CN107016155B - 非线性pde和线性求解器的收敛估计 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了提供对物理现实世界系统的仿真的计算机实现的方法、计算机系统、以及计算机程序产品。根据实施例的一种方法提供了对物理现实世界系统的仿真，通过首先生成包括所仿真的现实世界系统的离散表示的方程组。接着，现实世界系统被仿真。在仿真系统时，获得方程组的解的用户规定容限。然后，在近似无限次迭代内，迭代地求解方程组直至方程组对于给定迭代的解在方程组的解的用户规定容限内。在该实施例中，将所述方程组在给定迭代内的解确定为在所述用户规定容限内，是使用了：实验确定的常数、方程组对于给定迭代的最小特征值的估计、以及方程组对于给定迭代的残差。
Description
技术领域
本发明的实施例在总体上涉及计算机程序和系统领域，具体地涉及计算机辅助设计(CAD)、计算机辅助工程(CAE)、建模和仿真领域。
背景技术
市场上提供了很多用于零件或零件的组件的设计的系统和程序。这些所谓的CAD系统允许用户构造和操纵对象或对象的组件的复杂的三维模型。CAD系统因此提供了使用边或线，在一些情况下使用面来进行诸如现实世界对象的建模对象的表示。线、边、面或多边形可以多种方式来表示，例如非均匀有理基样条(NURBS)。
这些CAD系统管理主要是几何结构的规格的建模对象的零件或零件的组件。特别地，CAD文件包含规格，根据该规格来生成几何结构。根据几何结构，生成表示。规格、几何结构和表示可以存储在单个CAD文件或多个CAD文件中。CAD系统包含用于向设计者表示所建模的对象的图形工具；这些工具专用于显示复杂的对象。例如，组件可以包含数千零件。
CAD和CAE系统的出现允许对象的宽范围的表示可能性。一种这样的表示是有限元分析模型。术语有限元分析模型、有限元模型、有限元网格和网格在本文中可互换使用。有限元模型通常表示CAD模型，并且因此，可以表示一个或多个零件或零件的整个组件。有限元模型是称为节点的点的系统，这些节点互连而形成栅格，称为网格。
诸如CAE模型、有限元模型和计算流体动力学模型以及其它的模型可以如下方式进行规划：模型具有其所表示的一个或多个下层对象的属性。当例如以这种方式来规划有限元模型时，其可用于执行其所表示的对象的仿真。例如，有限元模型可以用来表示车辆的内腔、结构周围的声学流体以及任意数量的现实世界对象，包括例如诸如斯滕特氏印模(stent)的医疗装置。当模型表示对象且相应地规划时，其可用于仿真现实世界对象本身。例如，表示斯滕特氏印模的有限元对象可用于仿真斯滕特氏印模在现实的医疗设置中的使用。
此外，这些仿真能够用来改善所仿真的现实世界对象的设计。例如，动态系统的模型能够在仿真中用来识别系统的故障点。进而，能够利用来自仿真的反馈来改善在仿真中所使用的模型所表示的且最终表示现实世界对象本身的三维CAD模型。虽然存在用于执行模型的仿真以及用于改善下层CAD模型的方法，但是这些现有的方法可受益于改善效率的功能。
发明内容
本发明的实施例涉及仿真且能够实现在仿真求解器方法中。实施例在多种应用是有用的，包括，为计算流体动力学(CFD)、结构动力学以及其它使用迭代方法来执行仿真的物理仿真方法来估计收敛性。
本发明的实施例提供了提供对物理现实世界系统的仿真的计算机实现的方法。该实施例通过在计算机存储器内生成方程组而开始，其中方程组包括所仿真的现实世界系统的离散表示。接着，通过与计算机存储器操作地耦合的处理器来仿真现实世界系统。在仿真系统时，处理器首先获得方程组的解的用户规定容限。其次，处理器迭代地求解方程组，直至达到收敛。根据实施例，在近似无限次迭代内当方程组对于给定迭代的解在方程组的解的用户规定容限内时，达到收敛。在该实施例中，将方程组对于给定迭代的解确定为在用户规定容限内是基于对下列的使用：实验确定的常数、方程组对于给定迭代的最小特征值的估计以及方程组对于给定迭代的残差。根据实施例，求解方程组求解现实世界系统的结构力学、物理或计算流体动力学问题。
在该方法的又一实施例中，方程组是第一方程组，并且该方法还包括：在第一多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的最终解。进一步，该实施例在第二多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的误差场(error field)，其中误差场包括第二方程组的最终解与第二方程组对于第二多次迭代中的每次迭代的各自的解之间的差。该实施例还可以包括：确定所述常数作为下列各项的函数：误差场、第二方程组的残差以及第二方程组的最小特征值的估计。
根据该方法的实施例，实验确定的常数是与现实世界系统的物理特性无关的。在又一实施例中，方程组的残差是残差向量的范数。此外，在实施例中，残差向量是体加权范数。在又一可替代实施例中，利用瑞利商来确定最小特征值的估计。
