KR101201671B1 - 시뮬레이션 방법 및 프로그램 - Google Patents

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KR101201671B1 KR1020117014044A KR20117014044A KR101201671B1 KR 101201671 B1 KR101201671 B1 KR 101201671B1 KR 1020117014044 A KR1020117014044 A KR 1020117014044A KR 20117014044 A KR20117014044 A KR 20117014044A KR 101201671 B1 KR101201671 B1 KR 101201671B1
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Abstract

[과제] 분자동역학을 이용한 신규의 시뮬레이션 방법을 제공한다.
[해결수단] (a) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무차원화 함수 f 및 상호작용계수 ε의 곱 εf로 나타낼 수 있는 입자계 S를 고려하였을 때, 입자계 S가 배치되어 있는 공간의 차원수 d를 이용하여, 1보다 큰 제1 재정규화 인자 α와, 0 이상 d 이하인 제2 재정규화 인자 γ와, 0 이상인 제3 재정규화 인자 δ를 결정하여, 재정규화된 입자수 N'을, 변환식 N'=N/αd에 의하여 구하고, 재정규화된 입자의 질량 m'을, 변환식 m'=mαδ/αγ에 의하여 구하고, 재정규화된 상호작용계수 ε'을, 변환식 ε'=εαγ에 의하여 구한다. (b) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량 m'을 가지고, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 무차원화 함수 f와, 재정규화된 상호작용계수 ε'의 곱 ε'f로 나타나는 입자계 S'에 대하여, 분자동역학 계산을 실행한다.

Description

시뮬레이션 방법 및 프로그램{Simulation method and program}
본 발명은, 시뮬레이션 방법 및 프로그램에 관한 것으로서, 특히, 분자동역학(分子動力學)을 이용한 시뮬레이션 방법, 및, 그것을 컴퓨터로 실행시키기 위한 프로그램에 관한 것이다.
분자동역학을 이용한 컴퓨터 시뮬레이션이 행하여지고 있다. 분자동역학에서는, 시뮬레이션의 대상이 되는 계(系)를 구성하는 입자의 운동방정식이, 수치적으로 해석된다. 시뮬레이션 대상인 계의 입자수가 증대되면, 필요한 계산량이 증대된다. 현행 컴퓨터의 연산능력으로는, 예컨대, 입자수 10만 정도인 계의 시뮬레이션까지밖에 행할 수가 없다.
시뮬레이션에 필요한 계산량을 줄이기 위하여, 예컨대 비특허문헌 1에 있어서, 분자동역학에 재정규화(renormalization)의 기법을 응용하려고 하는 시도가 이루어지고 있다.
또한, 본원에 관련되는 발명이 본원 발명자들에 의하여 이루어져서, 특허문헌 1에 개시되어 있다.
일본 특허공개 2006-285866호 공보
이나무라, 다케자와, 샤모토, "재정규화의 기법에 근거하는 가변 스케일 분자동역학 시뮬레이션에 대하여", 일본 기계학회 논문집(A편), 1997년, 제63권, 608호, p. 202-207
비특허문헌 1의 “3. 수치계산법”란에 기재되어 있는 바와 같이, 비특허문헌 1의 시뮬레이션 방법에서는, 온도를 명확하게 평가할 수 없다.
본 발명의 한 목적은, 분자동역학을 이용한 신규의 시뮬레이션 방법, 및 그 방법을 컴퓨터로 실행하기 위한 프로그램을 제공하는 것이다.
본 발명의 다른 목적은, 재정규화군(群)의 방법에 근거하여, 온도를 명확하게 평가하는 것이 가능한 시뮬레이션 방법, 및 그 방법을 컴퓨터로 실행하기 위한 프로그램을 제공하는 것이다.
본 발명의 한 관점에 의하면, (a) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무(無)차원화 함수(f) 및 상호작용계수(ε)의 곱(εf)으로 나타낼 수 있는 입자계(S)를 고려하였을 때, 그 입자계(S)가 배치되어 있는 공간의 차원수(數)(d)를 이용하여, 1보다 큰 제1 재정규화 인자(α)와, 0 이상 d 이하인 제2 재정규화 인자(γ)와, 0 이상인 제3 재정규화 인자(δ)를 결정하고, 재정규화된 입자수(N')를, 변환식 N'=N/αd에 의하여 구하고, 재정규화된 입자의 질량(m')을, 변환식 m'=mαδ/αγ에 의하여 구하고, 재정규화된 상호작용계수(ε')를, 변환식 ε'=εαγ에 의하여 구하는 공정과, (b) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량(m')을 가지고, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수(f)와, 재정규화된 상호작용계수(ε')의 곱(ε'f)으로 나타나는 입자계(S')에 대하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정을 가지는 시뮬레이션 방법이 제공된다.
또한, 본 발명의 다른 관점에 의하면, (a) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무차원화 함수(f) 및 상호작용계수(ε)의 곱(εf)으로 나타낼 수 있는 입자계(S)를 고려하였을 때, 그 입자계(S)가 배치되어 있는 공간의 차원수(d)를 이용하여, 1보다 큰 제1 재정규화 인자(α)와, 0 이상인 제3 재정규화 인자(δ)를 결정하여, 재정규화된 입자수(N')를, 변환식 N'=N/αd에 의하여 구하고, 재정규화된 입자의 질량(m')을, 변환식 m'=mαδ에 의하여 구하는 공정과, (b) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량(m')을 가지고, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수(f)와, 상기 상호작용계수(ε)의 곱(εf)으로 나타나는 입자계(S')에 대하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정을 가지는 시뮬레이션 방법이 제공된다.
또한, 본 발명의 다른 관점에 의하면, (d) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무차원화 함수(f) 및 상호작용계수(ε)의 곱(εf)으로 나타낼 수 있는 입자계(S)와, 상기 입자계(S)가 배치되어 있는 공간에 XYZ 직교좌표계를 고려하였을 때, 각각이 1보다 큰 X방향의 재정규화 인자(αX), Y방향의 재정규화 인자(αY), 및 Z방향의 재정규화 인자(αZ)를 이용하여, 재정규화된 입자수(N')를, 변환식 N'=N/(αXαYαZ)에 의하여 구하고, 또한 0 이상인 재정규화 인자(δ)를 결정하여, X방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mX')을, 변환식(mX'=mαX δ)에 의하여 구하고, Y방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mY')을, 변환식(mY'=mαY δ)에 의하여 구하고, Z방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mZ')을, 변환식(mZ'=mαZ δ)에 의하여 구하는 공정과, (e) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량(m')을 가지고, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수(f)와, 상기 상호작용계수(ε)의 곱(εf)으로 나타나는 입자계(S')에 대하여, X방향의 운동방정식에는 X방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mX')을 이용하고, Y방향의 운동방정식에는 Y방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mY')을 이용하고, Z방향의 운동방정식에는 Z방향에 관한 재정규화된 입자의 질량(mZ')을 이용하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정을 가지는 시뮬레이션 방법이 제공된다.
재정규화된 입자수(N')는, 입자수(N)보다 적다. 이로 인하여, 입자계(S)에 대하여 분자동역학 계산을 실행하는 것보다 적은 계산량으로, 입자계(S')에 대한 분자동역학 계산을 실행할 수 있다.
또한, 0 이상의 재정규화 인자(δ)를 임의로 결정하여 계산을 행하기 때문에, 시뮬레이션을 유연하게 실행할 수 있다.
도 1a는, 스케일 변환칙의 도출방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 1b는, 스케일 변환칙의 도출방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 2는, 재정규화군(群) 분자동역학을 이용한 알루미늄에 대한 시뮬레이션의 결과를 나타내는 그래프이다.
도 3a는, S-W 포텐셜에 대하여 설명하기 위한 도면이다.
도 3b는, 재정규화군(群) 분자동역학을 이용한 실리콘에 대한 시뮬레이션의 결과를 나타내는 그래프이다.
