KR20020079805A - 빠르고 엄격한 결합된 파 분석을 위한 층 내부의 계산들의캐싱 - Google Patents

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Abstract

주기 격자 프로파일들로부터의 전자기 방사의 회절은 연산 시간을 감소시키기 위해 중간 계산들이 캐시되는, 엄격한 결합된 파 분석을 사용하여 결정된다. 상기 계산을 이행하기 위하여, 상기 주기 격자는 층들로 분할되고, 상기 격자들의 마루들의 단면들은 직사각형 섹션들로 이산화되며, 유전율, 전기장 및 자기장은 격자의 주기성의 방향을 따라 고조파 전개식으로 기록된다. 각 중간 층에 맥스웰 방정식을 적용함은 상기 전기장의 고조파 진폭들을 상기 격자(615')의 면에 수직인 방향으로 그 부분 2차 도함수에 결합시키는 파 벡터 행렬 A(620)을 행렬 파 방정식에 제공하는데, 상기 파 벡터 행렬 A은 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들의 함수이다. W는 파 벡터 행렬 A로부터 획득된 고유벡터 행렬이고, Q는 파 벡터 행렬 A(647)의 고유값들의 제곱근들의 대각 행렬이다.

Description

빠르고 엄격한 결합된 파 분석을 위한 층 내부의 계산들의 캐싱 {CACHING OF INTRA-LAYER CALCULATIONS FOR RAPID RIGOROUS COUPLED-WAVE ANALYSES}
회절 격자들은 분광 응용들(spectroscopic applications), 다시 말하면 가시광선부터 X-레이까지의 파장 범위에 있는 다수의 파장을 이용하는, 광학기구(optical instrument), 공간 광학(space optics), 싱크로트론 방사 (synchrotron radiation)와 같은 회절 응용들에서 사용되어 왔다. 더우기, 지난 10년간 조율 가능한 레이져를 위한 파장 선택기(wavelength selectors for tunable lasers), 빔 샘플링 엘리먼트(beam-sampling elements), 그리고 멀티플렉서용 분산 기구(dispersive instruments for multiplexers)와 같은 매우 다양한 비분광 응용들에서 회절 격자들이 사용되어 왔다.
계산 능력의 진보는 반도체 소자들(semiconductor devices)의 증가된 속도의 결과이다. 이것은 트랜지스터 선폭(transistor linewidths) 다시 말하면, 트랜지스터의 치수들(dimensions)을 계속적으로 감소시킴으로써 달성되었다. 그러나, 반도체 소자들의 크기가 감소함에 따라, 상기 선폭만이 아닌 피쳐들(features)의 완전한 프로파일의 제어가 효율적인 칩(chip) 작동을 위해 중요하다. 측벽들(sidewalls)이 완전히 수직일 때, 선폭(그리고 높이)을 앎으로써 상기 전체 선(line)을 재구성하기에 충분한데, 다시 말하면, 두 개의 파라미터들이 상기 구조를 정의한다. 그러나, 현재의 제작 기술의 한계 때문에, 수직 측벽들은 불가능한 것은 아닐지라도 달성하기 어렵고, 기울어진 측벽이 일반적이다. 측벽의 기울기(slope)에 더하여, 선들에 있을 수 있는 기술의 인공물인 다른 피쳐들은 T-토핑(T-topping)(T 형태 프로파일의 형성)과 푸팅(footing)(거꾸로된 T 형태 프로파일의 형성)을 포함한다. 상기 프로파일에 대해 그러한 자세한 사항들을 포착하는 것은 제작 기술의 더 나은 이해를 달성하는데 중요하다. 그러한 피쳐들의 측정에 더하여, 그것들을 제어하는 것도 또한 매우 경쟁적인 시장에서 중요하다. 그러므로 선에서(in line) 또는 제자리에서(in-situ) 프로파일 측정을 시도하는 런투런(run-to-run) 및 실시간의(real-time) 제작 제어 설계를 개발하고 개량하려는 노력과 프로세스 변화성(process variability)을 감소시키기 위해 이 정보를 사용하려는 노력이 늘어나고 있다.
필름들의 두께를 측정하기 위한 반사율 측정법(reflectance metrology)의 사용은 잘 알려져 있다. 반사율 측정법에서, 광대역(broadband) 빛의 편광되지 않은 또는 편광된(unpolarized or polarized) 빔은 샘플(sample)로 향하여지고, 상기 반사된 빛은 수집된다. 상기 반사율은 절대적인 혹은 어떤 반사율 기준에 정규화된 상대적인 값으로 측정될 수 있다. 그 다음에 상기 반사율 신호는 상기 필름 혹은 필름들의 두께와 광학적 상수들을 결정하기 위해 분석된다. 반사율 측정법의 많은 예들이 있다. 예를 들면, Thakur 등의 미국 특허 제 5,835,225호는 필름의 두께와 굴절률을 모니터하기 위한 반사율 측정법의 사용을 알려준다.
필름들의 두께의 측정을 위한 타원계의 사용이 또한 잘 알려져 있다(예를 들면, 1987년의, North Holland, R.M.A.Azzam과 N.M.Bashara의, "Ellipsometry and Polarized Light"을 보라). 일반적인, 다시 말하면 편광되지 않은 백색광이 편광기(polarizer)를 통하여 전송될 때, 그것은 그 전기장 벡터(electric field vector)가 상기 편광기의 축에 정렬된 선형적으로 편광된 빛으로 나타난다. 선형적으로 편광된 빛은 두 벡터들로 정의될 수 있는데, 다시 말하면,입사면(incidence plane)에 평행한 그리고 수직인 벡터들로 정의될 수 있다. 타원계는 편광된 빛의 빔이 매체로부터 반사될 때 일어나는 편광에서의 변화에 기초한다. 편광에서의 변화는 두 부분들로 구성된다: 위상(phase) 변화와 진폭(amplitude) 변화. 편광에서의 상기 변화는 입사면에서 진동하는 전기 벡터를 갖는 입사 방사(radiation)의 일부와 입사면에 수직으로 진동하는 전기 벡터를 갖는 입사 방사의 일부 때문에 다르다. 타원계는 상기 입사빔으로부터 반사된 빔 ρ의 위상의 변화인 각도 Δ와 입사빔 그리고 반사된 빔의 진폭 비율의 아크탄젠트(arctangent)로 정의되는 각도 Ψ로 편의적으로 표시되는 두 가지 변화의 결과를 측정하는데, 다시 말하면 다음과 같다.
여기서 rp는 반사율의 p 성분이고, rs는 반사율의 s 성분이다. 상기 입사각과 반사각은 같지만, 서로 부호가 반대되고, 편의를 위해 선택될 수 있다. 상기 반사된 빔이 상기 입사빔에 대한 위치가 고정되기 때문에, 타원계는 챔버(chamber) 안에서 일어나는 프로세스의 제자리에서의 제어를 위해 매력적인 기술이다.
분광 타원편광법의 사용의 많은 예가 있다. 예를 들면, Yu 등에 의한 미국 특허 제 5,131,752 호는 공작물(workpiece)에 침전될 때 필름의 두께를 조사하기 위한 타원편광법의 사용을 알려준다. 그러나 상기 방법은 평면에 제한된다. 도 1에 묘사된 바와 같이, Blayo 등에 의한 미국 특허 제 5,739,909 호는 피쳐(121)와공간을 포함하는 피치를 갖는 주기 구조(100)에서 편광된 빛의 입사빔(131)을 향하게 함으로써 선폭들을 측정하기 위하여 분광 타원편광법을 사용하는 방법을 알려준다. 상기 이 상기 주기 구조에 대하여 만드는 상기 각도 θ에 값은 같고 부호는 반대인 각도 θ로 상기 주기 구조를 벗어나는 회절된 빔(132)이 검출되고 그것의 강도(intensity)와 편광이 하나 또는 그 이상의 파장들에서 결정된다. 그 다음에 이것은 선폭 정보를 추출하기 위해, 예비 연산된(pre-computed) 신호들의 각 라이브러리들과 비교되거나 실험 데이터와 비교된다. 이것이 비소멸적인 테스트인 동안, 그것은 프로파일 정보를 제공하지 않지만, 상기 프로세스의 질의 특징화을 나타내기 위해 오직 하나의 숫자만 산출해낸다. 패턴된 물질의 특징을 나타내기 위한 또다른 방법은 D.H.Ziger에 의해 미국 특허 제 5,607, 800 호에서 개시된다. 이 방법에 따라, 영차 회절의 위상이 아닌, 상기 강도는 많은 파장들에 대해 모니터되고, 상기 패턴된 물질의 특징들에 관련된다.
상기 주사전자현미경(scanning electron microscope, SEM)과 광학적 현미경과 같은 많은 비소멸적인 기술들이 선폭 측정을 위해 제안되어 왔지만, 그것들 중 어느 것도 완전한 프로파일 정보를 제공할 능력은 없다. 프로파일 정보를 제공하는 상기 AFM(atomic force microscope)과 상기 투과 전자 현미경(transmission electron microscope)과 같은 단면적인 프로파일 측정 도구가 존재하지만, 매우 느리거나 소멸적이라는 단점을 감수하게 된다. 그 이상의 단점들은 이런 기술들이 즉시 원래 위치에서 이행될 수 없다는 것을 포함한다. 결국, 프로파일 정보를 측정하기 위한 방법을 알려주는 McNeil 등에 의한 미국 특허 제 5,867,276 호와 같은분산학(scatterometry) 기술들이 있다. 이것은 하나의 입사각으로 주기 구조 상에 많은 파장의 편광된 빛을 보내고 상기 회절된 강도 신호를 수집함으로써 달성된다. 상기 입사빔은 하나의 평면 편광적이라는 사실에 주목하는 것이 중요하다. 그 다음에 이러한 회절된 신호는 피쳐들의 프로파일들을 추출하기 위하여 미리 컴파일된 신호들의 라이브러리와 비교된다. 상기 라이브러리는 이론적인 계산들에 기초하여 예비 연산되거나 순수히 실험적인 신호들에 기초한다. 이런 방법은 상기 광학적 신호의 강도만을 사용하고 비특이성을, 즉, 두 개의 완전히 다른 프로파일들이 넓은 범위의 파장들에 걸쳐서도 동일 강도의 신호를 생성하는 시나리오들(scenarios)이 존재함을, 겪는 것으로 보여져 왔다(예를 들면 1997년 9월의, S. Bushman, S. Farrer의, AEC/APC 워크샵 Ⅸ, Sematech, 20-24의 "Scatterometry Measurements for Process Monitoring of Gate Etch"를 보라). 이 비특이성은 상기 결과들의 강인성과 정확도를 감소시킨다.
높은 정밀도를 갖는 주기 격자들의 회절 특징들을 결정하는 능력은 존재하는 응용들의 개량을 위해 유용하다. 더욱이, 상기 주기 격자들의 회절 특징들의 정확한 결정은 회절 격자들이 적용될 수 있는 응용들을 확장하는데 유용하다. 그러나, 상기 주기 구조들로부터의 전자기 방사의 회절의 모델링은 정교한 기술들을 요구하는 복잡한 문제라는 것이 잘 알려져 있다. 닫힌 분석적인 해들은 너무 간단하여 별로 관심을 끌지 못하는 지오메트리들에 제한되고, 현재의 수리적인 기술들은 일반적으로 계산 시간의 금지량을 요구한다.
상기 주기 격자들로부터의 전자기 회절의 수학적인 분석의 일반적인 문제는다양한 다른 유형들의 분석을 사용하여 해결되어 왔고, 여러 엄격한 이론들은 과거 10년간 개발되어 왔다. 맥스웰 방정식의 전체적인 공식들을 사용하는 방법들은 수리적인 결과들을 획득하기 위해 A. R. Neureuther와 K. Zaki(1969년의, 전자기파에 관한 국제 URSI 심포지움, Stresa, Italy, 282-285의 "Numerical methods for the analysis of scattering from nonplanar periodic structures")와 D. Maystre(1978년 4월의, J. Opt. Soc. Am., vol. 68, no. 4, 490-495, "A new general integral theory for dielectric coated gratings")에 의해 사용되었다. 맥스웰 방정식의 서로 다른 공식들을 사용하는 방법들은 또한 많은 다른 그룹들에 의해 개발되어 왔다. 예를 들면, 반복적인 다른 공식이 M. Neviere, P. Vincent, R. Petit 및 M. Cadilhac(1973년 9월의, Optics Communications, vol. 9, no. 1, 48-53, "Systematic study of resonances of holographic thin film couplers")에 의해 개발되어 왔고, 상기 엄격한 결합된 파 분석 방법은 M. G. Moharam 및 T. K. Gaylord(1981년 7월의, J. Opt. Soc. Am., vol. 71, 811-818, "Rigorous Coupled-Wave Analysis of Planar-Grating Diffraction")에 의해 개발되어 왔다. RCWA 공식들에서의 그 이상의 연구는 E. B. Grann과 D. A. Pommet(1995년 5월의, J. Opt. Soc. Am. A. vol. 12, 1068-1076, "Formulation for Stable and Efficient Implementation of the Rigorous Coupled-Wave Analysis of Binary Gratings")과 E. B. Grann과 D. A. Pommet(1995년 5월의, J. Opt. Soc. Am. A. vol. 12, 1077-1086, "Stable Implementation of the Rigorous Coupled-Wave Analysis for Surface-Relief Dielectric Gratings: Enhanced Transmittance Matrix Approach")에 의해 행해져 왔다.
개념적으로, RCWA 계산은 네 단계를 포함한다:
ㆍ상기 격자는 많은 얇고, 평면적인 층들로 분할되고, 각 층 내의 상기 마루(ridge)의 섹션은 직사각형 슬랩(slab)에 의해 근사된다.
ㆍ상기 격자 내에서, 상기 전기장, 자기장, 및 유전율의 푸리에 전개식들은 각 층 및 각 고조파 차수에 대한 미분 방정식들의 시스템이 된다.
ㆍ경계 조건들은 방정식들의 시스템을 제공하도록 상기 층 경계들에서 상기 전기장 및 자기장에 대해 적용된다.
ㆍ방정식들의 상기 시스템의 해는 각 고조파 차수에 대한 상기 격자로부터 상기 회절된 반사를 제공한다.
상기 연산의 정확도와 상기 연산에 요구되는 시간은 상기 격자가 분할된 층들의 숫자와 푸리에 전개식에서 사용된 차수들의 숫자에 의존한다.
RCWA의 수학적인 공식의 많은 편차들이 제안되어 왔다. 예를 들면, P. Lalanne와 G. M. Morris(1996년의, J. Opt. Soc. Am. A, 779-784, "Highly Improved Convergence of the Coupled-Wave Method for TM Polarization"), L. Li와 C. Haggans(1993년 6월의, J. Opt. Soc. Am. A, 1184-1189, "Convergence of the coupled-wave method for metallic lamellar diffraction gratings"), 그리고 G. Granet B. Guizal(1996년 5월의, J. Opt. Soc. Am. A, 1019-1023, "Efficient Implementation of the Coupled-Wave Method for Metallic Lamellar Gratings in TM Polarization")은 상기 푸리에 전개식들이 상기 유전율로 취해지는지, 혹은 상기 유전율의 역수로 취해지는지가 다르다.(본 명세서의 렉소그래피(lexography)에 따라, 모든 이런 편차들은 "RCWA"로 간주된다.) 특정한 격자 구조에 대해, 상기 계산에 포함된 행렬들의 특이성(singularity)에서의 차이들 때문에, 특히 TM-편광된 그리고 원뿔형-편광된 입사 방사에 대해, 상기 서로 다른 공식들의 수리적인 수렴에서의 실질적인 차이가 있을 수 있다. 그러므로, 연산적인 효율성을 위해, 그것은 상기 서로 다른 공식들 사이에서 가장 잘 선택되어야 한다.
빈번하게도, 매우 많은 주기 격자들의 프로파일들이 결정되어야 한다. 예를 들면, 분산학 응용에서 측정된 회절 스펙트럼을 생성한 상기 마루 프로파일을 결정할 때, 수천 수만의 프로파일들이 생성되어야 하고, 상기 프로파일들의 상기 회절 스펙트럼들이 계산되고, 상기 계산되는 회절 스펙트럼들은 상기 측정된 회절 스펙트럼에 가장 가깝게 매치(match)하는 상기 계산되는 회절 스펙트럼을 발견하기 위해 상기 측정된 회절 스펙트럼과 비교된다. 매우 많은 주기 격자들의 분석을 요구하는 분산학 응용의 그 이상의 예들은 미국 특허 제 5,164,790 호, 제 5,867,276 호, 그리고 제 5,963,329 호를 포함하고, X. Niu, N. Jakatdar, J. Bao 및 C. J. Spanos, SPIE, vol. 3677, pp. 159-168의 "Specular Spectroscopic Scatterometry in DUV lithography"가 수천 수만의 회절 프로파일들로부터 분석되어야 한다. 그러나, RCWA와 같은 정확한 방법을 사용하여, 상기 연산 시간은 매우 길어질 수 있다. 그래서, 주기 격자들의 상기 프로파일들을 결정하기 위한 회절 데이터의 빠르고 정확한 분석을 위한 방법들과 장치가 필요하다.
본 출원의 부가적인 목적들과 장점들은 도면들, 본 발명의 상세한 설명과 부가된 청구항들을 살펴봄으로써 명백해질 것이다.
