KR20170099970A - 전기 배터리의 특징적인 물리량을 추정하는 방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 전기 배터리(BAT)의 특징적인 물리량들을 추정하는 방법에 관한 것으로, 소정의 지속 시간(T) 동안, 전기 배터리의 단자들에서의 전압 값들(U) 및 배터리(BAT)에 의해 전달되는 전류의 세기(I)의 값들을 획득하는 것을 수반한다. 본 발명에 따르면 물리량들의 값들은 전기 배터리의 전기적 거동을 모델링하는 선형 연립방정을 풀음으로써 얻어지며: 그것에서 미지수들(unknowns)은 물리량들에 수학적으로 연결되며, - 그것에서 계수들은 미리 결정된 지속 시간(T) 동안 전압 함수들 또는 세기 함수들을 적분함으로써 미리 얻어진다.

Description

전기 배터리의 특징적인 물리량을 추정하는 방법

본 발명은 일반적으로 전기 배터리의 모니터링에 관한 것이다.

본 발명은 특히, 전기 배터리의 특성인 물리량들을 추정하는 방법에 관한 것으로, 다음의 단계들을 포함한다:

a) 결정된 지속 시간에 걸쳐, 상기 배터리의 단자 양단에 걸친 전압 값 및 상기 배터리에 의해 출력되는 전류의 세기 값들을 획득하는 단계; 및

b) 단계 a)에서 획득된 전압 및 전류 세기의 함수로서, 예를 들어 상기 배터리의 내부 저항을 포함하는 상기 양들을 계산하는 단계.

본 발명은, 특히 유리하게, 구동 배터리로 지칭되는 전기 배터리에 의해 전력이 공급되는 전기 모터가 장착된 자동차들에 적용된다.

잘 알려진 바와 같이, 전기 배터리가 제공 할 수있는 전력은 방전 사이클 동안 감소한다.

이 배터리의 수명 기간 동안 배터리의 최대 충전 용량이 감소한다는 것도 잘 알려져 있다.

저장된 전력을 최대한 활용하기 위해 배터리를 재충전할 필요가 있을 때를 예측하기 위해, 이 배터리의 특성인 물리량들의 값들, 예를 들어 그것의 내부 저항값을 결정하고자 한다. 이들 양들의 값들은 특히 배터리의 충전 상태 및 건강 상태를 추정하는데 사용된다.

그러한 물리량들의 값들은 일반적으로, 배터리의 단자들에 걸친 전압의 측정치들, 그에 의한 전류 출력의 세기의 측정치들, 및 잠재적으로 배터리의 온도에 대한 측정치들로부터 추론된다. 예를 들어, 자동차에 탑재된 온-보드 배터리의 경우, 이러한 측정들은 종종 아주 잡음이 많으며, 이는 상기 양들의 추정 정확도에 부정적인 영향을 미칠 수 있다.

문헌 WO2007100189는 칼만 필터(Kalman filter)의 사용을 통해 이 측정 잡음의 영향을 감소시킬 수 있는 그러한 양들을 추정하는 방법을 설명한다. 그것은 각각의 시간 간격에서 다음을 반복하는 방법의 형태를 취한다.

- 배터리의 가정된 상태는 이전 시간 간격에서 측정된 배터리의 상태의 함수로서, 그리고 측정된 세기의 함수로서 계산된다;

- 배터리의 가정된 상태에 기초하여 계산된 전압은 측정된 전압과 비교되며, 이는 오차를 제공한다;

- 계산된 오차에 따라 배터리의 예상 상태가 수정된다.

이 추정 방법에는 2가지 주요 단점들이 있다. 다른 한편으로, 그것은 계산된 오차가 작아질 때까지 상기 언급한 단계들이 루프 내에서 여러 번 반복되는 반복법이다. 정확한 결과를 향한 반복적 계산의 수렴은 오랜 시간이 걸릴 수 있으며, 어떤 경우에는 항상 보장되는 것이 아니다. 반면에, 그것은 측정된 신호를 시간에 따라 규칙적으로 샘플링해야 하는 이산 시간 방법으로 지칭되는 방법이다. 이것은 실제 상황에서 항상 그런 것은 아니며, 배터리의 특성인 물리량들의 추정 정확도에 부정적인 영향을 미칠 수 있다.

종래 기술의 전술한 단점들을 극복하기 위해, 본 발명은 도입부에서 정의된 바와 같은 전기 배터리의 특성인 물리량들을 추정하는 방법을 제안한다.

