KR20160008980A

KR20160008980A - 모달 동적 분석에서 라그랑지 승수들을 복원하는 시스템 및 방법

Info

Publication number: KR20160008980A
Application number: KR1020150099591A
Authority: KR
Inventors: 미하일 벨리; 블라디미르 벨스키; 빅터 조지 오안체아
Original assignee: 다솔 시스템즈 시뮬리아 코포레이션
Priority date: 2014-07-15
Filing date: 2015-07-14
Publication date: 2016-01-25
Also published as: EP2975544A1; JP2016021240A; CA2895895A1; CN105279307B; JP6608637B2; US20160019325A1; CN105279307A; US10311180B2

Abstract

라그랑지 승수들을 포함하는 유한 요소 모델들 (FEM들) 에 대한 모달 동적 분석은 부정확한 응력 및 반력들을 생성할 수도 있다. 따라서, 본 발명의 실시형태들은 이들 에러들을 정정하는 모달 분석을 수행하기 위한 방법들 및 시스템들을 제공한다. 하나의 그러한 실시형태는 FEM 을 제공함으로써 시작하고, 그 FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하는 모달 분석에서 채용된다. 다음으로, 보정항이 계산된다. 그 후에, 방법은 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정 (및 따라서 개선) 함으로써 종료한다.

Description

모달 동적 분석에서 라그랑지 승수들을 복원하는 시스템 및 방법{SYSTEM AND METHOD OF RECOVERING LAGRANGE MULTIPLIERS IN MODAL DYNAMIC ANALYSIS}

본 발명은 일반적으로 컴퓨터 프로그램들 및 시스템들의 분야, 및 구체적으로 CAD (computer aided design), CAE (computer-aided engineering), 모델링 및 시뮬레이션 분야에 관한 것이다.

부품들의 설계 또는 부품들의 어셈블리들을 위해, 다수의 시스템들 및 프로그램들이 시장에 제공된다. 이들 소위 CAD 시스템들은 사용자가 오브젝트들 또는 오브젝트들의 어셈블리들의 복소 3 차원 모델들을 구성하고 조작하게 한다. 따라서, CAD 시스템들은 에지들 또는 선들, 및 특정 경우에 면들을 사용하여 모델링된 오브젝트들의 표현을 제공한다. 선들, 에지들, 면들, 또는 다각형들은 다양한 방식들, 예컨대 NURBS (non-uniform rational basis-splines) 로 표현될 수도 있다.

이들 CAD 시스템들은, 주로 지오메트리의 사양들인, 모델링된 오브젝트들의 부분들 또는 부분들의 어셈블리들을 관리한다. 특히, CAD 파일들은 지오메트리가 생성되는 사양들을 포함한다. 지오메트리로부터, 표현이 생성된다. 사양들, 지오메트리, 및 표현들은 단일 CAD 파일 또는 다중 CAD 파일들에 저장될 수도 있다. CAD 시스템들은 모델링된 오브젝트들을 설계자들에게 표현하기 위한 그래픽 툴들을 포함하며; 이들 툴들은 복잡한 오브젝트들의 디스플레이에 전용된다. 예를 들어, 일 어셈블리는 수천 개의 부품들을 포함할 수도 있다. CAD 시스템은 전자 파일들에 저장되는 오브젝트들의 모델들을 관리하는데 사용될 수 있다.

CAD 및 CAE 시스템들의 출현은 오브젝트들의 광범위한 표현 가능성들을 허용한다. 하나의 그러한 표현은 유한 요소 분석 (FEA) 모델이다. 용어들 FEA 모델, 유한 요소 모델 (FEM), 유한 요소 메시, 및 메시는 본원에서 상호교환가능하게 사용된다. FEM 은 통상적으로 CAD 모델을 표현하며, 따라서 하나 이상의 부분들 또는 전체 어셈블리를 표현할 수도 있다. FEM 은 메시로 지칭되는 그리드를 형성하도록 상호접속된, 노드들이라 불리는 포인트들의 시스템이다. FEM 은, FEM 이 표현하는 근본적인 오브젝트 또는 오브젝트들의 특성들을 FEM 이 갖는 방식으로 프로그래밍될 수도 있다. FEM 이 그러한 방식으로 프로그래밍될 경우, FEM 은 FEM 이 표현하는 오브젝트의 시뮬레이션들을 수행하기 위해 사용될 수 있다. 예를 들어, FEM 은 차량의 내부 캐비티, 구조를 둘러싸는 음향 유체, 및 스텐트들과 같은 의료용 디바이스들을 포함하는 임의의 수의 실세계 오브젝트들을 표현하기 위해 사용될 수도 있다. 소정의 FEM 이 오브젝트를 표현하고 그에 따라 프로그래밍될 경우, 실세계 오브젝트 자체를 시뮬레이션하기 위해 사용될 수도 있다. 예를 들어, 스텐트를 표현하는 FEM 은 실생활의 의료 설정에서 스텐트의 사용을 시뮬레이션하는데 사용될 수도 있다.

