KR20060123593A - 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을이용한 수치 제어 방법 및 장치 - Google Patents

클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을이용한 수치 제어 방법 및 장치 Download PDF

Info

Publication number
KR20060123593A
KR20060123593A KR1020067017131A KR20067017131A KR20060123593A KR 20060123593 A KR20060123593 A KR 20060123593A KR 1020067017131 A KR1020067017131 A KR 1020067017131A KR 20067017131 A KR20067017131 A KR 20067017131A KR 20060123593 A KR20060123593 A KR 20060123593A
Authority
KR
South Korea
Prior art keywords
curve
dimensional
point
equation
called
Prior art date
Application number
KR1020067017131A
Other languages
English (en)
Other versions
KR101056600B1 (ko
Inventor
후미히꼬 기무라
히로시 마끼노
요시까즈 마쯔오
Original Assignee
티에치케이 가부시끼가이샤
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Priority claimed from JP2004250375A external-priority patent/JP4743580B2/ja
Priority claimed from JP2004250373A external-priority patent/JP4667795B2/ja
Priority claimed from JP2004250374A external-priority patent/JP4667796B2/ja
Priority claimed from JP2004250372A external-priority patent/JP4667794B2/ja
Application filed by 티에치케이 가부시끼가이샤 filed Critical 티에치케이 가부시끼가이샤
Publication of KR20060123593A publication Critical patent/KR20060123593A/ko
Application granted granted Critical
Publication of KR101056600B1 publication Critical patent/KR101056600B1/ko

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B19/00—Programme-control systems
    • G05B19/02—Programme-control systems electric
    • G05B19/18—Numerical control [NC], i.e. automatically operating machines, in particular machine tools, e.g. in a manufacturing environment, so as to execute positioning, movement or co-ordinated operations by means of programme data in numerical form
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B19/00—Programme-control systems
    • G05B19/02—Programme-control systems electric
    • G05B19/18—Numerical control [NC], i.e. automatically operating machines, in particular machine tools, e.g. in a manufacturing environment, so as to execute positioning, movement or co-ordinated operations by means of programme data in numerical form
    • G05B19/41—Numerical control [NC], i.e. automatically operating machines, in particular machine tools, e.g. in a manufacturing environment, so as to execute positioning, movement or co-ordinated operations by means of programme data in numerical form characterised by interpolation, e.g. the computation of intermediate points between programmed end points to define the path to be followed and the rate of travel along that path
    • G05B19/4103—Digital interpolation
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B2219/00—Program-control systems
    • G05B2219/30—Nc systems
    • G05B2219/35—Nc in input of data, input till input file format
    • G05B2219/35146—Enter data, calculate 3-D curve or surface, sculptured surface, okisurf
    • Y—GENERAL TAGGING OF NEW TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS; GENERAL TAGGING OF CROSS-SECTIONAL TECHNOLOGIES SPANNING OVER SEVERAL SECTIONS OF THE IPC; TECHNICAL SUBJECTS COVERED BY FORMER USPC CROSS-REFERENCE ART COLLECTIONS [XRACs] AND DIGESTS
    • Y02—TECHNOLOGIES OR APPLICATIONS FOR MITIGATION OR ADAPTATION AGAINST CLIMATE CHANGE
    • Y02P—CLIMATE CHANGE MITIGATION TECHNOLOGIES IN THE PRODUCTION OR PROCESSING OF GOODS
    • Y02P90/00—Enabling technologies with a potential contribution to greenhouse gas [GHG] emissions mitigation
    • Y02P90/02—Total factory control, e.g. smart factories, flexible manufacturing systems [FMS] or integrated manufacturing systems [IMS]

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Human Computer Interaction (AREA)
  • Manufacturing & Machinery (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Automation & Control Theory (AREA)
  • Computing Systems (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Numerical Control (AREA)
  • Details Of Garments (AREA)

Abstract

A. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차식 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 기계 요소의 운동 궤도를 설계한다. B. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 이 3차원 곡선에 의해 공구의 운동을 제어한다.
피치각, 요각, 클로소이드 곡선, 운동 궤도, 스플라인 보간

