JP4994448B2 - モーダルパラメータの推定方法および装置 - Google Patents

Description

本発明は、一般的に、構造物の動力学的解析に関し、より具体的には、構造物のモーダルパラメータを抽出する方法および装置に関する。

構造物の動力学的解析の分野では、与えられた検査構造体の構造共鳴またはモーダルパラメータの集合を決定することがしばしば必要になる。理論上、典型的な検査構造体は無限の離散的な共鳴を有するであろうが、興味ある周波数範囲の中に識別する必要がある有限集合の共鳴が存在する。

モーダルパラメータの推定は、典型的には、励振信号を検査構造体上の様々な位置に適用する一方、いくつかは励振位置に一致するかもしれない複数の測定位置で応答信号−例えば変位、力および／または加速度−を受けることにより、実行される。結果として生じるデータは、次に、モーダルパラメータの所望の集合を抽出するために解析される。

モーダルパラメータを推定するための方法は、典型的には、広帯域（broadband）法および正弦曲線（sinusoidal）法(「ノーマルモード法」)の両カテゴリに分けられる。広帯域法（例えば多点参照（polyreference）複素指数アルゴリズム)は、励振が分配されかつ少数の周波数に限定されていないデータを解析する。対照的に、正弦曲線法は、1つ以上の作動装置によって固定周波数で正弦曲線の励振によって取得されたデータを解析する。

モーダルパラメータを推定するための現在の技術は、多くの点で不満足である。例えば、励振信号および応答信号の数の増大に伴い、現方法の計算の複雑さが大いに増大する。これは、結果として効率の不足を生じ、プロセッサおよびメモリの必要量の増大を伴なう。さらに、現在知られている方法は、オペレータによる多くの介入を必要としている。さらに、現方法は、周波数エイリアシング問題を生じ易い。

したがって、検査構造体のモーダルパラメータを推定するためのより効率的な方法を提供することが望まれている。本発明の他の望ましい機能および特徴は、本発明の背景および添付図面を参照しての本発明の以下の詳細な説明およびここに添付の特許請求の範囲の記載から、明白になるであろう。

本発明の一実施例によれば、構造物のモーダルパラメータを抽出するためのシステムは、入力データのオートスペクトル(autospectral)行列の部分集合だけを計算し、次に行列分母多項式を抽出すべく共役解（adjoint solution）を解くことによって、モーダルパラメータを推定すべく構成された解析モジュールを含む。本発明の他の態様によれば、直交多項式の集合は、モーダルパラメータが抽出される行列多項式を推定すべく操作変数が使用される。

本発明は以下の図面に関連して以下に説明され、当該図面では同一の数字が同一要素を示す。

本発明の以下の詳細な説明は、単に本質的な模範であって、本発明またはその応用や用途を制限することを意図していない。さらに、本明細書の如何なる部分に示された如何なる理論によっても束縛されることは、まったく意図していない。
データ伝送、信号伝達、ネットワーク制御、作用プロセス（catalytic processes）およびプロセス制御に関連した従来技術は、簡潔さのために、ここで詳細には説明されないであろう。

ここに明らかにされた実施例に関連して説明された様々な説明的なブロック、モジュール、回路および処理ロジックは、ハードウェア、コンピュータソフトウェア、ファームウェアまたはそれらのすべての実用的な組合せで実行することができる。ハードウェア、ファームウェアおよびソフトウェアの互換性および適合性を明確に説明するために、様々な説明的なコンポーネント、ブロック、モジュール、回路およびステップは、それらの機能については上記で一般的に説明されている。そのような機能がハードウェア、ファームウェアまたはソフトウェアとして実行されるかどうかは、全体のシステムに課された特定用途および設計制約条件に依存する。ここに説明された概念に詳しい人々は各特定用途のために適当な方法でそのような機能を実行するかもしれないが、そのような実施事項は、本発明の範囲からの逸脱を起こすものとして解釈されるべきでない。

ここに含まれている種々の図面に示された接続線は、種々の要素間の機能的関係の例および／または物理的な結合を表すことを意図している。注目すべきは、多くの代替あるいは追加の機能的関係または物理接続が実際の実施例に存在することである。

本発明は、モーダルパラメータの推定（これに代えて、「モーダルパラメータの抽出」あるいは単に「カーブフィット」と称される）に関し、検査構造体に関連して記録された応答および励振データからのモーダルパラメータ情報の抽出に関する。モーダルパラメータの推定は、例えば、一定の境界条件および励振下で連続弾性体から取得されたテストデータから固有ベクトル、共鳴周波数、減衰およびモード質量などの量に関して部分的な構造力学モデルを抽出したいときに、使われる。

