WO2016147426A1

WO2016147426A1 - 交流信号解析装置、交流信号解析方法及び記録媒体

Info

Publication number: WO2016147426A1
Application number: PCT/JP2015/068279
Authority: WO
Inventors: 純教西江
Original assignee: 純教西江
Priority date: 2015-03-16
Filing date: 2015-06-24
Publication date: 2016-09-22
Also published as: JP5971425B1; JPWO2016147426A1

Abstract

　信号解析装置は、第１遅延器、第２遅延器、第３遅延器、第４遅延器を少なくとも含んだ複数の遅延器が直列に接続され、入力側から順に、前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器がそれぞれ配置され、直列に接続された複数の遅延器上の所定の点に対して、前記第２遅延器及び前記第３遅延器が対称に配置されていると共に、前記第１遅延器及び前記第４遅延器が対称に配置された信号遅延部と、前記第２遅延器の出力値と前記第３遅延器の入力値との積と、前記第２遅延器の入力値と前記第３遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、第１外積値を演算する第１外積演算部と、前記第１遅延器の出力値と前記第４遅延器の入力値との積と、前記第１遅延器の入力値と前記第４遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、第２外積値を演算する第２外積演算部と、前記第１外積演算部により演算された前記第１外積値と、前記第２外積演算部により演算された前記第２外積値と、を適用することにより、前記交流信号の周波数を演算する周波数演算部と、を備えている。

Description

交流信号解析装置、交流信号解析方法及び記録媒体

　本発明は、交流信号解析装置、交流信号解析方法及び記録媒体に関する。

　現在、様々な技術分野において、交流信号と基準信号との位相差（位相角）、又は２つの交流信号間の位相差が計測されている。例えば、電力網における電力・電力量の計算では力率として位相差が測定される。また、設備や機器の振動分析による異常診断、静音性の評価、騒音原因の対策方法を検討するための騒音分析、音響処理における音源推定、楽音処理における倍音分析などの技術分野においても、位相差の計測は重要である。

　位相差測定では、特に、測定精度、測定時間（時間分解能）、位相角の取り扱い方に関して難点がある。また、フーリエ変換が一般的に用いられることが多いが、位相差測定としては完全でなくさまざまな工学的工夫がなされている。

　特許文献１では、精密周波数安定度の測定のための位相差の検出方法が開示されている。特許文献２では、差分値を用いて位相差を求める方法が開示されている。特許文献３では、複素信号による位相角の計算方法、及び三相交流を利用する信号の複素化の方法が開示されている。

　特許文献４では、リサージュ図を利用する位相差計測の方法が開示されている。非特許文献１では、ＤＦＴを利用した精密位相角測定方法が開示されている。非特許文献２では、同期検波を基本とする位相角の検出方法が開示されている。

特開２００３－１６３７０８号公報特開２００６－３００７４６号公報特開２０１１－２２９３６１号公報特開２０１１－１９２３４６号公報川越順、「電力標準における位相角測定についてディジタル位相計とその校正方法」、電気標準クラブ第８回クラブ研究会、２００９．１．２９茂木晃編、「電気電子用語辞典」、オーム社、１９８５

　本発明は、上述した技術の問題点を解決するものである。

　本発明の第１の態様は、第１遅延器、第２遅延器、第３遅延器、第４遅延器を少なくとも含んだ複数の遅延器が直列に接続され、入力側から順に、前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器がそれぞれ配置され、直列に接続された複数の遅延器上の所定の点に対して、前記第２遅延器及び前記第３遅延器が対称に配置されていると共に、前記第１遅延器及び前記第４遅延器が対称に配置され、測定対象の交流信号の時系列信号が前記複数の遅延器を順次経由して出力する信号遅延部と、前記第２遅延器の出力値と前記第３遅延器の入力値との積と、前記第２遅延器の入力値と前記第３遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第１微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第１外積値を演算する第１外積演算部と、前記第１遅延器の出力値と前記第４遅延器の入力値との積と、前記第１遅延器の入力値と前記第４遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第２微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第２外積値を演算する第２外積演算部と、前記交流信号の微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって求められる微小面積に相当する外積値が前記微小時間に相当する位相差と前記交流信号の周波数との積に比例する関係に対して、前記第１外積演算部により演算された前記第１外積値と、前記第２外積演算部により演算された前記第２外積値と、を適用することにより、前記交流信号の周波数を演算する周波数演算部と、を備えています。

　本発明の第２の態様は、デジタル信号処理を用いて、２組の遅延器の両端の位相差を利用する瞬時周波数測定法により求めた瞬時周波数と、前記瞬時周波数から求められる係数による線形合成手段による直交信号処理法により作成される直交信号と、前記直交信号と基準直交信号のベクトル積及び／又は絶対値によるベクトル演算法により、信号の振幅、位相角及び／又は瞬時周波数を求める。

　本発明の第３の態様は、コンピュータを、第１遅延器、第２遅延器、第３遅延器、第４遅延器を少なくとも含んだ複数の遅延器が直列に接続され、入力側から順に、前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器がそれぞれ配置され、直列に接続された複数の遅延器上の所定の点に対して、前記第２遅延器及び前記第３遅延器が対称に配置されていると共に、前記第１遅延器及び前記第４遅延器が対称に配置され、測定対象の交流信号の時系列信号が前記複数の遅延器を順次経由して出力する信号遅延部と、前記第２遅延器の出力値と前記第３遅延器の入力値との積と、前記第２遅延器の入力値と前記第３遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第１微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第１外積値を演算する第１外積演算部と、前記第１遅延器の出力値と前記第４遅延器の入力値との積と、前記第１遅延器の入力値と前記第４遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第２微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第２外積値を演算する第２外積演算部と、前記交流信号の微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって求められる微小面積に相当する外積値が前記微小時間に相当する位相差と前記交流信号の周波数との積に比例する関係に対して、前記第１外積演算部により演算された前記第１外積値と、前記第２外積演算部により演算された前記第２外積値と、を適用することにより、前記交流信号の周波数を演算する周波数演算部と、して機能させるためのプログラムが記録された記録媒体である。

　本発明は、交流信号から少なくとも５サンプルの時系列信号を用いるだけで、当該信号区間における周波数を瞬時に測定することができる。

第１実施形態に係る信号解析装置の構成を示す図である。コンピュータの機能的な構成を示すブロック図である。信号解析ルーチンを示すフローチャートである。瞬時周波数測定部の詳細な構成示すブロック図である。リサージュ図と瞬時面積を示す図である。直交信号生成部の詳細な構成を示すブロック図である。直交信号を説明するためのベクトル図である。同期平均化器の構成を示す図である。第２実施形態に係る瞬時周波数測定部の詳細な構成示すブロック図である。第３実施形態に係る信号解析装置のコンピュータの機能的な構成を示す図である

　以下、本発明の各実施形態について図面を参照しながら説明する。なお、各実施形態において、共通する部位には共通する符号を付し、重複する説明は省略する。

　[第１実施形態]
　図１は、第１実施形態に係る信号解析装置１の構成を示す図である。
　信号解析装置１は、測定対象である１入力の交流信号と、内部で発生する基準信号と、に基づいて、当該交流信号の瞬間的な周波数である瞬時周波数、振幅、及び基準信号との位相差である絶対位相角（ｃｏｓφ又はｓｉｎφ）をそれぞれ測定する。信号解析装置１は、例えばＰＭＵ（Phasor Measurement Unit）装置に用いられる。