Description

클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이 설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법 및 장치{DESIGN METHOD FOR INDUSTRIAL PRODUCT USING CLOTHOID CURVE, INDUSTRIAL PRODUCT DESIGNED BY THE DESIGN METHOD, AND METHOD AND DEVICE FOR NUMERICAL CONTROL USING THE CLOTHOID CURVE}
이하의 명세서에서는,「클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이 설계 방법에 의해 설계된 공업 제품」(이하, 단순히 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법이라 함)에 관한 설명에 A를 부기하고,「클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법 및 장치」(이하, 단순히 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법이라 함)에 관한 설명에 B를 부기한다.
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
본 발명은 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 형상의 설계 방법에 관한 것으로, 특히 질량을 갖는 기계 요소가 운동하는 기구를 포함하는 기계에 있어서, 그 기계 요소의 운동을 원활하게 하는 운동의 궤도를 설계하는 방법에 관한 것이다.
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
또한 본 발명은, 클로소이드 곡선을 이용하여 로봇, 공작 기계, 조립 기계, 검사 기계 등의 작업 기계(로봇 등이라 함)에 있어서의 공구(핸드 등의 파지부나 각종 도구를 포함함)의 운동을 제어하는 수치 제어 방법 및 장치에 관한 것으로, 특히 공구의 3차원적인 운동을 제어하는 수치 제어 방법 및 장치에 관한 것이다.
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
기계의 소형화·고정밀도화에 수반하여, 기계 요소가 고속으로 운동하는 기구가 중요해지고 있다. 역학적으로 무리가 없는 원활한 운동 궤적을 설계하여 진동이나 운동 오차가 적고, 시간의 흐름에 따른 변화나 손상을 억제하여 고속·고정밀도의 운동을 실현하는 것에의 요구는 강하다.
자유로운 운동 궤적의 설계 방법에 대해서는, 종래부터 직선이나 원호 등의 해석적인 곡선을 접속하는 방법이나, 스플라인 곡선 보간(부여된 점열을 스플라인 곡선으로 보간하는 방법)이 이용되고 있다(비특허 문헌 1 참조).
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
용접, 도장, 접착제 도포 등의 수치 제어를 행하는 로봇에 있어서는, 일반적으로 입력 도형은 이산적인 점열 데이터로서 입력된다. 따라서, 연속적인 도형을 생성하기 위해서는 어떠한 방법을 이용하여 점열을 보간할 필요가 있다.
임의로 부여된 점열 사이를 보간하는 방법으로서는, 꺾은선의 코너부를 둥글게 하는 방법이나 B 스플라인 보간, 3차식 스플라인 보간 등이 알려져 있지만, 부여된 각 점을 엄밀하게 지날 수 있는 보간법으로서는 3차식 스플라인 보간이 알려져 있다(비특허 문헌 1 참조).
그러나, 3차식 스플라인 보간은 기하학적 의미를 갖지 않는 독립 변수를 매개 변수로서 표현하고 있으므로, 독립 변수와 곡선의 기하학적 제량과의 관계가 부정이라고 하는 큰 결점을 갖고 있다. 이 3차식 스플라인 보간은, 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계가 복잡하여, 선 속도를 일정하게 유지하는 제어에는 적합하지 않다.
비특허 문헌 1 : 호사카마모루·사다토시오 저, "통합화 CAD/CAM 시스템" 오옴사, 1997
비특허 문헌 2 : 큐시유, 마키노히로시, 스다히로하루, 요코야마야스오, "클로소이드에 의한 자유 곡선 보간법" (일본 로봇 학회지 8권 6호, pp40-47)
비특허 문헌 3 : Li Guiqing, Li Xianmin, Li Hua "3D Discrete Clothoid Splines", (CGl' 01, pp321-324)
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
직선이나 원호 등의 해석적인 곡선을 접속하는 수법에서는, 직선과 원호의 접속점에서 곡률을 연속으로 접속하는 것이 곤란하다. 스플라인 곡선으로 보간하는 수법에 따르면, 곡률 연속으로 접속하는 것은 가능하지만 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계가 복잡하므로, 궤도에 따라 역학적으로 무리가 없는 곡률의 분포를 설계하는 것이 곤란해 양호한 운동 궤적이 얻어지지 않는다.
그래서 본 발명은, 질량을 갖는 기계 요소가 운동하는 기구를 포함하는 기계에 있어서, 그 기계 요소의 운동을 원활하게 하는 운동의 궤도를 설계하는 수법을 제공하는 것을 목적으로 한다. 이 수법은 본 발명자에 의해 초래된 새롭고 또한 참신한 수법이다.
여기서 원활하다 함은, 궤도의 접선, 접촉 평면(법선)이나 곡률 등의 변화가 궤도에 따라 연속이고, 따라서 궤도 상을 운동하는 기계 요소에 작용하는 힘이 연속적으로 변화하는 것을 의미한다.
그런데, 로봇, 공작 기계, 조립 기계, 검사 기계 등에 다용되는 볼 나사의 회귀 경로의 형태는 직선이나 원호로 이어진 것이며, 곡선의 접선이나 곡률이 연속이 아니고, 또한 궤도 설계의 자유도도 부족하였다.
본 발명의 다른 목적은, 볼 나사의 볼 순환 경로의 설계시에 볼의 순환 경로에 있어서의 운동 에너지의 손실을 경감하고, 또한 순환 경로를 부여하는 부품의 손상을 방지하기 위해 순환 경로의 접선이나 곡률이 연속이고, 또한 곡률 변화가 완만한 순환 경로의 설계 방법을 확립하는 데 있다. 볼 나사의 순환 경로의 설계 방법은 기계 요소의 운동을 원활하게 하는 운동의 궤도를 설계하는 방법의 응용예이다.
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
2차원에 있어서는 부여된 각 점을 통과하는 보간 방법으로서, 클로소이드 보간법이 발명자들에 의해 제안되어, 매끄럽게 보간할 수 있는 것이 알려져 있다(비특허 문헌 2 참조). 그래서, 클로소이드 곡선을 3차원으로 확장하여, 자유 점열의 보간에 이용하면, 곡선의 길이의 함수로서 나타내는 클로소이드 곡선의 특징으로부터, 선 속도를 일정하게 유지하거나 선 길이에 따라서 변화시키거나 하는 제어를 용이하게 실현할 수 있다고 생각된다. 또한, 곡선 길이를 매개 변수로 하고 있으 므로, 다른 방법과 달리 선 길이를 뒤부터 구할 필요도 없는 이점도 있고, 클로소이드 보간을 3차원으로 확장하는 것은 수치 제어 등의 분야에 있어서 유익한 것이 기대된다. 지금까지 클로소이드 곡선을 3차원으로 확장한 것으로서는, 리(Li) 등의 "이산 클로소이드 스플라인(3D Discrete Clothoid Splines)"(비특허 문헌 3 참조) 등이 알려져 있지만, 식의 형태에서 클로소이드 곡선을 3차원으로 확장한 것은 알려져 있지 않다. 식의 형태에서의 확장은, 각 값을 용이하게 산출할 수 있는 점에서 우위이다.
그래서 본 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 독립 변수에 대한 곡률 변화 패턴이 단순한 2차원 클로소이드 곡선의 특성을 가능한 한 계속되는 새로운 3차원 클로소이드 곡선의 정의식을 제공하는 것을 목적으로 한다. 또한 본 발명은, 이 3차원 클로소이드 곡선에 의해 점열을 보간하는 것을 목적으로 한다.
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
이하, 청구항 1 내지 10에 기재된 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법의 발명에 대해 설명한다.
청구항 1의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법에 의해 상술한 과제를 해결한다.
청구항 2의 발명은, 청구항 1에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서, 상기 공업 제품은 질량을 갖는 기계 요소가 운동하는 기구를 포함하는 기계이며, 상기 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 상기 기계 요소의 운동의 궤도를 설계하는 것을 특징으로 한다.
청구항 3의 발명은, 청구항 2에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서, 상기 기계는 상기 기계 요소로서 볼이 운동하는 기구를 포함하는 나사 장치이며, 상기 나사 장치는 외주면에 나선 형상의 구름 이동체 구름 주행홈을 갖는 나사축과, 내주면에 상기 구름 이동체 구름 주행홈에 대향하는 부하 구름 이동체 구름 주행홈을 갖는 동시에 상기 부하 구름 이동체 구름 주행홈의 일단부와 타단부를 접속하는 회귀 경로를 갖는 너트와, 상기 나사축의 상기 구름 이동체 구름 주행홈과 상기 너트의 상기 부하 구름 이동체 구름 주행홈의 사이 및 회귀 경로에 배열되는 복수의 구름 이동체를 구비하고, 상기 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 상기 나사 장치의 상기 회귀 경로를 설계하는 것을 특징으로 한다.
청구항 4의 발명은, 청구항 1 내지 3 중 어느 한 항에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서 상기 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 1]
Figure 112006060875219-PCT00001
(1)
Figure 112006060875219-PCT00002
(2)
Figure 112006060875219-PCT00003
(3)
Figure 112006060875219-PCT00004
(4)
여기서,
[수학식 2]
Figure 112006060875219-PCT00005
(5)
는 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다.
시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(2)에 의해 부여된다. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다.
a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
청구항 5의 발명은, 청구항 4에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서 3차원 좌표 내에 복수의 공간점을 지정하고, 이들 공간점을 상기 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 보간함으로써, 상기 공업 제품의 형상을 설계하는 것을 특징으로 한다.
청구항 6의 발명은, 청구항 5에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서 상기 복수의 공간점에 있어서 1개의 3차원 클로소이드 선분(보간에 의해 생성되는 곡선군을 구성하는 단위 곡선)과 다음 3차원 클로소이드 선분(보간에 의해 생성되는 곡선군을 구성하는 단위 곡선)에서 양자의 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률이 연속되도록 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 한다.
청구항 7의 발명은, 청구항 6에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 있어서 상기 복수의 공간점 중 시점 및 종점의 접선 방향, 법선 방향 및 곡률을 지정하고, 미리 지정된 상기 공간점 사이에 새롭게 보간 대상점을 삽입함으로써 상기 시점 및 상기 종점에 있어서의 접선 방향, 법선 방향 및 곡률의 조건식과, 상기 복수의 공간점에 있어서의 1개의 3차원 클로소이드 선분과 다음 3차원 클로소이드 선분으로 양자의 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률을 연속시키는 조건식을 합산한 조건식의 수와, 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)의 미지수를 일치시키고, 조건식과 미지수의 수를 일치시킴으로써 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 한다.
청구항 8의 발명은, 청구항 1 내지 7 중 어느 한 항의 공업 제품의 설계 방법에 의해 설계된 공업 제품이다.
청구항 9의 발명은, 공업 제품의 형상을 설계하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램이다.
청구항 10의 발명은, 공업 제품의 형상을 설계하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체이다.
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
이하, 청구항 11 내지 27에 기재된 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법의 발명에 대해 설명한다.
청구항 11의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편(work)의 윤곽 형상을 표현하고, 이 3차원 곡선에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법에 의해 상술한 과제를 해결한다.
청구항 12의 발명은, 청구항 11에 기재된 수치 제어 방법에 있어서 3차원 클로소이드를 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 3]
Figure 112006060875219-PCT00006
(1)
Figure 112006060875219-PCT00007
(2)
Figure 112006060875219-PCT00008
(3)
Figure 112006060875219-PCT00009
(4)
여기서,
[수학식 4]
Figure 112006060875219-PCT00010
(5)
은 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다.
시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(2)에 의해 부여된다. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다. a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
청구항 13의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 이 3차원 곡선에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 장치이다.
청구항 14의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램이다.
청구항 15의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램 또는 그 프로그램에 의한 계산 결과를 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체이다.
청구항 16의 발명은, 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 세그먼트)을 이용하여 보간하고, 이 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법에 의해 상술한 과제를 해결한다.
청구항 17의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 세그먼트)을 복수개 접속하고, 이 복수개의 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법이다.
청구항 18의 발명은, 청구항 16 또는 17에 기재된 수치 제어 방법에 있어서 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 5]
Figure 112006060875219-PCT00011
(1)
Figure 112006060875219-PCT00012
(2)
Figure 112006060875219-PCT00013
(3)
Figure 112006060875219-PCT00014
(4)
여기서,
[수학식 6]
Figure 112006060875219-PCT00015
(5)
는 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다.
시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
i, j, k는 각각 x축, y축, 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(2)에 의해 부여된다. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다.
a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
청구항 19의 발명은, 청구항 18에 기재된 수치 제어 방법에 있어서 1개의 3차원 클로소이드 세그먼트와 다음 3차원 클로소이드 세그먼트의 이음매에 있어서, 양자의 위치, 접선 방향(및 경우에 따라서는 곡률)이 연속되도록 상기 3차원 클로소이드 세그먼트의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, bO, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 한다. 위치 및 접선 방향은 반드시 연속되고, 곡률은 필요에 따라서 연속되는 경우가 있다.
청구항 20의 발명은, 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세그먼트를 이용하여 보간하고, 이 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 장치이다.
청구항 21의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세그먼트를 이용하여 보간하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램이다.
청구항 22의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세그먼트를 이용하여 보간하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램 또는 그 프로그램에 의한 계산 결과를 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체이다.
청구항 23의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하고, 지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수치 제어 방법에 의해 상술한 과제를 해결한다. 여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말한다.
청구항 24의 발명은, 청구항 23에 기재된 수치 제어 방법에 있어서 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 7]
Figure 112006060875219-PCT00016
(1)
Figure 112006060875219-PCT00017
(2)
Figure 112006060875219-PCT00018
(3)
Figure 112006060875219-PCT00019
(4)
여기서,
[수학식 8]
Figure 112006060875219-PCT00020
(5)
는 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다.
시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(2)에 의해 부여된다. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다. a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
청구항 25의 발명은, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하고, 지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수치 제어 장치이다. 여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말한다.
청구항 26의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단과, 상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하는 수단과, 지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램이다. 여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말한다.
청구항 27의 발명은, 공구의 운동을 수치 제어하기 위해 컴퓨터를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단과, 상기 3차원 곡선에 따라서 이동하는 공구의 운동을 지정하는 수단과, 지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체이다. 여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말한다.
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
청구항 1 내지 10에 기재된 발명에 따르면, 3차원 클로소이드 곡선을 이용함으로써 기계 요소의 운동을 원활하게 하는 운동 궤도를 설계할 수 있다. 궤도를 이와 같이 설계하면, 역학적으로 무리가 없는 운동이 실현되어 운동 오차에 의한 기능 저하나 궤도 손상이 적은 기계를 실현할 수 있다.
특히 나사 장치에 대해, 구름 이동체의 순환 경로의 설계시에 필요해지는 공간 곡선의 범용적인 발생 방법을 제공할 수 있다. 순환 경로의 공간 곡선에 따라 구름 이동체가 가감속을 수반하여 운동하는 경우에, 구속력 변화가 원활한 설계를 가능하게 한다. 이 특징에 의해, 구름 이동체는 완만하고 원활한 운동을 행하므로, 나사 장치의 동력 전달 효율이 향상되어 과대한 마찰력이나 관성력의 발생이 억제된다. 따라서 부품의 손상을 방지하여 신뢰성이 높은 나사 장치를 실현할 수 있다.
또한, 곡률 변화 패턴을 제어할 수 있다고 하는 특징을 살려 산업 분야에 많이 응용할 수 있다. 예를 들어, 심미적인 의장이 요구되는 의장 형상 설계에 있어서, 이 범용적인 곡선 설계법을 유효하게 적용할 수 있다.
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
청구항 11 내지 27에 기재된 발명에 따르면, 곡선의 주 변수가 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수이며, 그 접선 방향의 피치각 및 요각이 각각 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되므로 이것을 1회 미분하여 얻어지는 법선 방향 및 2회 미분하여 얻어지는 곡률이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수에 관하여 연속인 것이 보증된다. 환언하면, 1개의 클로소이드 곡선 중에서는 법선 방향 및 곡률이 연속이다. 따라서, 매끄럽고 성질이 좋은 곡선을 얻을 수 있어, 역학적으로 무리가 없는 속도 변화를 실현하는 수치 제어 방식이 가능해진다.
도1은 xy 좌표 상의 2차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도2는 전형적인 2차원 클로소이드 곡선의 형상을 도시하는 도면.
도3은 3차원 클로소이드 곡선의 피치각(α) 및 요각(β)의 정의를 도시하는 도면.
도4는 전형적인 3차원 클로소이드 곡선의 형상을 도시하는 도면.
도5는 단위 법선 벡터의 변화량을 도시하는 도면.
도6은 동일한 크기, 형상으로 방향이 반대인 2개의 3차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도7은 3차원 클로소이드 곡선의 분할을 도시하는 도면.
도8은 G2 연속된 보간의 조건을 도시하는 도면.
도9는 접촉 평면의 개념을 도시하는 도면.
도10은 클로소이드 보간의 수법의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도11은 G2 연속이 되는 조건을 충족시키는 클로소이드 보간의 수법의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도12는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 도시하는 도면.
도13은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인을 도시하는 도면.
도14는 3D 이산 클로소이드 스플라인을 설명하는 도면.
도15는 보간에 의해 생성된 3차원 클로소이드 곡선의 투시도.
도16은 횡축에 시점으로부터의 이동 거리, 종축에 곡률을 취한 곡률 변화 그래프.
도17은 양단부점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드 보간의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도18은 양단부점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드 보간의 개략도.
도19는 실제로 보간을 행한 결과를 도시하는 도면.
도20은 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계의 그래프.
도21은 중간점에 있어서의 값의 제어를 도시하는 도면.
도22는 시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도23은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인을 도시하는 도면.
도24는 생성된 폴리곤을 도시하는 도면.
도25는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 도시하는 도면.
도26은 생성된 곡선과 폴리곤을 도시하는 도면.
도27은 점을 삽입하는 도면.
도28은 분할된 3차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도29는 생성된 곡선을 도시하는 도면.
도30은 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리(s)와 곡률(κ)의 관계를 나타내는 그래프.
도31은 디플렉터가 너트와 별개의 부재인 디플렉터 타입의 볼 나사를 도시한 도면.
도32는 디플렉터가 너트와 일체인 볼 나사의 너트를 도시한 도면.
도33A는 볼 순환 홈이 보이는 상태의 너트의 사시도.
도33B는 부하 볼 구름 주행홈이 보이는 상태의 너트의 사시도.
도34는 너트를 나사축에 조합한 상태를 도시하는 도면.
도35는 종래의 볼 나사의 순환 경로를 도시하는 전개도.
도36은 종래의 볼 나사의 순환 경로의 곡률을 나타내는 그래프.
도37은 볼 중심의 궤도를 도시하는 도면.
도38은 좌표계를 도시하는 도면.
도39는 z축 상으로부터 본 좌표계를 도시하는 도면.
도40은 나사 홈을 이동하는 볼의 중심의 궤적이 그리는 곡선을 도시하는 도 면.
도41은 y축 상으로부터 본 곡선(C0과 C1)을 도시하는 도면.
도42는 z축 상으로부터 본 점(Ps) 근방의 곡선(C0과 C1)을 도시하는 도면.
도43은 점(P2)을 삽입한 도면.
도44는 생성된 회귀 경로와 곡선(C0)을 도시하는 도면.
도45는 점(Pe)으로부터 이동 거리와 곡률의 관계를 도시하는 도면.
도46은 x, y 좌표 상의 2차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도47은 2차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도48은 3차원 클로소이드 곡선의 α, β의 정의를 도시하는 도면.
도49는 전형적인 3차원 클로소이드 곡선의 형상을 도시하는 도면.
도50은 G2 연속된 보간의 조건을 도시하는 도면.
도51은 접촉 평면의 개념을 도시하는 도면.
도52는 클로소이드 보간의 수법의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도53은 G2 연속이 되는 조건을 충족시키는 클로소이드 보간의 수법의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도54는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 도시하는 도면.
도55는 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인을 도시하는 도면.
도56은 3D 이산 클로소이드 스플라인을 설명하는 도면.
도57은 보간에 의해 생성된 3차원 클로소이드 곡선의 투시도.
도58은 횡축에 시점으로부터의 이동 거리, 종축에 곡률을 취한 곡률 변화 그래프.
도59는 양단부점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드 보간의 흐름의 개요를 도시하는 도면.
도60은 양단부점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드 보간의 개략도.
도61은 실제로 보간을 행한 결과를 도시하는 도면.
도62는 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계의 그래프.
도63은 중간점에 있어서의 값의 제어를 도시하는 도면.
도64는 시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법의 흐름의 개요를 도시한 도면.
도65는 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인을 도시하는 도면.
도66은 생성된 폴리곤을 도시하는 도면.
도67은 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 도시하는 도면.
도68은 생성된 곡선과 폴리곤을 도시하는 도면.
도69는 점을 삽입한 도면.
도70은 분할된 3차원 클로소이드 곡선을 도시하는 도면.
도71은 생성된 곡선을 도시하는 도면.
도72는 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리(s)와 곡률(κ)의 관계를 나타내는 그래프.
도73은 수치 제어 방법을 도시하는 공정도.
도74는 종래의 스플라인 곡선을 도시하는 비교도.
A. 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법
이하, 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법의 발명의 실시 형태에 대해, 1. 3차원 클로소이드 곡선의 정의와 특징, 2. 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법, 3. 3차원 클로소이드 보간을 이용하여 나사 장치로서의 볼 나사의 회귀 경로를 설계하는 방법, 4. 3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방법으로 나누어 차례로 설명한다.
1. 3차원 클로소이드 곡선의 정의와 특징
(1-1) 3차원 클로소이드의 기본식
클로소이드 곡선(Clothoid curve)은 별명 콜뉴의 나선(Cornu's spiral)이라고도 불리워지고, 곡선의 길이에 비례하여 곡률이 변화되는 곡선이다.
발명자가 이미 제안하고 있는 2차원의 클로소이드 곡선은 평면 곡선(2차원 곡선)의 일종이며, 도1에 도시된 xy 좌표 상에 있어서 다음 식으로 표시된다.
[수학식 9]
Figure 112006060875219-PCT00021
(1-1)
Figure 112006060875219-PCT00022
(1-2)
여기서,
[수학식 10]
Figure 112006060875219-PCT00023
(1-3)
은, 곡선 상의 점을 나타내는 위치 벡터,
[수학식 11]
Figure 112006060875219-PCT00024
(1-4)
은, 그 초기치(시점의 위치 벡터)이다.
[수학식 12]
Figure 112006060875219-PCT00025
(1-5)
은, 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터(길이가 1인 벡터)이고, 그 방향(Φ)은 원선(x축 방향)으로부터 반시계 방향으로 측정된다. 이 단위 벡터에 미소 길이(ds)를 곱하여 적분하면 곡선 상의 점(P)이 구해진다.
곡선에 따라 측정한 곡선의 시점으로부터의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
클로소이드 곡선의 특징은, 식(1-2)에서 나타낸 바와 같이 접선 방향각(φ) 이 곡선 길이(s) 또는 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 표시되는 것에 있다. c0, c1, c2 또는 φ0, φv, φu는 2차식의 계수이고, 이들 및 곡선의 전체 길이(h)를 클로소이드의 매개 변수라 한다. 도2는 일반적인 클로소이드 곡선의 형상을 도시한다.
이상의 관계를 3차원으로 확장하여, 3차원 클로소이드 곡선의 식을 만든다. 종래 3차원 클로소이드 곡선을 부여하는 식은 알려져 있지 않았지만, 발명자들은 비로소 이것을 도출하였다.
3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 13]
Figure 112006060875219-PCT00026
(1-6)
Figure 112006060875219-PCT00027
(1-7)
Figure 112006060875219-PCT00028
(1-8)
Figure 112006060875219-PCT00029
(1-9)
여기서,
[수학식 14]
Figure 112006060875219-PCT00030
(1-10)
은 각각, 3차원 클로소이드 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다. i, j, k는 각각 x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(1-7)에 의해 부여된다. 식(1-7)에 있어서, Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이고, 도3에 도시된 바와 같이 각각 k축(z축) 주위의 각도(β)의 회전 및 j축(y축) 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(1-7)은 i축(x축) 방향의 단위 벡터를, 우선 j축(y축) 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축(z축) 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다.
즉, 2차원의 경우는 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터(ej φ)는, x축으로부터의 기울기 각도(φ)로부터 얻어진다. 3차원의 경우는, 곡선의 접선 벡터(u)는, 피치각(α) 및 요각(β)으로부터 얻을 수 있다. 피치각(α)이 0이면 xy 평면에서 권취된 2차원 클로소이드 곡선이 얻어지고, 요각(β)이 0이면 xz 평면에서 권취된 클로소이드 곡선이 얻어진다. 접선 방향 벡터(u)에 미소 길이(ds)를 곱하여 적분하면 3차원 클로소이드 곡선이 얻어진다.
3차원 클로소이드 곡선에 있어서는, 접선 벡터의 피치각(α) 및 요각(β)은 각각 식(1-8) 및 식(1-9)에 나타낸 바와 같이 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 부여된다. 이에 의해, 접선 방향의 변화를 자유롭게 선택하면서, 또한 그 변화에 연속성을 갖게 하는 것이 가능해진다.
이상의 식에 의해 나타낸 바와 같이, 3차원 클로소이드 곡선은「접선 방향의 피치각 및 요각이 각각 곡선 길이 변수의 2차식으로 표시되는 곡선이다」라 정의된다.
P0으로부터 1개의 3차원 클로소이드 곡선은,
[수학식 15]
Figure 112006060875219-PCT00031
(1-11)