図１を参照するに、検査システム１００は、一般的に、データ収集システム１２０、記憶サブシステム（または単に「記憶装置」）１３０、解析モジュール１４０およびディスプレイ１５０を含む。多くの励振源１０４が供試構造体（「検査構造体」または「構造体」)１０２上の様々な点（または「位置」)１１０に適用される。検査構造体１０２は、通常、まったく自由な状態から基底基準構造物にボルトおよび／または溶接で結合される範囲にわたる所定の境界条件で、設定される。前記検査構造体の境界条件および振動特性は、一般的に、検査の間、不変に維持される（「定常性」と称される）。励振源１０４に関して使用される「励振」とは、検査構造体を振動させ、また測定される共振を励起するために、該検査構造体に適用される経時的に変化する力を称する。励振源１０４は、例えば、種々の「シェーカー」、インパクトハンマー等を含むことができる。

多数のセンサーおよび／またはトランスジューサ１１２（「トランスジューサ」と総称する）は、構造体１０２の対応する検査点での物理特性について測定結果を生じる。測定は、好ましくは、力を適用した点および加速度、速度および／または変位の応答が要求される位置で行われる。トランスジューサ１１２は、それぞれの信号１１３を作り出し、該信号はデータ収集システム１２０により収集され、処理される。前記トランスジューサで受信された信号は、アナログ回路を通してシステム１２０で処理され、あらかじめ決められたサンプリングレートでデジタル情報に変換される。

取得されたデータ１２２は、適当な記憶構成要素１３０（例えば、ディスク記憶装置、不揮発性メモリ等）に送信されて記憶され、次に、時間履歴データ１３２という形で、解析モジュール１４０に送信され、−その動作はさらに以下で詳しく説明される。解析モジュール１４０によって決定されたモーダルパラメータ142は、次に種々の形式で、ユーザに表示することができる。例えば、一具体例では、モーダルパラメータ１４２は、量的および／または質的な手法で、ディスプレイ（例えば従来のコンピュータモニタ）１５０により、視覚的に表示される。

そして、一般的には、モーダル試験は、励振源１０４およびトランスジューサ１１２により、構造体１０２上で行われ、その検査結果は、モーダルパラメータ１４２を推定するために解析モジュール１４０で使用される。前記モーダル試験の目的は、従って、構造体の共振の目標集合を記述する一組のパラメータを推定することである。

図２は、本発明の一具体例に係るモード推定方法を高水準で表すフローチャートである。図示のとおり、プロセスはステップ２０２で始まり、該ステップでは検査構造体１０２は、適切な励振源１０４およびトランスジューサ１１２に接続または結合され、あるいはインタフェースで連結されるように構成されている。また、構造体１０２のための適正な境界条件が適用される。当業者は、検査構造体を検査するために設定される一般的な方法を理解するであろう。

次に、ステップ２０４で、適正な検査手順を使用して（例えば図１のデータ収集システム１２０および記憶装置１３０により）データが取得され、記憶される。この手順の持続期間および特性は、従来技術で知られているように、一般的に検査構造体１０２の性質に依存して変化するであろう。

次に、ステップ２０８および２１０で、前記システム（例えば図１の解析モジュール１４０)は、グローバルなモーダルパラメータを抽出し、残差（residues）を計算する。この点に関し、どのような連続検査構造体１０２であっても無限個の可算共振を有するが、有限な周波数範囲の中に、識別の必要性がある有限個の共振が存在する。用語「モーダルパラメータ」は、全体的に、共振(またはモード)をその付随パラメータのすべてと共に表記するために使われており、これらのパラメータは一般的にグローバルパラメータ、力パラメータおよびローカルパラメータを含む。

グローバルパラメータは、構造体１０２に全体的であり、すなわち、それらは構造体１０２の全体に適用される。そのようなパラメータはモード、極または根と称され、周波数および減衰に関連した情報をそれぞれ含んでいる。周波数について、各共振は、完全なサイクルを完成するための所要時間を有し、それは共振周期と称される。前記共振の逆数は周波数と称され、通常、ヘルツ(サイクル数／秒)で表される。外部励振のない減衰について、検査構造体中のエネルギーは減衰率と称される割合で共振によって消散され、ヘルツまたは臨界減衰のパーセントで表現することができる。グローバルパラメータとの対比では、力パラメータは、モード関与因子（ＭＰＦ）と関連し、力測定位置だけの左固有ベクトルである。力パラメータは、以下で、より十分に議論される。

ローカルパラメータは、前記検査構造体の各測定位置での各モードの特性に関連しており、モード形(または残差)を含む。前記モード形は、所定の力測定に対する物理的な（３つの平行移動および３つの回転から成るベクトルでの)応答であり、各測定応答位置で各グローバルモードの加速度応答によって特徴付けられている。

