KR101194238B1

KR101194238B1 - 모달 파라미터 추정을 위한 방법들 및 장치

Info

Publication number: KR101194238B1
Application number: KR1020087030495A
Authority: KR
Inventors: 하버드 아이. 볼드
Original assignee: 에이티에이 엔지니어링, 인크.
Priority date: 2006-06-27
Filing date: 2006-06-27
Publication date: 2012-10-29
Also published as: WO2008002310A1; KR20090031510A; US20090204355A1; JP2009543050A; EP2032950A1; JP4994448B2

Abstract

본 발명의 일 실시예에 따라서, 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 시스템(100)은 입력 데이터의 자기스펙트럼 행렬의 서브세트(subset)만을 계산한 다음에 행렬 디노미네이터 다항식을 추출하기 위해 수반행렬 해에 관해 풀이를 함으로써 모달 파라미터들을 추정하도록 구성된 분석 모듈(140)을 포함한다. 본 발명의 다른 양태에 따라서, 직교 다항식들은 모달 파라미터들이 추출되는 행렬 다항식을 추정하기 위해 도구 변수들에 대해 사용된다.

모달 파라미터, 자기스펙트럼 행렬, 분석 모듈

Description

모달 파라미터 추정을 위한 방법들 및 장치{METHODS AND APPARATUS FOR MODAL PARAMETER ESTIMATION}

본 발명은 일반적으로 구조 역학 분석에 관한 것으로, 특히 구조의 모달 파라미터들(modal parameters)을 추출하기 위한 시스템들 및 방법들에 관한 것이다.

구조 역학 분석의 분야에 있어서, 주어진 테스트 구조의 구조 공명들(structural resonances), 또는 모달 파라미터들의 세트(set)를 결정할 필요가 종종 있다. 이론적으로, 전형적인 테스트 구조는 식별될 필요가 있는 공명들의 유한 세트가 존재하는 관심 주파수 범위내에서, 무한의 이산 공명들을 가질 것이다. 모달 파라미터의 추정은 전형적으로 응답 신호들, 예를 들면, 몇몇이 여기 위치들(excitation locations)에 대응할 수도 있는 다수의 측정 위치들에서 변위(displacement), 힘 및/또는 가속도를 수신하는 동안 테스트 구조의 다양한 위치들에 여기 신호들을 인가함으로써 수행된다. 그 다음, 결과 데이터가 모달 파라미터들의 원하는 세트를 추출하기 위해 분석된다.

모달 파라미터들을 추정하기 위한 방법들은 전형적으로 광대역 방법들과 정현적 방법들("정상 모드(normal mode)" 방법들)의 카테고리들로 나누어진다. 광대역 방법들(예를 들면, 다항참조 복소 지수 알고리즘(the polyreference complex exponential algorithm))은 여기가 작은 수의 주파수들에 분배되고 제한되지 않은 데이터를 분석한다. 대조적으로, 정현적 방법들은 하나 이상의 액추에이터들(actuators)를 갖는 고정 주파수들에서 정현적 여기에 의해 획득된 데이터를 분석한다.

모달 파라미터를 추정하기 위한 현재의 기술들은 여러 측면에서 만족스럽지 못하다. 예를 들면, 여기 신호들 및 응답 신호들의 수의 증가 때문에, 현재 방법들의 계산 복잡도가 매우 증가한다. 이것은 효율성의 부족을 초래하고 프로세서(processor) 및 메모리 요구들의 증가를 수반한다. 게다가, 현재 알려진 방법들은 많은 연산자 개입을 요구한다. 또한, 현재의 방법들은 주파수 위신호 문제들(frequency aliasing problems)이 있다.

따라서, 테스트 구조의 모달 파라미터들을 추정하기 위한 보다 효율적인 방법들을 제공하는 것이 바람직하다. 본 발명의 다른 바람직한 특징들과 특성들은 첨부 도면들과 본 발명의 배경과 관련하여 뒤이은 본 발명의 상세한 설명과 첨부된 청구항들로부터 분명해질 것이다.

본 발명의 일 실시예에 따라서, 구조의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 시스템은 입력 데이터의 자기스펙트럼 행렬(autospectral matrix)의 서브세트(subset)만을 계산한 다음에 행렬 디노미네이터 다항식(matrix denominator polynomial)을 추출하기 위해 수반행렬 해(adjoint solution)에 관해 풀이를 함으로써 모달 파라미터들을 추정하도록 구성된 분석 모듈을 포함한다. 본 발명의 또 다른 양태에 따라서, 직교 다항식들의 세트는 모달 파라미터들이 추출되는 행렬 다항식을 추정하기 위해 도구 변수들(instrumental variables)에 대해 사용된다. 본 발명은 다음 도면들과 관련하여 이하에 기술될 것이고, 동일 번호들은 동일 요소들을 표시한다.

도 1은 본 발명이 이용될 수 있는 일 예시적인 테스트 시스템의 개념도.

도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 방법을 도시하는 흐름도.

도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 글로벌 모달 파라미터들을 추출하는 방법을 도시하는 흐름도.

본 발명의 다음의 상세한 설명은 단지 예시적이며 본 발명을 제한하거나 본 발명의 애플리케이션(application) 및 사용들을 제한하도록 의도되지 않는다. 더욱이, 본 명세서의 어느 부분에서 제시된 임의의 이론에 의해 제한될 의도가 없다. 간결성을 위해, 데이터 전송, 시그널링(signaling), 네트워크 제어, 촉매 공정들, 및 공정 제어에 관련된 종래의 기술들은 본 명세서에 상세히 기술되지 않을 수도 있다.

본 명세서에 개시된 실시예들과 관련하여 기술된 다양한 예시적인 블록들, 모듈들, 회로들, 및 프로세싱 로직(processing logic)은 하드웨어, 컴퓨터 소프트웨어, 펌웨어, 또는 이들의 어떠한 실용적인 조합으로 구현될 수도 있다. 분명한 예시를 위하여 하드웨어, 펌웨어, 및 소프트웨어, 다양한 예시적인 구성요소들, 블 럭들, 모듈들, 회로들, 및 단계들의 이러한 상호교환성(interchangeability) 및 호환성(compatibility)이 그들의 기능성의 견지에서 일반적으로 기술되었다. 이러한 기능성은 전체적인 시스템에 부과된 특별한 애플리케이션 및 설계 제약들에 따라 하드웨어, 펌웨어, 또는 소프트웨어로서 구현된다. 본 명세서에 기술된 개념들과 유사한 그것들은 각각의 특별한 애플리케이션에 대해 적절한 방법으로 이러한 기능성을 구현할 수도 있지만, 이러한 구현 결정들은 본 발명의 범위를 벗어나게 하는 것으로서 해석되지 않을 것이다.