本发明的实施例涉及用于提供物理现实世界系统的仿真的计算机系统。该计算机系统包括处理器以及存储器，在存储器中存储有计算机代码指令。处理器和存储器利用计算机代码指令被配置成使系统在存储器内生成方程组，其中方程组包括现实世界系统的离散表示。此外，处理器和存储器利用计算机代码指令使计算机系统仿真现实世界系统。根据该实施例，计算机系统通过如下来来仿真现实世界系统：使处理器获得方程组的解的用户规定容限，以及迭代地求解方程组直至达到收敛。根据计算机系统实施例，在近似无限次迭代内，当方程组对于给定迭代的解在方程组的解的用户规定容限内时，达到收敛。在计算机系统的实施例中，将方程组对于给定迭代的解确定为在用户规定容限内，是使用了：实验确定的常数、方程组对于给定迭代的最小特征值的估计、以及方程组对于给定迭代的残差。
在计算机系统的可替代实施例中，方程组是第一方程组，并且处理器和存储器利用计算机代码指令被进一步配置成使系统在第一多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的最终解。此外，在该实施例中，计算机系统被进一步配置成在第二多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的误差场，其中误差场包括第二方程组的最终解与第二方程组对于第二多次迭代中的每次迭代的各自的解之间的差。在计算机系统的进一步的实施例中，常数被确定为下列各项的函数：误差场、第二方程组的残差以及第二方程组的最小特征值的估计。在实施例中，实验确定的常数是与现实世界系统的物理特性无关的。
在可替代的实施例中，方程组的残差是残差向量的范数。根据实施例，残差向量的范数是体加权范数。在进一步的计算机系统实施例中，处理求和存储器利用计算机代码指令被进一步配置成使系统利用瑞利商来确定最小特征值的估计。根据计算机系统实施例，求解方程组求解现实世界系统的结构力学、物理或计算流体动力学问题。
本发明的又一实施例涉及用于提供物理现实世界系统的仿真的云计算实现方式。该实施例涉及通过跨网络与一个或多个客户端通信的服务器执行的计算机程序产品。在该实施例中，计算机程序产品包括计算机可读介质，该计算机可读介质包括程序指令，当通过处理器执行时，所述程序指令使所述处理器在存储器内生成方程组，其中方程组包括现实世界系统的离散表示。在该实施例中，处理器通过获得方程组的解的用户规定容限以及迭代地求解方程组直至达到收敛来仿真现实世界系统，其中在近似无限次迭代内，当方程组对于给定迭代的解在方程组的解的用户规定容限内时，达到收敛。根据计算机程序产品的实施例，将给定迭代确定为在用户规定容限内是基于使用下列各项：实验确定的常数、方程组对于给定迭代的最小特征值的估计以及方程组对于给定迭代的残差。
附图说明
根据如附图所图示的本发明的示例性实施例的以下更特别的描述，前述内容将是显而易见的，在附图中相似的附图标记在不同视图中指代相同的部件。附图不一定是按比例绘制，重点应放在本发明的示例的实施例上。
图1示出了根据至少一个示例性实施例的用于提供物理现实世界系统的仿真的计算机实现的方法。
图2是确定能够在实施例中使用的常数的方法的流程图。
图3是使用实施例执行仿真的流程图。
图4是示出利用本发明的实施例的原理来实现仿真的方法的流程图。
图5是利用实施例的原理提供对物理现实世界系统的仿真的计算机系统的简化框图。
图6是可以实现本发明的实施例的简化的计算机网络环境。
具体实施方式
本发明的示例性实施例的描述如下。
在本文中所引用的全部专利、公开的申请和参考文献的教导的全文通过引用方式合并于此。
如本文所提到的，本发明的实施例提供了用于仿真系统(例如，现实世界力学系统)的方法和系统。各种仿真技术使用迭代方法来实现仿真。迭代求解技术因两个主要原因而使用。首先，当应用于线性系统时，迭代方法减少了如果使用直接矩阵求解方法所要求的过高的存储量。可以注意到，迭代方法用计算效率换取了存储。因此，重要的是最小化迭代技术的低效。迭代线性求解器的示例是开源便携式、可扩展科学计算工具箱(PETSc)。
其次，还因为使用隐式方法求解非线性微分方程要求迭代方法，故而使用迭代技术。支配方程(governing equations)在时间上被离散化和线性化。因为线性化经常是近似的，所以需要迭代来从初始猜测和后续对解的改进来获得最终解。非线性微分方程的解与主要变量(例如，速度场(velocity field)、温度场(temperature field))有关。利用每次迭代，求解器渐进地完善解。这提出了关于“停止标准”的重要问题，即，何时停止迭代。
稳态求解器具有两级嵌套迭代环，第一级是非线性迭代环，第二级是通过非线性迭代环部署的多个线性求解器迭代环。类似地，暂态求解器使用多个固定点迭代环，多个固定点迭代环进而部署线性求解器迭代环。稳态解可被认为是具有单个固定点的暂态求解器。相反，暂态解可能被认为是一系列拟稳态问题，每一个均包含先前解的扰动。