（解析モジュール１４０で受けた時間履歴データ１３２のような）「時間履歴」は、時間のスカラー関数であり、時間に伴って変化する加速度、速度および変位等の物理量として表される。他方、「ベクトル時間履歴」は、時間関数のベクトル値であり、典型的には、個々のスカラー時間履歴からなる。「連続時間履歴」は、時間の値が連続するセグメントで知られた有限または無限の時間履歴である。「離散時間履歴」は、時間の値が離散的な例で知られているものであり、また時間点の有限のまたは計算可能な無限の集合から成る。

「有界の（bounded）スペクトル」は、時間履歴が無限の周波数範囲の有限なセグメントにエネルギーだけを有することを意味している。「自由減衰」は、適用された外部励振が全く無い間の構造体の応答を表す時間履歴であり、すなわち入力インパクトが終了した後で起こる単位応答のセグメントである。

従来技術で知られているように、シャノンの標本化定理によれば、標本化速度が有界のスペクトルの最も高い周波数の２倍より高いとき、前記有界スペクトルを有する連続時間履歴は、情報の損失なしに離散的な標本化された時間履歴によって表すことができる。これは、標本化速度がこの基準を満たしているならば、有界のスペクトルを有する連続時間履歴が離散的な対応するものから所望の精度で再現できることを意味している。

図２に示されているように、前記システムは、オプションで記憶データ（ステップ２０６）の周波数応答関数を決定するかもしれない。従来技術で知られているように、周波数応答関数（ＦＲＦ）は、別の位置で入力された単位力に対する所定位置での構造応答を与える周波数の関数である。単位入力応答は、別の位置で入力された単位インパクト力への所定位置での構造応答に対応する時間履歴である。これは、あるいはＦＲＦの逆フーリエ変換と称されている。

残差計算（ステップ２１０）は、種々の周知の手順で実行することができ、極についての知見が結果として未知のモード形を線形で生じさせる。

次に図３を参照するに、グローバルなモーダルパラメータ（ステップ２０８）を抽出するステップは、多くの順次演算に分けることができる。初めに、ステップ３０２で、所定のモデル次数のための極が決定される。すなわち、力入力時間履歴および応答出力時間履歴は、固有解が複素極を提供する行列多項式を与えるように、処理され、その固有解は所望の周波数範囲内での前記モードの周波数および減衰を規定する。

次に、ステップ３０２で、適正な安定線図が定められる。このステップは、それらの値を決定するために使われた手順に依存しない物理量を見つけることを含む。人が違うモデルによって値を計算すると、実数の内在する（real underlying）パラメータが1つのモデル次数から次のモデル次数まで安定している傾向があるのに対して、コンピュータを用いた純粋な計算上の人工物は不定に動くであろうことになる。それゆえ、推定値の不変性および持続性は、どの値が実数であるかを決定するための判定基準として使うことができる。

最終的に、ステップ３０６で、物理的なモードが選択される。すなわち、候補モーダルパラメータおよび安定線図の表を補助とする自動化手順および／または手動の選択によって、モード解析のために物理的な意味がありかつ有効であると考えられる極が選ばれる。

本発明に係るシステムの概要を伝えたので、次に、方法の数学上の基礎についてのより詳細な説明をする。本発明の１態様によれば、前記システムのオートスペクトルの行列多項式の部分集合が計算され、随伴行列系は、高いモーダル密度および繰り返し極のために解く分母行列多項式を抽出するために使われる。本発明の他の態様によれば、直交多項式は、計測変数が行列多項式を推定するように、使われる。

制限しないが、以下の記述では、特性に関して前記構造体およびその境界条件が時間不変系および線形とみなされている状況下に限定される。これらの前提の下では、如何なる有界の周波数範囲でも有限個の共鳴周波数を含んでいるように、線形、時間不変の粘性減衰を有する連続構造体は、無限の離散的な共鳴周波数の集合を有する。したがって、モーダルパラメータ抽出方法の作業は、検査構造体１０２の連続体の中の有限個の点で取得されたデータ（すなわち時間履歴データ１３２）からの有界の周波数範囲での共振の数学的モデルを提供することである。

この説明のために、また一般性を損なうことなく、前記測定された時間履歴のパワースペクトルが有界であるように、種々の力および加速度など時間履歴がアナログ手段によってフィルタをかけられていること、およびサンプリングされたデジタルデータにまったくエイリアシングがないように、デジタル化の標本化速度が標本化定理によって与えられるナイキスト周波数より高いことが仮定される。

エイリアシングが無いことは、抽出されたデータが如何なる所望の精度にも、前記連続有界スペクトルのアナログ時間履歴を再生することについて十分であることを意味している。さらに、前記構造体への励振(励振源１０４による)および測定応答（１１３）は環境雑音レベル未満のレベルで開始し、また前記励振および応答が測定時限の終わりに環境雑音レベル未満に落ちることが仮定されている。この条件に近づけあるいは強制するために、軟化子（mollifier）関数(例えばハニング窓)を適用することができる。ナイキスト周波数より高いサンプリングレートと共に、時間およびスペクトルにおける有界性は、連続時間データを再現すべく有限なデジタルデータ集合が十分の情報を保持すること、および無限な連続時間フーリエ変換を計算するために有限な離散フーリエ変換を使うことができることを保証する。