　信号解析装置１は、ユーザの操作情報が入力される入力部２と、測定対象の交流信号をアナログ信号からデジタル信号に変換（Ａ／Ｄ変換）するＡ／Ｄ変換器３と、交流信号の信号解析処理を実行するコンピュータ４と、ユーザの操作情報、信号解析結果などが表示されるディスプレイ５と、を備えている。なお、Ａ／Ｄ変換器３は、コンピュータ４に独立した構成となっているが、コンピュータ４に組み込まれた構成であってもよい。

　Ａ／Ｄ変換器３は、測定対象の交流信号をＡ／Ｄ変換して、デジタル化された交流信号をコンピュータ４へ出力する。

　コンピュータ４は、演算処理を実行するＣＰＵ４ａと、ＣＰＵ４ａを実行させるためのプログラムや所定のデータベースが記憶された記憶部４ｂと、を備えている。このプログラムは、光ディスクや磁気ディスク等の記録媒体から読み出されたものでもよいし、ネットワークを経由して外部から伝送されたものでもよい。コンピュータ４は、デジタル化された交流信号について、所定のサンプリング期間ごとに、瞬時周波数、振幅、絶対位相角を求める。

　図２は、コンピュータ４の機能的な構成を示すブロック図である。
　コンピュータ４は、デジタル化された交流信号の瞬時周波数を測定する瞬時周波数測定部１１と、上記のデジタル化された交流信号を遅延させる遅延器１２と、上記のデジタル化された交流信号に基づく直交信号Ｉ１，Ｑ１を生成する直交信号生成部１３と、を備えている。

　さらに、コンピュータ４は、ＧＰＳ信号に基づいて基準直交信号の基準周波数を制御する基準周波数制御部１４と、基準周波数に応じてパラメータを制御するパラメータ制御部１５と、設定されたパラメータに基づいて基準直交信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆを発生する基準信号発生器１６と、交流信号の振幅及び絶対位相角を演算するベクトル演算器１７と、ベクトル演算器１７の出力信号について平均化処理を行う同期平均化器１８，１９，２０，２１と、を備えている。

　（信号解析処理の概要）
　図３は、信号解析装置１による信号解析ルーチンを示すフローチャートである。
　ステップＳ１では、図１に示すＡ／Ｄ変換器３は、測定対象の交流信号をＡ／Ｄ変換して、デジタル化された時系列信号である交流信号を図２に示す瞬時周波数測定部１１及び遅延器１２へ出力する。以下、サンプルｎにおける時系列信号（交流信号）をｘ_ｎとする。

　ステップＳ２では、瞬時周波数測定部１１は、連続する５サンプルの交流信号ｘ_ｎ－２，ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１，ｘ_ｎ＋１を用いて、式（１）に従って、当該区間の交流信号の瞬時周波数ｆを測定する。
ｆ＝（ｆｓ／２π）ａｒｃｓｉｎ［（１／２）（３－ｒ）^１／２］・・・（１）

　但し、Ｋは遅延段数、ｆｓはサンプリング周波数である。ｒ、Ｌｓ１、Ｌｓ３は式（２）から（４）の通りである。

ｒ＝Ｌｓ３／Ｌｓ１　　　　　　　　　・・・（２）
Ｌｓ１＝ｘ_ｎｘ_ｎ－ｘ_ｎ－１ｘ_ｎ＋１　　　　・・・（３）
Ｌｓ３＝ｘ_ｎ－１ｘ_ｎ＋１－ｘ_ｎ－２ｘ_ｎ＋２　　・・・（４）

　また、正規化角周波数をΩとすると、Ω＝２πｆ／ｆｓの関係式が成り立つ。そこで、瞬時周波数測定部１１は、当該関係式を利用して、次の式（５）に従って、上記区間の交流信号の正規化角周波数Ωを測定する。
Ω＝ａｒｃｓｉｎ［（１／２）（３－ｒ）^１／２］　　　・・・（５）

　瞬時周波数測定部１１は、正規化角周波数Ωを直交信号生成部１３及び同期平均化器１８へ出力する。

　ステップＳ３では、直交信号生成部１３は、瞬時周波数測定部１１で測定された正規化角周波数Ωと、遅延器１２を介して入力された交流信号ｘ_ｎと、に基づいて、直交信号Ｉ１，Ｑ１を生成して出力する。

　直交信号生成部１３は、入力された交流信号ｘ_ｎに遅延処理を施したものを直交信号Ｉ１としてベクトル演算器１７へ出力し、直交信号Ｉ１に直交する直交信号Ｑ１を生成してベクトル演算器１７へ出力する。

　具体的には、直交信号生成部１３は、式（６）及び（７）に従って、直交信号Ｉ１，Ｑ１を生成する。
Ｉ_ｎ＝ｘ_ｎ－１　　　　　　　　　　　　　・・・（６）
Ｑ_ｎ＝（ｘ_ｎ－２－ｘ_ｎ）・ａ１　　　　　　・・・（７）
　但し、係数ａ１は、式（８）の通りである。
ａ１＝１／［２ｃｏｓ（ＫΩ－π／２）］　・・・（８）

　ステップＳ４では、基準信号発生器１６は、直交する基準信号である直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆを生成して、ベクトル演算器１７へ出力する。なお、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの周波数は、初期設定されているが、パラメータ制御部１５によって調整可能である。

　ステップＳ５では、ベクトル演算器１７は、直交信号Ｉ１，Ｑ１及び直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆを用いて、式（９）から（１１）に従って、測定対象である交流信号の振幅Ａｍｐ１、並びに位相角φに対応するｃｏｓφ及びｓｉｎφを演算する。

Ａｍｐ１＝（Ｉ１^２＋Ｑ１^２）^１／２　　　・・（９）
ｓｉｎφ＝（Ｉｒｅｆ・Ｑ１－Ｉ１・Ｑｒｅｆ）／Ａｍｐ１・・（１０）
ｃｏｓφ＝（Ｉ１・Ｉｒｅｆ＋Ｑ１・Ｑｒｅｆ）／Ａｍｐ１・・（１１）

　そして、ベクトル演算器１７は、振幅Ａｍｐ１を同期平均化器１９へ、ｃｏｓφを同期平均化器２０へ、ｓｉｎφを同期平均化器２１へ出力する。

　ステップＳ６では、同期平均化器１８，１９，２０，２１は、入力された各信号についてそれぞれ平均化処理を実行して、ノイズや外乱に対してロバストな正規化角周波数Ω、振幅値Ａｍｐ１、ｃｏｓφ及びｓｉｎφを出力する。同期平均化器１８，１９，２０，２１の同期平均化処理は、特に限定されるものではなく、詳しくは後述するように様々なものが適用される。

　以上のように、信号解析装置１は、ステップＳ１からステップＳ６を実行することにより、連続５サンプルの交流信号を用いるだけで、当該交流信号の瞬時周波数ｆ（又は正規化角周波数Ω）、振幅Ａｍｐ１、位相角φに相当するｃｏｓφ及びｓｉｎφを測定することができる。

