CN102385569B - 一种用于计算周期性介质傅立叶系数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于计算周期性介质傅立叶系数的方法以及一种用于对周期性介质的介电系数进行傅立叶展开的方法。所述周期性介质包括在二维方向上呈周期性分布的多个第一闭区域，该用于计算周期性介质傅立叶系数的方法包括：a.基于散度理论，将与所述第一闭区域对应的傅立叶系数的积分从在所述第一闭区域的二维面积分转化为在所述第一闭区域的边界的路径积分；b.将所述第一闭区域的边界表示为具有多条边的多边形；c.将所述路径积分表示为分别在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分的加和；以及d.将在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分表示为使用所述每条边的两个顶点的顶点坐标的标量形式。

Description

一种用于计算周期性介质傅立叶系数的方法

技术领域

本发明涉及半导体制造工艺的检测设备、光刻掩模板的光学邻近校正、计算型光刻的光散射仿真计算以及其它需要计算分块均匀周期性介质的二维傅立叶系数的场合，具体为利用散度理论实现周期性介质光散射仿真中的傅立叶展开系数的计算。

背景技术

随着半导体制造工业的发展，工艺中的关键尺寸(CD)越来越小，需要控制的尺寸越来越多，需要对这种微细结构实现快速精确检测。通常，半导体制造工艺中的特征尺寸可以反应在设计用于测量的专门区域里，该区域包含了工艺中需要控制的微细结构，其介质的光学特性呈周期性变化。光学关键尺寸(OCD)测量设备广泛地应用于这种周期性微细结构形貌的测量，其测量方法有非接触性、非破坏性等诸多优势。

光学关键尺寸(OCD)测量的原理总体上可描述为：建立样品的形貌模型并寻找特定的理论光谱实现与光谱散射仪获得的测量光谱最佳匹配从而确定其形貌参数。测量光谱为光谱散射仪获取的样品周期性介质的散射光信号。通过测量光谱不能反推出介质的分布，但可以将散射介质的分布建立模型并参数化，使用数值计算的方法计算出该模型的理论光谱，即对光谱散射仪获取测量光谱时的光散射进行仿真计算。变化模型的参数，寻找出特定参数对应的理论光谱实现与测量光谱最佳匹配从而确定其形貌参数。

晶片上的微细结构在半导体制造工艺中，是通过若干次光刻工艺将光刻掩模板的图案转移到晶片上的。光刻工艺的分辨率由瑞利公式决定：

$R=K_1\·\frac{\mathrm{\λ}}{\mathrm{NA}}$

上式中K₁为工艺因子，λ为光刻光源的波长，NA为投影系统的数值孔径。随着工艺节点的关键尺寸(CD)的变小，必须使得光刻工艺的分辨率足够小方能满足晶片上形成的工艺结构满足设计要求。在光刻光源波长、数值孔径改善受限制的条件下，为保证晶片上的微细结构满足要求，光刻工艺需要通过优化技术找出特定的掩模板图案、光刻照明条件及其它光刻工艺参数。如掩模板的光学邻近效应校正，根据工艺形成晶片上的所期望的细微结构反推出所需掩模板的图案。而计算型光刻，则进一步优化照明光源，将照明的光源进行像素级的优化布置，结合掩模板图案的精细优化及其它参数的优化，使得光刻工艺最终形成的微细结构满足要求。这些技术需要仿真计算光刻曝光的过程：光源通过照明系统入射至掩模板，经掩模板的各级散射光进入收集系统，成像至光刻胶上。掩模板在光刻胶中的空间图像的光强分布和光刻胶的显影特性决定光刻胶的轮廓，从而推断出工艺是否满足要求。掩模板为二维周期性的图案，其光散射的数值计算在这些方面有着必不可少的应用。

周期性介质光散射的数值仿真计算代表性的方法如：严格波耦合分析理论(RCWA，Rigorous Coupled-Wave Analysis)。如图1B，1D所示，设介质在x，y方向呈周期性变化。z方向通常情况下并非不变，如1A所示，光刻掩模板通常在z方向上均匀，或者z方向上分成几层，每层内均匀不变。如图1C所示，晶片上的微细结构通常在z方向变化，但严格波耦合分析方法在z方向将介质划分若干薄片.薄片的厚度如果足够小，则可认为光散射特性方面在z方向介质分布均匀。这样，整个介质的光散射效果可以看成若干个叠加在一起的z方向介质分布均匀的薄片的光散射效果。求解出每个介质薄片上平面和下平面，即z_i，z_i+1处的电磁场分布就可以得出整个介质的光散射仿真。z_i处的电磁场分布由x，y方向周期性变化，z方向均匀的介质的麦克斯韦(Maxwell)方程组决定。

介质薄片在z方向均匀，在x，y方向的周期如图1B所示，周期单元(图中红色线区域所示在)在x，y方向重复，电磁场分布可以以此为条件求解。以横电场(TE)为例，电场方向垂直于入射平面(x-z平面)，这里即为y方向，因此电场复振幅可表示为E_y，由亥姆霍兹(Helmholtz)方程确定：