본 발명은 일반적으로 중간 결과들(intermediate results)의 캐싱(caching)을 위한 알고리즘과 계산의 효율을 증가시키기 위한 캐시된(cached) 중간 결과들의 사용을 통하여 1차원 및 2차원적으로 반복되는 규칙적으로 간격지어진(regularly-spaced) 일련의 구조들의 완전한 프로파일(profile)의 측정에 관한 발명이다. 본 발명은 또한 주기 격자들(periodic gratings)로부터 회절된 전자기적 신호들의 결합된 파 분석(coupled wave analysis)에 관한 발명인데, 특히 여기서 상기 회절된 전자기적 신호들은 반사계(reflectometer)와 타원계(ellipsometer)와 같은 광학 측정 기구들(optical metrology tools)에 의해 모니터된다. 보다 상세하게는, 본 발명은 1차원 및 2차원적으로 반복되는 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들의 완전한 프로파일을 측정하고, 주기 격자들로부터의 회절(diffraction)에 대한 결합된 파 분석의 계산 시간을 감소시키기 위한 장치(apparatus)와 방법(method)에 관한 발명이고, 더욱 상세하게는 본 발명은 주기 격자들로부터의 회절에 대한 결합된 파 분석의 계산 시간을 감소시키기 위한 중간 계산의 캐싱과 검색(retrieval)을 위한 장치와 방법에 관한 발명이다.
도 1은 본 발명의 수학적인 분석에 사용되는 변수들로 라벨된 회절 격자의 섹션을 도시한다.
도 2는 본 발명의 수학적인 분석에 사용되는 치수 변수들로 라벨된 한 쌍의 마루들의 단면을 도시한다.
도 3은 TE-편광된 엄격한 결합된 파 분석의 프로세스 흐름도를 도시한다.
도 4는 TM-편광된 엄격한 결합된 파 분석의 프로세스 흐름도를 도시한다.
도 5는 본 발명의 방법에 따른 층 내부 및 입사-방사 파라미터들에 의존하는 계산 결과들의 선행 연산(pre-computation) 및 캐싱을 위한 프로세스 흐름도를 도시한다.
도 6은 본 발명의 방법에 따른 층 내부 및 입사-방사 파라미터들에 의존하는 캐시된 계산 결과들의 사용을 위한 프로세스 흐름도를 도시한다.
도 7A는 네 개의 적층된 직사각형 섹션들로 이산화되는 본보기가 되는 마루 프로파일을 도시한다.
도 7B는 세 개의 적층된 직사각형 섹션들로 이산화되는 본보기가 되는 마루 프로파일을 도시하는데, 상기 직사각형 섹션들은 도 7A의 마루 이산화에서 발견되는 상기 직사각형 섹션 중 세 개와 동일한 치수들과 x-오프셋들을 갖는다.
도 8은 본 발명의 연산부의 이행을 위한 연산 시스템을 도시한다.
도 9는 본 발명의 방법의 이행을 위한 이벤트들의 연속을 묘사하는 순서도를 도시한다.
도 10은 주기 격자 상에 입사하는 방사를 생성하고 상기 주기 격자로부터 회절된 상기 방사를 모니터하기 위한 장치를 도시한다.
도 11은 주기 격자 상에 입사하는 방사를 생성하고 입사와 회절의 두 각도에서 상기 주기 격자로부터 회절되는 상기 방사를 모니터하기 위한 장치를 도시한다.
본 발명은 주기 격자로부터의 전자기 방사의 회절의 엄격한 결합된 파 분석(RCWA)의 연산 시간을 감소시키기 위한 방법에 직결된다. RCWA 계산들은 상기 주기 격자들을 층들로 분할하는 것을 포함하는데, 상기 초기 층은 상기 격자 위의 상기 대기 공간(atmospheric space)이고, 상기 최종 층은 상기 격자 아래의 기판이며, 상기 격자의 주기 피쳐들은 상기 대기 공간과 상기 기판 사이의 중간 층들에 있다. 상기 주기 피쳐들의 단면은 다수의 적층된 직사각형 섹션들로 이산화되고, 각 층 내에 상기 유전율, 및 상기 방사의 상기 전기장과 자기장이 상기 격자의 주기성의 방향을 따라 고조파 성분들의 합으로 공식화된다.
맥스웰 방정식의 응용은 다음 형태의 중간 층들 l의 각각에서 층 내부의 행렬 방정식을 제공하는데,
Sl,y는 전자기장의 고조파 진폭들이고, z는 상기 주기 격자에 수직이며, 상기 파 벡터 행렬 Al은 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들에만 의한다. 상기 층 내부의 행렬 방정식의 동차 해는 상기 파 벡터 행렬 Al의 고유벡터들과 고유값들에 의존하는 지수 함수들로의 상기 고조파 진폭들 Sl,y의 전개식을 포함한다.
본 발명에 따라, 층-특성 파라미터 영역, 입사-방사 파라미터 영역, 층-특성파라미터-영역 샘플링, 및 입사-방사 파라미터-영역 샘플링이 결정된다. 또한, 상기 전자기장들이 연산될 최대 고조파 차수가 결정된다. 상기 층-특성 파라미터 영역의 상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 바와 같이, 상기 요구되는 유전율 고조파들은 각 층-특성 값에 대해 계산된다. 상기 입사-방사 파라미터 영역의 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 바와 같이, 상기 파 벡터 행렬 A와 그 고유벡터들과 고유값들은 각 층-특성 값과 각 입사-방사 값에 대하여 계산된다. 상기 계산된 고유벡터들과 고유값들은 상기 주기 격자로부터 입사 전자기 방사의 회절을 분석할 때 사용하기 위한 메모리 내에 저장된다.
본 발명을 개척하기 위한 최선의 모드
본 발명의 상기 방법과 장치는 층 내부의 정보와 입사-방사 정보를 미리 프로세싱하고 캐싱함으로써 RCWA 연산들을 위해 요구되는 연산 시간을 감소시키고, RCWA 계산들을 위해 상기 캐시된 층 내부 및 입사-방사 정보를 사용함으로써 1차원적 또는 2차원적으로 반복되는 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들의 프로파일들의 측정법을 위해 상기 성능 및 효율성을 크게 개선한다.
본 상세한 설명의 섹션 1은 광학적 측정법을 사용하여 1차원적 또는 2차원적으로 반복되는 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들로부터 회절 데이터를 획득하기 위한 장치와 방법들을 설명한다.
본 상세한 설명의 섹션 2는 주기 격자로부터 TE-편광된 입사 방사의 회절을 위한 RCWA 계산들을 위한 수학적 형식론을 설명한다. 본 명세서에서 사용되는 변수들의 정의들이 제공되고, 맥스웰 방정식들의 층 내부의 푸리에-공간 버젼들이 제시되고 해결되는데, 이들은 z가 상기 격자에 수직인 방향인 z-종속 전자기장 고조파 진폭들을 생성한다. 지수 전개식들로서 각 층 내의 전자기장 고조파 진폭들을 공식화하는 것은 층 내부의 파라미터들 및 입사-방사 파라미터들에 대해서만 의존적인 파 벡터 행렬을 위한 고유방정식을 생성한다. 상기 지수 고조파 진폭 전개식들의 계수들과 지수들은 상기 웨비브-벡터 행렬들의 고유값들과 고유벡터들의 함수들이다. 층 내부의 경계 조건들의 적용은 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 생성하고, 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식의 해는 상기 고조파 진폭 전개식들의 잔여 계수들을 생성한다.
본 상세한 설명의 섹션 3은 섹션 1의 설명에 필적하는 TM-편광된 입사 방사의 회절된 반사의 RCWA 계산들을 위한 수학적 형식론들을 설명한다.
본 상세한 설명의 섹션 4는 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식의 해를 위한 바람직한 방법을 제시한다.
본 상세한 설명의 섹션 5는 본 발명의 방법과 장치를 설명한다. 간단히 말하면, 본 발명의 상기 방법의 상기 예비 계산(pre-calculation)/캐싱 부분은 다음을 포함한다:
ㆍ층 내부의 파라미터 영역, 층 내부의 파라미터 샘플링, 입사-방사 파라미터 영역, 및 입사-방사 파라미터 샘플링의 선택;
ㆍ상기 입사-방사 파라미터 샘플링에 의해 결정되는 바와 같은, 상기 층 내부의 파라미터 샘플링, 및 상기 입사-방사 파라미터 영역에 걸치는 입사-방사 파라미터들에 의해 결정되는 바와 같이, 상기 층 내부의 파라미터 영역에 걸치는 층 내부의 파라미터들을 위한 파 벡터 행렬들의 생성;
ㆍ상기 조사 영역 내의 상기 파 벡터 행렬들의 고유벡터들과 고유값들을 위한 해; 그리고
ㆍ상기 파 벡터 행렬들의 고유벡터들과 고유값들의 캐싱
간단히 말하면, 주기 격자에 의해 생성되는 상기 회절된 반사를 계산하기 위해 상기 캐시된 연산들을 사용하기 위한 본 발명의 상기 방법의 부분은 다음의 단계들을 포함한다:
ㆍ직사각형 슬랩들의 층들로 상기 주기 격자의 마루의 프로파일을 이산화하는 단계;
ㆍ상기 프로파일의 각 층에 대응하는 상기 파 벡터 행렬을 위한 상기 고유벡터들과 고유값들의 캐시로부터 검색하는 단계;
ㆍ경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 생성하기 위해 각 층에 대하여 검색된 고유벡터들과 고유값들을 수집하는 단계; 그리고
ㆍ상기 회절된 반사를 제공하기 위해 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 해결하는 단계.
본 상세한 설명의 섹션 6은 상기 측정된 회절 스펙트럼에 대응하는 상기 프로파일을 결정하기 위해, 측정된 회절 스펙트럼을 프로파일-스펙트럼 쌍들의 라이브러리 내의 엔트리들(entries)과 비교할 때 사용된 매칭 방법론(matching methodology)을 설명한다.
1. 회절 데이터의 획득
도 10에서 도시된 바와 같이, 상기 입사빔(1010)은 타원계(1030)의 여기 헤드(1020)에 의해 생성된다. 상기 입사빔(1010)은 광학적 검출기(1070)에 의해 모니터되는 상기 회절된 전자기 방사(1011)의 강도와 위상 모두의 측정을 허용하는 두 편광을 갖는 방사를 포함한다. 광섬유(1025)는 소스(미도시됨)로부터 상기 여기 헤드(1020)로 백색광을 전송한다. 상기 백색광은 편광된 빛이거나 편광되지 않은 빛일 수 있다. 상기 입사빔(1010)은 상기 샘플(1045)의 수직선으로부터 측정된 입사각 θ가 20도 내지 90도 사이에, 더욱 바람직하게는 30도 내지 80도 사이에, 보다 더욱 바람직하게는 40도 내지 75도 사이에, 보다 더욱 바람직하게는 50도 내지 70도 사이에 있도록 공작물(1040) 상에 탑재된 샘플(1045) 상으로 방향지어진다. 50도 내지 70도의 범위가 바람직한 이유는 상기 범위의 각도가 반도체 프로세싱에서 전형적으로 발견되는 격자 물질들의 측정을 위해 가장 감도가 좋기 때문이다. 가장 바람직하게는, 상기 입사각 θ이 브루스터 각, 즉 입사각과 반사각의 합이 90도인 각, 가까이에 있다. 상기 방사(1010)가 상기 브루스터 각으로 입사할 때, 상기 회절된 방사(1011)는 단 하나의 편광으로 구성된다. 상기 공작물(1040)이 상기 웨이퍼 트랙 상의, 혹은 에쳐(etcher)의 상기 말단 챔버 내의, 혹은 화학적 기계적 연마 도구 내의 엔드-스테이션(end-station) 또는 측정 스테이션 내의 냉각 판, 가열 판, 또는 개발자 모듈(이 모듈들은 총괄하여 프로세스 판으로 언급되고 차후 상기 참조 번호(1080)가 할당된다) 상에 위치될 수 있다. 상기 반사된 빔(1011)은 상기 입사각 θ과 크기는 같고, 수직선의 반대편에 있는 각도 θ로 상기 공작물(1040)을 떠난다. 그 다음에 도 10의 상기 장치(1030)가 분광계인 경우에, 상기 회절된 방사(1015)는 광섬유(1027)를 통하여 분광계(1090)로 상기 신호를 통과시키기 전에 두 편광으로 상기 스펙트럼들을 분리하는 상기 검출기(1070)에 의해 수용된다. 도 10의 상기 장치(1030)가 반사계인 경우, 상기 회절된 방사(1015)는 상기 광섬유(1026)를 통하여 상기 분광계(1090)로 직접 방출된다. 그 다음에 상기 분광계(1090)는 상기 신호를 대전 결합된 소자(charge coupled device)(미도시됨), 또는 도 8에서 묘사되고 아래에서 상세히 설명되는 본 발명의 분석 프로세서와 같은 신호 프로세서에 들어가는 전기적 신호로 상기 광학적 신호를 변환시키는 광전 배증관(photomultiplier)에 송신한다. 도 10의 상기 장치(1030)가 타원계인 경우, 각도 Δ및 각도 Ψ가 도 8의 수리적인 신호 프로세싱 시스템으로부터 결정된다. 위에서 논의된 바와 같이, 상기 회절된 방사(1071)의 크기는 Ψ를 제공하고, 상기 두 편광들의 상대적인 위상은 Δ를 제공한다. 도 10의 상기 장치(1030)가 반사계인 경우, 상기 상대적인 강도가 측정된다.
회절 데이터 획득 시스템을 위한 본 발명의 또다른 바람직한 실시예에 따라, 도 10의 상기 광대역 타원계 또는 반사계 장치(1030)는 상기 테스트 면적보다 작은 스포트(spot) 크기를 감소시키기 위해 포커싱 광학기구(focusing optics)을 포함하도록 변형된다. 전형적으로, 상기 포커싱 광학기구는 50 ㎛ x 50 ㎛의 조명 영역, 또는 더 작은 조명 영역을 생성하고, 상기 테스트 면적 내 스포트를 중심에 두기 위해 패턴 인식 모듈을 이용한다.
본 발명에 따라, 회절 데이터 획득 시스템은 다수의 검출기들과 다수의 여기 헤드들을 이용할 수 있다. 예를 들면, 도 11에서 도시된 바와 같이, 상기 시스템(1030')은 두 개의 여기 헤드들(1020a 및 1020b)과 두 개의 검출기들(1070a 및 1070b)을 이용할 수 있다. 두 광대역 입사빔들(1110a 및 1110b)은 여기 헤드들(1120a 및 1120b)에 의해 생성되고, 각 입사빔(1110a 및 1110b)은 강도와 위상 측정 양쪽이 가능하도록 상기 전자기파의 두 편광들을 포함한다. 도 10의 상기 단일 여기 헤드(1020) 장치(1030)로, 광섬유(1025)는 소스(미도시됨)로부터 상기 두 여기 헤드들(1120a 및 1120b)로 광대역 방사를 전송한다. 스위칭 메커니즘(1099)은 상기 두 개의 여기 헤드들(1020a 및 1020b)에 이르는 상기 두 개의 광섬유 분기(1025a 및 1025b)에 상기 광대역 방사를 교대로 향하게 한다. 바람직한 실시예에서, 스위칭 휠(1099)의 180도 회전이 상기 방사가 향하는 상기 광섬유 분기(1025a 및 1025b)의 스위칭을 생성하도록 상기 스위칭 메커니즘(1099)은 하나의 반원 내의 개구부를 갖는 휠이다. 본 발명의 바람직한 실시예에서 따라, 상기 입사각(θ1및 θ2)이 약 50도 내지 70도이도록 상기 입사빔들은 공작물(1140)으로 향하여진다. 다른 입사각들은 상기 공작물에 의해 또한 유용한 것으로 고려되고 0도 내지 90도 사이의 각도들이 가능하다. 타원편광법 측정이 두 입사각들(θ1및 θ2)에 대해 행해지기 때문에, 상기 각들(θ1및 θ2)은 정보의 과잉이 문제점이 되지 않을 정도로 충분히 다르게 선택되는 반면, 두 각도(θ1및 θ2) 모두 상기 입사빔이 상기 격자 피쳐에 대해 감도가 강하도록 브루스터 각에 충분히 가깝게 선택된다. 상기 회절된 빔들(1015a 및 1015b)은 상기 입사각(θ1및 θ2)과 크기는 같고, 상기 수직선에 대하여 반대쪽에 있는 각도(θ1및 θ2)로 상기 공작물을 벗어난다. 상기 회절된 빔들(1015a 및 1015b)은 검출기들(1070a 및 1070b)에 의해 수용된다. 도 11의 상기 장치(1030')가 분광계인 경우에, 상기 회절된 방사(1015a 및 1015b)는 각 검출기(1070a 및 1070b)가 광섬유(1027)를 통해 분광계(1090)로 상기 신호를 통과시키기 전에 상기 회절된 방사(1015a 및 1015b)를 두 편광들로 분리하는 검출기들(1070a 및 1070b)에 의해 수용된다. 그 다음에 도 10의 상기 장치(1030')가 반사계인 경우, 상기 회절된 방사(1011)가 광섬유(1027)를 통해 상기 분광계(1090)로 직접 전송된다. 상기 분광계(1090)는 상기 신호를 대전 결합된 소자(charge coupled device)(미도시됨), 또는 도 8에서 묘사된 본 발명의 분석 프로세서와 같은 신호 프로세서에 들어가는 전기적 신호로 상기 광학적 신호를 변환시키는 광전 배증관(photomultiplier)(미도시됨)에 송신한다. 도 11의 상기 장치(1030')가 타원계인 경우, 주파수의 함수로서의 각도 Δ및 각도 Ψ가 도 8의 상기 수리적인 신호 프로세싱 시스템으로부터 결정된다. 도 11의 상기 장치(1030')가 반사계인 경우, 상기 상대적인 강도가 측정된다. 상기 여기헤드(1020)와 검출기(1070)가 입사각 θ1에 대한 제 1 측정을 수행할 수 있고, 그 다음에 입사각 θ2에 대한 제 2 측정을 수행하기 위해 이동될 수 있기 때문에, 다수의 검출기들(1070a 및 1070b)이 다각(multiple-angle) 반사측정법 또는 타원편광 측정법을 수행하는데 필요하지 않다는 것이 이해되어야 한다. 더욱이, 테스트 영역 제한을 만족하기에 충분히 작은 입사 면적을 생성하기 위해, 포커싱 렌즈들이 도 10 또는 도 11의 상기 장치의 상기 광학적 경로 내에 포함될 수 있다.
