍＰ個の輝度信号が得られる。そして、本実施形態では、下記の式（３４）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている。

たとえば、本実施形態では、単色光の波長の数は、青、緑および赤の３（ｍ＝３）であるので、Ｐは、３以上になる。すなわち、少なくとも３個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。

単色光の波長の数が３（ｍ＝３）であり、観測点の数がＰ個の場合、推定（計測）アルゴリズムは、図５に示すように、模式的に表される。すなわち、３Ｐ個の観測輝度値（ｇ（１，Ｂ）、ｇ（１，Ｇ）、ｇ（１，Ｒ），．．．，ｇ（Ｐ，Ｂ）、ｇ（Ｐ，Ｇ）、ｇ（Ｐ，Ｒ））から、膜厚ｔ_k（ｉ）（２層の場合には、２Ｐ個の膜厚）と、３個の入射光量Ｉ₀（Ｂ）、Ｉ₀（Ｇ）、Ｉ₀（Ｒ）が推定される。

上記の式（３１）（式（３２））のモデル輝度値は、周期関数である余弦関数（ｃｏｓ関数）を含むため、本実施形態の推定アルゴリズムにおいて最小二乗法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、適切な初期値を設定する必要がある。

次に、観測輝度値から、入射光量Ｉ₀（ｊ）の概略値を推定する方法について説明する。

観測輝度値（観測点における輝度値）から、輝度値の中央値ｇ_cを、下記の式（３５）により求める。

ここで、ｍａｘは、輝度値の最大値、ｍｉｎは、輝度値の最小値である。上記の式（３１）（式（３２））から、ｇ_c（ｊ）＝Ｉ₀（ｊ）ａ（ｊ）と近似できるので、Ｉ₀（ｊ）の初期値は、下記の式（３６）により表される。

〈輝度合致法〉
次に、未知変数ｔ_kを推定するアルゴリズムについて説明する。このアルゴリズムを輝度合致法と呼ぶ。輝度合致法では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数Ｉ₀（ｊ）を用いて、残りの未知変数ｔ_kが推定される。

複数層（Ｎ層）の透明膜６０の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｉ，ｊ）である上記の式（３１）を変形することにより、単色光の各波長（ｊ）に対する輝度値と膜厚との関係は、下記の式（３７）により表される。

ここで、未知数は、ｔ_kのみである。また、２層（Ｎ＝２）の場合は、上記の式（３７）は、下記の式（３８）になる。

ここで、未知数は、ｔ₁およびｔ₂のみである。

すなわち、本実施形態では、ＧＭＦＴ法（上記の式（３１）または式（３２））に基づいて求められたＩ₀（ｊ）と、上記の式（３７）（または式（３８））とに基づいて、Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔ_kを未知変数として推定するように構成されている。具体的には、上記の干渉縞のモデル輝度値ｇ（ｊ）と、観測された輝度値とに基づいて、未知変数であるｔ_kを推定するように構成されている。つまり、下記の式（３９）の誤差二乗和を最小にする非線形計画法により、未知変数ｔ_kを推定する。

ここで、ｇ（ｊ）は、上記の式（３７）（式（３８））のモデル輝度値を表し、ｇ_jは、観測輝度値を表す。

上記の式（３７）（式（３８））のモデル輝度値ｇ（ｊ）は、周期関数を含んでいるため、非線形計画法を用いた場合、局所的極小値（ローカルミニマム）が多数存在する。したがって、一般的な非線形計画法の解法では、初期値近傍の局所解に収束してしまい、正しい解が得られない場合がある。そこで、本実施形態では、マルチスタート法を用いる。すなわち、予想される膜厚の範囲内で、予め設定された刻み間隔を有する複数の初期値からスタートして、非線形計画法を用いることにより、複数の解を求める。そして、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるものを、大域解として採用する。

このように、上記の式（３１）（式（３２））、または、式（３７）（式（３８））を用いて、複数層の透明膜６０の膜厚ｔ_kが推定されるので、分光器や偏光光学系などの比較的複雑な光学系を用いる必要がない分、膜厚測定装置１００の構成を簡略化することが可能になる。また、撮像した画像（干渉色）から膜厚への変換テーブル（校正データ）などを用いることなく、膜厚ｔ_kを推定することが可能になる。また、観測点毎（つまり、干渉画像の画素毎）に膜厚ｔ_kを推定することができるので、比較的水平分解能の高い膜厚測定装置１００を構成することが可能になる。