${\▿}^2{E}_y+{(2\mathrm{\π}/\mathrm{\λ})}^2\mathrm{\ϵ}(x,y)E_y=0$

其中λ为波长，ε(x，y)介质的复介电系数，为周期函数，设周期为Λ_x，Λ_y。则ε(x，y)=ε(x+mΛ_x，y+nΛ_y)，m，n为整数。

在数值计算中，需要将周期函数ε(x，y)，1/ε(x，y)进行傅立叶级数展开：

$\mathrm{\ϵ}(x,y)=\underset{m,n}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\ϵ}(\frac{m}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{n}{{\mathrm{\Λ}}_y})\exp \left[2\mathrm{\πi}(\frac{\mathrm{mx}}{{\mathrm{\Λ}}_x}+\frac{\mathrm{ny}}{{\mathrm{\Λ}}_y})\right]$

$\frac{1}{\mathrm{\ϵ}(x,y)}=\underset{m,n}{\mathrm{\Σ}}a(\frac{m}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{n}{{\mathrm{\Λ}}_y})\exp \left[2\mathrm{\πi}(\frac{\mathrm{mx}}{{\mathrm{\Λ}}_x}+\frac{\mathrm{ny}}{{\mathrm{\Λ}}_y})\right]$

令 $K_x=\frac{m}{{\mathrm{\Λ}}_x},K_y=\frac{n}{{\mathrm{\Λ}}_y}$

在严格波耦合分析方法中，涉及到ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)的数值计算。设ε(x,y)的边界为x，y平面封闭曲线Γ，如图3所示，设Γ围成的区域为S，周期单元区域内S以外的区域为D，S内ε(x，y)为常数，D内ε(x，y)为另一常数。傅立叶系数ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)为与ε(x,y)相关的函数在周期单元区内的积分。如果边界Γ为一些特殊图形，如矩形，梯形的边，则ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)可以由解析形式求解。但对于Γ为一般封闭曲线，此时，ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)没有显式解析形式。因此对于ε(x，y)边界为任意形状，如何快速高效地实现ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)的计算，将直接影响到光散射仿真计算算法(and computational lithography)的性能。

目前关于周期函数ε(x,y)的傅立叶系数ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)的求解方法主要的思路是：将区域S分解为若干个子区域S₀，S₁，...S_i，...，对于每个子区域S_i，ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)可以有解析形式。如图3A所示，子区域S_i选为矩形，图3B所示，子区域S_i选为梯形，其中两条边平行于y(或x)轴，另外两条边为两条直线，可以用关于y(或x)的直线方程描述。ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)关于ε(x，y)的积分在以上两种形状的子区域S_i内均有解析形式。

积分区域划分为子区域的方法，如何划分子区域影响傅立叶系数计算的精度和效率。在子区域为矩形的方法中，边界附近的区域要么包含在矩形中，要么排除在矩形外，必然会有较大的近似误差。为减少近似误差，划分的矩形需要足够小，这样矩形数目则将增加，从而影响ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)计算效率。在子区域为梯形的方法中，由于限制两条边平行于x或y中，为减小近似误差，也需要减少x或y方向上梯形的高度或宽度，增加梯形的数目，这样也将影响计算效率。同时，梯形划分本身为平衡精度和梯形数目需要较复杂的方法。以上方法若区域S形状复杂，或者周期单元内有若干个独立的区域，则子区域划分更为复杂，子区域的数目更加庞大。

在半导体工艺检测设备的光散射仿真计算中涉及用于描述样品介质周期性的模型中，上述积分区域S的边界Γ通常全部或大部分由分段的线段首尾连接而成。特别是在计算型光刻中，光刻掩模板的图案设计时使用曼哈顿几何学(Manhattan geometry)描述，其边界的线段要么平行于x轴，要么平行于y轴，如图2所示。这样，边界Γ为由各个线段首尾连接组成的多边形，可以用多边形的顶点坐标R_i(X_i，Y_i)描述该边界。即使某些应用的模型中有部分为一般曲线，也可以由分段直线近似，但此时，总体上，用较少数目的线段近似导致的近似的误差也较小。

发明内容

为解决目前ε(K_x，K_Y)，α(K_x，K_y)的一般计算方法的遇到的问题，本发明结合在半导体工艺设备的光散射仿真计算中的样品在x-y平面分块均匀的特点，提出一种新方法，将积分区域S的边界Γ由多边形的顶点坐标R_i(X_i，Y_i)描述，利用高斯散度理论，将傅立叶系数的计算由两维面积分简化为一维线积分.这些一维线积分又可以由与R_i(X_i，Y_i)相关的解析式表达.通过数目不多的简单的解析式从而高效精确地实现傅立叶系数的计算。上文介绍的两种应用场合是本发明的典型应用，本发明完全可以用于其它涉及需要计算分块均匀周期性介质的二维傅立叶系数的场合。