의 7개의 매개 변수에 의해 결정된다. a0 내지 b2의 6개의 변수는 각도의 단위를 갖고, 클로소이드 곡선의 형상을 나타내고 있다. 이에 대해 h는 길이의 단위를 갖고, 클로소이드 곡선의 크기를 나타내고 있다. 3차원 클로소이드 곡선의 전형적인 예로서는, 도4에 도시된 바와 같은 나선 형상의 곡선이 있다.
(1-2) 3차원 클로소이드 곡선상의 프레네 표구와 곡률
임의의 3차원 곡선이 있을 때, t를 매개 변수로서 R(t)로 나타내는 것으로 한다. 특히, 시점으로부터의 이동 거리(s)를 매개 변수로 하였을 때에는 R(s)로 나타내는 것으로 한다.
ds만큼 차가 있는 곡선상의 2점의 상대 위치 벡터[dR(s)]의 절대치를 선소(ds)라 생각하면, ds와 dt의 사이에는 다음 (2-1)식의 관계가 있다. 매개 변수(t)에 의한 R의 미분을 간단하게 하기 위해 도트를 문자 위에 붙여 나타내고 있다.
[수학식 16]
Figure 112006060875219-PCT00032
(2-1)
단위 접선 벡터[u(t)]는 곡선의 선소 벡터[dR(t)]를 기준화한 것이므로 (2-1)식을 참조하면, (2-2)식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 17]
Figure 112006060875219-PCT00033
(2-2)
다음에, 단위 접선 벡터의 변화량(du)에 대해 고려한다. 도5는 단위 법선 벡터의 변화량을 도시한다. 직선의 경우는 접선 방향은 바뀌지 않으므로 du(t)={0, 0, 0}이지만, 곡선에서는 그렇지 않으며 거리(ds)만큼 떨어진 위치에 있어서의 단위 접선 벡터의 변화량(du)은 접선 벡터(u)와 직교한다. 이것은 u·u=1의 관계를 미분하면 직교 관계 u·du=0이 얻어지는 것으로부터도 명백하다. 이 단위 접선 벡터의 변화량(du)을 기준화한 것이 단위 주 법선 벡터[n(t)]이다. 즉, 단위 주 법선 벡터(n)는 (2-3)식으로 표시된다.
[수학식 18]
Figure 112006060875219-PCT00034
(2-3)
법선 방향은 사람이 접선 방향을 향했을 때의 좌측 방향을 플러스로 한다.
보다 정확한 표현 방법은, 벡터(du)와 단위 접선 벡터[u(t)]로 만드는 평면 내에서 단위 접선 벡터[u(t)]로부터 반시계 방향으로 90도 회전한 방향을 단위 주 법선 벡터[n(t)]의 플러스 방향이라 정의한다.
또한, 종법선 벡터[b(t)]는 단위 접선 벡터[u(t)]와 단위 주 법선 벡터[n(t)]의 양방에 직교하는 벡터이며, (2-4)식으로 정의된다.
[수학식 19]
Figure 112006060875219-PCT00035
(2-4)
정의된 단위 접선 벡터[u(t)], 단위 주 법선 벡터[n(t)], 종법선 벡터[b(t)]를 3개의 벡터의 세트{u(t), n(t), b(t)}로 한 것을 곡선의 위치[R(t)]에 있어서의 프레네 표구(Frenet Frame)라 한다.
계속해서, 곡선의 선소에 따라 단위 법선 벡터의 구부러지는 비율인 곡률(κ)에 대해 서술한다. 3차원에 있어서의 곡률은, (2-5)식으로 정의된다.
[수학식 20]
Figure 112006060875219-PCT00036
(2-5)
이상에서 정의되는 3차원 곡선에 있어서의 기본적인 양에 대해, 3차원 클로소이드 곡선에 있어서 곡선 길이 변수(S)를 매개 변수로서 이용한 표현으로 나타낸다.
임의의 3차원 클로소이드 곡선[P(S)]을 고려하였을 때 단위 접선 벡터[u(S)]는 (2-2)식으로부터 (2-6)식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 21]
Figure 112006060875219-PCT00037
(2-6)
또한, 단위 접선 벡터[u(S)]는 3차원 클로소이드 곡선의 정의식(1-7), (1-8), (1-9)를 고려하면 다음 (2-7)식의 형태로 나타낼 수도 있다. 본 명세서에서는, 이 표현을 주로 이용한다.
[수학식 22]
Figure 112006060875219-PCT00038
(2-7)
3차원 클로소이드 곡선의 접선 벡터[u(S)]의 곡선 길이 변수(S)에서의 1계 미분한 것은 (2-8)식으로, 그 크기는 (2-9)식으로 나타낸다.
[수학식 23]
Figure 112006060875219-PCT00039
(2-8)
Figure 112006060875219-PCT00040
(2-9)
다음에, 단위 주 법선 벡터[n(S)]에 대해 고려한다. 3차원 곡선의 법선 벡터는 (2-3)식으로 표시되므로, 3차원 클로소이드 곡선의 법선 벡터는 (2-10)식으로 표시되게 된다.
[수학식 24]
Figure 112006060875219-PCT00041
(2-10)
종법선 벡터[b(S)]에 대해서는, (2-4)식에 의해 (2-7)식의 단위 접선 벡터[u(S)]와 (2-10)식의 단위 주 법선 벡터[n(S)]로부터 구하는 것으로 하였다.
[수학식 25]
Figure 112006060875219-PCT00042
(2-11)
마지막으로, 곡률에 대해 (2-5)식을 변형하면 (2-12)식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 26]
Figure 112006060875219-PCT00043
(2-12)
이상으로부터, 3차원 클로소이드 곡선상의 각 점에 있어서의 프레네 표구와 곡률(κ)을 곡선 길이 변수(S)로부터 구할 수 있다.
(1-3) 방향이 반대인 3차원 클로소이드 곡선의 생성
도6과 같은 어떤 3차원 클로소이드 곡선과 동일한 크기, 형상이며 방향이 반대인 3차원 클로소이드 곡선을 생성하는 것에 대해 고려한다.
시점(Ps)과 종점(Pe)을 갖고, 3차원 클로소이드 곡선의 클로소이드 매개 변 수가 h, a0, a1, a2, b0, b1, b2의 7개의 값으로 정해지는 3차원 클로소이드 곡선(C1)이 있는 것으로 한다. 그 때, 접선 회전각(α1, β1)은 하기의 (2-13), (2-14)식으로 나타낸다.
[수학식 27]
Figure 112006060875219-PCT00044
(2-13)
Figure 112006060875219-PCT00045
(2-14)
이 3차원 클로소이드 곡선과 동일한 크기, 형상이며 방향이 반대인 3차원 클로소이드 곡선(C2)에 있어서는, 시점을 P's로, P'e를 종점으로 하면, 각각 P's=Pe, P'e=Ps가 된다. 우선 곡선 길이(h)에 대해 고려하면, 동일한 크기인 것을 고려하면 곡선 길이는 곡선(C1, C2)에 있어서 동등하다. 다음에, 3차원 클로소이드 곡선(C2)에 있어서의 접선(t)은 항상 동일한 좌표의 3차원 클로소이드 곡선(C1)에 있어서의 접선(t)과 역방향이 되는 것을 고려하면, 곡선(C1)의 접선 회전각(α1, β1)과 곡선(C2)의 접선 방향 회전각(α2, β2) 사이에는 하기의 관계가 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 28]
Figure 112006060875219-PCT00046
(2-15)
Figure 112006060875219-PCT00047
(2-16)
이들 식은 정리하면, 하기의 (2-17), (2-18)식으로 표시된다.
[수학식 29]
Figure 112006060875219-PCT00048
(2-17)
Figure 112006060875219-PCT00049
(2-18)
이에 의해 남는 매개 변수가 정해지므로, 곡선(C2)의 클로소이드 매개 변수(h', a'0, a'1, a'2, b'0, b'1, b'2)는 곡선(C1)의 매개 변수를 이용하여 (2-19)식으로 나타낼 수 있게 된다.
[수학식 30]
Figure 112006060875219-PCT00050
(2-19)
이 관계식을 이용하면, 동일한 크기, 형상이며 방향이 반대인 3차원 클로소이드 곡선을 생성할 수 있다.
(1-4) 3차원 클로소이드 곡선의 분할
시점(P1)과 종점(P2)을 갖고, 3차원 클로소이드 곡선의 클로소이드 매개 변수가 h, a0, a1, a2, b0, b1, b2의 7개의 값으로 정해지는 3차원 클로소이드 곡선(C0) 이 있다고 하자. 이 때 도7과 같이, 점(P1, P2)을 연결하는 3차원 클로소이드 곡선(C0)을 도중의 곡선 길이 변수가 S=Sd인 점(Pm)에서 분할하고, 곡선(C1과 C2)에서 분할하는 방법에 대해 고려해 간다.
분할된 곡선 중, 점(P1)을 시점으로 하는 곡선(C1)에 대해 고려한다. 곡선 길이(h)에 대해 고려하면, 3차원 클로소이드 곡선의 정의로부터 곡선(C1)의 곡선 길이(h1)는 곡선(C0)의 곡선 길이(h0)의 Sd배와 동등한 것을 알 수 있다. 또한, 동등한 곡선(C1) 상의 점을 의미할 때의 곡선(C0)의 곡선 길이 변수를 S0, 곡선(C1)의 곡선 길이 변수를 S1이라 하면, 이들 사이에는 하기의 관계가 성립한다.
[수학식 31]
Figure 112006060875219-PCT00051
(2-20)
즉, 곡선(C0)의 접선 회전각(α0, β0)과 곡선(C1)의 접선 회전각(α1, β1) 사이에는 하기의 관계가 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 32]
Figure 112006060875219-PCT00052
(2-21)
이들 식은 정리하면, 하기의 (2-22)식으로 표시된다.
[수학식 33]
Figure 112006060875219-PCT00053
(2-22)
이에 의해 접선 방향이 정해지므로, 곡선(C1)의 클로소이드 매개 변수(h', a'0, a'1, a'2, b'0, b'1, b'2)는 곡선(C0)의 매개 변수를 이용하여 (2-23)식으로 나타낼 수 있게 된다.
[수학식 34]
Figure 112006060875219-PCT00054
(2-23)
다음에 분할점(Pm)을 시점으로 하는 곡선(C2)에 대해 고려한다. 곡선(C2)에 대해서는, 1-3에서 서술한 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 생성하는 방법과 곡선(C1)의 생성에 이용한 방법을 조합함으로써 생성할 수 있다.
우선, 곡선(C0)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 곡선(C'0)이라 한다. 이 곡선상에 있어서 분할점(Pm)은, Pm=C'0(1-Sd)로 표시된다. 여기서 곡선(C'0)을 점(Pm)에서 분할하는 것을 고려하면, 그 분할된 곡선 중 점(P2)을 시점으로 하는 곡선(C'2)은 곡선(C2)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선으로 되 어 있다. 1-3에서 서술한 방법과 곡선(C1)에 이용한 방법에 의해 곡선(C'2)은 생성할 수 있으므로, 여기서 또한 곡선(C'2)에 대해 1-3에서 서술한 방법을 이용하면 곡선(C2)은 생성할 수 있다.
이 곡선(C2)의 클로소이드 매개 변수(h", a"0, a"1, a"2. b"0, b"1, b"2)는 곡선(C0)의 매개 변수를 이용하여 하기의 (2-24)식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 35]
Figure 112006060875219-PCT00055
(2-24)
이상으로부터, 3차원 클로소이드 곡선(C0)상의 곡선 길이 변수가 S=Sd인 점(Pm)에서 곡선을 곡선(C1과 C0)으로 분할할 수 있다.
(1-5) 3차원 클로소이드 곡선의 특징
(a) 곡선의 연속성
1개의 클로소이드 곡선(동일한 매개 변수로 표시되는 클로소이드 곡선)에 있어서는, 그 접선 방향의 피치각 및 요각이 각각 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 부여되므로, 이것을 1회 미분하여 얻어지는 법선 방향 및 2회 미분하여 얻어지는 곡 률이 곡선 길이 변수(S)에 관하여 연속인 것이 보증된다. 환언하면, 1개의 클로소이드 곡선 중에서는 법선 방향 및 곡률이 연속이다. 따라서, 매끄럽고 성질이 좋은 곡선이 얻어진다. 또한, 2개의 클로소이드 곡선을 연결하는 경우에도 그 이음매에 있어서 접선, 법선, 곡률이 연속이 되도록 매개 변수를 선택함으로써 매끄럽게 이어진 곡선을 만들 수 있다. 이것을 클로소이드 곡선군이라 한다.
(b) 적용성
곡선의 접선 방향을 2개의 각도(피치각 및 요각)로 돌릴 수 있으므로, 다양한 조건에 맞춘 3차원 곡선을 임의로 만들 수 있고, 다양한 용도로 이용할 수 있어 공업 제품의 설계에 필요해지는 공간 곡선의 범용적인 발생 방법을 제공할 수 있다. 공간 곡선에 따라 물체가 가감속을 수반하여 운동하는 경우에, 구속력 변화가 원활한 설계를 가능하게 한다. 또한 곡선 길이에 대해 곡률의 변화를 적절하게 설계할 수 있음으로써, 심미적인 의장 곡선 설계 등 다양한 산업 분야에 유효하게 적용된다.
(c) 기하 곡선과의 정합성
직선·원호·나사 곡선 등의 기하 곡선은 클로소이드 매개 변수 중 몇 개를 0으로 하거나, 혹은 몇 개의 매개 변수 사이에 특정의 함수 관계를 부여함으로써 만들 수 있다. 이들 곡선은 클로소이드 곡선의 일종이며, 클로소이드의 포맷을 이용하여 표현할 수 있다.
또한, α 또는 β 중 어느 하나를 항상 0으로 둠으로써 2차원 클로소이드를 만들 수 있으므로, 지금까지 2차원 클로소이드에 대해 이미 얻어져 있는 자원을 활 용할 수 있다.
즉, 이미 알려져 있는 2차원 클로소이드를 포함하여 원호나 직선 등의 개별 곡선도 α나 β를 적절하게 설정함으로써 표현할 수 있다. 이러한 개별 곡선에 대해 동일한 형식의 3차원 클로소이드 곡선식을 이용할 수 있으므로, 계산 순서를 단순화할 수 있다.
(d) 전망의 장점
스플라인 보간 등의 종래의 보간법에서는, 자유 곡선을 수식화하였을 때에 그 전체의 형태, 혹은 국부적인 형태를 알기 어려운 경우가 많았지만, 3차원 클로소이드에 있어서는 피치각 및 요각의 각각을 상정함으로써 비교적 용이하게 전체상을 파악할 수 있다.
또한, 클로소이드 곡선으로서 표현한 선 길이 ·접선 방향·곡률 등의 값은 기지(旣知)로 되어 있어, 종래의 보간법과 같이 다시 계산할 필요가 없다. 즉, 곡선의 매개 변수(S)에 대응하여 (1-7), (2-10) 및 (2-12)식에 나타낸 바와 같이 곡선의 접선이나, 법선, 곡률을 직접적으로 구할 수 있다.
(e) 운동 제어의 용이성
곡선의 주 변수가 길이(s) 또는 정규화된 길이(S)이며, 곡선의 방정식은 이 길이에 대한 자연 방정식으로 부여되어 있다. 이로 인해, 길이(s)를 시간(t)의 함수로서 정함으로써, 가감속 등의 운동 특성을 임의로 부여할 수 있어, 종래 캠 등에 이용되어 온 특성이 좋은 운동 곡선을 채용함으로써 가공 작업의 고속화를 도모할 수 있다. 길이(s)는 실재의 데카르트 공간에 있어서의 값으로서 부여되고, 속 도·가속도는 접선 방향에 대해 구해지므로 종래의 보간법과 같이 각 축마다 부여된 값을 합성할 필요가 없다. 또한, 곡률의 계산이 용이하므로 운동시의 원심 가속도도 용이하게 구할 수 있어 운동 궤적에 따른 제어를 행할 수 있다.
2. 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법
(2-1) 원활한 접속의 수학적 조건
1개의 3차원 클로소이드 곡선에서는, 곡선의 형상 표현에 한계가 있다. 여기서는, 수치 제어에 의한 공구의 운동 제어를 주 목적으로 하여, 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 선분)을 복수개 접속하고, 이 복수개의 3차원 클로소이드 곡선에 의해 공업 제품의 형상을 설계한다. 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법을 이후, 3차원 클로소이드 보간이라 한다. 이후, 보간에 의해 생성되는 곡선군 전체를 3차원 클로소이드 곡선이라 하고, 그것을 구성하는 단위 곡선을 3차원 클로소이드 선분이라 한다.
2개의 3차원 클로소이드 선분이 그 단부점에서 매끄럽게 접속되어 있는 것은, 단부점 위치, 접선 및 곡률이 연속으로 접속되어 있는 것이라고 정의된다. 상술한 정의식을 이용하여, 이 조건은 이하와 같이 서술된다. 최초의 3식은 위치의 연속성, 다음 2식은 접선의 연속성, 다음 1식은 법선의 일치, 마지막 식은 곡률의 연속성을 나타내고 있다.
[수학식 36]
Figure 112006060875219-PCT00056
(3-1)
이것은 접속점에서 접선 벡터와 법선 벡터, 곡률과 α, β 연속이기 위한 충분 조건이며, 조건이 지나치게 심할 경우가 있다. 그래서 순수하게 조건을 충족시키도록 하기와 같이 조건을 바꿀 수도 있다.
[수학식 37]
Figure 112006060875219-PCT00057
(3-2)
여기서 또한,
[수학식 38]
Figure 112006060875219-PCT00058
인 것을 고려하여 넣으면,
[수학식 39]
Figure 112006060875219-PCT00059
은, 하기의 조건으로 치환할 수 있다.
[수학식 40]
Figure 112006060875219-PCT00060
결국 하기의 조건을 충족시키면 목적을 달성할 수 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 41]
Figure 112006060875219-PCT00061
(3-3)
(3-3)식에 있어서, 최초의 3식은 위치의 연속성, 다음 2식은 접선 방향의 연속성, 다음 1식은 법선 방향의 일치, 마지막 식은 곡률의 연속성을 나타내고 있다.
G2 연속된 보간을 행하기 위해서는, 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 (3-3)식의 7개의 조건식을 충족시킬 필요가 있다.
G2 연속(G는 Geometry의 이니셜)에 대해 보충한다. 도8은 G2 연속된 보간의 조건을 도시한다.
G0 연속이라 함은 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 위치가 일치하는 것을 말하고, G1 연속이라 함은 접선 방향이 일치하는 것을 말하고, G2 연속 이라 함은 접촉 평면(법선) 및 곡률이 일치하는 것을 말한다. 이하의 표1에 스플라인 곡선에서 이용되는 C0 내지 C2 연속과 본 발명의 클로소이드 곡선에서 이용되는 G0 내지 G2 연속을 대비한다.
[표1]
Figure 112006060875219-PCT00062
2개의 3차원 클로소이드 곡선의 연속성을 고려하였을 때에, C0→C1→C2, G0→G1→G2가 됨에 따라서 보간 조건이 엄격해진다. C1 연속에서는 접선의 크기도 방향도 일치할 필요가 있지만, G1 연속에서는 접선 방향만이 일치하면 된다. 2개의 3차원 클로소이드 곡선에서 접선을 매끄럽게 접속하는 경우는, G1 연속으로 조건식을 작성하는 것이 좋다. 스플라인 곡선과 같이 C1 연속으로 조건식을 작성하면, 기하학적으로는 관계가 없는 접선의 크기가 일치한다고 하는 조건이 들어가므로 조건이 지나차게 엄격해진다. G1 연속으로 조건식을 작성하면, 1차 미분 계수의 크기를 자유롭게 취할 수 있다고 하는 이점이 있다.
G2 연속에서는 접촉 평면(법선)을 일치시킨다. 접촉 평면이라 함은 도9에 도시된 바와 같이 곡선(C)이 국소적으로 포함되는 평면(S1, S2)을 말한다. 이 도9에서는 점(P)에 있어서 접선 방향이 연속이지만 접촉 평면(S1, S2)이 불연속인 예를 도시하고 있다. 3차원 곡선의 연속성을 고려하였을 때에, 접선 방향의 일치 다음으로 고려해야 하는 것은 접촉 평면의 일치이다. 곡률을 의논할 때에는 접촉 평면이 일치되어 있지 않으면 의미가 없고, 접촉 평면을 일치시킨 후에 곡률을 일치시킬 필요가 있다. 2개의 3차원 곡선에서 좌표, 접선 방향, 접촉 평면(법선 방향) 및 곡률을 일치시키는 것이 G2 연속을 충족시키는 조건이 된다.
(2-2) 구체적인 계산 순서
다음 2종류의 계산 순서가 있다.
(a) 곡선의 매개 변수(h, α, β)를 부여하여 1개의 3차원 클로소이드 곡선을 발생시키고, 그 단부점에서 (3-3)식을 충족시키도록 다음 3차원 클로소이드 곡선의 매개 변수를 정한다. 이와 같이 하여, 차례차례 매끄럽게 접속하는 3차원 클로소이드 곡선을 발생시킬 수 있다. 이 계산 순서에 따르면, 곡선 매개 변수의 산출은 용이하며 이것을 순해(順解)라 한다. 이 방식에 따르면, 다양한 형상의 곡선을 용이하게 발생시킬 수 있지만, 곡선이 통과하는 접속점을 명시적으로 지정할 수는 없다.
(b) 미리 지정된 점군이 곡선의 접속점이 되도록 3차원 클로소이드 곡선을 접속할 수 있다. 여기서는, 이산적으로 임의로 부여된 점열의 각 구간마다 짧은 클로소이드 곡선(클로소이드 세그먼트)을 작성한다. 이 경우에는, (3-3)식을 충족시키도록 곡선 매개 변수를 결정하는 계산 순서는 (a)보다 복잡하며, 반복 수렴 계산이 된다. 이 계산 순서를 접속 조건으로부터 반대로 곡선 매개 변수를 결정하므로 역해(逆解)라 한다.
상기 (b)의 역해에 대해 계산 수법을 상세하게 서술한다. 풀어야 할 계산 문제는 다음과 같이 정식화된다.
미지 매개 변수 : 곡선 매개 변수
구속 조건 : (3-3)식, 혹은 그 일부
요구되는 문제에 따라서, 구속 조건의 수는 변화되고, 그에 알맞은 수의 곡선 매개 변수를 미지 매개 변수로서 설정하면 좋다. 예를 들어, 곡률의 연속성이 요구되지 않을 경우에는, 일부의 곡선 매개 변수를 자유롭게 움직일 수 있다. 혹은, 곡률 연속으로 또한 접선 방향이 지정되어 있는 경우에는, 보간에 이용하는 3차원 클로소이드 곡선의 수를 분할에 의해 증가시켜 대응하는 미지 곡선 매개 변수를 증가시킬 필요가 있다.
상기한 반복 수렴 계산을 안정적으로 수렴시키기 위해서는, 계산상의 고안이 필요하다. 계산의 발산을 피하고, 수렴을 빠르게 하기 위해 미지 매개 변수에 대해 보다 좋은 초기치를 설정하는 것은 유효하다. 그로 인해, 부여된 접속점 등의 구속 조건을 충족시키는 보다 단순한 보간 곡선, 예를 들어 선형 스플라인 곡선 등을 발생시키고, 그 곡선 형상으로부터 3차원 클로소이드 곡선의 곡선 매개 변수를 추산하여 반복 수렴 계산의 초기치로 하는 것은 유효하다.
혹은, 충족시켜야 할 구속 조건을 한번에 충족시키는 것은 아니며, 차례로 조건식을 증가시켜 가는 방식도 안정적으로 해를 얻는 수법으로서 유효하다. 예를 들어, 곡선 발생의 순서를 다음과 같은 3개의 STEP으로 나누어 차례로 실행한다. 제1 STEP으로서 위치 정보와 접선 방향이 일치하도록 보간한 후에, 제2 STEP으로서 법선 방향을 일치하도록 보간을 행하고, 제3 STEP에서 곡률도 일치하도록 보간한다. 이 수법의 흐름의 개요를 도10에 나타낸다. 필요한 3차원 클로소이드 곡선식 및 그 접선, 법선이나 곡률의 정의식은 이미 나타냈다.
(2-3) 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법의 실시예
(a) 보간법의 흐름
3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 부여된 점열 사이를 매끄럽게 보간해 가는 수법 중 일실시예에 대해 상세하게 서술한다.
3차원 클로소이드 보간의 기본 흐름으로서는, 보간 대상의 점 사이를 연결하는 3차원 클로소이드 세그먼트의 각 매개 변수를 미지수로 하고, 엄밀하게 보간 대상의 점을 통과하고 또한 G2 연속이 되는 조건을 충족시키는 해를 뉴턴-랩슨법으로 구하여 곡선을 생성한다. 이 흐름의 개요를 정리한 것이 도11이다. G2 연속이라 함은, 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률이 일치하는 것을 말한다.
(b) G2 연속된 보간의 조건
3차원 클로소이드 보간에 있어서, 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건에 대해 구체적인 조건을 고려한다.
간단히 3개의 점(P1)={PX1, Py1, PZ1}, P2={PX2, Py2, Pz2}, P3={Px3, Py3, Pz3}이 있고, 그 점을 3차원 클로소이드 선분으로 보간하는 것을 고려한다. 도12는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 도시한다. 점(P1, P2) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C1), 점(P2, P3) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C2)이라 하면, 이 경우 미지수는 곡선(C1)의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h1), 곡선(C2)의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h2)의 14개가 된다. 또한, 이후 설명에서 나오는 문자의 하첨자는 각 곡선의 하첨자에 대응하고 있다.
여기서, 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건을 고려한다. 우선, 시점에 있어서는 엄밀하게 보간 대상의 점을 지난다고 하는 조건은 3차원 클로소이드 곡선의 정의로부터 고려하면, 시점을 부여한 시점에서 필연적으로 달성되므로 보간 조건은 없다. 다음에 접속점(P1)에서는 위치에 대해 3개, 접선 벡터에 대해 2개, 곡률 연속의 조건의 식이 크기와 방향에 대해 2개의 합계 7개 성립한다. 또한, 종점에 대해서는 점(P2)에서는 위치에 대해 3개이다. 이상으로부터 조건식은 합계 10개이다. 그러나, 이것으로는 미지수 14개에 대해 조건식이 10개밖에 존재하지 않으므로 미지수의 해를 구할 수 없다. 그래서, 본 연구에 있어서는 양단부점의 접선 벡터를 부여하고, 양단부점에 대해 2개씩의 조건을 증가시켜 조건식과 미지수의 수를 동등하게 하였다. 또한, 시점에 있어서의 접선 방향을 결정하면 a01, b01은 그 정의식으로부터 구할 수 있으므로 미지수로서 취급하지 않는 것으로 하였다. 이하, 각 조건에 대해 고려해 간다.
우선, 위치의 조건에 대해 고려하면 하기의 (4-1), (4-2), (4-3)식의 3개가 성립한다(이하, 자연수 i < 3으로 한다).
[수학식 42]
Figure 112006060875219-PCT00063
(4-1)
Figure 112006060875219-PCT00064
(4-2)
Figure 112006060875219-PCT00065
(4-3)
다음에, 접선 방향에 대해 고려하면 (4-4), (4-5)의 2개의 식이 성립한다.
[수학식 43]
Figure 112006060875219-PCT00066
(4-4)
Figure 112006060875219-PCT00067
(4-5)
곡률(κ)의 크기에 대해서는 다음 식(4-6)이 성립한다.
[수학식 44]
Figure 112006060875219-PCT00068
(4-6)
마지막으로 법선 방향 벡터(n)에 대해 고려한다. 3차원 클로소이드 곡선의 법선 벡터(n)는 (2-10)식으로 표시된다.
여기서, 3차원 클로소이드 곡선의 접선 벡터(u)의 결정과 마찬가지로 회전을 이용하여, 법선 벡터(n)을 고려해 본다. 초기 접선 방향(1, 0, 0)에 대해, 초기 법선 방향을 정수(γ)를 이용하여 (0, cosγ, -sinγ)로 나타내는 것으로 한다. 이것을 접선과 동일하도록 회전시키면, 법선(n)은 식(4-7)과 같이 표시된다.
[수학식 45]
Figure 112006060875219-PCT00069
(4-7)
(2-10), (4-7)식을 비교하면, sinγ, cosγ는 (4-8)식에 대응하고 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 46]
Figure 112006060875219-PCT00070
(4-8)
즉, 식(4-8)로부터 3차원 클로소이드 보간에 있어서의 접속점에 있어서의 법선 연속을 달성하기 위해서는 tanγ가 연속이면 되는 것을 알 수 있다.
[수학식 47]
Figure 112006060875219-PCT00071
(4-9)
즉, 법선 연속인 조건은 식(4-10)인 것을 알 수 있다.
[수학식 48]
Figure 112006060875219-PCT00072
(4-10)
여기서 또한,
[수학식 49]
Figure 112006060875219-PCT00073
(4-11)
인 것을 고려하여 넣으면 조건식(4-10)은, 하기의 조건식(4-12)로 치환할 수 있다.
즉, 법선 연속인 조건은 (4-12)식이다.
[수학식 50]
Figure 112006060875219-PCT00074
(4-12)
이상을 정리하면 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건은 접속점에서는 식(4-13)과 같아지는 것을 알 수 있다. 또한, 시점·종점에 있어서도 이들 중 몇 개의 조건이 선택된다.
[수학식 51]
Figure 112006060875219-PCT00075
(4-13)
이상으로부터, 미지수(a11, a21, b11, b21, h1, a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 12개에 대해, 조건식은 하기의 12개가 성립하는 것을 알 수 있다[점(P3)에 있어서의 접선 방향 회전각을 α3, β3이라 한다].
[수학식 52]
Figure 112006060875219-PCT00076
(4-14)
이것으로 미지수 12개에 대해 12개의 식이 성립하므로 해를 구할 수 있다. 이것을 뉴턴-랩슨법에 의해 풀어 해를 구한다.
또한, 일반적으로 n개의 점열을 보간할 때를 고려할 때도 조건식은 현재 서술해 온 자연수(i)를 i < n으로 확장하면 좋다. 이후는 미지수와 조건식의 수의 문제이다.
예를 들어, n-1개의 점열이 있을 때, N개의 미지수와 N개의 관계식이 성립한다고 하자. 여기서, 또한 1점 증가하였다고 하면, 미지수는 3차원 클로소이드 선분(Pn-1, Pn)의 클로소이드 매개 변수(a0n, a1n, a2n, b0n, b1n, b2n, hn) 의 7개가 증가한다. 한편, 조건식은 접속점이 1개 증가하므로 점(Pn-1)에서 위치에 대해 3개, 접선 벡터에 대해 2개, 점(Pn-1)의 곡률 연속의 조건의 식이 크기와 방향에 대해 2개의 합계 7개 증가한다.
n=3에서는 미지수, 관계식 모두 12개인 것을 알 수 있으므로 n≥3에서는 미지수는 7(n-2)+5개, 이에 대해 성립하는 식도 7(n-2)+5개 있다. 이것으로 미지수와 그에 관한 조건의 수가 동등해지므로, n개의 자유 점열의 경우도 3점의 경우와 동일한 방법으로 해를 구하는 것이 가능하다. 해법으로서는, 미지수와 조건식의 사이에는 (4-15), (4-16)식의 관계가 성립하는 것을 이용한 뉴턴-랩슨법을 이용하여 풀었다(조건을 F 미지수를 u, 오차 자코비안 행렬 J라 함)
[수학식 53]
Figure 112006060875219-PCT00077
(4-15)
Figure 112006060875219-PCT00078
(4-16)
이상으로부터, n개의 점열에 대해서도 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 3차원 클로소이드 보간을 행할 수 있는 것을 알 수 있다.
(C) 초기치의 결정
뉴턴-랩슨법에 있어서는, 해의 탐색을 시작할 때에 적당한 초기치를 부여할 필요가 있다. 초기치는 어떻게 부여되어도 좋지만 여기서는 그 초기치의 부여 방법의 일예에 대해 서술한다.
보간에서는, 우선 점열로부터 각 미지수의 초기치를 결정할 필요가 있지만, 본 연구에서는 리(Li) 등의 3D 이산 클로소이드 스플라인의 다각형(Q)의 단순형인 보간 대상 점열 사이에 정점을 4개 갖는 것을 생성하고, 이 다각형(Q)으로부터 그 초기치를 산출하고 결정하였다. 3D 이산 클로소이드 스플라인은 엄밀하게 보간 대상점을 지나고, 곡률이 시점으로부터의 이동 거리에 대해 원활하게 변화하는 성질을 갖고 있다. 본 명세서에서는 3차원 클로소이드 보간을 위한 초기치를, 도13과 같은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인의 폴리곤(Q)를 제작하고, 그곳으로부터 계산으로 결정하였다.
여기서 3D 이산 클로소이드 스플라인에 대해 보충 설명한다. 도14에 도시된 바와 같이 우선, 보간 대상의 점열을 정점으로 하는 다각형(P)을 만들고, P의 각 정점 사이에 동일한 수 r개씩 새로운 정점을 삽입하여, P⊂Q가 되는 다각형(Q)을 만든다. 여기서 P의 정점이 n개 있다고 하면, 폴리곤(Q)은 폐쇄되어 있는 경우에서 rn개, 개방되어 있는 경우에서 r(n-1)+1개의 정점을 갖게 된다. 이후 하첨자를 시점으로부터의 일련 번호로서, 각 정점을 qi로 나타내는 것으로 한다. 또한, 각 정점에 있어서 방향으로서 종법선 벡터(b)를, 크기로서 곡률(κ)을 갖는 벡터(k)를 정한다.
이 때, 하기의 정점끼리가 등거리가 되는 식(4-17)을 충족시키고, 곡률이 시 점으로부터의 이동 거리에 비례하는 조건에 가장 근접해질 때의[식(4-18)의 함수를 최소화할 때의] 폴리곤(Q)을 3D 이산 클로소이드 스플라인이라 한다.
[수학식 54]
Figure 112006060875219-PCT00079
(4-17)
Figure 112006060875219-PCT00080
(4-18)
3D 이산 클로소이드 스플라인에서는 각 정점의 프레네 표구가 이미 구해져 있다. 그래서, 그 단위 접선 방향 벡터(t)로부터 매개 변수(a0, b0)를 구한다. 이 접선 방향 벡터(t)는 폴리곤(Q)을 구하였을 때 기지로 되어 있어, 이 t와 3차원 클로소이드 곡선의 접선의 식에 의해 폴리곤(Q)의 정점의 접선 방향 회전각(α, β)이 구해진다. 이에 의해 각 곡선의(a0, b0)의 초기치가 구해진다. 또한, 시점으로부터 시작되는 3차원 클로소이드 선분에 있어서는 그 값을 부여한다.
[수학식 55]
Figure 112006060875219-PCT00081
(4-19)
여기서, 3D 이산 클로소이드 스플라인은 정점이 등거리로 나열되어 있는 것을 고려하면, 도13의 점(q4i+1)에서는 곡선 길이 변수(S)가 1/4이면 근사할 수 있다. 마찬가지로, 점[q4(i+1)-1]에서는 곡선 길이 변수(S)가 3/4이면 근사할 수 있다. 이들을 3차원 클로소이드 곡선의 α의 식을 맞추어 고려하면 하기의 식(4-20)이 성립 한다.
[수학식 56]
Figure 112006060875219-PCT00082
(4-20)
이 식은 미지수가 a14i와 a24i의 2차원 연립 방정식으로 되어 있고, 이것을 풀어 매개 변수(a1, a2)의 초기치로 한다. 마찬가지로 매개 변수(b1, b2)의 초기치도 결정할 수 있다.
남는 미지수는 곡선 길이(h)이지만, 이 초기치 대해서는 3차원 클로소이드 곡선의 곡률의 식에 의해 산출한다. 3차원 클로소이드 곡선의 곡률은 식(4-21)으로 표시된다.
[수학식 57]
Figure 112006060875219-PCT00083
(4-21)
이 식을 변형하면 식(4-22)이 되어 h의 초기치가 결정된다.
[수학식 58]
Figure 112006060875219-PCT00084
(4-22)
이상의 방법에서 7개의 3차원 클로소이드 매개 변수에 대해 초기치를 결정할 수 있다. 이 결정한 초기치를 이용하여 (b)에서 서술한 G2 연속이 되는 조건하에서 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구하였다. 이에 의해 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 선분을 생성하고, 점열 사이를 3차원 클로소이드 곡선으로 보간하는 것을 행하였다.
(d) 보간예
실제로 이상에 서술한 수법으로 점열을 보간한 예로서(0.0, 0.0, 0.0), (2.0, 2.0, 2.0), (4.0, 0.0, 1.0), (5.0, 0.0, 2.0)의 4점을 3차원 클로소이드 보간한 예를 든다. 보간에 의해 생성된 3차원 클로소이드 곡선의 투시도를 도15에 도시하였다. 도15는 실선이 3차원 클로소이드 곡선이고, 파선, 1점 쇄선, 2점 쇄선의 직선은 곡선 상의 각 점에 있어서의 크기를 log[곡률 반경+자연 로그(e)]에, 방향을 법선 벡터에 취한 곡률 반경 변화 패턴이다.
또한 표2에 각 곡선의 매개 변수를, 또한 표3에 각 접속점에서의 좌표·접선·법선·곡률의 어긋남을 기재하였다. 이들로부터 각 접속점에서 G2 연속이 되는 3차원 클로소이드 곡선이 생성되어 있는 것을 알 수 있다. 또한, 도16은 횡축에 시점으로부터의 이동 거리, 종축에 곡률을 취한 곡률 변화 그래프이다.
[표2]
Figure 112006060875219-PCT00085
[표3]
Figure 112006060875219-PCT00086
(2-4) 양단부에 있어서의 각 값의 제어를 고려한 G2 연속한 3차원 클로소이드 보간
(a) 보간 조건과 미지수
2-3에서 서술한 바와 같이, 곡선이 개방되어 있는 경우에 보간 대상의 점이 n개 있을 때, 점열은 n-1개인 곡선에서 3차원 클로소이드 보간된다. 엄밀하게 각 점을 지나면 각 3차원 클로소이드 선분에 대해 미지수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개 있으므로 미지수는 전체적으로 7(n-1)개 있게 된다. 한편, 조건식에 대해서는, n-2개 있는 접속점마다 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩과 종점에 있어서의 좌표의 3개가 존재하므로, 전부 7(n-2)+3개이다. 2-3의 수법에서는 이것에 시점·종점에 있어서의 접선 벡터를 부여하고, 조건을 4개 증가시킴으로써 조건식과 미지수의 수를 맞추고 있었다.