　つぎに、各ステップの詳細について説明する。
　（ステップＳ２：瞬時周波数ｆの測定）
　瞬時周波数ｆは、瞬時周波数測定部１１で測定される。
　図４は、瞬時周波数測定部１１の詳細な構成示すブロック図である。瞬時周波数測定部１１は、遅延器３１，３２，３３，３４と、リサージュ外積演算器３５，３６と、移動平均化器３７，３８と、除算器３９と、逆正弦関数演算器４０と、を備えている。

　遅延器３１，３２，３３，３４は、それぞれ入力信号を遅延段数Ｋだけ遅延して出力する。また、遅延器３１，３２，３３，３４は、直列に接続されている。遅延器３１は最前段（信号入力側）にあり、遅延器３４は最後段にある。

　リサージュ外積演算器３５は、遅延器３１，３２，３３のそれぞれの出力ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１を用いて、上述した式（３）に従って、リサージュ外積Ｌｓ１を演算する。
　リサージュ外積演算器３６は、遅延器３１の入出力ｘ_ｎ＋２，ｘ_ｎ＋１、及び遅延器３４の入出力ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ－２を用いて、上述した式（４）に従って、リサージュ外積Ｌｓ３を演算する。

　移動平均化器３７は、リサージュ外積Ｌｓ１について、ある特定時刻から指定された過去に向かってＮサンプルの有限区間のデータを平均化する移動平均化処理を行い、処理済みのリサージュ外積Ｌｓ１を除算器３９へ出力する。移動平均化器３８は、リサージュ外積Ｌｓ３について移動平均化処理を行い、処理済みのリサージュ外積Ｌｓ３を除算器３９へ出力する。

　除算器３９は、Ｌｓ３／Ｌｓ１を演算して、演算値を逆正弦関数演算器４０へ出力する。
　逆正弦関数演算器４０は、除算器３９の演算値を用いて、上述した式（１）に従って、瞬時周波数ｆ［ｋ］を演算する。さらに、逆正弦関数演算器３６は、式（５）に従って、正規化角周波数Ωを演算する。

　以上のように、瞬時周波数測定部１１は、連続する５サンプルの時系列信号ｘ_ｎ－２，ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１，ｘ_ｎ＋２を用いるだけで、当該区間の瞬時周波数ｆ又は正規化角周波数Ωを測定することができる。

（瞬時周波数ｆの導出）
　瞬時周波数ｆは、リサージュ図の軌跡に着目して、以下の手順により導出される。最初に、リサージュ図の軌跡における瞬時面積からリサージュ外積と位相差・振幅との関係式が導かれ、次に、この関係式を段数の異なる２つの遅延段に適応して２つの連立方程式を得て、最後に、連立方程式を解くことにより瞬時周波数ｆが求められる。

　図５は、リサージュ図と瞬時面積ΔＳを示す図である。
　瞬時面積ΔＳは、Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２）の外積の１／２として計算できる。位相差が一定の信号によるリサージュ図の軌跡では、瞬時面積ΔＳは一定になる性質をもつ。
　２点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）、Ｐ２（ｘ２，ｙ２）、及び原点Ｏにより作られる微小三角形の面積ΔＳは、式（１２）のようになる。
ΔＳ＝１／２（ｘ１・ｙ２－ｘ２・ｙ１）　　　　　　　・・・（１２）

　そこで、リサージュ外積を次の式（１３）のように定義する。
２・ΔＳ＝Ｌｓ（ｘ_ｋ・ｙ_ｋ）＝ｘ_ｋ－１・ｙ_ｋ－ｘ_ｋ・ｙ_ｋ－１・・・（１３）

　次に、式（１４）及び（１５）で定義される位相差φをもつ２信号ｘ_ｎ，ｙ_ｎをリサージュ図で描画する。
ｘ_ｎ＝Ａｓｉｎ（Ωｎ）　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（１４）
ｙ_ｎ＝Ｂｓｉｎ（Ωｎ－φ）　　　　　　　　　　　　　　・・・（１５）

　そして、入力される信号の振幅と加えられる信号の周波数、並びに加えられる２信号の位相差の関係（リサージュ外積、周波数、位相差関係式）を求める。

　式（１４）及び（１５）の定義に従い、式（１６）～（２１）のように、リサージュ図上の２点Ｐ_１，Ｐ_２を定める。
ｘ_１＝Ａｓｉｎ（Ω（ｎ－１））　　　・・・（１６）
ｙ_１＝Ｂｓｉｎ（Ω（ｎ－１）－φ）　・・・（１７）
ｘ_２＝Ａｓｉｎ（Ωｎ）　　　　　　　・・・（１８）
ｙ_２＝Ｂｓｉｎ（Ωｎ－φ）　　　　　・・・（１９）
Ｐ_１＝（ｘ_１，ｙ_１）　　　　　　　　　・・・（２０）
Ｐ_２＝（ｘ_２，ｙ_２）　　　　　　　　　・・・（２１）

　式（１６）～（２１）の定義に従って、リサージュ図の微小面積ΔＳを求める。微小面積ΔＳは、Ｐ_１，Ｐ_２の外積値の１／２となる。つまり、微小面積ΔＳは、式（２２）のように表せる。
ΔＳ＝（１／２）・（Ｐ_１×Ｐ_２）
＝（１／２）・（ｘ_１・ｙ_２－ｘ_２・ｙ_１）　　・・・（２２）
　なお、式（２２）は、式（１３）でｋ＝２としたものと等価である。

　次に、式（２２）を展開する。ここで、和積変換式は、式（２３）の通りである。
ｓｉｎＸｓｉｎＹ＝
　（１／２）・［ｃｏｓ（Ｘ－Ｙ）－ｃｏｓ（Ｘ＋Ｙ）］・・（２３）

　式（２２）に式（２３）を使用すると、式（２４）のようになる。
ΔＳ＝（１／２）・（ｘ_１・ｙ_２－ｘ_２・ｙ_１）
　　＝（１／２）ＡＢ・［ｓｉｎ（Ω（ｎ－１））・ｓｉｎ（Ωｎ－φ）
　　　　－ｓｉｎ（Ωｎ）・ｓｉｎ（Ω（ｎ－１）－φ）］
　　＝（１／４）ＡＢ・［ｃｏｓ（－Ω＋φ）－ｃｏｓ（Ω＋φ）］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２４）

　また、積和変換公式は、式（２５）の通りである。
ｃｏｓＸ－ｃｏｓＹ＝
　　　－２ｓｉｎ（（ｘ＋ｙ）／２）・ｓｉｎ（（ｘ－ｙ）／２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（２５）

　式（２４）に式（２５）を使用すると、式（２６）のようになる。
ΔＳ＝（１／４）ＡＢ・［ｃｏｓ（－Ω＋φ）－ｃｏｓ（Ω＋φ）］
　　＝－（１／２）ＡＢ［ｓｉｎ（φ）・ｓｉｎ（－Ω）］
　　＝（１／２）ＡＢ［ｓｉｎ（φ）・ｓｉｎ（Ω）］　・・・（２６）