根据本发明的一方面，提供了一种用于计算周期性介质傅立叶系数的方法，所述周期性介质包括在二维方向上呈周期性分布的多个第一闭区域，所述方法包括：a.基于散度理论，将与所述第一闭区域对应的傅立叶系数的积分从在所述第一闭区域的二维面积分转化为在所述第一闭区域的边界的路径积分；b.将所述第一闭区域的边界表示为具有多条边的多边形；c.将所述路径积分表示为分别在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分的加和；以及d.将在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分表示为使用所述每条边的两个顶点的顶点坐标的标量形式。

根据本发明的另一方面，提供了一种用于对周期性介质的介电系数ε(x，y)进行傅立叶展开的方法，所述周期性介质包括在二维方向上呈周期性分布的多个第一闭区域，包括：将ε(x，y)展开为 $\mathrm{\ϵ}(x,y)=\underset{K_x,K_y}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)\exp \left[2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\right]$

其中， $\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y),$ $K_x=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},...,$ $K_y=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},...,{\mathrm{\Λ}}_x,{\mathrm{\Λ}}_y$ 分别为所述周期性介质在x，y方向的周期，ε_b为所述第一闭区域的介电系数，ε_a为所述第一闭区域以外的区域的介电系数，其中，f(K_x，K_y)使用根据本发明的用于计算周期性介质傅立叶系数的方法进行计算。

半导体制造工艺的检测设备及计算型光刻技术广泛涉及到周期性介质光散射的仿真计算。在散射计算时，需要用傅立叶级数系数描述周期性介质的分布，傅立叶级数系数的高效计算直接影响仿真计算的速度。本发明首先将周期介质的二维分布的边界用多边形描述，这种用多边形顶点坐标描述边界在很多情况下是准确，在某些应用的场合，可以通过曲线的分段直线的近似实现任意形状的描述。然后，利用散度理论，将傅立叶系数的计算转换为用多边形顶点坐标的数学解析公式实现。

二维周期性介质的一个周期单元，如图4所示。Λ_x，Λ_y分别为周期单元在x，y方向的周期。x，y平面上，周期单元用区域D表示，Γ为封闭曲线，以Γ为边界围成的第一区域用S表示。在第一区域S内，介质的介电系数为常数ε_b，在区域D内，介电系数为常数ε_a。因此，介电系数可表示为：

ε(x，y)=ε(x+Λ_x,y+Λ_y)      (1b)

ε(x,y)为周期函数。在光散射计算中，需要对ε(x,y)及1/ε(x,y)用两维傅立叶(Fourier)级数展开，如以下：

$\mathrm{\ϵ}(x,y)=\underset{K_x,K_y}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)\exp \left[2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\right]$

$\frac{1}{\mathrm{\ϵ}(x,y)}=\underset{K_x,K_y}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\α}(K_x,K_y)\exp \left[2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\right]$

其中， $K_x=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},...,$ $K_y=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},...$

这里的ε(K_x，K_Y)，α(K_x,K_y)即为需要求解的傅立叶系数，由以下积分所确定：

$\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)=\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_y/2}^{{\mathrm{\Λ}}_y/2}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_x/2}^{{\mathrm{\Λ}}_x/2}\left\{\mathrm{\ϵ}(x,y)\exp \right[-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\left]\right\}\mathrm{dxdy}---\left(2a\right)$

$a(K_x,K_y)=\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_y/2}^{{\mathrm{\Λ}}_y/2}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_x/2}^{{\mathrm{\Λ}}_x/2}\left\{\frac{1}{\mathrm{\ϵ}(x,y)}\exp \right[-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\left]\right\}\mathrm{dxdy}---\left(2b\right)$

利用ε_a，ε_b为常数的性质，可以将以上积分式简化为：

$\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)---\left(3a\right)$

$a(K_x,K_y)=(1/{\mathrm{\ϵ}}_a)+\frac{(1/{\mathrm{\ϵ}}_b)-(1/{\mathrm{\ϵ}}_a)}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)---\left(3b\right)$

这里：

$f(K_x,K_y)=\underset{S}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)]\mathrm{dxdy}---\left(4a\right)$

用矢量形式描述f(K_x，K_y)，首先定义：

$\stackrel{\→}{k}=K_x\hat{x}+K_y\hat{y},\stackrel{\→}{r}=x\hat{x}+y\hat{y}$

其中

为x，y方向的单位矢量。

这样(4a)式的矢量形式为：

$f\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\underset{S}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(\stackrel{\→}{k}\·\stackrel{\→}{r})]d^{2}r---\left(4b\right)$

如图4所示，Γ为S的边界，为xy平面的封闭曲线。

下面先考虑

的情况.设

分别为Γ曲线在点(x，y)处的单位法矢量(方向指向S的外侧)和单位切矢量。在三维散度理论中，矢量场的散度在空间闭区域的体积分矢量场在该闭区域边界的法向投影对该曲面的积分相等，当矢量场为二维平面场时，其积分关系的变形形式可以表述为：矢量场的散度在平面闭区域的面积分与矢量场在闭区域边界法向投影对该曲线的积分相等。设有矢量场