この説明のために、結果として生じているベクトル時間履歴が複雑で解析的であるように、関心ある周波数範囲の中心は周波数シフト(また、「周波数ズーミング」または「ヘテロダイン」と称されている)で零周波数に、また低域フィルタを通過するまで周波数がシフトされると、さらに仮定する。ここで使われた「解析的な」の用語は、信号処理の状況での使用と一致し、すなわち、因果関係および最小位相の考慮に関連する。

次に、本発明に係る数学式を説明する。一般性を失うことなく、また簡潔の目的のために、力および加速度のみが測定されると仮定する。しかし、当然ながら、その任意の数の他の測定が、任意の数のトランスジューサおよびセンサーを通してなされることができる。

線形弾性連続構造体が力入力基準自由度の有限集合および加速度応答自由度の有限集合まで推定されるとき、対応するラプラス領域伝達関数Ｈ_∞（ｓ）は、次のようにレゾルベント形式（resolvent form）で書くことができる。

ここで、Λ_∞は固有値の無限な対角線行列であり、Ｖ_∞は応答自由度の左固有ベクトルの無限行列であり、Ｖ_∞ｆは基準自由度での右固有ベクトルの無限行列である。周波数範囲は、関心ある正の有界の周波数インターバルを中央におくためにシフトされていると仮定する。そのとき、連続スペクトルは３つの集団に仕切られる。すべての解析周波数より少ない周波数の集団、すべての解析周波数より高い周波数の集団および解析インターバル内の周波数の集団である。

したがって、伝達関数は３つの部分に分割され、そのうちのＨ（ｓ）項は、解析インターバルに属し、有限個の項から成ることが認められる。

解析帯域上の時間履歴にフィルタをかけるバンドパスは、帯域外でのすべての力を削除するが、前記システムはなおＨ_∞（ｓ）伝達関数を測定しており、該伝達関数は前記連続体の無限離散スペクトルからの寄与分を含んでいる。これらの寄与分は小さいであろうが、それらはしばしば解析インターバル、特に減衰情報中の共鳴周波数からの重要な情報を不明瞭にする。

前記解析範囲は前記連続体の有限なスペクトルを含むために、この範囲外のスペクトル効果を無視することによって、時間微分演算子ｄ／ｄｔにおける複素行列多項式Ａ（・）は次のようになるであろう。

Ｙ（ｔ）は力および加速の時間履歴の完全ベクトルであり、ε（ｔ）は、測定されない励振源を含めて、原因が非確定的な誤り処理に限定される。解析信号Ｙ（ｔ）は帯域を制限されているので、それを所望されるだけ微分することができる。無限連続フーリエ変換を適用すると、上記式（４）は、次のようになる。

データは有界スペクトルを持つので、関数ｃ＋（．）は、解析インターバル中で値１をとり、その他で零をとるように定義することができる。これは、式（５）が、（c+（ω）A（ω））Ｙ（ω） = ε（ω）と書き直され、あるいはc+（ω）A（ω）をＡ|（ω）で示すことによって次のように書き直すことができる。

ここで、Ａ｜（ω）は有界のサポートを有するので、実変数の無限微分可能行列関数にフーリエ逆変換可能であることが認められる。よって、式（４）は、次のような畳み込み式で書ける。

ここで、データが有界スペクトルを有するので、微分演算子多項式がグリーン関数（Green’s function）の逆数に変化していることが認められる。

行列多項式に交互のベースがあることは言うまでもない。すなわち、力多項式を用いた数値的な計算は、たとえ多倍長演算を用いても、多項式の次数が５または６を越えると、数値的な正確さの観点から難しい傾向がある。直交多項式は、近似と曲線の当てはめのために導入されており、使用頻度の最も高い多項式の次数を増大させることができる。しかしながら、そのような手法は、まだモーダルパラメータの推定作業の1桁の次数に制限されている。直交多項式を用いる悪条件の主たる問題は、前記多項式の原点を解くために、力多項式係数に戻るように変換するプロセスにあることが示されている。この問題の解決策は、一つは、本発明者が開拓した直交多項式の座標系の中の根を一般化された多項式コンパニオン行列の導入を通して見付け出す方法を考え出すことであり、それは完全に高多項式次数の数値的な制限を取り除く。

ｐr（ｚ）が次数ｒの多項式であるように、整数ｒ≧０として多項式ｐ_r（ｚ）、ｚεＣの集合を考慮すると、次のような係数が存在する。

したがって、次のようなおそらく無限の対角線行列Ｄおよび次のような対応する下三角行列Ｌになる。

式（９）は、解析周波数帯域中での共振を解くために一般化されたコンパニオン行列を構成するために、使うことができる。本明細書では、直交多項式はある不特定の内積に関連して使用され、該内積は、通常、関心ある周波数の軸に沿ったコロケーションスキームで定義される。フォーサイス（Forsythe）多項式の加重集合は、通常、本明細書中の数値的な作業のためのベースとして解析帯域上で使われる。