对于适定问题/仿真，解随着每次迭代而接近某值。如果这是数值解，则可以认为解收敛到数值答案(即，上述某值)。理想地，有益的是利用每次迭代确定当前计算出的解的误差是什么，换言之，当前的迭代解离收敛有多远(收敛程度)。此处，误差是在离散化问题的解(数值解)与当前迭代中所计算的解之间的误差。数值解不同于解析解或实验解。数值解发生在有限计算状态和有限存储器计算机中，因此，数值解仅提供关于所感兴趣的系统的有限信息。理论上，解析解和实验解提供了在物理系统中的任意位置处的信息，并且这可能是无限量的信息。因此，误差估计是数值仿真所固有的，因为它们总是固有地在一定程度上不精确。然而，虽然获知收敛程度是理想的，但是因为数值答案不是提前获知的，所以很难将收敛程度量化且确定该误差。
现有的商业软件解决方案使用替代方式来试图测量收敛，而非确定收敛程度。现有的技术主要依赖于对诸如残差等误差的代理使用经验规则或自组织(ad-hoc)启发式算法来推导收敛。目前使用的大部分技术基于早期引入的商业计算流体动力学(CFD)中的实践。尚未激励学者们再次注意该课题，因为他们(可能错误地)认为是“已解决的问题”，而不值得研究资助。
诸如ANSYS-fluent,CD-adapco和
Structural的各种仿真软件包使用各种现有技术用于“收敛估计”。许多现有的软件套件推荐执行仿真的用户对残差(residual)进行监视，残差是当将当前解取代成数值解时所求解的偏微分方程中的误差。例如，ANSYS-fluent推荐监视残差，且推导出：当残差已经在量级上具有3阶下降时，解收敛。
CD-adapco使用用于暂态求解器的方法，其中固定点迭代的停止标准是通过用户判定所确定的固定迭代数。该数量特定于每个仿真且可能仅对于每个仿真的略微变化才是正确的。因此，该预设数量是由用户根据反复试验(trial and error)来确定的。合理的是，暂态解必须再收敛的程度将取决于时间步以及解中来自时间增量的扰动。小的时间增量典型地导致较小的扰动，并且因此要求更少的迭代。“反复试验”方法还用于判定解是否无关于底层的计算网格，因此其对于CFD从业者的经验来说并不陌生。
CD-adapco描述了另一种通过监视所导出的工程关注量来推导收敛的替代方案。例如，选项包括监视拖曳力或提升力。一些现有的监视关注量的方法允许用户基于标准差、与其它量组合的逻辑规则以及渐近地达到阈值来定义一组规则从而推导收敛。例如，当提升力每次迭代变化了不到1％时，停止迭代，或者当在出口处的质量流等于在入口处的质量流的0.1％时，停止迭代。
又一技术监视从一次迭代到下一次迭代的解的变化(校正)，并且如果校正相比于解本身小，则推断收敛。再有，这在设定归一化尺度时需要用户判断并且易于发生不正确停止，因为缺少迭代进展实际上不意味着迭代已经实现最终目标。
在结构域内，推导收敛是借助复杂且精巧的启发式算法来完成的。这些启发式算法基于残差且与解猜测的增量变化与线性求解器迭代中的校正之比相结合来找到适当的归一化尺度。这还要求对域内的作为结构(相对于流体或自由空间)的区域进行跟踪的能力。
关于现有的收敛确定技术的进一步的细节可见于Ansys User Guide，其可从https://www.sharcnet.ca/Software/Fluent6/html/ug/node1067.htm得到，CD Adapcouser guide 6.02.007 Setting up Stopping Criteria,以及ABAQUS Users Guide 6.14Section 7.2.3 Convergence Criteria for Nonlinear Problems，其全文通过引用方式并入本文。
如本文所提到的，当前的技术不能确定误差收敛的程度，而是试图间接地推导收敛，通过：残差的表现、解的校正或者通过将其留给用户来基于用户判定所确定的导出量设置停止标准。现有的用来确定停止标准的技术所存在的基本问题在于，误差收敛永远无法解决。这导致获得差质量的解，或者浪费计算资源来执行不必要的迭代。
各种问题源自于当前用于推导收敛的技术。例如，人们不能看到残差的价值以及对“小残差暗示同样小的误差”的论证进行扩展。这是因为，通用的归一化尺度是未知的。因此，唯一的其它选项是守候残差下降。ANSYS(以及其它技术)描述了一种监视残差且等待残差下降三个数量级的方法。当提供用于求解方程组的初始条件时，存在两种可能的方案。一种是，将问题初始化成非常接近收敛的解，即良好初始猜测。当这发生时，残差从一开始就低，将花费极长的时间使得残差下降，或者在有限精度计算机上可能残差永远不再进一步下降。其次，如果初始猜测极差，则残差将很快下降三个数量级，并且无法确保解已经实现收敛。