본 명세서에 포함된 다양한 도면들에 도시된 연결선들은 다양한 소자들(elements)간의 기능적 관계들 및/또는 물리적 결합들의 예를 표시하도록 의도된다. 많은 대안적이거나 추가적인 기능적 관계들 또는 물리적 연결들이 실용적인 실시예에서 존재할 수도 있다는 것을 주목해야 할 것이다.

본 발명은 테스트 구조와 연관된 기록된 응답 및 여기 데이터로부터 모달 파라미터 정보의 여기에 관련된, ("모달 파라미터 추출(modal parameter extraction)" 또는 단순히 "커브 피팅(curve fitting)"으로서 대안적으로 언급되는)모달 파라미터 추정에 관한 것이다. 예를 들면, 모달 파라미터 추정은 어떤 경계 조건들 및 여기들하에서 연속 탄성체로부터 획득된 테스트 데이터로부터 고유벡터들(eigenvectors), 공명 주파수들, 감쇄(damping), 및 모달 질량과 같은 양들로 부분 구조 역학 모델을 추출하기를 원할 때 사용된다.

도 1을 참조하면, 테스트 시스템(100)은 일반적으로 데이터 획득 시스템(120), 저장 서브시스템(또는 간단히 "저장매체(storage)")(130), 분석 모 듈(140), 및 디스플레이(150)를 포함한다. 다수의 여기 소스들(excitation sources)(104)은 테스트("테스트 구조(test structure)" 또는 "구조(structure)")(102)하에서 구조상의 다양한 포인트들("위치들(locations)")(110)에 인가된다. 테스트 구조(102)는 정상적으로 전술한 경계 조건들에 의해 고정되며, 이 조건은 완전히 자유로울 수 있고 기준 접지 구조에 볼트로 체결 및/또는 용접될 수 있다. 테스트 구조의 경계 조건들 및 진동 속성들은 일반적으로 ("안정성(stationarity)"으로 언급된)테스트 동안 변하지 않을 것이다. 여기 소스들(104)에 관해서 사용된 "여기"는 테스트 구조(102)를 진동시키고 여기시키기 위해 테스트 구조(102)에 인가된 시간-변동 힘들(time-varying forces)을 언급한다. 예를 들면, 여기 소스들(104)은 다양한 "셰이커들(shakers)", 충격 망치들 등을 포함할 것이다.

(집합적으로 "트랜스듀서들(transducers)"로 언급되는)다수의 센서들 및/또는 트랜스듀서들(112)는 대응하는 테스트 포인트들에서 구조(102)의 물리적인 특성에 관한 측정치들을 발생한다. 가급적이면 측정치들은 힘 애플리케이션의 포인트들 및 가속도, 속도, 및/또는 변위 응답들이 요구되는 위치들에서 만들어진다. 트랜스듀서들(112)는 각각의 신호들(113)를 발생하고 이 신호는 데이터 획득 시스템(120)에 의해 수집되고 처리된다. 트랜스듀서들로부터 수신된 신호들은 아날로그 회로를 통해 시스템(120)에 의해 처리되고 미리 규정된 샘플링 속도로 디지털 정보로 변환된다.

획득된 데이터(122)는 (예를 들면, 디스크 저장매체, 비-휘발성 메모리 등과 같은) 적절한 저장 요소(130)로 전송되고 저장된 다음에, 시간 이력 데이터(time history data)(132)의 형태로 이하 보다 상세히 동작이 기술될 분석 모듈(140)로 보내진다. 그 다음, 분석 모듈(140)에 의해 결정된 모달 파라미터들(142)은 다양한 형태들로 사용자에게 제시될 수도 있다. 예를 들면, 일 실시예에서, 모달 파라미터들(142)은 그래픽적으로 디스플레이(예를 들면, 종래의 컴퓨터 모니터)상에 양적 및/또는 질적으로 표시(display)된다.

일반적으로, 그 다음, 모달 테스트가 여기 소스들(104) 및 트랜스듀서들(112)를 통해 구조(102)상에서 수행되고, 테스트의 결과들은 모달 파라미터들(142)을 추정하기 위해 분석 모듈(140)에 의해 사용된다. 따라서, 모달 테스트의 목적은 구조적 공명들의 타겟 세트를 기술하는 파라미터들의 세트를 추정하기 위함이다.

높은 레벨에서, 도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 모달 추정 방법을 도시한 흐름도이다. 도시된 바와 같이, 프로세스는 셋업(setup) 단계(202)와 더불어 시작되고, 테스트 구조(102)는 적절한 여기 소스들(104) 및 트랜스듀서들(112)과 인터페이싱(interfacing)하도록 접속, 결합, 또는 다르게 구성된다. 구조(102)에 대한 적절한 경계 조건들이 또한 적용된다. 당업자는 테스트 구조들이가 전형적으로 테스트를 위해 셋업되는 방식을 이해할 것이다.

이어, 단계(204)에서 적절한 테스트 절차를 사용하여(예를 들면, 도 1의 데이터 획득 시스템(120) 및 저장매체(130)를 통해) 데이터가 획득되고 저장된다. 이러한 절차의 지속기간(duration)과 특성들은 일반적으로 종래 기술에 알려진 바와 같이, 테스트 구조(102)의 성질에 따라서 변할 것이다.

이어, 단계(208 및 210)에서, 시스템(예를 들면, 도 1의 분석 모듈(140))은 글로벌 모달 파라미터를 추출하고, 나머지들을 계산한다. 이와 관련하여, 식별될 필요가 있는 유한 공명들의 수가 존재하는 한정 주파수 범위내에서 임의의 연속적인 테스트 구조(102)가 공명들의 가산 무한대를 갖는다. 용어 "모달 파라미터들(modal parameters)"는 일반적으로 모든 보조 파라미터들을 갖는 공지(또는 "모드(mode)")를 기술하기 위해 일반적으로 사용되고, 이들 파라미터들은 일반적으로 글로벌 파라미터들, 힘 파라미터들, 및 로컬 파라미터들을 포함한다.

