TW409209B - Method of simulating impactionization phenomenon in semiconductor device - Google Patents

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五、發明說明（） 號專利申請案中^專4彳8說;月4書修正頁

經濟部智慧財產局員工消費合作社印Μ 【圖式之簡單說明】 本發明之其他特徵、目的及優點，將在下文中參照附 圖對較佳實施例的說明及之解釋而更加凸顯，在各附圖中 相同之記號表示相同或對應之部分。 圖1A和1B爲顯示將習用技術之衝撃電離現象之模 擬方法實施於兩度空間的結構時不同類型之物理量的位置 關聯圖； 圖2爲顯示將習用技術之衝擊電離現象之模擬方法實 施於一度空間的結構時，不同類型之物理量的位置關聯 圖； 圖3爲顯示將依本發明之衝擊電離現象之模擬方法實 施於一度空間的結構時，不同類型之物理量的位置關聯 圖； 圖4A和4B爲顯示將依本發明之衝擊電離現象之模 擬方法實施於兩度空間的結構時，不同類型之物理量的位 置關聯圖； 【符號說明】 Ω〜控制體積之陰影區 3Ω-區域Ω之圓周 η〜電子密度 Ρ〜電洞密度 π〜靜電電位 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 裝---------1訂----------妗 本紙張尺度適用令國囤家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） A7 409209 ______B7 五、發明説明（） 【發明之背景】 .本發明廣泛的關於以電腦來模擬一半導體裝置的電特 性之方法，更具體而言，是關於一個在一半導體裝置中載 子之衝擊電離現象的模擬方法。 以電腦模擬一半導體裝置的電特性之方法在Ry〇 Dan ed.的”處理裝置模擬技術” pp. 91-134(下文中將以第一文獻 指稱)中有所敘述。在此例子的情形，一個將要分析的區 域會分化成一個許多小部分及元素的網格。並且，在每個 網點(或結點），一個柏松方程式、一個電子電流連續方程 式、一個電洞電流連續方程式都被離散化化。除此之外， 這些方程式經過線性化再以牛頓法來解。 較特別者，在第一文獻中114頁所敘述之控制體積法 被廣泛的使用於方程式的離散化化。 一個將關於因在高電場下的衝擊電離所造成之載子產 生’引進到以控制體積法離散化的電流連續方程式中的方 式在如 IEEE Trans Electron Devices，vol. ED-32, No. 10 pp.2076-2082 的 S. E. Laux 和 B. M. Grossman 的”一個用於 '一半導體運輸的衝擊電離模型的廣泛的控制體積公 式”2077頁的”數値公式”這節中有解釋(下文中將以第二文 獻指稱）。 流經網格邊緣(或邊線或支線)的電流之電流密度敘述 於第一文獻的方程式(3·68)及第二文獻第2077頁的方程式 (3)，此乃使用第一文獻中U9-122頁所敘述的Scharfetter-Gummel 計晝[|。 ----------裝------訂------腺 -(誚先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) , 好确部中夾標準局兵-T消费合竹社印來 本紙張尺度通用中國围家標肀（（'NS ) Λ4規格（2丨ΟΧ 297公f ) ^^.部中央標準局兵Η消资合作社印絮 409208 at _B7_ 五、發明説明（） .一個半導體裝置的衝擊電離現象的模擬在穩定的狀態 下之情形可以藉由使用這些方程式和一個電流連續方程式 來解釋，其在穩定狀態下，當衝擊電離成分爲主要成分時 之模擬，同時另具有一個柏松方程式，然後藉由使用一個 適當的邊界條件來解這些聯立方程式。 然而，在上述之習用技術中一半導體的衝擊電離之模 擬方法在計算代表一狀態的資料時且顯著的衝擊電離因高 電場而產生時，就會出現不穩定之現象。 _在習用技術中顯示於第一和第二文獻所使用的方程式 中，載子之產生量首先以從控制體積流出的電流之密度來 評估，而評估過之載子產生量再指派或分開到作爲電流源 之控制體積，並且局部執行一個正向回饋。因此，當和在 網點上之電流密度相應對的一個電離係數因電場之強度增 加而增加時，換言之，當電場增加，電離係數也隨之增加 時，模擬就面臨在離散化的電流連續方程式中的和載子密 度相應對的係數變成零的情況。此情形的發生表示載子之 密度可爲一任意値。如此，模擬就變成不穩定。 作爲一個避免不穩定現象發生的方法，在習用技術中 已建議的一種方法爲：藉由減低網點彼此之間的距離L之 方式，而將對應於載子密度的係數爲零的一點朝向高電場 側加以移位。然而’通常當電場E之強i增加時，電離係 數α也會成指數函數增加。因此’在使用此方法的情況下’ 當電場Ε之強度增加時’所需之網點數也成指數函數增 力口。結果，計算時間之持續時間也成指數函數增加。因此， ___4____ 本紙張尺度適川中國囤家標今(C'NS ) AAim ( 2ί〇Χ297^* ) ----------.裝------訂------浪 < · - 〆請先閱讀背面之注意事項再城寫本頁) . 409208 A7 ____B7 ____ 五、發明説明（） 此習用技術的方法並不實用。 【發明之槪述】 因此，本發明的目的之一爲提供一個可以穩定執行的 半導體裝置的衝擊電離現象之模擬方法。 爲了達到本發明上述之目的，提供了本發明之第一個 半導體裝置的衝擊電離現象之模擬方法，藉此可由在空間 設定一個網格和對以控制體積法離散化的一個柏松方程 式、一個電子電流連續方程式和一個電洞電流方程式求解 之方式，而得到關於半導體裝置的衝擊電離現象的電特 性。在使用此方法之情況下，和以經離散化之電子電流連 續方程式和電洞電流連續方程式所得的一方程式中載子密 度相應對的係數被設定爲除了零以外的數値。 除此之外，根據本發明，並提供第二個方法以使上述 半導體裝置的衝擊電離現象之第一個模擬方法具體化。在 使用第二個方法的情況下，定義於連接鄰近網點的一個網 格邊緣的電流密度，係使用不同的數値來做爲在一載子漂 移的上游側的電流密度之評價値及下游側的電流密度評價 値。 _ 另外，根據本發明，亦提供第三個方法以使上述半導 體裝置的衝擊電離現象之得二個模擬方法具體化。第三個 方法包括設定上游側所得到之電流密度及下游側所得到之 電流密度之間的差距之步驟，使其設定爲和與一個網格邊 緣相應對的控制體積中之載子的因衝擊電離而產生之倍增 載子電流密度相同。 _________5_____ 本紙張尺度通用中國g家標埤（（，NS ) Λ4規格（2】〇X297公漤） ^衣------.1T - « (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 五、發明說明（） 號專利申請案中^專4彳8說;月4書修正頁