　ここで、式（２２）で説明したように、微小面積ΔＳはリサージュ外積Ｌｓの１／２の値である。ΔＳをＬｓに置き換えると、式（２６）は式（２７）となる。
ｓｉｎφ＝Ｌｓ（ｘ，ｙ）／（ＡＢｓｉｎΩ）　　　　　・・・（２７）
　式（２７）は、振幅Ａ及びＢと周波数Ωが既知であれば、式（２２）のリサージュ外積を用いて位相差ｓｉｎφが求められることを示している。また、式（２７）は、振幅Ａ及びＢ、位相差φ、Ｌｓ、周波数Ωの関係式を表している。

　つぎに、段数Ｋの遅延器により発生する位相差を説明する。
　文献「遅延器による位相差を利用する瞬時周波数測定方法の提案」（西江ら、電子情報通信学会技術報告、ＥＡ－２０１３－９３、２０１３）によると、遅延段数Ｋの遅延器の両端の位相はφ＝ＫΩで表される。この導出式は式（２８）の通りである。

ｓｉｎ[ω（ｔ＋ＫΔＴ）]＝ｓｉｎ（ωｔ＋ＫωΔＴ）
＝ｓｉｎ（ωｔ＋ＫΩ）・・・（２８）
　時間項にＫΔＴを加えると、位相差項がＫΩとして現れる。ΔＴは１サンプル当たりの遅延時間であり、ΔＴ＝１／ｆｓである。式（２８）によると、Ｋ段の遅延は、結果的にφ＝ＫΩの関係の位相差（遅れ）となる。

　上述の図４に示すように、遅延段１（段数Ｋ）と遅延段２（段数３Ｋ）を用意する。遅延段数比は３である。それぞれの遅延段で計算されるリサージュ外積をＬｓ１、Ｌｓ３とする。以下、振幅項を消去しΩを求める方法を説明する。

　前述の段数Ｋの遅延段による位相差をあわせ、遅延段１・遅延段２の位相差の関係は、式（２７）を用いると、式（２９）及び（３０）となる。
ｓｉｎφ_１＝ｓｉｎＫΩ　　＝Ｌｓ１／（Ａ^２ｓｉｎΩ）　・・・（２９）
ｓｉｎφ_３＝ｓｉｎ３ＫΩ　＝Ｌｓ３／（Ａ^２ｓｉｎΩ）　・・・（３０）

　式（２９）及び（３０）をみると、Ａ^２ｓｉｎΩは共通項なので、まとめることができる。すると、次の式（３１）となる。
（ｓｉｎ３ＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）＝Ｌｓ３／Ｌｓ１　　・・・（３１）

　式（３１）の方程式を解くと、Ωが求められる。三角関数の３倍角の公式は式（３２）の通りである。
ｓｉｎ３ＫΩ＝３ｓｉｎＫΩ－４ｓｉｎ^３ＫΩ　　　　　・・・（３２）

　式（３１）に式（３２）を適用して左辺を展開すると、式（３３）が得られる。
（ｓｉｎ３ＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）
＝（３ｓｉｎＫΩ－４ｓｉｎ^３ＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）
　　　　　＝３－４ｓｉｎ^２ＫΩ　　　　　　　　　・・・（３３）

　式（３３）を解くと、式（３４）～（３７）になり、Ωが求められる。
ｃｏｓＫΩ＝（１／２）（Ｌｓ4／Ｌｓ２）　　　　　　・・・（３４）
ｓｉｎ^２ＫΩ＝（１／４）（３－Ｌｓ３／Ｌｓ１）　　　・・・（３５）
Ω＝（１／Ｋ）ａｒｃｃｏｓ［（１／２）（Ｌｓ４／Ｌｓ２）］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（３６）
Ω＝（１／Ｋ）ａｒｃｓｉｎ［（１／２）・（３－Ｌｓ３／Ｌｓ１）^１／２］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（３７）

　正規化角周波数の定義から、２πｆ／ｆｓ＝Ωである。よって、式（３６）及び（３７）から上述した式（１）が導出される。

　以上のように、瞬時周波数測定部１１は、連続する５サンプルの時系列信号ｘ_ｎ－２，ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１，ｘ_ｎ＋２を用いるだけで、当該区間の瞬時周波数ｆ又は正規化角周波数Ωを測定することができる。また、リサージュ外積Ｌｓ１，Ｌｓ３は、ｘ_ｎを対称にした積和演算値であるため、精度よく瞬時周波数ｆが求められる。なお、一般的には、Ｌｓ（３ｍ），Ｌｓ（ｍ）（但し、ｍ＞１）の関係を満たすリサージュ外積が使用可能である。

　すなわち、第１実施形態に係る信号解析装置１は、測定対象の交流信号について、連続する５サンプルの時系列信号のみで、当該交流信号の瞬時周波数ｆ（又は正規化角周波数Ω）を測定することができる。さらに、信号解析装置１は、正規化角周波数Ωを用いて、当該交流信号の振幅、及び基準信号に対する位相差である絶対位相角を測定することができる。

　（ステップＳ３：直交信号の生成）
　図６は、直交信号生成部１３の詳細構成を示すブロック図である。直交信号生成部１３は、入力された交流信号に直交する信号を生成し、入力された交流信号及び生成した信号を直交信号Ｉ１，Ｑ１として出力する。

　直交信号生成部１３は、遅延器５１，５２と、加算器５３と、係数演算部５４と、係数乗算器５５と、を備えている。
　遅延器５１は、入力された交流信号に対して遅延段数Ｋに応じた遅延処理を施して、遅延処理済みの信号を直交信号Ｉ１として出力すると共に、遅延器５２へ出力する。遅延器５２は、遅延器５１からの信号に対して遅延段数Ｋに応じた遅延処理を施して、遅延処理済みの信号を加算器５３へ出力する。加算器５３は、遅延器５２からの信号を加算信号、遅延器５１に入力される信号を減算信号として、２信号の加算処理を行い、加算値を係数乗算器５５へ出力する。

　係数演算部５４は、瞬時周波数測定部１１で測定された正規化角周波数Ωと、遅延段数Ｋとを用いて、式（３８）に従って、係数ａ１を演算する。
ａ１＝（１／［２ｃｏｓ（ＫΩ－π／２）］　　・・・（３８）

　係数乗算器５５は、加算器５３からの信号に係数ａ１を乗じて、直交信号Ｑ１として出力する。

　図７は、直交信号を説明するためのベクトル図である。ここでは、遅延器５１，５２で発生する位相差φ＝ＫΩが利用される。図６に示すように、直交信号Ｉ１の時間に対して未来方向／過去方向にそれぞれ同一の遅延段数Ｋの遅延器５１，５２が配置されている。その結果、ベクトル図に示す関係により、位相がπ／２遅れた信号が生成される。さらに、係数ａ１にてＱ信号の振幅が補正される。この補正量である係数ａ１は、ベクトル図から次のように容易に求められる。

　直交信号Ｉ１，Ｑ１の位相差は常に９０度である。最初に、Ｉ１に対し９０度位相のずれた仮合成ベクトルｑを生成する。なお、入力される交流信号ｘ_ｎの長さ（振幅）を１と仮定する。
　入力される交流信号ｘ_ｎをＸ軸上に配置すると、入力信号ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１の各ベクトルは、図７のようになる。ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ＋１の両ベクトルは、共に原点を通ると共に、ベクトルｘ_ｎに対して対称に配置されている。また、ベクトル（－ｘ_ｎ＋１）は、ベクトルｘ_ｎ＋１を原点に対して１８０度回転したものである。