글로벌 파라미터들은는 구조(102)에 글로벌하고, 즉, 그들은 전체로서 구조(102)에 인가된다. 이러한 파라미터들은 모드들, 극들(poles), 또는 루트들(roots)로 불릴 수도 있지만, 각각은 주파수 및 감쇄에 관련된 정보를 포함한다. 주파수에 대하여, 각각의 공명은 공명 주기로 불리우는 풀 사이클을 완성하기 위해 주어진 시간을 갖는다. 공명의 역(inverse)은 주파수로 불리우고, 통상적으로 헤르츠(Hertz)(초당 사이클들)로 표현된다. 감쇄에 대하여, 외적인 여기 없이, 테스트 구조내 에너지는 헤르츠, 또는 임계 감쇄의 퍼센티지(percentage)로 표현될 수도 있는, 감쇄율로서 언급되는 속도로 공명에 의해 소산될 것이다(dissipated). 글로벌 파라미터들과 대조적으로, 힘 파라미터들은 모달 참여 인자(modal participation factor; MPF)에 관련되고, 이 인자는 힘 측정 위치들에서만 좌측 고유벡터(left eigenvector)이다. 힘 파라미터들은 이하에 보다 충분히 논의된다.

로컬 파라미터들은 테스트 구조의 각각의 측정된 위치에서 각각의 모드의 특 성들에 관련되고, 모드 형상(mode shape)(또는 "나머지(residue)")를 포함한다. 모드 형상은 3 병진운동들과 3 회전운동들을 포함하는 벡터에 관하여) 각각의 측정된 응답 위치에서 각각의 글로벌 모드에서 가속도 응답에 의해 특징지워지는(characterized) 주어진 힘 측정에 대한 물리적인 응답이다.

(분석 모듈(140)에 의해 수신된 시간 이력 데이터(132)와 같은) "시간 이력(time history)"은 시간의 스칼라 함수이고 가속도, 속도, 변위 등과 같은 시간과 더불어 변하는 물리적인 양을 기술한다. 한편, "벡터 시간 이력(vector time history)"은 전형적으로 개별적인 스칼라 시간 이력들이 포함된, 시간의 벡터-값(vector-valued) 함수이다. "연속적인 시간 이력(continuous time history)"은 값들이 시간의 연속적인 세그먼트에, 유한 또는 무한으로 알려진 시간 이력이다. "이산 시간 이력(discrete time history)"은 시간 포인트들의 유한 또는 가산 무한 세트를 포함하는 시간의 이산 예들로서 알려진 값이다.

"경계 스펙트럼(bounded spectrum)"은 시간 이력이 무한 주파수 범위의 유한 세그먼트내에서 에너지만을 갖는다는 것을 의미한다. "자유 붕괴(free decay)"는 인가된 외부적인 여기가 없는, 즉, 입력 충격 후 발생하는 유닛 응답의 세그먼트가 종료된 동안 구조의 응답을 기술하는 시간 이력이다.

해당 기술에 알려진 바와 같이, 샤논 샘플링 정리(Shannon's Sampling Theorem)에 따르면, 경계 스펙트럼을 갖는 연속적인 시간 이력은 샘플링 속도가 경계 스펙트럼의 가장 높은 주파수보다 2배 이상 높을 때 정보의 손실없이 이산 샘플 시간 이력에 의해 표현될 수 있다. 이것은 샘플링 속도가 이러한 기준을 충족하면 경계 스펙트럼을 갖는 연속적인 시간 이력이 이산 카운터파트(counterpart)로부터 임의의 원하는 정확도로 구성될 수 있다.

도 2에 도시된 바와 같이, 시스템은 저장된 데이터의 주파수 응답 함수를 선택적으로 결정할 수도 있다(단계 206). 해당 기술분야에 잘 알려진 바와 같이, 주파수 응답 함수(FRF)는 또 다른 위치에서 단위 힘 입력에 주어진 위치에서 구조적인 응답을 제공하는 주파수의 함수이다. 단위 입력 응답은 또 다른 위치에서 단위 충격 힘 입력에 주어진 위치에서 구조적인 응답에 대응하는 시간 이력이다. 대안적으로, 이것은 FRF의 역 푸리에 변환(inverse Fourier transformation)으로서 언급된다.

나머지 계산(단계 210)은 다양한 알려진 절차를 통해 수행될 수 있고, 극들의 지식은 결과적인 알려지지 않은 모드 형상들이 선형으로 발생하도록 한다.

도 3을 참조하면, 글로벌 모달 파라미터를 추출하는 단계(단계 208)는 다수의 순차 연산들으로 나누어질 수 있다. 첫번째, 단계 302에서, 주어진 모델 차수의 극들이 결정된다. 즉, 힘 입력 시간 이력들 및 응답 출력 시간 이력들은 원하는 주파수 범위내에서 모드들의 주파수 및 감쇄를 규정하는 복소 극들(complex poles)을 제공하는 고유해를 갖는 행렬 다항식을 제공하기 위해 처리된다.

이어, 단계 302에서, 적절한 안정성 다이어그램들이 규정된다. 이 단계는 그들의 값들을 결정하기 위해 사용된 절차들에 독립적인 물리적인 양들을 찾는 단계를 포함한다. 상이한 모델에 의해 값들을 계산하면, 실제 기초적인 파라미터들이 하나의 모델 차수에서 다음 차수로 안정을 유지하도록 하는 경향이 있을 반면에, 순수 계산적인 인위결과들이 변덕스럽게 행동할 것이다. 따라서, 추정된 값들의 영구성 및 연속성은 어느 값들이 실제인지를 결정하기 위한 기준으로서 사용될 수 있다.

결국, 단계 306에서, 물리적인 모드들이 선택된다. 즉, 후보 모달 파라미터들(candidate modal parameters)과 안정성 다이어그램들의 테이블들의 도움을 받는 자동화 절차 및/또는 수동 선택을 통해서, 모달 분석의 목적을 위한 물리적인 의미와 중요성 모두가 간주되는 극이 선택된다.

따라서 본 발명에 따른 시스템의 개관이 주어졌기 때문에, 방법의 수학적인 토대들의 보다 상세한 설명이 기술될 것이다. 본 발명의 일 양태에 따라서, 시스템 자기스펙트럼 행렬 다항식의 서브세트가 계산되고, 수반행렬 시스템은 높은 모달 밀도 및 반복된 극들을 해결하기 위해 디노미네이터 행렬 다항식을 추출하는데 사용된다. 본 발명의 또 다른 양태에서, 직교 다항식들은 행렬 다항식을 추정하기 위해 도구 변수들을 위해 사용된다.

