WO2007036246A1

WO2007036246A1 - Verfahren zur simulation eines post-exposure-bake (peb) - prozesses in einem lithographieverfahren

Info

Publication number: WO2007036246A1
Application number: PCT/EP2006/002639
Authority: WO
Inventors: Christian K. Kalus; Hinderk Buss
Original assignee: Sigma-C Software Ag
Priority date: 2005-09-27
Filing date: 2006-03-22
Publication date: 2007-04-05

Abstract

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur Simulation eines Post-Exposure-Bake (PEB) -Prozesses in einem Lithographieverfahren zum Erhalt einer Konzentrationsverteilung M als Konzentration in Abhängigkeit von Ort x und Zeit t eines Inhibitors in einem wenigstens eine Säure, einen Quencher und einen Inhibitor aufweisenden, auf einen Wafer aufgebrachten Photolack, mit den folgenden Schritten: Bereitstellen je einer Anfangskonzentration A0, Qo, M0 einer Säure, einer Base und eines Inhibitors; Ermitteln der Konzentrationsverteilung M des Inhibitors, A der Säure und Q der Base aus einem chemischen Potential μ, das als Lösung einer parabolischen Variationsungleichung basierend auf wenigstens einer der bereitgestellten Anfangskonzentrationen A0, Qo, M0 erhalten wird.

Description

SIGMA-C Software AG 407 006 P-WO

81737 München 22.03.200β/mb/tk

Verfahren zur Simulation eines Post-Exposure-Bake (PEB) - Prozesses in einem Lithographieverfahren

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Simulation eines Post-Exposure-Bake (PEB) -Prozesses in einem Lithographieverfahren zum Erhalten einer Konzentrationsverteilung, d.h. einer Konzentration in Abhängigkeit von Ort und Zeit, eines Inhibitors in einem wenigstens eine Säure, eine Base und einen Inhibitor aufweisenden, auf einen Wafer aufgebrachten Photolack.

Stand der Technik

Bei der Herstellung von integrierten Schaltungen werden üblicherweise verschiedene Materialien auf Halbleiter- Wafern aufgebracht und unter Verwendung optischer Techniken strukturiert. Ein derartiges Verfahren wird als Lithographie oder Photolithographie bezeichnet .

Ein photolithographisches Verfahren lässt sich typischerweise in aufeinanderfolgende Prozessschritte unterteilen. Dabei wird beispielsweise zunächst ein Photolack (Resist) auf den Halbleiter-Wafer aufgebracht und in einem ersten Wärmebehandlungsschritt (Pre-Bake) behandelt. Anschließend erfolgt eine Belichtung in einer Belichtungsvorrichtung, üblicherweise einem Scanner oder Stepper. Dabei wird in den meisten Fällen eine lichtundurchlässige Photomaske (Reticle) verwendet, um Bereiche auf dem Photolack abzudunkeln. An die Belichtung schließt sich häufig ein zweiter Hitzebehandlungsschritt an

(post exposure bake, PEB) . Danach werden die belichteten

Wafer dem Entwicklungsprozess zugeführt, bei dem, abhängig vom Photolack, die belichteten oder die unbelichteten Bereiche des Lacks entfernt werden. Schließlich wird durch verschiedene physikalische Verfahren, wie z.B. Ionenätzen, das entwickelte Muster in die betreffenden Metallschichten übertragen.

Im Stand der Technik geht der Trend zu immer kleineren geometrischen Strukturen auf einer Maske. Dies führt dazu, dass die geometrischen Strukturen auf der Maske mehr und mehr von einem beabsichtigten Layout auf dem Wafer abweichen, da z.B. Beugungseffekte berücksichtigt werden müssen. Um das Ergebnis der Photolithographie ohne experimentelle Durchführung abschätzen zu können, werden in der heutigen Zeit im großen Umfang Lithographie- Simulationsverfahren angewandt. Ein optischer Lithographie- Simulator modelliert die Bildübertragung durch die Belichtungsvorrichtung auf den Photolack und berechnet schließlich die Form des entwickelten Photolacks, d.h. die Form der nach der Entwicklung zurückbleibenden Photolack- Bereiche. Durch diese Simulationsverfahren lassen sich Experimentierzeit und -kosten einsparen.

Ein Simulationsverfahren wird typischerweise in vier Abschnitte unterteilt, den Belichtungsprozess, den PEB- Prozess, den Entwicklungsprozess und den Ätzprozess.

Für jeden dieser Prozesse existieren eigene Simulationsverfahren, die verschiedene Güte oder Vorhersagekraft besitzen. Die Simulation des Belichtungsund Entwicklungsprozesses kann mit den Produktionsverbesserungen Schritt halten und liefert brauchbare Ergebnisse. Die Simulation des PEB-Verfahrens jedoch bereitet immer noch große Schwierigkeiten.

Im folgenden soll nun der physikalisch-chemische Ablauf eines PEB-Prozesses näher erläutert werden.

Ein Photolack besteht üblicherweise aus wenigstens vier Bestandteilen :

Einer harz-artigen Grundkomponente (z.B. Polymere, Copolymere, Polyimide oder Epoxid-Harze) , die die meisten rheologischen Eigenschaften des Lacks bestimmt.

Einer photoempfindlichen Komponente, auch Photosäure- Generator oder PAG genannt, die die Lichtempfindlichkeit bereitstellt . - Einem Auflösungs-Hemmer (Inhibitor) , um eine Löslichkeitsveränderung vor und nach der Belichtung bereitzustellen. Es handelt sich dabei typischerweise um Oligomere von säure-labilen geschützten Monomeren oder um säure-labile Schutzgruppen (z.B. Ester, Anhydrid), die am Polymer hängen.

Einem Lösungsmittel (z.B. Cyclopentanon, Gamma- Butyrolacton, Chlorbenzol, Ethyllaktat) , in dem die Bestandteile gelöst sind.