2. TE-편광된 입사 방사를 위한 엄격한 결합된 파 분석
주기 격자(100)의 섹션이 도 1에 도시된다. 묘사된 상기 격자(100)의 섹션은 삼각형 단면을 갖는 세 개의 마루들(121)을 포함한다. 본 발명의 방법은 상기 마루들이 훨씬 더 복잡한 형태들을 갖는 경우들에 적용 가능하고, "마루" 및 "골"의 범주들이 불명확한 경우에도 적용 가능하다는 점이 주목되어야 한다. 본 명세서의 렉소그래피에 따라, 상기 용어 "마루"는 기판 상의 주기 구조의 하나의 주기에 대해 사용될 것이다. 도 1의 각 마루(121)는 상기 +y 및 -y 방향으로 무한하게 연장하는 것으로 간주되고, 무한한, 규칙적으로 간격지어진 일련의 상기 마루들(121)은 +x 및 -x 방향으로 연장하는 것으로 간주된다. 상기 마루들(121)은 침전된 필름(110) 위에 있고, 상기 필름(110)은 +z 방향으로 반무한대로(semi-infinitely) 연장하는 것으로 간주되는 기판(105) 위에 있다. 상기 격자에 대한 수직선 벡터는 -z 방향이다.
도 1은 본 발명에 따른 회절 격자의 수학적인 분석과 연관된 변수들을 도시한다. 보다 상세하게는:
ㆍθ는 상기 입사 전자기 방사(131)의 포인팅 벡터(130)와 상기 격자(100)의 수직선 벡터사이의 각도이다. 상기 포인팅 벡터(130)와 상기 수직선 벡터는 입사면(140)을 정의한다.
ㆍφ는 상기 입사 전자기 방사(131)의 방위각, 즉, 도 1에서 x축을 따르는 상기 격자의 주기성의 방향과 상기 입사면(140) 사이의 각도이다.(설명의 편의를 위해, 본 명세서의 수학적 분석에서 상기 방위각 φ은 0으로 설정된다.)
ㆍψ은 상기 입사 전자기 방사(131)의 전기장 벡터과 상기 입사면(140) 사이의 각도, 즉, 상기 전기장 벡터와 상기 입사면(140) 상의 그 투영사이의 각도이다. φ= 0이고, ψ= π/2이도록 상기 입사 전자기 방사(131)가 편광될 때, 상기 전기장 벡터는 상기 입사면에 수직이고 상기 자기장 벡터는 상기 입사면(140) 내에 있고, 이것은 TE-편광으로 언급된다. φ= 0이고, ψ= 0이도록 상기 입사 전자기 방사(131)가 편광될 때, 상기 자기장 벡터는 상기 입사면(140)에 수직이고 상기 전기장 벡터는 상기 입사면(140) 내에 있으며, 이것은 TM-편광으로 언급된다. 어떠한 평면적 편광도 동일 평면 상의 TE 및 TM 편광의 결합이다. 아래에 설명되는 본 발명의 방법은 상기 TE 및 TM 성분들의 회절을 분리하여 연산하고 그들을 합함으로써 TE 및 TM 편광들의 중첩(superposition)인 어떠한 편광에도 적용할 수 있다. 더욱이, 상기 '축을 벗어난(off-axis)' φ≠0의 경우는 그것이 TE 및 TM 성분들로 분리될 수 없기 때문에 보다 복잡하지만, 본 발명은 축을 벗어난 입사 방사에도 물론 적용 가능하다.
ㆍλ는 상기 입사 전자기 방사(131)의 파장이다.
도 2는 본보기가 되는 주기 격자(100)의 두 개의 마루들(121)의 단면도를 도시하고(도 1의 상기 격자와 동일한 참조 번호를 사용하여 라벨될 것이다.), 본 발명에 따른 상기 회절 격자(100)의 치수의 수학적인 기재와 연관된 변수들을 도시한다. 보다 상세하게는:
ㆍL은 상기 시스템이 분할되는 상기 층들의 숫자이다. 층들(O 및 L)은 반무한 층들로 간주된다. 층(O)은 대개는 굴절률 1을 갖는 진공 또는 공기와 같은 "대기(atmospheric)" 층이다. 층(L)은 "기판" 층(105)이고, 상기 층은 반도체 응용에서 대개는 실리콘 또는 게르마늄이다. 도 2의 본보기가 되는 격자(100)의 경우에, 상기 격자(100)는 영차 층(125.0)인 대기 층(101), 제 1 내지 제 7 층들(125.1) 스루(through)(125.7)인 상기 마루들(121), 제 8 층(125.8)인 상기 얇은 필름(110), 그리고 제 9 층(125.9)인 상기 기판(105)을 갖는 10개의 층들을 갖는다.(아래에 설명되는 수학적 분석에 대하여, 상기 얇은 필름(110)은 상기 피치 D와 동일한 폭 d를 갖는 상기 마루(121)의 주기적 부분으로 간주된다.) 각 중간 층(125.1 내지 125.(L-1)) 내의 마루(121)의 부분은 직사각형 단면을 갖는 얇은 평면적 슬랩(126)에 의해 근사된다.(일반적으로 또는 총괄하여, 상기 층들은 참조 번호 125로 지정되고, 본문에 따라, "층들(125)"은 상기 대기 층(101) 및/또는 상기 기판(105)를포함하는 것으로 간주될 수 있다.) 일반적으로, 오직 수직 및 수평의 섹션들로만 구성되지 않는 단면을 갖는 마루들(121)의 어떠한 지오메트리도 많은 층들(125)을 사용하여 더 잘 근사될 수 있다.
ㆍD는 주기성 길이 또는 피치, 즉, 인접한 마루들(121)의 쌍들 상의 등가 점들 사이의 길이이다.
ㆍdl은 상기 l번째 층(125.l) 내의 상기 직사각형 마루 슬랩(126.l)의 폭이다.
ㆍtl은 1<l<(L-1)에 대해, 상기 l번째 층(125.l) 내의 상기 직사각형 마루 슬랩(126.l)의 두께이다. 상기 층들(125)의 두께 tl는 층(125) 내의 모든 수직선 세그먼트가 오직 하나의 물질만 통과하도록 선택된다. 예를 들면, 만약 도 2에서 층들(125.4, 125.5 및 125.6)의 물질들이 동일하지만, 층들(125.3 및 125.7)의 물질들이 서로 다르다면, 층들(125.4 및 125.5), 또는 층들(125.5 및 125.6), 또는 층들(125.4, 125.5 및 125.6)을 하나의 층으로 결합하는 것이 가능할 것이다. 그러나, 층들(125.3 및 125.4), 또는 층들(125.6 및 125.7)을 하나의 층으로 결합하는 것은 불가능할 것이다.
ㆍnl은 상기 l번째 층(125.l)의 상기 직사각형 마루 슬랩(126)의 물질의 굴절률이다.
격자(100)에 의해 생성된 상기 회절을 결정할 때, 맥스웰 방정식의 푸리에 공간 버젼이 사용된다. 도 3의 계산 프로세스 흐름도에서 도시된 바와 같이, 각층 l에 대한 유전율 εl(x)은 결정되거나 획득되고(310)(예를 들면, 2000년 1월 26일의, 발명자들에 의해 Profiler Business Model로 칭해진 임시 특허 출원 제 60/178.540 호와, 2000년 6월 2일의, 임시 특허 출원 제 60/209,424 호 양쪽 다 여기서 참조 문헌으로 편입되었다), 각 층 l의 상기 유전율 εl(x)의 1차원 푸리에 변환은 i가 고조파 성분의 차수인 유전율 εl,i의 고조파 성분들을 제공하기 위한 상기 주기 격자(100)의 상기 주기성의 방향,을 따라 수행된다(312).(도 3, 4, 5 및 6에서, 프로세스 단계들은 둥근 코너들을 갖는 타원형 또는 직사각형들 내에 둘러싸여 도시되고, 상기 계산들의 결과는 날카로운 코너들을 갖는 직사각형들 내에 둘러싸여 도시된다. 도 3에서 적절한 때, 방정식 숫자들은 참조 번호들을 대신하여, 또는 더하여 사용된다.) 보다 상세하게는, 상기 l번째 층의 상기 실제 공간 유전율 εl(x)은 상기 l번째 층의 유전율 고조파들 εl,i에 대해 다음에 의해 관련된다.
(1.1.1)
그러므로, 역변환에 의해,
(1.1.2)
그리고 i가 0이 아닌 경우,
(1.1.3)
nr은 상기 층(l) 내의 상기 마루들(121) 내의 물질의 굴절률이고, 상기 대기 층(101)의 굴절률 n0은 대개 1에 가까우며, β는 원점으로부터 상기 중심의 직사각형 마루 슬랩(126.l)(즉, 일반적으로 마루(121)의 중심에 상기 x=0 점을 위치시키도록 하는 x=0에 가장 가까운 상기 마루(121))의 중심의 x-오프셋이다. 본 명세서는 하나의 마루 물질 및 하나의 대기 물질이 x 방향의 어떠한 선을 따라 발견되는 주기 격자들을 명백하게 제시한다. 그러나, 2000년 5월 15일에 제출된, Optical Profilometry for Sub-Micron Periodic Features with Three or More Materials in a Layer로 칭해지는 공개 공보 제 474051 호에서와 같이, 본 발명은 x 방향의 선에 따른 하나의 마루 물질보다 많은 물질들을 갖는 격자들에 적용될 수 있다.
본 발명의 수학 공식화에 따라, (2o+1) x (2o+1) Toeplitz 형태를 정의하는 것이 편리한데, 유전율 고조파 행렬 El은 다음과 같다.
(1.1.4)
아래에서 도시되는 바와 같이, 상기 전기장과 자기장의 0차 고조파 성분들이 사용되는 TE-편광 계산을 수행하기 위해, 2o에 달하는 차수의 유전율 εl,i의 고조파들을 사용하는 것이 필요하다.
TE 편광을 위해, 대기 층에서 상기 전기장은 다음과 같이 공식화된다(324).
(1.2.1)
수식 (1.2.1)의 오른편의 좌항은 입사각 θ로 들어오는 평면파이고, 수식 (1.2.1)의 오른편의 우항은 반사된 평면파들의 합이며, Ri는 상기 반사된 파의 i번째 성분의 크기이고, 상기 파 벡터들 k0와 (kxi, k0,zi)은 다음과 같이 주어진다.
(1.2.2)
(1.2.3)
그리고
(1.2.4)
상기 k0,zi의 값은 수식 (1.2.4)으로부터 선택되는데, 즉, Re(k0,zi) - Im(k0,zi) > 0을 만족시키기 위해, 상기 식의 위 또는 아래로부터 선택된다. 이것은이 양의 실수부를 가지므로, 에너지가 보존된다는 것을 보증한다. 상기 대기 층(101)에서 상기 반사된 파 벡터(kxi, k0,zi)는 들어오는 파 벡터 k0n0와 같은 크기를 갖는다는 것이 쉽게 확인된다. 상기 대기 층(101)의 자기장은 아래에서 제공되는 맥스웰 방정식 (1.3.1)에 의해 전기장으로부터 생성된다.
상기 나가는 파 벡터들의 x 성분 kxi는 상기 주기 마루들(121)을 포함하는 각 층들(125)에서 Floquet 조건(이는 또한 Bloch의 이론이라고도 칭해지는데, 1976년의, 필라델피아 손더스 대학의, N. W. Ashcroft와 N. D. Mermin의, Solid State Physics를 보라)을 만족시키고, 그래서 경계 조건 때문에, 상기 대기 층(101)과 상기 기판 층(105)에서도 만족시킨다. 그것은 n차원 주기성을 갖는 시스템에 대해, 다음과 같이 주어진다.
(1.2.5)
여기서은 상기 주기 시스템의 기본 벡터들이고, mi는 양 및 음의 정수값을 가지며, 상기 Floquet 조건은 상기 파 벡터들이 다음을 만족하고,
(1.2.6)
여기서는 다음의 역 격자(reciprocal lattice) 벡터들이며,
(1.2.7)
는 자유 공간 해(free-space solution)의 파 벡터이고, δij는 Kronecker 델타 함수이다. 하나의 역 격자 벡터를 갖는 도 1 및 도 2의 상기 주기 격자(100)의 상기 층들(125)의 경우에는인데, 이로써 수식 (1.2.3)의 관계를 제공한다.
상기 대기 층(101) 내의 상기 전기장에 대하여 위에서 주어진 공식화는, 그것이 평면파들의 형태의 전개식이지만, 실제 공간 공식화의 푸리에 변환에 의하여 결정되지 않는다는 것이 주목될 수 있다. 오히려, 상기 공식화는 상기 Floquet 조건 및 들어가는 그리고 나오는 방사가 n0k0크기의 파 벡터들을 갖도록 하는 요구사항들에 기초하여 생성된(324) 프리어리(priori)이다. 유사하게, 상기 기판층(105) 내의 상기 전기장에 대한 상기 평면파 전개식은 생성된(324) 프리어리이다. 상기 기판 층(105)에서, 상기 전기장은 상기 파 벡터들(kxi, k0,zi)의 x 성분 kxi이 Floquet 조건을 만족시키는 평면파들의 합인 투과된 파로 공식화되는데(324), 즉,
(1.2.8)
(1.2.9)
여기서 에너지가 보존됨을 보증하는 Re(kL,zi) - Im(kL,zi) > 0를 제공하기 위해, 상기 kL,zi의 값은 수식 (1.2.9)로부터, 즉, 상기 전개식의 위 또는 아래로부터 선택된다.
상기 중간 층들(125.1 내지 125.(L-1)) 내의 전기장 및 자기장에 대한 상기 평면파 전개식들은 또한 상기 Floquet 조건에 기초하여 생성된(334) 프리어리이다. 상기 l번째 층 내의 전기장은 주기성의 방향,에 따른 평면파 전개식으로서공식화되는데(324), 즉,
(1.2.10)
여기서 Sl,yi(z)는 상기 l번째 층과 상기 i번째 고조파에 대한 z-독립적인 전기장 고조파 진폭이다. 유사하게, 상기 l번째 층 내의 자기장은 주기성의 방향,에 따른 평면파 전개식으로서 공식화되는데(334), 즉,
(1.2.11)
여기서 Ul,xi(z)는 상기 l번째 층과 i번째 고조파에 대한 z-독립적인 자기장 고조파 진폭이다.
맥스웰 방정식에 따라, 층 내의 상기 전기장 및 자기장은 다음과 같이 연관된다.
(1.3.1)
및
(1.3.2)
상기 제 1 맥스웰 방정식 (1.3.1)을 수식 (1.2.10) 및 (1.2.11)에 적용하는 것(342)은 상기 l번째 층의 전기장 및 자기장 고조파 진폭들 Sl및 Ul사이의 제 1 관계를 제공한다:
(1.3.3)
유사하게, 상기 제 2 맥스웰 방정식 (1.3.2)을 수식 (1.2.10) 및 (1.2.11)에 적용하고(341), 상기 수식 (1.2.3)으로부터의 다음의 관계를 이용하는 것은
(1.3.4)
상기 l번째 층에 대한 상기 전기장 및 자기장 고조파 진폭들 Sl및 Ul사이의 제 2 관계를 제공한다:
(1.3.5)
수식 (1.3.3)이 동일 차수 i의 고조파 진폭들을 결부시키는 반면, 수식 (1.3.5)은 고조파 차수들 사이의 고조파 진폭 Sl및 Ul을 결부시킨다. 수식 (1.3.5)에서, -2o내지 +2o의 차수인 유전율 고조파 εi가 -o와 +o 사이의 차수들의 고조파 진폭 Sl및 Ul을 결부시키도록 요구된다.
수식 (1.3.3) 및 수식 (1.3.5)을 결합시키고 상기 고조파 진폭 S 내의 차수 o로 상기 계산을 종결시키는 것은 파 방정식의 형태를 갖는 2차 미분 행렬 방정식을 제공하는데, 즉,
(1.3.6)
z' = k0z, 상기 파 벡터 행렬 [Al]은 다음과 같이 정의되는데,
(1.3.7)
여기서 [Kx]는 (kxi/k0)와 같은 (i,i) 원소을 갖는 대각(diagonal) 행렬이고, 상기 유전율 고조파 행렬 [El]은 수식 (1.1.4)에서 위에 정의되며, [Sl,y] 및 [∂2Sl,y/∂z'2]는 -o 내지 +o의 인덱스를 갖는 열 벡터인데, 즉,
(1.3.8)
이다.