用于“估计收敛”的校正监视方法随着每次迭代而观察解的变化并且当变化极小时停止迭代。很快出现对“多小是小？”的问题进行回答的问题。所使用的尺度取决于用户的判断。此外，在仿真过程中，即使解尚未收敛，仍然会出现校正小的情形，这例如由于差的收敛性。
监视导出量与所求解的解变量的收敛性具有弱的相关，监视导出量可以包括监视偏差、趋势以及诸如提升、拖曳或力矩等间接量的任何这样的模式。通过监视与所观察的导出量无关的另一个场或量来得出收敛的结论是错误的。此外，该方法依赖于用户技能且需要“期望什么作为答案”的先验知识。
当前技术的主要缺陷在于，用户对于一组问题能够校准这些技术，而不能确保对于其它类型的问题和使用情况都适用。不存在确定收敛的通用方法。使用现有的方法，用户仅能够推导出解是否收敛。经常，用户无需求解仿真到完全收敛，而是仅需要达到某收敛百分比。这使用当前的方法是不能实现的。
上述问题出现于在稳态求解器中推导收敛。暂态求解器和线性求解器同样存在这些相同的问题。此外，暂态求解器和线性求解器还存在额外的后果。
对于暂态求解器，当正在每个时间增量之间进行子迭代时，收敛起作用。当执行这些子迭代时最广泛使用的技术是设定子迭代的预定次数。该预定次数需要通过反复试验以及用户判断来校准。此外，预定次数可能对于不同类型的问题不适用。因此，用户必须保守且限制时间步的大小或规定大于所要求的迭代次数。暂态仿真，尤其是那些具有差的初始条件的暂态仿真，需要多次初始固定点迭代，因为流结构发展遍布流域且该数量随着仿真进展而减少。然而，如果使用执行预定数量迭代的技术，则难以利用随着仿真进展而需要较少的子迭代的事实。这是对计算成本和时间的消耗。
线性求解器由稳态求解器和暂态求解器在每个求解器的迭代之间来执行。通过这些线性求解器进行的任何多余的迭代大幅削弱了性能。如上所述相同的难处同样适用于这些求解器。因此，能够精确地且一致地退出线性求解器迭代具有获得大的性能增益的可能。
本发明的实施例通过引入对“误差”的定义量化收敛来直接地解决问题，而不是提供另一种推导收敛的替代方案。如上所述，此处的误差是在当前解猜测与离散化系统的解之间的差。换言之，误差是在当前迭代的解与收敛解(即，通过近似无限次迭代所获得的解)之间的差。成功地估计该误差的能力使得执行仿真不再有猜测工作且弥补了当前技术的上述问题。
在本发明的实施例中，误差被表达为已知量的函数(残差和校正)、数学构造(矩阵特征值)、数学简化(特征值近似)以及经由数值校准的校准方法。
对于稳态求解器，本发明的实施例计算误差估计，该误差估计确定当前数值解对于收敛解的误差。在该实施例中，用户仅需要根据相对误差阈值来规定期望的收敛程度。然后，当相对误差估计达到该用户规定的收敛程度时，退出稳态迭代环。
类似地，对于暂态求解器，仿真基于所期望的误差阈值而在每个时间增量之间执行适当数量的固定点迭代。作为该方法的附加优点，如果选定了不合理地大的时间步，则效果是在每个时间步之间有更多的子迭代，因而使得求解器到达合理的解。当期望解是稳态的而不是暂态的时候，将看到该附加效果，类似地，将取固定点迭代的最佳数量。迭代将终止于正确的误差级别。迭代不会过早停止而导致比期望的更高的误差，也不会过晚而导致相比于所需的更多的计算耗费。
在线性求解器中实现了类似的增益。通过采用本文所描述的收敛确定技术，根据本发明的实施例的线性求解器将具有大幅提高的性能。每次固定点迭代或稳态迭代将执行正确数量的线性求解器迭代，因此相比于现有技术提高了性能。
在线性求解器和暂态求解器中使用本发明的实施例的主要优点是，所能够实现的提高的性能。此外，对于暂态求解器，如果选定了比所需的更大的时间步，则这会导致算法的子迭代更多，使得仿真达到尽可能合理的解。本发明的实施例的又一优点可以是减少所执行的迭代的次数。很多时候，不需要径直迭代至收敛。相反地，用户可能感兴趣的是在真正收敛的某容限内。使用本发明的实施例，现在能够当解在收敛解的某百分比内时停止迭代环。另一优点是，“允许用户设置设计实验而不对于每一个设计变化都确定停止标准的校准”的能力。
图1是用于提供对物理现实世界系统的仿真的方法110的流程图。方法110在步骤111通过在计算机存储器内生成方程组而开始。在方法110的这样的实施例中，方程组表示现实世界物理系统且驻留于计算机存储器内。在实施例中，方程组是现实世界系统的离散表示。现实世界物理系统的这种离散表示代表了作为空间中的有限点集的连续统(continuum)。在这样的示例中，现实世界物理系统可以通过偏微分方程来支配，并且这些方程的离散版本能够支配空间中这些点中的每一个点。该现实世界系统可来自于如下应用：流体动力学，固体力学，热传递学，电磁学，以及量子物理学，但不限于这些示例。方法110的实施例可以仿真多种系统。通过这样做，方法110的实施例可以解决现实世界系统的力学、物理或计算流体动力学问题。根据实施例，方程组可以是指示物理系统属性的偏微分方程组。例如，方程组可以包含反映现实世界系统的质量、刚度、尺寸等数据/属性。此外，方法110可以在步骤111中响应于用户交互而生成方程组。例如，用户可以通过本领域已知的任何通信接口来提供现实世界方程组(一个或多个)的数据/属性，并且进而，可以响应于所提供的信息来实施步骤111。