제한하지는 않지만, 이어지는 설명은 구조 및 구조의 경계 조건들이 속성들에 관하여 시불변 및 선형으로서 간주될 수도 있는 상황들에 제한된다. 이러한 가정들하에서, 선형, 시 불변 점착성-감쇄 연속 구조들(time invariant viscously-damped continuum structures)은 공명 주파수들의 무한 및 이산 세트를 가지며, 따라서 임의의 경계 주파수 범위는 유한한 수의 공명 주파수들을 포함한다. 따라서, 모달 파라미터 여기 방법의 태스크는 테스트 구조(102)의 연속체내 유한한 수의 포인트들에서 획득된 데이터(즉, 시간 이력 데이터 (132))로부터 경계 주파수 범위내 공명의 수학적 모델을 제공하기 위한 것이다.

본 설명의 목적을 위해, 그리고 보편성을 잃지 않고, 다양한 힘들, 가속도들 등의 시간 이력들이 아날로그 수단에 의해 여과되었으며, 따라서 측정된 시간 이력들의 출력 스펙트럼이 경계를 이루고, 수치화동안 샘플링 속도가 샘플링 정리에 의해 주어진 나이퀴스트 주파수(Nyquist frequency) 보다 높아 샘플링된 디지털 데이터에 위신호가 존재하지 않는 것으로 가정된다.

위신호의 부재는 샘플링된 데이터가 임의의 원하는 정확성을 위해 연속적인 경계 스펙트럼 아날로그 시간 이력들을 재생성하기에 충분하다는 것을 의미한다. 측정된 응답(113)과 마찬가지로 (여기 소스들(104)를 통해) 구조에 인가된 여기가 주변 노이즈 플로어 아래의 레벨에서 시작되고, 여기 및 응답이 또한 측정 시간 간격의 끝단에서 노이즈 플로어 아래로 떨어진다고 가정한다. 몰리파이어 함수(mollifier)(예를 들면, 하닝 윈도우(Hanning window))는 이러한 조건을 근사화시키거나 강화시키기 위해 인가될 수도 있다. 나이퀴스트 주파수보다 높은 샘플 속도를 갖는 시간에 더하여 스펙트럼내 경계는 유한 디지털 데이터 세트가 연속적인 시간 데이터를 재구성하기 위해 충분한 정보를 유지하고 유한 이산 푸리에 변환이 무한 연속 시간 푸리에 변환을 계산하는데 사용될 수도 있도록 보장한다.

본 설명의 목적을 위해, 관심 주파수 범위의 중심이 제로 주파수까지 ("주파수 주밍(frequency zooming)" 또는 "헤테로다이닝(heterodyning)"으로 또한 언급되는)주파수-시프트 다운되고(frequency-shifted down) 결과적인 벡터 시간 이력이 복잡하고 분석적이도록 저역-통과 여과된다고(low-pass filtered) 더 가정된다. 본 명세서에 사용된 용어 "분석적(analytic)"은 신호 처리 문맥에서 사용된 것과 일치한다. - 즉, 인과성(causality)과 최소 위상 고려들과 관련된다.

본 발명에 따른 수학적 공식이 이제 설명될 것이다. 보편성을 잃지 않고, 간결하게 하기 위해, 힘들과 가속도들만이 측정된 것으로 가정한다. 그러나, 임의의 다른 측정치들이 임의의 수의 트랜스듀서들 및 센서들을 통해 측정될 수도 있다는 것이 이해될 것이다.

선형 탄성 연속 구조가 힘 입력 기준 자유들의 유한 세트 및 가속도 응답 자유들의 유한 세트로 아래로 투사될 때, 대응하는 라플라스 도메인 전달 함수(Laplace domain transfer function) H₀₀(S)는:

와 같은 분해방정식 항로 쓰여질 수 있다.

여기서, Λ_∞는 고유값들의 무한 대각 행렬이고 V₀₀는 응답 자유들에서 좌측 고유벡터들의 무한 행렬이고, V_∞f 는 기준 자유들에서 우측 고유벡터들의 무한 행렬이다. 주파수 범위는 관심의 포지티브(positive) 경계 주파수 간격 중심으로 시프트된(shifted) 것으로 가정한다. 그 다음, 연속적인 스펙트럼은 3개의 집단들(families)로 분할된다: 모든 분석 주파수들 보다 작은 주파수들을 위한 스펙트럼, 모든 분석 주파수들 보다 높은 주파수들을 위한 스펙트럼, 및 분석 간격내의 주파수들을 위한 스펙트럼.

따라서, 전달 함수는 3개의 부분들로 분할되고, 분석 간격에 속하는 H(s) 용 어는 유한한 수의 용어들로 구성되었다는 것을 알 수 있다:

분석 대역에 걸쳐서 시간 이력들을 여과시키는 대역통과는 대역 외부의 모든 출력을 제거시키지만, 시스템은 계속해서 H₀₀(S) 전달 함수를 측정하고, 이 함수는 연속체의 무한 이산 스펙트럼으로부터의 기여들을 포함한다. 비록 이들 기여들이 작다 하더라도, 이들은 분석 간격내 공명 주파수들로부터 중요한 정보, 특히 감쇄 정보를 종종 가린다(obscure).

분석 범위는 연속체의 유한 스펙트럼을 포함하고, 이 범위 바깥의 스펙트럼의 효과를 무시함으로써:

되도록 임시 미분 연산자 d/dt 내 복소 행렬 다항식A(·) 이 존재하도록 할 것이고,

여기서 Y(t)는 힘과 가속도 시간 이력들의 완전 벡터이고, ε(t) 는 측정되지 않는 여기 소스들을 포함하는, 임시의 순수하게 비결정적인 에러 프로세스에 제한된다. 분석적인 신호 Y(t)의 대역이 제한되기 때문에, 원하는 만큼 미분될 수 있다. 무한 연속 푸리에 변환을 인가함으로써, 위의 식(4)은:

가 된다.