　そこで、ｑ＝ｘ_ｎ－１－ｘ_ｎ＋１を演算すると、仮合成ベクトルｑは、直交信号Ｉ１に対し９０度位相のずれたＹ軸上のベクトルとなり、直交信号Ｑ１のベクトルの向きに一致する。但し、この仮合成ベクトルｑの長さは、直交信号Ｉ１（交流信号ｘ_ｎ）の長さと一致しておらず、直交信号Ｑ１の正確な長さを示していない。

　次に、Ｘ軸とベクトルｘ_ｎ－１のなす角、つまり、ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎの位相差φ＝ＫΩであることを考慮すると、Ｙ軸とベクトルｘ_ｎ－１のなす角θ＝π／２－ＫΩとなる。よって、仮合成ベクトルｑの長さは、２ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ（ＫΩ－π／２）となる。

　最後に、仮ベクトルｑの長さ（振幅）を交流信号ｘ_ｎの長さ（振幅）に一致させるための補正量に相当する係数ａ１を検討する。入力される交流信号ｘ_ｎの長さは１であるため、仮ベクトルｑの長さの逆数が係数ａ１に一致する。したがって、ａ１＝１／［２ｃｏｓ（ＫΩ－π／２）］となる。

　以上のように、直交信号生成部１３は直交信号Ｑを精度良く作成できる。ベクトル合成の方法から分かるとおり、直交信号生成部１３は、入力される正規化角周波数Ωが正確な値でなくても、直交信号Ｉ１に対して正確に９０度移相した直交信号Ｑ１を出力することができる。よって、直交信号生成部１３は、生成した直交信号Ｉ１，Ｑ１の誤差を補正する必要がある場合には、振幅に相当する係数ａ１のみを補正すればよい。さらに、直交信号生成部１３は、１つの係数ａ１のみを演算すればよいので、演算量を抑制することができる。

　（ステップＳ４：基準信号の発生）
　図２に示す基準信号発生器１６は、初期設定された基準周波数パラメータ及び位相パラメータに基づいて、余弦波及び正弦波の基準信号である直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆを発生する。なお、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの振幅は常に１である。

　ここで、Ａ／Ｄ変換器３のサンプリング周波数に誤差が含まれている場合、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの周波数を微調整する必要がある。本実施形態では、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの周波数を微調整するために、１秒周期の精密なパルス信号、つまりＧＰＳ受信機から出力される１ｐｐｓのＧＰＳ信号が利用される。

　具体的には、基準周波数制御部１４は、ＧＰＳ信号及びＡ／Ｄ変換器３のサンプリング周波数をモニタリングして、ＧＰＳ信号のインターバルから、Ａ／Ｄ変換器３のサンプリング周波数の誤差を推定し、この誤差をキャンセルするための補正値をパラメータ制御部１５へ出力する。パラメータ制御部１５は、基準周波数制御部１４からの補正値に基づいて、基準信号発生器１６の基準周波数パラメータを制御する。これにより、Ａ／Ｄ変換器３のサンプリング周波数の誤差がキャンセルされるように、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの周波数が微調整される。

　（ステップＳ５：ベクトル演算）
　ベクトル演算器１７は、直交信号生成部１３から出力された直交信号Ｉ１，Ｑ１と、基準信号発生器１６から出力された直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆと、に基づいて、交流信号の振幅Ａｍｐ１、及び位相差φに相当するｃｏｓφ、ｓｉｎφを演算する。

　ベクトル演算器１７は、具体的には次の式（３９）～（４１）を演算する。
Ａｍｐ１＝（Ｉ１^２＋Ｑ１^２）^１／２　　　　　　　　　　　　・・（３９）
ｓｉｎφ＝（Ｉｒｅｆ・Ｑ１－Ｉ１・Ｑｒｅｆ）／Ａｍｐ１・・（４０）
ｃｏｓφ＝（Ｉ１・Ｉｒｅｆ＋Ｑ１・Ｑｒｅｆ）／Ａｍｐ１・・（４１）

　（ベクトル演算の導出）
　式（３９）～（４１）は、次のように導き出される。
　ここで、位相差を測定しようとする２つの信号ｘ（ｔ）及びｙ（ｔ）を考える。２つの信号ｘ（ｔ）及びｙ（ｔ）は、直交信号とし、複素数で表示される。

　ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ）を式（４２）及び（４３）のように定義する。ｊは虚数成分である。
ｘ（ｔ）＝ａ（ｔ）＋ｊ・ｂ（ｔ）　　　　・・・（４２）
ｙ（ｔ）＝ｃ（ｔ）＋ｊ・ｄ（ｔ）　　　　・・・（４３）

　以下、時間（ｔ）を省略して表記する。ｘ及びｙによる内積（＝ｄｏｔ）及び外積（＝ｃｒｏｓｓ）は、式（４４）及び（４５）のように代数的に計算される。
ｄｏｔ＝ａｃ＋ｂｄ　　　　　　　　　　　・・・（４４）
ｃｒｏｓｓ＝ａｄ－ｂｃ　　　　　　　　　・・・（４５）

　内積及び外積は、幾何学的な定義によれば、ｘ及びｙのベクトルの長さをＡｘ及びＡｙ、２つのベクトルのなす偏角をφとすると、式（４６）及び（４７）のように書くことができる。

ｄｏｔ＝ＡｘＡｙ・ｃｏｓφ　　　　・・・（４６）
ｃｒｏｓｓ＝ＡｘＡｙ・ｓｉｎφ　　・・・（４７）

　また振幅Ａｘ及びＡｙは、式（４８）及び（４９）のように求められる。
Ａｘ＝（ａ^２＋ｂ^２）^１／２　　・・・（４８）
Ａｙ＝（ｃ^２＋ｄ^２）^１／２　　・・・（４９）
　式（４６）及び（４７）から、ｃｏｓ及びｓｉｎは、内積ｄｏｔ・外積ｃｒｏｓｓを振幅積ＡｘＡｙで割ることで求められる。振幅は式（４８）及び式（４９）を使用する。

　一方、複素数的には一般的に、２つの信号ベクトルｘ及びｙのなす偏角、すなわち位相差φは、式（５０）及び（５１）のように、ｃｏｓφ及びｓｉｎφの形で書くことができる。式（５０）及び式（５１）の右辺は内積／外積を振幅の積で割ったものになっている。
ｃｏｓφ＝（ａｃ＋ｂｄ）／［（ａ^２＋ｂ^２）^１／２（ｃ^２＋ｄ^２）^１／２］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（５０）
ｓｉｎφ＝（ａｄ－ｂｃ）／［（ａ^２＋ｂ^２）^１／２（ｃ^２＋ｄ^２）^１／２］
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・（５１）

　本実施形態では、ｘ（ｔ）は、直交信号Ｉ１，Ｑ１に対応する。ｙ（ｔ）は、直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆに対応する。直交基準信号Ｉｒｅｆ，Ｑｒｅｆの振幅が１であることを考慮すると、式（４８），（５０）及び（５１）より、式（３９）～（４１）が得られる。

　（ステップＳ６：平均化処理）
　ステップＳ６では、同期平均化器１８，１９，２０，２１は、入力された各信号についてそれぞれ平均化処理を実行する。以下では、同期平均化器１８の平均化処理について説明するが、同期平均化器１９，２０，２１についても同様である。