여기서, 시점·종점에 있어서의 접선·법선·곡률을 제어하고, 또한 G2 연속이 되도록 보간하면, 조건은 양단부에 있어서의 접선을 제어하였을 때와 비교하여 또한 시점·종점에서 법선·곡률에 대해 2개씩의 합계 4개 증가하게 된다. 그러면, 조건식은 전부 7n-3개가 된다. 이 경우, 미지수의 수가 조건보다 적어지므로, 뉴턴-랩슨법으로 해를 구할 수는 없다. 그로 인해, 어떠한 방법으로 미지수를 증가시킬 필요가 있다.
그래서, 여기서는 보간 대상점을 새롭게 삽입함으로써 미지수와 조건식의 수를 동등하게 하는 것으로 하였다. 예를 들어, 4개 미지수의 쪽이 많은 것이면, 새로운 점을 2개 삽입하고 각 점의 좌표 중 2개를 미지수로서 취급한다.
이 경우 접속점이 2개 증가하므로, 각 접속점에 대해 조건이 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩의 14개 증가한다. 한편, 미지수는 3차원 클로소이드 선분이 2개 증가하므로, a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개씩의 합계 14개의 미지수가 증가하게 된다. 이 때 점열에 포함되는 점의 수는 n+2개이므로, 전체적으로 생각하면 미지수는 7(n+1)개, 조건식은 7(n+1)+4가 된다. 여기서 또한, 새롭게 삽입한 점의 좌표 중 2개를 미지수로서 취급하는 것으로 하면, 미지수는 4개 증가하게 된다. 그러면, 미지수도 조건식도 7(n+2)-3개가 되어, 미지수의 해를 구할 수 있게 된다. 이와 같이 새로운 점을 삽입함으로써 부여된 각 점을 엄밀하게 지나고 G2 연속 또한 양단부점의 접선·법선·곡률을 제어한 보간을 행하는 것이 가능해진다.
또한 일반적인 경우에 대해 고려한다. n개의 점열을 보간할 때, 양단부점에 서 m개의 항목을 제어하는 경우에 대한 삽입하는 점의 수와 그 점에 있어서 미지수로서 취급하는 좌표의 수에 대해 고려한다. 앞에서 서술하였지만, 곡선이 개방되어 있는 경우 점열은 n-1개의 곡선으로 보간된다. 만일, 엄밀하게 각 점을 지난다면 각 3차원 클로소이드 선분에 대해 미지수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개 있으므로, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개 있게 된다. 한편, 조건식에 대해서는 n-2개 있는 접속점마다 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩 종점에 있어서의 좌표의 3개가 존재하므로 전부 7(n-2)+3개이며, 조건식 쪽이 4개 적다. 즉, 양단부점에 있어서 제어되어야 할 항목은 4개 이상이 된다. 이하, 설명 중에서 m은 4 이상의 자연수, k는 2 이상 자연수로서 새롭게 점을 삽입하였을 때에 조건식과 미지수의 수를 동등하게 하는 방법에 대해 서술한다.
(i) m=2k일 때
양단부에서 맞추어 m=2k개인 항목을 제어할 때, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개, 조건식은 전체적으로 7(n-1)-4+2k개이다. 이 때 과잉의 조건식은 2k-4개이다. 현재, k-2개의 점을 새롭게 삽입하는 것을 고려하면, 3차원 클로소이드 선분이 k-2개, 접속점이 k-2개 증가하므로 미지수는 전체적으로 7(n+k-3)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-3)-4+2k개가 된다. 여기서 또한 새롭게 삽입한 각 점의 좌표의 값 중 2개(예를 들어 x, y)를 미지수로서 취급하는 것으로 하면, 미지수는 전체적으로 7(n+k-3)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-3)+2(k-2)개가 되어 미지수와 조건식의 수가 동등해진다.
(ii) m=2k+1일 때
양단부에서 맞추어 m=2k+1개의 항목을 제어할 때, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개, 조건식은 전체적으로 7(n-1)+2k-3개이다. 이 때 과잉의 조건식은 2k-3개이다. 현재, k-1개의 점을 새롭게 삽입하는 것을 고려하면, 3차원 클로소이드 선분이 k-1개, 접속점이 k-1개 증가하므로 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)-3+2k개가 된다. 여기서 또한 새롭게 삽입한 각 점의 좌표의 값 중 2개(예를 들어 x, y)를 미지수로서 취급하는 것으로 하면, 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)+2k-3개가 되어 조건식의 수가 1개 많아진다. 그래서, m=2k+1인 경우에는 삽입한 점 중 1개의 점에 있어서는 좌표의 값 중 1개만을 미지수로서 취급하는 것으로 한다. 그렇게 함으로써, 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개가 되어 미지수와 조건식의 수가 동등해진다.
이상에 서술한 방법과 같이, 추가되는 조건의 수에 맞추어 삽입한 점의 좌표 중 미지수로 하는 수를 조정함으로써 접선, 법선, 곡률 이외의 예를 들어 접선 회전각(α)을 제어하는 경우 등의 다양한 경우라도 미지수와 조건식의 수를 맞출 수 있어, 이론상 양단부점의 각 값을 제어할 수 있다. 또한, 제어 항목과 미지수, 조건식의 수에 대해 정리한 것을 표4에 나타낸다.
[표4]
Figure 112006060875219-PCT00087
(b) 수법
시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법은 도17 및 도18에 도시된 바와 같이 이하의 흐름으로 행해진다.
Step1) 제어하는 조건 중 4개만을 이용하여 엄밀하게 보간 대상점을 지나고, 또한 G2 연속한 보간을 행하여 곡선을 생성한다.
Step2) 생성된 곡선상에 새로운 점을 삽입하고, 조건식과 미지수의 수를 조정한다.
Step3) Step1의 곡선 매개 변수를 초기치로 하여, 원하는 조건을 충족시키는 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구한다.
이하, 각 Step에 대해 설명을 보충한다. 우선 Step1에 있어서는, 접선 방향을 제어하는 것이면, 2-3의 수법을 이용하여 곡선을 생성한다. 또한, 접선 방향을 제어하지 않는 경우에 대해서도 그 곡선의 매개 변수를 구할 때의 초기치로서는 2- 3의 수법과 동일한 초기치를 이용한다.
다음에 Step2에 있어서 새로운 점을 삽입하고, 조건과 미지수의 수의 조정을 행하게 된다. 이 때, 새롭게 삽입하는 점은 각 보간 대상점 사이에 있어서 가능한 한 1개 이하가 되도록 한다. 또한, 삽입되는 점으로서는 보간 대상점끼리를 연결하는 Step1에서 생성된 3차원 클로소이드 선분의 중간의 점을 삽입하였다. 또한, 삽입되는 점은 양단부로부터 차례로 삽입해 가는 것으로 한다. 즉, 최초에 삽입되는 것은 시점과 그 이웃의 점 사이와 종점과 그 이웃의 점 사이이다.
마지막으로 Step3에 대해, Step3에서 행하는 뉴턴-랩슨법으로 인한 초기치를 새롭게 결정할 필요가 있다. 그로 인해, 새로운 점이 삽입된 곡선에 대해서는 1-4에서 서술한 3차원 클로소이드 곡선을 분할하는 수법을 이용하여 곡선을 분할하고, 생성된 곡선의 각 값으로부터 결정하였다. 점이 삽입되어 있지 않은 곡선에 대해서는 Step1에서 생성한 곡선의 값을 그대로 이용한다. 이상에서, Step3에 있어서의 곡선의 각 매개 변수의 초기치를 결정하였다. 이 초기치를 이용하여, 뉴턴-랩슨법에 의해 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 곡선을 생성하고, 점열 사이를 원하는 조건을 충족시키는 3차원 클로소이드 곡선으로 보간을 행하였다.
(C) 보간예
실제로 양단부에서의 접선, 법선, 곡률을 표5의 조건으로 제어하도록 3차원 클로소이드 보간한 예를 나타낸다. 엄밀하게 지나야 할 보간 대상의 점에 일련 번호를 매겨 P1, P2, P3으로 하였다.
[표5]
Figure 112006060875219-PCT00088
이 조건에서, 실제로 보간을 행한 결과를 도19에 도시한다. 실선의 곡선이 3차원 클로소이드 곡선, 파선·1점 쇄선·2점 쇄선·3점 쇄선은 각 곡선의 곡률 반경 변화 패턴을 나타내고 있다. 또한, 도20에 도19의 곡선의 선 종류에 대응시킨 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계의 그래프를 나타낸다. 생성된 곡선은 표6으로부터 알 수 있는 바와 같이 부여한 조건을 충족시키고 있는 것을 알 수 있다.
[표6]
Figure 112006060875219-PCT00089
(d) 중간점에서의 값의 제어
(b)의 수법에 의해, 양단부점에 있어서의 각 값을 제어하면서 G2 연속된 보간을 행할 수 있게 되었다. 여기서, 양단부점이 아닌 중간점에 있어서 값을 제어 하는 경우에 대해 고려한다.
예를 들어, 도21과 같은 점열을 보간하는 경우에 있어서 중간점(Pc)에서 접선, 법선을 제어하는 것을 고려한다. 그러나, 지금까지 서술해 온 수법에서는 중간점에 있어서의 값을 제어할 수는 없다. 그래서, 여기서는 이 점열을 2개로 나눔으로써 중간점에서의 값을 제어하였다.
즉, 점열에 대해 일거에 보간을 행하는 것은 아니며, 중간점(Pc)을 사이에 두고 곡선(C1과 C2)으로 나누어 보간을 행한다. 그 경우 점(Pc)은 단부점에 닿게 되므로 (b)의 수법을 이용하면 값을 제어할 수 있게 된다.
이와 같이 제어하고자 하는 값이 있는 점에서 구분을 나누고, 그 양단부에 있어서의 값을 제어하여 보간한 결과 생성되는 곡선을 연결해 가면 이론상 각 점에 있어서 접선·법선·곡률의 제어 가능한 3차원 클로소이드 보간을 행할 수 있다.
(2-5) 양단부점에서의 접선, 법선, 곡률을 제어한 3차원 클로소이드 보간
(a) 수법의 흐름
시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법은, 도22에 도시되는 이하의 흐름으로 행해진다. 이후, 이 흐름에 따라 설명한다.
(b-1) 보간 대상의 점을 부여한다.
본 예에서는 3차원 공간의 3점 {0.0, 0.0, 0.0}, {5.0, 5.0, 10.0}, {10.0, 10.0, 5.0}을 부여하였다. 그 밖에 각 점에 부여한 접선, 법선, 곡률 등의 조건을 정리하여 표7에 나타냈다.
[표7]
Figure 112006060875219-PCT00090
(b-2) r=4의 3DDCS의 생성
뉴턴-랩슨법에 있어서는, 해의 탐색을 시작할 때에 적당한 초기치를 부여할 필요가 있다. 여기서는 그 초기치를 얻기 위한 준비를 한다. 선행 연구인 3D 이산 클로소이드 스플라인은 엄밀하게 보간 대상점을 지나고, 곡률이 시점으로부터의 이동 거리에 대해 원활하게 변화되는 성질을 갖고 있다. 그래서, 본 연구에서는 3차원 클로소이드 보간을 위한 초기치를 도23과 같은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인의 폴리곤(Q)을 만들고, 그곳으로부터 계산으로 결정하였다. 또한, 실제로 이 점열로부터 생성된 폴리곤을 도24에, 정점의 좌표를 표8에 나타냈다.
[표8]
Figure 112006060875219-PCT00091
(b-3) 초기치의 결정
뉴턴-랩슨법으로 해를 구하기 위해서는, 각 미지수의 초기치를 결정할 필요가 있다. 본 수법에서는 그 값을 b-2에서 생성한 폴리곤(Q)을 사용하여, 각 미지수의 근사치를 구하여 결정한다. 3D 이산 클로소이드 스플라인에서는 각 정점의 프레네 표구가 이미 구해져 있다. 그래서, b-2에서 생성한 폴리곤(Q)의 단위 접선 방향 벡터(t)로부터 매개 변수(a0, b0)를 구한다. 이 접선 방향 벡터(t)는 폴리곤(Q)을 구하였을 때에 기지로 되어 있어, 이 t와 3차원 클로소이드 곡선의 접선의 식에 의해 폴리곤(Q)의 정점의 접선 방향 회전각(α, β)이 구해진다. 이에 의해, 각 곡선의(a0, b0)의 초기치가 구해진다. 또한, 시점으로부터 시작되는 3차원 클로소이드 세그먼트에 있어서는 그 값을 부여한다.
[수학식 59]
Figure 112006060875219-PCT00092
여기서, 3D 이산 클로소이드 스플라인은, 정점이 등거리로 나열되어 있는 것을 고려하면, 도23의 점(q4i+1)에서는 곡선 길이 변수(S)가 1/4이면 근사할 수 있다. 마찬가지로 점[q4(i+1)-1]에서는 곡선 길이 변수(S)가 3/4이면 근사할 수 있다.
이들을 3차원 클로소이드 곡선의 α의 식을 맞추어 고려하면 하기의 식이 성립된다.
[수학식 60]
Figure 112006060875219-PCT00093
이 식은 미지수가 a14i와 a24i의 2차원 연립 방정식으로 되어 있고, 이것을 풀어 매개 변수(a1, a2)의 초기치로 한다. 마찬가지로 매개 변수(b1, b2)의 초기치도 결정할 수 있다.
남는 미지수는 곡선 길이(h)이지만, 이 초기치에 대해서는 3차원 클로소이드 곡선의 곡률의 식으로부터 산출한다. 3차원 클로소이드 곡선의 곡률은 하기로 표시된다.
[수학식 61]
Figure 112006060875219-PCT00094
이 식을 변형하면 이하의 식이 되어 h의 초기치가 결정된다.
[수학식 62]
Figure 112006060875219-PCT00095
이상의 방법으로 7개의 3차원 클로소이드 매개 변수에 대해 초기치를 결정할 수 있다.
실제로 이 수법에 의해 구한 초기치를 표9에 나타낸다.
[표9]
Figure 112006060875219-PCT00096
(b-4) 엄밀하게 각 점을 지나고, G2 연속된 3차원 클로소이드 보간
(b-3)에서 결정한 초기치를 이용하여 G2 연속이 되는 조건하에서 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구한다. 이에 의해 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 세그먼트를 생성하고, 점열 사이를 3차원 클로소이드 곡선으로 보간하는 것을 행하였다.
여기서, 3점의 3차원 클로소이드 보간에 있어서 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건에 대해 구체적인 조건을 고려한다. 도25는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 나타낸다. 점(P1, P2) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C1), 점(P2, P3)의 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C2)라 하면, aO1과 bO1은 기지이므로, 미지수는 곡선(C1)의 매개 변수(a11, a21, b11, b21, h1), 곡선(C2)의 매개 변수(a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 12개가 된다. 이후 설명에 나오는 문자의 하첨자는 각 곡선의 하첨자에 대응하고 있고 각 곡선에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Pxi, Pyi, Pzi, αi, βi, ni, κi와 같이 나타낸다.
우선, 점(P1)에 있어서는 엄밀하게 보간 대상의 점을 지난다고 하는 조건은 3차원 클로소이드 곡선의 정의로부터 고려하면, 시점을 부여한 시점에서 필연적으로 달성된다. 또한, 접선 방향에 대해서도 이미 기지인 값으로서 부여하므로 점(P1)에 있어서의 조건은 특별히 지정하지 않는다.
다음에 점(P2)에 대해 고려한다. 점(P2)은 곡선끼리의 접속점이며, G2 연속 이 되기 위해서는 위치, 접선, 법선, 곡률이 연속될 필요가 있다. 즉, 점(P2)에 있어서 성립해야 할 조건은 하기와 같아진다.
[수학식 63]
Figure 112006060875219-PCT00097
마지막으로 점(P3)에 대해 고려한다. 점(P3)은 종점이며, 충족시켜야 할 조건은 위치, 접선뿐이므로 이하의 5개의 조건이 성립한다. 여기서 α3, β3은 부여하는 종점에 있어서의 접선 벡터를 정하는 접선 방향 회전각(α, β)으로 한다.
[수학식 64]
Figure 112006060875219-PCT00098
이상으로부터, 미지수(a11, a21, b11, b21, h1, a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 12개에 대해, 조건식은 하기의 12개가 성립하는 것을 알 수 있다. 정리하면 성립하는 조건식은 하기와 같아진다.
[수학식 65]
Figure 112006060875219-PCT00099
이것으로 미지수 12개에 대해 12개의 식이 성립하므로 해를 구할 수 있다. 이 식을 뉴턴-랩슨법에 의해 풀고 해를 구하였다. 표10에 초기치와 해를 나타낸다.
[표10]
Figure 112006060875219-PCT00100
(b-5) 곡선의 생성
도26은 (b-4)에서 구한 매개 변수를 바탕으로 생성한 곡선과 b-2에서 생성한 폴리곤을 동시에 표시한 것이다. 실선의 곡선이 곡선 C1, 파선의 곡선이 곡선 C2이다. 이 단계에서는 시점·종점에서 접선 방향을 제어한 G2 연속된 3차원 클로소이드 곡선으로 되어 있다.
(b-6) 조건식과 미지수
여기서, 또한 시점(P1)과 종점(P3)에 있어서의 법선과 곡률도 표7에서 부여한 값으로 하는 것을 고려한다. 시점·종점에서 또한 법선과 곡률을 제어하기 위해서는, 시점과 종점에 있어서의 조건을 각각 2개 증가시킬 필요가 있다. 그러나, 조건이 4개 증가한 상태에서는 미지수의 수와의 관계로부터 그 조건을 충족시키는 해를 구할 수 없다. 그래서, 미지수와 조건식의 수를 맞추기 위해, 도27에 도시된 바와 같이 곡선(C1)의 곡선 길이 변수 S=0.5의 위치에 점(DP1)을 새롭게 삽입하였다. 또한, 곡선(C2)에 대해서도 곡선 길이 변수 S=0.5의 위치에 점(DP2)을 새롭게 삽입하였다.
이 때, 점(P1)과 점(DP1)을 연결하는 곡선을 곡선(C'1), 점(DP1)과 점(P2)을 연결하는 곡선을 곡선(C'2), 점(P2)과 점(DP2)를 연결하는 곡선을 곡선(C'3), 점(DP2)과 점(P3)을 연결하는 곡선을 곡선(C'4)이라 한다. 이후 설명에 나오는 문 자의 하첨자는 각 곡선명에 대응하고 있고, 예를 들어 곡선(C)에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Pxc, Pyc, Pzc, αc, βc, nc, κc와 같이 나타낸다. 또한, 시점·종점에 있어서는 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 시점에서는 Pxs, Pys, Pzs, αs, βs, ns, κs, 종점에서는 Pxe, Pye, Pze, αe, βe, ne, κe와 같이 나타낸다.
이하에 각 점에 있어서 성립하는 조건을 나타낸다.
[수학식 66]
Figure 112006060875219-PCT00101
Figure 112006060875219-PCT00102
이상으로부터, 전체적으로 성립해야 할 조건식은 32개이다. 여기서, 각 곡선이 갖는 클로소이드 매개 변수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개씩이며, 또한 곡선이 4개이므로 미지수는 28개가 된다. 그러나, 이것으로는 미지수와 조건식의 수가 동등하지 않으므로 해를 구할 수 없다. 그래서, 새롭게 삽입한 2개의 점(DP1, DP2)의 y, z 좌표를 미지수로서 취급하여 미지수를 4개 증가시켰다. 이와 같이 함으로써 미지수도 조건식도 32개가 되어 해를 구할 수 있다.
(b-7) 초기치의 결정
(b-6)에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 구하기 위해 뉴턴-랩슨법을 이용하지만, 그 수렴율을 높이기 위해 미지수의 초기치를 결정한다. 방법으로서는, 도28과 같이 (b-5)에서 생성한 3차원 클로소이드 곡선을 새롭게 삽입한 점의 전후에서 분할함으로써 3차원 클로소이드 곡선을 4개 만들고, 그 클로소이드 매개 변수를 부여하였다.
곡선의 분할법에 대해서는, 곡선(C1)을 곡선(C'1)과 곡선(C'2)으로 분할하는 방법을 설명하면 곡선(C'1)의 클로소이드 매개 변수(h', a'0, a'1, a'2, b'0, b'1, b'2)는 곡선(C1)의 매개 변수를 이용하여 하기의 식으로 나타낼 수 있다. 여기서, Sd는 분할점에 있어서의 곡선 길이 변수로 여기서는 0.5이다.
[수학식 67]
Figure 112006060875219-PCT00103
다음에 분할점(DP1)을 시점으로 하는 곡선(C'2)에 대해 고려한다. 우선, 곡선(C1)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 곡선(C"1)이라 하면, 그 곡선의 클로소이드 매개 변수(h", a"0, a"1, a"2, b"0, b"1, b"2)는 곡선(C1)의 곡선의 매개 변수를 이용하여 하기의 식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 68]
Figure 112006060875219-PCT00104
이 곡선상에 있어서 분할점(DP1)은 DP1=C"1(1-Sd)로 표시된다. 여기서, 곡선(C"1)을 점(DP1)으로 분할하는 것을 고려하면, 그 분할된 곡선 중 점(P2)을 시점으로 하는 곡선(C"2)은 곡선(C'2)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선으로 되어 있다. 곡선(C'1)을 생성한 방법에 의해 곡선(C"2)은 생성할 수 있다. 여기서, 또한 곡선(C"2)에 대해 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 생성하면, 곡선(C2)은 생성할 수 있다.
이상의 방법으로, 3차원 클로소이드 곡선(C1)상의 곡선 길이 변수가 S=0.5인 점(DP1)에서 곡선(C1)을 곡선(C'1과 C'2)으로 분할할 수 있다. 동일한 수법으로, 곡선(C2)상의 곡선 길이 변수가 S=0.5인 점(DP2)에서 곡선(C2)을 곡선(C'3과 C'4)으로 분할할 수 있다.
이 방법으로 분할한 4개의 곡선의 매개 변수를 표11에 나타냈다. 이 곡선의 매개 변수를 b-6에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 구할 때의 뉴턴-랩슨법의 초 기치에 이용하였다.
[표11]
Figure 112006060875219-PCT00105
(b-8) 조건을 충족시키는 클로소이드 매개 변수를 구한다
(b-7)에서 결정한 초기치를 바탕으로, (b-6)에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 뉴턴-랩슨법으로 구하였다. 표12는 산출된 각 곡선의 매개 변수이다. 또한, 표13은 부여한 값과 생성된 곡선의 시점·종점의 접선, 법선, 곡률의 차를 나타낸 것이다.
[표12]
Figure 112006060875219-PCT00106
[표13]
Figure 112006060875219-PCT00107
(b-9) 곡선의 생성
(b-8)에서 구한 매개 변수에 의해 생성된 곡선을 도29에 도시한다. 실선이 3차원 클로소이드 곡선, 파선·1점 쇄선·2점 쇄선·3점 쇄선은 각 곡선의 방향을 주 법선 방향으로 크기를 곡률 반경에 자연 로그를 더하여 로그를 취한 곡률 반경 변화 패턴을 나타내고 있다. 또한, 도30에 도29의 선의 종류에 대응시킨 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리(s)와 곡률(κ)의 관계의 그래프를 나타낸다. 생성된 곡선은 표12로부터 알수 있는 바와 같이 부여한 조건을 충족시키는 것을 알 수 있다.
이상에서, 양단부에서 접선, 법선, 곡률을 제어한 3차원 클로소이드 보간법에 의한 곡선 생성의 예를 나타냈다.
3. 3차원 클로소이드 보간을 이용한 볼 나사의 회귀 경로의 설계 방법
3차원 클로소이드 곡선의 기계 설계에의 응용 사례로서, 디플렉터 타입의 볼 나사의 회귀 경로의 설계를 행한다.
(3-1) 디플렉터 타입의 볼 나사의 설명
도31 내지 도35는 디플렉터 타입의 볼 나사를 도시한다. 디플렉터는 나사 홈을 구르는 볼의 회귀 경로를 구성한다. 디플렉터에는 너트와 별개의 부재로 형성된 후 너트에 고정되는 타입과, 너트에 일체적으로 형성되는 타입의 것이 있다. 도31은 디플렉터가 너트와 별개의 부재인 타입을 도시한다.
이하에 디플렉터가 너트와 일체적인 타입의 볼 나사에 대해 설명한다. 도32는 디플렉터가 너트와 일체적인 타입의 볼 나사의 너트(1)를 도시한다. 너트(1)의 내주면에는 1바퀴 미만의 나선 형상의 부하 구름 이동체 구름 주행홈으로서 부하 볼 구름 주행홈(2)이 형성된다. 부하 볼 구름 주행홈(2)은 후술하는 나사축의 볼 구름 주행홈에 일치시킨 리드를 갖는다. 회귀 경로로서의 볼 순환홈(3)은 부하 구 름 주행홈의 일단부와 타단부를 접속하고, 부하 볼 구름 주행홈(2)과 역방향의 리드를 갖는다. 이들 부하 볼 구름 주행홈(2) 및 볼 순환 홈(3)으로 1개의 1권취 홈(4)을 구성한다. 도33A는 볼 순환 홈(3)이 보이는 상태의 너트(1)의 사시도를 도시하고, 도33B는 부하 볼 구름 주행홈(2)이 보이는 상태의 너트(1)의 사시도를 도시한다.
이 너트(1)를 나사축에 조합한 상태를 도시하는 것이 도34이다.
나사축(5)의 외주면에는 소정의 리드를 갖는 나선 형상의 구름 이동체 구름 주행홈으로서 볼 구름 주행홈(6)이 형성되어 있다. 너트(1)의 부하 볼 구름 주행홈(2)은 나사축(5)의 볼 구름 주행홈(6)에 대향한다. 너트(1)의 부하 볼 구름 주행홈(2) 및 볼 순환 홈(3)과 나사축(5)의 볼 구름 주행홈(6) 사이에는 구름 운동 가능한 복수의 구름 이동체로서 복수의 볼이 배열된다. 너트(1)가 나사축(5)에 대해 상대적으로 회전하는 데에 수반하여, 복수의 볼이 너트(1)의 부하 볼 구름 주행홈(2)과 나사축(5)의 볼 구름 주행홈(6)의 사이에서 부하를 받으면서 구름 운동한다.
도32에 도시되는 너트(1)의 볼 순환 홈(3)이 도31에 도시되는 디플렉터에 대응하는 부분이다. 볼 순환홈(3)은 나사축(5)의 부하 볼 구름 주행홈(2)을 구르는 볼이 나사축(5)의 주위를 1주하여 원래의 부하 볼 구름 주행홈으로 복귀하도록 볼을 나사축(5)의 나사산(7)을 타고 넘게 한다.
종래의 모델의 순환 경로는 도35의 전개도를 나사축에 권취하였을 때에, 경로를 나사산과 볼이 부딪히지 않을 정도로 나사축 중심으로부터 떨어뜨림으로써 제 작되어 있지만, 이 경로는 도36의 곡률 변화를 보아 알 수 있는 바와 같이 곡률 불연속이다. 그래서, 3차원 클로소이드 보간을 이용하여 순환 경로를 곡률 연속인 경로로 재설계한다.
도37은 볼 중심의 궤도를 도시한다. 볼의 순환 경로가 전체적으로 G2 연속이 되도록 하기 위해서는, 볼이 회귀 경로로 이동하는 점에 있어서 G2 연속이 될 필요가 있다. 이로 인해, 회귀 경로의 설계에 있어서 회귀 경로의 양단부점에서 접선, 법선, 곡률을 제어할 필요성이 있는 것을 고려하였다.
(3-2) 이하에, 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 디플렉터 타입의 볼 나사의 회귀 경로를 설계한 예를 나타낸다.
(a-1) 나사축과 볼
본 설계에 있어서 이용한 나사축과 볼의 치수를 표14에 나타낸다.
[표14]
Figure 112006060875219-PCT00108
(a-2) 대칭성과 좌표계
디플렉터 타입의 볼 나사의 회귀 경로는 그 사용 용도로부터 축대칭일 필요가 있다. 그래서, 본 설계에서 이용한 좌표계에 대해 설명한다.
우선, 도38과 같이 z축을 나사축 방향으로 취한다. 도38의 실선은 나사 홈에 따라 볼을 움직였을 때에 볼의 중심이 그리는 궤도이다. 또한, 회귀 경로에 들어가는 점을 점(Ps), 회귀 경로로부터 나사 홈으로 복귀하는 점을 점(Pe)이라 하고, 점(Ps)과 점(Pe)의 중점을 점(Pm)이라 하였다. 점(Ps)과 점(Pe)은 도39와 같이 xy 평면에의 투영도에서 보면, 원점(0), 점(Ps)과 점(Pe)로 이등변 삼각형을 만들지만 이 이등변 삼각형의 ∠PsOPe의 수직 이등분선의 방향을 y축 방향으로 취한다. 또한, 대칭성으로부터 고려하여 y축은 점(Pm)을 지나는 것으로 하였다. 각 축의 방향에 대해서는 도38 및 도39와 같다. 이와 같이 좌표계를 취하여, y축 대칭이 되도록 회귀 경로를 설계한다.
실제로 설계하였을 때에는 θ=15°로서 각 점의 좌표를 결정하였다. 그에 의해 결정된 좌표, 접선, 법선, 곡률을 표15에 나타낸다.
[표15]
Figure 112006060875219-PCT00109
(a-3) 구속 조건
디플렉터 타입의 볼 나사의 회귀 경로의 설계에 있어서의 구속 조건에 대해 고려한다. 우선, 점(Ps)과 점(Ps)에 있어서는 나사 홈을 이동하는 볼의 중심의 궤적이 그리는 곡선과 G2 연속일 필요가 있다.
다음에, 볼을 드는 높이에 대해 고려하면, 회귀 경로가 y축 대칭인 것을 고려하면 볼의 중심은 y축 상의 어느 점을 지나므로, 이 점을 점(Ph)라 한다(도38 및 39 참조). 이 때, 볼이 나사산을 뛰어 넘는 것에는 점(Ph)의 y좌표의 절대치가 적어도
[점(Ph)의 y좌표의 절대치]≥[나사축 외경+볼 직경]/2
를 충족시킬 필요가 있다. 그래서 본 설계에 있어서는
[점(Ph)의 y좌표의 절대치]=(나사축 외경+볼 직경×1.2)/2
로 하였다. 또한, y축 대칭인 것을 고려한 것에 있어서의 법선 방향은 {0, 1, 0}일 필요가 있고, 접선 방향은 그 주위를 회전하는 자유도밖에 갖지 않는다.
이상의 조건을 충족시키고, y축 대칭인 회귀 경로를 3차원 클로소이드 곡선으로 생성한다. 실제로는, 이에 덧붙여 나사축과의 간섭에 대해 고려해야만 하지만 간섭에 대해서는 설계한 회귀 경로를 검사하고, 간섭하고 있는 경우는 보간의 초기치를 바꾸거나 보간 대상점을 증가시키거나 하여 경로를 재설계함으로써 충족시키는 것으로 하였다.
(a-4) 간섭을 피하기 위해
나사축과의 간섭은 회귀 경로에 들어간 부근에서 일어나기 쉬워, 자유로운 보간에 의해 경로를 제작한 것에서는 간섭이 일어나기 쉽게 되어 있다. 회귀 경로는 나사축으로부터 떨어뜨리는 것과 나사산을 넘어 원래의 위치로 복귀시키는 것이 요구되어 있지만, 간섭을 피하기 위해서는 어느 정도 나사축으로부터 떨어뜨린 후 나사산을 넘어 원래의 위치로 복귀시키는 것이 바람직하다. 이 회귀 경로를 생성하는 방법으로서는, 보간 대상점을 증가시키고 간섭을 피하는 방법과 회귀 경로에 들어간 1개째의 곡선을 수동으로 생성하여 강제적으로 나사축으로부터 떨어뜨려 주는 수법이 있다. 이 중 본 설계에서는, 회귀 경로에 들어간 1개째의 곡선을 수동으로 생성하여 강제적으로 나사축으로부터 떨어뜨리는 수법을 이용하였다.
여기서, 점(Ps)으로부터 시작되는 회귀 경로에 들어간 1개째의 곡선(C1)에 대해 서술한다. 곡선(C1)에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Px1(S), Py1(S), Pz1(S), α1(S), β1(S), n1(S), κ1(S)와 같이, 또한 점(Ps)·점(Ph)에 있어서는 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 점(Ps)에서는 Pxs, Pys, Pzs, αs, βs, ns, κs, 점(Ph)에서는 Pxh, Pyh, Pzh, αh, βh, nh, hd와 같이 나타낸다. 나사 홈을 이동하는 볼의 중심의 궤적이 그리는 곡선과 G2 연속인 조건은 점(Ps)에 있어서 하기가 성립하는 것이다.
[수학식 69]
Figure 112006060875219-PCT00110
또한, 나사 홈을 이동하는 볼의 중심의 궤적이 그리는 곡선은, 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 나타낼 수 있지만, 도40에 나타낸 점으로부터 시작하여 1바퀴만큼의 길이의 3차원 클로소이드 곡선(C0)의 식은 하기의 식으로 나타낼 수 있다. 여기서, 나사의 피치를 pit, 나사축 외형을 R, 나사의 피치각을 α0이라 하였다.
[수학식 70]
Figure 112006060875219-PCT00111
곡선(C0)의 식에서는 점(Ps)은 Ps=P0(11/12)로 나타낼 수 있다. 현재, 점(Ps)으로부터 시작하여 점(Ps)에서 곡선(C0)과 G2 연속이 되는 곡선(C1)으로서 하기와 같은 매개 변수를 갖는 곡선을 생성하면 강제적으로 나사축으로부터 떨어뜨려 줄 수 있다.
[수학식 71]
Figure 112006060875219-PCT00112
예를 들어, 이 조건을 충족시킴으로써 곡선(C1)으로서 표16의 매개 변수를 갖는 3차원 클로소이드 곡선을 생성한다.
[표16]
Figure 112006060875219-PCT00113
이 때, 점(Ps)에 있어서의 곡선(C0)과 곡선(C1)의 접선, 법선, 곡률의 값을 비교해 보면 표17과 같이 되어 있고 G2 연속이 되어 있는 것을 알 수 있다.
[표17]
Figure 112006060875219-PCT00114
또한, 이 곡선은 도41 및 도42를 보아 알 수 있는 바와 같이 단순히 나사축으로부터 떨어지는 형상으로 되어 있는 것을 알 수 있다. 그래서, 점(Ps)으로부터 시작되는 회귀 경로로 들어온 1개째의 곡선(C1)에 대해서는 이 매개 변수의 곡선을 이용하였다.
(a-5) 3차원 클로소이드 보간의 조건식과 미지수
a-3에서 서술한 조건을 가미하여, G2 연속이 되는 조건하에서 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구한다. 여기서 이미 점(Ps)으로부터 시작되는 곡선(C1)이 생성되어 있으므로, 이후 설명에 있어서 곡선의(C1)의 종점(P1)과 점(Ph) 사이의 경로의 설계를 서술한다. 설명에 나오는 문자의 하첨자는 각 곡선의 하첨자에 대응하고 있고, 각 곡선에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Pxi(S), Pyi(S), Pzi(S), αi(S), βi(S), ni(S), κi(S)와 같이 나타낸다. 또한, 점(Ph)에 있어서는 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 Pxh, Pyh, Pzh, αh, βh, nh, hh와 같이 나타낸다.
경로의 설계에 있어서, 엄밀하게 지나야 할 점은 점(P1)과 점(Ph)의 2점이므로, 이 보간 2점의 3차원 클로소이드 보간이다. 여기서, 양단부점에서의 보간 조건을 고려하면, 조건식의 수가 미지수의 수보다 2개 많아지므로, G2 연속된 3차원 클로소이드 보간을 행하기 위해 도43과 같이 점(P1)과 점(Ph) 사이에 점(P2)을 삽입하는 것으로 한다. 또한 점(P1)과 점(P2)을 연결하는 곡선을 곡선(C2), 점(P2)과 점(Pe)을 연결하는 곡선을 곡선(C3)이라 한다.
이하에 각 점에 있어서의 보간 조건을 기록한다.
[수학식 72]
Figure 112006060875219-PCT00115
이상으로부터, 전체적으로 성립해야 할 조건식은 16개이다. 여기서, 각 곡선마다 갖는 클로소이드 매개 변수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개이며, 또한 곡선이 2개이므로 미지수는 14개가 된다. 그러나, 이것으로는 미지수와 조건식의 수 가 같지 않으므로 해를 구할 수 없다. 그래서 새롭게 삽입한 2개의 점(P2)의 y, z 좌표를 미지수로서 취급하여 미지수를 2개 증가시켰다. 이것으로 미지수도 조건식도 16개가 되어 해를 구할 수 있도록 하였다. 또한 본 설계예에서는 행하지 않았지만, 이 미지수와 조건식의 수는 도중에 엄밀하게 지나야 할 점을 부여하고, 그 점의 전후에서 G2 연속이 달성되면 항상 성립하므로, 점(P1)과 점(Ph) 사이에 보간 대상점을 증가시켜도 해를 구할 수 있다.
(a-6) 조건을 충족시키는 클로소이드 매개 변수를 구한다
a-5에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 뉴턴-랩슨법으로 구하였다. 보간 방법, 초기치의 생성 방법은 3차원 클로소이드 보간의 방법에 따랐다. 표18은 산출된 각 곡선의 매개 변수이며, 표19는 기재하는 접속점에 있어서의 좌표, 접선, 법선, 곡률의 어긋남을 나타낸 것이다.
[표18]
Figure 112006060875219-PCT00116
[표19]
Figure 112006060875219-PCT00117
(a-7) 경로의 생성
a-5, a-6에 의해 얻어진 매개 변수에 의해, 점(Ps)으로부터 점(Ph)까지의 경로는 설계할 수 있다. 또한 점(Ph)으로부터 점(Pe)까지의 경로는 경로가 y축 대칭임으로써 좌표계를 다시 취하여 점(Pe)을 점(Ps)으로 간주하여 생성되는 경로와 동일하므로 이쪽도 동일한 곡선으로 생성할 수 있다.