본 발명의 실시형태들은 모달 분석을 수행하기 위한 방법들 및 장치들을 제공한다. 적어도 하나의 예시적인 실시형태에 따르면, 모달 분석을 수행하는 방법은: 유한 요소 모델 (FEM) 을 제공하는 단계로서, 상기 FEM 은 라그랑지 (Lagrange) 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용되는, 상기 FEM 을 제공하는 단계, 보정항을 계산하는 단계, 및 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하는 단계를 포함한다.

그 방법의 일 실시형태에서, 보정항을 계산하는 것은 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함한다. 그러한 실시형태에 따르면, 선형 대수 연립 방정식의 희소 행렬은 모달 분석에서 오직 한 번 인수분해될 수도 있다. 대안적인 실시형태에서, 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하는 것은, 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정하는 것을 포함한다.

다른 실시형태에 따르면, 모달 분석은 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링한다. 그러한 일 실시형태에서, 고유모드들은 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 획득될 수도 있다. 다른 실시형태에서, 라그랑지 승수들은 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 보정된다.

본 발명의 일 실시형태는 모달 분석을 수행하기 위한 시스템과 관련된다. 그러한 일 실시형태에서, 시스템은 FEM 을 제공하도록 구성된 시뮬레이션 모듈을 포함하며, FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용된다. 그러한 일 실시형태에서, 시스템은 시뮬레이션 모듈에 동작가능하게 커플링되고, 보정항을 계산하고 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하도록 구성된, 보정 모듈을 더 포함한다.

시스템의 일 실시형태에 따르면, 보정 모듈은 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의한 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것에 의해, 보정항을 계산하도록 구성될 수도 있다. 그러한 일 실시형태에서, 보정 모듈은 모달 분석에서 선형 대수 방정식들의 희소 행렬을 한 번 인수분해하도록 구성될 수도 있다. 다른 실시형태에서, 보정 모듈은 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정함으로써 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하도록 구성된다.

시스템의 일 실시형태에 따르면, 모달 분석은 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링한다. 그러한 일 실시형태에서, 시뮬레이션 모듈은 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 고유모드들을 획득하도록 구성될 수도 있다. 시스템의 대안적인 실시형태에서, 보정 모듈은 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 라그랑지 승수들을 보정하도록 구성된다.

본 발명의 다른 실시형태는 모달 분석을 수행하기 위한 클라우드 컴퓨팅 구현에 관한 것이다. 그러한 일 실시형태는 네트워크를 통해 하나 이상의 클라이언트들과 통신하는 서버에 의해 실행되는 컴퓨터 프로그램 제품에 관한 것이다. 그러한 일 실시형태에서, 컴퓨터 프로그램 제품은 프로그램 명령들을 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체를 포함하며, 프로그램 명령들은 프로세서에 의해 실행될 경우, 유한 요소 모델 (FEM) 을 제공하게 하는 것으로서, 상기 FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용되는, 상기 FEM 을 제공하게 하고, 보정항을 계산하게 하고, 그리고 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하게 한다.

그러한 클라우드 컴퓨팅 실시형태에서, 보정항을 계산하는 것은 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함할 수도 있다. 추가로, 다른 실시형태에서, 컴퓨터 프로그램 제품은 모달 분석에서 선형 대수 연립 방정식의 희소 행렬을 한 번 인수분해하도록 구성될 수도 있다. 컴퓨터 프로그램 제품의 추가의 실시형태에서, 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하는 것은, 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정하는 것을 포함한다. 컴퓨터 프로그램 제품의 일 실시형태에 따르면, 모달 분석은 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링한다. 그러한 일 실시형태에서, 고유모드들은 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 획득될 수도 있다.

상기의 설명은, 상이한 도면들 전체에 걸쳐 유사한 부품에 유사한 도면 부호가 병기된 첨부의 도면에 예시된, 본 발명의 예시적인 실시형태들에 관한 하기의 상세한 설명으로부터 더 명확해질 것이다. 도면들은 반드시 일정한 비율은 아니며, 대신, 본 발명의 실시형태들을 도시하는 것이 강조된다.
도 1 은 적어도 하나의 예시적인 실시형태에 따라 모달 분석을 수행하는 방법을 도시하는 흐름도이다.
도 2 는 본 발명의 일 실시형태에 따라 모달 분석을 수행하는 시스템의 간략화된 블록 다이어그램이다.
도 3 은 본 발명의 일 실시형태가 구현될 수도 있는 컴퓨터 네트워크 환경의 간략화된 다이어그램이다.