수식 (1.3.6)의 동차 해를 지수 함수의 쌍들의 전개식으로서 기록함으로써, 즉,
(1.3.9)
그 함수 형태는 z'에 의한 2차 미분에 대해 유지되고, 이로써 고유방정식의 형태를 취한다. 다음의 상기 고유방정식의 풀이(347)는
[Al][Wl] = [τl][Wl]
(1.3.10)
상기 파 벡터 행렬 [Al]의 고유값들 τl,m로 형성된 대각 고유값 행렬 [τl]과 엔트리들 wl,i,m의 고유벡터 행렬 [Wl]을 제공하는데, 여기서 wl,i,m은 [Al]의 m번째 고유벡터의 i번째 엔트리이다. 대각 근-고유값 행렬 [Ql]은 상기 고유값들 τl,i의 제곱근들의 양의 실수부인 대각 엔트리들 ql,i로 정의된다. 상기 상수들 c1 및 c2는 아직 결정되지 않은 상수이다.
수식 (1.3.9)에 수식 (1.3.3)을 적용시킴으로써 다음이 발견되고,
(1.3.11)
여기서 vl,i,m= ql,mwl,i,m이다. 아래에서 사용될 상기 행렬 [Vl]은 엔트리들 vl,i,m으로 구성된다.
수식 (1.3.9) 및 수식 (1.3.11)의 동차 해 내의 상기 상수들 c1 및 c2는 상기 접선 방향 전기장 및 자기장이 인접한 층들 (125.l)/(125.(l+1))의 각 쌍 사이의 경계에서 연속적이어야 한다는 요구사항을 적용시킴(355)으로써 결정된다. 상기 대기 층(101) 및 상기 제 1 층(125.1) 사이의 경계에서 상기 전기장 Ey와 상기 자기장 Hx의 연속성은 다음을 요구하는데,
(1.4.1)
여기서 Y0는 엔트리들 (k0,zi/k0)을 갖는 대각 행렬이고, Xl은 원소들 exp(-k0ql,mtl)을 갖는 대각 층-이전 행렬이며, R은 R-o내지 R+o의 범위의 엔트리들로 구성된 벡터이고, c11및 c21는 각각 c11,0및 c11,2o+1, 및 c21,0및 c21,2o+1로부터의 엔트리들로 구성된 벡터들이다. 행렬 방정식 (1.4.1)의 위쪽 절반은 상기 대기 층(125.0)과 상기 제 1 층(125.1)의 경계를 가로지르는 상기 전기장 Ey의 정합을 제공하고, 행렬 방정식 (1.4.1)의 아래쪽 절반은 상기 층 경계 (125.0)/(125.1)를 가로지르는 상기 자기장 Hx의 정합을 제공하며, 상기 먼 왼편 상의 벡터는 상기 대기 층(101) 내의 들어오는 방사(131)로부터의 기여이고, 상기 왼편 상의 제 2 벡터는 상기 대기 층(101) 내의 상기 반사된 방사(132)로부터의 기여이며, 상기 오른편 상의 부분은 상기 제 1 층(125.1) 내의 상기 전기장 Ey와 자기장 Hx를 나타낸다.
인접한 중간 층들 (125.l) 및 (125.(l+1)) 사이의 경계에서, 상기 전기장 Ey와 상기 자기장 Hx의 연속성은 다음을 요구하는데,
(1.4.2)
여기서 상기 벡터 방정식의 위쪽 절반과 아래쪽 절반은 상기 l-1/l 층 경계를 가로질러, 각각 상기 전기장 Ey와 상기 자기장 Hx의 정합을 제공한다.
상기 (L-1)번째 층 (125.(L-1))과 상기 기판 층(105) 사이의 경계에서, 상기 전기장 Ey과 상기 자기장 Hx의 연속성은 다음을 요구하는데,
(1.4.3)
여기서, 위와 같이, 상기 벡터 방정식의 위쪽 절반과 아래쪽 절반은 각각 상기 전기장 Ey과 상기 자기장 Hx의 정합을 제공한다. 수식 (1.4.1)과 반대로, 상기 기판(105) 내에 어떠한 입사 방사도 없기 때문에 상기 오른편 상에 오직 하나의 항만 있다.
행렬 방정식 (1.4.1), 행렬 방정식 (1.4.3), 그리고 상기 (L-1) 행렬 방정식 (1.4.2)은 다음의 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 제공하기 위해 결합될(360) 수 있고
(1.4.4)
이 경계-정합된 시스템 행렬 방정식 (1.4.4)은 각 고조파 차수 i에 대해 상기 반사성 Ri를 제공하도록 해결될(365) 수 있다.(대체적으로, 1995년 5월의, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 12, 1077-1086의, E. B. Grann 및 D. A. Pommet에 의한 "Stable Implementation of the Rigorous Coupled-Wave Analysis for Surface-Relief Dielectric Gratings: Enhanced Transmittance Matrix Approach"에 설명된 부분해 접근법이 상기 회절된 반사성 R 또는 상기 회절된 투과성 T를 계산하기 위해 적용될 수 있다.)
3. TM 편광을 위한 엄격한 결합된 파 분석
도 4에 도시된 상기 TM-편광된 입사 전자기 방사(131)의 상기 회절된 반사성 계산 방법(400)은 TE-편광된 입사 전자기 방사(131)의 상기 회절된 반사성을 위해 위에서 설명되고 도 3에서 도시된 방법(300)과 유사하다. 상기 격자(100)의 지오메트리와 상기 입사 방사(131)의 지오메트리를 설명하는 변수들은 도 1 및 도 2에서 도시되는 바와 같다. 그러나, TM-편광된 입사 방사(131)를 위해 상기 전기장 벡터는 상기 입사면(140) 내에 있고, 상기 자기장 벡터는 상기 입사면(140)에 수직이다.(TE-편광 및 TM-편광 RCWA 계산의 유사성과 본 발명의 응용은 상기 전자기 방사의 전기장 및/또는 자기장 중 하나 또는 양쪽 모두를 일반적으로 언급하기 위해 본 명세서에서 "전자기장"이란 용어의 사용에 동기를 부여한다.)
위에서와 같이, 상기 유전율 εl(x)이 결정되거나 획득되면(410), 상기 유전율 고조파 εl,i가 수식 (1.1.2) 및 수식 (1.1.3)에 따라 푸리에 변환을 사용하여 결정되고(412), 상기 유전율 고조파 행렬 El은 수식 (1.1.4)마다와 같이 집합된다. TM-편광된 입사 방사(131)의 경우에, 상기 계산의 정확도는 역-유전율 고조파 πl,i를 사용하여 상기 계산을 공식화함으로써 개선될 수 있는데, 이것은 덜 특이한(singular) 행렬들의 역을 포함할 것이기 때문이다. 보다 상세하게는, 상기 l번째 층의 유전율 εl(x)의 역을 위한 상기 1차원 푸리에 전개식(412)은 다음과 같이 주어진다.
(2.1.1)
그러므로, 상기 역 푸리에 변환을 통하여 이것은 다음을 제공하고,
(2.1.2)
h가 0이 아닌 경우에는 다음을 제공하는데,
(2.1.3)
여기서 β는 원점으로부터 상기 직사각형 마루 슬랩(126.l)의 중심부의 x-오프셋이다. 상기 역-유전율 고조파 행렬 Pl은 다음과 같이 정의되는데,
(2.1.4)
여기서 2o는 상기 계산에서 사용되는 상기 역-유전율 πl,h의 최대 고조파 차수이다. TE 편광(300)의 경우에서와 같이, o 차수로 계산된 전자기장및을 위해 2o 차수로 상기 유전율 εl,h및 역-유전율 πl,h의 고조파 성분들을 사용하는 것이 필요하다.
상기 대기 층에서 상기 자기장이 입사각 θ으로 들어오는 평면파로서 프리어리로 공식화되고(424), 파 벡터들(kxi, k0,zi)을 갖는 평면파들의 합인 반사된 파는 Floquet 조건, 수식 (1.2.6)을 만족시킨다. 보다 상세하게는,
(2.2.1)
여기서 상기 오른편의 상기 좌항은 들어오는 평면파이고, Ri는 상기 반사된 파의 i번째 성분의 크기이다. 상기 파 벡터들(k0및 (kxi, k0,zi))은 위의 수식 (1.2.2), 수식 (1.2.3), 및 수식 (1.2.4)에 의해 주어지고, 상기 대기 층(101) 내의 자기장은 맥스웰 방정식 (1.3.2)에 의해 상기 전기장으로부터 생성된다. 상기 기판 층(105)에서 상기 자기장은 상기 파 벡터들(kxi, k0,zi)이 상기 Floquet 조건, 수식 (1.2.6)을 만족시키는 평면파들의 합인 투과된 파로서 다음과 같이 공식화되는데(424), 즉,
(2.2.2)
여기서, kL,zi는 수식 (1.2.9)에서 정의된다. 상기 Floquet 조건에 기초하여 다시, 상기 l번째 층 내의 상기 자기장은 주기성의 방향,을 따라 평면파 전개식으로서 공식화되는데(434), 즉,
(2.2.3)
여기서 Ul,yi(z)는 상기 l번째 층 및 상기 i번째 고조파에 대한 상기 z-독립적인 자기장 고조파 진폭이다. 유사하게, 상기 l번째 층 내의 상기 전기장은 상기 주기성의 방향,을 따라 평면파 전개식으로서 공식화되는데(434), 즉,
(2.2.4)
여기서 Sl,xi(z)는 상기 l번째 층 및 상기 i번째 고조파에 대하여 상기 z-독립적인 전기장 고조파 진폭이다.
수식 (2.2.3) 및 수식 (2.2.4)을 맥스웰 방정식 (1.3.2)으로 대체하는 것은상기 l번째 층에 대하여 상기 전기장 및 자기장 고조파 진폭들 Sl및 Ul사이의 제 1 관계를 제공한다(441):
(2.3.1)
유사하게, 수식 (2.2.3) 및 수식 (2.2.4)을 맥스웰 방정식 (1.3.1)으로 대체하는 것은 상기 l번째 층에 대하여 상기 전기장 및 자기장 고조파 진폭들 Sl및 Ul사이의 제 2 관계를 제공한다(442):
(2.3.2)
여기서, 위에서와 같이, Kx는 (kxi/k0)와 같은 (i,i) 원소를 갖는 대각 행렬이다. TE-편광된 계산으로부터의 수식 (1.3.3)과 수식 (1.3.5)과 반대로, 수식 (2.3.1)과 수식 (2.3.2) 내의 비대각 행렬들은 고조파 차수들 사이에서 고조파 진폭들 Sl및 Ul을 결합한다.
수식 (2.3.1) 및 수식 (2.3.2)를 결합하는 것은 다음의 2차 미분 파 방정식을 제공하는데
(2.3.3)
여기서 [Ul,y] 및 [∂2Ul,y/∂z'2]은 -o 내지 +o의 인덱스를 갖는 열 벡터들이고 상기 유전율 고조파 [El]는 위의 수식 (1.1.7)에서 정의되며, z'=k0z이다.
수식 (2.3.3)을 위한 상기 파 벡터 행렬 [Al]은 다음과 같이 정의된다:
[Al] = [El]([Kx][Pl][Kx]-[I]).
(2.3.4)
만약 고조파들의 무한한 수가 사용될 수 있다면, 그 다음에 상기 유전율 고조파 행렬 [El]의 역은 역-유전율 고조파 행렬 [Pl]과 같고, 반대의 경우도 마찬가지인데, 즉, [El]-1= [Pl]이고, [Pl]-1= [El]이다. 그러나, 상기 동등성은 고조파들의 유한한 수 o가 사용되는 경우 유지되지 않고, 유한한 o에 대하여 상기 행렬들 [El]-1및 [Pl]의 특이성과, 상기 행렬들 [Pl]-1및 [El]의 특이성은 일반적으로 다를 것이다. 사실, RCWA 계산의 정확도는 상기 파 벡터 행렬 [Al]이 수식 (2.3.4), 또는 다음의 수식에 의해 정의되는지에 따라 변화할 것이다:
[Al] = [Pl]-1([Kx][El][Kx]-[I]),
(2.3.5)
또는
[Al] = [El]([Kx][El]-1[Kx]-[I]).
(2.3.6)
다음이 수식 (2.3.5) 및 수식 (2.3.6)의 공식화들처럼 좋은 수렴을 대개는 제공하지 않는 경우에도, 본 발명은 수식 (2.3.6')의 공식화에 또한 적용될 수 있다는 점이 또한 이해되어야 한다:
[Al] = [Pl]-1([Kx][Pl][Kx]-[I]).
(2.3.6')
상기 세 가지 공식화들과 관계 없이, 상기 파 벡터 행렬 [Al]에 대해, 수식 (2.3.4), 수식 (2.3.5) 또는 수식 (2.3.6)이 사용되는데, 수식 (2.3.3)의 해는 지수 함수의 쌍들의 전개식으로서 상기 자기장 고조파 진폭 Ul에 대해 상기 동차 해를 기록함으로써(450) 수행되는데, 즉,
(2.3.7)
이는 그 함수 형태가 z'에 의한 2차 미분에 대해 유지되고, 수식 (2.3.3)은 고유방정식이 되기 때문이다. 상기 다음의 고유방정식의 풀이(447)는
[Al][Wl] = [τl][Wl]
(2.3.8)
상기 파 벡터 행렬 [Al]의 고유벡터들 wl,i로 형성된 고유벡터 행렬 [Wl]과, 상기 파 벡터 행렬 [Al]의 고유값들 τl,i로 형성된 대각 고유값 행렬 [τl]을 제공한다. 대각 근-고유값 행렬 [Ql]은 상기 고유값들 τl,i의 제곱근의 양의 실수부인 대각 엔트리들 ql,i로 형성된다. 수식 (2.3.7)의 상수들 c1 및 c2는 아직 결정되지 않은 채이다.
수식 (1.3.3)을 수식 (2.3.5)에 적용시킴으로써 다음이 발견되는데,
(2.3.9)
상기 벡터들 vl,i는 다음과 같이 정의되는 행렬 [Vl]을 형성한다:
[V] = [E]-1[W][Q] [A]가 수식 (2.3.4)에서와 같이 정의된 때,
(2.3.10)
[V] = [P][W][Q] [A]가 수식 (2.3.5)에서와 같이 정의된 때,
(2.3.11)
[V] = [E]-1[W][Q] [A]가 수식 (2.3.6)에서와 같이 정의된 때.
(2.3.12)
수식 (2.3.5) 및 수식 (2.3.11)의 상기 공식화는 대개는 수식 (2.3.4) 및 수식 (2.3.11)의 상기 공식화에 대해 개선된 수렴 성능(1996년의, J. Opt. Soc. Am. A,779-784의, P. Lalanne 및 G. M. Morris에 의한 "Highly Improved Convergence of the Coupled-Wave Method for TM Polarization"; 그리고 1993년 6월의, J. Opt. Soc. Am. A, 1184-1189의, L. Li 및 C, Haggans에 의한 "Convergence of the coupled-wave method for metallic lamellar diffraction gratings"를 보라)을 갖는다(1981년 7월의, J. Opt. Soc. Am., vol. 71, 811-818의, M. G. Moharam 및 T. K. Gaylord에 의한 "Rigorous Coupled-Wave Analysis of Planar-Grating Difraction"을 보라).
각 층의 재료들이 비전도성인 때, 수식 (2.3.7) 및 수식 (2.3.9)의 동차 해 내의 상기 상수들 c1 및 c2은 상기 접선 전기장 및 상기 접선 자기장이 인접한 층들 (125.l)/(125.(l+1))의 각 쌍 사이의 경계에서 연속적이어야 한다는 요구사항을 적용시킴으로써(455) 결정된다. 본 명세서의 계산은 전도성 재료들을 포함하는 환경으로 바로 변경되고, 본 발명의 상기 방법의 전도성 재료들을 포함하는 주기 격자들에 대한 적용은 본 발명의 범위 내에서 고려될 것이다. 상기 대기 층(101)과 상기 제 1 층(125.1) 사이의 경계에서, 상기 자기장 Hy와 상기 전기장 Ex의 연속성은 다음을 요구하는데,
(2.4.1)
여기서 z0는 (k0,zi/n0 2k0)의 엔트리들을 갖는 대각 행렬이고, Xl은 exp(-k0ql,mtl)의 원소를 갖는 대각 행렬이며, 상기 벡터 방정식의 위쪽 절반은 상기 층 경계를 가로지르는 자기장 Hy의 정합을 제공하고, 상기 벡터 방정식의 아래쪽 절반은 상기 층 경계를 가로지르는 상기 전기장 Ex의 정합을 제공하며, 상기 먼 왼편 상의 벡터는 상기 대기 층(101) 내의 상기 들어오는 방사(131)로부터의 기여이고, 상기 왼편 상의 제 2 벡터는 상기 대기 층(101) 내의 상기 반사된 방사(132)로부터의 기여이며, 상기 오른편 상의 부분은 상기 제 1 층(125.1) 내의 상기 자기장 Hy과 전기장 Ex를 나타낸다.
인접한 중간 층들 (125.l) 및 (125.(l+1)) 사이의 경계에서, 상기 전기장 Ey과 상기 자기장 Hx의 연속성은 다음을 요구하는데,
(2.4.2)
여기서 상기 벡터 방정식의 위쪽 및 아래쪽 절반은 상기 층 경계를 가로질러, 상기 자기장 Hy과 상기 전기장 Ex의 정합을 각각 제공한다.
상기 (L-1)번째 층 (125.(L-1)) 및 상기 기판 층(105) 사이의 경계에서, 상기 전기장 Ey과 상기 자기장 Hx의 연속성은 다음을 요구하는데,
(2.4.3)
여기서, 위와 같이, 상기 벡터 방정식의 위쪽 및 아래쪽 절반은 각각 상기 자기장 Hy및 상기 전기장 Ex의 정합을 제공한다. 수식 (2.4.1)과 반대로, 상기 기판(105) 내에 어떠한 입사 방사도 없기 때문에 수식 (2.4.3) 내의 오른편에는 오직 하나의 항만 있다.