본 발명의 전기 배터리의 특징적인 물리량들을 추정하는 방법에서, 상기 물리량들의 값들은 전기 배터리의 전기적 거동을 모델링하는 선형 연립방정식을 풀음으로써 얻어진다:

- 상기 물리량들에 수학적으로 연결된 미지수들(unknowns);

- 그리고 그 계수들은 결정된 지속 시간 동안 전압 함수들 또는 세기 함수들을 적분함으로써 미리 얻어진다.

이 추정 방법은 비-반복적이고 따라서 본질적으로 수렴 문제들을 야기하지 않는다.

상기 선형 연립방정식의 계수들은 결정된 지속 시간에 걸친 적분에 의해 얻어지기 때문에, 적분 계산은 시간에 따라 전압 및 세기의 샘플링을 정기적으로 요구하지 않는다. 따라서 이 방법은 전압 또는 세기가 시간에 따라 정기적으로 샘플링되지 않는 경우에도 정확도의 손실 없이 사용될 수 있다.

마지막으로, 측정된 신호들을 통합하는 이 단계는 저역-통과 필터의 역할을 하고, 그에 의해 일반적으로 고주파에 위치하는 측정 잡음에 대해 견고한 방법이 이루어진다.

본 발명에 따른 그러한 추정 방법의 다른 유리하고 비-제한적인 특징들은 다음과 같다:

- 상기 선형 연립방정식은, 라플라스 변환 계산들을 사용하여, 상기 배터리의 전기적 거동을 모델링하고 상기 전압, 상기 세기 및 상기 물리량들을 연결하는 미분 방정식을 변환함으로써 얻어짐;

- 상기 계수들은 결정된 지속 시간에 걸친 전압 함수들 또는 세기 함수들의 연속적인 적분들을 계산함으로써 얻어짐;

- 상기 결정된 지속 시간에 걸친 연속 적분들의 상기 계산은 다음의 코시 공식(Cauchy formula)을 적용함으로써 수행됨:

여기서 t는 시간을 나타내고, m 및 n은 2 개의 정수들이고, f(t)는 시간의 함수이며, 전압과 동일하거나 세기와 동일함;

- 상기 선형 연립방정식들의 상기 계수들은 다음과 같은 양들의 역 라플라스 변환들을 계산함으로써 얻어짐

여기서

(s)는 함수 f(t)의 라플라스 변환을 나타내며, f(t)는 전압 또는 세기와 동일한 시간의 함수를 나타내며, s는 라플라스 변수를 나타내며, m은 정수를 나타내며, n은 반드시 정수는 아닌 실수를 나타냄;

- 상기 역 라플라스 변환 계산들은 n이 정수가 아닌 경우 일반화된 코시 공식(generalized Cauchy formula)을 적용함으로써 수행되며,

여기서 Γ(n)은 오일러 감마 함수로서

과 같이 정의됨.

일반화된 코시 공식을 사용하면 배터리의 전기적 거동을 모델링하는 미분 방정식이 비-정수 차수 미분 방정식인 경우에도 배터리의 특성인 상기 양들을 추정할 수 있다.

본 발명은 추가적으로 배터리 특성인 상기 물리량들의 값들을 얻는 방법을 제안하며:

- 상기 선형 연립방정식들을 역변환시켜 각각의 양에 대한 공식 표현(formal expression)을 얻음으로써 얻어지거나,

- 또는 상기 선형 연립방정식들을 수치적으로 풀음으로써 얻어진다.

또한 상기 미분 방정식은 다음과 같을 수 있다:

여기서 t는 시간을 나타내고, U_OC는 전기 배터리의 개방 회로 전압을 나타내고, R₀은 전기 배터리의 내부 저항을 나타내고, 쌍(R₁, C₁)은 배터리의 확산 모델을 구성하며, R₀, R₁, 및 C₁은 추정될 물리량이다.

이하의 설명은, 첨부된 도면을 참조하여, 비-한정적인 예임을 전제로, 본 발명이 무엇을 구성하고 그것이 어떻게 달성될 수 있는지를 명확하게 이해할 수 있게 할 것이다.
첨부 된 도면에서:
도 1은 본 발명에 따른 방법을 구현하는데 적합한 전기 배터리, 센서들, 및 계산 유닛의 개략도이며, 이 배터리의 물리량들이 추정될 수 있다.
도 2는 도 1의 전기 배터리의 예시적인 모델에 대응하는 회로도이다.