데이터가 경계 스펙트럼을 갖기 때문에, 함수 c+(.)는 분석 간격내에서 값 1을 취하고 그 밖에는 0을 취할 수 있도록 규정될 수 있다. 이것은 식(5)이 (c+(ω)A(ω))Y(ω) = ε(ω), 또는 A│(ω)로서 c+(ω)A(ω)를 표시함으로써:

이 되고,

여기서 A│(ω)가 지지체를 경계지웠기 때문에, 이것은 실제 변수에 있어서 무한히 미분가능한 행렬 함수로 가역가능한 푸리에이다(Fourier-invertible). 따라서, 식(4)은:

와 같은 콘볼루션 형태(convolution form)로 쓰여질 수도 있고,

여기서, 데이터가 경계 스펙트럼을 갖기 때문에, 미분 연산자 다항식이 그린 함수(Green's function)의 역으로 변형되었다는 것을 알 수 있다.

행렬 다항식을 위한 대안적인 베이스들이 존재한다는 것이 이해될 것이다. 즉, 출력 다항식들을 갖는 수치적인 계산은 다항식 차수가 5 또는 6을 초과할 때, 심지어 다수의 정도 계산에 의해 수치적인 정확성의 관점에 곤란이 있을 수 있다. 직교 다항식들은 근사값 및 곡선 피팅을 위해 도입되었고 사용될 수 있는 최고 다항식 차수를 증가시킬 수 있다. 그러나, 이러한 설계들은 여전히 모달 파라미터 추정 작업에서 한자리 차수들(single-digit orders)로 제한된다. 직교 다항식들을 이 용하는 좋지않은 조건에서 주요 문제점은 다항식들의 0에 대해 풀기 위해 출력 다항식 계수들을 다시 전달하는 과정이 놓여있다는 것을 알 수 있다. 이러한 문제에 대한 해결책은 직교 다항식 좌표 시스템내 근을 찾기 위한 수단을 고안하는 것이고, 본 발명자는 고차 다항식 차수의 수치적인 제한들을 완전히 제거하는 일반화된 다항식 수반 행렬의 도입을 통해 개척하였다.

p_r(z)가 차수 r의 다항식이도록, 정수 r≥0에 대해 다항식들 p_r(z), zεC의 세트들을 고려하고:

가 되도록 계수들이 존재한다.

이것은 가능한 무한 대각 행렬 D와 대응하는 보다 낮은 삼각 행렬이 존재하는 것을 따른다.

식(9)은 분석 주파수 대역내의 공명들을 해결하기 위해 일반화된 수반 행렬을 구성하기 위해 사용된다. 이러한 설명에서, 직교 다항식들이 몇몇 특정되지 않은 내부 곱과 관련하여 사용되고, 이 곱은 통상적으로 관심 주파수 축을 따라 여러 배열 설계를 통해 규정될 것이다. 포르시데 다항식들(Forsythe polynomials)의 가중 세트는 통상적으로 본 설명에서 수치적인 작업을 위한 기초로서 분석 대역에 걸 쳐 사용된다.

에러 프로세스가 이제 다음의 절차들의 적용가능성을 강하게 하기 위해 보다 많은 구조를 제공받을 것이다. 방법은 여기 입력들(여기 소스들 (104))의 일부 또는 전부가 측정되지 않을 때 상황을 허용한다. 어떤 취약한 가정들하에서, 시스템은 계속해서 모달 파라미터들을 추정할 수 있을 것이며, 때때로 모달 질량 조차 추정할 수 있을 것이다. 이와 관련하여, 모달 질량 추정을 위해 필요하지만 충분하지 못한 조건은 여기 힘들의 충분한 스펙트럼이 측정된다는 점이다.

에러 시간 이력은 순전히 비결정적인 프로세스로 가정되고, 임의의 결정적인 부분, 예를 들면, 사인파들이 측정될 것이고 자기회귀 부분(autoregressive part)내에 위치될 것이다. 순수 결정 부분과 임시, 순수 비결정 부분으로의 정상 확률 프로세스의 분해는 잘 알려진 Wold 분해의 요소이다. 에러 프로세스 ε(t)는 유한한 수의 극들과 0을 갖는 아날로그 필터에 의해 백색 잡음 프로세스(white noise procces) η(t)로부터 유도된 임시, 정상 프로세스일 것이고, 지배 방정식(governing equation)은:

주파수 도메인 내에서 판독된다:

디노미네이터 다항식이 식(6)의 A|(ω)에 곱해질 수도 있도록 항을 제공하기 위해:

식(12)의 α(·) 다항식은 보다 계산적인 극들을 자기회귀 부분에 간단히 더한다는 것을 알 수 있다. 계산 극들을 여과하여 제거하는 것은 시스템 식별의 다음 단계들의 프로세스이고, 따라서 유한 이동 평균 잡음 여기를 갖는 식이:

이 되도록 한다.

여기서,

는 식(4)의 연산자 다항식 A(·)와 동일한 기능적 형태를 갖는다. 물결표는 이후 본 명세서에서 떨어질 것이며(dropped), 따라서 식(13)이 식(14)와 등가인 연속적인 시간 도메인으로 복귀한다:

식(13)의 행렬 다항식 A(·)의 계수들의 추정이 추정 에러가 측정된 시간 이력으로부터 유도된 도구 변수들의 세트와 비상관적일 것을 요구함으로써 종래의 최소 제곱 절차를 사용하여 이루어질 수도 있다.

이러한 도구 변수들은 구조적인 응답에 상관되지만, 추정 에러에 상관되지 않는다. 이러한 도구 변수들의 세트는 수치적인 계산들을 위해 선택된 직교 다항식에 기초하여 미분 연산자를 측정된 시간 이력에 적용함으로써

로서 구성될 수 있다. 즉:

이다.

여기서, p_k(·)는 차수 k의 직교 다항식이다. 두 상관 함수들 G(k,u) 및 e(k, u)는:

에 의해 규정될 수 있다.

첫째, 프로세스들이 안정적이라고 가정되기 때문에, 상관 함수들은 시 변수(t)에 독립적이라는 것을 알 수 있다. 둘째, 에러 프로세스가 임시적이고 시스템이 시 제로전에 휴지(rest)이기 때문에, u≠0에 대해 e(k,u)=0이다.

그 다음, 추정 절차는 모든 kεK에 대해 e(k,0)≡0인 다항식 차수 k에 대해 범위 K를 첫째로 결정하는 단계로 구성된다. 단일 값 분해들에 기초하여, 전체 최소 제곱(Total Least Squares; TLS) 해 또한 정상화 설계 후보일 수 있다 하더라도, 부수적인 조건이 식(14)을 정상화하기 위해 최고차항의 계수가 1인 행렬 다항식인 A(·)에 더해진다.