도 4는, 재정규화군(群) 분자동역학을 이용하여 분산관계를 구한 시뮬레이션의 결과를 나타내는 그래프이다.
우선, 분자동역학(Molecular Dynamics; MD)에 대하여 간결하게 설명한다. N개의 입자(예컨대 원자)로 이루어지고, 해밀토니안(H)이
Figure 112011046106946-pct00001
로 표현되는 입자계에 대하여 고려한다. 여기서, 각 입자의 질량이 m이고, 입자 j의 운동량벡터가 pj이며, 입자 j의 위치벡터(위치좌표)가 qj이고, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가 φ이다.
해밀토니안(H)을, 해밀튼의 정준(正準; canonical)방정식에 대입함으로써, 각 입자에 대한 운동방정식
Figure 112011046106946-pct00002
및
Figure 112011046106946-pct00003
을 얻을 수 있다. 여기서 식 (3)에 있어서, vj는 입자 j의 속도벡터이다. 분자동역학에서는, 입자계를 구성하는 각 입자에 대하여, 수학식 2 및 수학식 3으로 표현되는 운동방정식을 수치적으로 적분하여 해를 구함으로써, 각 시각에 있어서의 각 입자의 운동량벡터(또는 속도벡터) 및 위치벡터가 구하여진다. 다만, 수치적분에는, Verlet법이 이용되는 경우가 많다. Verlet법에 대해서는, 예컨대, J. M. Thijssen, “Computational Physics”, Cambridge University Press(1999)의 p. 175에 설명되어 있다. 분자동역학 계산에서 얻어진 각 입자의 위치, 속도에 근거하여, 계의 다양한 물리량을 산출할 수 있다.
다음으로, 재정규화군(群)의 기법을 응용한 분자동역학(이를, 재정규화군(群) 분자동역학이라 부르기로 함)에 대하여, 개념적으로 설명한다.
재정규화군(群) 분자동역학에서는, 물리량을 구하고자 하는 원하는 계(S)를, 계(S)보다 적은 입자수로 구성되는 계(이것을 재정규화된 계(S')라고 부르기로 함)에 대응시킨다. 다음으로, 재정규화된 계(S')에 대한 분자동역학 계산을 실행한다. 그리고, 재정규화된 계(S')에 대한 계산결과를, 원하는 계(S)에 대응시킨다. 이로써, 원하는 계(S)에 대한 분자동역학 계산을 직접적으로 실행하는 것보다 적은 계산량으로, 원하는 계(S)에 대한 물리량을 산출하는 것이 가능하여진다. 원하는 계(S)에 있어서의 물리량(예컨대, 입자수, 각 입자의 질량 등)과, 재정규화된 계(S')에 있어서의 물리량을 서로 대응시키기 위한 변환칙을, 스케일 변환칙이라고 부른다.
다음으로, 본원 발명자가 도출한 스케일 변환칙에 대하여 설명한다. 물리량을 산출하고자 하는 원하는 입자계(S)가, N개의 입자로 구성된다고 하자. 입자계(S)의 전체 해밀토니안(H)이, 수학식 1에 나타낸 바와 같이,
Figure 112011046106946-pct00004
로 표현되는 것으로 하자. 어떤 입자 j의 해밀토니안(Hj)은
Figure 112011046106946-pct00005
로 표현된다.
재정규화의 논의를 위하여, 상호작용 포텐셜에너지(φ)를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내고, 무(無)차원화된 함수(f)와, 상호작용의 강도를 나타내며, 에너지의 차원을 가지는 계수(ε)(이를 상호작용계수(ε)라고 부르기로 함)와의 곱에 의하여, 이하와 같이 나타낸다.
Figure 112011046106946-pct00006
예컨대, 불활성원자에 대해서는,
Figure 112011046106946-pct00007
이라는 상호작용 포텐셜이 이용된다. 여기서 r은 원자간 거리이다. 상호작용계수(ε) 및 상수(σ)가, 원자의 종류에 대응하는 값을 취한다.
다음으로, 해밀토니안(H)으로부터, 재정규화된 해밀토니안(H')을 도출하는 방법에 대하여 설명한다. 이하 상세히 나타내는 바와 같이, 재정규화된 해밀토니안(H')은, 입자계(S)에 대한 분배함수 Z(β)에 있어서의 적분의 일부를 실행하여, 해밀토니안을 조시화(粗視化; coarsely graining)하고, 계속하여 적분변수를 재스케일함으로써 얻어진다.
입자수 일정(一定)에 있어서의 정준(正準)집단(Canonical ensemble)에 대한 분배함수 Z(β)는, 입자계(S)에 대하여,
Figure 112011046106946-pct00008
로 표현된다. 여기서, 계수(β)는, 계의 온도(T)와 볼츠만상수(kB)에 의하여 β=1/(kBT)로 정의된다. dΓN은 위상공간 내의 체적요소이고, 보다 상세히는,
Figure 112011046106946-pct00009
로 표현된다. 여기서, WN는, N!h3N (h는 플랑크상수)이다. 또한, Dp N 및 Dq N을 각각,
Figure 112011046106946-pct00010
Figure 112011046106946-pct00011
으로 정의하고 있다.
조화(調和)진동자(harmonic oscillator) 이외의 포텐셜의 재정규화를 논의하는 것은 곤란하다. 따라서, 안장점(saddle point)을 가지는 상호작용 포텐셜을 3개의 영역으로 나누어 고려한다. 입자간 거리 r→∞와 r→0은, 고정점이기 때문에 재정규화 변환에 있어서 포텐셜은 불변이다. 따라서, 안장점 근방의 재정규화 변환이 모든 입자간 거리(r)에 대해서도 성립한다고 가정한다. 안장점의 주위를 테일러 전개하여, 2차 요동(fluctuation)까지 남긴다. 안장점의 위치를 r0라 하고, 상대변위를 δu라 하면, δu의 1차항은 사라지고,
Figure 112011046106946-pct00012
을 얻는다. 따라서, 입자 j에 대하여, 안장점 근방을 기술하는 해밀토니안은,
Figure 112011046106946-pct00013
이 된다. 여기서, ui 및 uj는, 각각 입자 i 및 j의 안장점으로부터의 변위를 나타낸다. φ"는, 입자간 거리(r)에 대한 2계 미분(second order differential)이다.
다음으로, 분배함수 Z(β)의 입자간 상호작용 부분의 조시화(粗視化; coarsely graining)에 대하여 설명한다. 먼저, 1차원 체인 상에 배치된 입자계에 있어서의 조시화에 대하여 고찰한 후, 단순입방격자 상에 배치된 입자계로 확장한다.
도 1a에 나타내는 바와 같이, 1차원 체인 상의 격자점(래티스 포인트)에, 입자 i와 j가 서로 가장 인접하여 배치되고, 입자 j와 k가 서로 가장 인접하여 배치되어 있다. 입자 i와 k의 중간에, 입자 j가 배치되어 있다. 가장 인접하는 입자끼리의 상호작용(니어리스트 네이버 커플링)을 실선으로 나타낸다. 입자 j를 소거하여 조시화하는 것을 고려한다. 입자 j가 관여하는 상호작용을 적고(write), 입자 i와 k의 중간에 있는 입자 j의 변위 uj에 대하여 적분을 실행하면, 입자 j의 영향이 재정규화된 후의, 입자 i와 k의 상호작용 포텐셜 φ'(qi-qk)에 대하여,
Figure 112011046106946-pct00014
이라는 식을 얻는다.
이 조시화에 의하여, 격자상수가 α(=2)배가 되기 때문에, u'=u/α라는 식으로 스케일 변환된 변수 u'에 의하여, 원래의 포텐셜 함수와 동일 형식으로 나타낼 수 있다. 즉, 이하의 상사칙(相似則)이 얻어진다.