본 발명의 예시적인 실시형태들의 설명이 뒤따른다.

모달 분석은 FEM들을 활용하는 하나의 시뮬레이션 기술이다. 모달 분석은 진동과 같은 동적 여기 하에서 기계 구조의 동적 특성들 또는 구조적 특징들 연구한다. 모달 분석은 Dassault Systmes Simulia Corp. 에 의해 제공되는 Abaqus® 와 같은 시뮬레이션 소프트웨어를 사용하여 수행될 수도 있다. 추가로, 모달 분석이 다양한 방식들로 수행될 수도 있지만, 모달 분석을 수행하기 위한 하나의 그러한 방식은 FEM 의 구조 응답을 주파수 추출 분석에서 고유 솔버에 의해 획득된 고유모드들의 중첩으로서 계산하는 것이다. 본 발명의 하나 이상의 실시형태들은 모달 구조 응답에서 라그랑지 승수 자유도의 정확성을 개선함으로써 이러한 기술을 개선한다.

하이브리드, 컨택, 커넥터, 분배된 커플링, 및 다른 요소 타입들과 같은 다수의 유한 요소 공식화들은 라그랑지 승수들의 개념에 기초한다. 라그랑지 승수들을 포함하는 FEM들에 대한 모달 동적 분석은 매우 부정확한 응력 및 반력 결과들을 생성할 수도 있고, 이는 분석에서 사용된 고유모드들의 개수를 증가시킴으로써 이러한 결과들에 대한 허용가능한 정확성을 달성하기에 매우 어렵고, 심지어 실행하기가 불가능할 수도 있다.

본 발명의 실시형태들은 모달 동적 솔루션에서 라그랑지 승수들의 계산된 값들을 보정함으로써 이들 기존 방법들의 단점들을 극복한다. 예시적인 실시형태에서, 보정항은 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 계산된다. 그러한 일 실시형태의 한 가지 장점은, 연립 방정식의 행렬이 분석 동안 오직 한번 인수분해되어야만 하는 것이며, 따라서 전체 솔루션의 계산적 성능에 거의 영향을 미치지 않는다.

도 1 은 본 발명의 일 실시형태에 따라 모달 분석을 수행하는 방법 (110) 의 흐름도이다. 방법 (110) 은 FEM 을 제공함으로써 시작한다 (111). 블록 (111) 에서 제공된 FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용된다. FEM 은 당업계에 공지된 어떤 수단들을 통해서도 제공/획득될 수도 있다. 예를 들어, 컴퓨팅 디바이스에서 실행되는 방법 (110) 의 일 실시형태에서, FEM 은 업계에 공지된 어떤 수단들을 통해서도 컴퓨팅 디바이스에 통신가능하게 커플링되는 임의의 포인트를 통해 제공될 수도 있다. 예를 들어, FEM 은 로컬 영역 네트워크 (LAN) 또는 광역 네트워크 (WAN) 를 통해 제공될 수도 있다. FEM 을 채용하는 모달 분석은, 본원에 설명된 원칙들에 따라 수정되는 Abaqus® 와 같은 임의의 기존의 CAD/CAE/시뮬레이션 툴을 사용하여 실행될 수도 있다.

방법 (110) 은 보정항을 계산하는 것 (112) 에 의해 계속된다. 방법 (110) 의 일 실시형태에 따라, 보정항을 계산하는 것 (112) 은 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함한다. 그러한 일 구현에 따르면, 일 실시형태에서, 선형 대수 연립 방정식의 희소 행렬은 모달 분석에서 한 번 인수분해된다. 방법 (110) 의 다른 실시형태에서, 보정항은 이하 설명되는 것과 같이 계산된다.

방법 (110) 은 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하는 것 (113) 에 의해 종료한다. 방법 (110) 의 일 실시형태에 따르면, 라그랑지 승수들을 변경하는 것은 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정하는 것을 포함한다. 방법 (110) 의 다른 실시형태에서, 라그랑지 승수들은 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 보정된다. 그러나 추가로, 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하는 것 (113) 은 모달 분석 결과들을 수정하는 것을 포함한다. 또한, 모달 분석을 수정하는 것 (113) 은 본원에 설명된 임의의 방법에 따라 수행될 수도 있다.

방법 (110) 의 일 실시형태에 따르면, 모달 분석은 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링할 수도 있다. 그러한 일 실시형태에서, 고유모드들은 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 획득될 수도 있다. 추가로, 방법 (110) 의 예시적인 실시형태에 따라, 라그랑지 승수들은 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 보정될 수도 있다.