다음 단계는 주파수 도메인으로 이동하고 직교 다항식들을 이용하는 단계를 포함한다. 첫째, 식(14)은 도구 변수들의 에르미트 전치행렬(Hermitian transpose)에 후인자를 곱하고, 확률을 취하며 무한 연속 푸리에 변환(infinite continuous Fourier transform)을 적용함으로써 변환되어:

이 되고,

로 축약되고,

여기서, 동일한 순간에 잡음과 신호간의 공분산(covariance)인 σ는 주파수에 독립적인 것을 제외하고는 알려져 있지 않다. 데이터가 경계 스펙트럼을 갖기 때문에, 정보 손실없이 주파수 도메인과 연속적인 시간 도메인간에 자유롭게 전환될 수도 있다는 점을 주목해야 한다. 이어서, 행렬 다항식 A(·)는:

을 기초로 다항식으로 표현되고,

여기서, n은 다항식의 차수를 나타내고:

이고,

여기서, k₂는 이동 평균 사이즈이다. 다음에, 직교 다항식들의 규정에 본질적인 내부 곱이 (19)에 적용되어:

이 되도록 하고,

다항식 p_k(·)이 보다 낮은 차수의 모든 다항식에 대해 직교이기 때문에, 이것은:

를 의미하거나,

또는 등가적으로, e(k, 0) = 0에 대해 범위 K는 K = {k│k > k₂}로 주어진다는 것을 의미한다. 그 다음 도구 변수들 I_k(·)는 직교 다항식 차수 k가 에러 분자에서 이동 평균 항들의 수 보다 클때 에러와 비상관 된다. 에러가 제 1 장소에서 신호와 비상관이었다면, 차수 k에 어떠한 제한도 존재하지 않는다.

다음 단계는 일반적인 경우의 추정을 포함한다. 모든 kεK에 대해 e(k,u)=0일 때, (20)의 도움을 받는 식(23)은:

로서 쓰여진다.

다항식 계수들의 행렬은:

로 규정하고,

푸리에 변환된 측정치들 Y(ω)와 다항식 기저들의 데이터 행렬 P_j는 분석 대역내 각각의 이산 ω에 대해 ω에서 식 (26)으로서 평가되고:

여기서,

은 크로네커 곱(Kronecker product)의 텐서(tensor)를 표시한다. 식(24)는 이제:

와 등가이다.

통상적으로, 최소 가능 k가 선택될 것이다. 행렬 다항식 계수들의 최고차 항의 계수가 1인 추정은 A₀=I인 조건을 통해 그리고 식(27)을 직접적으로 풀음으로써, 또는 TLS 절차의 애플리케이션에 의해 획득된다. 에러가 신호와 비상관인 특별한 경우에 있어서, k(다항식 차수)는 0으로 설정될 수 있고, 이 경우 식(27)의 계수 행렬은 포지티브 준정부호 에르미트 행렬(positive semidefinite Hermitian matrix)이며, 따라서 콜레스키 분해(Cholesky decomposition) 또는 QR 삼각형화(triangularization)가 솔루션을 위해 사용될 수도 있다.

다음 단계는 특성 행렬 다항식의 실제적인 추정을 유도하는 단계를 포함한다. 이 섹션은 고속 및 정확한 계산의 선호도를 기술하고, 선형 정적 구조에 대해 하나의 위치에서 입력 및 또 다른 위치에서 응답이 여자기(exciter)의 역할들 및 반응 응답이 역전될 때와 동일하게 유지될 것을 기술하는, 베티-맥스웰 가역 정리(Betti-Maxwell Reciprocity Theorem)에 의해 고취될 것이다. 이와 관련하여, 본 발명은 식별되는 시스템이 자체 수반행렬(self-adjoint) 및 가역성을 갖거나, 듀얼이라는 사실 또는 수반행렬 시스템이 본래 시스템과 동일한 고유값을 갖는 사실을 활용한다. 식(13)의 동차항을 응답 및 힘 좌표들로 분할함으로써 획득을 시작한다.

(28)의 탑 방정식 확장은 측정된 힘들에 관한 응답에 대해 유리(rational) 행렬 전달 함수를:

와 같이 제공하고,

여기서 X(ω)는 응답이고, F(ω)는 힘이며, H(ω)는 전달 함수 행렬에 대한 축약이다(shorthand). 시스템 극들은 복소수들 z, 복소수 z에 대해 H_x(·)는 극을 포함하거나, 등가적으로,

를 만족시키는 고유벡터 V_z가 존재하는 고유값 z를 포함한다.

식(29)에서, 디노미네이터 행렬 다항식은 응답 채널들의 수의 크기인 정방 행렬이라는 것을 알 수 있고, 식(27)을 풀기 위한 메모리 및 계산 요구조건들이 많은 수의 응답들을 갖는 측정들에 대해 매우 압도적일 수도 있다는 것이 또한 도시될 수 있다. 이것은 시스템 극들을 발견하기 위해 응답 자유들내 디노미네이터 다항식 A_XX(ω)을 구하는데 비실용적으로 될 수도 있다.

다음 단계는 싱글 응답 채널과 모든 측정된 힘 채널들을 조사함으로써 수반행렬 시스템을 조사하는 단계, 식(28)을 재방문하는 단계, 및 두 번째 식을:

으로 확장하는 단계를 포함하고,

이 식은 모든 힘들을 싱글 응답에 관련시킨다. 구조가 베티-맥스웰 가역 정리를 만족시키면, 힘과 응답의 역할들이 상호교환될 수 있으며, 따라서 식:

은

본래의 응답 측정 포인트에서 힘 스칼라

가 주어진, 힘 측정 포인트들에서 응답 벡터

에 대한 유효한 표현이다. 시스템 극들은 H_F(ω)가 극을 갖는 z의 복소값들이거나, 또는 고유벡터

및:

인 고유값 z가 존재하는 식(30)에서와 같다.

정상 모달 테스트 상황들에서, 힘 측정 포인트들의 수는 대략 10 이하일 수도 있는 반면에, 응답 측정들의 수는 수백일 수도 있다. 시스템 극들이 글로벌 특성들이기 때문에, 이론적으로 식(31)에서 힘 위치로부터 여기되거나, 동일한 식에서 응답 위치로부터 관측될 수 있는 이들 모드들은 식(33)의 해들에 대응할 것이다.