エラー処理は、現在、以下の手順の適用可能性を高めるためにより多くの構造を与えられるであろう。励振入力（励振源１０４）のいくつかまたはすべてが測定されないとき、本方法はその状況を考慮する。一定の弱い前提下では、前記システムは、まだ、モーダルパラメータ、時々モード質量さえ推定することができる。この点で、モード質量の推定のために必要であるが、これだけでは不十分な条件は、十分な励振力のスペクトルが測定されていることである。

どのような決定性の部分、例えば正弦波でも、測定されて自己回帰部分に置かれるように、エラー時間履歴がまったく非決定論的な過程であることが仮定されている。まったく決定的な部分および原因となるまったく非決定論的な部分への定常確率過程のこの分解は、よく知られたウォルド分解（Wold decompostion）の要素である。エラー処理ε（t）は、支配方程式が以下であるような有限の極数および零を有するアナログフィルタにより、ホワイトノイズ過程η（t）から引き出された、原因となる定常過程とする。

該式の周波数領域は次のとおりである。

その結果、前記分母多項式が式（６）でＡ｜（ω）に掛けられ、次式が与えられる。

等式（１２）中のα（・）多項式が単にさらに多くの計算上の極を自己回帰部分に加えていることが分かる。計算の極をフィルタリングで取り除くことは、前記システム同定の後の方の段階における工程であり、従って、それらは、有限移動平均雑音刺激を伴う次の方程式になるように、取られる。

ここで、Ａ^〜（・）は式（４）中の演算子多項式Ａ（・）と同一関数形式を有する。前記チルダは以下で落とされ、従って、連続時間領域に戻り、式（１３）は次式に等しくなる。

式（１３）中の行列多項式Ａ(・)の係数の推定は、測定された時間履歴から引き出された操作変数の集合に推定エラーが無相関であることを要求することによって、従来の最小二乗法手続を使って行うことができる。そのような操作変数は、構造応答と相関しているけれども推定エラーとは無相関であるべきである。この操作変数の集合は、数値的な計算のために選ばれた直交多項式に基づいた微分演算子を測定された時間履歴に適用することによって、Ｉk(t)、ｋε[0 ・・・１）として構成することができる。すなわち、

ここで、ｐ_ｋ（・）は次数ｋの直交多項式である。２つの相関関数Ｇ（ｋ，ｕ）およびｅ（ｋ，ｕ）は、次式によって定義できる。

最初に、過程が定常であると仮定されているので、相関関数が時間変数tとは無関係であることは明らかであろう。次に、エラー処理が原因となっていて、前記システムが時間零前に停止しているために、u≠0で、e(k，u) = 0 である。

推定手続は、その場合、多項式の次数ｋのために先ず範囲Ｋを決定することから成り、すべてのkｅＫに対して、そのためにe(k，0) ≡ 0である。また、全最小2乗（ＴＬＳ）解も特異値分解に基づき候補規格化スキームであっても、Ａ（・）は、式（１４）を正規化するために最高次の係数が1に等しいモニックな行列多項式とするという周辺条件が加えられる。

次のステップは、周波数領域に移行して直交多項式を使うことを伴う。最初に、式（１４）は、操作変数のエルミート行列の入れ換えによって右から掛け算をし、期待値を得て、また無限連続フーリエ変換を適用することによって、変換される。

該式は次式に帰する。

ここで、同じ瞬間の雑音と信号との間の共分散σは、未知であるが、周波数に無関係である。データが有界スペクトルを有するので、情報損失なしで周波数領域と連続時間領域との間で自由に変形するかもしれないことに注意が必要である。次に、行列多項式Ａ(・)は、多項式の原則で次のように表現される。

ここで、ｎは多項式の次数を示し、また、

ここで、ｋ_２は移動平均サイズである。次に、直交多項式の定義に固有のスカラー積は、次のように、（19）に適用される。

また、多項式ｐ_k(・)がより小さな次数のすべての多項式に直交しているので、これは次を意味している。

すなわち、同様に、範囲Ｋは、そのe(k,0)=0で、Ｋ=｛ｋ | ｋ > ｋ₂｝によって与えられる。直交多項式の次数ｋがエラー分子項の移動平均数より大きい場合の操作変数Ｉ_k（・）は、エラーと無相関である。前記エラーが最初の信号に無相関であったならば、次数kに制限事項がまったくない。