도 1은 전기 장비(APP)의 항목에 전류를 공급하는 전기 배터리(BAT)를 나타낸다. 이 전기 배터리(BAT)의 단자들에 걸친 전압(U)는 전압 센서(V)에 의해 측정된다. 전기 배터리(BAT)에 의해 출력된 전류의 세기(I)는 전류 센서(A)에 의해 측정된다. 아날로그-디지털 변환기들은 이 전압(U)과 이 세기(I)의 값들이 샘플링 및 디지털화되는 것을 허용한다. 이렇게 얻어진 데이터는 프로세서(CPU)에 의해 사용되어 본 발명의 기술적 사상에 의한 방법에 따라 전기 배터리(BAT)의 특성인 물리량들의 값들(RES)이 추정된다. 기억 모듈(MEM)은 특히 이 계산에 필요한 정보를 저장하는데 사용된다.

도 2는 도 1의 전기 배터리의 예시적인 모델에 대응하는 회로도를 도시한다. 도 2에 도시된 바와 같이, 전기 배터리(BAT)는 직렬로 연결된 이상적인 전압원(U_OC), 저항(R₀), 및 서로 병렬로 접속된 저항(R₁) 및 커패시터(C₁)를 포함하는 쌍을 포함한다. 이 문맥에서, 상기 전압원은 개방 회로 전압을 모델링하고, 저항(R₀)은 배터리의 내부 저항을 모델링하며, 저항(R₁)-커패시터(C₁) 쌍은 배터리의 내부 확산 현상을 모델링한다.

이 모델의 맥락에서, 추정하려고 하는 물리량들은 쌍(R₁, C₁) 및 배터리의 내부 저항(R₀)이다. 개방 회로 전압(U_OC)은 그것의 일부에 대하여 알려진 것으로 가정한다. 이 전기 회로(20)에 대응하는 미분 방정식은 다음과 같다:

여기서 t는 시간을 나타내고, u = U - U_OC 표기법이 사용된다. 미분 방정식 F4는 동등한 형식인 F5를 취할 수 있다:

물리량들(R₀, R₁, C₁)을 추정하기 위해, 프로세서(CPU)는, 아래 설명된 계산에 따라, 지속 시간(T)에 걸친 전압(U) 및 전류(I)의 값들의 기록에 기초하여 3개의 파라미터들(b₀, b₁, a₁)의 값을 계산함으로써 개시한다.

b₀, b₁, a₁의 값들이 알려지면, 프로세서(CPU)는 관계들을 사용하여 물리량들(R₀, R₁, C₁)의 값을 계산한다.

이들 파라미터들(b₀, b₁, a₁)의 값들은 프로세서에 의해 계산되며, 3개의 미지수가 파라미터들(b₀, b₁, a₁)인 3개의 선형 연립방정식 F6에 기초하여 계산된다.

여기서:

위 표현들에서, 표현의 간결성을 위해 연속 적분에 대해 이하의 표기가 사용된다.

예를 들어,

여기서 f는 u 또는 I와 동일하다.

연립방정식 F6로부터 값들(b₀, b₁, a₁)을 얻기 위해, 프로세서(CPU)는 이 연립방정식을 수치적으로 풀거나 그러한 연립방정식에 대한 일반적인 해법 F8을 사용하여 직접 계산을 수행한다:

여기서 det(M)　=　m₁₁m₂₂m₃₃-m₁₁m₂₃m₃₂-m₁₂m₂₁m₃₃+m₁₂m₂₃m₃₁+m₁₃m₂₁m₃₂-m₁₃m₂₂m₃₁ 이다.

연립방정식 F6에 대한 수치 해법의 경우, 계산은 예를 들어 가우스-요르단(Gauss-Jordan) 방법에 의해, 또는 행렬 M을 두 개의 삼각 행렬, 즉 하나의 상부 행렬과 다른 하부로 인수분해(factorizing)(LU(lower-upper) 분해라고도 함)하는 것으로 구성된 잘 알려진 기술을 사용함으로써 수행될 수 있다.