Bei der Belackung wird der flüssige Photolack auf den Wafer aufgebracht und anschließend getrocknet, wobei sich das Lösungsmittel verflüchtigt. Im unbelichteten Zustand verhindert der Inhibitor das Auflösen des Photolacks. Bei der Belichtung wird der PAG zerlegt, wodurch eine Säure entsteht. Diese Säure führt beispielsweise zu einer katalytischen Entfernung von Schutzgruppen (Inhibitor) , welche hydrophile Seitenketten des Polymers blockieren.

Meist enthält der Photolack noch alkalische Bestandteile

(Quencher) , um die Säurekonzentration zu kontrollieren. Beim PEB-Prozess kommt es zu einer Diffusion einiger der genannten Bestandteile. Die Präsenz der Säure führt zu einer Entfernung der Schutzgruppen und damit zu einer Änderung der Löslichkeit des Photolacks. Wird die Löslichkeit höher, spricht man von einem Positivlack, da die belichteten Bereiche entfernt werden. Wird die Löslichkeit hingegen geringer, spricht man von einem Negativlack, da die unbelichteten Bereiche entfernt werden.

Beim PEB-Prozess kommt es somit im Photolack zu Konzentrationsveränderungen der Säure, der Base (des Quenchers) und der Schutzgruppen an den Polymerketten.

Im Stand der Technik wird zur Berechnung des PEB-Prozesses ein System von gekoppelten Differentialgleichungen benutzt, die die einzelnen chemischen Reaktionen beschreiben. Beispielsweise wird eine erste Differentialgleichung zur Beschreibung der Säurebildung in den belichteten Bereichen, eine zweite zur Beschreibung der säure-induzierten Entfernung der Schutzgruppen, eine dritte zur Beschreibung der Neutralisation der Säure durch die Base verwendet, et cetera. Dieses umfangreiche System ist nur sehr schwierig und aufwendig zu lösen.

Es erweist sich ferner als problematisch, dass die Genauigkeit des Simulationsergebnisses "von a priori unbekannten Materialkonstanten abhängt, die in einem Kalibrierschritt bestimmt werden müssen. Werden nun Rahmenbedingungen, wie z.B. die Geometrie der Photomaske, verändert, ist die Genauigkeit des Simulationsergebnisses unter gewissen Umständen nicht mehr befriedigend. In diesem Fall muß die Kalibrierung wiederholt werden, was dem Sinn und Zweck eines Simulationsverfahrens zuwider läuft. Der Erfindung liegt daher das Problem zugrunde, ein Simulationsverfahren für einen Post-Exposure-Bake (PEB) - Prozess in einem Lithographieverfahren anzugeben, das bessere und genauere Ergebnisse liefert.

Erfindungsgemäß wird ein Verfahren zur Simulation eines Post-Exposure-Bake (PEB) -Prozesses in einem Lithographieverfahren mit den Merkmalen des Patentanspruchs 1 vorgestellt. Vorteilhafte Ausgestaltungen ergeben sich jeweils aus den Unteransprüchen und der nachfolgenden Beschreibung .

Vorteile der Erfindung

Die erfindungsgemäße Lösung erlaubt, die Prozessabläufe während eines PEB-Prozesses genauer und zugleich schneller zu simulieren. Durch die Formulierung des physikalischchemischen Ablaufs als lineares Komplementaritätsproblem ist es möglich, das zeit- und kostenaufwendige Lösen eines umfänglichen Systems aus gekoppelten Differentialgleichungen, wie es im Stand der Technik angewandt wird, zu vermeiden. Die Lösung, die erfindungsgemäß erhalten wird, spart bei gleicher Genauigkeit Rechenzeit ein oder erhöht die Genauigkeit bei gleicher Rechenzeit. Die erhaltenen Ergebnisse sind reproduzierbar und bieten eine bessere Simulationsvorhersage, wodurch die Anzahl von unnötigen und kostenverursachenden Herstellungsprozessen in der Halbleiterindustrie vermindert werden kann.

In einer bevorzugten Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird die Konzentrationsverteilung M des Inhibitors auf der Grundlage einer exponentiellen Abhängigkeit aus dem chemischen Potential μ und der Anfangskonzentration M₀ des Inhibitors erhalten. Es bietet sich an, eine Gleichung der Form M = M₀ exp(-k₄μ) zu verwenden, wobei M die Konzentration des Inhibitors darstellt, M₀ die Anfangskonzentration dieser Komponente, μ die Lösung eines linearen Komplementaritätsproblems und k₄ einen kinetischen Parameter (siehe unten) .

In einer ebenso bevorzugten Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens wird eine Konzentrations- verteilung A der Säure durch Ableiten nach der Zeit t aus dem chemischen Potential μ ermittelt: A{x,t)= μ\x,t) .

Es ist auch bevorzugt, eine Konzentrationsverteilung Q der Base durch die Überprüfung der Bedingung μ(x,t) ≥ 0 zu ermitteln: μ(x,t)=0 impliziert Q (x, t) =Q₀ (x) . Anderenfalls gilt: Q(x,t)=0. An dieser Stelle sei angemerkt, dass der Einfachheit halber an manchen Stellen μ statt μ(x,t), M statt M(x,t) usw. verwendet wird.

Zweckmäßigerweise betrachtet man dieses Problem in einer Domäne Ω, die einen Ausschnitt aus dem Resist beschreibt und quaderförmig auf dem Wafer mit einer den Wafer berührenden, parallel zur Oberfläche des Wafers verlaufenden unteren Grenzfläche, einer dazu parallelen oberen Grenzfläche und vier senkrecht dazu verlaufenden seitlichen Grenzflächen angesehen wird.