（膜厚測定方法）
次に、図６を参照して、本実施形態による膜厚測定方法について説明する。

図６に示すように、ステップＳ１において、白色光源１０から３波長帯域フィルタ２０およびハーフミラー３１を介して、測定対象である複数層の透明膜６０（または２層の透明膜６０ａ）に複数の波長（青、緑、赤）の単色光を含む光が照射される。そして、複数層の透明膜６０の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像がカラーカメラ４０により撮像されて、観測輝度値が取得される。

次に、ステップＳ２において、上記の式（３４）に基づいて定められる数の観測点が選択される。

次に、ステップＳ３において、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）のそれぞれの初期値が設定される。

次に、ステップＳ４において、ＧＭＦＴ法（上記の式（３１）、式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）が推定される。これにより、複数の観測点（ｉ）に対するＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ_k（ｉ）が一括して推定される。

次に、ステップＳ５において、ＧＭＦＴ法により推定されたＩ₀（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（３７）、式（３８））に基づいて、所望の観測点（ＧＭＦＴ法において使用された観測点以外の観測点）における未知変数であるｔ_kが推定される。なお、マルチスタート法（複数の初期値からスタートする）を用いることにより、複数の解が求められる。

最後に、ステップＳ６において、求められた複数の解から、誤差二乗和が最小になるもの（つまり大域解）が、膜厚として採用（推定）される。

（実験１）
次に、図３、図４、および、図７〜図１０を参照して、ＧＭＦＴ法および輝度合致法の妥当性を確認するための実験１（シミュレーション実験）について説明する。なお、この実験１では、透明膜は、２層（Ｎ＝２）の透明膜６０ａ（図３参照）について膜厚を推定した。また、図４（ａ）に示すように、透明膜６０１ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ１が大きくなるとともに、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が小さくなるとした。

この実験１では、図４（ｂ）に示されるカラーチャートを実験対象の画像とした。すなわち、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λ_B＝４７０ｎｍ、λ_G＝５６０ｎｍ、および、λ_R＝６００ｎｍ、とした。また、図４（ｂ）のカラーチャートは、水平方向に２００画素を有する。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。

ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点（ｘ座標＝２１、４１、・・・、１２１）を観測点として使用した。そして、６点の観測点の輝度値を用いて、ＧＭＦＴ法（上記の式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）、ｔ₁（ｉ）およびｔ₂（ｉ）を推定した。また、未知変数であるＩ₀（ｊ）、ｔ₁（ｉ）およびｔ₂（ｉ）の初期値を、各々の真値の１１０％とした。

また、輝度合致法についての実験では、ＧＭＦＴ法により推定された未知変数であるＩ₀（ｊ）を用いて、輝度合致法（上記の式（３８））に基づいて、カラーチャートの水平方向の２００個の観測点の膜厚ｔ₁およびｔ₂を推定した。また、輝度合致法では、２層の透明膜６０ａ（透明膜６０１ａ、６０２ａ）の初期値を、それぞれ、ｔ₁＝２２５ｎｍ、ｔ₂＝７５ｎｍとした。

〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
図７に示すように、６個の観測点（点番号１〜６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（３２）により推定された輝度値とが、完全に一致した。

また、図８および図９に示すように、未知変数Ｉ₀（ｊ）、ｔ₁（ｉ）およびｔ₂（ｉ）の全てにおいて、推定値は、真値と一致した。すなわち、誤差は、０％であった。これにより、ＧＭＦＴ法が、未知変数Ｉ₀（ｊ）、ｔ₁（ｉ）およびｔ₂（ｉ）の推定に有効であることが確認された。

〈輝度合致法についての実験結果〉
図１０に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１〜２００）の全ておいて、推定された膜厚と真値とが、完全に一致した。これにより、輝度合致法が、未知変数ｔ₁およびｔ₂の推定に有効であることが確認された。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図１０では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。