이상의 수법으로 생성된 경로를 도44에 도시한다. 실선은 나사축 상의 볼의 중심 궤도인 곡선(C0), 점(Ps) 내지 점(Pn)까지의 파선, 1점 쇄선, 2점 쇄선의 3개의 곡선이 각각 곡선(C1, C2, C3)이다. 또한, 점(Pn) 내지 (Pe)까지의 2점 쇄선, 1점 쇄선, 파선의 3개의 곡선은 각각 곡선(C3, C2, C1)과 y축에 대해 대칭인 곡선이다.
도45에 점(Pe)으로부터 z축의 플러스 방향으로부터 보아 반시계 방향으로 순환 경로를 이동한 이동 거리(s)와 곡률(κ)의 관계의 그래프를 나타낸다. 그래프의 선 종류는 도44의 곡선의 선 종류에 대응하고 있다.
이상의 수법에 의해 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 디플렉터 타입의 볼나사의 순환 경로를 설계하였다. 또한 순환 경로를 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 설계하는 수법은, 물론 디플렉터 타입의 볼나사에 한정되지 않으며, 회귀 경로를 파이프로 구성하는 소위 리턴 파이프 타입의 볼나사에 적용하거나, 혹은 너트 단부면에 설치된 엔드 캡으로 볼을 나사축의 볼 구름 주행홈으로부터 퍼올리고, 너 트 내를 통해 반대측의 엔드 캡으로부터 나사축의 볼 구름 주행홈으로 복귀시키는 소위 엔드 캡 타입의 볼 나사에 적용하거나 해도 좋다.
그런데 본 발명의 설계 방법을 실현하는 프로그램을 컴퓨터로 실행할 때에는, 컴퓨터의 하드 디스크 장치 등의 보조 기억 장치에 프로그램을 저장해 두고, 메인 메모리에 로드하여 실행한다. 또한, 그러한 프로그램은 CD-ROM 등의 가반형 기록 매체에 프로그램을 저장하여 매매하거나, 네트워크를 거쳐서 접속된 컴퓨터의 기록 장치에 저장해 두고 네트워크를 통해 다른 컴퓨터로 전송할 수도 있다.
B. 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법
이하, 클로소이드 곡선을 이용한 수치 제어 방법의 발명의 실시 형태에 대해, 1. 3차원 클로소이드 곡선의 정의와 특징, 2. 3차원 클로소이드 곡선에 의한 보간법, 3. 3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방법으로 나누어 차례로 설명한다.
1. 3차원 클로소이드 곡선의 정의와 특징
(1) 3차원 클로소이드의 기본식
클로소이드 곡선(Clothoid curve)은 별명 콜뉴의 나선(Cornu's spiral)이라고도 불리워지며, 곡선의 길이에 비례하여 곡률이 변화하는 곡선이다. 종래 알려져 있는 2차원의 클로소이드 곡선은 평면 곡선(2차원 곡선)의 일종이며, 도46에 도시되는 xy 좌표상에 있어서 다음 식으로 표시된다.
[수학식 73]
Figure 112006060875219-PCT00118
(1)
Figure 112006060875219-PCT00119
(2)
여기서,
[수학식 74]
Figure 112006060875219-PCT00120
(3)
는 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터,
[수학식 75]
Figure 112006060875219-PCT00121
(4)
는 그 초기치(시점의 위치 벡터)이다.
[수학식 76]
Figure 112006060875219-PCT00122
(5)
는 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터(길이가 1인 벡터)이며, 그 방향(φ)은 원선(x축 방향)으로부터 반시계 방향으로 측정된다. 이 단위 벡터에 미소 길이(ds)를 곱하여 적분하면 곡선상의 점(P)이 구해진다.
곡선에 따라 측정한 곡선의 시점으로부터의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 한다. s를 h로 나눈 값을 S로 나타낸다. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 한다.
클로소이드 곡선의 특징은 식(2)로 나타낸 바와 같이 접선 방향각(φ)이 곡선 길이(s) 또는 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 표시되는 것에 있다. c0, c1, c2, 또는 φ0, φv, φu는 2차식의 계수이며 이들 및 곡선의 전체 길이(h)를 클로소이드의 매개 변수라 한다. 도47은 일반적인 클로소이드 곡선의 형상을 도시한다.
이상의 관계를 3차원으로 확장하여, 3차원 클로소이드 곡선의 식을 만든다. 종래 3차원 클로소이드 곡선을 부여하는 식은 알려져 있지 않았지만, 발명자들은 비로소 이것을 도출하였다.
3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의한다.
[수학식 77]
Figure 112006060875219-PCT00123
(6)
Figure 112006060875219-PCT00124
(7)
Figure 112006060875219-PCT00125
(8)
Figure 112006060875219-PCT00126
(9)
여기서,
[수학식 78]
Figure 112006060875219-PCT00127
(10)
은 각각 3차원 클로소이드 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타낸다. i, j, k는 각각 x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이며, 식(7)에 의해 부여된다. 식(7)에 있어서, Ekβ 및 Ejα는 회전 매트릭스이며, 도48에 도시된 바와 같이, 각각 k축(z축) 주위의 각도(β)의 회전 및 j축(y축) 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있다. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 한다. 식(7)은 i축(x축) 방향의 단위 벡터를, 우선 j축(y축) 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축(z축) 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있다.
즉, 2차원의 경우는 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터(ejφ)는, x축으로부터의 경사 각도(φ)로부터 얻어진다. 3차원의 경우는 곡선의 접선 벡터(u)는 피치각(α) 및 요각(β)으로부터 얻을 수 있다. 피치각(α)이 0이면, xy 평면에서 권취한 2차원 클로소이드 곡선이 얻어지고, 요각(β)이 0이면 xz 평면에서 권취한 2차원 클로소이드 곡선이 얻어진다. 접선 방향 벡터(u)에 미소 길이(ds)를 곱하여 적분하면 3차원 클로소이드 곡선이 얻어진다.
3차원 클로소이드 곡선에 있어서는, 접선 벡터의 피치각(α) 및 요각(β)은 각각 식(8) 및 식(9)에 나타낸 바와 같이 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 부여된다. 이에 의해, 접선 방향의 변화를 자유롭게 선택하면서 또한 그 변화에 연속성을 갖게 하는 것이 가능해진다.
이상의 식에 의해 나타낸 바와 같이, 3차원 클로소이드 곡선은「접선 방향의 피치각 및 요각이 각각 곡선 길이 변수의 2차식으로 표시되는 곡선이다」라 정의된다.
P0으로부터 시작되는 1개의 3차원 클로소이드 세그먼트는,
[수학식 79]
Figure 112006060875219-PCT00128
(11)
의 7개의 매개 변수에 의해 결정된다. a0 내지 b2의 6개의 변수는 각도의 단위를 갖고, 클로소이드 세그먼트의 형상을 나타내고 있다. 이에 대해 h는 길이의 단위를 갖고, 클로소이드 세그먼트의 크기를 나타내고 있다.
3차원 클로소이드 곡선의 전형적인 예로서는, 도49에 도시된 바와 같은 나선 형상의 곡선이 있다.
(2) 동표구
식(7)에 있어서, 기본 접선 방향 벡터(i) 대신에 기본 좌표계[i, j, k]를 대입하면, 다음 동표구(moving frame)(E)를 얻는다.
[수학식 80]
Figure 112006060875219-PCT00129
(12)
Figure 112006060875219-PCT00130
(13)
여기서, v 및 w는 곡선의 접선에 수직인 면에 포함되는 단위 벡터이며, 서로 직교하는 동시에 접선 방향 단위 벡터(u)와 직교한다. 이 3개의 단위 벡터의 세트(트라이어드)는 동점(P)과 함께 움직이는 프레임(좌표계, 표구)이며, 이를 동표구라 한다.
동표구가 상기 식에서 구해지므로, 주 법선, 부 법선의 계산이 용이해져 곡선의 형상 해석을 용이하게 할 수 있다.
또한, E를 이용하여 로봇의 공구점의 자세를 구할 수 있고, 로봇 핸드에 의해 파지된 물체의 위치 자세를 구하는 것이 가능해진다.
E의 초기치 및 종료치를 각각 E0, E1이라 하면,
[수학식 81]
Figure 112006060875219-PCT00131
(14)
Figure 112006060875219-PCT00132
(15)
가 된다.
(3) 롤링
동표구를 고려함으로써, 3개째의 회전「롤(roll)」을 취급할 수 있다. 롤은 접선 방향 주위의 회전이다. 롤의 존재는 3차원 클로소이드 자신의 형상에는 영향을 미치지 않지만, 3차원 클로소이드로 유도되는 동표구에는 영향을 미친다. 구부러진 철사에 통과시킨 주판알은 철사의 주위로 자유롭게 회전할 수 있지만, 그에 의해 철사의 형태를 바꾸는 것은 아니다.
롤 회전을 고려할 때 동표구는 하기 식이 된다.
[수학식 82]
Figure 112006060875219-PCT00133
(16)
롤각(γ)에 대해서도 이것을 S의 함수로서 표현할 수 있다.
[수학식 83]
Figure 112006060875219-PCT00134
(17)
(4) 3차원 클로소이드 곡선의 기하학적 성질
(a) 3차원 클로소이드 곡선의 법선
3차원 곡선의 법선 벡터는 접선 방향 벡터(u)를 이용하여 다음 식으로 표시되는 것이 알려져 있다.
[수학식 84]
Figure 112006060875219-PCT00135
(18)
여기서, (7)식으로부터 3차원 클로소이드 곡선의 접선 벡터의 1차 미분은 하 기가 된다.
[수학식 85]
Figure 112006060875219-PCT00136
(19)
즉, 3차원 클로소이드 곡선의 법선 벡터는 S를 이용하여 하기의 형태로 표시된다.
[수학식 86]
Figure 112006060875219-PCT00137
(20)
(b) 회전을 이용한 3차원 클로소이드 곡선의 법선
여기서 (7)의 접선(u)의 결정과 마찬가지로 법선(n)에 대해서도 고려해 본다. 초기 접선 방향(1, 0, 0)에 대해 초기 법선 방향을 정수(γ)를 이용하여 (0, cosγ, -sinγ)로 나타낸다고 한다. 이를 접선과 동일하도록 회전시키면, 법선(n)은 하기와 같이 표시된다.
(20), (21)의 식을 비교하면 sinγ, cosγ는 하기에 대응하고 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 88]
Figure 112006060875219-PCT00138
(22)
(c) 3차원 클로소이드 보간에 있어서의 접속점에서의 법선 연속
3차원 클로소이드 보간에 있어서의 접속점에서의 법선 연속을 달성하기 위해서는 식(22)로부터
[수학식 89]
Figure 112006060875219-PCT00139
(23)
이 연속이면 되는 것을 알 수 있다.
(d) 3차원 클로소이드 곡선의 곡률
3차원 클로소이드 곡선의 곡률은 하기의 식으로 표시된다.
[수학식 90]
Figure 112006060875219-PCT00140
(24)
(19)식으로부터 곡률은,
[수학식 91]
Figure 112006060875219-PCT00141
(25)
로 표시된다.
(5) 3차원 클로소이드 곡선의 특징
(a) 곡선의 연속성
1개의 클로소이드 세그먼트(동일 매개 변수로 표시되는 클로소이드)에 있어서는, 그 접선 방향의 피치각 및 요각이 각각 곡선 길이 변수(S)의 2차식으로 부여되므로, 이것을 1회 미분하여 얻어지는 법선 방향 및 2회 미분하여 얻어지는 곡률이 곡선 길이 변수(S)에 관하여 연속인 것이 보증된다. 환언하면, 1개의 클로소이드 세그먼트 중에서는 법선 방향 및 곡률이 연속이다. 따라서, 매끄럽고 성질이 좋은 곡선이 얻어진다. 또한, 2개의 클로소이드 곡선을 연결하는 경우에도 그 이음매에 있어서 접선, 법선, 곡률이 연속이 되도록 매개 변수를 선택함으로써 매끄럽게 이어진 곡선을 만들 수 있다. 이것을 클로소이드 스플라인이라 한다.
(b) 적용성
곡선의 접선 방향을 2개의 각도 피치각(피치각 및 요각)으로 돌릴 수 있으므로, 다양한 조건에 맞춘 3차원 곡선을 임의로 만들 수 있어 다양한 용도로 이용할 수 있다.
(c) 기하 곡선과의 정합성
직선·원호·나사 곡선 등의 기하 곡선은 클로소이드 매개 변수 중 몇 개를 0으로 하거나, 혹은 몇 개의 매개 변수 사이에 특정한 함수 관계를 부여함으로써 만들 수 있다. 이들 곡선은 클로소이드 곡선의 일종이며, 클로소이드의 포맷을 이용하여 표현할 수 있다. 따라서, 종래의 NC와 같이 직선·원호·자유 곡선 등에 의해 서술하는 포맷을 바꾸어 취급할 필요는 없으며, 동일한 포맷을 이용하여 계산 하거나 제어하거나 할 수 있다.
또한, α 또는 β 중 어느 하나를 항상 0으로 둠으로써 2차원 클로소이드를 만들 수 있으므로, 지금까지 2차원 클로소이드에 대해 이미 얻어져 있는 자원을 활용할 수 있다.
즉, 이미 알려져 있는 2차원 클로소이드를 포함하여 원호나 직선 등의 개별의 곡선도 α나 β를 적절하게 설정함으로써 표현할 수 있다. 이러한 개별의 곡선에 대해 동일한 형식 3차원 클로소이드 곡선식을 이용할 수 있으므로, 계산 순서를 단순화할 수 있다.
(d) 전망의 장점
스플라인 보간 등의 종래의 보간법에서는, 자유 곡선을 수식화하였을 때에 그 전체의 형태, 혹은 국부적인 형태를 알기 어려운 경우가 많지만, 3차원 클로소이드에 있어서는 피치각 및 요각의 각각을 상정함으로써 비교적 용이하게 전체상을 파악할 수 있다.
또한, 클로소이드 곡선으로서 표현하였을 때, 선 길이·접선 방향·곡률 등의 값은 기지로 되어 있어, 종래의 보간법과 같이 다시 계산할 필요가 없다. 즉, 곡선의 매개 변수(S)에 대응하여 (7), (20) 및 (26)식에 나타낸 바와 같이 곡선의 접선이나, 법선, 곡률을 직접적으로 구할 수 있다. 이것은, 후술하는 수치 제어 방식에 매우 유효한 특징이다. 이에 의해, 대폭적으로 계산 시간을 단축하여 메모리 등의 자원을 조절할 수 있고, 또한 실시간으로의 보간 연산을 가능하게 한다.
NC 가공에 있어서, 공구 궤적의 최소 곡률 반경은 중요한 문제이며, 스플라 인 보간 등에서는 이것을 요구하는 데에 번거로운 계산을 필요로 하지만, 클로소이드에서는 일반적으로 세그먼트마다 최소 곡률 반경의 값이 기지이므로 커터 직경의 선정 등에 있어서 유리하다.
(e) 운동 제어의 용이성
곡선의 주변수가 길이 또는 정규화된 길이(S)이며, 곡선의 방정식은 이 길이에 대한 자연 방정식으로 부여되어 있다. 이로 인해, 길이(s)를 시간(t)의 함수로서 정함으로써 가감속 등의 운동 특성을 임의로 부여할 수 있고, 종래 캠 등에 이용되어 온 특성이 좋은 운동 곡선을 채용함으로써 가공 작업의 고속화를 도모할 수 있다. 길이(s)는 실재의 데카르트 공간에 있어서의 값으로서 부여되고, 속도·가속도는 접선 방향에 대해 구해지므로 종래의 보간법과 같이 각 축마다 부여된 값을 합성할 필요가 없다. 또한, 곡률의 계산이 용이하기 때문에 운동시의 원심 가속도도 용이하게 구해져 운동 궤적에 따른 제어를 행할 수 있다.
(6) 곡선의 생성과 각 매개 변수의 성질
정의에 따르면 3차원 클로소이드 곡선의 각 매개 변수가 곡선에 미치는 영향은 이하와 같다. 각 매개 변수를 부여함으로써 도49와 같이 3차원 클로소이드 곡선을 생성할 수 있다.
표20은 3차원 클로소이드 곡선의 각 매개 변수의 성질을 정리한 것이다.
[표20]
Figure 112006060875219-PCT00142
2. 3차원 클로소이드 곡선에 의한 보간법
(1) 원활한 접속의 수학적 조건
1개의 3차원 클로소이드 곡선에서는 곡선의 형상 표현에 한계가 있다. 여기서는, 수치 제어에 의한 공구의 운동 제어를 주 목적으로 하여, 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 세그먼트)을 복수개 접속하고, 이 복수개의 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어한다.
2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 원활하게 접속되어 있는 것은 단부점 위치, 접선 및 곡률이 연속으로 접속되어 있는 것이라 정의된다. 상술한 정의식을 이용하여, 이 조건은 이하와 같이 서술된다. 최초의 3식은 위치의 연속성, 다음 2식은 접선의 연속성, 다음 1식은 법선의 일치, 마지막 식은 곡률의 연속성을 나타내고 있다.
[수학식 92]
Figure 112006060875219-PCT00143
(26)
이것은 접속점에서 접선 벡터와 법선 벡터, 곡률과 α, β 연속이기 위한 충분히 조건이며 조건이 지나치게 엄격할 경우가 있다. 그래서 순수하게 조건을 충족시키도록 하기와 같이 조건을 바꿀 수도 있다.
[수학식 93]
Figure 112006060875219-PCT00144
(27)
여기서 또한,
[수학식 94]
Figure 112006060875219-PCT00145
인 것을 고려하여 넣으면,
[수학식 95]
Figure 112006060875219-PCT00146
는 하기의 조건으로 치환할 수 있다.
[수학식 96]
Figure 112006060875219-PCT00147
결국 하기의 조건을 충족시키면 목적을 달성할 수 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 97]
Figure 112006060875219-PCT00148
(28)
(28)식에 있어서, 최초의 3식은 위치의 연속성, 다음 2식은 접선 방향의 연속성, 다음 1식은 법선 방향의 일치, 마지막 식은 곡률의 연속성을 나타내고 있다. G2 연속된 보간을 행하기 위해서는, 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 (28)식의 7개의 조건식을 충족시킬 필요가 있다.
G2 연속(G은 Geometry의 이니셜)에 대해 보충한다. 도50은 G2 연속된 보간의 조건을 나타낸다.
G0 연속이라 함은 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 위치가 일치하는 것을 말하고, G1 연속이라 함은 접선 방향이 일치하는 것을 말하고, G2 연속이라 함은 접촉 평면(법선) 및 곡률이 일치하는 것을 말한다. 이하의 표21에 스플라인 곡선에서 이용되는 C0 내지 C2 연속과 본 발명의 클로소이드 곡선에서 이용되는 G0 내지 G2 연속을 대비한다.
[표21]
Figure 112006060875219-PCT00149
2개의 3차원 클로소이드 곡선의 연속성을 고려하였을 때에, C0→C1→C2, G0→G1→G2가 됨에 따라서 보간 조건이 엄격해진다. C1 연속에서는 접선의 크기도 방향도 일치할 필요가 있지만, G1 연속에서는 접선 방향만이 일치하면 된다. 2개의 3차원 클로소이드 곡선에서 접선을 원활하게 접속하는 경우는, G1 연속에서 조건식을 작성하는 것이 좋다. 스플라인 곡선과 같이 C1 연속으로 조건식을 작성하면, 기하학적으로는 관계가 없는 접선의 크기가 일치한다고 하는 조건이 들어가므로 조건이 지나치게 엄격해진다. G1 연속으로 조건식을 작성하면 1차 미분 계수의 크기를 자유롭게 취할 수 있다고 하는 이점이 있다.
G2 연속에서는 접촉 평면(법선)을 일치시킨다. 접촉 평면이라 함은 도51에 도시된 바와 같이 곡선(C)이 국소적으로 포함되는 평면(S1, S2)을 말한다. 이 도51에서는 점(P)에 있어서 접선 방향이 연속이지만 접촉 평면(S1, S2)이 불연속인 예를 나타내고 있다. 3차원 곡선의 연속성을 고려하였을 때에, 접선 방향의 일치의 다음으로 고려해야 하는 것은 접촉 평면의 일치이다. 곡률을 의논할 때에는 접촉 평면이 일치하고 있지 있으면 의미가 없고, 접촉 평면을 일치시킨 후에 곡률을 일치시킬 필요가 있다. 2개의 3차원 곡선에서 좌표, 접선 방향, 접촉 평면(법선 방향) 및 곡률을 일치시키는 것이 G2 연속을 충족시키는 조건이 된다.
(2) 구체적인 계산 순서
다음 2종류의 계산 순서가 있다.
(a) 곡선의 매개 변수(h, α, β)를 부여하여 1개의 3차원 클로소이드 곡선을 발생시키고, 그 단부점에서 (28)식을 충족시키도록 다음 3차원 클로소이드 곡선의 매개 변수를 정한다. 이와 같이 하여, 차례로 원활하게 접속하는 3차원 클로소이드 곡선을 발생시킬 수 있다. 이 계산 순서에 따르면, 곡선 매개 변수의 산출은 용이하며 이것을 순해라 한다. 이 방식에 따르면, 다양한 형상의 곡선을 용이하게 발생할 수 있지만, 곡선이 통과하는 접속점을 명시적으로 지정할 수는 없다.
(b) 미리 지정된 점군이 곡선의 접속점이 되도록 3차원 클로소이드 곡선을 접속할 수 있다. 여기서는, 이산적으로 임의로 부여된 점열의 각 구간마다 짧은 클로소이드 곡선(클로소이드 세그먼트)을 작성한다. 이 경우에는, (28)식을 충족시키도록 곡선 매개 변수를 결정하는 계산 순서는 (a)보다 복잡해 반복 수렴 계산이 된다. 이 계산 순서를 접속 조건으로부터 반대로 곡선 매개 변수를 결정하므로 역해라 한다.
상기 (b)의 역해에 대해 계산 수법을 상세하게 서술한다. 풀어야 할 계산 문제는 다음과 같이 정식화된다.
미지 매개 변수 : 곡선 매개 변수
구속 조건 : (28)식, 혹은 그 일부
요구되는 문제에 따라서, 구속 조건의 수는 변화되고 그에 알맞은 수의 곡선 매개 변수를 미지 매개 변수로서 설정하면 된다. 예를 들어, 곡률의 연속성이 요구되지 않는 경우에는, 일부의 곡선 매개 변수를 자유롭게 움직일 수 있다. 혹은, 곡률 연속으로 또한 접선 방향이 지정되어 있는 경우에는 보간에 이용하는 3차원 클로소이드 곡선의 수를 분할에 의해 증가시켜 대응하는 미지 곡선 매개 변수를 증가시킬 필요가 있다.
상기한 반복 수렴 계산을 안정적으로 수렴시키기 위해서는, 계산상의 고안이 필요하다. 계산의 발산을 피하고 수렴을 빠르게 하기 위해, 미지 매개 변수에 대해 보다 좋은 초기치를 설정하는 것은 유효하다. 그로 인해, 부여된 접속점 등의 구속 조건을 충족시키는 보다 단순한 보간 곡선, 예를 들어 선형 스플라인 곡선 등을 발생시키고, 그 곡선 형상으로부터 3차원 클로소이드 곡선의 곡선 매개 변수를 추산하여 반복 수렴 계산의 초기치로 하는 것은 유효하다.
혹은, 충족시켜야 할 구속 조건을 한번에 충족시키는 것은 아니며, 차례로 조건식을 증가시켜 가는 방식도 안정적으로 해를 얻는 수법으로서 유효하다. 예를 들어, 곡선 발생의 순서를 다음과 같은 3개의 STEP으로 나누어 차례로 실행한다. 제1 STEP으로서 위치 정보와 접선 방향이 일치하도록 보간한 후에, 제2 STEP으로서 법선 방향을 일치하도록 보간을 행하고, 제3 STEP에서 곡률도 일치하도록 보간한다. 이 수법의 흐름의 개요를 도52에 나타낸다. 필요한 3차원 클로소이드 곡선식 및 그 접선, 법선이나 곡률의 정의식은 이미 나타냈다.
(3) 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법의 실시예
(a) 보간법의 흐름
3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 부여된 점열의 사이를 매끄럽게 보간해 가는 수법의 실시예에 대해 상세하게 서술한다. 3차원 클로소이드 곡선을 이용한 보간법을 이후, 3차원 클로소이드 보간이라 한다. 보간에 의해 생성되는 곡선군 전체를 3차원 클로소이드 곡선이라 하고, 그것을 구성하는 단위 곡선을 3차원 클로소이드 세그먼트라 한다.
3차원 클로소이드 보간의 기본 흐름으로서는, 보간 대상의 점 사이를 연결하는 3차원 클로소이드 세그먼트의 각 매개 변수를 미지수로 하고, 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건을 충족시키는 해를 뉴턴-랩슨법으로 구하여 곡선을 생성한다. 이 흐름의 개요를 정리한 것이 도53이다. 여기서, G2 연속이라 함은 2개의 3차원 클로소이드 곡선이 그 단부점에서 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률이 일치하는 것을 말한다.
(b) G2 연속된 보간의 조건
3차원 클로소이드 보간에 있어서, 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건에 대해 구체적인 조건을 고려한다.
현재, 간단하게 3개의 점 P1={Px1, Py1, Pz1}, P2={Px2, Py2, Pz2}, P3={Px3, Py3, Pz3}이 있고, 그 점을 3차원 클로소이드 세그먼트에서 보간하는 것을 고려한 다. 도54는 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 나타낸다. 점(P1, P2) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C1), 점(P2, P3) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C2)이라 하면, 이 경우 미지수는 곡선(C1)의 매개 변수(a01, a11, a21, b01, b11, b21, h1), 곡선(C2)의 매개 변수(a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 14개가 된다. 또한, 이후 설명에서 나오는 문자의 하첨자는 각 곡선의 하첨자에 대응하고 있다.
여기서 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건을 고려한다. 우선, 시점에 있어서는 엄밀하게 보간 대상의 점을 지난다고 하는 조건은 3차원 클로소이드 곡선의 정의로부터 고려하면, 시점을 부여한 시점에서 필연적으로 달성되므로 보간 조건은 없다. 다음에 접속점(P1)에서는 위치에 대해 3개, 접선 벡터에 대해 2개, 곡률 연속의 조건의 식이 크기와 방향에 대해 2개의 7개 성립한다. 또한 종점에 대해서는, 점(P2)에서는 위치에 대해 3개의 3개이다. 이상으로부터 조건식은 합계 10개이다. 그러나, 이것으로는 미지수 14개에 대해 조건식이 10개밖에 존재하지 않으므로 미지수의 해를 구할 수 없다. 그래서, 본 연구에 있어서는 양단부점의 접선 벡터를 부여하고, 양단부점에 대해 2개씩의 조건을 증가시켜 조건식과 미지수의 수를 동등하게 하였다. 또한, 시점에 있어서의 접선 방향을 결정하면 aO1, bO1은 그 정의식으로부터 구할 수 있으므로 미지수로서 취급하지 않는 것으로 하였다. 이하, 각 조건에 대해 생각해 간다.
우선, 위치의 조건에 대해 고려하면 (1-1), (1-2), (1-3)식으로부터 하기의 3식이 성립한다(이하 자연수 i < 3으로 한다).
[수학식 98]
Figure 112006060875219-PCT00150
(1-1)
Figure 112006060875219-PCT00151
(1-2)
Figure 112006060875219-PCT00152
(1-3)
다음에, 접선 방향에 대해 고려하면 (1-4), (1-5)의 2식이 성립한다.
[수학식 99]
Figure 112006060875219-PCT00153
(1-4)
Figure 112006060875219-PCT00154
(1-5)
곡률(κ)의 크기에 대해서는 다음 식(1-6)이 성립한다.
[수학식 100]
Figure 112006060875219-PCT00155
(1-6)
마지막으로 법선 방향 벡터(n)에 대해 생각한다. 3차원 클로소이드 곡선의 법선 벡터(n)는 (21)식으로 표시된다.
여기서 3차원 클로소이드 곡선의 접선 벡터(u)의 결정과 마찬가지로 회전을 이용하여, 법선 벡터(n)를 고려해 본다. 초기 접선 방향(1, 0, 0)에 대해, 초기 법선 방향을 정수(γ)를 이용하여 (0, cosγ, -sinγ)로 나타내는 것으로 한다. 이것을 접선과 동일하도록 회전시키면 법선(n)은 식(1-7)과 같이 표시된다.
[수학식 101]
Figure 112006060875219-PCT00156
(1-7)
(21), (1-7)식을 비교하면, sinγ, cosγ는 (1-8)식에 대응하고 있는 것을 알 수 있다.
[수학식 102]
Figure 112006060875219-PCT00157
(1-8)
즉, 식(1-8)로부터 3차원 클로소이드 보간에 있어서의 접속점에서의 법선 연속을 달성하기 위해서는 tanγ가 연속이면 되는 것을 알 수 있다.
[수학식 103]
Figure 112006060875219-PCT00158
(1-9)
즉, 법선 연속인 조건은 식(1-10)인 것을 알 수 있다.
[수학식 104]
Figure 112006060875219-PCT00159
(1-10)
여기서 또한,
[수학식 105]
Figure 112006060875219-PCT00160
(1-11)
인 것을 고려하여 넣으면 조건식(1-10)은 하기의 조건식(1-12)로 치환할 수 있다. 즉, 법선 연속인 조건은(1-12)식이다.
[수학식 106]
Figure 112006060875219-PCT00161
(1-12)
이상을 정리하면 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건은 접속점에서는 식(1-13)과 같이 되는 것을 알 수 있다. 또한, 시점·종점에 있어서도 이들 중 몇 개의 조건이 선택된다.
[수학식 107]
Figure 112006060875219-PCT00162
(1-13)
이상으로부터, 미지수(a11, a21, b11, b21, h1, a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2의 12개에 대해 조건식은 하기의 12개가 성립되는 것을 알 수 있다[점(P3)에 있어서의 접선 방향 회전각을 α3, β3이라 한다].
[수학식 108]
Figure 112006060875219-PCT00163
(1-14)
이것으로 미지수 12개에 대해 12개의 식이 성립하므로 해를 구할 수 있다. 이것을 뉴턴-랩슨법에 의해 풀어 해를 구한다.
또한, 일반적으로 n개의 점열을 보간할 때를 생각할 때도 조건식은 현재 서술해 온 자연수(i)를 i<n으로 확장하면 좋다. 이후에는 미지수와 조건식의 수의 문제이다.
예를 들어, n-1개의 점열이 있을 때에, N개의 미지수와 N개의 관계식이 성립한다고 하자. 여기서 또한, 1점 증가하였다고 하면 미지수는 3차원 클로소이드 세그먼트(Pn-1, Pn)의 클로소이드 매개 변수(a0n, a1n, a2n, b0n, b1n, b2n, hn 의 7개가 증가한다. 한편, 조건식은 접속점이 1개 증가하므로 점(Pn-1)에서 위치에 대해 3개, 접선 벡터에 대해 2개, 점(Pn-1)의 곡률 연속의 조건의 식이 크기와 방향에 대해 2개의 합계 7개 증가한다.
n=3에서는 미지수, 관계식 모두 12개인 것을 알고 있으므로, n≥3에서는 미지수는 7(n-2)+5개, 이에 대해 성립하는 식도 7(n-2)+5개 있다. 이것으로 미지수와 그에 관한 조건의 수가 동등해지므로, n개의 자유 점열의 경우도 3점의 경우와 동일한 방법으로 해를 구하는 것이 가능하다. 해법으로서는, 미지수와 조건식의 사이에는 (1-15), (1-16)식의 관계가 성립하는 것을 이용한 뉴턴-랩슨법을 이용하여 풀었다(조건을 F 미지수를 u, 오차 자코비안 행렬 J라 한다).
[수학식 109]
Figure 112006060875219-PCT00164
(1-15)
Figure 112006060875219-PCT00165
(1-16)
이상으로부터, n개의 점열에 대해서도 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 3차원 클로소이드 보간을 행할 수 있는 것을 알 수 있다.
(c) 초기치의 결정
뉴턴-랩슨법에 있어서는, 해의 탐색을 시작할 때에 적당한 초기치를 부여할 필요가 있다. 초기치는 어떻게 주어져도 좋지만, 여기서는 그 초기치의 부여 방법의 일예에 대해 서술한다.
선행 연구인 3D 이산 클로소이드 스플라인은 엄밀하게 보간 대상점을 지나고, 곡률이 시점으로부터의 이동 거리에 대해 원활하게 변화되는 성질을 갖고 있다. 그래서, 본 연구에서는 3차원 클로소이드 보간을 위한 초기치를 도55와 같은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인의 폴리곤(Q)을 만들고, 그곳으로부터 계산으로 결정하였다.
여기서, 3D 이산 클로소이드 스플라인에 대해 보충 설명한다. 도56에 도시된 바와 같이 우선, 보간 대상의 점열을 정점으로 하는 다각형(P)을 만들고, P의 각 정점 사이에 동일한 수 r개씩 새로운 정점을 삽입하고, P⊂Q가 되는 다각형(Q)을 만든다. 여기서, P의 정점이 n개 있다고 하면, 폴리곤(Q)은 폐쇄되어 있는 경우에서 rn개, 개방되어 있는 경우에서 r(n-1)+1개의 정점을 갖게 된다. 이후 하첨자를 시점으로부터의 일련 번호로서, 각 정점을 qi로 나타내는 것으로 한다. 또한, 각 정점에 있어서 방향으로서 종법선 벡터(b)를, 크기로서 곡률을 갖는 벡터(k)를 정한다.
이 때, 하기의 정점끼리가 등거리가 되는 식(1-17)을 충족시키고, 곡률이 시점으로부터의 이동 거리에 비례하는 조건에 가장 가까워질 때의[식(1-18)의 함수를 최소화할 때의] 폴리곤(Q)을 3D 이산 클로소이드 스플라인이라 한다.
[수학식 110]
Figure 112006060875219-PCT00166
(1-17)
Figure 112006060875219-PCT00167
(1-18)
3D 이산 클로소이드 스플라인에서는 각 정점의 프레네 표구가 이미 구해져 있다. 그래서, 그 단위 접선 방향 벡터(t)로부터 매개 변수(a0, b0)를 구한다. 이 접선 방향 벡터(t)는 폴리곤(Q)을 구하였을 때에 이미 기지로 되어 있고, 이 t와 3차원 클로소이드 곡선의 접선의 식에 의해 폴리곤(Q)의 정점의 접선 방향 회전각 (α, β)이 구해진다. 이에 의해, 각 곡선의(a0, b0)의 초기치가 구해진다. 또한, 시점으로부터 시작되는 3차원 클로소이드 선분에 있어서는 그 값을 부여한다.
[수학식 111]
Figure 112006060875219-PCT00168
(1-19)
여기서, 3D 이산 클로소이드 스플라인은 정점이 등거리로 나열되어 있는 것을 고려하면, 도55의 점(q4i+1)에서는 곡선 길이 변수(S)가 1/4이면 근사할 수 있다. 마찬가지로 점[q4(i+1)-1]에서는 곡선 길이 변수(S)가 3/4이면 근사할 수 있다. 이들을 3차원 클로소이드 곡선의 α의 식을 맞추어 고려하면 하기의 식(1-20)이 성립한다.
[수학식 112]
Figure 112006060875219-PCT00169
(1-20)
이 식은 미지수가 a14i와 a24i인 2차원 연립 방정식으로 되어 있고, 이것을 풀어 매개 변수(a1, a2)의 초기치로 한다. 마찬가지로 매개 변수(b1, b2)의 초기치도 결정할 수 있다.
남는 미지수는 곡선 길이(h)이지만, 이 초기치 대해 3차원 클로소이드 곡선 의 곡률의 식으로부터 산출한다. 3차원 클로소이드 곡선의 곡률은 식(1-21)로 표시된다.
[수학식 113]
Figure 112006060875219-PCT00170
(1-21)
이 식을 변형하면 식(1-22)이 되어 h의 초기치가 결정된다.
[수학식 114]
Figure 112006060875219-PCT00171
(1-22)
이상의 방법으로 7개의 3차원 클로소이드 매개 변수에 대해 초기치를 결정할 수 있다. 이 결정한 초기치를 이용하여 (b)에서 서술한 G2 연속이 되는 조건하에서 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구하였다. 이에 의해, 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 선분을 생성하고, 점열간을 3차원 클로소이드 곡선으로 보간하는 것을 행하였다.
(d) 보간예
실제로 이상에 서술한 수법으로 점열을 보간한 예로서(0.0, 0.0, 0.0), (2.0, 2.0, 2.0), (4.0, 0.0, 1.0), (5.0, 0.0, 2.0) 의 4점을 3차원 클로소이드 보간한 예를 든다. 보간에 의해 생성된 3차원 클로소이드 곡선의 투시도를 도57에 도시하였다. 도57은 실선이 3차원 클로소이드 곡선이며, 파선, 1점 쇄선, 2점 쇄선은 곡선상의 각 점에 있어서의 크기를 log(곡률 반경+자연 로그e)에, 방향을 법 선 벡터에 취한 곡률 반경 변화 패턴이다.