經濟部智慧財產局員工消費合作社印Μ 【圖式之簡單說明】 本發明之其他特徵、目的及優點，將在下文中參照附 圖對較佳實施例的說明及之解釋而更加凸顯，在各附圖中 相同之記號表示相同或對應之部分。 圖1A和1B爲顯示將習用技術之衝撃電離現象之模 擬方法實施於兩度空間的結構時不同類型之物理量的位置 關聯圖； 圖2爲顯示將習用技術之衝擊電離現象之模擬方法實 施於一度空間的結構時，不同類型之物理量的位置關聯 圖； 圖3爲顯示將依本發明之衝擊電離現象之模擬方法實 施於一度空間的結構時，不同類型之物理量的位置關聯 圖； 圖4A和4B爲顯示將依本發明之衝擊電離現象之模 擬方法實施於兩度空間的結構時，不同類型之物理量的位 置關聯圖； 【符號說明】 Ω〜控制體積之陰影區 3Ω-區域Ω之圓周 η〜電子密度 Ρ〜電洞密度 π〜靜電電位 (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) 裝---------1訂----------妗 本紙張尺度適用令國囤家標準（CNS)A4規格（210 X 297公釐） 409208 ""·部中央標淖局兵-T消費合作社印欠 Α7 Β7 五、發明説明（） Jn〜電子電流密度 Jp〜電洞電流密度 *η〜電子之遷移率 *Ρ〜電洞之遷移率 Dn〜電子擴散常數 Dp〜電洞之擴散常數: Gn〜電子產生速率 Gp〜電洞之產生速率 Rn〜電子的再結合速率 Rp電洞之再結合速率 n(i)〜網點i的一個電子密度 P(i)〜網點i的一個電洞密度 Jn(i-1，i)〜流經網點i和(i-Ι)之間的電子電流密度 Jp(i-1，i)〜代表流經網點i和(i-i)之間的電洞電流密度 otn(i-l,i)〜網點i和(i-Ι澗的電子電離係數 οφ(ί-Μ)分別代表在網點i和(i-Ι澗的電洞電離係數 wij〜一個網格邊緣ij的一電流通道斷面 Sij〜指派給相_同網格邊緣ij的控制體積大小 Ψ⑴〜網點i的靜電電位 Ψΰ)〜網點j的靜電電位 n(i)〜網點i的電子密度 ^ n(j)〜網點j的電子密度 P(i)〜網點i的電洞密度 P(j)〜網點j的電洞密度 ----------裝------訂------泉 - .. 一 (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) , . 本紙張尺度通州中標?？ { C’NS ) Λ4規格（210x297公釐） 409202