接着，方法110继续，且在步骤112中仿真现实世界系统。根据实施例，在步骤112中仿真所述系统包括在步骤112a中首先获得方程组的解的用户规定容限。在步骤112a中所提供的容限指示用户所期望的解有多精确。因为在步骤112中通过迭代地求解方程组来执行仿真，所以在每次迭代中确定解。然而，方程组的最终解，即收敛解，近似地是如果执行无限次迭代则所得到的方程组的解。因此，在步骤112a中所提供的容限指示：为使当前迭代停止，对于给定迭代的解需要距最终解多远。用户可以通过本领域已知的任何手段来在步骤112a中规定容限。例如，用户可以响应于实现方法110的计算设备的提示而规定容限。在该实施例中，用户可以通过使用计算设备的各种输入设备中的任一种来提供容限。
给定在步骤112a中所提供的容限，方法110继续且迭代地求解方程组直至达到收敛，其中在近似无限次迭代内，当方程组对于给定迭代的解在方程组的解的用户规定容限内时，达到收敛。根据实施例，确定方程组的解在用户规定的容限内是基于使用下列各项：实验确定的常数、方程组对于给定迭代的最小特征值的估计以及方程组对于给定迭代的残差。下文中提供关于计算常数、特征值和残差的进一步的细节。根据实施例，通过在步骤112b中求解方程组，提供了对现实世界系统的仿真。在实施例中，在步骤112b中求解方程组后，根据本领域已知的方法使用所确定的方程组的解来提供仿真。
换言之，对于每次迭代，方法110在步骤112b中使用所述常数、方程组对于给定迭代的特征值的估计以及方程组对于给定迭代的残差，来确定对于给定迭代的解离方程组的最终解有多远。方法110的实施例可以使用本领域已知的各种迭代技术中的任一种。例如，实施例可以使用固定点迭代、牛顿法、正割法、Krlov子空间法、多网格法和投影法中。根据系统110的实施例，利用瑞利商来估计方程组的特征值。在又一实施例中，方程组的残差是残差向量的范数。本发明的实施例可以使用许多各种技术来确定范数。在一个示例性的实施例中，残差向量的范数是体加权范数(volume weighted norm)。
方法110的可替代的实施例还包括：在第一多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的最终解。换言之，该可替代的实施例确定第二方程组的收敛解。术语“收敛解”可与术语“在近似无限次迭代内的解”同义。确定第二方程组的收敛解可以根据本领域已知的原理来完成。这样的可替代的实施例还包括：在第二多次迭代内迭代地求解第二方程组以确定第二方程组的误差场，其中误差场是第二方程组的最终解与第二方程组对于第二多次迭代中的每次迭代的各自的解之间的差。
更简要地描述该实施例，首先，该第二方程组的收敛解被确定，其次，执行多次迭代，并且计算误差场，其中误差场是收敛解与迭代解之间的差。该实施例可以执行任意数量的迭代来确定误差场。在实施例中，用于确定误差场的迭代被执行从而足以确保误差场对于对误差场进行计算的计算机的数字机器精度而言是精确的。
在实施例中，上述误差场用于在步骤112中确定仿真现实世界系统时所使用的实验常数。在该实施例中，该常数被确定为下列各项的函数：误差场、第二方程组的残差以及第二方程组的最小特征值的估计。
根据实施例，在步骤112b中所使用的常数是在步骤112b中迭代地求解第一方程组之前就确定的。例如，常数可以提前确定，并且进而用于利用方法110仿真多个现实世界系统。在实施例中，常数无关于现实世界系统的物理特性，并且因此，能够用于仿真任何系统。在实施例中，如果使用一种迭代技术确定常数，则该常数能够用于使用任何其它迭代技术来仿真另一方程组。
描述诸如方法110的实现本发明的实施例的方法的进一步的细节描述于下文中。以线性系统为例，该线性系统可以写为下面的方程(1)：
Au*＝b (1)
在方程(1)中，A是算子，u*是精确解，b是已知值的右手侧，例如，所仿真的系统的属性。在迭代地求解Au*＝b时仅能计算出近似解u。因此，取代u得到附加项r，在本文称为残差。该关系是由方程(2)给出的：
Au＝b+r. (2)
将两个关系(方程1和2)相减，得到：
Ae＝r (3)
其中误差e由下式给出：
e＝u-u* (4)
可由方程(4)表达的误差是计算机存储器内的列表，该列表具有对于网格内每个计算栅格点的值，该网格表示所要求解方程(1)所表示的物理系统的解域。误差是在其计算机表示中计算机生成的解减去如果进行无限次迭代且因此达到方程(1)的精确答案则计算机所将获得的解。为了说明，考虑这样的示例：现实世界物理系统由有限点集(计算栅格点)来描述。每个点由偏微分方程的离散版本来支配。在这样的示例中，每个点处的解(例如，每个点处的速度)被确定，以及对于给定的迭代，对于每个点存在一个猜测，并且因此，对于每个点存在的误差，该误差由阵列e来表示。可以利用范数将误差压缩成单个数。为了增强实施例的功能，误差以无任何网格依赖性的形式来表示。换言之，范数表示误差，而不取决于所仿真的系统的物理特性。本发明的实施例可以使用任意多种范数确定技术。例如，实施例可以使用加权范数。此外，本发明的实施例可以基于用来离散化现实世界系统的方法来改变范数确定方法。根据实施例的关于误差的范数由下面的方程(6)给出：