또한, 표22에 각 곡선의 매개 변수를, 또한 표23에 각 접속점에서의 좌표·접선·법선·곡률의 어긋남을 나타냈다. 이들에 의해, 각 접속점에서 G2 연속이 되는 3차원 클로소이드 곡선이 생성되어 있는 것을 알 수 있다. 또한, 도58은 횡축에 시점으로부터의 이동 거리, 종축에 곡률을 취한 곡률 변화 그래프이다.
[표22]
Figure 112006060875219-PCT00172
[표23]
Figure 112006060875219-PCT00173
(4) 양단부에 있어서의 각 값의 제어를 고려한 G2 연속된 3차원 클로소이드 보간
(a) 보간 조건과 미지수
(3)에서 서술한 바와 같이 곡선이 개방되어 있는 경우에서 보간 대상의 점이 n개 있을 때에, 점열은 n-1개의 곡선으로 3차원 클로소이드 보간된다. 엄밀하게 각 점을 지나면 각 3차원 클로소이드 선분에 대해 미지수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개 있으므로, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개 있게 된다. 한편, 조건식에 대해서는 n-2개 있는 접속점마다 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩과 종점에 있어서의 좌표의 3개가 존재하므로 전부 7(n-2)+3개이다. (3)의 수법에서는 이에 시점·종점에 있어서의 접선 벡터를 부여하고, 조건을 4개 증가시킴으로써 조건식과 미지수의 수를 맞추고 있었다.
여기서, 시점·종점에 있어서의 접선·법선·곡률을 제어하고, 또한 G2 연속이 되도록 보간하면 조건은 양단부에 있어서의 접선을 제어하였을 때와 비교하여 또한 시점·종점에서 법선·곡률에 대해 2개씩의 합계 4개 증가하게 된다. 그러면, 조건식은 전부 7n-3개가 된다. 이 경우, 미지수의 수가 조건보다 적어지므로, 뉴턴-랩슨법으로 해를 구할 수는 없다. 그로 인해, 어떠한 방법으로 미지수를 증가시킬 필요가 있다.
그래서, 여기서는 보간 대상점을 새롭게 삽입함으로써 미지수와 조건식의 수를 동등하게 하는 것으로 하였다. 예를 들어, 4개 미지수의 쪽이 많은 것이면, 새로운 점을 2개 삽입하고, 각 점의 좌표 중 2개를 미지수로서 취급한다.
이 경우 접속점이 2개 증가하므로, 각 접속점에 대해 조건이 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩의 14개 증가한다. 한편, 미지수는 3차원 클로소이드 선분이 2개 증가하므로, a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개씩의 합계 14개의 미지수가 증가하게 된다. 이 때, 점열에 포함되는 점의 수는 n+2개이므로, 전체적으로 고려하면 미지수는 7(n+1)개, 조건식은 7(n+1)+4개가 된다. 여기서 또한, 새롭게 삽입한 점의 좌표 중 2개를 미지수로서 취급하는 것으로 하면, 미지수는 4개 증가하게 된다. 그러면, 미지수도 조건식도 7(n+2)-3개가 되어 미지수의 해를 구할 수 있게 된다. 이와 같이 새로운 점을 삽입함으로써 부여된 각 점을 엄밀하게 지나고 G2 연속 또한 양단부점의 접선·법선·곡률을 제어한 보간을 행하는 것이 가능해진다.
또한, 일반적인 경우에 대해 고려한다. n개의 점열을 보간할 때 양단부점에 서 m개의 항목을 제어하는 경우에 대한 삽입하는 점의 수와 그 점에 있어서 미지수로서 취급하는 좌표의 수에 대해 고려한다. 앞서 기재하였지만, 곡선이 개방되어 있는 경우, 점열은 n-1개의 곡선으로 보간된다. 만일, 엄밀하게 각 점을 지나면 각 3차원 클로소이드 선분에 대해 미지수는 a0, a1, a2, b0, b1, b2, h의 7개 있으므로, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개 있게 된다. 한편, 조건식에 대해서는 n-2개 있는 접속점마다 좌표, 접선, 법선, 곡률의 7개씩과 종점에 있어서의 좌표의 3개가 존재하므로 전부 7(n-2)+3개이며, 조건식의 쪽이 4개 적다. 즉, 양단부점에 있어서 제어되어야 하는 항목은 4개 이상이 된다. 이하, 설명 중에서 m은 4 이상의 자연수, k는 2 이상 자연수로서 새롭게 점을 삽입하였을 때에 조건식과 미지수의 수를 동등하게 하는 방법에 대해 서술한다.
(i) m=2k일 때
양단부에서 맞추어 m=2k개의 항목을 제어할 때, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개, 조건식은 전체적으로 7(n-1)-4+2k개이다. 이 때, 과잉의 조건식은 2k-4개이다. 현재, k-2개의 점을 새롭게 삽입하는 것을 고려하면, 3차원 클로소이드 선분이 k-2개, 접속점이 k-2개 증가하므로 미지수는 전체적으로 7(n+k-3)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-3)-4+2k개가 된다. 여기서, 또한 새롭게 삽입한 각 점의 좌표의 값 중 2개(예를 들어 x, y)를 미지수로서 취급하는 것으로 하면 미지수는 전체적으로 7(n+k-3)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-3)+2(k-2)개가 되어 미지수와 조건식의 수가 동등해진다.
(ii) m=2k+1일 때
양단부에서 맞추어 m=2k+1개의 항목을 제어할 때, 미지수는 전체적으로 7(n-1)개, 조건식은 전체적으로 7(n-1)+2k-3개이다. 이 때 과잉의 조건식은 2k-3개이다. 현재, k-1개의 점을 새롭게 삽입하는 것을 고려하면, 3차원 클로소이드 선분이 k-1개, 접속점이 k-1개 증가하므로 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)-3+2k개가 된다. 여기서 또한, 새롭게 삽입한 각 점의 좌표의 값 중 2개(예를 들어 x, y)를 미지수로서 취급하는 것으로 하면, 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)+2k-3개가 되어 조건식의 수가 1개 많아진다. 거기에서, m=2k+1의 경우에는 삽입한 점 중 1개의 점에 있어서는 좌표의 값 중 1개만을 미지수로서 취급하는 것으로 한다. 그렇게 함으로써, 미지수는 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개, 조건식은 전체적으로 7(n+k-2)+2(k-2)개가 되어 미지수와 조건식의 수가 동등해진다.
이상에 서술한 방법과 같이, 추가되는 조건의 수에 맞추어, 삽입한 점의 좌표 중 미지수로 하는 수를 조정함으로써 접선, 법선, 곡률 이외의 예를 들어 접선 회전각(α)을 제어하는 경우 등의 다양한 경우라도 미지수와 조건식의 수를 맞출 수 있어, 이론상 양단부점의 각 값을 제어할 수 있다. 또한, 제어 항목과 미지수, 조건식의 수에 대해 정리한 것을 표24에 나타낸다.
[표24]
Figure 112006060875219-PCT00174
(b) 수법
시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법은 도59 및 도60에 도시된 바와 같이 이하의 흐름으로 행해진다.
Step1) 제어하는 조건 중 4개만을 이용하여 엄밀하게 보간 대상점을 지나고, 또한 G2 연속된 보간을 행하여 곡선을 생성한다.
Step2) 생성된 곡선 상에 새로운 점을 삽입하고, 조건식과 미지수의 수를 조정한다.
Step3)의 곡선 매개 변수를 초기치로 하여, 원하는 조건을 충족시키는 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구한다.
이하, 각 Step에 대해 설명을 보충한다. 우선 Step1에 있어서는 접선 방향을 제어하는 것이면, (3)의 수법을 이용하여 곡선을 생성한다. 또한, 접선 방향을 제어하지 않는 경우에 대해서도 그 곡선의 매개 변수를 구할 때의 초기치로서는 (3)의 수법과 동일한 초기치를 이용한다.
다음에 Step2에 있어서 새로운 점을 삽입하고, 조건과 미지수의 수의 조정을 행하게 된다. 이 때, 새롭게 삽입하는 점은 각 보간 대상점 사이에 있어서 가능한 한 1개 이하가 되게 한다. 또한, 삽입되는 점으로서는 보간 대상점끼리를 연결하는 Step1에서 생성된 3차원 클로소이드 선분의 중간의 점을 삽입하였다. 또한, 삽입되는 점은 양단부로부터 차례차례 삽입해 가는 것으로 한다. 즉, 최초에 삽입되는 것은 시점과 그 이웃의 점 사이와 종점과 그 이웃의 점 사이이다.
마지막으로 Step3에 대해, Step3에서 행하는 뉴턴-랩슨법으로 인한 초기치를 새롭게 결정할 필요가 있다. 그로 인해, 새로운 점이 삽입된 곡선에 대해서는, 1-4에서 서술한 3차원 클로소이드 곡선을 분할하는 수법을 이용하여 곡선을 분할하고, 생성된 곡선의 각 값으로부터 결정하였다. 점이 삽입되어 있지 않은 곡선에 대해서는 Step1에서 생성한 곡선의 값을 그대로 이용한다. 이상에서, Step3에 있어서의 곡선의 각 매개 변수의 초기치를 결정하였다. 이 초기치를 이용하여, 뉴턴-랩슨법에 의해 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 곡선을 생성하고, 점열 사이를 원하는 조건을 충족시키는 3차원 클로소이드 곡선으로 보간을 행하였다.
(C) 보간예
실제로 양단부에서의 접선, 법선, 곡률을 표25의 조건으로 제어하도록 3차원 클로소이드 보간한 예를 나타낸다. 엄밀하게 지나야 할 보간 대상의 점에 일련 번호를 매겨 P1, P2, P3으로 하였다.
[표25]
Figure 112006060875219-PCT00175
이 조건에서 실제로 보간을 행한 결과를 도61에 도시한다. 실선이 3차원 클로소이드 곡선, 파선·1점 쇄선·2점 쇄선·3점 쇄선은 각 곡선의 곡률 반경 변화 패턴을 나타내고 있다. 또한, 도62에 도61의 곡선의 종류를 대응시킨 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리와 곡률의 관계의 그래프를 나타낸다. 생성된 곡선은 표26으로부터 알 수 있는 바와 같이 부여한 조건을 충족시키고 있는 것을 알 수 있다.
[표26]
Figure 112006060875219-PCT00176
(d) 중간점에서의 값의 제어
(b)의 수법에 의해 양단부점에 있어서의 각 값을 제어하면서, G2 연속된 보간을 행할 수 있게 되었다. 여기서, 양단부점이 아닌 중간점에 있어서 값을 제어 하는 경우에 대해 고려한다.
예를 들어, 도63과 같은 점열을 보간하는 경우에 있어서, 중간점(Pc)에서 접선, 법선을 제어하는 것을 고려한다. 그러나, 지금까지 서술해 온 수법으로는 중간점에 있어서의 값을 제어할 수는 없다. 그래서, 여기서는 이 점열을 2개로 나눔으로써 중간점에서의 값을 제어하였다.
즉, 점열에 대해 일거에 보간을 행하는 것은 아니며, 중간점(Pc)을 사이에 두고 곡선(C1과 C2)으로 나누어 보간을 행한다. 그 경우 점(Pc)은 단부점에 닿게 되므로 (b)의 수법을 이용하면 값을 제어할 수 있게 된다.
이와 같이 제어하고자 하는 값이 있는 점에서 구분을 나누고, 그 양단부에 있어서의 값을 제어하여 보간한 결과 생성되는 곡선을 연결해 가면, 이론상 각 점에 있어서 접선·법선·곡률의 제어 가능한 3차원 클로소이드 보간을 행할 수 있다.
(5) 양단부점에서의 접선, 법선, 곡률을 제어한 3차원 클로소이드 보간
(a) 수법의 흐름
시점·종점에서 각 값을 제어하는 3차원 클로소이드를 이용한 보간법은 도64에 도시되는 이하의 흐름으로 행해진다. 이후, 이 흐름에 따라 설명한다.
(b-1) 보간 대상의 점을 부여한다
본 예에서는 3차원 공간의 3점{0.0, 0.0, 0.0}, {5.0, 5.0, 10.0}, {10.0, 10.0, 5.0}을 부여하였다. 그 밖에 각 점에 부여한 접선, 법선, 곡률 등의 조건을 정리하여 표27에 나타냈다.
[표27]
Figure 112006060875219-PCT00177
(b-2) r=4의 3DDCS의 생성
뉴턴-랩슨법에 있어서는, 해의 탐색을 시작할 때에 적당한 초기치를 부여할 필요가 있다. 여기서는 그 초기치를 얻기 위한 준비를 한다. 선행 연구인 3D 이산 클로소이드 스플라인은, 엄밀하게 보간 대상점을 지나고 곡률이 시점으로부터의 이동 거리에 대해 원활하게 변화하는 성질을 갖고 있다. 그래서, 본 연구에서는 3차원 클로소이드 보간을 위한 초기치를 도65와 같은 r=4의 3D 이산 클로소이드 스플라인의 폴리곤(Q)을 만들고 그곳으로부터 계산으로 결정하였다. 또한, 실제로 이 점열로부터 생성된 폴리곤을 도66에, 정점의 좌표를 표28에 나타냈다.
[표28]
Figure 112006060875219-PCT00178
(b-3) 초기치의 결정
뉴턴-랩슨법으로 해를 구하기 위해서는, 각 미지수의 초기치를 결정할 필요가 있다. 본 수법에서는 그 값을 b-2에서 생성한 폴리곤(Q)를 사용하여, 각 미지수의 근사치를 구하여 결정한다. 3D 이산 클로소이드 스플라인에서는 각 정점의 프레네 표구가 이미 구해져 있다. 그래서, b-2에서 생성한 폴리곤(Q)의 단위 접선 방향 벡터(t)로부터 매개 변수(a0, b0)를 구한다. 이 접선 방향 벡터(t)는 폴리곤(Q)을 구하였을 때에 기지로 되어 있어, 이 t와 3차원 클로소이드 곡선의 접선의 식에 의해 폴리곤(Q)의 정점의 접선 방향 회전각(α, β)이 구해진다. 이에 의해, 각 곡선의 a0, b0의 초기치가 구해진다. 또한, 시점으로부터 구해지는 3차원 클로소이드 세그먼트에 있어서는 그 값을 부여한다.
[수학식 115]
Figure 112006060875219-PCT00179
여기서, 3D 이산 클로소이드 스플라인은 정점이 등거리로 나열되어 있는 것을 고려하면, 도65의 점(q4i +1)에서는 곡선 길이 변수(S)가 1/4이면 근사할 수 있다. 마찬가지로 점q[4(i+1)-1]에서는, 곡선 길이 변수(S)가 3/4이면 근사할 수 있다. 이들을 3차원 클로소이드 곡선의 α의 식을 맞추어 고려하면 하기의 식이 성립된다.
[수학식 116]
Figure 112006060875219-PCT00180
이 식은 미지수가 a14i와 a24i의 2차원 연립 방정식으로 되어 있고, 이것을 풀어 매개 변수(a1, a2)의 초기치로 한다. 마찬가지로 매개 변수(b1, b2)의 초기치도 결정할 수 있다.
남는 미지수는 곡선 길이(h)이지만, 이 초기치 대해서는 3차원 클로소이드 곡선의 곡률의 식으로부터 산출한다. 3차원 클로소이드 곡선의 곡률은 하기에서 표시된다.
[수학식 117]
Figure 112006060875219-PCT00181
이 식을 변형하면 이하의 식이 되어 h의 초기치가 결정된다.
[수학식 118]
Figure 112006060875219-PCT00182
이상의 방법으로 7개의 3차원 클로소이드 매개 변수에 대해 초기치를 결정할 수 있다.
실제로 이 수법에 의해 구한 초기치를 표29에 나타낸다.
[표29]
Figure 112006060875219-PCT00183
(b-4) 엄밀하게 각 점을 지나고, G2 연속된 3차원 클로소이드 보간
(b-3)에서 결정한 초기치를 이용하여 G2 연속이 되는 조건하에서 각 곡선의 매개 변수의 근사치를 뉴턴-랩슨법에 의해 구한다. 이에 의해 얻어진 매개 변수로부터 3차원 클로소이드 세그먼트를 생성하고, 점열 사이를 3차원 클로소이드 곡선으로 보간하는 것을 행하였다.
여기서, 3점의 3차원 클로소이드 보간에 있어서 엄밀하게 보간 대상의 점을 지나고, 또한 G2 연속이 되는 조건에 대해 구체적인 조건을 고려한다. 도67은 점(P1, P2, P3)의 3차원 클로소이드 보간을 나타낸다. 점(P1, P2) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C1), 점(P2, P3) 사이를 연결하는 곡선을 곡선(C2)이라 하면, a01과 b01은 이미 기지이므로, 미지수는 곡선(C1)의 매개 변수(a11, a21, b11, b21, h1), 곡선(C2)의 매개 변수(a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 12개가 된다. 이후 설명에 나오는 문자의 하첨자는 각 곡선의 하첨자에 대응하고 있고, 각 곡선에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Pxi, Pyi, Pzi, αi, βi, ni, κi와 같이 나타낸다.
우선, 점(P1)에 있어서는 엄밀하게 보간 대상의 점을 지난다고 하는 조건은 3차원 클로소이드 곡선의 정의로부터 고려하면, 시점을 부여한 시점에서 필연적으로 달성된다. 또한 접선 방향에 대해서도 이미 기지인 값으로서 부여하므로 점(P1)에 있어서의 조건은 특별히 지정하지 않는다.
다음에 점(P2)에 대해 고려한다. 점(P2)은 곡선끼리의 접속점이며, G2 연속 이 되기 위해서는 위치, 접선, 법선, 곡률이 연속될 필요가 있다. 즉, 점(P2)에 있어서 성립해야 할 조건은 하기와 같아진다.
[수학식 119]
Figure 112006060875219-PCT00184
마지막으로 점(P3)에 대해 고려한다. 점(P3)은 종점이며, 충족시켜야 할 조건은 위치, 접선뿐이므로 이하의 5개의 조건이 성립한다. 여기서, α3, β3은 부여하는 종점에 있어서의 접선 벡터를 정하는 접선 방향 회전각(α, β)으로 한다.
[수학식 120]
Figure 112006060875219-PCT00185
이상으로부터, 미지수(a1, a2, b1, b2, h1, a02, a12, a22, b02, b12, b22, h2)의 12개에 대해 조건식은 하기의 12개가 성립하는 것을 알 수 있다. 정리하면 성립하는 조건식은 하기와 같아진다.
[수학식 121]
Figure 112006060875219-PCT00186
이것으로 미지수 12개에 대해 12개의 식이 성립하므로 해를 구할 수 있다. 이 식을 뉴턴-랩슨법에 의해 풀어 해를 구하였다. 표30에 초기치와 해를 나타낸다.
[표30]
Figure 112006060875219-PCT00187
(b-5) 곡선의 생성
도68은 (b-4)에서 구한 매개 변수를 바탕으로 생성한 곡선과 b-2에서 생성한 폴리곤을 동시에 표시한 것이다. 실선의 곡선이 곡선(C1), 파선의 곡선이 곡선(C2)이다. 이 단계에서는 시점·종점에서 접선 방향을 제어한 G2 연속된 3차원 클로소이드 곡선으로 되어 있다.
(b-6) 조건식과 미지수
여기서 또한 시점(P1)과 종점(P3)에 있어서의 법선과 곡률도 표27에서 부여한 값으로 하는 것을 고려한다. 시점·종점에서 또한 법선과 곡률을 제어하기 위해서는, 시점과 종점에 있어서의 조건을 각각 2개 증가시킬 필요가 있다. 그러나, 조건이 4개 증가한 상태에서는 미지수의 수와의 관계로부터 그 조건을 충족시키는 해를 구할 수 없다. 그래서, 미지수와 조건식의 수를 맞추기 위해, 도69에 도시된 바와 같이 곡선(C1)의 곡선 길이 변수 S=0.5의 위치에 점(DP1)을 새롭게 삽입하였다. 또한, 곡선(C2)에 대해서도 곡선 길이 변수 S=0.5의 위치에 점(DP2)을 새롭게 삽입하였다.
이 때, 점(P1)과 점(DP1)을 연결하는 곡선을 곡선(C'1), 점(DP1)과 점(P2)을 연결하는 곡선을 곡선(C2), 점(P2)과 점(DP2)을 연결하는 곡선을 곡선(C'3), 점(DP2)과 점(P3)을 연결하는 곡선을 곡선(C'4)이라 한다. 이후 설명에 나오는 문자의 하 첨자는 각 곡선명에 대응하고 있고, 예를 들어 곡선(C)에 있어서의 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 곡선 길이 변수(S)의 함수로서 Pxc, Pyc, Pzc, αc, βc, nc, κc와 같이 나타낸다. 또한, 시점·종점에 있어서는 좌표, 접선 회전각(α, β), 법선, 곡률을 시점에서는 Pxs, Pys, Pzs, αs, βs, ns, κs, 종점에서는 Pxe, Pye, Pze, αe, βe, ne, κe와 같이 나타낸다.
이하에 각 점에 있어서 성립하는 조건을 나타낸다.
[수학식 122]
Figure 112006060875219-PCT00188
Figure 112006060875219-PCT00189
이상으로부터, 전체적으로 성립해야 할 조건식은 32개이다. 여기서, 각 곡선이 갖는 클로소이드 매개 변수는(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)의 7개씩이며, 또한 곡선이 4개이므로 미지수는 28개가 된다. 그러나, 이것으로는 미지수와 조건식의 수가 동등하지 않으므로 해를 구할 수 없다. 그래서, 새롭개 삽입한 2개의 점(DP1, DP2)의 y, z 좌표를 미지수로서 취급하여 미지수를 4개 증가시켰다. 이와 같이 함으로써 미지수도 조건식도 32개가 되어 해를 구할 수 있다.
(b-7) 초기치의 결정 2
(b-6)에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 구하기 위해 뉴턴-랩슨법을 이용하지만, 그 수렴율을 높이기 위해 미지수의 초기치를 결정한다. 방법으로서는, 도70과 같이 (b-5)에서 생성한 3차원 클로소이드 곡선을 새롭게 삽입한 점의 전후에서 분할함으로써 3차원 클로소이드 곡선을 4개 만들어 그 클로소이드 매개 변수를 부여하였다.
곡선의 분할법에 대해서는 곡선(C1)을 곡선(C'1)과 곡선(C'2)으로 분할하는 방법을 설명하면, 곡선(C'1)의 클로소이드 매개 변수(h', a'0, a'1, a'2, b'0, b'1, b'2)는 곡선(C1)의 매개 변수를 이용하여 하기의 식으로 나타낼 수 있다. 여기서 Sd는 분할점에 있어서의 곡선 길이 변수로, 여기서는 0.5이다.
[수학식 123]
Figure 112006060875219-PCT00190
다음에 분할점(DP1)을 시점으로 하는 곡선(C'2)에 대해 고려한다. 우선, 곡선(C1)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 곡선(C"1)이라 하면, 그 곡선의 클로소이드 매개 변수(h", a"0, a"1, a"2, b"0, b"1, b"2)는 곡선(C1)의 곡선의 매개 변수를 이용하여 하기의 식으로 나타낼 수 있다.
[수학식 124]
Figure 112006060875219-PCT00191
이 곡선상에 있어서 분할점(DP1)은 DP1=C"1(1-Sd)로 표시된다. 여기서 곡선(C"1)을 점(DP1)으로 분할하는 것을 고려하면, 그 분할된 곡선 중 점(P2)을 시점으로 하는 곡선(CP"2)은 곡선(C'2)과 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선으로 되어 있다. 곡선(C'1)을 생성한 방법에 의해 곡선(C"2)은 생성할 수 있다. 여기서, 또한 곡선(C"2)에 대해 크기, 형상이 동일하며 방향이 반대인 곡선을 생성하면, 곡선(C2)은 생성할 수 있다.
이 곡선(C2)의 클로소이드 매개 변수(h", a"0, a"1, a"2, b"0, b"1, b"2)는 곡선(C0)의 매개 변수를 이용하여 하기의 식으로 표시된다.
[수학식 125]
Figure 112006060875219-PCT00192
이상의 방법으로, 3차원 클로소이드 곡선(C1) 상의 곡선 길이 변수가 S=0.5인 점(DP1)에서 곡선(C1)을 곡선(C'1과 C'2)으로 분할할 수 있다. 동일한 수법으로, 곡선(C2) 상의 곡선 길이 변수가 S=0.5인 점(DP2)에서 곡선(C2)을 곡선(C'3과 C'4)로 분할할 수 있다.
이 방법으로 분할한 4개의 곡선의 매개 변수를 표31에 나타냈다. 이 곡선의 매개 변수를 b-6에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 구할 때의 뉴턴-랩슨법의 초기치에 이용하였다.
[표31]
Figure 112006060875219-PCT00193
(b-8) 조건을 충족시키는 클로소이드 매개 변수를 구한다
(b-7)에서 결정한 초기치를 바탕으로 (b-6)에서 세운 조건식을 충족시키는 해를 뉴턴-랩슨법으로 구하였다. 표32는 산출된 각 곡선의 매개 변수이다. 또한, 표33은 부여한 값과 생성된 곡선의 시점·종점의 접선, 법선, 곡률의 차를 나타낸 것이다.
[표32]
Figure 112006060875219-PCT00194
[표33]
Figure 112006060875219-PCT00195
(b-9) 곡선의 생성
(b-8)에서 구한 매개 변수에 의해 생성된 곡선을 도71에 도시한다. 실선이 3차원 클로소이드 곡선, 파선·1점 쇄선·2점 쇄선·3점 쇄선은 각 곡선의 방향을 주 법선 방향으로, 크기를 곡률 반경으로 자연 로그를 더하여 로그를 취한 곡률 반경 변화 패턴을 나타내고 있다. 또한, 도72에 도71의 선의 종류에 대응시킨 각 곡선의 시점으로부터의 이동 거리(s)와 곡률(κ)의 관계의 그래프를 나타낸다. 생성된 곡선은, 표33으로부터 알 수 있는 바와 같이 부여한 조건을 충족시키고 있는 것을 알 수 있다.
이상에서, 양단부에서 접선, 법선, 곡률을 제어한 3차원 클로소이드 보간법에 의한 곡선 생성의 예를 나타냈다.
3. 3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방식
상기한 3차원 클로소이드 보간 곡선은 공작 기계의 공구나 그 밖의 운동 대상물의 운동 제어를 위한 수치 제어 정보의 발생에 유효하게 이용된다. 그 특징은 속도 제어가 용이한 것 및 속도 변화를 원활하게 하는 것이 가능한 것이다.
(1) 3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방식
3차원 클로소이드 보간 곡선을 이용한 수치 제어 방식은 도73에 도시된 다음 순서로 이루어진다.
(a) 공구 운동 궤적의 설계(도73, S1)
전절에 서술한 수법에 의해, 조건을 충족시키는 3차원 클로소이드 보간 곡선을 결정한다. 로봇 등의 공구가 움직일 때, 그 공구의 대표점(공구점, tool center point)은 평면적 혹은 공간적으로 그려진 연속된 궤적 곡선(직선을 포함함) 상을 시간적으로 이동한다고 생각할 수 있다. 공구점의 위치는 좌표(x, y, z)로 표시되고, 공구점의 자세는 예를 들어 x, y, z축에 대한 회전 각도로 표시된다. 어떠한 복잡한 움직임에서도, 공구점의 궤적은 띄엄띄엄 되는 일 없이 연속적으로 연결되어 있다. 운동 제어의 제1 단계는, 이 궤적의 형상을 3차원 클로소이드 곡선에 설계하는 것에 있다.
(b) 운동 곡선의 적용(도73, S2)
수치 제어로부터의 요구에 의해, 3차원 클로소이드 보간 곡선에 따라 곡선 상의 제어 대상점의 이동 속도의 분포를 지정한다. 즉, 운동 제어의 제2 단계는, 설계된 궤적 상을 움직이는 공구점의 속도·가속도를 결정하는 것이다. 궤적 상을 공구점이 어떠한 시간의 함수로서 움직일지는 공구점의 속도·가속도를 결정함으로써 정해진다. 공구점의 속도·가속도는 시간에 대해 결정되는 경우와, 궤적의 형상에 따라 결정되는 경우가 있다. 일반적으로는, 시간에 대해 결정되는 경우가 많지만, 예를 들어 곡면 가공을 하는 경우 평평한 부분에서는 고속으로 이동시키고, 구부러져 있는 부분에서는 저속으로 이동시키고자 하는 요청으로부터 궤적의 형상에 따라 속도가 결정된다.
본 실시 형태에 있어서는, 예를 들어 캠 기구에 채용되어 있는 특성이 좋은 곡선을 채용한다. 데카르트 공간(실재 공간)으로 정의된 위치·자세는 연속된 곡선군을 구성하고 있지만, 그 하나하나의 곡선에 운동 곡선을 적용하여 가감속을 지정한다. 데카르트 공간이라 함은, 원점에서 서로 직교하는 x, y, z의 3축을 이용하여 만들 수 있는 3차원 좌표계이며, 공구점의 위치뿐만 아니라 자세도 나타낼 수 있다.
(c) 시분할(도73, S3) 및 데카르트 좌표계에 의한 공구의 위치·자세의 계 산(도73, S4)
여기서는, 수치 제어 정보를 계산하는 단위 시간마다 제어 대상의 지정된 이동 속도에 따라서 공구점의 이동 위치 및 자세를 산출한다. 궤적과 운동이 확정되었으므로, 공구점의 위치·자세가 시간(t)의 함수로서 부여된 것이 된다. 이에 의해, 시간(t)을 미소 시간 간격으로 부여하였을 때 각각의 시각에 대한 공구점의 변위를 구할 수 있다. (c)의 계산은, 구체적으로는 이하와 같이 행해진다. 현재점에 있어서는, 위치 정보나 접선, 곡률 등의 값을 알고 있다. 지정된 이동 속도에 단위 시간을 곱하면, 단위 시간 중의 이동 곡선 길이를 알 수 있고, 이에 의해 이동 후의 곡선 길이 매개 변수를 계산할 수 있다. 이 이동 후의 곡선 길이 매개 변수에 의해, 이동 후의 점에 있어서의 위치 정보나 접선, 곡률 등의 값을 계산할 수 있다.
이상의 수속에 의해, 데카르트 좌표계(실재 공간)에 있어서의 시간(t)에 대한 공구점의 위치와 자세가 계산된다. 변수로서는, 3차원에서는 (x, y, z, λ, μ, ν, θ)가 된다. 단, (λ, μ, ν, θ)는 자세(E)를 등가 회전으로 나타낸 것으로 (λ, μ, ν)는 등가 회전의 축을, θ는 회전각을 나타낸다.
또한, 수치 제어로부터의 요구에 의해 3차원 클로소이드 보간 곡선에 따라, 법선 방향으로 지정 치수만큼 오프셋한 오프셋점을 구하여, 이것을 커터 패스(공구 중심의 궤적)라 한다. 이 계산도, 법선 방향이 구해져 있으므로 용이하다.
(d) 역기구해(도73, S5)
다음에, 상기한 공구점의 위치·자세를 부여하기 위해 필요한 각 축의 회전 각을 구한다. 이 과정은 일반적으로 역기구해(inverse kinematics)라 불리워지고 있다. 예를 들어, 6축의 로봇이 있다고 하면, 관절이 6개 있으므로, 어깨의 관절, 팔의 관절, 팔꿈치의 관절, 손목의 관절 등이 몇 번 회전하였는지에 따라 공구점의 위치·자세가 정해진다. 이것이 순기구해라 불리워진다. 역기구해는, 이와는 반대로 실재의 공간의 위치·자세로부터 축 공간의 회전각(θ1 내지 θ6)을 구하는 것이다. 각 축의 액튜에이터는 회전 모터로는 한정되지 않으며, 리니어 모터 등의 직동 액튜에이터인 경우도 있지만, 그 경우라도 최저 한도 실변위를 리니어 모터의 입력 펄스수로 변환하는 전자 기어의 계산이 필요해진다. 역기구해는, 로봇 등의 기구의 형태마다 고유하므로 다양한 로봇 등에 대해 개별적으로 해를 준비해 둔다.
(e) 축 좌표계에 의한 각 축 모터 변위의 계산(도73, S6)
시분할된 각 공구점에 대해 역기구해를 구하고, 이것을 각 축 모터(직동 액튜에이터 포함함)의 변위 펄스로서 정수화한다. 펄스 제어가 아닌 경우에는, 각 축 변위의 최소 분해 단위(분해능)를 이용하여, 펄스수 상당의 정수화된 데이터로서 구한다.
상기 (a) 및 (b)는 준비적인 순서이며, 한 번만 행해진다. (c) 내지 (e)는 지정된 단위 시간마다 실행되고, 목적 시간 혹은 목적 조건을 충족시킬 때까지 속행된다.
상기한 모든 계산을 수치 제어 장치 중에서 행하는 것도 가능하며, 혹은 (a) 및 (b)를 다른 컴퓨터(계산기)에 의해 계산 및 설정해 두고, 그 곡선 매개 변수 등을 수치 제어 장치에 송입하여 (c) 내지 (e)의 계산을 수치 제어 장치 내에서 행할 수도 있다.
(2) NC 장치와 CNC 장치
이하, 독립된 수치 제어 장치(NC 장치)를 사용하는 경우와, 프로그래머의 역할을 가진 컴퓨터와 NC 장치가 일체화된 CNC 장치를 사용하는 경우에 대해 설명한다.
(a) 독립된 NC 장치를 이용하는 경우
종래의 통상의 NC 기계에서는, 프로그래밍을 행하여 NC 데이터를 작성하는 프로그래머와, 이 NC 데이터를 이용하여 기계 장치를 움직이는 NC 장치의 2개의 장치로 하드웨어가 분리되어 있다. 그에 대해, 최근의 CNC 기계에서는 프로그래밍을 행하는 컴퓨터는 NC 장치에 내장되어 일체화된 것으로 되어 있다.
우선, 전자의 독립된 NC 장치를 이용하는 경우에 대해 3차원 클로소이드에 의한 수치 제어 방식을 제안한다. 이 경우, 클로소이드 데이터 인도에는 클로소이드 매개 변수를 이용하는 것으로 하고, G 코드 중에 클로소이드의 포맷을 정의한다. 이것은 예를 들어, 다음과 같은 것이다.
G***
A0, A1, A2, B0, B1, B2, H
여기서, G***는 G 코드의 번호를 나타낸다. A0 내지 H는 3차원 클로소이드 세그먼트의 7개의 매개 변수를 나타낸다. 이 코드를 실행하기 전에, 공구는 P0의 위치에 와 있다. NC 장치에서는 이 매개 변수를 이용하여, 순간적인 공구 위치 또 는 공구 위치의 차분을 계산하여 실행한다. 이 조작을「순해」라 한다. 순해를 NC 장치측에서 행하는 이유는 데이터의 대량화를 방지하는 목적 때문이지만, 그러기 위해 NC 장치에서는 어떠한 종류의 연산을 필요로 한다. G 코드로 클로소이드를 표현함으로써 이미 설치된 NC 장치에 클로소이드 곡선을 조립하는 것이 가능해진다.
(b) CNC 방식
프로그래머의 역할을 가진 컴퓨터와 NC 장치의 일체화된 CNC 장치의 경우에 대해 서술한다. 이 경우, 클로소이드에 관한 계산이 어느 부분의 하드에서 행해지는지는 문제가 되지 않는다. 또한, 데이터의 양이나 전송의 스피드도 해결되고 있다.
일반적으로, 이 프로그래머에는 각각의 조건에 적합한 클로소이드의 매개 변수를 결정하는 과정이 포함된다. 이것을「역해」라 한다. 역해 중에는, 예를 들어 몇 개의 이산적인 점열을 부여하고, 이들 점을 엄밀하게 지나는 매끄러운 곡선을 계산하는 프로그램(자유 점열 보간)도 포함된다. 또한, 가공상 필요해지는 공구 궤적의 결정 프로그램(이른바 CAM)도 포함되는 경우가 많다.
(3) 3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방식의 특징
3차원 클로소이드 보간을 이용한 수치 제어 방식에는 다음과 같은 이점이 있다.
(a) 상기와 같이, 곡선이 기준점으로부터의 곡선 길이를 독립 매개 변수로서 표현되어 있으므로, 지정된 이동 속도에 대응하는 수치 제어 정보를 생성할 수 있 다. 곡선 길이와는 관계없는 독립 매개 변수에 의해 표현되어 있는 스플라인 곡선 등의 다른 곡선에서는 이동 후의 점을 산출할 수 있어도 그 점에 대응하는 독립 매개 변수의 값을 산출하는 것이 곤란하고, 지정된 이동 속도에 대응하는 수치 제어 정보를 생성하는 것이 용이하지 않다.
이것을 상세하게 서술하기 위해, 도74에 도시된 바와 같이 스플라인 곡선[R(t)]으로 표현되는 궤적 상의 점(R0)으로부터 공구를 일정 선 속도로 운동시키는 경우를 고려한다. 일정 시간 간격마다 공구의 목표점을 산출할 때, 단위 시간 경과 후의 공구의 이동량(ΔS)은 알 수 있지만, 독립 변수(t)는 시간이나 곡선 길이에 관계되는 것은 아니므로 독립 변수의 변화량(Δt)은 바로 구할 수는 없다. R0+ΔS=R(t0+Δt)의 식을 풀어 Δt를 구하지 않으면 목표점을 산출할 수 없으므로, 일정 시간 간격마다 이 계산을 반복하지 않으면 안 되게 된다.
(b) 3차원 클로소이드 곡선에서는 곡선 길이에 관한 곡률의 변화의 방법이 근사적으로 일정한 것이 기대되고, 이에 대응하는 수치 제어 정보는 운동 제어의 관점으로부터 역학적으로 무리가 적은 제어 정보가 되는 것이 기대된다. 일반적인 스플라인 보간 등에서는 곡률 변화를 예측·제어하는 것은 곤란하다.
(c) 3차원 클로소이드 곡선은, 그 특수한 경우로서 직선, 원호, 나선 곡선 등을 포함하고 있고, 개별적인 곡선식을 조립하는 일 없이 다양한 곡선에 대한 수치 제어 정보를 엄밀하게 표현할 수 있다.
(d) 3차원 클로소이드 곡선은 좌표축의 취하는 방법에 따르지 않는 자연 방 정식이다. x, y, z축에서 곡선이 나타내는 종래의 NC 장치에서는, 예를 들어 가공편을 비스듬히 기울여 가공할 때에, 가공편의 설치 방법에 따라서는 비스듬한 면을 가공하기 쉽거나 가공하기 어렵거나 한 경우가 있다. 3차원 클로소이드 곡선에서는, 곡선이 선 길이에 의해 부여되므로 비스듬한 면을 가공하는 경우라도 비스듬한 면 상에 궤적을 작성하면 수평면을 가공하는 것과 마찬가지로 가공할 수 있다.
또한 본 발명의, 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 프로그램을 컴퓨터로 실행할 때에는, 컴퓨터의 하드 디스크 장치 등의 보조 기억 장치에 프로그램을 저장해 두고, 메인 메모리에 로드하여 실행한다. 또한, 그러한 프로그램은 CD-ROM 등의 가반형 기록 매체에 프로그램을 저장하여 매매하거나 네트워크를 거쳐서 접속된 컴퓨터의 기록 장치에 저장해 두고, 네트워크를 통해 다른 컴퓨터로 전송할 수도 있다. 또한, 그러한 프로그램에 의한 계산 결과(3차원 클로소이드 곡선의 곡선 매개 변수, 각 축 모터의 변위 펄스 등)를 CD-ROM 등의 가반형 기록 매체에 저장하여 매매할 수도 있다.
본 발명의 3차원 클로소이드 곡선에 따르면, 공업 제품의 설계 생산에 필요해지는 공간 곡선의 범용적인 발생 방법을 제공할 수 있다. 공간 곡선에 따라 물체가 가감속을 수반하여 운동하는 경우에, 구속력 변화가 원활한 설계를 가능하게 한다. 이 특징은 질량을 갖는 기계 요소의 운동의 궤도를 설계하는 방법에 널리 응용된다. 금회는 설계의 응용예로서 볼 나사의 회귀 경로의 설계 방법에 대해 설명하였지만, 이 밖에도 폭넓게 예를 들어 상하 좌우로 구부러진 레일 상을 급스피드로 주행하는 제트코스터 레일의 설계 방법, 리니어 가이드 등에도 응용할 수 있다. 이 이외에도, 곡선 길이에 대해 곡률의 변화를 적절하게 설계할 수 있음으로써 심미적인 의장 곡선 설계등 다양한 산업 분야에 유효하게 적용된다.