본원에 설명된 방법 (110) 의 예시적인 실시형태들은 다수의 상이한 방식들로 구현될 수도 있음이 이해되어야만 한다. 일부 경우들에서, 다양한 실시형태들은 물리적인, 가상의 또는 하이브리드식 범용 컴퓨터에 의해 각각 구현될 수도 있다. 예를 들어, 컴퓨팅 디바이스에서 구현되는 방법 (110) 의 일 실시형태에서, 그 방법 (110) 을 실행하기 위한 소프트웨어 명령들은 메모리 내로 로딩되고 하나 이상의 프로세서들에 의해 실행될 수도 있다. 추가로, 예시적인 실시형태에서, 방법 (110) 의 다양한 컴포넌트들은 모달 분석을 수행하기 위해 기존 시스템 및/또는 소프트웨어 애플리케이션/스위트 내로 통합될 수도 있다.

전술된 것과 같이, 방법 (110) 의 일 실시형태에 따라, 보정항을 계산하는 것 (112) 은 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함한다. 그러한 일 실시형태에 따르면, 방법 (110) 은 구속된 연립 운동 방정식을 정의할 수도 있다. 예를 들어, n 개 자유도들을 갖는 FEM 에 대한 연립 운동 방정식은 다음과 같이 정의될 수도 있다:

여기서, u = u(t) 는 변위 벡터이고, K 는 강성 행렬이고, C 는 감쇠 (점성 감쇠) 행렬이며, M 은 질량 행렬이고, f(t) 는 시간에 의존할 수 있는 우변 벡터이다. 상부의 점은 시간 미분을 표시한다. 강성 행렬 K, 감쇠 행렬 C, 질량 행렬 M, 및 우변 f(t) 은 FEM 이 표현하는 실세계 오브젝트를 FEM 이 시뮬레이션할 수 있도록, 당업계에 공지된 원칙들에 따라 정의될 수도 있다. 그러한 일 실시형태에서, m < n 구속들이 적용되어, 솔루션 u 은 다음 선형 구속 방정식을 만족한다:

여기서 G 는 선형 구속 방정식들의 계수들을 포함하는 행렬이다. 이하 위첨자 T 는 행렬 전치를 정의한다. 그러한 일 실시형태에서, rank(G) = m 인 것이 추가로 가정될 수도 있다. 따라서, n × m 행렬 G 의 컬럼들은 선형으로 독립적이다.

정의된 운동 방정식들은 보정항을 계산하는 것 (112) 에 의해 추가로 활용될 수도 있다. 일 실시형태에 따라, 라그랑지 승수 기법을 사용하여, n 개 자유도를 갖는 원래의 모델에 대한 구속 문제는 (n+m) 개 자유도를 갖는 시스템에 대한 구속되지 않은 문제로서 공식화될 수도 있고, 여기서 솔루션 벡터는 다음 갖는다:

솔루션 벡터를 전술된 것과 같이 공식화한 후에, 연립 운동 방정식이 그 후, 다음과 같이 기록될 수도 있다:

여기서, 벡터 λ 는 라그랑지 승수들의 세트를 표현한다.

앞의 연립 방정식에서, (보정항을 계산하는) 블록 (112) 에서의 방법 (110) 은 그 후, 솔루션의 표현을 전개시키도록 진행할 수 있다. 그러한 실시형태는 구속된 동적 문제 솔루션의 표현에 적합한 R_n+m 에 기준을 구속함으로써 시작한다. 그러한 기준은 3 개의 벡터 세트, 구체적으로 Φ - 고유벡터들 (모달 부분 공간), Ψ - 라그랑지 승수 보정들, 및 Z - 상보적인 기본 벡터들로 구성될 수도 있다.

Φ - 고유벡터들은 이하 일반화된 고유값 문제의 고유벡터를 포함한다:

여기서

는 고유 각 주파수들의 대각 행렬이고, Φ 는 모드 형상들의 행렬이다:

행렬 Φ 의 컬럼들에 의해 표현된 부분 공간 Φ 의 벡터들은 다음 특성들을 갖는다:

마지막 방정식으로부터, 벡터의 형태로 기록될 수 있는 행렬 Φ 의 임의의 컬럼에 대하여,

이고, 여기서 u 는 물리적 자유도들, 즉 변위들을 표시하고, λ 는 라그랑지 승수들을 표시하며, 물리적 자유도들은 모두 0 은 아니다, 즉 u ≠ 0 이다.