及、發明説明（） (讳先閱讀背面之注意事項再填·寫本頁) to(i，j).格邊緣U之電子遷移率 呻(i ,j)~網格邊緣ij之電洞遷移率 ijk〜三角形之三面 1，i)〜爲從網點(i-1)流出之電流的電流密度 Jtid(i-i，i)爲流向網點i的電流之電流密度 Jpu(i，i+i)〜”好數”電流密度 點彼此之間的距離 s〜斜線陰影區之長度 【較佳實施例之詳細說明】 首先，爲了能對本發明有更深入的瞭解’上述以習用 技術所執行的半導體裝置的衝擊電離現象之模擬方法將在 下文中參照圖1A，1B和2來詳加說明。 在上述中依習用技術之模擬電特性之方法在第一文獻 中記載於9M34頁，被分析的區域劃分爲一個有許多分 區及單元的網目。並且，在每個網點上，一個柏松方程式， 一個電子電流連續方程式和一個電動電流連續方程式是經 離散化的。1¾外，這些方程式是線性化的並以牛頓法或類 似的方法來解這些方程式。如此，就得到了這些方程式的 解法。 値得一提的是，在第一文獻中114頁所記載的一個控 制體積法，被廣泛的使用於方程式之離散化。 一個關於以在高電場下衝擊電離來產生離子並進入以 控制體積法來離散化的電流連續方程式中的方法，例如在 ______8__ 本紙汰尺度適用中國國家榡埤((、NS了Λ4規;^ 2Ϊ〇Χ 297公弟) ^ '~ 409208 A7 B7 ~ | J ________— 五、發明説明（） 上述之第二文獻的數値公式區2077頁有加以說明。 在下文中，將簡要的說明此方法。 思考下面之電子電流連續方程式(1)和(2)及接下來的 電洞電流連續方程式(3)和(4)，其依據在網點的物理量，執 行下面之⑴到(4)方程式之離散化，轉換爲代數方程式。 dn 1 π r « „ ¥ = -V-Jn+Gh-R„ ... ——(1) Jn- ^-(Ιβ^φ + qDyn ——(2) φ dt 一—V -Jp +Gp - Rp ——(3) J Ρ = -^μΡΡ^φ~ΦΡ^ρ ——(4) (誚先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) -裝 在方程式⑴到(4)中，n，p和p分別表示一個電子密 度，一個電洞密度，一個靜電電位。再者，Jn和Jp分別 代表一個電子電流密度和一個電洞電流密度。除此之外， 和*p分別代表電子之遷移率及電洞之遷移率。Dn和DP 顯示一電子及電洞之擴散常數。Gn和Gp是分別表示電子 和電洞之產生速率。Rn和Rp則分別表示電子的再結合速 率及電洞之再結合速率。在離散化兩度空間結構的情況 下，將高斯定理應用到方程式(1)到(3)的前後項，使其轉換 爲下列的方程式(5)和⑹。再者，把方程式(5)和⑹應用到 每一個網點附近所具有的一個陰影部分Ω，如圖1A所顯 示。

If ( dn\ sn^n nd{dQ) ^ JJ〇 Gn-Rn--------(5) -nd{dO)= \\a^Gp~RP~~y^· -------⑹ 此陰影區Ω稱爲控制體積，其爲一個藉毗連接中心周 _______ _______9_ 本紙张尺度適用中SB!家標?？（ i’NS ) Λ4规栝（2ΙΟΧ 297公f ) ~ .訂 良 經.濟部中次楫準局貝^:消资合竹.牡印$ 409208 A7 B7 五、發明説明（） 圍之一群有連結到一個共同網點i的網格邊緣之三角形所 形成的簡單連結之封閉領域。再者，”沉r則爲區域Ω之圓 周。 此外，一個實際應用高斯定理之過程將在下文中描 述。首先，有一個共同網點的一個三角形ijk如圖1B中被 提取。之後，藉由採方程式(5)和⑹的近似値就可得到和一 微小區域相應對的下列方程式(7)和(8)。 --------⑺ [Uj) = Rp{i,j)~ ^ j --------⑻ —„--------^— .(請先閱讀背面之注意事項再^寫本頁) 恕濟部中决樣準局兵Η消於合竹社印；：水 在方程式⑺和⑻中，wij爲表示給一個網格邊緣ij的 一電流通道斷面，Sij則表示爲指派給相同網格邊緣ij的 控制體積大小。 再者，Jn(i，j)和Jp(i，j)分別代表流經網格邊緣ij之電 子電流密度和電洞電流密度。Gn(i，j)和Rn(i，j)，GP(i,j)以 及Rp(i，j)代表在微區域〇im中一個電子產生速率，一個電 子再結合速率，一個電洞產生速率及一個電洞再結合產生 速率。除此之外，n(〇和p(i)分別代表在網點i的一個電 子密度及一個電洞密度。反之，流經網格邊緣ij的電流密 度下列方程式⑼和(11)表示，此和第一文獻之方程式(3.68) 及第二文獻之方程式(3)相同，其中以使用在第一文獻中 119-122頁所描述的Scharfetter-Gummel方案來進行。 ln(i A _ „凡(，")π「iA JMn(UJ)(9{f) ,' J /