Claims (27)

  1. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  2. 제1항에 있어서, 상기 공업 제품은 질량을 갖는 기계 요소가 운동하는 기구를 포함하는 기계이고,
    상기 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 상기 기계 요소의 운동의 궤도를 설계하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  3. 제2항에 있어서, 상기 기계는 상기 기계 요소로서 볼이 운동하는 기구를 포함하는 나사 장치이고,
    상기 나사 장치는 외주면에 나선 형상의 구름 이동체 구름 주행홈을 갖는 나사축과, 내주면에 상기 구름 이동체 구름 주행홈에 대향하는 부하 구름 이동체 구름 주행홈을 갖는 동시에 상기 부하 구름 이동체 구름 주행홈의 일단부와 타단부를 접속하는 회귀 경로를 갖는 너트와, 상기 나사축의 상기 구름 이동체 구름 주행홈과 상기 너트의 상기 부하 구름 이동체 구름 주행홈 사이 및 회귀 경로에 배열되는 복수의 구름 이동체를 구비하고,
    상기 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여, 상기 나사 장 치의 상기 회귀 경로를 설계하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  4. 제1항 내지 제3항 중 어느 한 항에 있어서, 상기 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의하는 공업 제품의 설계 방법.
    [수학식 126]
    Figure 112006060875219-PCT00196
    (1)
    Figure 112006060875219-PCT00197
    (2)
    Figure 112006060875219-PCT00198
    (3)
    Figure 112006060875219-PCT00199
    (4)
    여기서,
    [수학식 127]
    Figure 112006060875219-PCT00200
    (5)
    은 각각 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타냄.
    시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 함. s를 h로 나눈 값을 S로 나타냄. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 함.
    i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터임.
    u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이고, 식(2)에 의해 부여됨. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스로, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있음. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 함. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있음.
    a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
  5. 제4항에 있어서, 3차원 좌표 내에 복수의 공간점을 지정하고, 이들 공간점을 상기 3차원 클로소이드 곡선을 이용하여 보간함으로써 상기 공업 제품의 형상을 설계하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  6. 제5항에 있어서, 상기 복수의 공간점에 있어서, 1개의 3차원 클로소이드 선분(보간에 의해 생성되는 곡선군을 구성하는 단위 곡선)과 다음 3차원 클로소이드 선분(보간에 의해 생성되는 곡선군을 구성하는 단위 곡선)에 의해 양자의 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률이 연속하도록 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2. b0, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  7. 제6항에 있어서, 상기 복수의 공간점 중 시점 및 종점의 접선 방향, 법선 방향 및 곡률을 지정하고,
    미리 지정된 상기 공간점 사이에 새롭게 보간 대상점을 삽입함으로써,
    상기 시점 및 상기 종점에 있어서의 접선 방향, 법선 방향 및 곡률의 조건식과, 상기 복수의 공간점에 있어서의 1개의 3차원 클로소이드 선분과 다음 3차원 클로소이드 선분에 의해 양자의 위치, 접선 방향, 법선 방향 및 곡률을 연속시키는 조건식을 합산한 조건식의 수와, 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2. b0, b1, b2, h)의 미지수를 일치시키고,
    조건식과 미지수의 수를 일치시킴으로써 상기 3차원 클로소이드 선분의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 하는 공업 제품의 설계 방법.
  8. 제1항 내지 제7항 중 어느 한 항에 기재된 공업 제품의 설계 방법에 의해 설계된 공업 제품.
  9. 공업 제품의 형상을 설계하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차 식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램.
  10. 공업 제품의 형상을 설계하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공업 제품의 형상을 설계하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체.
  11. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 이 3차원 곡선에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법.
  12. 제11항에 있어서, 3차원 클로소이드를 이하의 식에서 정의하는 수치 제어 방법.
    [수학식 128]
    Figure 112006060875219-PCT00201
    (1)
    Figure 112006060875219-PCT00202
    (2)
    Figure 112006060875219-PCT00203
    (3)
    Figure 112006060875219-PCT00204
    (4)
    여기서,
    [수학식 129]
    Figure 112006060875219-PCT00205
    (5)
    는 각각 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타냄.
    시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 함. s를 h로 나눈 값을 S로 나타냄. S는 무차원의 값이고, 이것을 곡선 길이 변수라 함.
    i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터이다.
    u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이고, 식(2)에 의해 부여됨. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이고, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있음. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 함. 식(2)는, i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어 지는 것을 나타내고 있음.
    a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
  13. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고, 이 3차원 곡선에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 장치.
  14. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램.
  15. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램 또는 그 프로그램에 의한 계산 결과를 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체.
  16. 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 세그먼트)을 이용하여 보간하고, 이 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법.
  17. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 곡선(3차원 클로소이드 세그먼트)을 복수개 접속하고, 이 복수개의 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 방법.
  18. 제16항 또는 제17항에 있어서, 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의하는 수치 제어 방법.
    [수학식 130]
    Figure 112006060875219-PCT00206
    (1)
    Figure 112006060875219-PCT00207
    (2)
    Figure 112006060875219-PCT00208
    (3)
    Figure 112006060875219-PCT00209
    (4)
    여기서,
    [수학식 131]
    Figure 112006060875219-PCT00210
    (5)
    은 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타냄.
    시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 함. s를 h로 나눈 값을 S로 나타냄. S는 무차원의 값이고, 이것을 곡선 길이 변수라 함.
    i, j, k는 각각, x축, y축 및 z축 방향의 단위 벡터임.
    u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 나타내는 단위 벡터이고, 식(2)에 의해 부여됨. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있음. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 함. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로 α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있음.
    a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
  19. 제18항에 있어서, 1개의 3차원 클로소이드 세그먼트와 다음 3차원 클로소이 드 세그먼트의 이음매에 있어서, 양자의 위치, 접선 방향(및 경우에 따라서는 곡률)이 연속하도록 상기 3차원 클로소이드 세그먼트의 7개의 매개 변수(a0, a1, a2, b0, b1, b2, h)를 산출하는 것을 특징으로 하는 수치 제어 방법.
  20. 3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세그먼트를 이용하여 보간하고, 이 3차원 클로소이드 세그먼트에 의해 공구의 운동을 제어하는 수치 제어 장치.
  21. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세그먼트를 이용하여 보간하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램.
  22. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    3차원 좌표 내에 임의로 부여된 점열 사이를 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 클로소이드 세 그먼트를 이용하여 보간하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램 또는 그 프로그램에 의한 계산 결과를 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체.
  23. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고,
    상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하고,
    지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수치 제어 방법.
    여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말함.
  24. 제23항에 있어서, 3차원 클로소이드 곡선을 이하의 식으로 정의하는 수치 제어 방법.
    [수학식 132]
    Figure 112006060875219-PCT00211
    (1)
    Figure 112006060875219-PCT00212
    (2)
    Figure 112006060875219-PCT00213
    (3)
    Figure 112006060875219-PCT00214
    (4)
    여기서,
    [수학식 133]
    Figure 112006060875219-PCT00215
    (5)
    는 각각, 3차원 클로소이드 곡선 상의 점의 위치 벡터 및 그 초기치를 나타냄.
    시점으로부터의 곡선의 길이를 s라 하고, 그 전체 길이(시점으로부터 종점까지의 길이)를 h라 함. s를 h로 나눈 값을 S로 나타냄. S는 무차원의 값이며, 이것을 곡선 길이 변수라 함.
    i, j, k는 각각, x축, y축, 및 z축 방향의 단위 벡터임.
    u는 점(P)에 있어서의 곡선의 접선 방향을 도시하는 단위 벡터이며, 식(2)에 의해 부여됨. Ek β 및 Ej α는 회전 매트릭스이며, 각각 k축 주위의 각도(β)의 회전 및 j축 주위의 각도(α)의 회전을 나타내고 있음. 전자를 요(yaw) 회전, 후자를 피치(pitch) 회전이라 함. 식(2)는 i축 방향의 단위 벡터를, 우선 j축 주위로α만큼 회전시키고, 그 후에 k축 주위로 β만큼 회전시킴으로써 접선 벡터(u)가 얻어지는 것을 나타내고 있음.
    a0, a1, a2, b0, b1, b2는 정수.
  25. 접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하고,
    상기 3차원 곡선에 따라서 이동하는 공구의 운동을 지정하고,
    지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수치 제어 장치.
    여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말함.
  26. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단과,
    상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하는 수단과,
    지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램.
    여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말함.
  27. 공구의 운동을 수치 제어하기 위해,
    컴퓨터를,
    접선 방향의 피치각 및 요각의 각각이 곡선 길이 또는 곡선 길이 변수의 2차식으로 부여되는 3차원 곡선(3차원 클로소이드 곡선이라 함)을 이용하여 공구 궤적 또는 가공편의 윤곽 형상을 표현하는 수단과,
    상기 3차원 곡선에 따라 이동하는 공구의 운동을 지정하는 수단과,
    지정된 운동에 따라서 단위 시간마다 공구의 이동 위치를 산출하는 수단으로서 기능시키기 위한 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능한 기록 매체.
    여기서, 운동이라 함은 시간의 함수로서 변화하는 위치 정보를 말함.
KR1020067017131A 2004-02-27 2005-02-14 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을이용한 수치 제어 방법 및 장치 KR101056600B1 (ko)