응답 위치들에서 고유벡터 계수들은 식에서 고유벡터들

로 주어질 것이다. 가역 정리가 적용되지 않는 경우, 예를 들면, 시스템이 구동 모우멘텀 휠(running momentum wheel)을 숨길때를 고려하며, 이 휠은 코리올리 힘들(Coriolis forces)으로 인해 에너지를 분산시키지 않는 특별한 방식으로 작용할 것이지만, 반대칭 속도 성분을 더한다. 힘과 응답의 교환은 문자그대로 더이상 해 석될 수 없지만, 식(31)의 고유값들은 여전히 시스템 극들이고 고유 벡터들

는 구조의 좌측 또는 이중 고유벡터들로 고려되어야 한다. 식(33)의 이들 좌측 고유벡터들은 또한 "모달 참여 벡터들(modal participation vectors)"로 불리운다. 좌측 및 우측 고유벡터들을 구별하기 위해 거의 비용을 들이지 않고 보다 일반적인 경우를 사용할 수도 있다.

다음 단계는 각각의 응답 채널에 대해 순차적으로 구하는 단계를 포함한다. 싱글 범용(generic) 응답 채널 x에 대한 식(33)이 완전 구조의 모드 형상들을 규정하기에 불충분하기 때문에, 그리고 위치로부터 관측불가 또는 제어불가능한 몇몇 모드들이 통상적으로 존재할 것이기 때문에, 힘 위치들에서 모든 응답 포인트들로부터 디노미네이터 행렬 다항식 A_FF(z)에 대한 추정으로 정보를 축적하기 위해 순차적인 절차가 개발될 수 있다. 다항식 계수(25)의 행렬의 열들(columns)이 1차 치환되어 모든 응답 분류(labeled) 열들은 힘 분류 열에 선행, 즉, 치환 행렬(permutation matrix) Q가 존재하여:

이 되고,

식(26)의 행렬 P_j에 분할:

을 유도하고,

여기서:

이고,

여기서, 이러한 분할을 갖는, 식(27)은

이나,

또는:

로 쓰여질 수 있다.

식(38)의 제 1 열에 의해 규정된 응답 계수들이 주어지면, 응답 항은:

를 획득하기 위해 제 2 열에서 제거될 수 있고,

범용 응답 채널 x에 의해 유도된 A_F에 대한 제약들의 세트이다. 모든 응답 채널들 X의 세트를 표시하면, 제약들의 최소 제곱 세트는:

로 힘 계수들에 부과될 수 있다.

최고 차수 계수가 단위 행렬일 요구조건과 더불어, 식(40)은 힘 위치들내 특 성 행렬 다항식에 대해 최소 제곱 해를 규정하고, 이로부터 시스템 극들, 즉, 고유값들 및 좌측 고유벡터들 또는 모달 참여 벡터들은 전술한 직교 수반 행렬 방법에 의해 수치적으로 안정한 방식으로 발견될 수 있다.

수반행렬 시스템(또는 베티-맥스웰 방법)을 사용하여 시스템 극들의 계산이 메모리와 계산 복잡도에서 아주 효율적이라는 것이 식(40)의 조사로부터 분명한데, 이는 단 하나의 응답 채널과 모든 힘 채널들이 임의의 주어진 시간에서 고려되고, 완전한 데이터 세트에 걸쳐 하나의 통과만이 이루어지기 때문이다.

다음 단계는 고유값들과 모달 참여 인자들을 풀기 위한 단계를 포함한다. 일 실시예에서, 이것은 범용 수반 행렬 식을 통해 직교 다항식 좌표 시스템내 고유값들과 모달 참여 벡터를 풀기 위한 단계를 포함한다. 이러한 해결책을 사용할 때 수치적인 조건은 매우 완화되어 고 정확도에서 다룰 수 있는 고유벡터들의 수에 대해 존재하는 계산 속도를 제외하고는 실제적인 제한이 없다. 식(8)으로부터 직교 다항식 기저에 표현된 매트릭스 다항식 A(·)에 대한 고유문제는:

이다.

를 정의하자.

이제, 식(9)을 사용하여, 식(41)은:

와 같이 선형화된 형식으로 쓰여질 수 있고,

여기서, I는 V와 동일한 차원의 아이덴티티 행렬(identity matrix)이다. 게다가, A₀=I 이고 수반 행렬

를:

로서 나타낸다.

그 다음, 식(41)이:

와 같이 재공식화될 수 있고,

이에 식(43)을 적용하여:

를 생성하고,

와 같이 대수적으로 조작될 수 있고,

이것은 고유값 z 및 우측 고유벡터 V₀(z)에 대한 일반화된 고유문제이다. V₀(z) 고유벡터의 V 세그먼트(segment)는 모달 참여 인자(modal participation factor)로 불리운다. 주목해야 할 것은 식(46)이 직교 다항식 좌표 시스템내에서 공식화되어, 수치 정확도의 심각한 손실이 발생하지 않도록 되고, 직교 행렬 다항식 고유문제(41)를 풀기 위해 출력 다항식들로 다시 변환됨으로써 계속된다.

다음 단계는 척도 고유벡터들(scaled eigenvectors)을 계산하는 단계를 포함한다. 여기서, 고유값들 및 모달 참여 벡터들은 자신의 분해방정식 형태로 전달 함수 행렬을 기록하기 위해 사용되고, 여기서 고유벡터 성분들은 알려지지 않은 선형 방식으로 야기되어, 다수의 표준 최소 제곱 또는 최소 기준 공식들로 풀릴 수 있다.

이것은 Crowley 등에 의한 Polyreference 방법과 함께 사용하기 위해 첫번째로 1985년에 제안되었고, 현재 고유값들 및 모달 참여 인자들이 결정된 후에 공통적으로 사용된 방법이다. 모달 참여 벡터 및 주어진 모드에 대한 고유벡터의 외부 곱은 그 모드/극에 대한 나머지 행렬로 불리우며, 절대량이다. 고유벡터는 일반화된 수반 행렬로부터 추출된 모든 고유값들에 대한 성분들로서 추정될 수 있고, 그 다음 나머지 행렬의 기준이 작거나, 나머지 행렬이 단상 행동(monophase behavior)으로부터 너무 일탈될 때, 사소한 것 또는 계산적인 근으로서 고유값들의 분류를 허용할 것이다. 해당 기술분야에 잘 알려진 바와 같이, 단상 벡터는 각각의 성분이 상(phase)내이거나, 상의 바깥으로 180도인 복소 값 벡터(complex valued vector)이다.