　図８は、同期平均化器１８の構成を示す図である。同期平均化器１８は、指定した段数の移動平均を行うものであり、平均するサンプル数を動的に変更することができる。

　同期平均化器１８は、積分器７１と、遅延器７２_１，７２_２，・・・，７２_Ｎと、データ選択処理部７３と、加算器７４と、除算器７５と、を備えている。

　積分器７１は、当該同期平均化器１８へ入力される信号とフィードバックされる信号とを加算する加算器７１ａと、加算器７１ａから出力された信号に遅延処理を施して、遅延した信号を遅延器７２_１へ出力すると共に、加算器７１ａへフィードバックする遅延器７１ｂと、を有している。積分器７１は、入力される信号が離散系であるため、入力される離散信号を積分して累計する。

　遅延器７２_１，７２_２，・・・，７２_Ｎは、それぞれ遅延段数１の遅延処理（Ｚ^－１）を施すものであり、直列に接続されている。データ選択処理部７３には、遅延器７２_１への入力値（Ｄ_０）、遅延器７２_１，７２_２，・・・，７２_Ｎのそれぞれの出力値（Ｄ_１，Ｄ_２，・・・，Ｄ_Ｎ）が入力される。

　ここで、遅延器７２_１，７２_２，・・・，７２_Ｎで遅延させる遅延段数Ｎは、瞬時周波数測定部１１で測定された瞬時周波数ｆ（又は正規化角周波数Ω）によって決定される。仮に、正規化角周波数Ω＝０．０１×２πである場合、Ｎ＝２π／Ωと計算され、遅延段数Ｎ＝１００となる。

　データ選択処理部７３は、アプリケーションの制御に従って遅延段数Ｎを動的に決定して、入力される信号を選択して出力する。具体的には、データ選択処理部７３は、遅延段数Ｎを決定し、信号Ｄ_０を加算器７４の加算信号として出力し、信号Ｄ_Ｎを加算器７４の減算信号として出力する。

　加算器７４は、信号Ｄ_０を加算信号とし、信号Ｄ_Ｎを減算信号として加算して、加算値を除算器７５へ出力する。除算器７５は、加算器７４からの加算値をＮで除して、区間Ｎにおける平均値を出力する。

　以上のように、同期平均化器１８は、データ数がＮ個であっても、積分演算１回、加減演算１回、除算演算１回で済む、従来よりも簡単な構成で移動平均を求めることができる。なお、平均化処理は、１段構成に限らず、多段構成であってもよい。

　また、同期平均化器１８は、上述したものに限定されず、一般的な移動平均を行ってもよい。つまり、同期平均化器１８は、ある特定時刻ｍから指定された過去に向かってＮサンプルの有限区間のデータを平均化してもよい。

　以上のように、第１実施形態に係る信号解析装置１は、測定対象の交流信号について、連続する５サンプルの時系列信号のみで、当該交流信号の瞬時周波数ｆ（又は正規化角周波数Ω）を測定することができる。さらに、信号解析装置１は、正規化角周波数Ωを用いて、当該交流信号の振幅、及び基準信号に対する位相差である絶対位相角を測定することができる。

　（変形例）
　上述した実施形態では、信号解析装置は、１入力の交流信号を測定したが、２入力の交流信号を測定することも可能である。具体的には、信号解析装置は、２入力のそれぞれの交流信号を測定するために、図２に示すコンピュータ４の機能構成部を２組備えていればよい。このとき、図１に示すＡ／Ｄ変換器３は、チャンネルＣＨ１及びＣＨ２に入力される２入力の交流信号をＡ／Ｄ変換して、それぞれの交流信号をコンピュータ４の各組に出力すればよい。また、各組のコンピュータ４内で発生する直交基準信号の基準周波数は、図１に示す入力部２の操作情報により設定可能である。

　[第２実施形態]
　第２実施形態に係る信号解析装置は、図４に示す瞬時周波数測定部１１の代わりに、図９に示す瞬時周波数測定部１１Ａを備えたものであり、それ以外の要素は第１実施形態と同様に構成されている。

　図９は、第２実施形態に係る瞬時周波数測定部１１Ａの詳細な構成示すブロック図である。瞬時周波数測定部１１Ａは、遅延器８１，８２，８３，８４，８５と、リサージュ外積演算器８６，８７と、移動平均化器８８，８９と、除算器９０と、逆余弦関数演算器９１と、を備えている。

　遅延器８１，８２，８３，８４，８５は、それぞれ入力信号を遅延段数Ｋだけ遅延して出力する。遅延器８１，８２，８３，８４，８５は、直列に接続されている。遅延器８１は最前段（信号入力側）にあり、遅延器８５は最後段にある。

　リサージュ外積演算器８６は、遅延器８１，８２，８３，８４のそれぞれの出力ｘ_ｎ＋１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ－２を用いて、式（５２）に従って、リサージュ外積Ｌｓ２を演算する。

Ｌｓ２＝ｘ_ｎ－１ｘ_ｎ－ｘ_ｎ－２ｘ_ｎ＋１　　　・・・（５２）

　リサージュ外積演算器８７は、遅延器８１の入出力ｘ_ｎ＋２，ｘ_ｎ＋１、及び遅延器８５の入出力ｘ_ｎ－２，ｘ_ｎ－３を用いて、式（５３）に従って、リサージュ外積Ｌｓ４を演算する。

Ｌｓ４＝ｘ_ｎ－２ｘ_ｎ＋１－ｘ_ｎ－３ｘ_ｎ＋２　　・・・（５３）

　移動平均化器８８は、リサージュ外積Ｌｓ２について移動平均化処理を行い、処理済みのリサージュ外積Ｌｓ２を除算器９０へ出力する。移動平均化器８９は、リサージュ外積Ｌｓ４ついて移動平均化処理を行い、処理済みのリサージュ外積Ｌｓ４を除算器９０へ出力する。
　除算器９０は、Ｌｓ４／Ｌｓ２を演算して、演算値を逆余弦関数演算器９１へ出力する。

　逆余弦関数演算器９１は、除算器９０の演算値を用いて、式（５４）及び（５５）に従って、瞬時周波数ｆ［ｎ］、正規化角周波数Ωを演算する。なお、Ｌｓ２及びＬｓ４の演算では、Ｋ＝２を使用する。
ｆ＝（ｆｓ／２πＫ）ｃｏｓ^－１［（１／２）（Ｌｓ４／Ｌｓ２）］（５４）
Ω＝（１／Ｋ）ｃｏｓ^－１［（１／２）（Ｌｓ４／Ｌｓ２）］・・・（５５）

（瞬時周波数ｆの導出）
　瞬時周波数ｆは、第１実施形態と同様に導出される。最初に、リサージュ図の軌跡における瞬時面積からリサージュ外積と位相差・振幅との関係式が導かれ、次に、この関係式を段数の異なる２つの遅延段に適応して２つの連立方程式が得られ、最後に、連立方程式を解くことにより瞬時周波数ｆが求められる。
　但し、リサージュ外積と位相差・振幅との関係式である式（５９）、遅延段数Ｋと位相差の関係式である式（６０）は、第１実施形態と同じである。このため、第２実施形態では、連立方程式の求め方から説明する。