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DniUj) -* 辣 本紙张尺度適用中國囤家榡率（f’NS ) Λ4現格（210X297公梦） A7 B7

40920S λ發明説明（ 人Uj)

MP{hj)kT β \ρϋ)-β (9) βρ(ί,Μφ(ΐ)~φϋ) Dp{i,j)~ ρ(0 β(χ) exp(x) -1 (10) -(11) 在方程式(9)和(11)，ψ①，ψ〇),邮)，η①，p(i)和ρ①分別 代表在網點i的靜電電位，在網點j的靜電電位，在網點i 和j的電子密度及在網點i和j的電洞密度。並且，μη(ί，j) 和μρ(ί，j)代表在網格邊緣ij之電子及電洞之遷移率。Dn(i, j) 和DP(i，j)分別代表在網格邊緣ij的電子擴散常數和電洞擴 散常數。接下來的方程式(12)和(13)之產生爲在方程式(9) 和(10)兩邊中把所有有共同網點i的微小區域相加。 ' ’ dn{^\ -------(12) ~ Σ WijJr> = Σ ~ ~ ' q j ./ V dt Φω、 ~Y,WVJP ^ ^ = Σ Sv {GP j) ~ Rp J) dt (13) (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) -裝- 經濟部中央標準局貝J消於合作社印聚 將上述之操作執行於所有的網點上，從電流連續方程 式中就可得出離散化的方程式。此外， M)=M)=〇 ——(14) dt dt - ^〇·,Λ = ^(ί,；) = 〇 -------(15) 因此，在方程式(13)的右項中，此項哮了 Gn(i，j)和Gp(i, j)外可以加以忽略。再者，和藉衝擊電離所產生之電子及 電洞相應對的方程式項是經由使用一個如下列方程式(16) 般之範典方程式，此方程式和上述之第二文獻裡第2076 頁的方程式(1)相似。 11 本紙張尺度速用中國围家標彳丨ΓΝ5 ) Λ4規格（21〇Χ 297公嫠） 五、發明说明（ 409208 A7 B7

Gn (i, j) = Gp(iJ) = (an (i, y)| JXT)| + (i, ；)|Λ(ΰ)|) -------(16) 在方程式(16)中，分別代表電子及電洞 之電離係數。並且，在方程式(16)中，Jn(ij)和Jp(i，j)之共 軛値分別代表由三角形(即三角形元素)ijk投射於網格邊緣 ij之平均電流密度所得的電子電流密度及電洞電流密度。 Jn(i,j) -------(F1) ZUJ) -------(F2) 由第二文獻第2078頁左欄的描述中，電子及電洞之 電流密度値以下列代表在三角元素ijk邊緣上之實際電流 密度的線性組合方程式(17)和(18)來表TjK。 ——(17) ———(18)

Jp{iJ)=Ta rw,»? 電流連續方程式在穩定狀態下並以衝擊電離分量爲主 時’可由方程式(12)和(18)得到，並以下列的方程式(19)和(20) 表示。 ★(請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁)