其中||表示场的范数，求和是对于该场的全部栅格值。Vi可以是对应的网格点值周围的域的子区域的体积，但是无需使用该值并且可以例如对于全部网格点等于1(unity)，ei是在网格点位置i处的误差。
给定下面的关系(7)：
本发明的实施例确定C而使得：
其中λmin是体加权矩阵A的最小特征值，而残差范数|r|类似于方程(6)定义。此外，C无关于所要求解的问题的物理特性，无关于网格，且无关于所使用的迭代求解器方法。本发明的实施例使用数值实验来找到并验证这样的常数C。用户规定且无量纲的相对误差定义为：
其中解范数|u|被如在方程(6)中定义。
图2是根据实施例能够在确定常数C的过程中使用的方法220的流程图。方法220通过将问题离散化而在步骤221开始。接着，在步骤222中，在近似无限次迭代内，迭代地求解离散化问题，即，直至达到数字机器精度收敛解。然后，在步骤223中，再次迭代地求解离散化问题，并且在每次迭代中通过取在步骤222中所确定的收敛解与给定迭代的解之间的差来形成误差场。
为概括方法220，在极大数量的迭代内运行给定问题以安全地得出解已收敛的结论。因此，来自方程(1)的最终解场(final solution field)u*被获得且存储。然后，重新运行相同的问题，并且在每次迭代中计算出通过方程(4)给出的误差。其中u*是来自步骤222的最终解，并且u是对于每次迭代的解。计算误差场的范数，例如体加权范数(volumeweighted norm)，并且误差场的该体加权范数能够用于确定在实施例中所使用的常数。例如，在实施例中，使用方程(8)来确定实验常数。对于具有各种类型的网格的各种物理问题可以进一步重复该过程，并且可以确定一个常数，该常数将误差粗略地界定在1个数量级内。
本发明的实施例还可以使用在计算上高效的方法来估计在根据本文所描述的实施例执行仿真时所使用的特征值，例如，在方法110的步骤112b中。稳态或暂态固定环的特征值以某些方式表示所仿真的系统的物理特性。进一步，如在线性求解器中所使用的，估计的特征值可以是线性系统的算子的最小特征值。在实施例中，利用瑞利商来估计特征值。根据该实施例，对于稳态环和暂态固定点迭代环，使用方程(10)来估计特征值：
在方程(10)中，δU是从一次迭代到下一次迭代的解的变化。这是在每个线性求解器环(linear solver loop)结束时获得的。进一步，给定
A不包括任何欠松弛项，并且V-1是以逆单元体积作为对角的对角矩阵。这将按单元体积来对算子[A]中的项进行缩放。根据实施例，对于线性求解器，利用体积调整后的[A]来估计最小特征值，但是最小特征值留在欠松弛参数中。
本发明的实施例可以并入稳态求解器和暂态求解器中，并且进一步这些求解器的内迭代环将真正的收敛度量和求解选项提供给用户。图3示出了执行并入本发明的方法的稳态仿真的方法330。方法330开始于稳态环331且通过在步骤332中继续第i个解而以解的初始猜测起始。利用第i个解，线性求解器环333开始执行线性迭代求解方法。对于线性求解器环333的每次迭代，使用本文所描述的本发明的原理在步骤334中估计误差，并且进而在步骤335中将在步骤334中计算出的误差与用户规定的相对误差阈值进行比较。注意的是，在333在线性求解器环中时，线性计算的误差被确定，即，在334处的误差是δU中的误差。当误差不小于阈值时，线性求解器环继续，返回到步骤333。当误差小于阈值时，在步骤336中已经识别出第i+1个解。然后，在步骤337中估计第i+1个解的误差。然而，这是所估计的稳态环的误差。然后，将计算出的在稳态环中的误差与步骤338中的误差比较，当误差小于阈值时，方法330结束于步骤340。得到δU，能够利用方程un+1＝un+δU来获得un+1。步骤337中的误差可以被视为un+1中的误差。当误差不小于阈值时，方法330在步骤339中继续到下一次迭代。