　上述の図９に示すように、遅延段３（段数２Ｋ）と遅延段４（段数４Ｋ）を用意する。遅延段数比は２である。それぞれの遅延段で計算されるリサージュ外積をＬｓ２、Ｌｓ４とする。以下、振幅項を消去してΩを求める方法を説明する。

　前述の段数Ｋの遅延段による位相差をあわせ、遅延段３・遅延段４の位相差の関係は、式（２７）を用いると、式（５６）及び（５７）となる。
ｓｉｎφ_１＝ｓｉｎＫΩ＝Ｌｓ２／（Ａ^２ｓｉｎΩ）　　　・・・（５６）
ｓｉｎφ_２＝ｓｉｎ２ＫΩ＝Ｌｓ４／（Ａ^２ｓｉｎΩ）　　・・・（５７）

　式（５６）及び（５７）をみると、Ａ^２ｓｉｎΩは共通項なので、まとめることができる。すると、次の式（５８）となる。
（ｓｉｎ２ＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）＝Ｌｓ４／Ｌｓ２　　・・・（５８）

　式（５８）の方程式を解くと、Ωが求められる。式（５８）に倍角の公式を適用して左辺を展開すると、式（５９）が得られる。
（ｓｉｎ２ＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）
　　＝（２ｃｏｓＫΩｓｉｎＫΩ）／（ｓｉｎＫΩ）
　　＝２ｃｏｓＫΩ　　　　　　　　　　　　・・・（５９）

　式（５９）を解くと、式（６０）及び（６１）になり、Ωが求められる。
ｃｏｓＫΩ＝（１／２）（Ｌｓ４／Ｌｓ２）　　　　　　　・・・（６０）
Ω＝（１／Ｋ）ａｒｃｃｏｓ［（１／２）（Ｌｓ４／Ｌｓ２）］　（６１）

　正規化角周波数の定義から、２πｆ／ｆｓ＝Ωである。よって、式（６１）から上述した式（５２）が導出される。

　以上のように、瞬時周波数測定部１１Ａは、連続する６サンプルの時系列信号ｘ_ｎ－３，ｘ_ｎ－２，ｘ_ｎ－１，ｘ_ｎ，ｘ_ｎ＋１，ｘ_ｎ＋２を用いるだけで、当該区間の瞬時周波数ｆ又は正規化角周波数Ωを測定することができる。なお、一般的には、Ｌｓ（２ｍ），Ｌｓ（２ｍ）（但し、ｍ＞１）の関係を満たすリサージュ外積が使用可能である。

　すなわち、第２実施形態に係る信号解析装置は、測定対象の交流信号について、連続する６サンプルの時系列信号のみで、当該交流信号の瞬時周波数ｆ（又は正規化角周波数Ω）を測定することができる。さらに、信号解析装置は、正規化角周波数Ωを用いて、当該交流信号の振幅、及び基準信号に対する位相差である絶対位相角を測定することができる。

（リサージュ外積の定義）
　第１及び第２実施形態で説明したことから分かるように、リサージュ外積Ｌｓは次のように定義することができる。

　この場合、瞬時周波数ｆは、次のように定義することができる。

　[第３実施形態]
　第３実施形態に係る信号解析装置は、２入力の交流信号を測定対象として、それぞれの瞬時周波数ｆ１，ｆ２及び振幅Ａｍｐ１，Ａｍｐ２、及び位相差（ｃｏｓφ又はｓｉｎφ）を測定する。第３実施形態に係る信号解析装置は、図２に示すコンピュータ４に代えて、図１０に示すコンピュータ４Ａを備えたものである。

　図１０は、第３実施形態に係る信号解析装置のコンピュータ４Ａの機能的な構成を示す図である。
　コンピュータ４Ａは、図２に示した構成から、基準周波数制御部１４、パラメータ制御部１５、基準信号発生器１６を除外し、それらの代わりに、瞬時周波数測定部１１Ａ、遅延器１２Ａ、直交信号生成部１３Ａ、同期平均化器２２，２３を備えている。

　瞬時周波数測定部１１Ａ、遅延器１２Ａ、直交信号生成部１３Ａは、瞬時周波数測定部１１、遅延器１２、直交信号生成部１３と同様に構成されており、かつ、同様に接続されている。同期平均化器２２，２３は、同期平均化器１８と同じ構成である。

　図１に示すＡ／Ｄ変換器３は、チャンネルＣＨ１，ＣＨ２にそれぞれ入力された交流信号を所定のサンプリング周波数ｆｓでＡ／Ｄ変換する。Ａ／Ｄ変換器３は、チャンネルＣＨ１経由のデジタル化された交流信号を図９に示す瞬時周波数測定部１１へ出力して、チャンネルＣＨ２経由のデジタル化された交流信号を瞬時周波数測定部１１Ａへ出力する。

　瞬時周波数測定部１１は、チャンネルＣＨ１経由の交流信号の瞬時周波数ｆ１を測定する。一方、瞬時周波数測定部１１Ａは、チャンネルＣＨ２経由の交流信号の瞬時周波数ｆ２を測定する。直交信号生成部１３Ａは、直交信号生成部１３と同様の処理を行って、直交信号Ｉ２，Ｑ２を生成して、ベクトル演算器１７へ出力する。

　ベクトル演算器１７は、上述した式（３９）～（４１）を演算すると共に、チャンネルＣＨ２経由の交流信号の振幅Ａｍｐ２を、式（６２）に従って演算する。
Ａｍｐ２＝（Ｉ２^２＋Ｑ２^２）^１／２　　　　　　　　　　　　・・・（６２）

　同期平均化器１８，１９，２０，２１は、ベクトル演算器１７から出力された各信号について平均化処理を実行して、正規化角周波数Ω１（又は瞬時周波数ｆ１）、振幅値Ａｍｐ１、ｃｏｓφ及びｓｉｎφをそれぞれ出力する。

　同期平均化器２２は、ベクトル演算器１７から出力された振幅値Ａｍｐ２に平均化処理を実行して出力する。同期平均化器２３は、瞬時周波数測定部１１Ａから出力された正規化角周波数Ω２（又は瞬時周波数ｆ２）に平均化処理を実行して出力する。

　以上のように、第３実施形態に係る信号解析装置は、基準信号発生器を使用することなく、２入力の交流信号について、それぞれの瞬時周波数、振幅、及び位相差を測定することができる。

　なお、本発明は、上述した各実施形態に限定されるものではなく、例えば次のような処理を行ってもよい。

（Ａ／Ｄ変換器３のサンプリング周波数の誤差補正）
　図１に示したＡ／Ｄ変換器３には、サンプリングクロックを生成するための水晶発振子が搭載される。水晶発振子の精度は、一般的に、ｐｐｍオーダーである。ＯＣＸＯクラスでも１０ｐｐｂオーダーである。

　瞬時周波数を測定するためには、サンプリング周波数が必要である。ところが、誤差を含むサンプリング周波数で離散化されたデータが使用されると、瞬時周波数の測定値に誤差が生じる。

　例えば、サンプリング周波数（ｆｓ）が４４．１ｋＨｚにおいて、正確に校正された４４１Ｈｚの信号を計測したとする。Ａ／Ｄ変換後の交流信号の時系列信号は、正確に１００サンプルごとに１周期を示す。