'1T 經.濟部中央栳準局貝工消於合作社印54 <1 / aniUj) +«P(Uj) \ p{m,n) \ ( α” (》·，/) V m,n Σοό m,n + ap(hj) mtn j \ P{m,ri) (19) (20) 半導體裝置在穩定狀態下的衝擊電離現象模擬之啓 動，是藉由設定一個結合方程式(9)到(11)，（19)，和(20)， 以及如下列方程式(21)的柏松方程式的系統方程式，再以 使用適當的邊界條件來解系統方程式。 ▽(£. ▽沪)=-9(p - n + Nd -^) ——（21) 12 本紙張尺度適用中國國家榡彳（（，NS ) Λ4规格（2】0X297公梦） 五、發明説明（ A7 B7 經消部中决捃準局兵工消资合竹社印411木 之半導體裝置之衝擊電離現象模擬方法的習用技 術1 ’面臨了當計算一個代表在高電場中所引起之明顯的衝 擊電離之數値時所發生不穩定現象的問題。 在下文中’引起此種不穩定的原因將以一個一度空間 結構爲例來槪要的說明圖2顯示了一個一度空間網格之 三個等間距的網點。在此圖中，ψί，ni以及纠分別代表在 網點i所得之靜電電位，電子密度，及電洞密度。Jn(i_l，i) 和Jp(i-1，0分別代表流經網點i和(i_l)之間的電子電流密度 及電洞電流密度。再者，⑽^刃和邱士:^分別代表在網 點i和(i-Ι僴的電子電離係數及電洞電離係數。除此之外， L代表每個網點間之距離，並且不管是在結構裡的那一個 位置，L是一個不變之常數。再者，圖2中斜線陰影區之 長度S代表分配給相應對之網點的控制體積的大小，並且 不管是在結構裡的那一個位置都爲一常數。附帶的，爲了 簡單的說明’下列的敘述中將只考慮電子電流連續方程 式。藉由施行方程式(19)到網點i，可得到方程式(22)。 一 _[Λ (hjM) ~ J„ (i -1,〇] -去％ (，_ - Μ)Λ (ζ· -1"·)+臺 Μ*·，f，+D 在方程式(22)中，電洞電流分量留置於右項是WAIT 値，因爲假定電洞電流分量是由結構的外界所供給的。反 -αη 〇' -1, i)Jn (/ -1, 〇 ih ϊ + 1)Λ O', i +1) 13 (諳先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) •装·

、1T .(22) 本紙張尺度適州中國围家標卑（（’NS ) Λ4規栝< 2j〇x297公釐） 五、發明説明（

40920S A7 B7 之，電子電流分量則集中在方程式(22)的左項。如此，就 得到下列的方程式(23)。 卜玉 (/ +1，(ΐ，/ +1) -〔1 一 y (i -1，ί·)人-1，ί) (23) 除此之外，以方程式⑼替代Jn(i，i+1)和Jp(i，i+1)，如 此就得到下列的方程式(24)。 kT L<i l~+ h0(Ui +1)A0' + U0 . 1 - -1，0严 0 - U)式(U + l)|iJ(〇 ^ l \ 1 - 7 (U +1) (U +1)凡(/_ + v)</ +1) "l \ " 1 一 7 A (Z. - u)札(i_ — 1, 〇久(u -1)吣-1) 、 ·Ζ 7 q L一 5 S (’ 一 1")*^ — 1’ ’) + γ ’ +1)*^ (z.，’+1) (24) 並且，藉著方程式(11)，pe(i, j河以下歹啲方程式表示。 βλ^η = β ^〇，Μφ(ΐ)-φυ)) Dn(hj) (25) ---------裝------1T------泉 (讀先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) · . M濟部中决標準局兵工消贫合竹社印采 接著，注意在方程式(26)中所顯示的係數，此在方程 式(24)中和網點i的電子密度n①相應對。吾 I1 - f αη (U i 1))"„ (u + 1)久(/- 1，ί) + (1 - f α„(ί - U)y (卜 υ) Α (卜 U)] (26) 以方程式(26)所代表的係數在電場的數値上升時會具 有一個非常小的値，並且電離係數滿足下列的方程式(27)。 而且’方程式(26)所代表之係數在最糟之情況下可能會變 14 本紙从料财ΰ;Ν5 M4規格（210X 297公势