图4描绘了执行并入本发明的方法的暂态仿真的方法440。方法440开始于暂态环441且在步骤442中开始于时点t。利用时点t，固定点迭代环开始于步骤443且在444包括线性求解器环。线性求解器环在步骤444中执行线性迭代求解方法。对于在444线性求解器环的每次迭代，在步骤445中利用本文所描述的本发明的原理来估计误差，并且进而在步骤446中将在步骤445中计算出的误差与用户规定的相对阈值进行比较。注意的是，在444在线性求解器环中时，线性计算中的误差被确定。当误差不小于阈值时，线性求解器环继续，返回到步骤444。当在444线性求解器环的误差小于阈值时，随后在步骤447中估计固定点迭代环的解。相比于在步骤445中估计的内部线性化系统线性求解器误差，在步骤447中估计的误差是在外部非线性固定点迭代环的误差。换言之，在步骤445中的误差是δU中的误差，而在步骤447中的误差是un+1中的误差。在固定点迭代环内计算出的误差随后在步骤448中与阈值比较。如果该误差不小于阈值，则方法440在步骤443继续，且固定点迭代环继续。当误差小于阈值时，在步骤449中判定时点t是否已达到期望点。当已经达到期望时点时，方法在步骤450中结束。如果尚未达到期望的时点，则时点在步骤451中增量，并且方法440在步骤452中移到下一次迭代。
虽然关于图3和图4的相应的方法330和440均描述了单一阈值，注意的是本发明的实施例不限于此。实施例可以请用户提供内环和外环两者的收敛阈值，这些所提供的阈值随后可相应地使用。进一步，实施例可进一步要求用户规定执行最大数量的迭代。这能够安全避免不收敛到答案的问题。
图5是根据本发明的实施例的可用于提供系统的仿真的基于计算机的系统550的简化的框图。系统550包括总线553。总线553充当了系统550的各个组件之间的互连。与总线553连接的是输入/输出设备接口556，其用于将诸如键盘、鼠标、显示器、扬声器等各输入和输出设备与系统550连接。中央处理器(CPU)552连接到总线553且提供用于计算机指令的执行。存储器555提供了用于实施计算机指令的数据的易失性存储。存储设备554提供了用于诸如操作系统(未示出)的软件指令的非易失性存储。系统550还包括用于与本领域已知的包括广域网(WAN)和局域网(LAN)在内的各种网络连接的网络接口551。
应当理解的是，本文所述的示例性实施例可以多种不同的方式来实现。在一些实例中，本文所述的各种方法和机器可以各自由物理、虚拟或混合通用计算机如计算机系统550或者诸如计算机环境660的计算机网络环境来实现，如下文结合图6所描述的。计算机系统550可以变换成执行本文所描述的方法(例如，110，330和440)的机器，例如通过将软件指令装载到存储器555或非易失性存储设备554中以便由CPU 552执行。本领域普通技术人员应当进一步理解，系统550及其各个组件可以被配置为实施本文所述的本发明的任何实施例。进一步，系统550可以利用在内部或外部与系统550可操作地耦合的硬件、软件和固件模块的任意组合来实现本文所述的各个实施例。
图6示出了计算机网络环境660，其中可以实现本发明的实施例。在计算机网络环境660中，服务器661通过通信网络662与客户端663a-n链接。环境660可用来单独地或者与服务器661相结合地允许客户端663a-n执行本文所述的任意方法(例如，110，330和440)。
其实施例或方面可以通过硬件、固件或软件的形式来实现。如果用软件来实现，则软件可以存储在被配置为使计算机能够装载软件或其指令的子集的任何非暂态计算机可读介质上。处理器随后执行指令且被配置为操作或者使装置以本文所述的方式来操作。
此外，固件、软件、例程或指令可以在本文描述为执行数据处理器的某些动作和/或功能。然而，应当意识到，本文所包含的这些描述仅为了方便并且这些动作事实上源自于计算设备、处理器、控制器或执行固件、软件、例程、指令等的其它设备。
应当理解的是，流程图、框图和网络图可以包括更多或更少的元件，可以不同地布置，或者可以不同地表示。但是，应进一步理解的是，某些实现可以规定图示说明以特定方式实现的实施例的执行的框和网络图以及框和网络图的数量。
相应地，另外的实施例还可以实现在各种计算机体系结构、物理、虚拟、云计算机和/或其某种组合中，并且因此，本文所描述的数据处理器旨在仅为了示例的目的，不是作为实施例的限制。
虽然参考本发明的示例性实施例特别地显示和描述了本发明，本领域技术人员将理解的是，可以在其中进行形式和细节上的各种改变，而不背离如随附权利要求所涵盖的本发明的范围。
Claims (17)
1.一种提供对物理现实世界系统的仿真的计算机实现的方法，所述方法包括：
在计算机存储器内生成方程组，所述方程组包括所述现实世界系统的离散表示；
通过与所述计算机存储器操作地耦合的处理器来仿真所述现实世界系统，所述处理器：
通过对表示所述物理现实世界系统的第二方程组的第一迭代求解来确定收敛解；
通过如下来确定实验确定的常数C以用于在对所述物理现实世界系统的随后仿真中使用：
执行对所述第二方程组的第二迭代求解；
在所述第二迭代求解的每次迭代处，确定所述收敛解与在当前迭代处的迭代解之间的差；
基于在所述第二迭代求解期间确定的所述差来生成误差场；以及
将所述实验确定的常数C计算为所述误差场的范数；
获得所述方程组的解的用户规定容限；以及