为二维场，

的散度在平面区域S的面积分与

在曲线法向投影对Γ的曲线积分有以下关系：

其中

曲线Γ在(x，y)的单位法矢量(方向为外侧)，dS为曲线在点(x，y)处弧长微元，此式即为散度理论针对二维矢量场的数学描述。

设矢量场

的散度为(4b)式中等号右边的被积分的函数，即另矢量场

的散度为式(4b)的二维面积分的被积函数，即

$\▿\·\stackrel{\→}{g}(x,y)=\exp [-2\mathrm{\πi}(\stackrel{\→}{k}\·\stackrel{\→}{r})]---\left(6\right)$

之后，求出满足上式的矢量场的一个解，符合上式的

有许多，其中我们认为最简单的一个解为：

$\stackrel{\→}{g}(x,y)=\frac{i\stackrel{\→}{k}}{2\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}\exp [-2\mathrm{\πi}(\stackrel{\→}{k}\·\stackrel{\→}{r})],\stackrel{\→}{k}\≠0---\left(7\right)$

将式(6)代入式(4b)有：

$f\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\underset{S}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(\stackrel{\→}{k}\·\stackrel{\→}{r})]d^{2}r=\underset{S}{\∫\∫}[\▿\·\stackrel{\→}{g}(x,y)]\mathrm{dxdy}$

根据二维矢量场的高斯散度理论的数学描述式(5)，并且将

的解作为路径积分的被积函数，有：

因此傅立叶系数的积分式(4b)根据散度理论可以描述为以下：

令 $\tilde{k}=-K_y\hat{x}+K_x\hat{y},$ 即 $\stackrel{\→}{k}\·\tilde{k}=0,$

与

垂直。由于

均为x0y平面的矢量，且满足以下关系：

$\stackrel{\→}{t}\left(s\right)\×\hat{z}=\stackrel{\→}{n}\left(s\right),\tilde{k}\left(s\right)\×\hat{z}=\stackrel{\→}{k}---\left(9a\right)$

因此，有：.

$\stackrel{\→}{k}\·\stackrel{\→}{n}\left(s\right)=\tilde{k}\·\stackrel{\→}{t}\left(s\right)---\left(9b\right)$

将(9b)代入(8)，可得到：

将封闭曲线Γ用分段直线近似，如图4所示，曲线Γ可近似为多边形。用于实际样品的光散射计算中，如光掩模的光散射，曲线Γ即为分段线段连接而成。在其它的应用中，也会有多数边界为分段线段，如光学关键尺寸测量中，结构模型中通常为线段组成。这些情况下，曲线Γ用多边形表示是准确的。

设多边形的顶点依次为R₁(X₁，Y₁)，R₂(X₂，Y₂)，...，R_j(X_j，Y_j)，...R_N(X_N，Y_N)这里N≥3，至少具有三个定点方能构成封闭图形。写成矢量形式为：

${\stackrel{\→}{R}}_1=X_1\hat{x}+Y_1\hat{y},{\hat{R}}_2=X_2\hat{x}+Y_2\hat{y},...{\stackrel{\→}{R}}_j=X_j\hat{x}+Y_j\hat{y},...,{\stackrel{\→}{R}}_N=X_N\hat{x}+Y_N\hat{y}$

同时，令 ${\stackrel{\→}{R}}_{N+1}={\stackrel{\→}{R}}_1.$

根据曲线积分的意义，式(10)可以写成N段线段L₁，L₂，...，L_j，...L_N的积分：

$f\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(\stackrel{\→}{k}\right)$

$f_j\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\frac{i}{2\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}{\∫}_{L_j}[\tilde{k}\·{\stackrel{\→}{t}}_j\left(s\right)]\exp [-2\mathrm{\πi}(\stackrel{\→}{k}\·{\stackrel{\→}{r}}_j\left(s\right)]\mathrm{ds}$

在第j个线段L_j中，两个端点为

线段L_j上的

可以用关于参数t∈[0，1]及

的参数方程描述为：

${\stackrel{\→}{r}}_j\left(t\right)={\stackrel{\→}{R}}_j+({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)\mathrm{\τ},j=\mathrm{1,2},...N,\mathrm{\τ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right]$

线段L_j上的切矢量为常数，其单位切矢量

可表示为：

${\stackrel{\→}{t}}_j\left(s\right)=\frac{{\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j}{|{\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j|},j=\mathrm{1,2},...N$

关于弧长微元ds可表示为关于参数τ的微元dτ，其关系为：

$\mathrm{ds}=|{\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j|\mathrm{d\τ}$

因此，有：

$f_j\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\frac{i\widetilde{k\·}({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)}{2\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}{\∫}_0^1\exp \{-2\mathrm{\πi}[\stackrel{\→}{k}\·({\stackrel{\→}{R}}_j+({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)\mathrm{\τ}\left]\right\}\mathrm{d\τ}$