라그랑지 승수 보정 벡터, Ψ 는 제로 변위 자유도 및 비제로 라그랑지 승수들을 갖는 벡터들의 부분 공간이다. m 벡터들의 이러한 부분 공간에서, 고유 기준은 다음과 같다:

그러한 일 실시형태에서, 벡터들로 취급되는 행렬 Ψ 의 모든 컬럼들은 구속 방정식들을 만족하는 것에 유의한다. 부분 공간 Ψ 으로부터의 벡터들은 특정 기계적 감각을 갖는다. 균일한 외부 압력으로 정적으로 로딩된 압축할 수 없는 탄성 재료로 만들어진 구체는, 솔루션 확장이 오직 부분 공간 Ψ 으로부터의 벡터들만을 포함하는 일 예를 제공한다. 이 경우, 그 솔루션에서 모든 물리적인 자유도들 (변위들) 은 0 이지만, 라그랑지 승수들은 그렇지 않다. 그러므로, 솔루션 벡터는 부분 공간 Ψ 에 포함된다. 구성에 의해, 부분 공간 Ψ 으로부터의 벡터들은 부분 공간 Φ 으로부터의 벡터들과 선형으로 독립적이다.

구속된 동적 문제 솔루션의 표현에 적합한 제 3 벡터 세트는 상보적인 기본 벡터들, Z 이다. R_n+m 에서 완전한 기준을 구성하기 위해 m 개의 선형의 독립적인 벡터들의 추가 그룹이 요구된다. 이하 행렬의 컬럼들은 이러한 벡터들의 그룹을 표현한다.

행렬 Z 의 컬럼들에 의해 표현된 부분 공간 Z 으로부터의 벡터들은 rank(G) = m 이기 때문에 선형으로 독립적이다. 또한, 이들 벡터는 부분 공간 Ψ 으로부터의 벡터들과 선형으로 독립적이다. 부분 공간 Z 으로부터의 벡터들 및 부분 공간 Φ 으로부터의 벡터들은, 고유 벡터들이 이하 구속 방정식들을 만족하기 때문에 선형으로 독립적이다:

그러나, 부분 공간 Z 으로부터의 벡터들은 행렬 G 의 컬럼들이 선형으로 독립적이기 때문에 구속 방정식을 만족하지 않으며:

그러므로, 부분 공간 Z 으로부터의 벡터들은 구속된 문제의 솔루션에 기여하지 않을 수도 있다.

기본 벡터들, 즉 Φ - 고유 벡터들, Ψ - 라그랑지 승수 보정들, 및 Z - 상보적인 기본 벡터들의 특성들을 요약하여, 결론적으로, 구속된 동적 문제에 대한 솔루션은 다음 식으로 표현될 수 있다:

여기서 q 는 일반화된 변위들의 벡터이고,

는 라그랑지 승수 보정들의 벡터이다. 그러한 일 실시형태에서, 벡터

의 사이즈는 m 이다. 벡터 q 의 사이즈는 모달 서브 공간 Φ 의 모달 컨텐츠에 의해 정의된 서브 공간에서의 벡터들의 개수와 동일하다. 일반적으로 모달 분석에서, 부분 공간 Φ 은 절단되며, 실제 엔지니어링 애플리케이션들에 대하여 dim(q) < n - m 이다.

방법 (110) 의 그러한 일 실시형태는 과도 모달 동적 문석에서 라그랑지 승수들을 보정하는 것 (113) 에 의해 계속된다. 일반화된 변위들의 벡터 q 는 이하 모달 차동 연립 운전 방정식을 푸는 것에 의해 획득된다:

여기서,

및

은 이하 정의된 것과 같다:

라그랑지 승수 보정을 계산하기 위해, 솔루션은 다음 식으로 기록되고:

연립 운동 방정식의 유한 요소의 잔여 벡터 r 가 계산되며 여기서:

이하 도시된 라그랑지 승수 보정을 위한 연립 방정식을 획득하여, 잔여 놈이 최소화된다:

행렬

은 유한 요소 분석 동안 단일 시간 인수분해될 수도 있는 희소 m × m 행렬이다. 또한, 일 실시형태에 따르면, 앞서 정의된 벡터 η 의 엘리먼트들은 오직, 구속 방정식들에서 사용되는 라그랑지 승수들의 자유도들에 대해서만 계산되어야만 한다. 추가로, 그러한 일 실시형태에 따라, 라그랑지 승수들의 복원은 모달 분석의 종료 이후에 동시에 모든 시간 증분들에 대하여 수행될 수 있다.

본 발명의 일 실시형태는 유한 요소 시뮬레이션의 주파수 응답 분석에서 라그랑지 승수들을 보정할 수도 있다. 그러한 일 실시형태에서, 주파수 도메인에서 운동 방정식은 다음 식을 갖는다:

여기서, K, C, 및 M 은 전술된 것과 같이, 각각 강성 행렬, 점성 감쇠 행렬, 및 질량 행렬이다. 또한, S 는 구조적 감쇠 행렬을 나타내고, f 및 u 는 각각 복소 부하 및 응답 진폭들이다. 그러한 일 실시형태에서, 구속된 문제에 대한 연립 방정식은 다음 식일 수 있다:

또한, 솔루션 (주파수 응답) 은 다음 식으로 표현될 수도 있다:

