KR100954307B1 - 플렉시블 슬렌더-바디 시스템에 대한 비선형 솔버 - Google Patents

플렉시블 슬렌더-바디 시스템에 대한 비선형 솔버 Download PDF

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KR100954307B1
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Abstract

소정의 변위 경계 조건에 종속되는 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위해, 프로세스는 기하학적 비선형 유한 요소 해석을 사용한다. 이 프로세스는 동시 회전 업데이트를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘 (total Lagrangian formalism) 내에서의 복수의 증분 단계를 갖는다.
각각의 증분 단계에서, 유한 요소의 노드에서, 병진 및 회전 성분을 갖는 변위 벡터를 플렉시블 시스템의 유한 요소에 대해 연산한다. 이 변위 벡터의 연산은 시스템이 소정 변위의 일부에 종속될 때, 플렉시블 시스템의 에너지를 최소화함으로써 수행된다.
소정의 유한 요소에 대해, 동시 회전 업데이트는, 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 휨 회전 성분을 고려하지 않고, 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산함으로써 수행된다.
이 동시 회전 업데이트는 다음과 같은 이점을 갖는다: 업데이트된 요소 기준 프레임에서, 축들 중의 하나는 유한 요소의 노드를 연결하는 라인에 대해 평행하다. 이러한 특성은 각각의 증분 단계에서 유지되고, 모든 연산을 유사하게, 따라서 더 간단하고 쉽게 만든다.
플렉시블 시스템, 기하학적 비선형 유한 요소 해석