次のステップは、一般の場合の推定を伴う。すべてのkｅ Ｋで、ｅ（k，u）= 0のとき、（２０）の助けで式（２３）は、次のように書ける。

多項式係数の行列は次のように定義し、

また、すべてのフーリエ変換された測定値Ｙ(ω)および解析帯域の中の各離散的なωに関して該ωでの求められた多項式の基底のデータ行列Ｐjを次のとおり定義する。

ここで、丸囲みの×はテンソルまたはクロネッカー積を示す。式(２４)は、今、次式に等しい。

通常、できる限り小さなｋが選ばれる。行列多項式係数のモニックな推定値は、Ａ₀＝Iの条件を通して式（２７）を直接あるいはＴＬＳ手順の適用によって解くことができる。エラーが信号と無相関の特殊な場合、k(多項式の次数)は零に設定することができ、その場合、式（２７）の係数行列は、解を求めるためにコレスキー分解（Cholesky decomposition）またはＱＲトライアンギュラーライゼイション（triangularization）のいずれかを使用できるように、非負定値エルミート行列である。

次のステップは、特徴的な行列多項式の実用的な推定値を求めること含む。このセクションは高速で、正確な計算の望ましさに対処し、ベッティ−マックスウェル相反定理によって着想され、該定理は、線形定常構造のために、励振機と応答の感知の役割が逆になるとき、1つの位置での入力と別の位置での応答が同じままいるであろうということを述べる。この点に関して、本発明は、識別されようとする系が自己共役または相互依存のいずれかであるか、その二重性または随伴系はオリジナルの系と同じ固有値を備えているという事実を利用する。次式を求めるために、式（１３）の均質な形式を応答および力の座標に仕切ることから開始する。

式（２８）の最上部の式の拡張は、下式により測定された力に関する応答のための有理行列伝達関数形式を与える。

ここで、Ｘ（ω）は応答であり、Ｆ（ω）は力であり、Ｈ（ω）は伝達関数行列を意味する省略表現である。系の極は、複素数ｚであり、該複素数のためのＨｘ(・)が極を有しあるいは同様に以下を満たす固有ベクトルＶｚが存在するそれらの固有値ｚを有する。

式（２９）には、分母行列多項式が応答チャネル数のサイズの正方行列であることが示され、また、式（２７）を解くためのメモリおよび計算の要件が多くの応答を伴う測定のためにまったく圧倒的であろうことが示されている。

次のステップは、単一応答チャネルおよびすべての測定された力チャネルを調査し、式（２８）を再訪することによって随伴系を見、二次方程式を次式に拡大することを含む。

該式はすべての力を単一応答に関連付ける。構造が、今ベッティ−マックスウェル相反定理を満たすならば、力と応答との役割は、次式のように、交換することができる。

上記式は、元の応答測定点で力スカラー＾Ｆ(ω)を与えられる力作用点での応答ベクトル＾Ｘ(ω)の有効な式である。系の極は、そのＨ_Ｆ(ω)が極を有するｚのそれらの複素数値であることになるか、ちょうど（３０）におけるそれのように、それらのために次式が成立する固有ベクトル＾Ｖ_ｚと固有値zが存在している。

規定のモード検査状況では、力測定ポイントの数は約１０より少ないかもしれないのに対して、応答測定の数は数百であるかもしれない。系の極が全体的な特性であるので、理論上、式（３１）中で力位置から励振されるか、同じ式の中で応答位置から観察されることができるそれらのモードは、式（３３）の解と一致するであろう。

応答位置の固有ベクトル係数は、その式中の固有ベクトル＾Ｖ_ｚによって与えられる。次に、相反定理があてはまらない場合を考慮すると--例えば、系が動くモーメンタムホイールを隠すとき、コリオリの力に起因するモーメンタムホィールはエネルギーを放散しないが反対称の速度成分を付加する独特な方法で作用する。力および応答の置き換えは、もう文字どおりに解釈することができないが、式（３１）の固有値は、なお系の極であり、固有ベクトル＾Ｖ_ｚは前記構造体の左固有ベクトルまたは二元的固有ベクトルと考えなければならない。式（３３）のこれらの左固有ベクトルはまた「モード関与ベクトル」とも呼ばれる。左右の固有ベクトルを区別しなければならないごくわずかな知的な費用で、より一般的なこのケースを使うことができる。

次のステップは、各応答チャネルのための逐次解に関係している。単一の一般的な応答チャンネルxのための式（３３）は完全な構造体のためのモード形を定義するには不十分であること、通常、その位置から観察および制御が可能でないいくつかのモードがあることから、逐次的手順は、力位置の分母行列多項式Ａ_FF(ｚ)のための推定値にすべての応答点からの情報を累算するために開発される。応答というラベルを貼られるすべての列は、力というラベルを貼られる列に先行するように−−すなわち、次に示すような順序行列Qがそこに存在するように、先ず、多項式係数（２５）の行列の列が変更される。