여기서, q 는 이하 방정식을 푸는 것에 의해 획득된 모달 주파수 응답이다:

여기서,

이다. FEM 연립 방정식의 나머지는 다음 식을 갖는다:

앞의 식을 이용하여, 라그랑지 승수 보정 계산을 위한 연립 방정식은 나머지 놈을 최소화함으로서 획득될 수 있다

행렬

은, 일 실시형태에 따라 분석 동안 오직 한번 인수분해되는 희소 m × m 행렬이다. 추가로, 복소 벡터 η 의 엘리먼트들은 오직 구속 방정식에서 사용되는 자유도들에 대해서만 계산될 수도 있다. 라그랑지 승수들의 복원은 모달 분석이 완료된 이후 동시에 모든 주파수 포인트들에 대하여 수행될 수 있다.

모달 분석을 수행하고 라그랑지 승수들을 보정하기 위해 보정항들을 결정하는 전술된 프로세스는 방법 (110) 의 블록들 (112 및 113) 에서 구현될 수도 있다. 예를 들어, 컴퓨팅 디바이스에 의해 구현된 방법 (110) 의 일 실시형태에서, 전술된 프로세스는 컴퓨터 프로그램 명령들의 실행에 의해 수행될 수도 있다.

도 2 는 본 발명의 일 실시형태에 따라 모달 분석을 수행하기 위해 사용될 수도 있는 컴퓨터-기반 시스템 (220) 의 간략화된 블록 다이어그램이다. 시스템 (220) 은 버스 (225) 를 포함한다. 버스 (225) 는 시스템 (220) 의 다양한 컴포넌트들 간의 상호접속체로서 기능한다. 키보드, 마우스, 디스플레이, 스피커들 등과 같은 다양한 입력 및 출력 디바이스들을 시스템 (220) 에 접속시키는 입력/출력 디바이스 인터페이스 (228) 가 버스 (225) 에 접속된다. 중앙 프로세싱 유닛 (CPU; 222) 이 버스 (225) 에 접속되고 컴퓨터 명령들의 실행을 제공한다. 메모리 (227) 는 컴퓨터 명령들을 실행하는데 사용되는 데이터에 대한 휘발성 저장장치를 제공한다. 저장장치 (226) 는 오퍼레이팅 시스템 (미도시) 과 같은 소프트웨어 명령들에 대한 비-휘발성 저장장치를 제공한다. 시스템 (220) 은 또한 광역 네트워크들 (WAN들) 및 로컬 영역 네트워크들 (LAN들) 을 포함하여, 당업계에 공지된 임의의 다양한 네트워크들에 접속하기 위한 네트워크 인터페이스 (221) 를 포함한다.

추가로, 시뮬레이션 모듈 (223) 이 버스 (225) 에 접속된다. 시뮬레이션 모듈 (223) 은 FEM 을 제공하고, 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하는 모달 분석에서 FEM 을 채용하도록 구성된다. 시뮬레이션 모듈 (223) 은, 당업계에 공지된 어떤 수단들을 통해서도 FEM 을 제공할 수도 있다. 예를 들어, 시뮬레이션 모듈 (223) 은 FEM 의 사용자 구성을 용이하게 할 수도 있다. 다른 실시형태에서, 시뮬레이션 모듈 (223) 은 저장 디바이스 (226) 또는 메모리 (227) 에 저장된 FEM 을 획득할 수도 있다. 추가로, 시뮬레이션 모듈 (223) 은 네트워크 인터페이스 (221) 및/또는 입력/출력 디바이스 인터페이스 (228) 를 통해 시스템 (220) 에 통신가능하게 커플링된 임의의 포인트로부터 FEM 을 제공할 수도 있다.

시스템 (220) 은 추가로, 시뮬레이션 모듈 (223) 에 통신가능하게/동작가능하게 커플링되는 보정 모듈 (224) 을 포함한다. 보정 모듈 (224) 은 보정항을 계산하고, 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 계산된 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하도록 구성된다.

본원에 설명된 예시적인 실시형태들은 다수의 상이한 방법들로 구현될 수 있음을 이해해야 한다. 일부 경우들에 있어서, 본원에 설명된 다양한 방법들 및 머신들은 물리적인, 가상의 또는 하이브리드식 범용 컴퓨터, 예컨대 컴퓨터 시스템 (220) 에 의해 각각 구현될 수도 있다. 컴퓨터 시스템 (220) 은, 예컨대 CPU (222) 에 의한 실행을 위해 메모리 (227) 또는 비-휘발성 저장장치 (226) 내로 소프트웨어 명령들을 로딩함으로써, 본원에 설명된 방법들을 실행하는 머신들로 변환될 수도 있다. 추가로, 시뮬레이션 모듈 (223) 및 보정 모듈 (224) 은 별개의 모듈들로서 도시되지만, 일 예시적인 실시형태에서 이들 모듈들은 다양한 구성들을 사용하여 구현될 수도 있다.