迭代地求解所述方程组直至达到收敛，其中，当所述方程组对于给定迭代的解在所述收敛解的用户规定容限内时达到收敛，以使得将所述方程组对于所述给定迭代的解确定为在所述用户规定容限内是基于对下列的使用：所述实验确定的常数C、所述方程组对于所述给定迭代的最小特征值的估计、以及所述方程组对于所述给定迭代的残差；以及
基于所述方程组的所述解来向用户提供对所述物理现实世界系统的仿真。
2.如权利要求1所述的计算机实现的方法，还包括：
确定所述实验确定的常数C作为下列各项的函数：所述误差场、所述第二方程组的残差、以及所述第二方程组的最小特征值的估计。
3.如权利要求1所述的方法，其中，所述实验确定的常数C是与所述现实世界系统的物理特性无关的。
4.如权利要求1所述的方法，其中，所述方程组的残差是残差向量的范数。
5.如权利要求4所述的方法，其中，所述残差向量的范数是体加权范数。
6.如权利要求1所述的方法，还包括：
利用瑞利商来确定所述最小特征值的估计。
7.如权利要求1所述的方法，其中，求解所述方程组求解所述现实世界系统的结构力学、物理、或计算流体动力学问题。
8.一种用于对提供物理现实世界系统的仿真的计算机系统，所述计算机系统包括：
处理器；以及
存储器，其上存储有计算机代码指令，所述处理器和所述存储器利用所述存储器上的所述计算机代码指令被配置成使所述系统：
在所述存储器内生成方程组，所述方程组包括所述现实世界系统的离散表示；
通过使所述处理器进行如下来仿真所述现实世界系统：
通过对表示所述物理现实世界系统的第二方程组的第一迭代求解来确定收敛解；
通过如下来确定实验确定的常数C以用于在对所述物理现实世界系统的随后仿真中使用：
执行对所述第二方程组的第二迭代求解；
在所述第二迭代求解的每次迭代处，确定所述收敛解与在当前迭代处的迭代解之间的差；
基于在所述第二迭代求解期间确定的所述差来生成误差场；以及
将所述实验确定的常数C计算为所述误差场的范数；
获得所述方程组的解的用户规定容限；以及
迭代地求解所述方程组直至达到收敛，其中，当所述方程组对于给定迭代的解在所述收敛解的用户规定容限内时达到收敛，以使得将所述方程组对于所述给定迭代的解确定为在所述用户规定容限内是基于对下列的使用：所述实验确定的常数C、所述方程组对于所述给定迭代的最小特征值的估计、以及所述方程组对于所述给定迭代的残差；以及
基于所述方程组的所述解来向用户提供对所述物理现实世界系统的仿真。
9.如权利要求8所述的计算机系统，其中，所述处理器和所述存储器利用所述计算机代码指令被进一步配置成使所述系统：
确定所述实验确定的常数C作为下列各项的函数：所述误差场、所述第二方程组的残差、以及所述第二方程组的最小特征值的估计。
10.如权利要求8所述的计算机系统，其中，所述实验确定的常数C与所述现实世界系统的物理特性无关。
11.如权利要求8所述的计算机系统，其中，所述方程组的残差是残差向量的范数。
12.如权利要求11所述的计算机系统，其中，所述残差向量的范数是体加权范数。
13.如权利要求8所述的计算机系统，其中，所述处理器和所述存储器利用所述计算机代码指令被进一步配置成使所述系统：
利用瑞利商来确定所述最小特征值的估计。
14.如权利要求8所述的计算机系统，其中，求解所述方程组求解所述现实世界系统的结构力学、物理或计算流体动力学问题。
15.一种计算机可读介质，所述计算机可读介质包括程序指令，所述程序指令当由处理器执行时使所述处理器：
在存储器内生成方程组，所述方程组包括现实世界系统的离散表示；
通过使所述处理器进行如下操作来仿真所述现实世界系统：
通过对表示物理现实世界系统的第二方程组的第一迭代求解来确定收敛解；
通过如下来确定实验确定的常数C以用于在对所述物理现实世界系统的随后仿真中使用：
执行对所述第二方程组的第二迭代求解；
在所述第二迭代求解的每次迭代处，确定所述收敛解与在当前迭代处的迭代解之间的差；
基于在所述第二迭代求解期间确定的所述差来生成误差场；以及
将所述实验确定的常数C计算为所述误差场的范数；
获得所述方程组的解的用户规定容限；以及
迭代地求解所述方程组直至达到收敛，其中，当所述方程组对于给定迭代的解在所述收敛解的用户规定容限内时达到收敛，以使得将所述方程组对于所述给定迭代的解确定为在所述用户规定容限内是基于对下列的使用：所述实验确定的常数C、所述方程组对于所述给定迭代的最小特征值的估计、以及所述方程组对于所述给定迭代的残差；以及
基于所述方程组的所述解来向用户提供对所述物理现实世界系统的仿真。
16.如权利要求15所述的计算机可读介质，其中，所述计算机可读介质包括程序指令，所述程序指令当通过所述处理器执行时进一步使所述处理器：
确定所述实验确定的常数C为下列各项的函数：所述误差场、所述第二方程组的残差以及所述第二方程组的最小特征值的估计。
17.如权利要求15所述的计算机可读介质，其中，所述方程组的残差是残差向量的范数。
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