（実験２）
産業界のニーズにおいては、２層の透明膜のうちの一方の透明膜の膜厚が略一定とみなせる場合が多い。そこで、この実験２では、透明膜６０１ａの膜厚ｔ１は一定であるとともに、透明膜６０２ａは、ｘ座標が大きくなるにしたがって、直線的に膜厚ｔ２が大きくなるとした。これにより、未知変数は、Ｉ₀（ｊ）、ｔ₁およびｔ₂（ｉ）となり、単色光の波長の数が３（ｍ＝３）の場合、未知変数の数は、Ｐ＋４個となる。すなわち、少なくとも２個の観測点のデータがあれば、未知変数を推定することが可能になる。

この実験では、図１１（ａ）に示されるように、透明膜６０１ａの膜厚ｔ₁が一定で、透明膜６０２ａの膜厚ｔ₂が、ｘ座標が大きくなるにしたがって大きくなる場合のカラーチャート（ｘ方向に２００画素）（図１１（ｂ）参照）を実験対象の画像とした。青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の各々の波長を、それぞれ、λ_B＝４７０ｎｍ、λ_G＝５６０ｎｍ、および、λ_R＝６００ｎｍとした。また、入射光量は、各波長ともにＩ₀＝１０００とした。また、屈折率ｎ₁＝１．５、ｎ₂＝２、ｎ_B＝４とした。また、非線形計画法（具体的には、最小二乗法）として、マイクロソフト社製のＥｘｃｅｌ（登録商標）のＳｏｌｖｅｒ（登録商標）機能を使用した。

〈ＧＭＦＴ法についての実験結果〉
ＧＭＦＴ法についての実験では、カラーチャートの中の互いに等間隔の６点（ｘ座標＝２１、４１、・・・、１２１）を観測点として使用した。また、未知変数であるＩ₀（ｊ）、ｔ₁およびｔ₂（ｉ）の初期値を、各々の真値の１１０％とした。実験２の結果として、図１２〜図１４に示すように、６個の観測点（点番号１〜６）の全てにおいて、青（Ｂ）、緑（Ｇ）および赤（Ｒ）の単色光の全てについて、観測された輝度値と、上記の式（３２）により推定された輝度値とが、完全に一致した。

〈輝度合致法についての実験結果〉

輝度合致法についての実験では、透明膜６０２ａの膜厚ｔ₂の範囲が約４００ｎｍであり、比較的大きい。そこで、透明膜６０２ａの膜厚ｔ₂の初期値の範囲を０〜４００ｎｍとし、刻み間隔１００ｎｍのマルチスタート法を採用した。

図１５に示すように、水平方向に沿った２００個の観測点（ｘ座標１〜２００）の全ておいて、推定された膜厚ｔ₁およびｔ₂と真値とが、完全に一致した。なお、推定された膜厚と真値とが完全に一致しているため、図１５では、推定された膜厚の線と真値の線とが重なって表示されている。

（本実施形態の効果）
次に、本実施形態の効果について説明する。

本実施形態では、上記のように、上記の式（３１）（式（３２））に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する制御部５０を備えることによって、複数の観測点（ｉ）に対するＩ₀（ｊ）と、複数層の透明膜６０の膜厚であるｔ_k（ｉ）が一括して推定される。すなわち、複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ_k（ｉ）を一括して推定することができる。その結果、１点ごとに膜厚を推定する場合と比べて、高速に複数層の透明膜６０の複数の点の膜厚ｔ（ｉ）を推定することができる。

また、本実施形態では、上記のように、制御部５０を、上記の式（３１）（式（３２））に基づいて求められたＩ₀（ｊ）と、上記の式（３７）（式（３８））とに基づいて、Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求める際に用いられた干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔ_kを未知変数として推定するように構成する。これにより、上記の式（３７）（式（３８））においては、未知変数の数が膜厚ｔ_kのみであるので、上記の式（３１）（式（３２））（未知変数がＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ））を用いる場合に比べて、より高速に膜厚ｔ_kを推定することができる。

また、本実施形態では、上記のように、制御部５０を、未知変数に初期値を設定するとともに、未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、未知変数を推定するように構成する。これにより、未知変数を含む関数が解析的に解けない場合（非線形関数の場合）でも、未知変数を推定することができる。

また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光の波長の数をｍ、干渉画像の観測点の数をＰとした場合、上記の式（３４）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求めるための干渉画像の観測点の数Ｐを設定する。これにより、未知変数に対して最低限必要な干渉画像の観測点の数を、上記の式（３４）に基づいて、容易に求めることができる。