Figure 112011046106946-pct00015
다만, 여기서, 수학식 12의 2행째로 이행함에 있어서, 안장점 근방 이외에 있어서도 동일 재정규화 변환이 성립한다고 가정하였다. α를, 제1 재정규화 인자라고 부르기로 한다.
d차원 단순입방격자에 있어서의 조시화는, 포텐셜 무빙(Potential Moving) 방법에 의하여 실현할 수 있다. Potential Moving에 대해서는, 예컨대 Leo P. Kadanoff, “STATISTICAL PHYSICS, Statics, Dynamics and Renormalization”, World Scientiffic(1999)의 14장에 해설되어 있다.
도 1b를 참조하여, Potential Moving의 생각방식에 대하여 설명한다. Potential Moving에서는, 다차원 격자를 1차원 체인으로 귀착시킨다. 도 1b에는, 2차원 격자의 경우를 나타낸다.
도 1b의 상단의 도면에 나타내는 바와 같이, 2차원 정방격자의 격자점 상에 입자가 배치되어 있다. 가장 인접하는 입자간의 상호작용(최인접 상호작용)을 실선으로 나타낸다. 격자가 있는 변에 평행한 방향을 X방향이라 하고, X방향에 직교하는 방향을 Y방향이라 한다.
도 1b의 중간단의 도면에 나타내는 바와 같이, X방향으로 나열된 입자에 대하여, 하나 걸러 입자를 적분하는 것을 고려한다(흰 원으로 나타낸 격자점(래티스 포인트 포사메이션) 상의 입자를 적분하는 것을 고려한다). 적분하고자 하는 (소거하고자 하는) 입자를, 피적분 입자라고 부르기로 한다. 피적분 입자끼리의 최인접 상호작용을 파상선으로 나타낸다. 만약 피적분 입자끼리의 최인접 상호작용이 존재하지 않으면, 피적분 입자에 대해서는, X방향으로 뻗어 있는 1차원 체인이라고 볼 수 있다.
Potential Moving에서는, 도 1b의 하단의 도면에 나타내는 바와 같이, 피적분 입자끼리의 최인접 상호작용을, X방향에 대하여 피적분 입자의 양측에 배치된 입자에 배분한다. 배분된 상호작용이 가산된 입자간 상호작용(더블 커플링)을, 이중선으로 나타낸다. 이중선으로 나타내는 상호작용은, 원래의 최인접 상호작용의 2배의 세기가 된다. 이와 같이 하여, 피적분 입자에 대하여, 2차원 격자로부터 1차원 체인으로 변환할 수 있다. 따라서, 피적분 입자에 대하여, 상기 서술한 1차원 체인에 대한 조시화의 방법이 실행 가능하다. 예컨대 3차원 격자의 경우, 이상 설명한 것과 마찬가지의 절차를, Y, Z방향에 대해서도 반복한다. 이와 같이 하여, 다차원 격자에 있어서의 조시화가 실행된다.
Potential Moving의 방법을 이용함으로써, d차원 단순입방격자에 있어서의 분배함수 Z(β)의 상호작용 부분의 조시화에 대하여,
Figure 112011046106946-pct00016
이라는 결과가 도출된다. 여기서, 재정규화된 입자수(N') 및 제1 재정규화 인자(α)가,
Figure 112011046106946-pct00017
Figure 112011046106946-pct00018
이라는 식으로 표현된다. n은 양의 정수이고, 조시화의 횟수를 나타낸다.
다음으로, 분배함수 Z(β)의 운동에너지 부분의 조시화에 대하여 설명한다. 우선은, 1차원 체인에 있어서 고려한다. 서로 가장 인접하는 입자쌍인 입자 j-1과 입자 j를 하나의 입자로 조시화한다. Kadanoff의 블록스핀(block spin)법의 생각방식을 운동량에 적용하고, 입자 j와 입자 j-1로 이루어지는 조시화된 입자의 운동량(gj)을 이하와 같이 정의한다.
Figure 112011046106946-pct00019
또한, 가중(weighting) 함수 T{P, p}를 이하와 같이 정의한다.
Figure 112011046106946-pct00020
여기서, δ는 Dirac의 δ-함수이다. 명백히,
Figure 112011046106946-pct00021
을 만족시킨다. 이 조건으로부터, 분배함수의 운동에너지 부분(Zp)에 가중 함수(T){P, p}를 삽입할 수 있고,
Figure 112011046106946-pct00022
라는 식을 얻는다. δ-함수를 적분표시하면, 분배함수의 운동에너지 부분(Zp)은, 이하와 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112011046106946-pct00023
이 적분은, 이하의 공식을 사용하면 용이하게 실행할 수 있다.
Figure 112011046106946-pct00024
여기서, <A, B>는, 벡터 A와 B의 내적을 나타낸다. 이 공식을 이용하면, 분배함수의 운동에너지 부분(Zp)은,
Figure 112011046106946-pct00025
으로 나타낼 수 있다.
이 조시화에 의하여, 운동에너지가 α(=2)배가 된다. 다만, 2개의 입자의 전체 운동에너지를 무게중심의 운동에너지와 상대운동의 운동에너지로 나누고, 상대운동량에 대하여 적분을 실행한 경우도 마찬가지의 결과가 얻어진다.
다음으로, d차원 단순입방격자에 있어서의 조시화에 대하여 고찰한다. 우선, 결정축 a방향에 대하여 조시화하면, 입자가 가지는 운동에너지 Ekin은 α배가 된다. 이어서 b축방향에 있어서 조시화하면, 입자가 가지는 운동에너지 Ekinα는, (Ekinα)의 α배, 즉 Ekinα2이 된다. 따라서, d차원 격자에서는 Ekinαd이 되기 때문에,
Figure 112011046106946-pct00026
이라는 관계식이 얻어진다. n회의 조시화에서는, α=2n이 되는 것은 자명하다.
이상의 논의로부터, 조시화된 전체 해밀토니안에 대한 분배함수 Z(β)는, 결과에 영향을 주지 않는 계수를 제외하고,
Figure 112011046106946-pct00027
로 나타낼 수 있다.
다음으로, 조시화된 계에 있어서도 해밀토니안을 동일 형태로 하기 위하여, “재정규화된” 변수를 도입한다. 이하와 같이, 재정규화된 위치벡터(q'), 재정규화된 운동량벡터(p'), 재정규화된 질량(m'), 재정규화된 상호작용계수(ε'), 및, 재정규화된 계수(β')를 정의한다. 해밀토니안의 형태가 불변이 되도록 스케일 변환한다.
Figure 112011046106946-pct00028
Figure 112011046106946-pct00029
Figure 112011046106946-pct00030
Figure 112011046106946-pct00031
Figure 112011046106946-pct00032
여기서, γ는, 0 이상 d 이하이다. γ를, 제2 재정규화 인자라고 부르기로 한다. 또한, δ는 0 이상의 값을 취한다. δ를 제3 재정규화 인자라고 부른다.
재정규화된 변수를 이와 같이 정함으로써, 해밀토니안(H)과 동일 형태인, 재정규화된 해밀토니안(H')이 얻어진다. 재정규화된 해밀토니안(H')은,
Figure 112011046106946-pct00033
로 표현된다.
다만, 수학식 18로부터, 분배함수는 이하와 같이 된다.
Figure 112011046106946-pct00034
여기서, 위상공간의 체적요소는, 결과에 영향을 주지 않는 상수를 제외하고,
Figure 112011046106946-pct00035
이다.
재정규화된 해밀토니안(H')으로 기술되는 계(재정규화된 입자계(S'))에 있어서의 운동방정식은, 정준(正準)방정식
Figure 112011046106946-pct00036
및
Figure 112011046106946-pct00037
로부터 주어지고,
Figure 112011046106946-pct00038
및
Figure 112011046106946-pct00039
이 된다. 여기서, 재정규화된 시간(t')이, 재정규화된 변수 q', p', m' 및 ε'에 정합하도록,
Figure 112011046106946-pct00040
라는 식으로 정하여진다. 운동방정식(수학식 24 및 수학식 25)에 근거하여, 재정규화된 입자계(S')에 대한 분자동역학 계산을 실행할 수 있다.