Applications Claiming Priority (15)

Application Number Priority Date Filing Date Title
JPJP-P-2004-00055554 2004-02-27
JP2004055554 2004-02-27
JP2004055556 2004-02-27
JP2004055555 2004-02-27
JPJP-P-2004-00055556 2004-02-27
JPJP-P-2004-00055555 2004-02-27
JPJP-P-2004-00250372 2004-08-30
JP2004250375A JP4743580B2 (ja) 2004-02-27 2004-08-30 工業製品の設計方法及びこの設計方法により設計された工業製品
JPJP-P-2004-00250373 2004-08-30
JP2004250373A JP4667795B2 (ja) 2004-02-27 2004-08-30 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体
JPJP-P-2004-00250375 2004-08-30
JPJP-P-2004-00250374 2004-08-30
JP2004250374A JP4667796B2 (ja) 2004-02-27 2004-08-30 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体
JP2004250372A JP4667794B2 (ja) 2004-02-27 2004-08-30 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体
PCT/JP2005/002132 WO2005083537A1 (ja) 2004-02-27 2005-02-14 クロソイド曲線を用いた工業製品の設計方法及びこの設計方法により設計された工業製品、クロソイド曲線を用いた数値制御方法及び装置

Publications (2)

Publication Number Publication Date
KR20060123593A true KR20060123593A (ko) 2006-12-01
KR101056600B1 KR101056600B1 (ko) 2011-08-11

Family

ID=34916666

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
KR1020067017131A KR101056600B1 (ko) 2004-02-27 2005-02-14 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을이용한 수치 제어 방법 및 장치

Country Status (5)

Country Link
US (1) US7860592B2 (ko)
KR (1) KR101056600B1 (ko)
DE (1) DE112005000451B4 (ko)
TW (1) TWI370982B (ko)
WO (1) WO2005083537A1 (ko)

Families Citing this family (20)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7518609B2 (en) * 2005-05-27 2009-04-14 The Boeing Company System, method and computer program product for modeling a transition between adjoining surfaces
DE102007050282B4 (de) * 2006-11-09 2015-11-26 Sew-Eurodrive Gmbh & Co Kg Vorrichtung zur Bewegung eines Objektes, Verfahren zur Bestimmung einer Bahnkurve, Verfahren zum Betreiben einer Maschine oder Anlage
DE112009004603T5 (de) * 2009-03-27 2012-08-23 Mitsubishi Electric Corporation Numerische Steuervorrichtung und Verfahren zum Steuern dernumerischen Steuervorrichtung
DE112010002245T8 (de) * 2009-06-03 2013-03-14 Mitsubishi Electric Corp. Numerische steuerungsvorrichtung und produktionssystem
JP5896789B2 (ja) * 2012-03-07 2016-03-30 キヤノン株式会社 ロボット制御装置、ロボット装置、ロボット制御方法、プログラム及び記録媒体
DE102012015437A1 (de) * 2012-08-02 2014-05-15 Kuka Roboter Gmbh Verfahren und Programmiermittel zur Modifikation einer Roboterbahn
CN103268379B (zh) * 2013-05-21 2016-01-20 国家电网公司 架空输电导线任意位置空间截面相间距离精确计算方法
US10202144B2 (en) * 2015-12-08 2019-02-12 Ford Global Technologies, Llc Vehicle curvature determination
US10108197B2 (en) 2015-12-08 2018-10-23 Ford Global Technologies, Llc Deceleration determination of a vehicle
US9968025B2 (en) 2016-01-14 2018-05-15 CNH Industrial American LLC System and method for generating and implementing an end-of-row turn path
US9974225B2 (en) 2016-01-14 2018-05-22 Cnh Industrial America Llc System and method for generating and implementing an end-of-row turn path
US10031525B2 (en) 2016-06-10 2018-07-24 Cnh Industrial America Llc Swath tracking system for an off-road vehicle
CN108132645B (zh) * 2016-12-01 2020-05-19 华中科技大学 一种保证刀具轨迹整体g2连续的曲线拟合方法
EP3718031A1 (en) * 2017-11-30 2020-10-07 Siemens Industry Software Limited A method of operating a cad system model for modelling an article to be manufactured
TWI667559B (zh) * 2018-05-11 2019-08-01 國立臺灣科技大學 自動化曲面誤差補償方法及其電腦程式產品
CN109032077B (zh) * 2018-09-05 2022-03-18 沈阳建筑大学 一种基于刀具姿态控制的五轴数控加工指令点插补方法
CN112859734B (zh) * 2019-11-27 2022-01-25 西安交通大学 一种Airthoid曲线及基于Airthoid曲线的运动规划平顺方法
CN111322373B (zh) * 2020-03-12 2021-05-11 长安大学 一种基于羊角螺旋线齿条刀的齿轮副设计方法
CN112257020B (zh) * 2020-11-04 2023-09-15 中国矿业大学 一种确定折线卷筒折线区设计圆心角的方法
US20240161358A1 (en) * 2022-11-10 2024-05-16 Adobe Inc. Curve offset operations

Family Cites Families (12)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US2473234A (en) * 1943-10-06 1949-06-14 Joseph E Whitfield Helical asymmetrical thread forms for fluid devices
US3245612A (en) * 1965-05-17 1966-04-12 Svenska Rotor Maskiner Ab Rotary piston engines
DE2033201C3 (de) * 1970-07-04 1979-02-01 Allweiler Ag Schraubenspindelmotor oder -pumpe
JP2904719B2 (ja) * 1995-04-05 1999-06-14 株式会社荏原製作所 スクリューロータ及びその歯形の軸直角断面形状を決定する方法並びにスクリュー機械
US5909965A (en) * 1997-09-12 1999-06-08 Hiwin Technologies Corp. Recirculation path unit for linear rolling bearings
DE29801280U1 (de) * 1998-01-27 1998-04-16 Hiwin Technologies Corp Kugelumlaufsystem für Kugelgewindetriebe
US6244844B1 (en) * 1999-03-31 2001-06-12 Emerson Electric Co. Fluid displacement apparatus with improved helical rotor structure
JP3610485B2 (ja) * 1999-09-20 2005-01-12 株式会社日立製作所 数値制御曲面加工装置
TW435626U (en) * 2000-09-01 2001-05-16 Hiwin Tech Corp A ball nut of ball screw
US20020189385A1 (en) * 2001-06-19 2002-12-19 Delphi Technologies, Inc. Ball screw apparatus with wire coils
US7089162B2 (en) * 2001-11-07 2006-08-08 Harman International Industries, Incorporated Navigation map creation system
DE10157964B4 (de) * 2001-11-26 2011-06-22 Siemens AG, 80333 Verfahren zur Optimierung einer Oberflächengüte eines zu fertigenden Werkstücks anhand von CNC-Programmdaten

Also Published As

Publication number Publication date
DE112005000451T5 (de) 2007-02-01
TW200602919A (en) 2006-01-16
US7860592B2 (en) 2010-12-28
US20070293962A1 (en) 2007-12-20
TWI370982B (en) 2012-08-21
DE112005000451B4 (de) 2020-02-13
WO2005083537A1 (ja) 2005-09-09
KR101056600B1 (ko) 2011-08-11

Similar Documents

Publication Publication Date Title
KR101056600B1 (ko) 클로소이드 곡선을 이용한 공업 제품의 설계 방법 및 이설계 방법에 의해 설계된 공업 제품, 클로소이드 곡선을이용한 수치 제어 방법 및 장치
Affouard et al. Avoiding 5-axis singularities using tool path deformation
CN111791236B (zh) 一种工业机器人笛卡尔空间轨迹过渡方法
Lavernhe et al. Optimization of 5-axis high-speed machining using a surface based approach
CN100498614C (zh) 数值控制器
JP2019517929A (ja) ロボット関節空間におけるポイントツーポイント移動の軌跡計画方法
Xiao et al. Smooth and near time‐optimal trajectory planning of industrial robots for online applications
Xiao et al. Space corner smoothing of CNC machine tools through developing 3D general clothoid
CN105773620A (zh) 基于倍四元数的工业机器人自由曲线的轨迹规划控制方法
Shen et al. A smooth and undistorted toolpath interpolation method for 5-DoF parallel kinematic machines
CN111633668B (zh) 一种用于机器人加工三维自由曲面的运动控制方法
JP2016055404A (ja) 軌道生成方法、軌道生成装置、ロボット装置、プログラム及び記録媒体
Wang et al. Global smoothing for five-axis linear paths based on an adaptive NURBS interpolation algorithm
Amersdorfer et al. Equidistant tool path and cartesian trajectory planning for robotic machining of curved freeform surfaces
CN113433889A (zh) 一种基于三段式羊角曲线的五轴机床加工的刀具轨迹规划方法
Li et al. A novel cartesian trajectory planning method by using triple NURBS curves for industrial robots
Li et al. Tool path optimization in postprocessor of five-axis machine tools
Sun et al. A novel tool path smoothing algorithm of 6R manipulator considering pose-dependent dynamics by designing asymmetrical FIR filters
CN100468254C (zh) 采用回旋曲线的工业制品设计方法、数值控制方法及装置
JP4743580B2 (ja) 工業製品の設計方法及びこの設計方法により設計された工業製品
Kim et al. Development of a trajectory generation method for a five-axis NC machine
JP4667794B2 (ja) 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体
JP4667796B2 (ja) 数値制御方法、数値制御装置、プログラム及びコンピュータ読み取り可能な記録媒体
CN113608496B (zh) 空间路径g2转接光顺方法、设备及计算机可读存储介质
Zha et al. Trajectory coordination planning and control for robot manipulators in automated material handling and processing

Legal Events

Date Code Title Description
A201 Request for examination
E701 Decision to grant or registration of patent right
GRNT Written decision to grant
FPAY Annual fee payment

Payment date: 20140721

Year of fee payment: 4

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20150716

Year of fee payment: 5

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20160630

Year of fee payment: 6

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20170719

Year of fee payment: 7

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20180718

Year of fee payment: 8

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20190718

Year of fee payment: 9