また、本実施形態では、上記のように、複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む。これにより、３色の単色光の波長が各々異なるので、３色の単色光の干渉により生成される干渉色が膜厚によって変化する。その結果、観測点において観測された輝度値ｇ（ｉ，ｊ）（または輝度値ｇ（ｊ））に基づいて、膜厚を推定することができる。

［変形例］
なお、今回開示された実施形態および実施例は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本発明の範囲は、上記した実施形態および実施例の説明ではなく特許請求の範囲によって示され、さらに特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更（変形例）が含まれる。

たとえば、上記実施形態では、３波長帯域フィルタを介して、青、緑および赤の単色光が複数層の透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、青、緑および赤の単色光を照射する光源から、複数層の透明膜に光を照射してもよい。

また、上記実施形態では、青、緑および赤の３つの単色光が複数層の透明膜に照射される例を示したが、本発明はこれに限られない。たとえば、２つの単色光が複数層の透明膜に照射されるようにしてもよい。

また、上記実施形態（実験１、実験２）では、ＧＭＦＴ法（上記の式（３２））において、６個の観測点の輝度値が用いられる例を示したが、本発明はこれに限られない。本発明では、上記の式（３４）を満たせば、６個以外の数の観測点の輝度値を用いてもよい。

また、上記実施形態（実験２）では、膜厚の推定にマルチスタート法（複数の初期値からスタートすること）を用いる例を示したが、本発明はこれに限られない。膜厚の概略値（精度の良い初期値）が分かっている場合には、１つの初期値から膜厚を推定してもよい。

また、上記実験１および実験２では、２層の透明膜について実験を行った例を示したが、本発明はこれに限られない。上記の式（３１）および式（３７）を用いて、３層以上の透明膜について実験を行うことも可能である。

１０白色光源（光源）
４０カラーカメラ（撮像部）
５０制御部
６０、６０ａ（複数層の）透明膜
１００膜厚測定装置

Claims

測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する光源と、
前記光源から照射され、前記複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する撮像部と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記複数層の透明膜の層数をＮ、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜屈折率をｎ_k、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記光源から入射される光の入射光量をＩ₀（ｊ）、複数の波長の前記単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂ_ij（ｊ）、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜厚をｔ_k（ｉ）とした場合、以下の式（１）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する制御部とを備える、膜厚測定装置。
前記制御部は、上記の式（１）に基づいて求められたＩ₀（ｊ）と、以下の式（２）とに基づいて、Ｉ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求める際に用いられた前記干渉画像の観測点以外の観測点の膜厚ｔ_kを未知変数として推定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
前記制御部は、前記未知変数に初期値を設定するとともに、前記未知変数を含む関数から算出される値に基づいて、目的関数を最小化する非線形計画法により、前記未知変数を推定するように構成されている、請求項１または２に記載の膜厚測定装置。
前記複数の単色光の波長の数をｍ、前記干渉画像の観測点の数をＰとした場合、以下の式（３）に基づいて、前記未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を求めるための前記干渉画像の観測点の数Ｐを設定するように構成されている、請求項１に記載の膜厚測定装置。
前記複数の単色光は、青、緑および赤の３色の単色光を含む、請求項１〜４のいずれか１項に記載の膜厚測定装置。
測定対象である複数層の透明膜に複数の波長の単色光を含む光を照射する工程と、
前記複数層の透明膜の表面からの反射光と裏面からの反射光とにより生成される干渉画像を撮像する工程と、
前記撮像部により撮像された前記干渉画像の観測点番号をｉ、前記単色光の波長の種類に対する番号をｊ、前記単色光の波長をλ（ｊ）、前記複数層の透明膜の層数をＮ、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜屈折率をｎ_k、前記観測点において観測された輝度値をｇ（ｉ，ｊ）、前記光源から入射される光の入射光量をＩ₀（ｊ）、複数の波長の前記単色光の平均輝度をａ（ｊ）、反射光の干渉変調度をｂ_ij（ｊ）、前記複数層の透明膜のうちのｋ番目の層の前記透明膜の膜厚をｔ_k（ｉ）とした場合、以下の式（４）に基づいて、未知変数であるＩ₀（ｊ）およびｔ_k（ｉ）を推定する工程とを備える、膜厚測定方法。