該式は、式（２６）の行列Ｐ_jの上の区分化（partitioning）を引き起こす

ここで、

この区分化で、式２７は次のとおり書き直せる。

または、

式（３８）の最初の列によって定義された応答係数を前提として、応答項は、次式を得るために第２の列から消去される。

該式は、一般的な応答チャネルｘによって引き起こされたＡ_F上の制約の集合である。すべての応答チャネルＸの集合を表すと、制約の最小二乗法集合を次によって力係数に課すことができる。

最も高い次数係数が単位行列であるべきであるという必要条件とともに、式（４０）は、次に、力位置で特有な行列多項式の最小二乗法解を定義し、該力位置から、系の極、すなわち固有値と左固有ベクトルまたはモード関与ベクトルは、上で説明された直交コンパニオン行列方法によって、数安定法で発見することができる。

ほんの1つの応答チャネルおよびすべての力チャネルがいつでも考慮される必要があり、1つの経路だけが完全なデータセット上で作られるので、随伴系(またはベッティ−マックスウェル方法)を使って系の極の計算がメモリーおよび計算の複雑性の両方に見事に能率的であることは、式（４０）の検査から明白である。

次のステップは、固有値およびモード関与因子の解に関係している。1つの実施例では、これは固有値およびモード関与ベクトルのための解を一般化のコンパニオン行列方程式を通しての直交した多項式座標系に含む。このアプローチを使う数値的な調整はとても好都合であり、我々が高精度で処理することができる固有ベクトルの数に関しての計算速度以外のどの実用的な限界も存在していない。式（８）から直交多項式のベースで表現された行列多項式Ａ(・)のための固有問題は次のとおりである。

次のように定義しよう。

ここで、式（９）を使って、式（４１）は、次のような線形化された式に書き直すことができる。

ここで、ＩはＶと同一次元の恒等行列ある。さらに、Ａ0＝Ｉと、コンパニオン行列Ａ^〜とを次式のようにしよう。

そのとき、式（４１）が次のように再公式化できるのは明らかである。

また式（４３）をこれに適用して次式が得られることは明らかである。

該式はつぎのとおり、代数的に処理できる。

該式は、固有値zのための一般化された固有値問題および適切な固有ベクトルＶ_０（ｚ）である。Ｖ_０（ｚ）固有ベクトルのＶセグメントは、モード関与因子と呼ばれている。オリジナル行列多項式の固有値問題（４１）を解くために力多項式に戻るように変換する結果として続いて起こるであろうように、数値的な正確さについての如何なる壊滅的な犠牲をも招かないように、式（４６）が直交多項式の座標系で作られることに留意すべきである。

次のステップは、スケーリングされた固有ベクトルを計算することを含む。ここで、固有値とモード関与ベクトルは、そのレゾルベント形式で伝達関数行列を書き込むために使われ、そこでは固有ベクトル成分が未知数として線形方式で存在していることが見られ、それゆえ、多くの標準の最小二乗法または最小ノルム法の形で解くことができる。

これは、最初、１９８５年にクロウリー（Crowley）他により、多点参照法（Polyreference method）での使用のために提案されたが、固有値とモード関与要因とが決定された後、今では一般的に使われる方法である。所定のモードのためのモード関与ベクトルおよび固有ベクトルの外積は、そのモード／極のための残差行列と呼ばれて、絶対量である。残差行列のノルムが小さいときまたは残差行列が単フェーズ挙動をあまりにも大きく逸脱しているとき、固有ベクトルは、一般化のコンパニオン行列から取り出されたすべての固有値のためのコンポーネントとして推定することができ、次に、無視できるものとして、または計算の根としてそのとき固有値の分類が可能となるであろう。従来技術で知られているように、単フェーズベクトルは、各コンポーネントが同フェーズにあるかまたは180度ずれた複素ベクトルである。

右固有ベクトルおよび残差が、すべての固有ベクトルの集合としてΛをまた、すべての左固有値として｛Ｖλ｜λεΛ｝を定義することにより、如何にして見つけられるかを示すことができる。周波数の単一チャネルｘに測定された応答は、次の和によって与えられる。

ここで、｛Ｌ_Ｘλ｜λεΛ｝は、ｘ応答位置の右固有ベクトルの集合であり、Ｆ（ω）は測定された力ベクトルである。右固有ベクトルは、式（４７）標準最小二乗法解によって見つけられ、残差行列Ｒ_λは単に次式である。

要約すると、本発明は、モーダルパラメータを推定するための、いくつかの点で有利なシステムおよび方法を提供する。例えば、本発明の方法は、多点参照、複素指数関数、ポリマックス（polymax）多最高、ＥＲＡおよびＩＴＤなどのようなｚ領域法を制限するエイリアシング問題の影響を受けない。さらに、本発明によって提供された数値調整は、先に言及した方法、有理分数直交多項式、直接的なパラメータ推定およびＩＳＳＰＡなどのラプラス領域法のそれらよりも優れている。さらに、本発明のプロセッサおよびメモリに対する要求は、これらの方法に匹敵するか、もしくはより低く、ベクトル処理および並列処理に貢献する。本発明の方法は、励振力の部分だけが測定されるとき、モード質量を含むモーダルパラメータの効率的で、安定した推定を提供する。