이상의 고찰을 정리한다. 입자계(S)와, 재정규화된 입자계(S')는, 이하의 변환식으로 표현되는 스케일 변환칙에 의하여 대응된다.
입자계(S)의 입자수(N)와, 재정규화된 입자계(S')의 재정규화된 입자수(N')는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00041
???(변환식 N)
에 의하여 대응된다. 입자계(S)의 어떤 입자의 위치벡터(q)와, 재정규화된 입자계(S')의 어떤 입자의 위치벡터(q')는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00042
???(변환식 q)
에 의하여 대응된다. 입자계(S)의 어떤 입자의 운동량벡터(p)와, 재정규화된 입자계(S')의 어떤 입자의 운동량벡터(p')는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00043
???(변환식 p)
에 의하여 대응된다. 입자계(S)의 각 입자의 질량(m)과, 재정규화된 입자계(S')의 각 입자의 질량(m')은, 변환식
???(변환식 m)
에 의하여 대응된다. 입자계(S)에 있어서의 상호작용계수(ε)와, 재정규화된 입자계(S')에 있어서의 상호작용계수(ε')는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00045
???(변환식 ε)
에 의하여 대응된다.
입자계(S)에 대하여 운동방정식을 푸는 경우의 시간스케일(t)(입자계(S)에 대하여 실행한다고 가정한 분자동역학 계산에 있어서의 어떤 시간간격(t))과, 재정규화된 입자계(S')에 대하여 운동방정식을 푸는 경우의 시간스케일(t')(재정규화된 입자계(S')에 대하여 실행하는 분자동역학 계산에 있어서의 어떤 시간간격(t'))은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00046
???(변환식 t)
에 의하여 대응된다.
다만, 입자계(S)의 어떤 입자의 속도벡터(v)와, 재정규화된 입자계(S')의 어떤 입자의 속도벡터(v')는, 속도벡터(v)가 v=p/m으로 표현된다는 점에서, 변환식
Figure 112011046106946-pct00047
???(변환식 v)
에 의하여 대응된다.
여기서, 입자계(S)가 배치되어 있는 공간의 차원수가 d이다. 제1 재정규화 인자 α는 2n(n은 양의 정수)이고, 제2 재정규화 인자 γ는 0 이상 d 이하이다. 또한, 제3 재정규화 인자 δ는 0 이상이다.
제2 재정규화 인자(γ)의 값이 커서, 예컨대 d와 동일할 때, 극히 큰, 재정규화된 상호작용계수(ε')와, 작은, 재정규화된 질량(m')이 수치계산에 나타난다. 수치계산상, 제2 재정규화 인자 γ는 0으로 설정하는 것이 바람직하다. 이때 또한, 제3 재정규화 인자 δ를 0으로 하면, 시각(t)만이 변환되어, 종래의 MD를 이용할 수 있다.
다만, 가령 δ=2일 때, 질량 m과 스프링상수 s를 가지는 1차원 체인의 스프링-매스(spring-mass)계를 고려하였을 때, 재정규화된 해밀토니안으로부터 분산관계가 이하와 같이 얻어진다.
Figure 112011046106946-pct00048
여기서, 각주파수가 ω이고, 파수(波數)가 k이다. 평형상태에 있어서의 원자간 거리가 a이다. 또한, 제2 재정규화 인자 γ는 0으로 하였다. 수학식 26은, 장파장의 극한에 있어서,
Figure 112011046106946-pct00049
이 되고, 제1 재정규화 인자 α와는 무관해진다.
다음으로, 재정규화군(群) 분자동역학에 의한 컴퓨터 시뮬레이션의 실시예에 대하여 설명한다.
우선, 알루미늄에 열을 유입시켜서 승온시키고, 융점 및 잠열을 산출한 시뮬레이션에 대하여 설명한다. 제1 시뮬레이션에서는, 비교를 위하여, 16000개의 알루미늄 원자로 이루어지는 계에 대하여, 종래의 (재정규화를 응용하지 않은) 분자동역학 계산을 행하였다. 알루미늄 원자는 3차원 공간 내에 배치되어 있고, 차원수 d는 3이다.
제2 및 제3 시뮬레이션에서는, 제1 시뮬레이션에 대응하는 계를 재정규화한 계에 대한 분자동역학 계산을 행하였다. 제1 재정규화 인자 α는, 제2 시뮬레이션에서는 2로 결정하고, 제3 시뮬레이션에서는 22(=4)로 결정하였다. (변환식 N)으로부터, 제2 시뮬레이션에서는, 계의 입자수가 2000개가 되고, 제3 시뮬레이션에서는, 계의 입자수가 250개가 된다. 제2 재정규화 인자 γ는 0으로 결정하였다. 또한, 제3 재정규화 인자 δ는 2로 결정하였다. 다만, 종래의 방법(제1 시뮬레이션)은, 제1 재정규화 인자 α를 1로 설정한 경우에 대응한다.
제1 시뮬레이션에 있어서의 원자간 포텐셜(즉, 원래의 계에 있어서의 입자간 포텐셜)로서, 모스(Morse) 포텐셜을 이용하였다. 이 포텐셜은,
Figure 112011046106946-pct00050
로 표현된다. 여기서, 상호작용계수 ε는 1.92×10-20[J]이고, 상수 A는 2.35×1010[m-1]이며, 상수 r0는 2.86×10-10[m]이다. 입자간 거리가 r이다.
제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서의 입자간 포텐셜(즉, 재정규화된 계에 있어서의 입자간 포텐셜)로서도, 수학식 28과 동일 형태의 것이 이용된다. 제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서의 재정규화된 상호작용계수는, 각각, (변환식 ε)으로부터 구하여진다. 제2 재정규화 인자 γ가 0이므로, 제2 및 제3 시뮬레이션에서의 상호작용계수는, 양쪽 모두, 제1 시뮬레이션의 상호작용계수 ε과 동일하다. 상수 r0 및 상수 A는 제1 시뮬레이션의 그것과 동일하다.
제1 시뮬레이션에 있어서의 알루미늄 원자의 질량(즉, 원래의 계에 있어서의 입자의 질량)은, 4.48×10-26[kg]이다. 제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서의 입자의 재정규화된 질량은, 각각, (변환식 m)으로부터 구하여진다. 제2 시뮬레이션에 있어서의 질량은, 제1 시뮬레이션에서의 질량에 22(=4)을 곱한 17.9×10-26[kg]이 되고, 제3 시뮬레이션에 있어서의 질량은, 제1 시뮬레이션에서의 질량에 42(=16)을 곱한 71.7×10-26[kg]이 된다.
다음으로, 입자의 초기 배치에 대하여 설명한다. 초기에 있어서, 입자는 면심입방격자의 격자점 상에 배치된다. 제1 시뮬레이션에서는, 폭방향으로 20개, 깊이방향으로 20개의 입자가 나열된 층이, 40층 중첩되는 배치로 하였다. 원래의 계의, 폭방향에 대하여 1/α, 깊이방향에 대하여 1/α, 및 높이방향에 대하여 1/α인 부분(원래의 계의 1/α3인 부분)이, 재정규화된 계에 대응한다. 제2 시뮬레이션에서는, 폭방향으로 10개, 깊이방향으로 10개의 입자가 나열된 층이, 20층 중첩된 배치가 되고, 제3 시뮬레이션에서는, 폭방향으로 5개, 깊이방향으로 5개의 입자가 나열된 층이, 10층 중첩된 배치가 된다.
다음으로, 수치적분의 시간폭(time width)에 대하여 설명한다. 원래의 계에 있어서의 시간폭을 Δt라 하고, 입자의 빠르기를 v라 한다. 시간폭(Δt)은, 예컨대
Figure 112011046106946-pct00051
를 만족시키도록 정하여진다(“<<”은, 식의 좌변이 우변보다 충분히 작다는 뜻). 여기서 r0은 입자간 포텐셜에 있어서의 상수이고, 입자간 거리의 대략적 감각을 준다. 재정규화된 계에 있어서의 시간폭을 Δt'라 하고, 입자의 빠르기를 v'라 한다. (변환식 v)로부터 v'=v/α이므로, 재정규화된 계에 있어서의 시간폭(Δt')은, 예컨대 αΔt로 설정된다.