값들(b₀, b₁, a₁)의 계산이 연립방정식 F6을 수치적으로 해결함으로써 또는 일반해 F8을 사용한 직접 계산에 의해 수행되는지 여부에 관계없이, 계수들인 m₁₁ 내지 m₃₃ 및 γ₁, γ₂, γ₃의 수치 계산이 필요하다. 그들의 표현들인 F7에 도시된 바와 같이, 이들 계수들의 계산은 전압(U) 또는 전류(I) 함수의 지속 시간(T)에 걸친 적분 계산에 대응한다. 이 적분은 예를 들어 누적 이산 합계의 수치 계산처럼 수행될 수 있다. 도시로서, 양 ∫tI의 수치 평가는 다음의 합을 계산함으로써 얻어질 수 있다:

여기서 T_e(j)는 샘플들 j 및 j+1을 분리하는 지속 시간이고, I(j)는 샘플 번호 j에 대응하는 세기 값이며, k+1은 지속 시간 T에 걸쳐 얻어진 샘플들의 총 개수이다. 총 획득 시간 T는 이 경우 합인

와 같다.

전압(U)과 세기(I)가 얻어지는 이 총 지속 시간 T는 이 추정 방법에서 중요한 조정 파라미터이다. 그것의 선택은, 배터리의, 특히 그것의 가장 긴 특성 변동 시간의, 주된 역학원리(dynamics)의 잠재적 사전 지식에 의해 유도될 수 있다. 몇 가지 테스트를 통해, 일반적으로 배터리의 파라미터들을 정확하게 추정할 수 있는 T 값을 결정할 수 있다.

다른 변동에서, 공식 F7의 연속 적분들은 코시(Cauchy) 공식 F1을 사용하여 계산된다.

다시 말해, 예를 들어,

이 변환의 장점들 중 하나는 방정식 F1의 오른쪽 항이 왼쪽 항보다 더 빠른 수치 계산에 적합하고 계산 오차의 누적이 적다는 점이다.

R₀, R₁, C₁ 어느 것이든지, 배터리의 물리량들을 계산하는 것은, 전기 배터리(BAT)의 거동에서의 그리고 전하의 변동을 추적할 수 있다. 따라서, 이들 3개의 물리량들은 특히 배터리의 충전 상태(SOC) 및 배터리의 건강 상태(SOH)와 같은, 전기 배터리(BAT)의 모니터링 파라미터들을 얻는 것을 가능하게 한다.

전술한 바와 같이, 물리량들(R₀, R₁, C₁)의 값을 추정하는 이 방법은 여러 이점들을 갖는다.

우선, 직접적이고 결정론적으로: 양들 R₀, R₁, C₁은 지속 시간 T 동안 기록된 전압 U 및 세기 I의 값들의 함수로서 명시적으로 표현될 수 있다. 따라서 이 추정 방법은, 특정 반복 추정 방법들과는 달리, 결과의 수렴 문제들로부터 자유롭다.

또한, 실제로 이 추정 방법의 정확성을 최적화하기 위해, 단지 하나의 파라미터가 조절되어야 한다; 이 파라미터는 전체 획득 시간 T 이다. 이 조절은 (예를 들어 칼만 필터를 사용하여) 상태 관찰자들을 사용하는 방법들의 그것보다 간단하며, 그 경우에는 높은 수준의 정확도로 결과를 제공하기 위해, 3개의 파라미터들(추정될 양 당 하나)의 초기값들이 조절되어야 하였을 것이다.

이 방법은 일반적으로 고주파에 위치된 측정 잡음에 대해 본질적으로 강건하다. 특히, 시간에 따른 적분(식 F7 또는 식 F1 참조)은 측정된 신호 U(t) 또는 I(t)에서 저역 통과 타입의 필터링을 수행한다.

이후, 3개의 미지수들을 추정하기 위해, 3개의 간단한 표현식들을 계산하거나(식 F8 참조) 또는 3개의 미지수들을 갖는 3개의 연립방정식을 푸는 것(식 F6 참조)이 필요하기 때문에, 계산 수단이 거의 필요하지 않고, 따라서 그것의 크기는 가능한 한 많이 줄어든다.

마지막으로, 이는 일시적으로 불규칙적인 데이터 샘플링, 즉 2개의 샘플들을 분리하는 지속 시간이 일정하지 않은 샘플링과 호환 가능하다. 이 경우에도 수치 적분에 의한 계수들인 m₁₁ 내지 m₃₃ 및 γ₁, γ₂, γ₃가 실제로 계산될 수 있다. 예로서, 식 F9에서, 샘플들 j 및 j+1을 분리하는 지속 시간 T_e(j)는 일 샘플에서 다른 샘플까지 다양할 수 있다.

전술한 방법에서, 배터리의 물리량들을 추정하기 위해 프로세서에 의해 실제로 사용되는 공식들은 주로 식 F6 및 F7이다.