Description

플렉시블 슬렌더-바디 시스템에 대한 비선형 솔버{NON-LINEAR SOLVER FOR A FLEXIBLE SLENDER-BODY SYSTEM}
도 1 은 시작 컨피규레이션과 최종 컨피규레이션에서 다수의 중간 컨피규레이션을 도시하는 플렉시블 시스템의 개략도.
도 2 는 시작 컨피규레이션과 제 1 잠정 컨피규레이션에서, 플렉시블 시스템의 유한 요소 모델을 부분적으로 표현한 도면.
도 3 은 도 2 의 유한 요소의 확대도.
도 4 및 도 5 는 각종 기준 프레임을 갖는 유한 요소의 도면.
도 6 은 시스템의 노드가 자유도를 가질 경우에 사용된 프레임을 갖는 두 개의 유한 요소의 도면.
도 7 내지 도 22 는 본 프로세스의 각종 예를 도시한 도면.
*도면의 주요부분에 대한 부호의 설명*
2: 시작 컨피규레이션 20, 22, 24: 잠정 컨피규레이션
12 : 최종 컨피규레이션 4, 14, 6, 16: 기준 프레임
40: 유한 요소 41, 46: 노드
43, 48: 노드 기준 프레임 71, 76: 변위된 노드
73, 78: 업데이트된 노드 기준 프레임
본 발명은 컴퓨터 프로그램 및 시스템 분야에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 부품 설계 프로그램 및 이러한 제약조건-기반 시스템 (constraints-based system) 에 관한 것이다.
부품의 설계 또는 부품의 조립을 위한 시장에서는, CATIA 라는 상표로 출원인에 의해 제공되는 것과 같은 다수의 시스템 및 프로그램이 제공되고 있다. 이러한 소위 컴퓨터 보조 설계 (CAD : Computer-aided design) 시스템은 사용자가 부품 또는 부품 어셈블리의 복잡한 3 차원 (3D) 모델을 구성하고 조작할 수 있도록 한다. 이러한 시스템 및 프로그램은 모델을 정의하기 위한 다양한 제약조건을 사용한다. 모델이 편집될 때의 일련의 제약조건은 시스템에 의해 해결된다. 일련의 제약조건을 해결하기 위해 사용되는 프로그램 또는 시스템은 일반적으로 "솔버 (solver)" 라고 불린다. 이러한 솔버는 CAD/CAM/CAE 시스템이나, 보다 일반적으로는, 임의의 종류의 대상물 (object) 을 정의하기 위한 제약조건을 사용하는 시스템에 사용된다. 설계중인 대상물과, 이들 대상물에 적용되는 제약조건의 종류에 대해 솔버가 채택된다. CATIA 에서 사용되는 것과 같은 솔버는 입체 대상물의 설계를 위해 채택되고, 제약조건은 대상물들 사이의 차원적인 제약조건, 응력, 접촉 등을 포함한다.
케이블, 호스, 튜브, 파이프, 벨트, 호일, 게이터 (gaitor), 리본, 하네스 (harness), 체인, 와이어, 로프, 끈, 빔, 막대, 샤프트, 스프링 등이 단독으로 또는 조합되어 슬렌더-바디 플렉시블 입체 물리적 시스템 (slender-body flexible solid physical systems) 의 변형된 형상을 시뮬레이팅할 수 있게 하는 것이 솔버에 있어 필요하다. 일반적인 솔버는 통상적으로 CAD/CAM/CAE 시스템에서 설계되는 대상물과 비교하여, 이러한 슬렌더-바디 플렉시블 시스템의 제약조건을 기술하기 위해 항상 채택되는 것은 아니고; 슬렌더-바디 플렉시블 시스템은 그들의 애스펙트 비 (aspect ratio) (AR = 가장 큰 디멘션 / 그보다 작은 디멘션의 평균값, 즉: 길이 / 평균 단면 직경) 가 통상적으로 높다 (예를 들어: AR > 5) 는 사실으로 특징화된다; 즉, 그들의 형상이 횡축 단면 특성과 함께 커브 ("뉴트럴 라인 (neutral line)") 에 의해 기술될 수 있다. 이러한 특징은 시스템이 슬렌더 바디로 이루어졌다는 사실을 나타낸다.
이러한 슬렌더-바디 플렉시블 시스템과 통상적으로 CAD/CAM/CAE 시스템에서 설계되는 대상물들 사이의 또 다른 차이점은, 로드 (load) 의 작용 하에서 그 뉴트럴 라인 상의 구분되는 점들은 독립적으로 임의의 큰 회전을 경험한다는 점에서, 그들의 높은 변형성 ("기하학적 비선형성 (geometrical non-linearity)") 에 있다. 다시 말해서, 슬렌더-바디 플렉시블 시스템에 대해서, 시스템의 변형된 형상은 그 시스템의 변형되지 않은 형상과 실질적으로 다를 수도 있다는 것이다. 반대로, 기존의 CAD/CAM/CAE 시스템의 기하학적 선형 솔버는 대상물의 변형된 형상이 변형되지 않은 형상에 근사하다는 가정 하에 동작한다. 보다 일반적으로, 큰 회전이 수행되는, 라디언 (radian) 단위의 회전 각도 (대표적으로 5 도이지만, 이 수치는 용인되는 모델링 에러량에 따라 변동될 수 있음) 가 접선에 의해 근사화될 수 없는 시스템은 "기하학적으로 비선형인 시스템"으로 통상 간주된다. 이와 달리, 아래의 Green-Lagrange 계측:
Figure 112006024587411-pat00001
과 같은 "큰 변형률 (large strain)" 정의식이, Green-Lagrange 계측의 곱셈항(product term)
Figure 112006024587411-pat00002
을 무시할 수 없을 경우의 변형률 텐서 성분 (strain tensor component) :
Figure 112006024587411-pat00003
의 "작은 변형률 (small strain)" 정의식으로 대체될 수 없을 때에, 시스템이 비선형 (non-linear) 이라고 말할 수 있다.
특히 자동차와 항공 우주 산업에서 슬렌더-바디 플렉시블 시스템에 채택된 솔버의 필요성이 존재한다. 이들 산업에서는, 케이블, 파이프 등을 자동차나 비행기의 바디를 통하여 설계하고 시뮬레이팅할 필요가 있다.