수치적분의 시간폭은, 제1 시뮬레이션에 있어서는 5.0[fs]로 하고, 제2 시뮬레이션에 있어서는 10[fs]로 하고, 제3 시뮬레이션에 있어서는 20[fs]로 하였다.
다음으로, 입자에 부여하는 초기속도에 대하여 설명한다. 우선, 원래의 계의 온도와, 재정규화된 계의 온도의 관계에 대하여 설명한다. 원래의 계의 온도(T)는,
Figure 112011046106946-pct00052
라는 식으로 정의된다. 여기서, kB는 볼츠만상수이고, vi는 입자 i의 속도벡터이며, vg는 입자계의 무게중심의 속도벡터이다. 온도는, 즉, 속도의 “요동(fluctuation)”이다. 재정규화된 계의 온도(T')는,
Figure 112011046106946-pct00053
라는 식으로부터 정하여진다.
원래의 계에 있어서, 질량이 m이고 빠르기가 v인 입자의 운동에너지는, 1/2 mv2이다. 재정규화된 계에 있어서, 질량이 m'이고 빠르기가 v'인 입자의 운동에너지는, 1/2 m'v'2이다. (변환식 m) 및 (변환식 v)로부터,
Figure 112011046106946-pct00054
이라는 관계가 얻어진다. 따라서, 원래의 계의 온도 T와, 재정규화된 계의 온도 T'은 동일하여진다. 제1~제3 시뮬레이션에 있어서, 입자계의 온도가 300[K]가 되도록, 초기속도가 주어진다.
다음으로, 입자계에 열을 유입시키는 방법에 대하여 설명한다. 제1~제3 시뮬레이션에서는, 입자계의 저면(底面)상에 배치된 입자에 운동에너지를 주어, 계에의 열의 유입을 모의(simulate)하였다. 열이 유입되는 면을 가열면이라고 부르기로 한다.
우선, 제1 시뮬레이션에 있어서의 열의 유입방법(즉, 원래의 계에 있어서의 열의 유입방법)에 대하여 설명한다. 가열면 상의 입자 하나당, 시간폭 Δt의 사이에, 운동에너지 ΔE가 주어진다고 하자. 입자의 운동량벡터의 변화는, 아래 식(수학식 32)로부터 구하여진다. 여기서, 어떤 시각 t에 있어서의 운동량벡터가 pt이고, 시각 t+Δt에 있어서의 운동량벡터가 pt +Δt이다.
Figure 112011046106946-pct00055
운동에너지 ΔE에 의하여, 운동량벡터가 λ배 된다고 하자. 즉,
Figure 112011046106946-pct00056
로 표현된다고 한다. 수학식 33을 수학식 32에 대입함으로써, λ는,
Figure 112011046106946-pct00057
로 표현된다. 시간폭 Δt마다, 수학식 33에 의하여 운동량벡터를 갱신함으로써, 시간폭 Δt 당 운동에너지 ΔE가 유입되는 열의 유입을 모의할 수 있다.
가열면 상의 입자수를 Nh라 하고, 가열면의 면적을 Sh라 하면, 단위면적당 유입되는 파워(fh)는,
Figure 112011046106946-pct00058
로 표현된다. 제1 시뮬레이션에서는, 가열면 상의 입자수 Nh가 400개이고, 가열면의 면적 Sh가 2.83×10-17[m2]이며, 운동에너지 ΔE가 4.14×10-24[J]이고, 시간폭 Δt가 5.0[fs]이며, 파워 fh가 1.17×1010[W/m2]이다.
제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서(재정규화된 계에 있어서), 단위면적당 유입되는 파워(fh')는,
Figure 112011046106946-pct00059
라는 식으로 주어진다. 운동량벡터를 갱신하기 위한 계수 λ'은,
Figure 112011046106946-pct00060
라는 식으로 주어진다. 다만 수학식 31로부터, 주어지는 운동에너지 ΔE는 원래의 계와 재정규화된 계에서 동일하여진다.
다음으로, 도 2를 참조하여, 시뮬레이션 결과에 대하여 설명한다. 도 2에 나타내는 그래프 중, 하단의 그래프가 제1 시뮬레이션(종래의 분자동역학 계산)의 결과를 나타내고, 중간단의 그래프가 제2 시뮬레이션(재정규화 인자 α를 2로 한 재정규화군(群) 분자동역학 계산)의 결과를 나타내며, 상단의 그래프가 제3 시뮬레이션(재정규화 인자 α를 4로 한 재정규화군(群) 분자동역학 계산)의 결과를 나타낸다. 3개의 그래프에 있어서, 종축이 온도(단위[K])를 나타내고, 횡축이 유입된 열량, 즉 유입된 에너지(단위 10-16[J])를 나타낸다.
먼저, 하단의 그래프를 참조하여, 제1 시뮬레이션의 결과에 대하여 설명한다. 계에 에너지가 유입되어 있지 않을 때, 계의 온도는 300[K]이다. 유입된 에너지가 증가함에 따라서, 계의 온도가 상승한다. 유입에너지가 약 5×10-16[J]에 이르면, 온도의 상승이, 약 850[K]에서 일단 멈추고, 유입에너지가 약 9×10-16[J]에 이르기까지, 온도가 거의 일정하게 된다. 이 온도가, 융점을 나타낸다. 유입에너지가 약 9×10-16[J]를 넘으면, 다시 온도가 상승한다.
온도가 일정한 기간 중에 계에 유입된 에너지가 잠열에 대응한다. 이 시뮬레이션으로부터 구하여지는 잠열은, 14.7[kJ/mol]이 된다. 다만, 실험으로부터 구하여진 알루미늄의 융점은 933[K]이고, 잠열은 11[kJ/mol]이다. 시뮬레이션에서 얻어진 값과 실험치의 차이는, 이용한 원자간 포텐셜의 정밀도 등에 기인한다고 생각된다.
다음으로, 중간단 및 상단의 그래프를 참조하여, 제2 및 제3 시뮬레이션의 결과에 대하여 설명한다. 제2 및 제3 시뮬레이션의 결과도, 제1 시뮬레이션의 결과와 마찬가지의 경향을 나타낸다. 즉, 유입에너지가 약 5×10-16[J]에서부터 약 9×10-16[J]까지인 기간 중에, 온도가 850[K] 부근에서 대략 일정하게 되는 경향을 나타낸다. 이로써, 제2 및 제3 시뮬레이션으로부터도, 융점이 약 850[K]이고, 잠열이 14.7[kJ/mol]이라고 구할 수 있다.
입자계에 유입된 에너지는, 시뮬레이션한 기간만큼 유입 파워를 적분하면 구하여진다. 재정규화된 계에 유입된 에너지를 E'이라 하면, 원래의 계에 유입된 에너지 E는,
Figure 112011046106946-pct00061
이라는 식으로부터 구하여진다. 다만, 입자 하나당 유입에너지는, 원래의 계와 재정규화된 계에서 동일하다.
재정규화된 계의 온도는, 수학식 30으로부터 구하여진다. 상기 서술한 논의로부터, 원래의 계의 온도는, 재정규화된 계의 온도와 동일하다.
다만, 상기 서술한 시뮬레이션에서는, 원래의 계에 있어서의 유입에너지 및 온도를 구하였지만, 원래의 계에 있어서의 다른 물리량, 예컨대 입자의 위치, 운동량, 속도 등도, 필요에 따라서, 상기 서술한 스케일 변환칙에 근거하여 구할 수 있다.