시스템 (220) 및 그 다양한 컴포넌트들은 본원에 설명된 본 발명의 임의의 실시형태들을 실행하도록 구성될 수 있다. 예를 들어, 시스템 (220) 은 도 1 과 관련하여 전술된 방법 (110) 을 실행하도록 구성될 수도 있다. 예시적인 실시형태에서, 시뮬레이션 모듈 (223) 및 보정 모듈 (224) 은 메모리 (227) 및/또는 저장장치 디바이스 (226) 에 저장되는 소프트웨어로 구현될 수도 있다. 그러한 예시적인 실시형태에서, CPU (222) 및 메모리 (227) 는 메모리 (227) 및/또는 저장장치 디바이스 (226) 에 저장된 컴퓨터 코드 명령들로, FEM 을 제공하고 그 FEM 을 라그랑지 승수들을 사용하여 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하는 모달 분석에서 채용하는 시뮬레이션 모듈을 구현한다. 추가로, 시스템 (220) 의 컴포넌트들은 시뮬레이션 모듈에 동작가능하게 커플링되고, 보정항을 계산하고 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 보정항을 사용하여 모달 분석을 수정하도록 구성된 보정 모듈을 구현한다. 예시적인 실시형태에서, 시스템 (220) 은 본원에 설명된 하나 이상의 실시형태들에 따라 양자의 모달 분석을 수행하고 모달 분석을 수정 (및 개선) 한다. 다른 실시형태에서, 시스템 (220) 은 본원에 설명된 것과 같이, 모달 분석을 수행하는 시스템에 통신가능하게 커플링되고, 모달 분석을 수정하는 기능을 한다.

도 3 은 본 발명의 일 실시형태가 구현될 수도 있는 컴퓨터 네트워크 환경 (330) 을 도시한다. 컴퓨터 네트워크 환경 (330) 에서, 서버 (331) 는 통신 네트워크 (332) 를 통해 클라이언트들 (333a-n) 에 링크된다. 환경 (330) 은 클라이언트들 (333a-n) 이 단독으로 또는 서버 (331) 와 결합하여 앞서 본원에서 설명된 임의의 방법들을 실행하게 하는데 사용될 수도 있다.

상기 설명된 예시적인 실시형태들은 다수의 상이한 방식들로 구현될 수 있음을 이해해야 한다. 일부 경우들에 있어서, 본원에서 설명된 다양한 방법들 및 머신들은 물리적, 가상의 또는 하이브리드식 범용 컴퓨터, 또는 컴퓨터 환경 (330) 과 같은 컴퓨터 네트워크 환경에 의해 각각 구현될 수 있다.

그 실시형태들 또는 양태들은 하드웨어, 펌웨어, 또는 소프트웨어의 형태로 구현될 수 있다. 소프트웨어로 구현된다면, 소프트웨어는, 프로세서로 하여금 소프트웨어 또는 그 명령들의 서브세트들을 로딩할 수 있게 하도록 구성된 임의의 비-일시적인 컴퓨터 판독가능 매체 상에 저장될 수도 있다. 그 후, 프로세서는 명령들을 실행하고, 장치를 동작시키거나 또는 장치로 하여금 본원에서 설명된 바와 같은 방식으로 동작하게 하도록 구성된다.

추가로, 펌웨어, 소프트웨어, 루틴들, 또는 명령들이 데이터 프로세서들의 특정 액션들 및/또는 기능들을 수행하는 것으로서 본 명세서에서 설명될 수 있다. 하지만, 본원에 포함된 그러한 설명들은 단지 편의를 위한 것이고 실제로 그러한 액션들은 펌웨어, 소프트웨어, 루틴들, 명령들 등을 실행하는 컴퓨팅 디바이스들, 프로세서들, 제어기들, 또는 다른 디바이스들로부터 기인함이 인식되어야 한다.

플로우 다이어그램들, 블록 다이어그램들, 및 네트워크 다이어그램들은 더 많거나 더 적은 엘리먼트들을 포함하거나, 상이하게 배열되거나, 또는 상이하게 표현될 수 있음을 이해해야 한다. 하지만, 추가로, 특정 구현들은 블록 및 네트워크 다이어그램들을 강요할 수 있고 실시형태들의 실행을 도시한 블록 및 네트워크 다이어그램들의 수는 특정 방식으로 구현됨을 이해해야 한다.

이에 따라, 추가의 실시형태들은 또한, 다양한 컴퓨터 아키텍처들, 물리적, 가상의, 클라우드 컴퓨터들, 및/또는 이들의 일부 조합으로 구현될 수 있고, 따라서, 본 명세서에서 설명된 데이터 프로세서들은 오직 예시의 목적으로 의도되고 실시형태들의 한정으로서 의도되지 않는다.