프로세서 CPU에 의한 본 발명의 구현이 상세하게 설명되었지만, 식 F5에 기초하여, 이들 식들 F6 및 F7이 어떻게 얻어 졌는지가 설명될 수 있다.

먼저, 식 F5의 라플라스 변환(TL)은 다음을 얻도록 계산된다:

여기서 라플라스 변수는 s로 표시되고,

는 u의 라플라스 변환이며,

는 I의 라플라스 변환이다.

이후, 식 F10은 s에 대해 각각 1회, 2회 및 3회 미분되고, 이어서 s²로 나눠져, 3개의 연립방정식 F11을 얻는다.

이후, 연립방정식 F11의 역 라플라스 변환이 계산된다. 연립방정식 F11의 표현을 전제로, 그것의 역 라플라스 변환은 다음과 같은 양들을 포함한다:

여기서 f(t)는 전압 U(t) 또는 세기 I(t)와 동일하다. 이 예에서 m과 n은 정수이므로, 이들 라플라스 변환들은 다음과 같이 표현된다:

따라서 연립방정식 F11의 역 라플라스 변환을 계산하면 배터리의 특징적인 양들을 수치적으로 추정하는데 실제로 사용되는 공식들 F6 및 F7로 최종 귀결된다.

본 발명의 기술사상인 추정 방법은 도 2에 표현되고 미분 방정식 F4에 대응하는 전기 배터리(BAT)의 예시적인 모델에 기초하여 위에서 설명되었다.

이는 보다 일반적으로 임의의 전기 배터리에 적용될 수 있는데, 그것의 전기적 거동은 전압 U, 전류 I 및 추정될 물리량들을 연결하는 미분 방정식 ED로 모델링될 수 있다. 그러한 배터리 모델에 이 방법을 적용하기 위해, 식 F4에 기초하여 연립방적식 F6을 설정하도록 전술한 것들과 유사한 형식의 라플라스 변환 계산들에 의해, 상응하는 미분 방정식 ED를 미리 식 F6과 같은 선형 연립방정식으로 변환할 필요가 있다.

이 추정 방법은 특히 아래에 설명된 예와 같이 비-정수 순서의 미분 방정식들 ED의 경우에 적용할 수 있다.

상기 제시된, 도 2의 회로도에 대응하는 물리적 배터리 모델은, 커패시터(C₁)를 통과하는 세기(ic₁)가 다음과 같은 관계에 의해 그것의 단자들에 걸리는 전압(Uc₁)에 연결되도록 고려함으로써 개선될 수 있다:

여기서 α는 일반적으로 0과 1 사이의 실수(정수는 아님)인 상수이다. 그러한 용량성 요소는 상수 위상 요소(constant phase element)로 지칭된다. 이 경우 전압 U(t)의 변동을 나타내는 미분 방정식은 다음과 같다:

이 미분 방정식은 미지수가 물리적 파라미터들(b₀, b₁, a₁)인 3개의 선형 연립방정식을 얻기 위해 위와 같이 변환된다.

이를 하기 위해, 식 F14의 라플라스 변환이 계산되고, 이후 그것은 다음을 얻기 위해 s^1-α를 곱한다:

이후, 식 F15는 s에 대해 각각 1회, 2회 및 3회 미분되고, 이어서 3개의 연립방정식 F16을 얻기 위해 s²으로 나뉜다. 이 연립방정식의 제1 방정식은 다음과 같다.

이 연립방정식의 2개의 다른 식들은, 식 F15로부터 직접 얻어질 수 있으며, 여기에서 자세히 설명하지 않는다.

상기와 같이, 연립방정식 F16의 역 라플라스 변환이 이후 계산되어, 연립방정식 F6과 유사한 선형 연립방정식으로 귀결되며, 이는 최종적으로 물리 파라미터들(b₀, b₁, a₁)의 값을 추정하기 위해 프로세서에 의해 사용된다.

연립방정식 F16의 형태가 주어지면, 그것의 역 라플라스 변환은 다음과 같은 양들을 포함한다:

여기서 f(t)는 전압 U(t) 또는 세기 I(t)와 동일하다. 여기서, n은 반드시 정수는 아닌 실수이다(이 예시적인 실시 예에서는, 예를 들어, 2 + α와 동일할 수 있다). 그러한 역 라플라스 변환들을 계산하기 위해 이 경우 일반화된 코시 공식(generalized Cauchy formula) F2가 사용된다:

여기서 Γ(n)은 오일러 감마 함수로서 다음과 같이 정의된다:

함수 Γ(n)는, 적분이 실제로 빠르게 수렴하므로, 수치적으로 계산하기 용이하다.