Eine mathematische Formulierung des PEB-Vorgangs, die in der einschlägigen Literatur zu finden ist und die die Grundlage einer Reihe von Software-Produkten zur Simulation von photolithographischen Prozessen geworden ist, basiert auf folgendem System gekoppelter Differentialgleichungen: -A = V-(D^A)-Ic₁A"Q" -k₂A^r dt

—M = V-(D^M)-Ic₄AM-Ic₅M' dt

Die verschiedenen Prozesse, die durch das Meta-Modell (1) beschrieben werden, lassen sich wie folgt einteilen: neben der Diffusion der für den PEB wesentlichen Chemikalien, Säure A, Base Q und Inhibitor M, finden sich im Meta-Modell spontane Zersetzungsvorgänge sowie die Reaktionen von Base und Säure bzw. von Säure und Inhibitor.

Die Stärke der Diffusionsvorgänge wird durch die positiv- definiten Matrizen D_A/ D_Q und D_M beschrieben. Die Raten, mit denen sich Säure, Base und Inhibitor zersetzen, sind mit k₂ , k₃ und k₅ bezeichnet. Die Geschwindigkeit der Säure-Base

Neutralisation wird durch ki bestimmt. Die Wechselwirkung zwischen Säure und Inhibitor wird durch k₄ charakterisiert. Alle übrigen Größen beschreiben die Reaktionsordnungen.

Beim Inhibitor handelt es sich eher um ein Konzept, denn um eine Chemikalie im eigentlichen Sinne; die Konzentration M beschreibt die Dichte, mit der bestimmte Schutzgruppen als Seitenketten derjenigen Polymerstränge anzutreffen sind, die dem Photolack die Festigkeit verleihen. Da die Polymere aufgrund ihrer Länge als stationär angesehen werden dürfen, ist es unnötig, eine Diffusion der Seitenketten in Betracht zu ziehen. Eine erste Vereinfachung des Models (1) aufgrund rein physikalischer Plausibilitätsbetrachtungen besteht somit in der Annahme D_M = 0.

Eine allmähliche Zersetzung des Photolacks kann im Laufe von Wochen tatsächlich beobachtet werden. Ohne eine gewisse Standzeit macht ein Photolack für den betrieblichen Einsatz in der Halbleiterherstellung jedoch keinen Sinn. Bedenkt man zudem, dass der PEB circa 60 bis 120 Sekunden dauert, so darf trotz der erhöhten Temperaturen und der daraus folgenden beschleunigten Zersetzung des Lacks von k₅ = 0 ausgegangen werden.

Ein Zerfall der Base bzw. der Säure ist unrealistisch. Es ist jedoch möglich, dass neben der Neutralisation weitere Reaktionskanäle im Resist existieren, die vom Meta-Modell nur summarisch erfasst werden können - indem k₂ und k₃ sowie r und s kalibriert werden. Ein guter Photolack wird sich dadurch auszeichnen, dass er parasitäre Reaktionen nach Möglichkeit unterdrückt. Verluste an Säure oder Base, die durch Eindiffusion in andere Schichten des Waferstacks entstehen, lassen sich zudem sinnvoller durch entsprechende Randbedingungen modellieren. Aus diesem Grunde darf von der Annahme k₂ = k₃ = 0 ausgegangen werden.

Die Wechselwirkung zwischen Säure und Inhibitor ist primär katalytischer Natur: beim Abspalten der Schutzgruppen von den Polymerketten im Photolack wird weder Säure verbraucht noch erzeugt. Ein entsprechender Generationsterm ist darum in der ersten Gleichung aus (1) nicht vorhanden. Ferner kann deshalb auf die Einführung von Reaktionsordnungen in der dritten Gleichung von (1) verzichtet werden.

Die oben diskutierten Annahmen führen auf ein erheblich vereinfachtes Modell, das die wesentlichen Charakteristika des Meta-Modells nach wie vor aufweist:

—A = V-(DXA)- Ic₁A^rQ⁹ dt -^Q = V-(D₀VQ) -KA^pQ^q (2) dt

—M = -KAM dt Eine weitere Vereinfachung des Modells ist möglich, wenn man die Stärke der Diffusionsprozesse von Säure A und Base Q gegeneinander abwägt. Wenn man D_Q als klein im Vergleich zu D_A ansehen darf, lässt sich die erste Gleichung in (2) durch eine Gleichung ersetzen, in der die verbliebenen Parameter ki, p und q nicht mehr explizit auftreten:

2-A = V-(P_AVA) + ^-Q . (3) dt dt

Integriert man diese Gleichung über ein Zeitintervall der Länge t und geht dabei davon aus, dass sich die Stärke der Diffusion D_A im Verlauf des PEB nicht ändert, so erhält man für die integrierte Säurekonzentration μ die Formel :

j_t-μ = V-(D_AVμ) + Q(x,t) + A₀(X) - Q₀(x) . (4)

Die Konzentration der Base Q(x,t) zum Zeitpunkt t am Ort x ist natürlich nicht bekannt. Wenn man jedoch davon ausgeht, dass die Neutralisation von Base und Säure im Vergleich zur Reaktion der Säure mit dem Inhibitor de facto instantan verläuft, so reicht die folgende Feststellung: Säure und Base können zu keinem Zeitpunkt koexistieren. Ist am Ort x zum Zeitpunkt t die Funktion μ positiv, so folgt Q(x,t')=0 für alle t'>t. Gilt μ(x,t)=0, so stimmt Q(x,t) nach wie vor mit der anfänglichen Konzentration Q₀ (x) der Base überein. Die Funktion A₀ in (4) bezeichnet das initiale Säureprofil. Im Grenzübergang k_x—>∞ ergibt sich damit das folgende lineare Komplementaritätsproblem:

H) μ ≥ 0 (5)

in) 0

Gemäß einer bevorzugten Ausführung des erfindungsgemäßen

Verfahrens werden für eine erste Grenzfläche des

Photolacks, insbesondere die untere Grenzfläche, im allgemeinen Fall Robin-Bedingungen, im speziellen Fall homogene Neumann-Bedingungen angesetzt.

Gemäß einer weiteren bevorzugten Ausführung des erfindungsgemäßen Verfahrens werden für eine zweite Grenzfläche des Photolacks, insbesondere die obere Grenzfläche, Robin-Bedingungen angesetzt.