将关于τ的积分式在满足

条件下对t进行积分得到：

$f_j\left(\stackrel{\→}{k}\right)=\frac{1}{4{\mathrm{\π}}^2{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}\·\frac{\tilde{k}\·({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)}{\stackrel{\→}{k}\·({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)}\·\left\{\exp \right[-2\mathrm{\πi}\stackrel{\→}{k}\·{\stackrel{\→}{R}}_j]-\exp [-2\mathrm{\πi}\stackrel{\→}{k}\·{\stackrel{\→}{R}}_{j+1}\left]\right\}$

将矢量形式转换为标量形式为：

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_j+K_y{Y}_j)]-\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_{j+1}+K_y{Y}_{j+1})]}{4{\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}$

$\·\frac{(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y}{(X_{j+1}-X_j)K_x+(Y_{j+1}-Y_j)K_y}$

在

时，对τ进行积分得到：

$f\left({\stackrel{\→}{k}}_j\right)=\frac{i}{2\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\tilde{k}\·({\stackrel{\→}{R}}_{j+1}-{\stackrel{\→}{R}}_j)\exp (-2\mathrm{\πi}\stackrel{\→}{k}\·{\stackrel{\→}{R}}_j)$

其标量形式为：

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\mathrm{iexp}(-2\mathrm{\πi}(X_j{K}_x+Y_j{K}_y))}{2\mathrm{\π}(K_x^2+K_y^2)}\·[(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y]$

以上的条件均是在

的情况下推导出来的.

在

时，式(4b)变为：

$f(K_x,K_y)=\underset{S}{\∫\∫}1\mathrm{dxdy},K_x=0,K_y=0$

其意义为二维封闭区域S的面积。下面为计算具有N个顶点多边形的面积，以x0y平面的原点o(0，0)为中心，将多边形可以分解N个三角形，第j个三角形由多边形第j条边及原点构成，即三角形三条边分别为R_jR_j+1，OR_j，OR_j+1，三角形的顶点分别为：{o，R_j，R_j+1}。由{o，R_j，R_j+1}三个顶点组成的三角形面积为：

$A_j=\left|({\stackrel{\→}{R}}_j\×{\stackrel{\→}{R}}_{j+1})\right|/2,j=\mathrm{1,2},...N$

其标量形式为：

A_j=(X_jY_j+1-X_j+1Y_j)/2

上式的面积为带有符号的面积，

相对于

的位置为逆时针方向则上式的符号为正，为顺时针方向则上式的符号为负。因此整个多边形面积为：

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{A}_j=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_j{Y}_{j+1}-X_{j+1}{Y}_j)/2$

综合以上分析，计算f(K_x，K_y)的方法如下：

1)：K_x=K_y=0

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_j{Y}_{j+1}-X_{j+1}{Y}_j)/2$

2)：K_x≠0，或K_y≠0

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j(K_x,K_y)$

而f_j(K_x，K_y)的计算方法如下：

A)：K_x(X_j+1-X_j)+K_y(Y_j+1-Y_j)≠0

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_j+K_y{Y}_j)]-\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_{j+1}+K_y{Y}_{j+1})]}{4{\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\·\frac{(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y}{(X_{j+1}-X_j)K_x+(Y_{j+1}-Y_j)K_y}$

B)：K_x(X_j+1-X_j)+K_y(Y_j+1-Y_j)=0

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\mathrm{iexp}(-2\mathrm{\πi}(X_j{K}_x+Y_j{K}_y))}{2\mathrm{\π}(K_x^2+K_y^2)}\·[(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y]$

以上就是本发明的主要内容。依据以上描述，我们可以看到，用关于多边形顶点坐标的数学解析公式实现了傅立叶系数的快速计算。

附图说明

通过参照附图阅读以下所作的对非限制性实施例的详细描述，能够更容易地理解本发明的特征、目的和优点。其中，相同或相似的附图标记代表相同或相似的部件与部分。

图1是一种周期性散射介质的示意图；

图2是一种随机逻辑电路光掩膜的示意图；

图3是已知的用于计算傅立叶系数的方法的示意图；

图4是根据本发明的方法的一个实施例的用多边形表示闭区域的边界的示意图；

图5是根据本发明的方法的一个实施例的计算f(K_x，K_y)的流程图；

图6是图5所示流程图的具体实现方式；

图7是一个示例的闭区域；以及

图8是其他示例的闭区域。

具体实施方式

以下对根据本发明的实施例进行描述。

在光散射仿真计算中，需要解决的问题描述为：设周期性介质在x，y方向呈周期性变化，其周期分别为Λ_x，Λ_y，在z方向均匀。在x0y平面的一个周期单元内，有第一封闭区域S，其边界为封闭曲线Γ。介质的介电系数，在第一区域S内为常数ε_b，在S以外的区域内为ε_a。在光散射的计算中，需要计算的傅立叶系数的形式为：