행렬 방정식 (2.4.1), 행렬 방정식 (2.4.3), 및 상기 (L-1) 행렬 방정식들 (2.4.2)은 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 제공하도록 결합될(460) 수 있고,
(2.4.4)
상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식 (2.4.4)은 각 고조파 차수 i에 대하여 상기 반사성 R을 제공하도록 해결될(465) 수 있다.(대체적으로, 1995년 5월의, J. Opt. Soc. Am. A, vol. 12, 1077-1086의, E. B. Grann 및 D. A. Pommet에 의한 "Stable Implementation of the Rigorous Coupled-Wave Analysis for Surface-Relief Dielectric Gratings: Enhanced Transmittance Matrix Approach"에서 설명된 상기 부분해 접근법은 상기 회절된 반사성 R 또는 상기 회절된 투과성 T를 계산하기 위해 적용될 수 있다.)
4. 회절된 반사성의 풀이
상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식들 (1.4.4) 및 (2.4.4)의 왼편 행렬은 희박한(sparse, 즉, 그 엔트리들의 대부분이 0인) 정방 비-허미시안 복소수 행렬(square non-Hermitian complex matrix)이고, 상수 블록 구성(즉, 일정한 크기의 부분 행렬들의 배열)으로 되어 있다. 본 발명의 바람직한 실시예에 따라, 행렬 방정식들의 풀이 분야에서 잘 알려진 바와 같이, 상기 행렬은 상수 블록 압축된 희박한 행 데이터 구조(constant block compressed sparse row data structure)(BSR) 방법(1996년의,http://www.netlib.org의, S. carney, M. Heroux, G. Li, R. Pozo, K. Remington 및 K. Wu에 의한 "A Revised Proposal for a Sparse BLAST Toolkit"을 보라)을 사용하여 저장된다. 보다 상세하게는, 정방 부분 행렬들의 정방 배열로 구성된 행렬에 대하여, 상기 BSR 방법이 다섯 가지 기술자들(descriptors)을 사용한다:
ㆍB_LDA는 부분 행렬들의 배열의 차수이다;
ㆍO는 상기 부분 행렬들의 차원이다;
ㆍVAL은 상기 위쪽 행 내의 가장 왼편의 0이 아닌 행렬로부터 시작하는 0이 아닌 부분 행렬들의 벡터이고(상기 위쪽 행에 0이 아닌 행렬이 있다고 가정함), 왼편부터 오른편, 위쪽부터 아래쪽, 상기 아래쪽 행에서의 가장 오른편의 0이 아닌 행렬로 계속된다(상기 아래쪽 행에 0이 아닌 행렬이 있다고 가정함).
ㆍCOL_IND는 상기 VAL 벡터 내의 상기 부분 행렬들의 상기 열 인덱스들의 벡터이다; 그리고
ㆍROW_PTR은 각 행에서 제 1 0이 아닌 부분 행렬들인 부분 행렬들에의 포인터들의 벡터이다.
예를 들면, 수식 (1.4.4)의 왼편 행렬에 대하여, B_LDA는 2L의 값을 갖고, O는 2o+1의 값을 가지며, VAL의 상기 엔트리들은 (-I, W1, W1X1, jY0, V1, -V1X1, -W1X1, -W1, W2, W2X2, -V1X1, V1, V2, ....)이고, COL_IND의 상기 엔트리들은 (1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, ....)이며, ROW_PTR의 엔트리들은 (1, 4, 7, 11, ....)이다.
본 발명의 바람직한 실시예에 따라, 행렬 방정식들의 풀이의 분야에서 잘 알려진 바와 같이, 상기 수식 (1.4.4) 및 수식 (2.4.4)의 왼편 행렬들의 각형(squareness) 및 희박도(sparseness)는 블록된 가우스 소거(Blocked Gaussian Elimination, BGE) 알고리즘을 사용하여 수식 (1.4.4) 및 수식 (2.4.4)를 해결함으로써 이익을 얻기 위해 사용된다. 상기 BGE 알고리즘은 부분 행렬들을 스칼라로 대체함으로써 상기 표준 BGE 알고리즘(예를 들면, Cambridge University Press, Cambridge, 1986년, pp. 29-38의, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, 및 W. T. Vetterling에 의한 Numerical Recipes를 보라)로부터 얻어진다. 상기 가우스 소거 방법에 따라, 수식 (1.4.4) 또는 수식 (2.4.4)의 왼편 행렬은 하기 형태의 방정식을 제공하도록 하부 삼각 행렬 [L], 및 상부 삼각 행렬 [U]의 적으로 분해되고,
[L][U][x] = [b]
(3.1.1)
그 다음에 상기 두 개의 삼각 시스템들 [U][x] = [y] 및 [L][y] = [b]이 해 [x] = [U]-1[L]-1[b]를 획득하기 위해 해결되는데, 여기서 수식 (1.4.4) 및 수식 (2.4.4)과 같이, [x]는 상기 회절된 반사성 R을 포함한다.
5. 유전율 고조파들과 고유해들의 캐싱
위에서 제시된 바와 같이, 주기 격자로부터의 입사 TE-편광된 또는 TM-편광된 입사 방사(131)의 회절의 계산은 각각 경계-정합된 시스템 행렬 방정식 (1.4.4) 또는 (2.4.4)의 생성, 그리고 그 풀이를 포함한다. 본 발명의 장점들을 이해할 때, 도 3 및 도 4의 프로세스들의 연산 비용이 가장 큰 부분은 수식 (1.3.7), (2.3.4), (2.3.5) 또는 (2.3.6)의 파 벡터 행렬 [Al]의 고유벡터들 wl,i및 고유값들 τl,i을 위한 풀이(347 및 447)라는 것을 인식하는 것이 중요하다. 상기 고유벡터들 wl,i및 고유값들 τl,i의 계산의 정확도는 이용된 차수 o의 숫자에 의한다. 차수 o의 숫자가 증가될수록, 상기 고유 시스템을 위한 상기 연산 시간은 o에 대해 지수적으로 증가한다. o=9의 고조파 차수를 갖는 전형적인 연산 환경에서 수행될 때, 상기 고유벡터들과 상기 고유값들의 계산은 상기 총 연산 시간의 85% 이상을 차지할 수 있다.
본 발명의 방법은 그 가장 간단한 형태에서 정보 입력/출력(I/O) 장비(805)로 구성되는 컴퓨터 시스템(800) 상에서 이행되고, 상기 장비는 중앙 처리 유닛(CPU)(815) 및 메모리(810)를 포함하는 컴퓨터(820)에 결부된다. 상기 I/O 장비(805)는 정보의 입력을 위한 키보드(802)와 마우스(804), 그리고 정보의 출력을 위한 디스플레이(801)와 프린터(803)를 포함할 것이다. 이러한 샘플 컴퓨터 시스템(800)의 많은 변형들이 본 발명의 범위 내에서 고려될 것이고, 이는 다수의 I/O 장치들, 하나의 컴퓨터 내의 다수의 프로세서들, 인터넷 접속에 의해 연결되는 다수의 컴퓨터들, 근거리 네트워크에 의해 연결되는 다수의 컴퓨터들, 하나의 유닛 내에 CPU(815), 메모리(820), 및 I/O 장비(805)를 결합시키는 장치들 등을 포함한다. 예를 들면, 본 발명의 상기 방법은 여기서 참조로서 편입된 본 발명자들에 의한 2000년 1월 26일 출원된 임시 특허 출원 제 60/178,540 호 "Profiler Business Model"과 본 발명자들에 의한 2000년 6월 2일 출원된 임시 특허 출원 제 60/209,424 호 "Profiler Business Model"에서 설명되는 시스템들의 어떠한 것에도 적용될 수 있다.
본 발명의 방법과 장치에 따라, 도 3의 분석의 부분들은 예비 연산되고 캐시되며, 이로써 주기 격자에 의해 생성된 회절된 반사성을 계산하기 위해 요구되는 연산 시간을 감소시킨다. 간단히 말하면, 본 발명의 예비 연산하고 캐싱하는 부분은 다음으로 구성된다:
ㆍ층-특성 값들의 샘플링 영역 {μ}에 대한 상기 유전율 εμ(x), 상기 유전율 εμ(x)의 상기 고조파 성분들 εμ,i및 유전율 고조파 행렬 [Eμ], 및/또는 상기 역-유전율 고조파들 πμ,i및 상기 역-유전율 고조파 행렬 [Pμ]의 예비 연산과 캐싱(즉, 룩업(look-up) 테이블에 저장);
ㆍ층-특성 값들의 상기 샘플링 영역 {μ} 및 입사-방사 값들의 샘플링 영역 {κ}에 대한 상기 파 벡터 행렬 [Aμ,κ]의 예비 연산과 캐싱; 그리고
ㆍ상기 층-특성 샘플링 영역 {μ} 및 상기 입사-방사 샘플링 영역 {κ}으로 형성된 주 샘플링 영역 {μ,κ}의 각각에 대하여, 고유벡터 행렬 [Wμ,κ], 근 고유값 행렬 [Qμ,κ], 및 합성 행렬 [Vμ,κ]을 형성하기 위한 상기 파 벡터 행렬 [Aμ,κ]의 고유벡터들 wμ,κ,m과 고유값들 τμ,κ,m의 예비 연산 및 캐싱;
간단히 말하면, 주기 격자로부터의 회절 스펙트럼을 계산하기 위한 예비 연산되고 캐시된 상기 고유벡터 행렬 [Wμ,κ], 근 고유값 행렬 [Qμ,κ], 및 적 행렬 [Vμ,κ]의 주 샘플링 영역 {μ,κ}의 사용은 다음의 단계로 구성된다:
ㆍ고려 하의 상기 격자(100)의 상기 층들(125)에 대응하는 상기 주 샘플링 영역 {μ,κ}으로부터 캐시된 고유벡터 행렬 [Wμ,κ], 근 고유값 행렬 [Qμ,κ], 및 적 행렬 [Vμ,κ]을 검색함으로써 행렬 방정식 (1.4.4) 또는 (2.4.4)를 구성하는 단계; 그리고
ㆍ각 고조파 차수 i에 대하여 상기 회절된 반사성 Ri을 결정하기 위해 상기행렬 방정식 (1.4.4) 또는 (2.4.4)를 풀이하는 단계.
본 발명의 방법은 도 7A 및 도 7B 내의 단면에서 각각 도시된 상기 본보기가 되는 마루 프로파일(701 및 751)의 고려에 의해 설명된다. 도 7A의 상기 프로파일(701)은 직사각형 단면의 네 개의 슬랩들(711, 712, 713 및 714)에 의해 근사된다. 유사하게, 도 7B의 상기 프로파일(751)은 직사각형 단면의 세 개의 슬랩들(761, 762, 및 763)에 의해 근사된다. 상기 두 개의 본보기가 되는 마루 프로파일들(701 및 751)이 동일한 격자 주기 D, 상기 방사(131)의 입사각 θ, 및 방사 파장 λ을 갖는 본보기가 되는 주기 격자의 각 부분이다(다른 마루들은 미도시됨). 더욱이, 슬랩들(713 및 761)은 동일한 마루 슬랩 폭 d, x-오프셋 β, 및 굴절률 nr을 갖고, 상기 마루들(701 및 751) 사이의 상기 대기 층 재료의 굴절률 n0은 동일하다. 유사하게, 슬랩들(711 및 762)은 동일한 마루 슬랩 폭 d, x-오프셋 β, 및 굴절률 nr을 갖고, 슬랩들(714 및 763)은 동일한 마루 슬랩 폭 d, x-오프셋 β, 및 굴절률 nr을 갖는다. 그러나, 슬랩들(714 및 763)은 동일한 두께 t를 갖지 않고, 슬랩들(713 및 761) 또는 슬랩들(711 및 762)도 동일한 두께 t를 갖지 않는다는 점이 주목되어야 한다. 두께 t가 층 내부의 특성을 나타내지만, 두께 t가 상기 파 벡터 행렬 [A]이 의존하는 파라미터가 아니라는 점을 주목하는 것이 중요하다. 필름이 상기 피치 D와 같은 폭 d을 갖는 마루로 고려될 수 있으므로, 본 발명은 기판 상에 직접 탑재된 마루들, 또는 기판 상에 침전된 필름들 상에 탑재된 마루들로 이행될 수 있다는 것이 또한 주목되어야 한다.
프로파일들(701)로 구성된 격자로부터 상기 회절된 반사성을 구하기 위한 RCQA 계산을 수행할 때, 상기 고유벡터 행렬 [W], 상기 근 고유값 행렬 [Q], 및 상기 합성 고유시스템 행렬 [V]은 직사각형 슬랩들(711, 712, 713, 및 714)에 대해 연산된다. 본 발명에 따라 상기 파 벡터 행렬 [A]이 슬랩들(711 및 762), 슬랩들 (713 및 761), 및 슬랩들(714 및 763)에 대해 동일하기 때문에, 슬랩들(761, 762, 및 763)에 대한 상기 고유벡터 행렬 [W], 상기 근 고유값 행렬 [Q], 및 상기 합성 고유시스템 행렬 [V]은 슬랩들(713, 711, 및 714)에 대한 상기 고유벡터 행렬 [W], 상기 근 고유값 행렬 [Q], 및 상기 합성 고유시스템 행렬 [V]과 각각 동일하다. 그러므로, 슬랩들(713, 711, 및 714)에 대한 상기 고유시스템 행렬들 [W], [Q], 및 [V]의 캐싱과 검색은 슬랩들(761, 762, 및 763)에 대한 고유시스템 행렬들 [W], [Q], 및 [V]의 재계산의 필요를 방지하고, 상기 연산 시간을 감소시킨다. 더욱 넓게는, 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들의 유용한 영역들과 샘플링들에 대한 고유시스템 행렬들 [W], [Q], 및 [V]의 예비 계산 및 캐싱은 RCWA 계산을 수행하기 위해 필요한 연산 시간을 감소시킬 수 있다.
수식 (1.1.2), (1.1.3), (2.1.2) 및 (2.1.3)으로부터 도시될 수 있는 바와 같이, 상기 유전율 고조파 εl,i와 상기 역-유전율 고조파 πl,i는 오직 다음의 층 내부의 파라미터들에만 의존한다: 상기 마루들의 굴절률 nr, 상기 대기 재료의 굴절률 n0, 상기 피치 D, 상기 마루 슬랩 폭 d, 및 상기 x-오프셋 β. 도 5의 흐름도에서 도시된 바와 같이, 하나의 실시예에서, 본 발명의 상기 시스템(600)은 범위들nr,min내지 nr,max, n0,min내지 n0,max, Dmin내지 Dmax, dmin내지 dmax및 βmin내지 βmax과 상기 층-특성 파라미터들에 대한 증분들 δnr, δn0, δD, δd, 및 δβ의 결정으로 시작하는데, 즉, 상기 최대 고조파 차수 o의 결정(605)은 물론 상기 마루들의 굴절률 nr, 상기 대기 재료의 굴절률 n0, 상기 피치 D, 상기 마루 슬랩 폭 d, 상기 x-오프셋 β의 결정으로 시작한다. 이런 정보는 I/O 장치(805)로부터 상기 CPU(815)로 전송된다. 대개는, 반도체 제조 기술에 의해 생성된 주기 격자에 적용될 때, 상기 제조 재료들, 상기 제조 프로세스 파라미터들, 및 상기 주기 격자(100) 또는 관련 구조들에 취해진 다른 측정치들에 대한 지식과 예측에 기초하여 상기 범위들 nr,min내지 nr,max, n0,min내지 n0,max, Dmin내지 Dmax, dmin내지 dmax및 βmin내지 βmax이 결정된다. 유사하게, 상기 측정된 회절 스펙트럼을 생성하는 상기 주기 격자의 치수들을 결정하기 위해 계산되는 회절 스펙트럼들을 측정된 회절 스펙트럼에 일치시킬 때, 상기 증분들 δnr, δn0, δD, δd, 및 δβ, 및 최대 고조파 차수 o는 상기 층-특성 파라미터들 nr, n0, D, d, 및 β이 결정될 분해능(resolution)에 기초하여 선택된다. 상기 층-특성 파라미터들은 nr,min내지 nr,max, n0,min내지 n0,max, Dmin내지 Dmax, dmin내지 dmax및 βmin내지 βmax의 범위에 있고, 증분들 δnr, δn0, δD, 및 δd, 및 δβ은 5차원 층-특성 캐싱 그리드 {μ}를 정의한다. 보다 상세하게는, 상기 캐싱 그리드 {μ}는 {nr,min, nr,min+δnr, nr,min+2δnr, ..., nr,max-2δnr,nr,max-δnr, nr,max}인 nr좌표들, {n0,min, n0,min+δn0, n0,min+2δn0, ..., n0,max-2δn0, n0,max-δn0, n0,max}인 n0좌표들, {Dmin, Dmin+δD, Dmin+2δD, ..., Dmax-2δD, Dmax-δD, Dmax}인 D 좌표들, {dmin, dmin+δd, dmin+2δd, ..., dmax-2δd, dmax-δd, dmax}인 d 좌표들, 및 {βmin, βmin+δβ, βmin+2δβ, ..., βmax-2δβ, βmax-δβ, βmax}인 β
좌표들을 갖는 층-특성 점들로 구성된다. 다시 말하면, 상기 층-특성 캐싱 그리드 {μ}는 다음의 5차원 좌표들의 합집합으로 정의된다:
(4.1.1)
여기서, i, j, k, l 및 m은 다음의 범위들의 정수들이다:
0≤i≤(nr,max- nr,min)/δnr,
(4.1.2a)
0≤j≤(n0,max- n0,min)/δn0,
(4.1.2b)
0≤k≤(Dmax- Dmin)/δD,
(4.1.2c)
0≤l≤(dmax- dmin)/δd,
(4.1.2d)
그리고
0≤m≤(βmax- βmin)/δβ.