少なくとも1つの典型的な実施例が本発明の前述の詳細な説明で述べられたが、当然ながら、多数の変形が存在する。また、当然のことながら、ここに挙げた実施例または複数の典型的な実施例は典型的な例のみであり、どのような点においても、本発明の範囲、適用可能性または構成の制限を意図するものではない。むしろ、前述の詳細な説明は、本発明の典型的な実施例の実施に好都合な手引きを当業者に提供し、ここに添付の特許請求の範囲およびそれらの法的に均等物で示される本発明の範囲を逸脱することなく、典型的な実施例で説明された構成要素の機能および配置に種々の変更をなすことが可能なことを理解できよう。

本発明が使用される典型的な検査システムの概念図であり、 本発明の１実施例に係る方法を示すフローチャートであり、 本発明の１実施例に係る包括的なモーダルパラメータを抽出する方法を示すフローチャートである。

符号の説明

１００ システム
１０２ 供試構造体（検査構造体）
１０４ 励振源（励振信号）
１１０ 点
１１２ トランスジューサ
１１３ 応答信号
１２０ データ収集装置
１４０ 解析モジュール
１４２ モーダルパラメータ
１５０ ディスプレイ

Claims (14)

1. 検査構造体（１０２）のモーダルパラメータを抽出する方法であって、
   一組の励振信号（１０４）を検査構造体（１０２）に付与すること、
   前記検査構造体（１０２）からの一組の応答信号（１１３）を受信すること、
   前記励振信号（１０４）および応答信号（１１３）からモーダルパラメータを推定することを含み、該推定は前記一組の励振信号および前記一組の応答信号の部分集合からオートスペクトル行列の部分集合を計算すること、および行列分母多項式を抽出するように共役解を求めることを含む、モーダルパラメータ抽出方法。
2. さらに、前記行列分母多項式を推定すべく、操作変数のために直交多項式を使用することを含む、請求項１に記載の方法。
3. さらに、前記一組の励振信号および前記一組の応答信号のための周波数応答関数を決定することを含む、請求項１に記載の方法。
4. さらに、前記応答信号についての残差を計算することを含む、請求項１に記載の方法。
5. 前記モーダルパラメータの推定は、所定のモード次数のための一組の極を決定すること、１つまたは複数の安定線図を定義すること、および前記一組の極および１または複数の安定線図に基づいて前記モーダルパラメータを選択することを含む、請求項１に記載の方法。
6. さらに、前記モーダルパラメータを表示することを含む、請求項１に記載の方法。
7. 前記応答信号は、前記検査構造体（１０２）上の一点（１１２）での力、加速度、速度または変位の少なくとも1つを表す、請求項１の方法。
8. 検査構造体（１０２）のモーダルパラメータを抽出するための検査システムであって、
   前記検査構造体（１０２）に一組の励振信号を付与すべく構成された複数の励振信号源（１０４）と、
   前記検査構造体（１０２）に結合され、該検査構造体からの一組の応答信号（１１３）を受けるべく構成された複数のトランスジューサ（１１２）と、
   前記一組の応答信号を受け、該応答信号に応答した一組のデジタル信号（１２２）を生じるべく構成されたデータ収集装置（１２０）と、
   前記励振信号のオートスペクトルの行列の部分集合を計算し、行列分母多項式を抽出すべく共役解を解くことにより、前記励振信号の部分集合および前記一組の応答信号から前記モーダルパラメータを推定すべく構成された解析モジュール（１４０）とを含む、検査システム。
9. 前記解析モジュール（１４０）は、前記行列分母多項式を推定すべく、操作変数のために直交多項式を使用する、請求項８に記載のシステム。
10. 前記解析モジュール（１４０）は、前記一組の励振信号および一組の応答信号のための周波数応答関数を決定する、請求項８に記載のシステム。
11. 前記解析モジュール（１４０）は、前記応答信号についての残差を計算する、請求項８に記載のシステム。
12. 前記解析モジュール（１４０）は、所定モード次数のための一組の極を決定すること、１つまたは複数の安定線図を定義することおよび前記一組の極および１つまたは複数の安定線図に基づいて前記モーダルパラメータを選択することによって、前記モーダルパラメータを推定する、請求項８に記載のシステム。
13. さらに、前記モーダルパラメータを表示すべく構成されたディスプレイ（１５０）を含む、請求項８に記載のシステム。
14. 前記複数のトランスジューサ（１１２）は、検査構造体（１０２）上の一点での力、加速度、速度または変位のうちの少なくとも１つを測定すべく構成されている、請求項８に記載のシステム。

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