이상 설명한 바와 같이, 재정규화군(群) 분자동역학에서는, 재정규화하기 전의 계(상기 실시예의 제1 시뮬레이션에 대응하는 계)에 대한 분자동역학 계산으로 얻어질 것으로 기대되는 물리량(상기 실시예에서는 융점 및 잠열)을, 재정규화하기 전의 계보다 입자수가 적은 계에 대한 분자동역학 계산을 행함으로써, 산출하는 것이 가능하게 된다. 재정규화군(群) 분자동역학에 의한 시뮬레이션에 요하는 다양한 계산은, 프로그램에 의하여, 컴퓨터에서 실행할 수 있다.
다만, 상기 실시예의 시뮬레이션에 있어서, 알루미늄은 면심입방구조를 취한다. 스케일 변환칙은, 단순입방격자 상에 배치된 입자계에 대한 고찰로부터 도출하였지만, 단순입방구조에 한하지 않는 다른 결정구조에 대해서도 유효하다.
다음으로, 실리콘에 열을 유입시켜서 승온시키고, 융점 및 잠열을 산출한 시뮬레이션에 대하여 설명한다. 실리콘은, 다이아몬드 구조를 취한다. 알루미늄에 대한 시뮬레이션과 마찬가지로, 3개의 시뮬레이션을 행하였다. 제1 시뮬레이션은, 비교를 위하여 행한 종래의 분자동역학 기법에 의한 것이다. 제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서, 제1 시뮬레이션에 대응하는 계를 재정규화한 계에 대한 분자동역학 계산을 행하였다. 재정규화 인자 α는, 제2 시뮬레이션에서는 2로 하고, 제3 시뮬레이션에서는 22(=4)로 하였다. 계의 입자수는, 제1 시뮬레이션에서는 8192개이고, 제2 시뮬레이션에서는 1024개이며, 제3 시뮬레이션에서는 128개이다.
제1 시뮬레이션에 있어서의 원자간 포텐셜(즉, 원래의 계에 있어서의 입자간 포텐셜)로서, S-W(Stillinger-Weber) 포텐셜을 이용하였다. 이 포텐셜은,
Figure 112011046106946-pct00062
로 표현된다. 여기서,
Figure 112011046106946-pct00063
이고, 상호작용계수 ε는, 2.167[eV]이며, σ는 2.095[Å]이고, 상수 A, B, p, q, a, λ, 및 γ은, 각각, 7.05, 0.602, 4.0, 0.0, 1.8, 21.0, 및 1.2이다.
또한, 도 3a에 나타내는 바와 같이, 입자 i 및 입자 k의 결합과, 입자 i 및 입자 j의 결합이 이루는 각이 θijk이고, 입자 i로부터 입자 j까지의 입자간 거리가 rij이다. 제2 및 제3 시뮬레이션의 입자간 포텐셜에 있어서의 재정규화된 상호작용계수는, 상기 서술한 알루미늄에 대한 시뮬레이션과 마찬가지의 방법으로 구하여진다.
제1 시뮬레이션에 있어서의 실리콘 원자의 질량(즉, 원래의 계에 있어서의 입자의 질량)은, 4.67×10-26[kg]으로 하였다. 제2 및 제3 시뮬레이션에 있어서의 입자의 재정규화된 질량은, 상기 서술한 알루미늄에 대한 시뮬레이션과 마찬가지의 방법으로 구하여진다.
다음으로, 도 3b를 참조하여, 시뮬레이션 결과에 대하여 설명한다. 도 3b에 나타내는 그래프 중, 하단의 그래프가 제1 시뮬레이션(종래의 분자동역학 계산)의 결과를 나타내고, 중간단의 그래프가 제2 시뮬레이션(재정규화 인자 α를 2로 한 재정규화군(群) 분자동역학 계산)의 결과를 나타내며, 상단의 그래프가 제3 시뮬레이션(재정규화 인자 α를 4로 한 재정규화군(群) 분자동역학 계산)의 결과를 나타낸다.
먼저, 하단의 그래프를 참조하여, 제1 시뮬레이션의 결과에 대하여 설명한다. 유입에너지가 약 1.3×10-16[J]에서부터 약 4.6×10-16[J]에 이르기까지의 기간동안, 온도가 1750[K] 정도로 거의 일정하게 된다. 잠열은, 25.6[kJ/mol]로 구하여진다. 다만, 실험으로부터 구하여진 실리콘의 융점은 1687[K]이고, 잠열은 50.6[kJ/mol]이다. 시뮬레이션에서 얻어진 값과 실험치의 차이는, 원자간 포텐셜의 정밀도 등에 기인한다고 생각된다.
다음으로, 중간단 및 상단의 그래프를 참조하여, 제2 및 제3 시뮬레이션의 결과에 대하여 설명한다. 제2 및 제3 시뮬레이션의 결과도, 제1 시뮬레이션의 결과와 거의 마찬가지의 경향을 나타낸다. 이로써, 제2 및 제3 시뮬레이션에 근거하여, 제1 시뮬레이션에서 얻어진 값에 가까운 융점 및 잠열을 얻을 수 있다.
다음으로, 도 4를 참조하여, 분산관계를 재정규화군(群) 분자동역학으로 구한 시뮬레이션에 대하여 설명한다. 알루미늄의 [111]방향에 평행하게 진동을 가하고, [111]방향의 파수를 산출하였다. 원자간은 스프링으로 접속하였다. 스프링상수 s는, 40.3[N/m]로 하였다. 다만, 스프링상수 s는, 알루미늄의 원자간 포텐셜의 최소 근방을 2차함수로 근사시킴으로써 구하여진다. 알루미늄 원자의 질량 m은, 4.48×10-26[kg]으로 하였다. 원자간 거리 a는, 2.86×10-10[m]로 하였다. 분산관계의 엄밀해(해석적으로 구하여진 해, exact solution)는, 가진(加振)의 각주파수(oscillatable angular frequency)를 ω라 하고, [111]방향의 파수를 k라 하여,
Figure 112011046106946-pct00064
라는 식으로 주어진다. 다만, 이 엄밀해는, 수학식 26에 있어서 α=1로 하여 구할 수 있다. 그래프 중의 실선(L)이, 엄밀해를 나타낸다. 점 P1이, 종래의 분자동역학 계산(재정규화 인자 α=1인 경우에 대응)의 결과를 나타낸다. 점 P2~점 P5가, 각각, 재정규화 인자 α를, 27, 215, 221 및 228로 하였을 경우의 결과를 나타낸다. 재정규화 인자 α를 크게 하는 것은, 원래의 계(재정규화되기 전의 계)의 사이즈를 크게 하는 것에 대응한다. 재정규화 인자 α를 크게 함으로써, 작은 파수를 얻을 수 있다. 재정규화군(群) 분자동역학에서 얻어진 결과는, 엄밀해와 잘 일치하고 있다. 이와 같이, 재정규화군(群) 분자동역학을 이용하면, 종래의 분자동역학에서 실행하는 것이 곤란한 장파장 영역의 계산(연속체라고 간주할 수 있을만한 매크로한 계에 대한 계산)을, 정밀도 좋게 행할 수 있다.
입자계가 배치되어 있는 공간에, XYZ 직교좌표계를 고려한다. 상기 서술한 실시예에서는, 원래의 계의 위치벡터(q)로부터, 재정규화 인자 α를 이용하여, 재정규화된 위치벡터 q'이
Figure 112011046106946-pct00065
???(변환식 q)
로 구하여졌다. 이는, X, Y 및 Z의 모든 방향에 관한 공간적인 스케일 변환이, 공통의 재정규화 인자 α에 의하여 행하여지는 것을 나타낸다. 재정규화 인자 α를, X, Y 및 Z의 각 방향에 대하여 독립적으로 설정하는 것도 가능하다. 즉, 이방성을 가지는 스케일 변환을 행하는 것도 가능하다.