Gemäß noch einer weiteren bevorzugten Ausführung des erfindungsgemäßen Verfahrens werden für eine dritte Grenzfläche des Photolacks, insbesondere die seitlichen Grenzflächen, periodische Randbedingungen angesetzt.

Die genannten Grenzbedingungen spezifizieren das Problem vollständig.

Es ist von Vorteil, wenn bei dem erfindungsgemäßen Verfahren die Neutralisationsreaktion zwischen der Base und der Säure als instantan ablaufend behandelt wird.

Zweckmäßigerweise wird bei dem erfindungsgemäßen Verfahren die Konzentrationsverteilung M des Inhibitors und/oder Q der Base als diffusionsunabhängig betrachtet .

Besonders zweckmäßig wird bei dem erfindungsgemäßen Verfahren die Konzentrationsverteilung A der Säure als diffusionsabhängig betrachtet.

Die genannten Ausgestaltungen vereinfachen das erfindungsgemäße Verfahren weiter, ohne die Genauigkeit der Lösung deutlich zu beeinträchtigen. Eine erfindungsgemäße Recheneinheit weist Berechnungsmittel auf, um die Schritte eines erfindungsgemäßen Verfahrens durchzuführen .

Ein erfindungsgemäßes Computer- bzw. Mikroprozessorprogramm enthält Programmcodemittel, um das erfindungsgemäße Verfahren durchzuführen, wenn das Programm auf einem Computer, einem Mikroprozessor oder einer entsprechenden Recheneinheit, insbesondere der erfindungsgemäßen Recheneinheit, ausgeführt wird.

Ein erfindungsgemäßes Computer- bzw. Mikroprozessorprogrammprodukt beinhaltet Programmcodemittel, die auf einem maschinen- bzw. computerlesbaren Datenträger gespeichert sind, um ein erfindungsgemäßes Verfahren durchzuführen, wenn das Programmprodukt auf einem Computer, einem Mikroprozessor oder auf einer entsprechenden Recheneinheit, insbesondere der erfindungsgemäßen Recheneinheit, ausgeführt wird. Geeignete Datenträger sind insbesondere Disketten, Festplatten, Flash-Speicher, EEPROMs, CD-ROMs, u.a.m. Auch ein Download eines Programms über Computernetze (Internet, Intranet usw.) ist möglich.

Weitere Vorteile und Ausgestaltungen der Erfindung ergeben sich aus der Beschreibung und der beiliegenden Zeichnung.

Es versteht sich, dass die vorstehend genannten und die nachstehend noch zu erläuternden Merkmale nicht nur in der jeweils angegebenen Kombination, sondern auch in anderen Kombinationen oder in Alleinstellung verwendbar sind, ohne den Rahmen der vorliegenden Erfindung zu verlassen.

Die Erfindung ist anhand eines Ausführungsbeispiels in der Zeichnung schematisch dargestellt und wird im folgenden unter Bezugnahme auf die Zeichnung ausführlich beschrieben. Figur 1 zeigt ein schematisch.es Blockdiagramm eines Lithographie-Simulationsverfahrens, an dem eine bevorzugte Ausgestaltung der vorliegenden Erfindung erläutert werden soll; und

Figur 2 zeigt eine schematische Darstellung einer Domäne Ω, in der das lineare Komplementaritätsproblem gemäß einer bevorzugten Ausgestaltung der Erfindung betrachtet wird.

Die Simulation eines mikrolithographischen bzw. photolithographischen Prozesses umfasst verschiedene Stufen, die anhand Figur 1 erläutert sind. Die Gesamtgenauigkeit des Simulationsverfahrens hängt von der Genauigkeit der einzelnen Module ab, die in dieser Figur gezeigt sind. Diese Module jeweils werden auch als Kernel bezeichnet.

Das Layout der Strukturen, die auf einer Waferoberfläche erzeugt werden sollen, ist typischerweise in eine

Metallschicht auf einem Glas oder Quarzsubstrat eingearbeitet, was insgesamt als Maske bezeichnet wird. Die

Rolle einer Maske ist ähnlich zu der eines photographischen

Negativs. Die Informationen über eine Maske werden als Maskendaten 10 der Simulation bereitgestellt.

Die Maske wird von einem Beleuchtungssystem, meist einem Lasersystem, beleuchtet, und das transmittierte Licht wird durch eine optische Vorrichtung in den Lack fokussiert, der zuvor auf dem Wafer aufgebracht worden ist. Die Daten des Beleuchtungssystems, wie Wellenlänge, Intensität usw., werden als Beleuchtungsdaten 20 dem Simulationsverfahren zugeführt . Der optische Bildgebungs-Kernel 30 simuliert basierend auf den Maskendaten 10 und den Beleuchtungsdaten 20 ein Bild der Maske auf dem Photolack und übergibt das simulierte Bild an einen Belichtungs-Kernel 40. Der Belichtungs-Kernel verwendet das simulierte Bild, um die Energieverteilung innerhalb des Photolacks zu berechnen.

In der Realität führt die Energie, die durch die optische Vorrichtung eingebracht wird, zur Aufspaltung des Photosäure-Generators innerhalb des Photolacks, wodurch Konzentrationsverteilungen verschiedener Produkte erzeugt werden, darunter die A₀ genannte Anfangskonzentration der Säure. Das Vorhandensein von Säure im Lack löst, wie oben bezeichnet, weitere chemische Reaktionen aus, welche im Endeffekt die Löslichkeit der Polymere im Entwicklerbad ändern .

Die Aufgabe des PEB-Kernels 50 ist die Simulation dieser chemischen Reaktionen und der gleichzeitigen Diffusion, die im Photolack nach dem Belichtungsschritt, insbesondere während der PEB- bzw. Machhärtephase auftreten. In dieser Phase wird der Wafer für eine vorbestimmte Zeitspanne erwärmt, um die Bildung eines latenten Bildes innerhalb des Photolacks zu ermöglichen.