${\mathrm{\ϵ}}_{m,n}=\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_y/2}^{{\mathrm{\Λ}}_y/2}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_x/2}^{{\mathrm{\Λ}}_x/2}\left\{\mathrm{\ϵ}(x,y)\exp \right[-2\mathrm{\πi}(\mathrm{mx}/{\mathrm{\Λ}}_x+\mathrm{ny}/{\mathrm{\Λ}}_y)\left]\right\}\mathrm{dxdy}$

$a_{m,n}=\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_y/2}^{{\mathrm{\Λ}}_y/2}{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_x/2}^{{\mathrm{\Λ}}_x/2}\left\{\frac{1}{\mathrm{\ϵ}(x,y)}\exp \right[-2\mathrm{\πi}(\mathrm{mx}/{\mathrm{\Λ}}_x+\mathrm{ny}/{\mathrm{\Λ}}_y)\left]\right\}\mathrm{dxdy}$

其中，m，n的取值范围根据光散射的仿真计算精度确定散射级次，如通常取m=-M_x，-(M_x-1)，...，0，...，(M_x-1)，M_x，N=-N_y，-(N_y-1)，...，0，...，(N_y-1)，N_y或根据对称性，取m=0，1，...，(M_x-1)，M_x，N=0，1，...，(N_y-1)，N_y。M_x，N_y根据精度需要确定。

令 $K_x=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},...,$ $K_y=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},...,$

ε_m，n，a_m，n的根据以下公式计算

${\mathrm{\ϵ}}_{m,n}={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)$

$a_{m,n}=(1/{\mathrm{\ϵ}}_a)+\frac{(1/{\mathrm{\ϵ}}_b)-(1/{\mathrm{\ϵ}}_a)}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)$

而：

$f(K_x,K_y)=\underset{S}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\mathrm{dxdy}$

K_x=m/Λ_x，K_y=n/Λ_y

在实际的应用中，周期介质在xy平面的分布可能并非一个区域内均匀分布而其它区域另一均匀分布，但在一个周期单元中可以处理为由若干区域组成，每个区域对应一种均匀介质。根据积分的性质，f(K_x，K_y)的值为各个区域的积分线性叠加。如设区域中除了第一区域S对应的介电系数为ε_b，还有第二区域S_c对应介电系数为ε_c，则ε_m，n可表示为：

${\mathrm{\ϵ}}_{m,n}={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_c-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{f}_c(K_x,K_y)$

其中，

$f_c(K_x,K_y)=\underset{S_c}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\mathrm{dxdy}$

因此，求解一个区域对应的f(K_x，K_y)结果，是本发明的实现傅立叶系数计算的核心。

封闭曲线Γ在光散射仿真计算的应用中，常常由分段直线连接而成，即Γ为多边形。若某些的应用中，也会有Γ的少数分段并非由直线组成，此时，可以用分段直线进行近似。因此，本发明中，边界Γ假设由分段直线组成的多边形。这种假设通常符合实际应用，在不符合的情况下，可以使用近似的办法统一为多边形，而这样做，仍然可以保证足够的近似精度。

设多边形的N个顶点沿逆时针的方向依次为：

R₁(X₁，Y₁)，R₂(X₂，Y₂)，…，R_j(X_j，Y_j)，…R_N(X_N，Y_N)

同时定义R_N+1(X_N+1=X₁，Y_N+1=Y₁)。

给定一组(m，n)，计算此时的f(K_x，K_y)的具体实现方法如图5所示。首先根据计算具体的傅立叶系数ε_m，n，a_m，n对应的m，n的值根据K_x=m/Λ_x，K_y=n/Λ_y算出K_x，K_y。然后，对于K_x=K_y=0的情况下，f(K_x，K_y)的计算直接通过“通道(一)”输出结果。在其它情况下，将f(K_x，K_y)的计算由多边形各条边对应的f_j(K_x，K_y)的线性叠加，即：

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j(K_x,K_y)$

计算每条边对应的f_j(K_x，K_y)时，判断条件K_x(X_j+1-X_j)+K_y(Y_j+1-Y_j)=0是否满足。若满足，则采用“通道(二)”计算f_j(K_x，K_y)，否则，采用通道(三)”计算。

这样，计算了一个区域的f(K_x，K_y)的值，也可以根据需要计算出各个区域的f(K_x，K_y)，然后依据前面所述的方法计算所需要的傅立叶系数ε_m，n，a_m，n。

各通道具体方法如图6所示。以上过程表明，计算过程的各通道方法均为简单的表达式计算。这样，这个傅立叶系数的计算过程就非常高效。

以下以图7所示的例子，具体说明计算方法，同时表明了本方法结果的正确性。

区域S为矩形，4各顶点的坐标分别为：

$R_1(\frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{4},\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{4}),R_2(-\frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{4},\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{4}),R_3(-\frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{4},-\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{4}),R_4(\frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{4},\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{4})$