　ここで、「実際の」サンプリング周波数が１％低かったと仮定する。Ａ／Ｄ変換後の交流信号の時系列信号は、１０１サンプルごとに１周期を示す。この結果、計算される周波数は、正確に構成された周波数に比べて、１００／１０１倍となり、わずかに低い。このような場合、サンプリング周波数を１０１／１００倍すると、誤差はキャンセルされる。

　誤差をキャンセルするためには、以下の述べる方法をとる。以下の説明ではサンプリング周波数を４４１００Ｈｚとして説明する。

（１）ＧＰＳ受信機から得られる「１ｐｐｓ信号」を、測定に並行して、別チャンネルからＡＤＣで読み込む。
（２）離散化された値をみると、サンプリング周波数と同一のサンプル数おきに、パルスが記録される。もしＡＤＣの実際のサンプリング周波数が低い場合、離散化された値が示す、１秒のインターバルは長くなる
（３）同インターバルが１カウントずれるとサンプリング周波数は１／４４１００　＝　２２．６　ｐｐｍ　の誤差である
（４）この測定を例えば１０００秒間行う。１０００秒で１カウントなら、サンプリング周波数の誤差は０．０２２６　ｐｐｍ　となる。
（５）以上のようにして推定されたサンプリング周波数の誤差を計算で使用されるサンプリング周波数に加味・補正を加えることで計測値の精度を高めることができる。

　以上の補正処理は、ｐｐｍ級以上の精度・有効数字が必要であり、かつＡ／Ｄ変換器３に校正された外部クロックを与えることができないときに有効である。

１　信号解析装置
２　入力部
３　Ａ／Ｄ変換器
４　コンピュータ
１１，１１Ａ　瞬時周波数測定部
１２，１２Ａ　遅延器
１３，１３Ａ　直交信号生成部
１４　基準周波数制御部
１５　パラメータ制御部
１６　基準信号発生器
１７　ベクトル演算器
１８，１９，２０，２１，２２，２３　同期平均化器

Claims

　第１遅延器、第２遅延器、第３遅延器、第４遅延器を少なくとも含んだ複数の遅延器が直列に接続され、入力側から順に、前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器がそれぞれ配置され、直列に接続された複数の遅延器上の所定の点に対して、前記第２遅延器及び前記第３遅延器が対称に配置されていると共に、前記第１遅延器及び前記第４遅延器が対称に配置され、測定対象の交流信号の時系列信号が前記複数の遅延器を順次経由して出力する信号遅延部と、
　前記第２遅延器の出力値と前記第３遅延器の入力値との積と、前記第２遅延器の入力値と前記第３遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第１微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第１外積値を演算する第１外積演算部と、
　前記第１遅延器の出力値と前記第４遅延器の入力値との積と、前記第１遅延器の入力値と前記第４遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第２微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第２外積値を演算する第２外積演算部と、
　前記交流信号の微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって求められる微小面積に相当する外積値が前記微小時間に相当する位相差と前記交流信号の周波数との積に比例する関係に対して、前記第１外積演算部により演算された前記第１外積値と、前記第２外積演算部により演算された前記第２外積値と、を適用することにより、前記交流信号の周波数を演算する周波数演算部と、
　を備えた信号解析装置。
　前記信号遅延部は、連続して直列に接続された前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器を有する
　請求項１に記載の信号解析装置。
　前記信号遅延部は、連続して直列に接続された前記第１遅延器、前記第２遅延器、１つの遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器を有する
　請求項１に記載の信号解析装置。
　前記信号遅延部に入力される前記交流信号と、前記周波数演算部により演算された周波数と、を用いて、前記交流信号に基づく直交信号を生成する直交信号生成部と、
　直交基準信号を発生する基準信号発生部と、
　前記信号遅延部に入力される前記交流信号と、前記直交信号生成部により生成された前記直交信号と、前記基準信号発生部により発生された前記直交基準信号と、を用いて、前記交流信号の振幅、及び前記直交基準信号に対する前記交流信号の位相差、の少なくとも１つを演算する演算部と、
　を更に備えた請求項１に記載の交流信号解析装置。
　前記直交信号生成部は、入力される前記交流信号を遅延させて直交信号として出力する第１遅延素子と、前記第１遅延素子で遅延された交流信号を遅延させる第２遅延素子と、前記第２遅延素子から出力された交流信号を加算信号とし前記入力される前記交流信号を減算信号として２信号の加算処理を行う加算器と、前記周波数演算部により演算された周波数に応じた係数を演算する係数演算器と、前記加算器から出力された交流信号を、前記係数演算器により演算された係数に応じて増幅して直交信号として出力する増幅部と、を有する
　請求項４記載の交流信号解析装置。
　デジタル信号処理を用いて、２組の遅延器の両端の位相差を利用する瞬時周波数測定法により求めた瞬時周波数と、前記瞬時周波数から求められる係数による線形合成手段による直交信号処理法により作成される直交信号と、前記直交信号と基準直交信号のベクトル積及び／又は絶対値によるベクトル演算法により、信号の振幅、位相角及び／又は瞬時周波数を求めることを特徴とする信号解析方法。
　コンピュータを、
　第１遅延器、第２遅延器、第３遅延器、第４遅延器を少なくとも含んだ複数の遅延器が直列に接続され、入力側から順に、前記第１遅延器、前記第２遅延器、前記第３遅延器、前記第４遅延器がそれぞれ配置され、直列に接続された複数の遅延器上の所定の点に対して、前記第２遅延器及び前記第３遅延器が対称に配置されていると共に、前記第１遅延器及び前記第４遅延器が対称に配置され、測定対象の交流信号の時系列信号が前記複数の遅延器を順次経由して出力する信号遅延部と、
　前記第２遅延器の出力値と前記第３遅延器の入力値との積と、前記第２遅延器の入力値と前記第３遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第１微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第１外積値を演算する第１外積演算部と、
　前記第１遅延器の出力値と前記第４遅延器の入力値との積と、前記第１遅延器の入力値と前記第４遅延器の出力値との積と、の差分に基づいて、前記交流信号の第２微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって囲まれる微小面積に相当する第２外積値を演算する第２外積演算部と、
　前記交流信号の微小時間におけるリサージュ図の軌跡によって求められる微小面積に相当する外積値が前記微小時間に相当する位相差と前記交流信号の周波数との積に比例する関係に対して、前記第１外積演算部により演算された前記第１外積値と、前記第２外積演算部により演算された前記第２外積値と、を適用することにより、前記交流信号の周波数を演算する周波数演算部と、
　して機能させるためのプログラムが記録された記録媒体。
　前記コンピュータを、
　前記信号遅延部に入力される前記交流信号と、前記周波数演算部により演算された周波数と、を用いて、前記交流信号に基づく直交信号を生成する直交信号生成部と、
　直交基準信号を発生する基準信号発生部と、
　前記信号遅延部に入力される前記交流信号と、前記直交信号生成部により生成された前記直交信号と、前記基準信号発生部により発生された前記直交基準信号と、を用いて、前記交流信号の振幅、及び前記直交基準信号に対する前記交流信号の位相差、の少なくとも１つを演算する演算部と、
　として更に機能させるためのプログラムが記録された請求項７に記載の記録媒体。