Nach dem PEB-Prozess wird der Wafer in ein Entwicklerbad eingebracht. Der Entwickler löst bei einem Positivlack die vorher belichteten Bereiche des Resists ab. Bei diesem Prozess wird die Oberfläche des Wafers teilweise freigelegt. Bei der Simulation wird dieser Prozess von einem Entwicklungs-Kernel 60 simuliert, in den u.a. allgemeine Daten bzw. Parameter 70 des Entwicklers eingehen. Dem Beiichtungs-Kernel 40, dem PEB-Kernel 50 und dem Entwicklungs-kernel 60 werden Daten 100 des Photolacks zugeführt, die herstellerseitig oder aus einem Experiment bekannt sind.

Der Ätz-Kernel 80 simuliert das Ätzen des Wafers . Beim Ätzen werden die auf den Wafer aufgebrachten Materialien teilweise abgetragen. Auf die beschriebene Weise werden von dem Simulationsverfahren Wafer-Daten 90 errechnet, die das Endergebnis, zum Beispiel eine strukturierte Metallschicht, darstellen.

Die vorliegende Erfindung betrifft im wesentlichen den PEB- Kernel 50. Alle anderen Module, welche von der Simulation umfasst werden, können ohne Veränderungen weiter verwendet werden. Die Simulation der chemischen Reaktionen während des PEB-Prozesses basiert auf sogenannten chemischen Potentialen. Es wird angenommen, dass nur drei Komponenten innerhalb des Photolacks für die Bildung des latenten Bildes verantwortlich sind, nämlich die Saure, die Base

(auch als „Quencher" bezeichnet) sowie der Inhibitor. Ihre

Konzentrationsprofile werden mit A, Q bzw. M bezeichnet. Es wird davon ausgegangen, dass alle chemischen Reaktionen dem

Massenwirkungsgesetz unterliegen. Weiterhin ist davon auszugehen, dass die Neutralisationsreaktion zwischen der Base und der Säure instantan abläuft. Die Entfernung der Schutzgruppen wird durch einen kinetischen Parameter k₄ beschrieben. Nachdem die Schutzgruppen mit der Grundkomponente verbunden sind, ist davon auszugehen, dass die Konzentration M des Inhibitors durch Diffusionsprozesse nicht beeinflusst wird. Schließlich ist davon auszugehen, dass die Konzentration Q der Base ebenfalls nicht durch Diffusion beeinflusst wird, da die Moleküle der Base vergleichsweise groß sind. In der Folge wird lediglich das Konzentrationsprofil A der Säure durch Diffusionsprozesse beeinflusst, wobei davon auszugehen ist, dass die Stärke dieser Diffusionsprozesse linear vom Gradienten der Säurekonzentration abhängt .

Erfindungsgemäß wird ein Potential μ bereitgestellt, aus dem die Konzentrationsverteilung der Säure, der Base und des Inhibitors ermittelt wird. Erfindungsgemäß löst das Potential μ eine parabolische Variationsungleichung (PVI) .

Die obigen Bedingungen legen die Lösung des PVI nicht eindeutig fest. Um μ festzulegen, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, die an den Rändern der Domäne Ω vorzugeben sind. Insbesondere handelt es sich bei Ω um einen flachen Quader, der auf der Oberfläche des Wafers sitzt, wie im Folgenden anhand Figur 2 beschrieben wird.

Die Domäne Ω ist insgesamt mit 200 bezeichnet. Es handelt sich dabei um den quaderförmigen, von Photolack erfüllten Raumbereich, der sich an den Halbleiterwafer auf dessen Oberseite anschließt. Zur Darstellung der Raumkoordinaten ist ein Koordinatensystem 201 in Figur 2 abgebildet. Das Koordinatensystem gibt die Richtungen der x- , y- und z- Achse im Raum an.

Die Domäne 200 weist eine bodenseitige y-z-Ebene 202 auf, die mit r_bottom bezeichnet ist. Diese Ebene grenzt an die Oberseite des Halbleiterwafers . In x-Richtung nach oben, d. h. zur freien Seite, wird die Domäne 200 durch eine mit T_top bezeichnete y-z-Ebene 203 abgeschlossen.

Die Domäne 200 weist zwei x-z-Ebenen 204, 205 auf, die mit Tie_ft und T_right bezeichnet sind und die Domäne 200 in y- Richtung beschränken. Schließlich weist die Domäne 200 zwei x-y-Ebenen 206 und 207 auf, die die Domäne 200 in z-Richtung beschränken und mit T_fore und r_aft bezeichnet sind.

Zur besseren Veranschaulichung der geometrischen Eigenschaften ist eine Linie 208 eingezeichnet, die die obere Ebene 203 öffnet, um den Blick auf die weiteren Ebenen der Domäne 200 zu ermöglichen.

Der Quader Ω weist also eine obere 203 und untere 202

Grenzfläche auf, die parallel zur Oberfläche des Wafers verlaufen, sowie vier senkrecht dazu verlaufende Seitengrenzflächen 204 bis 207.

Da die im Photolack enthaltene Säure nicht in den Wafer eindringen kann, erscheinen homogene Neumann-Bedingungen für die untere Grenzfläche 202 als geeignet:

Die obere Grenzfläche 203 kann durch Robin-Bedingungen der nachfolgenden Form beschrieben werden. Die Robin- Bedingungen für die obere Grenzfläche tragen den möglichen Verlusten durch Verdampfen der Säure während des PEB- Prozesses Rechnung.

Halbleiterstrukturen weisen oftmals eine große Anzahl ähnlicher Bauelemente auf, was zu periodischen Strukturen in der Maske führt. Dies wird durch periodische Randbedingungen in den lateralen Richtungen ausgedrückt . )

Die Startbedingungen definieren den Zustand des Photolacks unmittelbar vor dem PEB-Prozess, wobei anzunehmen ist, dass μ = 0 überall im Photolack gilt.