본 발명이 본 발명의 예시적인 실시형태들을 참조로 특별히 도시되고 설명되었지만, 종래 기술에서 통상의 지식을 가진 자라면, 첨부된 특허청구범위에 의해 포괄되는 본 발명의 범위를 벗어나지 않으면서 형태 및 상세들에서의 여러 변형들이 이루어질 수도 있음을 이해할 것이다.

220 컴퓨터-기반 시스템
221 네트워크 인터페이스
222 CPU
223 시뮬레이션 모듈
224 보정 모듈
225 버스
226 비-휘발성 저장장치
227 메모리
228 입력/출력 디바이스 인터페이스

Claims

모달 분석 (modal analysis) 을 수행하는 방법으로서,
유한 요소 모델 (FEM) 을 제공하는 단계로서, 상기 FEM 은 라그랑지 (Lagrange) 승수들을 사용하여 상기 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용되는, 상기 FEM 을 제공하는 단계;
보정항 (correction term) 을 계산하는 단계; 및
상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하는 단계를 포함하는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 1 항에 있어서,
상기 계산하는 단계는,
희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 상기 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 단계를 포함하는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 2 항에 있어서,
상기 선형 대수 연립 방정식의 상기 희소 행렬은 상기 모달 분석에서 한 번 인수분해되는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 1 항에 있어서,
상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하는 단계는,
상기 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정하는 단계를 포함하는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 1 항에 있어서,
상기 모달 분석은 상기 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링하는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 5 항에 있어서,
상기 고유모드들은 상기 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 획득되는, 모달 분석을 수행하는 방법.
제 1 항에 있어서,
상기 라그랑지 승수들은 상기 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 보정되는, 모달 분석을 수행하는 방법.
모달 분석을 수행하는 시스템으로서,
유한 요소 모델 (FEM) 을 제공하도록 구성된 시뮬레이션 모듈로서, 상기 FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 상기 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용되는, 상기 시뮬레이션 모델; 및
상기 시뮬레이션 모듈에 동작가능하게 커플링되고, 보정항을 계산하고 상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하도록 구성된, 보정 모듈을 포함하는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 8 항에 있어서,
상기 보정항을 계산하도록 구성된 상기 보정 모듈은, 희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 상기 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함하는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 9 항에 있어서,
상기 보정 모듈은, 상기 모달 분석에서 상기 선형 대수 연립 방정식의 상기 희소 행렬을 한 번 인수분해하도록 구성되는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 8 항에 있어서,
상기 보정 모듈은 상기 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정함으로써 상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하도록 구성되는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 8 항에 있어서,
상기 모달 분석은 상기 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링하는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 12 항에 있어서,
상기 시뮬레이션 모듈은 상기 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 상기 고유모드들을 획득하도록 구성되는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
제 8 항에 있어서,
상기 보정 모듈은 상기 모달 분석의 모든 주파수 포인트들에 대하여 상기 라그랑지 승수들을 보정하도록 구성되는, 모달 분석을 수행하는 시스템.
하나 이상의 클라이언트들과 네트워크를 통해 통신하는 서버에 의해 실행되도록 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램으로서,
프로그램 명령들을 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체를 포함하고,
상기 프로그램 명령들은, 프로세서에 의해 실행될 경우,
유한 요소 모델 (FEM) 을 제공하는 것으로서, 상기 FEM 은 라그랑지 승수들을 사용하여 상기 FEM 의 응력 및 반력들을 모델링하기 위한 모달 분석에서 채용되는, 상기 FEM 을 제공하는 것;
보정항을 계산하는 것; 및
상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하는 것
을 야기하는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
제 15 항에 있어서,
상기 보정항을 계산하는 것은,
희소 행렬로 선형 대수 연립 방정식을 푸는 것에 의해 상기 FEM 의 연립 운동 방정식을 푸는 것을 포함하는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
제 16 항에 있어서,
상기 선형 대수 연립 방정식의 상기 희소 행렬은 상기 모달 분석에서 한 번 인수분해되는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
제 15 항에 있어서,
상기 라그랑지 승수들을 변경하기 위해 상기 보정항을 사용하여 상기 모달 분석을 수정하는 것은,
상기 라그랑지 승수들과 연관된 하나 이상의 자유도들을 수정하는 것을 포함하는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
제 15 항에 있어서,
상기 모달 분석은 상기 FEM 의 구조 응답을 고유모드들의 중첩으로서 모델링하는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.
제 19 항에 있어서,
상기 고유모드들은 상기 모달 분석의 컴포넌트인 주파수 추출 분석에서 획득되는, 매체에 저장된 컴퓨터 프로그램.