모든 고유값들의 세트로서 A를 규정하고 모든 좌측 고유벡터들의 세트로서

를 규정함으로써 우측 고유벡터들 및 나머지들이 어떻게 발견되는지가 표시될 수 있다. 그 다음, 주파수내 싱글 채널 x에서 측정된 응답은:

합으로 주어지고,

여기서,

는 x 응답 위치에서 우측 고유벡터들의 세트이고 F(ω)는 측정된 힘 벡터이다. 우측 고유벡터들은 식(47)의 표준 최소 제곱 해들에 의해 발견되고, 나머지 행렬

은 간단히:

이다.

요약해서, 본 발명은 다수의 측면에서 유리한 모달 파라미터들을 추정하기 위한 시스템들 및 방법들을 제공한다. 예를 들면, 본 방법은 polyreference, 복소 지수(complex exponential), 폴리맥스(polymax), ERA, 및 ITD와 같은 z-도메인 방법들을 제한하는 위신호 문제들에 의해 영향을 받지 않는다. 게다가, 유리 분수 직교 다항식, 직접 파라미터 추정, 및 ISSPA와 같은 라플라스 도메인 방법들(Laplace domain methods)과 마찬가지로, 본 발명에 의해 제공되는 수치적인 조건은 전술한 방법emf의 조건보다 더 좋다. 게다가, 본 발명의 프로세서 및 메모리 요구조건들이 이들 방법들보다 낮거나 이들 방법들에 비길 만하고, 벡터 프로세싱 및 병렬 프로세싱에 도움이 된다. 본 방법들은 여기 힘들의 부분만 측정될 때, 모달 질량을 포함하는, 모달 파라미터들의 효율적이고, 지속적인 추정들을 제공한다.

비록 적어도 하나의 예시적인 실시예가 본 발명의 전술한 상세한 설명에 제 시되었지만, 다수의 변동들이 존재한다는 것이 이해될 것이다. 예시적인 실시예 또는 예시적인 실시예들은 단지 예들이고, 임의의 방식으로 본 발명의 범위, 적용가능성, 또는 구성을 제한하도록 의도되지 않는다는 것이 또한 이해될 것이다. 오히려, 전술한 상세한 설명은 본 발명의 일 예시적인 실시예를 구현하기 위한 편리한 로드 맵과 함께 당업자에게 제공될 것이고, 첨부된 청구항들 및 그들의 법률적 등가물에 설명된 바와 같이 본 발명의 범위 내에서 일 예시적인 실시예에 기술된 소자들의 기능 및 배열에 있어서 다양한 변화가 이루어질 수도 있다는 것이 이해된다.

Claims

테스트 구조(102)의 모달 파라미터들(modal parameters)을 추출하는 방법에 있어서:

상기 테스트 구조(102)에 여기 신호(excitation signal)(104)의 세트(set)를 인가하는 단계;

상기 테스트 구조(102)로부터 응답 신호들(113)의 세트를 수신하는 단계; 및

상기 여기 신호들(104)과 응답 신호들(113)로부터 상기 모달 파라미터들을 추정하는 단계를 포함하고,

상기 추정 단계는 상기 여기 신호들의 세트와 상기 세트 응답 신호들의 세트의 서브세트(subset)로부터 자기스펙트럼 행렬(autospectral matrix)의 서브세트를 계산하는 단계, 및 행렬 디노미네이터 다항식(matrix denominator polynomial)을 추출하기 위해 수반행렬(adjoint) 해를 구하는 단계를 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 행렬 디노미네이터 다항식을 추정하기 위해 도구 변수들(instrumental variables)에 대해 직교 다항식들을 이용하는 단계를 더 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 여기 신호들의 세트와 상기 응답 신호들의 세트에 대한 주파수 응답 함수를 결정하는 단계를 더 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 응답 신호들의 나머지들(residues)을 계산하는 단계를 더 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 모달 파라미터들을 추정하는 단계는 주어진 모달 차수에 대해 극들(poles)의 세트를 결정하는 단계, 하나 이상의 안정성 다이어그램들을 규정하는 단계, 및 상기 극들의 세트와 상기 하나 이상의 안정성 다이어그램들에 기초하여 상기 모달 파라미터들을 선택하는 단계를 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 모달 파라미터들을 표시하는 단계를 더 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 응답 신호들은 상기 테스트 구조(102) 상의 포인트(112)의 힘, 가속도, 속도, 또는 변위(displacement) 중 적어도 하나를 나타내는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들 추출 방법.
테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템에 있어서:

상기 테스트 구조(102)에 여기 신호들의 세트를 인가하도록 구성된 복수의 여기 소스들(excitation sources)(104);

상기 테스트 구조(102)에 결합되고 상기 테스트 구조로부터 응답 신호들의 세트(113)를 수신하도록 구성된 복수의 트랜스듀서들(transducers)(112);

상기 응답 신호들의 세트를 수신하고 그에 응답하여 디지털 데이터 세트(122)을 생성하도록 구성된 데이터 획득 시스템(data acquisition system)(120); 및

상기 여기 신호들의 자기스펙트럼 행렬의 서브세트를 계산하고, 행렬 디노미네이터 다항식을 추출하기 위해 수반행렬의 해를 구함으로써 상기 여기 신호들과 상기 응답 신호들의 세트의 서브세트로부터 상기 모달 파라미터들을 추정하도록 구성된 분석 모듈(140)을 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 분석 모듈(140)은 상기 행렬 디노미네이터 다항식을 추정하기 위해 도구 변수들에 대해 직교 다항식들을 이용하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 분석 모듈(140)은 상기 여기 신호들의 세트와 상기 응답 신호들의 세트에 대해 주파수 응답 함수를 결정하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 분석 모듈(140)은 상기 응답 신호들의 나머지들을 계산하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 분석 모듈(140)은 주어진 모달 차수에 대해 극들의 세트를 결정하고, 하나 이상의 안정성 다이어그램들을 규정하고, 상기 극들의 세트와 하나 이상의 안정성 다이어그램들에 기초하여 상기 모달 파라미터들을 선택함으로써 상기 모달 파라미터들을 추정하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 모달 파라미터들을 표시(display)하도록 구성된 디스플레이(150)를 더 포함하는, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.
제 8 항에 있어서,

상기 복수의 트랜스듀서들(112)은 상기 테스트 구조(102) 상의 포인트의 힘, 가속도, 속도, 또는 변위 중 적어도 하나를 측정하도록 구성된, 테스트 구조(102)의 모달 파라미터들을 추출하기 위한 테스트 시스템.