Bevor in dem Photolack durch Lichteinstrahlung eine gewisse Anfangskonzentration A₀ von Säure erzeugt wird, besteht im Photolack eine einheitliche Konzentration Q₀ von Base, die in die Materialparameter 100 des Simulationsverfahrens eingeht. Nachdem beide Chemikalien miteinander reagieren, kann die effektive Säurekonzentration vor dem PEB durch A₀ - Qo definiert werden. Das Vorzeichen dieser Funktion bestimmt, ob ein Überschuss an Base oder Säure existiert. Wenn ein Überschuss an Säure in der Matrix des Photolacks existiert, setzt Diffusion ein und verursacht, dass sich die Säure ausbreitet . Die Stärke dieses Prozesses und die Richtung des Säureflusses resultiert aus einem Gradienten im Konzentrationsprofil. Der Zusammenhang wird durch eine Größe D beschrieben, bei der es sich um eine symmetrische, positiv definite 3x3 -Matrix handelt. Diese Matrix kann von der Position x in der Domäne Ω abhängen, nicht aber von der Zeit t oder von einer der Konzentrationen A, Q oder M.

Es ist davon auszugehen, dass ein gewisser Anteil der Säure durch die obere Grenzfläche des Lacks verdampft. Die Rate des Säureverlustes ist proportional zur Säurekonzentration an der Oberfläche des Photolacks. Der korrespondierende Skalierungsfaktor ist oben mit w_top bezeichnet worden. Der Normalenvektor zur Oberfläche wird oben mit n bezeichnet . Die Größe M₀ spezifiziert die anfängliche Konzentration des Inhibitors, welche ebenfalls in die Materialparameter 100 eingeht .

Aus der Lösung μ der parabolischen Variationsungleichung (5) kann die Konzentrationsverteilung der Säure, der Base und des Inhibitors für jeden Punkt x der Domäne Ω für jeden Zeitpunkt t näherungsweise bestimmt werden. Das zugehörige Verfahren wird im Folgenden ausführlich beschrieben:

Durch eine affine Transformation der Ortskoordinaten, die die Domäne Ω beschreiben, kann stets eine Situation herbeigeführt werden, in der die Rechnungen auf einem Quader der Kantenlänge 1 durchzuführen sind. Ferner kann davon ausgegangen werden, dass der Beginn des PEB Schrittes mit dem Zeitpunkt t=0 und sein Ende mit dem Zeitpunkt t=l zusammenfällt. Die Richtigkeit dieser zweiten Annahme muß nötigenfalls durch eine Reskalierung der Zeitachse sichergestellt werden. Eine Normierung der Konzentrationen A₀ und Q₀ kann so durchgeführt werden, dass im Falle eines gänzlichen Fehlens der Maske A₀ = 1 angenommen werden darf. Das zu lösende Komplementaritätsproblem kann durch die obigen Maßnahmen von allen Größen befreit werden, die physikalische Einheiten tragen. Die Struktur des Problems bleibt dabei unangetastet. Im Folgenden werde die folgende Formulierung zugrundegelegt:

9 i ) — μ ^ ≥ S >P α,.₂ d² μ + f dt £j ' dx.

11 , μ ≥ 0 ( 9 )

Die reduzierten Diffusionskoeffizienten ati werden dabei aus den Abmessungen L₁, L₂ und L₃ des Gebiets Ω, das heißt, seiner Höhe, Breite und Tiefe, sowie der Zeitdauer T_PEB des Post-Exposure-Bakes wie folgt dargestellt:

Die Formel (10) impliziert, dass der Diffusionstensor D lediglich diagonale Einträge D_X1, D₂2 und D₃₃ aufweist. Diese

Annahme trägt erheblich zur Vereinfachung der nachfolgenden

Erläuterungen bei - für die konkrete Durchführung der

Simulation ist sie jedoch völlig unerheblich. Das weiter unten dargestellte Verfahren lässt sich unmittelbar auf den allgemeinen Fall positiv definiter Tensoren D erweitern.

Die Simulation des PEB Schrittes soll in N Phasen erfolgen. Zu diesem Zwecke denke man sich das Zeitintervall [0,1] in N Teilintervalle zerlegt, ein jedes von der Länge N^"1. Die Ersetzung der Zeitableitung durch einen Quotienten von Differenzen führt auf eine Rekursion zur approximativen Bestimmung der gesuchten Lösung μ(x,l) in Gestalt der Funktion μ_N(x), die aus der Funktion μ_o≡O auf die folgende Weise generiert wird: Die Funktion μ_n sei vorgelegt. Man ermittle die neue Funktion μ_n+i, indem man das nachstehende lineare Komplementaritätsproblem löst:

ii) μ_ιl+1 > 0 (11)

Im weiteren Verlauf der Erläuterungen werde die rechte Seite der Ungleichung (lli) mit f_n bezeichnet. Der Quader Ω werde in Würfel zerlegt, indem man seine Kanten in Intervalle gleicher Länge unterteilt. Denkt man sich die Kanten an den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems ausgerichtet, so soll die Kante in Richtung des i-ten Einheitsvektors ei in Mi Intervalle zerlegt werden. Die Zahlen Mi seien so gewählt, dass gilt:

Or₁ M₁ » Qf₂ M₂ « a₂ M₂ . ( 12 )

Der Grund für diese Maßnahme soll weiter unten erläutert werden. Die Koordinaten der Knoten des auf diese Weise entstandenen Gitters lassen sich unter Verwendung der Vektoren ei wie folgt indizieren: i i k , x_iik = e, + -^- e, + e, . (13) ^llΛ* M_x ' M₁ ² M₃ ³

Die Werte von i,j und k laufen, je nach Koordinatenachse, zwischen den Werten 0 und Mi. Die Funktion f_n wird an den oben bezeichneten Positionen abgetastet. Man setze dazu:

• Um dies zu ermöglichen, müssen lediglich die Punktwerte

der Lösung μ_n von Problem (11) im vorigen Zeitschritt in den Knotenpunkten Xi,j,k bekannt sein.