40920S A7 B7 (27) 五、發明说明（） 成〇。 a(i,i + l) = a„ 〇-!,〇 也就是說，和n(i)相應對的係數可能成爲零°這表示 n(i)可以爲一任意値。如此會造成整個_的不穩定。 在上文中，爲了簡化說明’乃使用一度空間的結構爲 例子。然而，卩使是在和方程式(丨9湘應對的二度空間結 構及和方程式(20)相應對的三度空間結構的情況下’情況 和在一度空間結構的情形還是很類似。也就是說’當電離 係數因電場的値上升而增加，此模擬面臨了和離散化的電 流連續方程式中載子密度相應對的係數變成零的情況。結 果，模擬變成不穩定。此模擬之不穩定是因使用的公式’ 其中，產生的載子量首先以從控制體積流出之電流的密度 來計算，而計算過的載子產生量被指派到充當電流源的控 制體積，就完成局部的回饋。 作爲一個避免不穩定現象發生的方法，在習用技術中 已建議的一種方法爲：藉由減低網點彼此之間的距離L之 方式，而將對應於載子密度的係數爲零的一點朝向高電場 側加以移位_。然而，通常’電離係數α會隨著電場E的數 値之增力晒成指數函數增加’此可以方程式(28)表示之。 α(五)=a|£| exp〔-南 -------(28) 因此，在應用此方法時’所需的網格之元素數目在被 分析的電場E的數値增加時也成指數函數增加。如此，計 算時間之持續時間也成指數函數增加。因此，習用技術之 —^--------\於------ΐτ------Μ .(讳先閱讀背面之注意事項再鎮寫本育) , ¾¾.部中央榡準局負Η消势合竹枉印^ 本紙張尺度读( C'NS ) Λ4ίΙ# ( 210κ297/># ) 40920S A7 _______________ 五、發明説明（） 方法並不實用。 在下文中，將詳細的描述一個根據本發明所採用的半 導體裝置之衝擊電離現象之模擬方法。 在使用本發明之方法的情況下，在載子發生漂移的上 游側，未因衝擊電離而歷經倍增前所呈現之一個電流之「籽 數」電流密度被使用作爲電流密度的評價値。反之，在下 游側，則使用一個歷經倍增過程後的倍增過之電流密度作 爲電流密度的評價値。因此，經衝擊電離所得之載子倍增 效應永遠只影響在下游側的網點。並且，在上游側作爲電 流源的網點並未有局部回饋。因此，和經電流連續方程式 之離散化所得之載子密度相應對的(或相關的)係數不會變 成零。結果，模擬就可以穩定的完成。 除此之外，於本發明的方法中，對於因一個所關注載 子以外的其他載子之衝擊電離所引起的載子之自我倍增而 造成之所關注載子產生速率，係以將所關注載子以外的其 他載子發生漂移的上游側之電流密度評價値乘以對應於上 游側一區間的電離係數之形態而加以評估。此外，將所產 生之載子的p分量合倂配入到在非所關注之其他載子的下 游側之網點中的所關注載子的電流連續方程式的右項。如 此，其他載子藉由衝擊電離所得之倍增效應永遠只能影響 在下游側的網點。如此，乃得以實現和構成非所關注之載 子的電流連續方程式時的處理相符合的模擬。 接著，根據本發明之半導體裝置的衝擊電離現象的模 擬方法將在下文中詳細的說明。 _ ______ 16_ ;对先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) -裝 本紙張尺度讳用中玛陧家標肀（（'奶>六4現格（21〇><；!97公1) A7 409209 -------- B7 五、發明説明（） 蓋广實施例 圖3爲顯示一個在半導體裝置中衝擊電離的模擬方 法，此爲本發明之第一實施例。第一實施例將在下文中以 —度空間結構爲例來加以說明。另外，在下文中，爲了簡 化說明，因此只關注該電子電流方程式。參照圖3，每個 網點的電位假設滿足下列的不等式(29)。 <ρ(ΐ-ΐ)«φ(ί)«φ(ϊ+\) -------(29) 接著，電子從網點(Μ)移動到網點(i)或更遠，從那點 到網點(i+Ι)最主要是靠漂移。電子電流隨著電子之移動從 網點(i+Ι)流動到網點i以及流動到更遠的網點(i-Ι)。另外， 在使用本發明之方法的情況下，在控制體積之界限的兩邊 是使用不同的電流密度，即使這兩邊是位於同一網格邊緣 上。舉例而言，在電子在連接網點(i-Ι)和⑴的網格邊緣上 移動，爲從網點(i-Ι)流出之電流的電流密度，在 此之電子的移動是在上游側。反之，Jnd(i-l，i)爲流向網點i 的電流之電流密度，此爲電子之目的地，且是在下游側。 當電子因衝f電離而歷經倍增時，Jndfrl，i)由於倍增而增 加了電流密度，因此大於允吨-1 Λ ’並且滿足下列的方程 式(30)。 |^〇·-Μ·)| = |Λ,(^^·)| + ^：(/-υ) -------(30) 在此方程式中，CG-1)代表在圖3中斜線陰影區間屮 l，i)以電子之自我衝擊電離所產生的電子產生速率。並且’ L代表網點間之距離。如此’產生率以L積分是表示將區 ______I?_ 適用中國囡家標埤（（^)八4規格（：21〇’乂297公釐〉 ---------装------ΐτ------^ 1 ·(請先S：讀背面之注意事項再填寫本頁) . , 經弟部中决榡準局兵Τ;消免合竹社印鶩 經#.部中决桴準局月工消費合竹7.1印絮 409209 at ___ B7 五、發明说明（） 間(i-l，i)中介於網點屮1)和丨之間的產生率加以合倂。如果 因電子之自我衝擊電離所造成之電子的產生，被認定爲是 在歷經倍增的上游側中所謂的”籽數”電流的增加，貝U 可以以下列的方程式(31)代表。 (，- U) = (，· - U)k™ (’ - U)| -------(31) 因此，Jnd(i-1, i)則可以下列方程式(32)來表示。換言 之，i)只是單純的把在上游的電流乘以 (l + i〇73(i-U))。 Jnd (i -1, i) = (l + Χ〇ίη 0' - h 〇)JM (i -1, 〇 同樣的’和連接網點i和(i+1)之網格邊緣相應對的電 流密度是由下列的方程式(33)所得。 ^nd (*>! + Ο = (1 + 1 + (ϊ= 1 + !) 因此，藉著在控制體積界限電子移動之邊緣的上游側 及下游側使用不同的電流密度，因電子自我之衝擊電離而 造成的電子產生效應就可以代表這些電流密度之間的差 異。所以，就不需要把如此的效應合倂到電流連續方程式 的右項。否則，可能會擔憂一些電子的產生是因爲電洞衝 擊電離所致。 在此情況下，因電洞衝擊所造成之電子產生的合倂產 生項’就必須如在習用技術情況一樣將其加入電流連續方 程式之右項中。 本發明最主要是致力於指派因電流衝擊而產生之載子 ---------裝------1Τ------1 + (誚先閱讀背面之注意事項再填寫本頁> 本紙張尺度通Jf]中阐囤家標嘹（（'NS ) Λ4規格（Μ0Χ297公來） 409209 ΑΊ Β7 五、發明説明（） 到下游側之網點以便消除一個直接的回饋到上游側。因 此，關於因電洞的衝擊電離而造成的電子產生，例如，電 洞在上游側上電動移動的網格邊緣上的網點(i+Ι)顯示所謂 的”籽數”電流密度jpu(i，i+l)，在下列的方程式(34)中所描 述的電子產生項被分配到網點i，和本發明之標的一致。 g；(m' + i) = ^(m' = 1)|^(m>1)| -------(34) 再者，藉由結合一個以方程式(9)來替代上游側電流密 度的式子，以及因電洞之衝擊電離所造成的電子產生，就 可以得到和網點i相應對的離散化的電子電流連續方程式 (35)。