(4.1.2e)
수식 (4.1.1) 및 수식 (4.1.2d)의 상기 변수 l은 위의 많은 수식들에서 사용된 층 숫자 l과 혼동되면 안된다는 점이 주목되어야 한다. 더욱이, 상기 층-특성 캐싱 그리드 {μ} 내의 각 특별 점 μj이 특별 주기 격자(100)의 0의, 1의, 1 이상의, 또는 모든 층들에 대응할 수 있기 때문에, 상기 층 아래 첨자 l은 상기 층-특성 캐싱 그리드 {μ}에서 사용된 상기 층-특성 파라미터들 nr, n0, D, d, 및 β을 설명할 때 사용되어서는 안된다는 점이 주목될 수 있다. 상기 층-특성 파라미터 영역이 하이퍼-렉탱글(hyper-rectangle)일 필요가 없고, 상기 층-특성 파라미터 영역이 그리드를 사용하여 샘플링될 필요가 없다는 점이 또한 이해되어야 한다. 예를 들면, 상기 층-특성 파라미터 영역의 샘플링이 확률론적 샘플링 방법을 사용하여 수행될 수 있다. 더욱이, 상기 층-특성 파라미터 영역의 상기 샘플링 밀도가 일정할 필요도 없다. 예를 들면, 상기 경계들 근방의 층 특성들에 의해 기술되는 층들(125)이 발생 가능성이 적다면 상기 층-특성 파라미터 영역의 경계들 근방에서 상기 샘플링 밀도(즉, 상기 샘플링 분해능)가 감소될 수 있다.
도 5에서 도시된 바와 같이, 상기 층-특성 캐싱 그리드 {μ}에 대해 상기 "요구되는" 유전율 고조파들이 CPU(815)에 의해 계산되고(410) 메모리(820) 내에서 캐시되며(415), 상기 "요구되는" 유전율 고조파 행렬들은 상기 캐시된 요구되는 유전율 고조파들로부터 컴파일되고 메모리(820) 내에서 캐시된다(415'). 수식 (2.3.6) 및 수식 (2.3.12)의 공식화에 따른 TE-편광된 입사 방사(131)의 RCWA 분석, 또는 TM-편광된 입사 방사(131)의 RCWA 분석을 위해, 상기 요구되는 유전율 고조파들은 수식 (1.1.2) 및 수식 (1.1.3)에 따라 계산된(410) 유전율 고조파 εi이고, 상기 요구되는 유전율 고조파 행렬은 수식 (1.1.4)에 따라 형성된 유전율 고조파 행렬 [E]이다. 유사하게, 수식 (2.3.5) 및 (2.3.11) 또는 수식 (2.3.4) 및 (2.3.10)의 공식화에 따른 TM-편광된 입사 방사(131)의 RCWA 분석을 위해, 상기 요구되는 유전율 고조파들은 수식 (1.1.2) 및 (1.1.3)에 따라 계산된(410) 유전율 고조파들 εI과 수식 (2.1.2) 및 (2.1.3)에 따라 계산된(410) 역-유전율 고조파들 πi이고, 상기 요구되는 유전율 고조파 행렬들은 수식 (1.1.4)에 따라 상기 유전율 고조파 εi로부터 형성된 유전율 고조파 행렬 [E]과 수식 (2.1.4)에 따라 상기 역-유전율 고조파 πi로부터 형성된 역-유전율 고조파 행렬 [P]이다.
수식 (1.3.7), (2.3.4), (2.3.5) 및 (2.3.6)에 따라, 상기 파 벡터 행렬 [A]은 상기 요구되는 유전율 고조파 행렬들및 상기 행렬 [Kx]에 의한다. 상기 행렬 [Kx]은 층-특성 파라미터들(즉, 대기 굴절률 n0 및 피치 D)에 의존하는 것에 더하여, 입사-방사 파라미터들(즉, 입사각 θ과 상기 입사 방사(131)의 파장)에도 의존한다. 그러므로, 도 5의 흐름도에서 도시된 바와 같이, 본 발명의 하나의 실시예에 따라, 범위들 θmin내지 θmax및 λmin내지 λmax, 그리고 증분들 δθ및 δλ은 상기 입사각 θ 및 파장 λ에 대하여 결정되고(617), I/O 장치(805)로부터 CPU(815)로 전송된다. 상기 입사-방사 캐싱 그리드 {κ}는 다음과 같이 2차원 좌표들의 합집합으로 정의된다:
(4.1.3)
여기서 n 및 o는 다음의 값의 범위 내의 정수들이다:
0 ≤n ≤(θmax- θmin)/δθ,
(4.1.4a)
0 ≤o ≤(λmax- λmin)/δλ.
(4.1.4b)
(수식 (4.1.3) 및 수식 (4.1.4b) 내의 변수 o는 위의 많은 수식들 내에서 사용되는 최대 고조파 차수 o와 혼동되어서는 안된다.) 더욱이, 상기 주 캐싱 그리드 {μ,κ}는 다음과 같이 좌표들의 합집합으로 정의된다:
여기서 i, j, k, l, m, n 및 o는 수식 (4.1.2a), (4.1.2b), (4.1.2c), (4.1.2d), (4.1.4a) 및 (4.1.4b)를 만족시킨다. 대개는, 상기 범위들 θmin내지 θmax및 λmin내지 λmax은 상기 입사 방사(131)의 생성을 위한 상기 장치(미도시됨)와 상기 회절된 방사(132)의 측정을 위한 장치(미도시됨)에 대한 지식과 예측에 기초하여 결정된다(617). 유사하게, 상기 증분들 δθ및 δλ은 상기 층-특성 파라미터들 nr, n0, D, d 및 β이 결정될 해상도, 및/또는 상기 입사-방사 파라미터들 θ및 λ이 결정될 수 있는 해상도에 기초하여 결정된다(617). 예를 들면, 상기 증분들 δnr, δn0, δD, δd, δβ, δθ및 δλ이 동일 발명자들에 의해 2000년 9월 15일에 출원되고 여기서 참조로서 편입된, 임시 특허 출원 "Generation of a Library of Periodic Grating Diffration Spectra"에서 개시된 방법에 따라 결정될 수 있다. 상기 주 캐싱 그리드 {μ, κ} 내의 각 점에 대하여, 상기 행렬 [A]은 수식 (1.3.7), (2.3.4), (2.3.5) 또는 (2.3.6)에 따라 상기 CPU(815)에 의해 계산되고(620) 캐시된다(425).
상기 층-특성 파라미터들 nr, n0, D, d 및 β 중 어느 것 또는 상기 입사-방사 파라미터들 θ및 λ 중 어느 것이라도 충분히 정확하게 알려져 있다면, 그 다음에 상기 변수의, 값들의 범위라기보다 차라리 하나의 값이 사용될 수 있고, 상기 주 캐싱 그리드 {μ, κ}의 차원이 효율적으로 감소된다는 점이 주목되어야 한다. 입사-방사 파라미터 영역은 하이퍼 렉탱글일 필요가 없고, 상기 입사-방사 파라미터 영역은 그리드를 사용하여 샘플링될 필요가 없다는 점 또한 이해되어야 한다. 예를 들면, 상기 입사-방사 파라미터 영역의 샘플링은 확률론적인 샘플링 방법을 사용하여 수행될 수 있다. 더욱이, 상기 입사-방사 파라미터 영역의 샘플링 밀도는 일정할 필요가 없다. 예를 들면, 상기 경계들 근방의 입사-방사 상태가 발생할 가능성이 작다면 상기 샘플링 밀도는 상기 입사-방사 파라미터 영역의 경계들 근방에서 감소할 수 있다.
상기 파-행렬 행렬 [A]이 층 내부의 파라미터들(마루 굴절률 nr, 대기 굴절률 n0, 피치 D, 마루 슬랩 폭 d, x-오프셋 β)과 입사-방사 파라미터들(상기 입사 방사(131)의 입사각 θ, 상기 입사 방사(131)의 파장 λ)에만 의존하기 때문에, 상기 고유벡터 행렬 [W] 및 상기 근-고유값 행렬 [Q]이 또한 층-특성 파라미터들 nr, n0, D, d 및 β, 그리고 입사-방사 파라미터들 θ및 λ에만 의존한다는 점이 잇따른다. 본 발명의 바람직한 실시예에 따라, 상기 고유벡터 행렬 [W] 및 그 근-고유값 행렬 [Q]은 상기 주 캐싱 그리드 {μ, κ} 내의 각 점에 대하여 상기 CPU(815)에 의해 계산되고(647) 메모리(820) 내에서 캐시된다. 상기 고유벡터 행렬 [W] 및 상기 근-고유값 행렬 [Q]의 계산(647)은 특이 값 분해와 같은 표준 고유 시스템 해결 방법을 사용하여 상기 CPU(815)에 의해 수행될 수 있다(1986년, 캠브리지 대학 프레스의, W. H. Press, B. P. Glannery, S. A. Teukolsky 및 W. T. Vetterling의 "Numerical Recipes"의 2장을 보라). 그 다음에 [V]=[W][Q]인 상기 행렬 [V]은 상기 CPU(815)에 의해 계산되고(457) 메모리(820) 내에서 캐시된다.
본 발명의 실시예에 따라 상기 예비 연산되고 캐시된 고유벡터 행렬 [Wμ,κ], 근-고유값 행렬 [Qμ,κ], 및 적 행렬 [Vμ,κ]의 사용의 방법이 도 6에서 도시된다. 상기 캐시된 고유시스템 행렬들 [Wμ,κ], [Qμ,κ], 및 [Vμ,κ]의 사용은 이산화된 마루 프로파일을 나타내는 상기 파라미터들의 결정(505)에 의해 시작된다. 보다 상세하게는, 각 층에 대한 상기 층 내부의 파라미터들(즉, 마루 굴절률 nr, 대기 굴절률 n0, 피치 D, 마루 슬랩 폭 d, x-오프셋 β)과 입사-방사 파라미터들(상기 입사 방사의 입사각 θ 및 파장 λ)이 결정되고(505) 상기 CPU(815)에 I/O 장치(805)를 통하여 전송된다. 상기 이산화된 마루 프로파일의 결정(505)은 주기 격자에 의해 생성된 측정된 회절 스펙트럼에 대응하는 마루 프로파일을 결정하기 위한 프로세스와 같은 또다른 프로세스 내의 단계일 수 있다.
상기 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들이 일단 결정되면(505), 상기 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들에 대한 상기 캐시된 고유시스템 행렬들 [Wμ,κ], [Qμ,κ], 및 [Vμ,κ]은 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식 (1.4.4) 또는 (2.4.4)을 구성할(515) 때 상기 CPU(815)에 의해 사용을 위한 메모리(820)로부터 검색된다. 그 다음에 상기 CPU(815)는 -o 내지 +o의 각 고조파차수의 반사성 Ri과 관심 영역 파장 λ에 대하여 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식 (1.4.4) 또는 (2.4.4)을 풀고, 디스플레이(801), 프린터(803), 기타 유사한 것들과 같은 출력 장치에 상기 결과들을 전송한다.
6. 라이브러리 매칭 방법론
다음에 상기 프로파일 추출 방법론 설정으로부터, 타원계의 경우에는 상기 반사된 상 및 크기 신호들이, 그리고 반사계의 경우에는 상대적인 반사율이 상기 캐시된-결합된 파 알고리즘에 의해 생성된 프로파일-스펙트럼 쌍들의 라이브러리와 비교된다. 이러한 목적을 위하여 사용될 수 있는 상기 매칭 알고리즘은 단순한 최소 제곱법(선형 회귀)부터 주요 성분에 기초하는 회귀 설계에의 비선형 관계를 통하여 상기 프로파일과 상기 신호의 특징들을 연관시키는 중립 네트워크 기초 접근법까지 있다. 이런 방법들 각각의 설명은 Duxbury Press의, John Rice에 의한 "Mathematical Statistics and Data Analysis"의 14장과 옥스포드 대학 프레스의, Christopher Bishop에 의한 "Neutral Networks for Pattern Recognition"의 4장과 같은 이 주제에 대한 많은 훌륭한 교본들에서 설명된다.
산업상 이용가능성
본 발명을 위한 이벤트들의 완전한 연속을 위한 흐름도가 도 9에서 도시된다. 먼저, 회절 신호들은 아래에서 설명되고 도 10 및 도 11에서 묘사되는 바와같이, 반사계 또는 타원계를 사용하여, 광학적 셋업에 의해 획득된다(905). 그 다음에, 상기 반사계 또는 타원계 구성의 광학적 경로 내의 포커싱 광학기구의 수리적인 구경이 상기 시뮬레이션된 회절 스펙트럼들의 계산에서 고려될 필요가 있는 입사각의 범위를 결정하기 위해 특징화된다(910). 다음으로, 프로파일 형태의 서브라이브러리가 상기 프로파일들을 특징화하는 층 내부의 파라미터들의 범위와 샘플링에 기초하여 구성된다(915). 그 다음에 상기 엄격한 결합된 파 계산의 층 내부의 의존적인 부분들은 층 내부의 파라미터들의 상기 선택된 범위와 샘플링에 대해 예비 연산되고(920) 메모리 내에서 캐시된다(925). 그 다음에, 상기 엄격한 결합된 파 계산의 상기 예비 연산되고 캐시된 층 내부의 의존적인 부분들을 사용하여, 회절 스펙트럼들은 스펙트럼들의 서브라이브러리를 생성하기 위해 상기 서브라이브러리 내의 각 프로파일에 대하여 계산된다(930). 그 다음에 프로파일들의 상기 서브라이브러리는 프로파일-스펙트럼 쌍들의 라이브러리를 생성하기 위해 스펙트럼들의 서브라이브러리로 인덱스된다(935). 결국, 물리적인 프로파일로부터 획득된 측정된 회절 스펙트럼은 상기 최적-정합된 계산된 스펙트럼을 결정하기 위해 상기 라이브러리 내의 상기 스펙트럼과 비교된다(940). 상기 최적-정합된 계산된 스펙트럼에 대응하는 프로파일은 상기 물리적인 프로파일의 계산된 추정치이다.
본 발명은 도 5 및 도 6에 따라 방법이란 용어로 표현되지만, 본 발명은 대체적으로 장치로서 볼 수 있다는 점이 주목되어야 한다. 예를 들면, 본 발명은 하드웨어로 이행될 수도 있다. 그런 경우에, 도 5의 상기 방법 흐름도는 다음의 교체로써 장치의 표현에 맞을 것이다: 단계 605에서 "배열 {μ}을 정의하는 층-특성변수들의 범위들과 증분들의 결정, 및 최대 고조파 차수 o의 결정을 위한 수단"을 "배열 {μ}을 정의하는 층-특성 변수들의 범위들과 증분들의 결정을 위한 수단, 및 최대 고조파 차수 o의 결정을 위한 수단"으로 교체; 단계 617에서 "배열 {χ}을 정의하는 입사-방사 범위들과 증분들의 결정"을 "배열 {χ}을 정의하는 입사-방사 범위들과 증분들의 결정을 위한 수단"으로 교체; 단계 610, 620, 647, 및 657에서 "... 계산"을 "... 계산을 위한 수단"으로 교체; 그리고 단계 615, 615', 625, 648 및 658에서 "... 캐시"를 "... 의 캐시"로 교체.
동일한 방식으로, 도 6의 상기 방법 흐름도는 다음의 교체로써 장치의 표현에 맞을 것이다: 단계 505에서 "... 결정"을 "... 결정을 위한 수단"으로 교체; 단계 510에서 "... 검색"을 "... 검색을 위한 수단"으로 교체; 단계 515에서 "... 구성"을 "... 구성을 위한 수단"으로 교체; 그리고 단계 520에서 "... 풀이"를 "... 풀이를 위한 수단"으로 교체.
본 발명은 또한 축을 벗어난 또는 원뿔형의 입사 방사(131)에도 적용 가능하다는 점이 또한 이해되어야 한다(즉, φ≠0이고 입사면(140)이 격자의 주기성의 방향에 정렬되지 않은 경우). 1981년 7월의, J. Opt. Soc. Am., vol. 71, 811-818의, M. G. Moharam 및 T. K. Gaylord에 의한 "Rigorous Coupled-Wave Analysis of Planar-Grating Diffraction"에서 도시될 수 있는 바와 같이, 각 층에서의 전자기장에 대한 미분 방정식들이 계수들을 갖는 동차 해와 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들에만 의존하는 인자들을 갖기 때문에, 위의 표시는 상기 축을 벗어난 경우에 바로 맞는다. 축 상의 입사의 경우에, 층 내부의 계산들은 예비 계산되고 캐시된다. 주기 격자로부터 상기 회절된 반사성을 연산할 때, 상기 주기 격자의 층들에 대응하는 층 내부의 파라미터들을 위한 캐시된 계산 결과들과, 상기 주기 격자 상에 입사하는 방사에 대응하는 입사-방사 파라미터들은 위에서 설명된 바와 유사한 방식으로 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 구성할 때 사용하기 위하여 검색된다.