제2 재정규화 인자 γ가 0, 그리고 제3 재정규화 인자 δ가 2로 결정되었을 경우에 대하여, 이방성을 가지는 스케일 변환칙은, 이하에 나타내는 바와 같은 변환식으로 표현된다. X방향의 재정규화 인자를 αX라 하고, Y방향의 재정규화 인자를 αY라 하고, Z방향의 재정규화 인자를 αZ라 한다. 각 재정규화 인자(αX~αZ)는, 각각, 예컨대 2n(n은 양의 정수)이다.
입자계 S의 입자수 N과, 재정규화된 입자계 S'의 재정규화된 입자수 N'은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00066
???(변환식 Na)
에 의하여 대응된다. 입자계 S의 어떤 입자의 위치벡터 q의 각 성분과, 재정규화된 입자계 S'의 어떤 입자의 위치벡터 q'의 각 성분은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00067
???(변환식 qa)
에 의하여 대응된다. 여기서, η는, 벡터의 X, Y, Z의 어느 한 성분을 나타낸다(이하, (변환식 pa), (변환식 va), 및 (변환식 ma)에 있어서도 마찬가지임). 입자계 S의 어떤 입자의 운동량벡터 p의 각 성분과, 재정규화된 입자계 S'의 어떤 입자의 운동량벡터 p'의 각 성분은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00068
???(변환식 pa)
에 의하여 대응된다.
다만, γ=0, δ가 미결정인 경우는, δ를 결정하여, 이하의 식에 대입하여 대응을 행한다.
Figure 112011046106946-pct00069
입자계 S의 어떤 입자의 속도벡터 v의 각 성분과, 재정규화된 입자계 S'의 어떤 입자의 속도벡터 v'의 각 성분은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00070
???(변환식 va)
에 의하여 대응된다.
다만, γ=0, δ가 미결정인 경우는, δ를 결정하여, 이하의 식에 대입하여 대응을 행한다.
Figure 112011046106946-pct00071
방향마다 재정규화 인자가 설정되어 있으므로, 입자의 질량도 방향마다 스케일 변환된다. 입자계 S의 각 입자의 질량 m과, 재정규화된 입자계 S'의 각 입자의, X방향의 질량 m'X, Y방향의 질량 m'Y, 및 Z방향의 질량 m'Z는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00072
???(변환식 ma)
에 의하여 대응된다. 재정규화된 계에 있어서의 운동방정식(수학식 25)에서, 방향마다, 대응하는 질량이 이용된다.
다만, γ=0, δ가 미결정인 경우는, δ를 결정하여, 이하의 식에 대입하여 대응을 행한다.
Figure 112011046106946-pct00073
입자계 S에 있어서의 상호작용계수 ε와, 재정규화된 입자계 S'에 있어서의 상호작용계수 ε'는, 변환식
Figure 112011046106946-pct00074
???(변환식 εa)
에 의하여 대응되고, 입자계 S에 있어서의 시간스케일 t와, 재정규화된 입자계 S'에 있어서의 스케일 t'은, 변환식
Figure 112011046106946-pct00075
???(변환식 ta)
에 의하여 대응된다.
예컨대, 박막에 대한 시뮬레이션에 대하여 고려한다. 박막은, 막두께 방향의 치수에 비하여, 막표면에 평행한 방향의 치수가 크다. 이로 인하여, 막면에 평행한 방향에 대하여, 막두께 방향보다 재정규화 인자를 크게 하면 좋다. 예컨대, 막두께 방향을 Z방향으로 한다면, 막두께 방향의 재정규화 인자 αZ에 비하여, 막표면에 평행한 방향의 재정규화 인자 αX 및 αY를 크게 설정하면 좋다.
다만, 제2 재정규화 인자(γ)는, (변환식 m), (변환식 ε), 및 (변환식 t)에 αγ의 형태로 포함되어 있다. γ=0으로 설정하였을 경우, αγ은 단순히 “1”이 된다. 따라서, 가령 δ=2로 결정되었을 경우, 입자의 질량, 상호작용계수, 및 시간에 관하여, 제2 재정규화 인자(γ)를 이용하지 않고(γ라는 제2 재정규화 인자를 도입하지 않고),
Figure 112011046106946-pct00076
Figure 112011046106946-pct00077
Figure 112011046106946-pct00078
라는 식의 스케일 변환을 실시하였다고 하더라도, 제2 재정규화 인자(γ)를 0으로 설정한 것과 마찬가지의 스케일 변환이 행하여진다. 다만, γ=0, δ=2일 때, 속도벡터에 대해서는,
Figure 112011046106946-pct00079
라는 스케일 변환이 행하여진다.
다만, 재정규화 인자 α, αX, αY, 및 αZ가, 각각 1보다 크면, 재정규화된 계에 있어서의 입자수가 원래의 계의 입자수보다 적어진다.
다만, 필요에 따라서, 시뮬레이션 대상인 계의 어느 부분과 다른 부분에서, 재정규화 인자(예컨대 α)를 상이하게 하는 것도 가능하다.
다만, 상기 서술한 실시예에서는, 재정규화군(群) 분자동역학의 예로서, 융점, 잠열 및 분산관계를 구하였다. 재정규화군(群) 분자동역학은, 이들에 한정되지 않는 다양한 물리현상의 시뮬레이션에 이용할 수 있다. 재정규화군(群) 분자동역학은, 분자동역학을 이용하므로, 분자동역학에서 취급할 수 있는 다양한 문제에 적용 가능하다. 예컨대, 흐름, 구조, 열, 반응 등의 문제, 나아가서, 기구, 마모나 윤활의 문제 등을 취급할 수 있다. 재정규화군(群) 분자동역학은, 실제로 분자동역학 계산을 실행하는 계보다 입자수가 많은 계에 대한 물리량을 구하는 것을 가능하게 한다. 따라서, 본원 발명자가 도출한 재정규화군(群) 분자동역학을 이용하면, 종래 시뮬레이션이 곤란하였던 스케일의 문제에 대하여, 정밀도 좋은 시뮬레이션을 행하는 것이 가능하여진다. 다만, 재정규화군(群) 분자동역학에 있어서 실행되는 분자동역학 계산의 기법으로서는, 공지의 다양한 것을 이용할 수 있다.
다만, 본원 명세서의 “배경기술”란에 기재한 비특허문헌 1에서는, 재정규화의 기법을 분자동역학에 응용하는 시도가 이루어지고 있다. 그러나, 비특허문헌 1에서는, 해밀토니안의 상호작용 부분의 재정규화가 이루어져 있을 뿐이고, 운동에너지 부분의 재정규화는 이루어져 있지 않다. 비특허문헌 1에서는, 운동량(또는 속도)에 대하여, 재정규화가 아니라, 단순평균을 취하고 있다. 이로 인하여, 정적인 해석에 머물고 있어, 온도를 명확하게 고려하지 못하고, 강제적으로 에너지의 산일(散逸; energy dissipation)을 일으키게 하기 위한 인위적인 기법(비특허문헌 1의 “3. 수치계산법”란에 기재된 식 (23), (24), (25))이 필요하게 되어 있다. 그로 인하여, 유한(有限)온도의 계산이나 진동?소음, 상(相)전이가 수반되는 동적인 문제에 적용할 때, 신뢰성이 결여되는 등의 과제가 있었다. 비특허문헌 1이 개시하는 스케일 변환칙은, 본원발명의 γ=0, δ=3의 경우에 상당한다.
본원 발명자의 스케일 변환칙의 도출과정에 있어서는, 해밀토니안의 운동에너지 부분의 재정규화도 이루어지고 있다. 이로써, 운동량벡터(또는 속도벡터)의 적정한 스케일 변환칙이 도출된다. 따라서, 시뮬레이션에 있어서, 온도를 명확하게 고려하는 것이 가능하여진다.
이상 실시예를 따라서 본 발명을 설명하였지만, 본 발명은 이들에 제한되는 것은 아니다. 예컨대, 다양한 변경, 개량, 조합 등이 가능한 것은 당업자에게 자명할 것이다.