Lq + (1 + (z -1, /)k (/ -1, i)y9e (i, i - φ(〇 + (l +La p (i ~ 1, ί)μη (i -1, ΐ)β, (/, i ~ l)n(i -1)] = -Lap(i,i + \)Jpu(i + l) -------(35) 在方程式(35)的情況下，和在網點i的電子密度相應 對的係數一直都是正向的。因此，即使當強烈的衝擊電離 發生，本發明所使用之方法並不會造成如在習用技術之模 擬時引用的方法所造成的不穩定。除此之外，雖然在控制 體積之上游側和下游側需用不同的電流密度式子，在下游 側的電流密度是把上游的電流密度乘以(1+L α η)而得來 的。換言之，基本上，使用於上游側及下游側的兩個電流 密度可以輕易的從同一個式子計算出來。 ------19 __ 义乐尺度速用阁國家標爭^ ΓΝ5 ) Μ規格（2j〇X297公犮） ---------裝------訂------S. '(封先閱讀背而之注意事項再填寫本頁) - 409202 Α7 Β7 經"·部中央標準局負1消蹩合竹社印"' 五、發明说明（） 在本發明使用方法的情況下，必須要判斷在一網格邊 緣兩盡頭的哪一個網點是在載子流動裡的上游側。然而， 這樣的一個判斷’可以輕易的藉由比較兩網點彼此之間電 位値的差異來達成。易言之，如果ψ(〇*ψ⑴，在載子爲電 子的情況下網點i就是在上游側。再者，當載子爲電洞時， 貝fj網點j就是在上游側··。 第二實施例 圖4A和圖4B爲顯示一個在半導體裝置中衝擊電離 的模擬方法，此爲本發明之第二實施例。第二實施例將在 下文中以二度空間結構爲例來加以說明。 圖4A顯示了一個網點i、一個包含網點i和與其相鄰 接的控制體積，以及一個毗連的網點j之間的電位關係。 並且，圖4B顯不在圖4A及由其抽取出之一斜線陰影區。 在圖4B中，S、代表該斜線陰影區》並且，w'j代表在 網點i和j之間控制體積界限的長度。如同在方程式(30)的 情形，在網點i和j之間的區域裡上游側電子電流密度及 下游側電子雩流密度之間的關係可得下列的方程式(36)。 = ——（36) 並且，下列的方程式(37)是代表因衝擊電離所產生的 電子自我倍增之產生率，如同在方程式(31)的情形。 G^(iJ)=an{i,j)\jnu{i,j)\ -------(37) 因此，在下游側的電子電流密度Jndftj河以下列方程 式(38)表示。 _ 20_ (請先閱讀背面之注意事項再填寫本頁) -4 丁 本紙法尺度这州中國围家梯4* ( (’NS ) Μ規格（2j〇x；297公漦) 409202 經淨部中央椋準局W Η消費合作牡印黧 A7 B7 五、發明説明（） 人d 〇’，·/·) = 1 + 5 A (，，/)人 1/ (*’，·/) (38)I w〇 J 在方程式中可看出，下游側電流密度是把上游側電子 密度乘以(l+S*ij/w*ijan(ij)) ’如同在方程式(33)的情況。 除此之外，關於因電洞之衝擊電離而產生的電子產生率’ 此產生率是由將下列使用Jpuftj)的方程式(39)乘以分派給 網點i的S〃ij。 G：p{i,j) = ap{i,j)\Jtm{iJ)\ ------(39) 如同本發明之第一實施例情況，和在離散化的電流連 續方程式中網點i的載子密度相應對的一個式子之該係數 可以藉執行該操作而一樣維持爲正數。如此，本發明之方 法可以避免在習用技術的方法中，當顯著的衝擊電離發生 時該區所產生的不穩定現象的發生。 另外，上述本發明之在半導體裝置中衝擊電離的模擬 方法可以在已有執行此方法之程式的電腦上操作。除此之 外，即使當此程式紀錄於一紀錄媒介上，仍可執行本發明 之在半導體裝置中衝擊電離的模擬方法。 雖然本發明較佳實施例已在上文敘述，惟其應不被認 爲其係限制性者，熟悉本技藝者在不離開本發明之精神下 可做各種修改。 因此，本發明之範圍純由隨附的申請專利範圍所界 定。 --------1¾------1T------Μ 一 . -(請先閱讀背面之：注意事項再填寫本頁) ___21_ ((，炖）六4規格（2】0'乂297公《)