Folgerichtig soll die Lösung μ_n+1 der Variationsungleichung (11) im aktuellen Zeitschritt durch ihre Punktwerte

an den Positionen Xi,_j,_k repräsentiert werden. Ihre Ableitungen werden durch finite Differenzen approximiert. Dies führt zu einem algebraischen Komplementaritätsproblem:

4

⁺- M//i⁽J"⁺M¹⁾ l ϊ) > - J fi^{Jⁿ.⁾k

Die oben auftauchenden Koeffizienten A₇ B₁, B₂ sowie B₃ sind definiert durch:

^A = ! + |:∑>.-^M«-)^{2 und: B}t

. ⁽1⁵⁾

Die Forderung (12) gewährleistet, dass alle Koeffizienten Bi von annähernd derselben Größe sind. Aus diesem Grund ist das in (14) verwendete Schema finiter Differenzen praktisch isotrop: ein Umstand, der die Lösung von (14) durch ein iteratives Verfahren sehr erleichtert.

Eine genauere Analyse der Ungleichungen in (14) zeigt, dass die Anzahl der Unbekannten

im Komplementaritätsproblem die Anzahl der Bedingungen übersteigt, die die Unbekannten erfüllen müssen. Die Lösung des Problems (14) ist also noch nicht eindeutig festgelegt. Weitere Beziehungen zwischen den Unbekannten ergeben sich jedoch aus den Randbedingungen

(6) , (7) und (8) der kontinuierlichen Formulierung.

Die periodischen Randbedingungen in den beiden lateralen Richtungen e₂ und e₃ (siehe 204 bis 207 in der Figur 2) werden widergespiegelt durch die Forderungen:

^und:

^{• (17)} Die Robin-Randbedingungen an der oberen bzw. unteren Seitenfläche des Gebiets Ω werden durch die folgenden Approximationen beschrieben:

2w_Top

In diesem Zusammenhang bezeichnen w_Top und w_Bottom normierte Evaporationsgeschwindigkeiten an der oberen respektive der unteren Grenzschicht des Photolacks.

Anhand der Gleichungen (16) bis (19) lässt sich das System (14) von Ungleichungen schließen, indem man die Variablen eliminiert, deren Koordinaten im Sinne von (13) außerhalb des Gebiets Ω liegen.

Für die verbleibenden Variablen

wird sodann ein neues

Indizierungsschema eingeführt. Ein solches Schema schafft eine eineindeutige Zuordnung zwischen einem Tripel von Zahlen (i,j,k) und einem einzigen Index m gemäß:

m(i,j,k) - iM₂M₃ + j M₃ + k . (20)

Mit seiner Hilfe kann man das Komplementaritätsproblem (14) unter Verwendung von Matrizen neu formulieren. Der Vektor mit den umsortierten Punktwerten

werde im Folgenden mit \x_ bezeichnet . Die Matrix mit den Komponenten A und Bi heiße A. Der Vektor mit den neu arrangierten Daten der rechten Seite f^)_k werde schließlich f_ genannt. Es ergibt sich mit dieser Notation das folgende Problem: i) Aμ ≥ f , ii) μ ≥ 0 , iü) Y_jμ_i(Aμ-f). = 0 . (21)

Es wird nachfolgend eine denkbare Methode beschrieben, die das Problem (21) mathematisch rigoros zu lösen gestattet. Das Verfahren ist bekannt und wurde bereits 1971 im SIAM Journal of Control von C. W. Cryer publiziert. Der Aufsatz trägt den Titel: „The Solution of a quadratic programming problem using systematic overrelaxation" . Das Verfahren von Cryer kann etwa wie folgt beschrieben werden:

1.) Man setze μi^(0> = 0 für alle Werte des Index i zwischen 0 und i_max - der Größe des Vektors jx. Man definiere ferner eine Toleranz e_Toi > 0 und setze h = 0. 2.) Man setze i = 0 und inkrementiere den Index h. 3. ) Man berechne eine Hilfsgröße u durch folgende Formel :

4.) Man definiere μi^(h) = max(0,Ui) und inkrementiere i.

5.) Ist i ≤ im_ax, so gehe man zu Schritt 3.

6.) Man berechne die L^∞-Norm der h-ten Korrektur:

7.) Falls e > e_Toχ gilt, so gehe man zu Schritt 2.

Der Relaxationsparameter ω hat dabei einen Wert zwischen 0 und 2. Üblicherweise wird die Einstellung ω = 1,3 benutzt.

Der soeben geschilderte Algorithmus kann verbessert werden, indem man ihn nicht nur auf das Komplementaritätsproblem

(21) anwendet. Vielmehr lässt er sich auf mehrere solcher

Probleme simultan anwenden, die sich lediglich durch die Gestalt derjenigen Gitter voneinander unterscheiden, auf welchen sie definiert worden sind. Der oben beschriebene

Algorithmus von Cryer fungiert in einem solchen Multigrid- Verfahren nicht mehr als Löser, sondern nur noch als sogenannter Glätter. Die Verfahrensweise ist auch nicht mehr neu und kann beispielsweise in dem Aufsatz von C. Cryer und A. Brandt "Λfultigrrid algori thms for the Solution of linear complementarity problems arising from free boundary problems" nachgelesen werden. Dieser Artikel ist 1983 in der Zeitschrift „SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing" im Band 4 erschienen.

Das Resultat der mit einem der oben bezeichneten Algorithmen durchgeführten Berechnungen ist die näherungsweise Lösung des Problems (21) . Die wiederholte Durchführung der Berechnungen führt ausgehend von den

Anfangsbedingungen /.^₄=O über die Zwischenergebnisse μ^_hk für ne{l,...N~l] zum Endresultat μ^_κ . Aus diesem Ergebnis lässt sich die Konzentration Q (x_li3ik, t=l) der Base durch die folgende Formel bestimmen:

_o Ö(K_x,o il)J ~_~ ■ ₍(₂2₄4₎)

Man beachte, dass das Konzentrationsprofil Q(x,t=l) nicht vollständig bekannt ist, sondern lediglich an den durch

(13) beschriebenen Stützstellen x_1/]/k. Die Ermittlung der

Konzentration Q(x,l) an einem beliebigen Punkt des Quaders hat daher durch z.B. lineare Interpolation zu erfolgen.