전술한 방법은 온-보드(on-board) 전기 배터리, 예를 들어 전기적으로 구동되는 자동차 또는 그러한 배터리에 의해 전력이 공급되는 컴퓨터의 특성인 물리량들의 추정에 특히 유리하게 적용된다.

Claims (9)

1. 전기 배터리(BAT)의 특성인 물리량들(R₀, R₁, C₁)을 추정하는 방법으로서,
   결정된 지속 시간(T)에 걸쳐, 상기 전기 배터리(BAT)의 단자들에 걸친 전압(U) 값들 및 상기 전기 배터리(BAT)에 의해 출력되는 전류의 세기(I) 값들을 획득하는 것을 수반하고,
   상기 물리량들(R₀, R₁, C₁)의 값들은 상기 전기 배터리(BAT)의 전기적 거동(electrical behavior)을 모델링하는 선형 연립방정식(F6)을 풀음으로써 얻어지며:
   - 상기 선형 연립방정식(F6)의 미지수들(unknowns)은 상기 물리량들에 수학적으로 연결되며,
   - 상기 선형 연립방정식(F6)의 계수들은 상기 결정된 지속 시간(T) 동안 전압(U) 함수들 또는 세기(I) 함수들을 적분함으로써 미리 얻어지는 것을 특징으로 하는, 방법.
2. 청구항 1에 있어서,
   상기 선형 연립방정식(F6)은, 라플라스 변환 계산들을 사용하여, 상기 전기 배터리의 전기적 거동을 모델링하고 상기 전압(U), 상기 세기(I) 및 상기 물리량들(R₀, R₁, C₁)을 연결하는 미분 방정식(F4)을 변환함으로써 얻어지는, 방법.
3. 청구항 1 또는 청구항 2에 있어서,
   상기 계수들은 상기 결정된 지속 시간(T)에 걸친 전압(U) 함수들 또는 세기(I) 함수들의 연속적인 적분들을 계산함으로써 얻어지는, 방법.
4. 청구항 3에 있어서,
   상기 결정된 지속 시간에 걸친 연속 적분들의 상기 계산은 다음의 코시 공식(Cauchy formula)을 적용함으로써 수행되며,
   

   

   
   여기서 t는 시간을 나타내고, m 및 n은 2 개의 정수들이고, f(t)는 시간의 함수이며, 전압(U)과 동일하거나 세기 (I)와 동일한, 방법.
5. 청구항 2 또는 청구항 3에 있어서,
   상기 계수들은 다음과 같은 양들의 역 라플라스 변환들(TL^{- 1})을 계산함으로써 얻어지며,
   

   

   
   여기서

   

   (s)는 함수 f(t)의 라플라스 변환을 나타내며, f(t)는 전압 또는 세기와 동일한 시간의 함수를 나타내며, s는 라플라스 변수를 나타내며, m은 정수를 나타내며, n은 반드시 정수는 아닌 실수를 나타내는, 방법.
6. 청구항 5에 있어서,
   상기 역 라플라스 변환 계산들(TL^{- 1})은 일반화된 코시 공식(generalized Cauchy formula)을 적용함으로써 수행되며,
   

   

   
   여기서 Γ(n)은 오일러 감마 함수로서
   

   

   
   과 같이 정의되는, 방법.
7. 청구항 1 내지 청구항 6 중 어느 한 항에 있어서,
   상기 물리량들(R₀, R₁, C₁)의 값들은 상기 선형 연립방정식들(F6)을 역변환(inverting)시켜 각각의 양에 대한 공식 표현(formal expression)을 얻음으로써 얻어지는, 방법.
8. 청구항 1 내지 청구항 6 중 어느 한 항에 있어서,
   상기 물리량들(R₀, R₁, C₁)의 값들은 상기 선형 연립방정식들(F6)을 수치적으로 풀음으로써 얻어지는, 방법.
9. 전술한 청구항들 중 어느 한 항에 있어서, 청구항 2와 함께,
   상기 미분 방정식(F4)은 다음과 같으며:
   

   

   
   여기서 t는 시간을 나타내고, U_OC는 전기 배터리(BAT)의 개방 회로 전압을 나타내고, R₀은 배터리의 내부 저항을 나타내고, 쌍(R₁, C₁)은 배터리의 확산 모델을 구성하며, R₀, R₁, 및 C₁은 추정될 물리량인, 방법.

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