본 발명이 방사의 회절을 계산하는 엄격한 결합된 파 방법에 적용되는 것으로 설명되었지만, 본 발명의 방법은 상기 시스템이 층들로 분할되고, 중간 계산 결과들이 층 내부의 변수들에만 의존하는 어떠한 회절 계산에도 적용될 수 있다. 그런 경우에 상기 중간의, 층 내부의 계산들은 예비 연산되고 캐시될 수 있다. 예를 들면, 상기 회절 계산은 근사법일 수 있고/있거나, 그것은 1976년의, 필라델피아 손더스 대학의, N. W. Ashcroft N. D. Mermin에 의한 "Solid State Physics" 133-134 페이지, 또는 1991년의, 뉴욕, 도버 출판사의, O. S. Heavens에 의한 "Optical Properties of Thin Solid Films", 또는 1987년의, 암스테르담, North-Holland Personal Library의, R. M. A. Azzam와 N. M. Bashara에 의한 "Ellipsometry and Polarized Light"와 같은 표준 텍스트들에서 언급된 바와 같은, 적분 공식화 또는 어떤 다른 공식화들과 같은 발명 섹션의 배경에서 언급된 공식화들의 어떤 것도 사용할 수 있다. 더욱이, 본 발명은 Bessel 함수, Legendre 다항식, 웨이블릿(wavelets) 등으로의 분해와 같은 푸리에 분석 외의 분해법들 또는 분석법들에 기초한 회절 계산들에도 적용될 수 있다. 보다 일반적으로, 본 발명의 방법은 상기 시스템이 섹션들로 분할되고, 중간 계산 결과들이 섹션 내부의 변수들에만의존하는 어떠한 회절 계산에도 적용될 수 있다. 다시, 상기 중간의, 섹션 내부의 계산들은 예비 연산되고 캐시될 수 있다. 예를 들면, 2차원 주기 구조에 대하여 상기 섹션들이 규칙적인 블록들 또는 입방체들의 배열일 수 있다. 더욱 보다 일반적으로, 본 발명의 방법은 상기 시스템이 섹션들로 분할되고, 중간 계산 결과들이 섹션 내부의 변수들에만 의존하는 어떠한 계산에도 적용될 수 있다. 다시, 상기 중간의, 섹션 내부의 계산들은 예비 연산되고 캐시될 수 있다.
본 발명의 특정한 실시예들의 전술은 예증과 설명의 목적으로 제시되었다. 그것들은 철저하게 기술하거나 개시된 정확한 형태들로 본 발명을 제한하려고 의도된 것이 아니고, 많은 변형들과 변화들이 위의 내용에 따라 가능하다는 점이 이해되어야 한다. 실시예들은 본 발명의 원리들과 그 실용적인 응용들을 가장 잘 설명하기 위해 선택되고 기술되었고, 이로써 당업자가 본 발명 및 다양한 실시예들을 고려된 특별한 사용에 맞도록 다양한 변형들로 이용할 수 있게끔 한다. 많은 다른 변화들이 또한 본 발명의 범위 내에서 고려될 수 있다. 예를 들면: 본 명세서의 계산은 전도성 재료들, 또는 비전도성 재료들, 또는 둘 모두를 포함하는 환경에 적용 가능하고, 전도성 재료들을 포함하는 주기 격자에의 본 발명의 방법의 적용이 본 발명의 범위 내에서 고려될 수 있다; 파 벡터 행렬 [A]의 고유벡터들과 고유값들이 일단 계산되고 캐시되면, 유전율, 역-유전율, 유전율 고조파, 역-유전율 고조파, 유전율 고조파 행렬, 역-유전율 고조파 행렬와 같은 중간 결과들, 및/또는 상기 파 벡터 행렬 [A]은 저장될 필요가 없다; 고유벡터 행렬과 근 고유값 행렬의 적에 일치하는 합성 행렬 [V]은 캐시되기보다는 필요할 때 계산될 수 있다; 상기 행렬 [A]의 고유벡터들과 고유값들은 다른 기술을 사용하여 계산될 수 있다; 층 내부의 파라미터 또는 입사-방사 파라미터의 범위는 오직 하나의 값만으로 구성될 수 있다; 상기 행렬들, 고유값들 및 고유벡터들이 그리드를 위하여 캐시되는, 규칙적으로 간격지어진 층-특성 값들 및/또는 입사-방사 값들의 그리드는 불규칙적으로 간격지어진 층-특성 값들 및/또는 입사-방사 값들의 그리드, 또는 층-특성 값들 및/또는 입사-방사 값들의 임의 선택으로 대체될 수 있다; 상기 경계-정합된 시스템 방정식은 상기 회절된 반사성을 위해 및/또는 다양한 행렬 풀이 기술들 중 어떠한 것을 사용하여 상기 회절된 투과성을 위해 풀이될 수 있다; 상기 주기 격자의 "마루" 및 "골"은 불명확할 수 있다; 층 내의 1차원 주기 구조는 2 이상의 재료들을 포함할 수 있다; 본 발명의 방법은 2차원 주기성을 갖는 격자들에 적용될 수 있다; 층 내의 2차원 주기 구조는 2 이상의 재료들을 포함할 수 있다; 본 발명의 방법은 TE 및 TM 편광의 중첩인 어떠한 편광에 대해서도 적용될 수 있다; 상기 주기 격자의 마루 구조는 상기 기판 상에 침전된 필름들의 하나 또는 그 이상의 층들 상에 탑재될 수 있다; 본 발명의 방법은 리소그래픽 마스크들(lithographic masks) 또는 레티클들(reticles)의 회절 분석을 위해 사용될 수 있다; 본 발명의 방법은 주기 격자 상의 음향 입사에 적용될 수 있다; 본 발명의 방법은 입사 음향 또는 전자기파를 사용하는 의료 이미징 기술에 적용될 수 있다; 본 발명의 방법은 제조 프로세스의 실시간 추적 시에 도움을 주기 위해 적용될 수 있다; 격자들은 룰링(ruling), 블레이징(blazing) 또는 에칭(etching)에 의해 제조될 수 있다; 격자는 구면 또는 원통면과 같은 곡면 상에서 주기적일 수 있고, 이 경우에 푸리에 전개식 외의 다른것이 사용될 수 있다; 본 발명의 방법은 광학 아날로그 연산, 입체 홀로그래픽 격자, 홀로그래픽 중립 네트워크, 홀로그래픽 데이터 저장, 홀로그래픽 리소그래피, 위상 변화들의 관찰의 Zernike의 위상 대비(phase contrast) 방법, 위상 변화들의 관찰의 Schlieren 방법, 관찰의 중심 암배경(dark-background) 방법, 공간 광 변조기, 음향-광학 셀 등의 분야에서 이용될 수 있다. 요약하면, 본 발명의 범위는 여기에 부가된 청구항들과 그 균등 범위들에 의해 정의되도록 의도된다.

Claims (56)

  1. 주기성의 방향을 갖는 주기 격자로부터 입사 전자기적 방사의 회절 분석의 계산 시간을 감소시키는 방법으로서,
    상기 분석은 상기 주기 격자 위의 공간에 대응하는 초기 층, 상기 주기 격자 아래의 기판에 대응하는 최종 층, 및 상기 초기 층과 상기 최종 층 사이의 중간 층들에 있는 상기 주기 격자의 상기 주기 피쳐들을 갖는 층들로 상기 주기 격자를 분할하는 단계를 포함하고,
    상기 주기 피쳐들의 단면이 다수의 적층된 직사각형 섹션들로 분리되며,
    상기 층들 내에서 유전율과 전자기장들이 상기 주기성의 방향에 따른 고조파 성분들의 합으로 공식화되고,
    맥스웰 방정식의 응용이 파 벡터 행렬과 상기 전자기장들 중 하나의 제 1 고조파 진폭들의 적(product)을 상기 주기 격자의 평면에 수직인 방향에 대해 상기 전자기장들 중 하나의 제 1 고조파 진폭들의 제 2 부분 도함수와 같게 하도록 상기 중간 층들의 각각에서 층 내부의 행렬 방정식을 제공하며,
    상기 파 벡터 행렬이 층 내부의 파라미터들과 입사-방사 파라미터들에 의존하고,
    상기 층 내부의 행렬 방정식의 동차 해가 상기 파 벡터 행렬의 고유벡터들과 고유값들에 의존하는 제 1 지수 함수들로의 상기 전자기장들 중 상기 하나의 상기 제 1 고조파 진폭들의 전개식인 방법으로서,
    층-특성 파라미터 영역과 층-특성 파라미터-영역 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 전자기장들의 상기 고조파 성분들을 위한 최대 고조파 차수를 결정하는 단계;
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 각 층-특성 값을 위해 요구되는 유전율 고조파들을 계산하는 단계;
    입사-방사 파라미터 영역과 입사 방사 파라미터-영역 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값과 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 입사-방사 파라미터 영역 내의 각 입사-방사 값을 위해 상기 요구되는 유전율 고조파들에 기초하는 상기 파 벡터 행렬을 계산하는 단계;
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값과 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 입사-방사 파라미터 영역 내의 상기 각 입사-방사 값을 위해 상기 파 벡터 행렬들의 각각의 고유벡터들과 고유값들을 계산하는 단계;
    메모리 내의 상기 파 벡터 행렬들의 상기 각각의 상기 고유벡터들과 상기 고유값들을 캐시하는 단계; 그리고
    상기 주기 격자로부터 상기 입사 전자기적 방사의 상기 회절 분석을위한 상기 고유벡터들과 상기 고유값들을 사용하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값과 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 입사-방사 파라미터 영역 내의 상기 각 입사-방사 값을 위한 상기 파 벡터 행렬들을, 상기 메모리 내에 캐시하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  3. 제 2 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값을 위해 상기 요구되는 유전율 고조파들을, 상기 메모리 내에 캐시하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값과 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 입사-방사 파라미터 영역 내의 상기 각 입사-방사 값을 위한 상기 고유값들의 각 제곱근과 상기 고유벡터들 중의 대응하는 하나의 적을 계산하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  5. 제 4 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 층-특성 파라미터 영역 내의 상기 각 층-특성 값과 상기 입사-방사 파라미터-영역 샘플링에 의해 결정되는 상기 입사-방사 파라미터 영역 내의 상기 각 입사-방사 값을 위한 상기 고유값들의 상기 각각의 상기 제곱근과 상기 고유벡터들의 상기 대응하는 하나의 상기 적을, 상기 메모리 내에 캐시하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  6. 제 1 항에 있어서,
    상기 전자기장들 중 다른 하나가 상기 파 벡터 행렬의 상기 고유벡터들과 상기 고유값들에 의존하는 제 2 지수 함수들로의 제 2 고조파 진폭들의 전개식으로 표현 가능하고, 상기 층들 사이의 경계에서의 상기 전자기장들의 경계 조건의 적용이 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 제공하며, 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식의 해가 상기 주기 격자로부터 상기 입사 전자기 방사의 상기 회절을 제공하고, 상기 주기 격자로부터의 상기 입사 전자기 방사의 상기 회절 분석을 위한 상기 고유벡터들과 상기 고유값들의 상기 사용이:
    상기 기판 상에 적층된 직사각형들의 집합으로 상기 주기 격자의 마루(ridge)의 단면을 이산화하는 단계;
    상기 직사각형들의 상기 각 층 내부의 파라미터 값들과 상기 입사 전자기 방사의 상기 입사 방사 파라미터 값들에 기초하여 상기 파 벡터 행렬의 상기 고유벡터들과 상기 고유값들을 상기 직사각형들 각각에 대하여 상기 메모리로부터 검색하는 단계;
    상기 직사각형들의 상기 각각에 대하여 상기 메모리로부터 검색된 상기 파 벡터 행렬들의 상기 고유벡터들과 상기 고유값들을 사용하여 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 세우는 단계; 그리고
    상기 주기 격자로부터 상기 입사 전자기 방사의 상기 회절을 제공하도록 상기 경계-정합된 시스템 행렬 방정식을 푸는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  7. 제 1 항에 있어서,
    상기 층들 중 하나에 대한 상기 층 내부의 파라미터들이 상기 층들 중 상기 하나에서의 상기 주기 피쳐들의 물질의 굴절률, 상기 초기 층의 굴절률, 상기 주기 피쳐들의 주기성의 길이, 상기 층들 중 상기 하나에서의 상기 주기 피쳐들의 폭, 그리고 상기 층들 중 상기 하나에서의 상기 주기 피쳐들의 오프셋 거리를 포함하고, 상기 입사 방사 파라미터들이 상기 전자기 방사의 입사각과 상기 전자기 방사의 파장을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  8. 제 1 항에 있어서,
    상기 층들의 상기 각각 내에서 상기 주기 격자에 수직으로 방향지어진 어떠한 선도 하나의 물질을 통하여 통과하는 것을 특징으로 하는 방법.
  9. 제 1 항에 있어서,
    상기 초기 층과 상기 최종 층이 수학적으로 반무한대(semi-infinite)로 근사되는 것을 특징으로 하는 방법.
  10. 제 1 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터 영역과 상기 입사-방사 파라미터 영역이 하이퍼렉탱글(hyper-rectangle)을 그리는 것을 특징으로 하는 방법.
  11. 제 1 항에 있어서,
    상기 지수 함수들로의 상기 전자기장의 상기 고조파 진폭들의 상기 전개식 계수들이 상기 파 벡터 행렬로부터 획득된 고유벡터 행렬의 원소들인 인자들을 포함하고, 상기 전자기장의 상기 고조파 진폭들의 상기 전개식의 지수들이 상기 파 벡터 행렬의 고유값들의 제곱근인 인자들을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  12. 제 11 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링이 균일한 밀도에 있는 것을 특징으로 하는 방법.
  13. 제 11 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링이 균일하지 않은 밀도에 있는 것을 특징으로 하는 방법.
  14. 제 12 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링이 균일한 그리드 상에서 행해지는 것을 특징으로 하는 방법.
  15. 제 12 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터-영역 샘플링이 균일하지 않은 그리드 상에서 행해지는 것을 특징으로 하는 방법.
  16. 제 11 항에 있어서,
    상기 입사-방사 파라미터 영역의 적어도 하나의 치수가 하나의 값의 범위를 갖는 것을 특징으로 하는 방법.
  17. 제 11 항에 있어서,
    상기 층-특성 파라미터 영역의 적어도 하나의 치수가 하나의 값의 범위를 갖는 것을 특징으로 하는 방법.
  18. 반복되고 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들의 물리적 프로파일의 차원을결정하는 방법으로서,
    광학적 경로를 따라 전도되는, 다수의 파장들을 갖는 입사 방사로 상기 일련의 구조들의 테스트 면적을 조명하는 단계;
    측정된 회절 스펙트럼을 획득하기 위해 상기 다수의 파장들에서 상기 테스트 면적으로부터 회절된 방사를 측정하는 단계;
    제 1 서브라이브러리 내에 포함될 프로파일 형태들의 층들에 대응하는 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 입사 방사의 상기 광학적 경로에 대응하는 입사-방사 파라미터들의 입사-방사 범위와 입사-방사 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 층 내부의 범위 내에 상기 층 내부의 파라미터들의 상기 층 내부의 샘플링을 위한 상기 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들(intra-layer-dependent portions)과, 상기 입사-방사 범위 내의 상기 입사-방사 파라미터들의 상기 입사-방사 샘플링을 생성하는 단계;
    상기 층 내부의 범위 내에 상기 층 내부의 파라미터들의 상기 층 내부의 샘플링을 위한 상기 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들과, 상기 입사-방사 범위 내의 상기 입사-방사 파라미터들의 상기 입사-방사 샘플링을 캐시하는 단계;
    상기 제 1 서브라이브러리 내의 상기 프로파일 형태들의 각각에 대하여, 상기 회절 계산의 상기 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 이용하여, 계산되는 회절 스펙트럼들의 제 2 서브라이브러리를 제공하기 위한 상기 회절 계산에 따라계산되는 회절 스펙트럼을 계산하는 단계;
    프로파일-스펙트럼 쌍들의 라이브러리를 제공하기 위해 상기 계산되는 회절 스펙트럼들의 상기 제 2 서브라이브러리로부터 대응하는 스펙트럼들로 상기 프로파일 형태들의 상기 제 1 서브라이브러리를 인덱싱하는 단계; 그리고
    상기 측정된 회절 스펙트럼을 상기 측정된 회절 스펙트럼에 가장 가깝게 매치하는 최적-매치의 계산된 스펙트럼을 발견하기 위해 상기 프로파일-스펙트럼 쌍들의 상기 라이브러리 내에서 계산되는 회절 스펙트럼과 비교함으로써, 상기 최적-매치의 계산된 스펙트럼에 대응하는 상기 프로파일 형태들 중 하나가 상기 물리적인 프로파일을 위한 최적의 매치가 되고, 상기 물리적인 프로파일의 차원이 상기 프로파일 형태들 중 상기 하나의 대응하는 차원이도록 결정되는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  19. 제 18 항에 있어서,
    상기 광학적 경로가 포커싱 메커니즘을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  20. 제 18 항에 있어서,
    상기 회절된 빛을 측정하는 단계가 상기 회절된 빛의 강도의 측정을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  21. 제 18 항에 있어서,
    상기 회절된 빛을 측정하는 단계가 상기 회절된 빛의 강도와, 상기 회절된 빛의 편광 사이의 위상 차이의 측정을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  22. 제 18 항에 있어서,
    최적-매치의 계산된 스펙트럼을 결정하기 위해 상기 라이브러리 내의 상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하는 단계가 최소 제곱 연산법을 사용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 방법.