α 제1 재정규화 인자
N 입자수
N' 재정규화된 입자수

Claims (11)

  1. (a) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무(無)차원화 함수 f 및 상호작용계수 ε의 곱 εf으로 나타낼 수 있는 입자계 S를 고려하였을 때, 상기 입자계 S가 배치되어 있는 공간의 차원수 d를 이용하여, 1보다 큰 제1 재정규화 인자 α와, 0 이상 d 이하인 제2 재정규화 인자 γ와, 0 이상인 제3 재정규화 인자 δ를 결정하여, 재정규화된 입자수 N'을, 변환식 N'=N/αd에 의하여 구하고, 재정규화된 입자의 질량 m'을, 변환식 m'=mαδ/αγ에 의하여 구하며, 재정규화된 상호작용계수 ε'을, 변환식 ε'=εαγ에 의하여 구하는 공정과,
    (b) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량 m'을 가지며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수 f와, 재정규화된 상호작용계수 ε'의 곱 ε'f로 표현되는 입자계 S'에 대하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정
    을 가지는 시뮬레이션 방법.
  2. 청구항 1에 있어서,
    (c) 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 위치벡터를 q'으로 나타내고, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 운동량벡터를 p'으로 나타내며, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 속도벡터를 v'으로 나타내고, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산에 있어서의 어떤 시간간격을 t'으로 나타낼 때, 상기 공정(a)에서 결정된, 상기 제1 재정규화 인자 α, 제2 재정규화 인자 γ, 및 제3 재정규화 인자 δ 중 적어도 하나를 이용하여, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 위치벡터 q를, 변환식 q=q'α에 의하여 구하는 계산, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 운동량벡터 p를, 변환식 p=p'/αδ/2에 의하여 구하는 계산, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 속도벡터 v를, 변환식 v=v'α(-γ+δ/2)에 의하여 구하는 계산, 및, 상기 입자계 S에 대하여 실행한다고 가정한 분자동역학 계산에 있어서의 어떤 시간간격 t를, 변환식 t=t'α(1+γ-δ/2)에 의하여 구하는 계산 중, 적어도 하나의 계산을 실행하는 공정
    을 더욱 가지는 시뮬레이션 방법.
  3. 청구항 1 또는 청구항 2에 있어서,
    상기 제2 재정규화 인자 γ가 0인 시뮬레이션 방법.
  4. 청구항 1 또는 청구항 2에 있어서,
    상기 제1 재정규화 인자가, n을 양의 정수로 하여, 2n인 시뮬레이션 방법.
  5. 청구항 1 또는 청구항 2에 있어서,
    상기 차원수 d가 3인 시뮬레이션 방법.
  6. (a) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무(無)차원화 함수 f 및 상호작용계수 ε의 곱 εf로 나타낼 수 있는 입자계 S를 고려하였을 때, 상기 입자계 S가 배치되어 있는 공간의 차원수 d를 이용하여, 1보다 큰 제1 재정규화 인자 α와, 0 이상인 제3 재정규화 인자 δ를 결정하여, 재정규화된 입자수 N'을, 변환식 N'=N/αd에 의하여 구하고, 재정규화된 입자의 질량 m'을, 변환식 m'=mαδ에 의하여 구하는 공정과,
    (b) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량 m'을 가지며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수 f와, 상기 상호작용계수 ε의 곱 εf로 나타나는 입자계 S'에 대하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정
    을 가지는 시뮬레이션 방법.
  7. 청구항 6에 있어서,
    (c) 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 위치벡터를 q'으로 나타내고, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 운동량벡터를 p'으로 나타내며, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(b)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 속도벡터를 v'으로 나타낼 때, 상기 공정(a)에서 결정된 상기 제1 재정규화 인자 α와 상기 제3 재정규화 인자 δ 중 적어도 일방을 이용하여, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 위치벡터 q를, 변환식 q=q'α에 의하여 구하는 계산, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 운동량벡터 p를, 변환식 p=p'/αδ/2에 의하여 구하는 계산, 및 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 속도벡터 v를, 변환식 v=v'αδ/2에 의하여 구하는 계산 중, 적어도 하나의 계산을 실행하는 공정
    을 더욱 가지는 시뮬레이션 방법.
  8. (d) N개의 입자를 포함하고, 각 입자의 질량이 m이며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지를, 입자간 거리에 대한 의존성을 나타내는 무(無)차원화 함수 f 및 상호작용계수 ε의 곱 εf로 나타낼 수 있는 입자계 S와, 상기 입자계 S가 배치되어 있는 공간에 XYZ 직교좌표계를 고려하였을 때, 각각이 1보다 큰 X방향의 재정규화 인자 αX, Y방향의 재정규화 인자 αY, 및 Z방향의 재정규화 인자 αZ를 이용하여, 재정규화된 입자수 N'을, 변환식 N'=N/(αXαYαZ)에 의하여 구하고, 또한 0 이상인 재정규화 인자 δ를 결정하여, X방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mX'을, 변환식 mX'=mαX δ에 의하여 구하고, Y방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mY'을, 변환식 mY'=mαY δ에 의하여 구하고, Z방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mZ'을, 변환식 mZ'=mαZ δ에 의하여 구하는 공정과,
    (e) 재정규화된 입자수 N'개의 입자를 포함하고, 각 입자가, 재정규화된 입자의 질량 m'을 가지며, 입자간의 상호작용 포텐셜에너지가, 상기 무차원화 함수 f와, 상기 상호작용계수 ε의 곱 εf로 나타나는 입자계 S'에 대하여, X방향의 운동방정식에는 X방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mX'을 이용하고, Y방향의 운동방정식에는 Y방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mY'을 이용하고, Z방향의 운동방정식에는 Z방향에 관한 재정규화된 입자의 질량 mZ'을 이용하여, 분자동역학 계산을 실행하는 공정
    을 가지는 시뮬레이션 방법.
  9. 청구항 8에 있어서,
    (f) 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(e)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 위치벡터를 q'으로 나타내고, 상기 위치벡터 q'의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분을, qX', qY', 및 qZ'으로 나타내며, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(e)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 운동량벡터를 p'으로 나타내고, 상기 운동량벡터 p'의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분을, pX', pY', 및 pZ'으로 나타내며, 상기 입자계 S'에 포함되는 어떤 입자의, 상기 공정(e)에 있어서의 분자동역학 계산으로 구하여진 속도벡터를 v'으로 나타내고, 상기 속도벡터 v'의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분을, vX' ,vY', 및 vZ'으로 나타낼 때, 상기 X방향의 재정규화 인자 αX, Y방향의 재정규화 인자 αY, Z방향의 재정규화 인자 αZ, 및 상기 공정(d)에서 결정된 재정규화 인자 δ를 이용하여, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 위치벡터 q의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분 qX, qY, 및 qZ를, 각각, 변환식 qX=qX'αX, qY=qY'αY, 및 qZ=qZ'αZ에 의하여 구하는 계산, 상기 입자계 S에 포함되는 어떤 입자의 운동량벡터 p의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분 pX, pY, 및 pZ를, 각각, 변환식 pX=pX'/αX δ/2, pY=pY'/αY δ/2, 및 pZ=pZ'/αZ δ/2에 의하여 구하는 계산, 및, 상기 입자계(S)에 포함되는 어떤 입자의 속도벡터 v의 X, Y 및 Z방향 각각의 성분 vX, vY, 및 vZ를, 각각, 변환식 vX=vX'αX δ/2, vY=vY'αY δ/2, 및 vZ=vZ'αZ δ/2에 의하여 구하는 계산 중, 적어도 하나의 계산을 실행하는 공정을 더욱 가지는 시뮬레이션 방법.
  10. 청구항 8 또는 청구항 9에 있어서,
    상기 X방향의 재정규화 인자 αX, Y방향의 재정규화 인자 αY, 및 Z방향의 재정규화 인자 αZ 중, 적어도 2개가 서로 상이한 시뮬레이션 방법.
  11. 삭제
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