矩形的四条边分别为：

L₁：R₁->R₂；L₂：R₂->R₃；L₃：R₃->R₄；L₄：R₄->R₁，

传统方法直接积分为：

$f(K_x,K_y)=\underset{S}{\∫\∫}\exp [-2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\mathrm{dxdy}$

$={\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_x/4}^{{\mathrm{\Λ}}_x/4}{e}^{-2\mathrm{\πi}{K}_{x}x}\mathrm{dx}\·{\∫}_{-{\mathrm{\Λ}}_y/4}^{{\mathrm{\Λ}}_x/4}{e}^{-2\mathrm{\πi}{K}_{y}y}\mathrm{dy}$

$=\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{\mathrm{\π}{K}_x}\·\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{\mathrm{\π}{K}_y},K_x\≠0,K_y\≠0$

因此，有：

$f(K_x,K_y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{\mathrm{\π}{K}_x}\·\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{\mathrm{\π}{K}_y},K_x\≠0,K_y\≠0\\ \frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{2}\·\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{\mathrm{\π}{K}_y},K_x=0,K_y\≠0\\ \frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{\mathrm{\π}{K}_x}\·\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{2},K_x\≠0,K_y=0\\ \frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{2}\·\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{2},K_x=0,K_y=0\end{array}\right.$

下面根据本发明的方法进行计算：

(一)首先，当K_x=0，K_y=0时，使用“通道(一)”方法：

$f\left(\mathrm{0,0}\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_j{Y}_{j+1}-X_{j+1}{Y}_j)/2=\frac{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{16}+\frac{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{16}+\frac{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{16}+\frac{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{16}=\frac{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{4}$

在其它情况下，分别计算L₁，L₂，L₃，L₄对应的f_j(K_x，K_y)。计算时当K_x=0或K_y=0需分别采用“通道(二)”或“通道(三)”计算，以下分别讨论。

(二)若K_x≠0，K_y≠0，则f₁，f₂，f₃，f₄均采用“通道(三)”计算，分别为：

$f_1(K_x,K_y)=\frac{\exp [-\mathrm{i\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2]\·\left(2i\right)\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{{4\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\frac{K_y}{K_x}$

$f_2(K_x,K_y)=\frac{\exp [-\mathrm{i\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2]\·(-2i)\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{{4\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\frac{K_x}{K_y}$

$f_3(K_x,K_y)=\frac{\exp [\mathrm{i\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2]\·(-2i)\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{{4\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\frac{K_y}{K_x}$

$f_4(K_x,K_y)=\frac{\exp [-\mathrm{i\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2]\·\left(2i\right)\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{{4\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\frac{K_x}{K_y}$

故有：

(三)若K_x=0，K_y≠0，则f₁，f₃采用通道(二)”计算，分别为：

$f_1(0,K_y)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_x\left[\mathrm{iexp}(-\mathrm{\πi}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)\right]}{4\mathrm{\π}{K}_y}$

$f_3(0,K_y)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_x[-\mathrm{iexp}(\mathrm{\πi}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)]}{4\mathrm{\π}{K}_y}$

而则f₂，f₄采用通道(三)”计算，分别为：

f₂(0，K_y)=0

f₄(0，K_y)=0

因此：

$f(0,K_y)=(f_1+f_3)+(f_2+f_4)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_x}{2}\·\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_y{K}_y/2)}{\mathrm{\π}{K}_y}$

(四)同理，若K_x≠0，K_y=0，则f₁，f₃采用通道(三)”计算，分别为：

f₁(K_x，0)=0

f₃(K_x，0)=0

而则f₂，f₄采用通道(二)”计算，分别为：

$f_2(K_x,0)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_y[-\mathrm{iexp}(\mathrm{\πi}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)]}{4\mathrm{\π}{K}_x}$

$f_4(K_x,0)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_y\left[\mathrm{iexp}(-\mathrm{\πi}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)\right]}{4\mathrm{\π}{K}_x}$

因此：

$f(K_x,0)=(f_1+f_3)+(f_2+f_4)=\frac{{\mathrm{\Λ}}_y}{2}\·\frac{\sin (\mathrm{\π}{\mathrm{\Λ}}_x{K}_x/2)}{\mathrm{\π}{K}_x}$

以上表明，在S为矩形区域的所有K_x，K_y情况下的结果均与传统积分的方法结果相同。在一般的情况下，对于传统的方法，必须将区域S划分为足够多数量的子矩形，对每个子矩形进行计算。而本方法，则无需划分，直接使用顶点坐标就可以得到结果，如图8所示。在边界Γ为分段线段连接而成的应用中，本方法可实现傅立叶系数的精确计算，而非传统方法通过划分子区域的近似方法。在某些应用中，边界的某些部分非直线，但可以通过分段直线近似的方法实现统一计算，而在边界其它的大部分仍然是精确的，最终总体上可以达到较高的计算精度而所使用的多边形顶点数并不多。因此，本方法具有广泛的适用性。

Claims (8)