Zur Berechnung des Säureprofils A(x,t=l) muss ein weiterer Nährungsschritt durchgeführt werden: die Ableitung des Potentials μ nach der Zeit wird ersetzt durch eine finite Differenz aus

:

A{x_^k,l) » N{ Ä-Ä^υ (25) Wie schon im Falle der Base kann auch das Säureprofil A an anderen Punkten des Gebiets Ω zum Beispiel durch lineare Interpolation aus den in (25) ermittelten Konzentrationen näherungsweise bestimmt werden.

Notwendig für die Simulation der Lack-Entwicklung ist letztlich nur die Konzentration des Inhibitors M(x,t) zum Zeitpunkt t=l . Um diese Größe zu berechnen, ist eine einfache algebraische Manipulation unter Verwendung des Potentials μ ausreichend:

Die Ermittlung der Konzentration M(x, 1) an einem beliebigen Punkt xeΩ aus den Daten M (Xi₍j,_k, 1) kann erneut durch eine z.B. lineare Interpolation erfolgen.

Claims

SIGMA-C Software AG 407 006 P-WO 81737 München 22.03.2006/mb/tkPatentansprüche

1. Verfahren zur Simulation eines Post-Exposure-Bake (PEB) - Prozesses in einem Lithographieverfahren zum Erhalt einer Konzentrationsverteilung M als Konzentration in Abhängigkeit von Ort x und Zeit t eines Inhibitors in einem wenigstens eine Säure, eine Base und einen Inhibitor aufweisenden, auf einen Wafer aufgebrachten Photolack, mit den folgenden Schritten:

Bereitstellen je einer Anfangskonzentration A₀, Qo_/ M₀ einer Säure, einer Base und eines Inhibitors;

Ermitteln der Konzentrationsverteilung M des Inhibitors, A der Säure und Q der Base aus einem chemischen Potential μ, das als Lösung einer parabolischen Variationsungleichung basierend auf wenigstens einer der bereitgestellten Anfangskonzentrationen A₀, Qo _; M₀ erhalten wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Konzentrationsverteilung M des Inhibitors auf der Grundlage einer funktionalen Abhängigkeit aus dem chemischen Potential μ und der Anfangskonzentration M₀ des Inhibitors erhalten wird.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2 , dadurch gekennzeichnet, dass eine Konzentrationsverteilung A der Säure durch Ableiten nach der Zeit t aus dem chemischen Potential μ ermittelt wird.

4. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Konzentrationsverteilung Q der Base durch Überprüfung der Bedingung μ(x,t) > 0 ermittelt wird.

5. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das lineare Komplementaritätsproblem in einer Domäne Ω (200) betrachtet wird, wobei die Domäne (200) einen Bereich des Photolacks beschreibt und quaderförmig auf dem Wafer mit einer den Wafer berührenden, parallel zur Oberfläche des Wafers verlaufenden unteren Grenzfläche (202), einer dazu parallelen oberen Grenzfläche (203) und vier senkrecht dazu verlaufenden seitlichen Grenzflächen (204, 205, 206, 207) angesehen wird .

6. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das lineare Komplementaritätsproblem gegeben ist durch:

0 l_{μ ≥} v. (D₄^)₊A₀ -Q₀ ;

U) μ ≥ O ;

wobei μ die Lösung des linearen Komplementaritätsproblems, A₀ die Anfangskonzentration der Säure, Q₀ die Anfangskonzentration des Quenchers und D_A die Stärke eines Diffusionsprozesses der Säure darstellt .

7. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass für eine erste Grenzfläche des Photolacks, insbesondere die untere Grenzfläche (202) der Domäne Ω (200) gemäß Anspruch 5, im allgemeinen Robin-Bedingungen, im speziellen Fall homogene Neumann-Bedingungen angesetzt werden.

8. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass für eine zweite Grenzfläche des Photolacks, insbesondere die obere Grenzfläche (203) der Domäne Ω (200) gemäß Anspruch 5, Robin-Bedingungen angesetzt werden.

9. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass für die lateralen Grenzflächen der Domäne Ω, d. h. die seitlichen Grenzflächen (204, 205, 206, 207) gemäß Anspruch 5, periodische Randbedingungen angesetzt werden.

10. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Neutralisationsreaktion zwischen der Base und der Säure als instantan behandelt wird.

11. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Konzentrationsverteilungen M des Inhibitors und Q der Base als diffusionsunabhängig betrachtet werden .

12. Verfahren nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Konzentrationsverteilung A der Säure als diffusionsabhängig betrachtet wird.

13. Recheneinheit mit Berechnungsmitteln, um alle Schritte eines Verfahrens gemäß einem der vorstehenden Ansprüche 1 bis 12 durchzuführen.

14. Computer- bzw. Mikroprozessorprogramm mit Programmcodemitteln, insbesondere das Steuerprogramm, um alle Schritte eines Verfahrens gemäß einem der Ansprüche 1 bis 12 durchzuführen, wenn das Programm auf einem Computer, einem Mikroprozessor oder einer entsprechenden Recheneinheit, insbesondere gemäß Anspruch 13, ausgeführt wird.

15. Computer- bzw. Mikroprozessorprogrammprodukt mit Programmcodemitteln, die auf einem maschinen- bzw. computerlesbaren Datenträger gespeichert sind, um alle Schritte eines Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 12 durchzuführen, wenn das Programmprodukt auf einem Computer, einem Mikroprozessor oder auf einer entsprechenden Recheneinheit, insbesondere gemäß Anspruch 13, ausgeführt wird.