Claims (1)

1. 409209 經濟部中央標準局員工消費合作社印裳 A8 Bg 六、申請專利範圍 1. -種半導體麵的娜電離現象之麵方法，藉 由在一空間中設定一網格並對以所謂的控制體積法離散化 的一個柏松方程式、一個電子電流連續方程式和一個電洞 電流方程式求解之方式，而獲得有關於半導體裝置的衝擊 電離現象之電性特徵 其中，一個和藉由將該電子電流連續方程式及電洞電 流連續方程式離散化所得到之方程式中的載子密度相應對 的係數被設定成爲非零的數値。 ~ 2. 如申請專利範圍第1項之半導體裝置的衝擊電離現 象的模擬方法，其中’關於定義在連接鄰近網點的一個網 格邊緣上的一電流密度’在載子漂移的上游側之電流密度 的評價値與在下游側的電流密度之評價値係分別使用不同 的數値。 3·如申請專利範圍第2項之一種半導體裝置的衝擊 電離現象的模擬方法，包含將在上游側與在下游側所得到 的電流密度間之差値，設定成等於該網格邊緣所對應之控 制體積內部因該載子之衝擊電離而產生之倍增載子電流密 度。 — 4.如申請專利範圍第3項之半導體裝置的衝擊電離 現象的模擬方法，其更包含如下步驟:對於因衝擊電離所引 起的載子之自我倍增而造成之載子產生速率，以將載子發 生漂移的上游側之電流密度評價値乘以對應於上游側一區 間的電離係數之形態加以評估，俾將在下游側之電流密度 評價値表示爲上游側之電流密度評價値之整數倍。 _ 22____ 未紙張尺度適用中國國家標準（CNS ) A4規格（2!0X297公釐） I n -1 1 -I -- m , 〇 : -i I. . I— I 丁 _ I- I n _. (請先閔讀背面之注意事項再嗔寫本頁} ^09202 A8 B8 C8 D8 六、申請專利範圍 5. 如申請專利範圍第3項之半導體裝置的衝擊電離 現象的模擬方法，更包含下列的步驟： 對於因一個所關注載子以外的其他載子之衝擊電離所 引起的載子之自我倍增而造成之所關注載子產生速率，以 將所關注載子以外的其他載子發生漂移的上游側之電流密 度評價値乘以對應於上游側一區間的電離係數之形態而加 以評估的步驟；及 將所產生之載子的積分量合倂配入到在非所關注之其 他載子的下游側之網點中的所關注載子的電流連續方程式 的右項。 6. 如申請專利範圍第1項之半導體裝置的衝擊電離 現象的模擬方法，其中該空間爲一度空間、二度空間或三 度空間。 7. —種紀錄媒體，用以紀錄執行如申請專利範圍第3 項之半導體裝置的衝擊電離現象的模擬方法用之程式。 ---；-------i------ΐτ—Μ----A * (請先閲讀背面之注意事項再填寫本頁) 經濟部t央標準局員工消费合作社印製 S N