1.一种用于计算周期性介质傅立叶系数的方法，所述周期性介质包括在二维方向上呈周期性分布的多个第一闭区域，所述方法包括：

a.基于散度理论，将与所述第一闭区域对应的傅立叶系数的积分从在所述第一闭区域的二维面积分转化为在所述第一闭区域的边界的路径积分；

b.将所述第一闭区域的边界表示为具有多条边的多边形；

c.将所述路径积分表示为分别在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分的加和；以及

d.将在所述多边形的所述多条边的每条边的一维线积分表示为使用所述每条边的两个顶点的顶点坐标的标量形式。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述步骤a包括：

a1.令矢量场的散度等于所述二维面积分的被积函数；

a2.求出满足步骤a1的矢量场的一个解；以及

a3.将所述解作为所述路径积分的被积函数。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，所述步骤a2中的一个解是 $\stackrel{\→}{g}(x,y)=\frac{i\stackrel{\→}{k}}{2\mathrm{\π}{\left|\stackrel{\→}{k}\right|}^2}\exp [-2\mathrm{\πi}\left(\stackrel{\→}{k\·}\stackrel{\→}{r}\right)],\stackrel{\→}{k}\≠0,$ 其中，

是所述矢量场， $\stackrel{\→}{k}=K_x\hat{x}+K_y\hat{y},$ $K_x=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},...,$ $K_y=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},...,{\mathrm{\Λ}}_x,{\mathrm{\Λ}}_y$ 分别为所述周期性介质在x，y方向的周期，

其中

为x，y方向的单位矢量。

4.根据权利要求3所述的方法，其特征在于，所述傅立叶系数的一个解是：

当K_x=K_y=0时，

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}(X_j{Y}_{j+1}-X_{j+1}{Y}_j)/2;$

当K_x或K_y不为0，且K_x(X_j+1-X_j)+K_y(Y_j+1-Y_j)=0时，

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j(K_x,K_y)$

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\mathrm{iexp}(-2\mathrm{\πi}(X_j{K}_x+Y_j{K}_y)}{2\mathrm{\π}(K_x^2+K_y^2)}\·[(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y]$

当K_x或K_y不为0，且K_x(X_j+1-X_j)+K_y(Y_j+1-Y_j)≠0时，

$f(K_x,K_y)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j(K_x,K_y)$

$f_j(K_x,K_y)=\frac{\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_j+K_y{Y}_j)]-\exp [-2\mathrm{\πi}(K_x{X}_{j+1}+K_y{Y}_{j+1})]}{4{\mathrm{\π}}^2(K_x^2+K_y^2)}\·\frac{(Y_{j+1}-Y_j)K_x-(X_{j+1}-X_j)K_y}{(X_{j+1}-X_j)K_x+(Y_{j+1}-Y_j)K_y}$

其中，所述多边形具有N条边，j是所述N条边中的第j条边，X_j，Y_j是所述多边形的N个顶点中第j个顶点的坐标，且X_N+1=X₁，Y_N+1=Y₁。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述第一闭区域的边界是曲线，所述步骤b中的所述具有多条边的多边形是对所述曲线的近似。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述周期性介质还包括在二维方向上呈周期性分布的多个第二闭区域，使用与计算所述第一闭区域对应的傅立叶系数相同的方法来计算与所述第二闭区域对应的傅立叶系数。

7.一种用于对周期性介质的介电系数ε(x，y)进行傅立叶展开的方法，所述周期性介质包括在二维方向上呈周期性分布的多个第一闭区域，包括：

将ε(x，y)展开为 $\mathrm{\ϵ}(x,y)=\underset{K_x,K_y}{\mathrm{\Σ}}\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)\exp \left[2\mathrm{\πi}(K_{x}x+K_{y}y)\right]$

其中， $\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y),$ $K_x=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_x},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_x},...,$ $K_y=...,-\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},-\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},0,\frac{1}{{\mathrm{\Λ}}_y},\frac{2}{{\mathrm{\Λ}}_y},...,$ 分别为所述周期性介质在x，y方向的周期，ε_b为所述第一闭区域的介电系数，ε_a为所述第一闭区域以外的区域的介电系数，其中，f(K_x，K_y)使用如权利要求1至6中任一项所述的方法计算。

8.根据权利要求7所述的方法，其特征在于，所述周期性介质还包括在二维方向上呈周期性分布的多个第二闭区域，其中， $\mathrm{\ϵ}(K_x,K_y)={\mathrm{\ϵ}}_a+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_b-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}f(K_x,K_y)+\frac{{\mathrm{\ϵ}}_c-{\mathrm{\ϵ}}_a}{{\mathrm{\Λ}}_x{\mathrm{\Λ}}_y}{f}_c(K_x,K_y),$ 其中，ε_c为所述第二闭区域的介电系数，ε_a为所述第一闭区域和所述第二闭区域以外的区域的介电系数，其中，f_c(K_x，K_y)为所述第二闭区域对应的傅立叶系数，并且使用与计算所述第一闭区域对应的傅立叶系数相同的方法来计算与所述第二闭区域对应的傅立叶系数。

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