  23. 제 22 항에 있어서,
    몇가지 샘플 파장들을 선택하고, 상기 샘플 파장들의 각각에서의 차이를 결정하기 위해 상기 샘플 파장들에서 상기 계산되는 회절 스펙트럼들로 상기 측정된 회절 스펙트럼들을 감하며, 상기 차이들을 제곱하고 합함으로써 상기 최소 제곱 연산법이 수행되는 것을 특징으로 하는 방법.
  24. 반복되고 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들의 물리적인 프로파일의 차원을 결정하기 위한 장치로서,
    다수의 파장들을 갖는 전자기 방사를 생성하기 위한 전자기 방사 소스;
    입사 방사로 상기 일련의 구조들의 테스트 면적을 조명하기 위해 광학적 경로를 따라 상기 전자기 방사를 향하게 하기 위한 포커싱 수단;
    측정된 회절 스펙트럼을 획득하기 위해 상기 다수의 파장들에서 상기 테스트면적으로부터 상기 입사 방사의 회절을 측정하기 위한 광도계;
    제 1 메모리;
    룩업 테이블;
    프로파일 형태들의 제 1 서브라이브러리를 생성하기 위한 수단;
    상기 룩업 테이블의 제 1 배열 내에 상기 프로파일 형태들의 상기 제 1 서브라이브러리를 저장하기 위한 수단;
    층 내부의 범위 내의 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 샘플링과, 입사-방사 범위 내의 입사-방사 파라미터들의 입사-방사 샘플링을 위한 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 생성하고, 상기 제 1 메모리 내의 상기 회절 계산의 상기 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 캐싱하기 위한 수단;
    상기 제 1 서브라이브러리 내의 상기 프로파일 형태들의 각각에 대하여 상기 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 이용하여, 계산되는 회절 스펙트럼들의 제 2 서브라이브러리를 제공하기 위해 상기 엄격한 결합된 파 계산에 따라 계산되는 회절 스펙트럼을 계산하기 위한 수단;
    상기 제 1 서브라이브러리 내의 상기 프로파일 형태들 중 일치하는 하나에 대응하는 엔트리들에서 상기 룩업 테이블의 제 2 배열 내의 상기 계산되는 회절 스펙트럼들의 상기 제 2 서브라이브러리를 저장하기 위한 수단; 그리고
    상기 측정된 회절 스펙트럼에 가장 가깝게 매치하는 최적-매치의 계산된 스펙트럼을 발견하기 위해 상기 룩업 테이블의 상기 제 2 배열 내의 상기 계산되는 회절 스펙트럼들과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교함으로써, 상기 최적-매치의계산된 스펙트럼에 대응하는 상기 프로파일 형태들 중 하나가 상기 물리적인 프로파일에 대하여 최적의 매치가 되고, 상기 물리적인 프로파일의 상기 차원이 상기 프로파일 형태들 중 상기 하나의 대응하는 차원이도록 결정되는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 장치.
  25. 반복되고 규칙적으로 간격지어진 일련의 구조들의 물리적인 프로파일의 차원을 결정하는 방법으로서,
    하나의 파장에서 다수의 각을 갖는, 광학적 경로를 따라 이동하는 입사 방사로 상기 일련의 구조들의 테스트 면적을 조명하는 단계;
    측정된 회절 스펙트럼을 획득하기 위해 상기 다수의 각에서 상기 테스트 면적으로부터 회절된 방사를 측정하는 단계;
    제 1 서브라이브러리 내에 포함될 프로파일 형태들의 층들에 대응하는 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 입사 방사의 상기 광학적 경로에 대응하는 입사 방사 파라미터들의 입사-방사 범위와 입사-방사 샘플링을 결정하는 단계;
    상기 층 내부의 범위 내의 상기 층 내부의 파라미터들의 상기 층 내부의 샘플링과 상기 입사-방사 범위 내의 상기 입사-방사 파라미터들의 상기 입사-방사 샘플링을 위한 엄격한 결합된 파 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계;
    상기 층 내부의 범위 내의 상기 층 내부의 파라미터들의 상기 층 내부의 샘플링과 상기 입사-방사 범위 내의 상기 입사-방사 파라미터들의 상기 입사-방사 샘플링을 위한 상기 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 캐시하는 단계;
    상기 제 1 서브라이브러리 내의 상기 프로파일 형태들의 각각에 대하여 상기 회절 계산의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 이용하여, 계산되는 회절 스펙트럼들의 제 2 서브라이브러리를 제공하기 위해 상기 회절 계산에 따라 계산되는 회절 스펙트럼을 계산하는 단계;
    프로파일 스펙트럼 쌍들의 라이브러리를 제공하기 위해 상기 계산되는 회절 스펙트럼들의 제 2 서브라이브러리로부터 대응하는 스펙트럼들로 상기 프로파일 형태들의 상기 제 1 서브라이브러리를 인덱싱하는 단계;
    상기 측정된 회절 스펙트럼에 가장 가깝게 매치하는 최적-매치의 계산된 스펙트럼을 발견하기 위해 상기 프로파일 스펙트럼 쌍들의 상기 라이브러리 내의 상기 계산되는 회절 스펙트럼들과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교함으로써, 상기 최적-매치의 계산된 스펙트럼에 대응하는 상기 프로파일 형태들 중 하나가 상기 물리적인 프로파일에 대하여 최적의 매치가 되고, 상기 물리적인 프로파일의 상기 차원이 상기 프로파일 형태들 중 상기 하나의 대응하는 차원이도록 결정되는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  26. 제 25 항에 있어서,
    상기 광학적 경로가 포커싱 메커니즘을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  27. 상기 회절된 빛을 측정하는 단계가 상기 회절된 빛의 강도의 측정을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  28. 제 25 항에 있어서,
    상기 회절된 빛을 측정하는 단계가 상기 회절된 빛의 강도와, 상기 회절된 빛의 편광 사이의 위상 차이의 측정을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  29. 제 28 항에 있어서,
    최적-매치의 계산된 스펙트럼을 결정하기 위해 상기 라이브러리 내의 상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하는 단계가 최소 제곱 연산법을 사용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 방법.
  30. 공작물의 프로파일을 분석하기 위한 방법으로서,
    다수의 프로파일 형태들에 대한 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계;
    메모리 내의 상기 회절 계산들의 상기 층 내부 의존적인 부분들을 캐시하는 단계;
    상기 메모리로부터 검색된 상기 회절 계산들의 상기 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 상기 프로파일 형태들에 대한 계산되는 회절 스펙트럼들을 생성하는단계;
    상기 프로파일 형태들과 상기 계산되는 회절 스펙트럼들의 라이브러리를 생성하는 단계;
    입사 방사로 상기 공작물의 부분을 조명하는 단계;
    상기 공작물의 상기 부분으로부터 회절된 방사를 측정하는 단계;
    상기 회절 방사의 측정에 기초하여 측정된 회절 스펙트럼을 획득하는 단계;
    상기 라이브러리 내에 포함된 계산된 상기 다수의 회절 스펙트럼들 중 하나와 상기 측정된 회절 스펙트럼을 매치시키는 단계; 그리고
    상기 측정된 회절 스펙트럼에 매치하는 상기 계산되는 회절 스펙트럼과 연관된 상기 프로파일 형태를 선택하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  31. 제 30 항에 있어서,
    상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들과 상기 입사 방사에 연관된 입사-방사 파라미터들을 더 포함하고,
    상기 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계가:
    상기 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 증분을 결정하는 단계;
    상기 입사-방사 파라미터들의 입사-방사 범위와 입사-방사 증분을 결정하는 단계; 그리고
    상기 층 내부의 증분에서 상기 층 내부의 범위 사이의 상기 층 내부의 파라미터들에 대하여, 그리고 상기 입사-방사 증분에서 상기 입사-방사 범위 사이의 상기 입사-방사 파라미터들에 대하여 상기 회절 계산들의 상기 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  32. 제 30 항에 있어서,
    상기 측정하는 단계가 상기 회절된 방사의 강도를 측정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  33. 제 32 항에 있어서,
    상기 입사 방사와 상기 회절된 방사 사이의 위상 차이를 측정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  34. 제 30 항에 있어서,
    상기 매치시키는 단계가 최소 제곱 연산법을 사용하여 수행되는 것을 특징으로 하는 방법.
  35. 제 34 항에 있어서,
    다수의 샘플 파장을 선택하는 단계;
    상기 샘플 파장에서 상기 계산되는 회절 스펙트럼으로 상기 측정된 회절 스펙트럼을 감함으로써 각 샘플 파장에서의 차이를 획득하는 단계; 그리고
    상기 차이를 제곱하는 단계; 그리고
    상기 차이를 합하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  36. 제 30 항에 있어서,
    상기 조명 단계가 상기 입사 방사를 포커싱하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  37. 제 36 항에 있어서,
    상기 입사 방사가 다수의 파장들을 갖는 빛을 포함하고, 상기 공작물의 부분이 하나의 각도로부터 조명되는 것을 특징으로 하는 방법.
  38. 제 30 항에 있어서,
    상기 입사 방사가 하나의 파장을 갖는 빛을 포함하고, 상기 공작물의 부분이 다수의 각도로부터 조명되는 것을 특징으로 하는 방법.
  39. 다수의 파장들을 갖는 입사광을 이용하여 반도체 웨이퍼의 측정을 분석하는 방법으로서,
    각 프로파일 형태가 각 계산되는 회절 스펙트럼에 연관되어 있는, 다수의 프로파일 형태들과 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들의 라이브러리를 제공하는 단계;
    상기 입사광을 포커싱하는 단계;
    하나의 입사각으로부터 상기 웨이퍼의 부분을 조명하는 단계;
    상기 웨이퍼의 상기 부분으로부터 회절된 빛을 측정하는 단계;
    상기 회절된 빛의 측정에 기초하여 측정된 회절 스펙트럼을 획득하는 단계;
    상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하는 단계; 그리고
    상기 비교에 기초하여 상기 웨이퍼에 대한 프로파일을 획득하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  40. 제 39 항에 있어서,
    상기 생성 단계가:
    상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 증분을 결정하는 단계;
    상기 입사광과 연관된 입사광 파라미터들의 입사광 범위와 입사광 증분을 결정하는 단계;
    상기 층 내부의 증분에서 상기 층 내부의 범위 사이의 상기 층 내부의 파라미터들에 대하여, 그리고 상기 입사광 증분에서 상기 입사광 사이의 상기 입사광 파라미터들에 대하여 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계;
    상기 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 상기 계산되는 회절 스펙트럼들을 생성하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  41. 제 39 항에 있어서,
    상기 비교 단계가:
    다수의 샘플 파장들을 선택하는 단계;
    상기 샘플 파장에서 상기 계산되는 회절 스펙트럼으로 상기 측정된 회절 스펙트럼을 감함으로써 각 샘플 파장에서의 차이를 획득하는 단계; 그리고
    상기 차이를 제곱하는 단계; 그리고
    상기 차이를 합하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  42. 제 39 항에 있어서,
    상기 측정 단계가:
    상기 회절된 빛의 강도를 측정하는 단계; 그리고
    상기 입사광과 상기 회절된 빛 사이의 위상 차이를 측정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  43. 하나의 파장을 갖는 입사광을 이용하여 공작물의 프로파일을 분석하는 방법으로서,
    프로파일 형태들의 라이브러리를 생성하는 단계;
    상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 증분을 결정하는 단계;
    상기 입사광에 연관된 입사광 파라미터들의 입사광 범위와 입사광 증분을 결정하는 단계;
    상기 층 내부의 증분에서 상기 층 내부의 범위 사이의 상기 층 내부의 파라미터들에 대한, 그리고 상기 입사광 증분에서 상기 입사광 범위 사이의 상기 입사광 파라미터들에 대한 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계;
    상기 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 생성하는 단계;
    각 계산되는 회절 스펙트럼이 각 프로파일 형태와 연관되어 있는, 프로파일 형태들의 상기 라이브러리 내에 상기 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 저장하는 단계;
    다수의 입사각들로부터 상기 웨이퍼의 부분을 조명하는 단계;
    상기 웨이퍼의 상기 부분으로부터 회절된 빛을 측정하는 단계;
    상기 회절된 빛의 측정에 기초하여 측정된 회절 스펙트럼을 획득하는 단계;
    상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하는 단계; 그리고
    상기 비교에 기초하여 상기 웨이퍼에 대한 프로파일을 획득하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  44. 제 43 항에 있어서,
    상기 회절 계산들의 예비 계산된 층 내부 의존적인 부분들을 캐시하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  45. 입사광을 이용하여 다수의 층들을 갖는 공작물의 프로파일을 분석하는 방법으로서,
    프로파일 형태들의 라이브러리를 생성하고;
    상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 증분을 결정하는 단계;
    상기 입사광에 연관된 입사광 파라미터들의 입사광 범위와 입사광 증분을 결정하는 단계;
    상기 층 내부의 증분에서 상기 층 내부의 범위 사이의 상기 층 내부의 파라미터들에 대한, 그리고 상기 입사광 증분에서 상기 입사광 범위 사이의 상기 입사광 파라미터들에 대한 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들을 생성하는 단계;
    상기 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 생성하는 단계;
    각 계산되는 회절 스펙트럼이 각 프로파일 형태와 연관되어 있는, 프로파일 형태들의 상기 라이브러리 내에 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 저장하는 단계;
    상기 입사광으로 상기 공작물의 부분을 조명하는 단계;
    상기 공작물의 상기 부분으로부터 회절된 빛을 측정하는 단계;
    상기 회절된 빛의 측정에 기초하여 측정된 회절 스펙트럼을 획득하는 단계;
    상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하는 단계; 그리고
    상기 비교에 기초하여 상기 공작물의 층들에 대한 프로파일을 획득하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  46. 제 45 항에 있어서,
    상기 비교 단계가:
    다수의 샘플 파장들을 선택하는 단계;
    상기 샘플 파장에서 상기 계산되는 회절 스펙트럼으로 상기 측정된 회절 스펙트럼을 감함으로써 각 샘플 파장에서의 차이를 획득하는 단계; 그리고
    상기 차이를 제곱하는 단계; 그리고
    상기 차이를 합하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  47. 제 45 항에 있어서,
    상기 측정 단계가 상기 회절된 빛의 강도를 측정하는 단계; 그리고
    상기 입사광과 상기 회절된 빛 사이의 위상 차이를 측정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
  48. 공작물의 프로파일을 분석하기 위한 시스템으로서,
    입사 방사로 상기 공작물의 부분을 조명하기 위해 구성된 전자기 방사 소스;
    상기 공작물로부터 회절된 방사를 측정하기 위해 구성된 광도계;
    다수의 프로파일 형태들과, 상기 프로파일 형태들의 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 생성된 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 갖는 라이브러리; 그리고
    상기 공작물의 프로파일을 획득하기 위해 상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하기 위해 구성된 프로세서를 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
  49. 제 48 항에 있어서,
    층 내부의 증분에서 층 내부의 범위 사이의 상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들에 대하여, 그리고 입사광 증분에서 입사광 범위 사이의 상기 입사광에 연관된 입사광 파라미터들에 대하여 생성된, 회절 계산들의 상기 층 내부 의존적인 부분들의 캐시를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
  50. 제 48 항에 있어서,
    상기 입사 방사를 포커스하기 위해 구성된 포커스 렌즈를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
  51. 제 48 항에 있어서,
    상기 입사 방사가 다수의 파장들을 갖는 빛을 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
  52. 제 48 항에 있어서,
    상기 입사 방사가 하나의 파장을 갖는 빛을 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
  53. 제 48 항에 있어서,
    상기 광도계가 상기 회절된 방사의 강도를 측정하기 위해 구성된 것을 특징으로 하는 시스템.
  54. 제 53 항에 있어서,
    상기 광도계가 상기 입사 방사와 상기 회절된 방사 사이의 위상 차이를 측정하기 위해 구성된 것을 특징으로 하는 시스템.
  55. 제 48 항에 있어서,
    상기 프로세서가 최소 제곱 연산법을 수행하기 위해 더 구성된 것을 특징으로 하는 시스템.
  56. 입사광을 이용하여 다수의 층들을 갖는 공작물의 프로파일을 분석하는 시스템으로서,
    프로파일 형태들의 라이브러리를 생성하기 위한 수단;
    상기 프로파일 형태들에 연관된 층 내부의 파라미터들의 층 내부의 범위와 층 내부의 증분을 결정하기 위한 수단;
    상기 입사광에 연관된 입사광 파라미터들의 입사광 범위와 입사광 증분을 결정하기 위한 수단;
    상기 층 내부의 증분에서 상기 층 내부의 범위 사이의 상기 층 내부의 파라미터들에 대하여, 그리고 상기 입사광 증분에서 상기 입사광 범위 사이의 상기 입사광 파라미터들에 대하여 회절 계산들의 층 내부 의존적인 부분들을 생성하기 위한 수단;
    상기 층 내부 의존적인 부분들에 기초하여 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 생성하기 위한 수단;
    각 계산되는 회절 스펙트럼이 각 프로파일 형태와 연관되어 있는, 상기 프로파일 형태들의 상기 라이브러리 내에 상기 다수의 계산되는 회절 스펙트럼들을 저장하기 위한 수단;
    상기 입사광으로 상기 공작물의 부분을 조명하기 위한 수단;
    상기 공작물의 부분으로부터 회절된 빛을 측정하기 위한 수단;
    상기 회절된 빛의 측정에 기초하여 측정된 회절 스펙트럼을 획득하기 위한 수단;
    상기 계산되는 회절 스펙트럼과 상기 측정된 회절 스펙트럼을 비교하기 위한 수단;
    상기 비교에 기초하여 상기 공작물의 상기 층들에 대한 프로파일을 획득하기위한 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
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