"플렉시블 부품 설계를 위한 FEM 의 사용 (Use of the FEM for the Design of Flexible Parts)", Charles.Andre de Hillerin, Proceedings of NAFEMS World Congress 1999, pp. 345-356, 에서는 통합 CAD-CAE 툴을 사용한 하이 플렉시블 성분의 거동의 시뮬레이팅을 논하고 있다. 본 문헌은 제어된 동시 회전 업데이팅 (co-rotational updating) 을 통해서, 증분 토탈 라그랑주 포뮬레이션 (incremental total Lagrangian formulation) 에 기초하여, 정해진 말단 위치와 방향에 종속되는 임의의 단면의 플렉시블 케이블의 평형 형상을 연산하기 위한 방법을 설명한다. 솔루션은 각각의 반복 (iteration) 에서 정확한 라인 서치 (line search) 를 수행함으로써, 다이렉트 그라디언트 메소드 (direct gradient method) 로 획득된다.
이 문헌은 증분 토탈 라그랑주 포뮬레이션에서 어떻게 동시 회전 업데이팅을 수행하는지는 교시하지 않는다. 또한, 이 문헌은 오직 정해진 말단 위치를 망라할 뿐이고, 말단 위치에서 시스템의 자유도 (degree of freedom) 의 어떤 릴리스 (release) 도 고려하지 않는다. 마지막으로, 이 문헌에서는 시작 케이블의 구성은 플렉시블 연장 시스템의 수직 안정 형상이다.
Y. Toi 외, "형상 기억 합금 헬리칼 스프링의 고탄성, 대변형의 유한 요소 (Finite element of superelastic, large deformation behaviour of shape memory alloy helical springs)", Computers and Structures 82 (2004), 1685-1693, 에서는 토탈 라그랑주 어프로치 (total Lagrangian approach) 를 이용하는 유한 요소 해석 (finite element analysis) 을 논하고 있다. 이 문헌의 어디에도 동시 회전 업데이트에 관한 언급은 없다. 사실, 페이지 1688, 오른 쪽 열, 섹션 3.2 에서, 이 문헌은 축 방향에서의 변위에 대한 비선형 텀은 무시되는 것으로 나타내고 있다. 이는 회전 변위에 대한 비선형 텀은 무시되지 않는다는 것을 나타낸다; 그렇지 않다면, 문제는 전체적으로 선형 문제가 될 것이고, 이는 이 문헌에서 논하고 있는 비선형 반복 연산을 필요로 하지 않는다. 이러한 관점에서, 동시 회전 업데이트는 수행될 필요가 없다.
본 발명의 목적은 기하학적 비선형 유한 요소 해석을 사용하고, 동시 회전 업데이트를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘 내에서 복수의 증분 단계를 포함하는, 소정의 변위 경계 조건에 종속되는 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 프로세스를 제공하는 데 있다.
본 발명에 따르면, 기하학적 비선형 유한 요소 해석 (geometrically non-linear finite element analysis) 을 사용하고, 동시 회전 업데이트 (co-ratational update) 를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘 내에서 복수의 증분 단계를 포함하는, 소정의 변위 경계 조건에 종속되는 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 프로세스가 제공되고, 여기서, 각각의 증분 단계는, 소정 변위의 일부 (fraction) 에 종속될 때 플렉시블 시스템의 에너지를 최소화함으로써, 유한 요소 (finite element) 의 노드에서, 병진 (translational) 및 회전 성분을 갖는, 변위 벡터를 플렉시블 시스템의 유한 요소에 대해 연산하는 단계를 포함하고; 또한, 소정의 유한 요소에 대해, 동시 회전 업데이트는, 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 휨 (bending) 회전 성분을 고려하지 않고 업데이트된 요소 기준 프레임 (updated elementary frame of reference) 을 연산하는 단계를 포함한다.
일 실시형태에서, 동시 회전 업데이트는 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 병진 성분에만 기초하여 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산하는 단계를 포함한다. 이 경우, 업데이트된 요소 기준 프레임은
- 유한 요소의 노드를 연결하는 라인을 유한 요소의 변위된 노드에 연결된 라인 상으로 가져오기 위해 필요한 최소 회전을 도출하는 단계;
- 상기 동시 회전 업데이트 이전에 상기 최소 회전을 상기 유한 요소의 요소 기준 프레임에 인가하는 단계로 연산될 수도 있다.
또 다른 실시형태에서, 동시 회전 업데이트는
- 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 비틀림 (torsional) 회전 성분의 평균값, 및
- 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 병진 성분
에 기초하여 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산하는 단계를 포함한다.
이 경우, 업데이트된 요소 기준 프레임은
- 노드의 비틀림 회전 성분의 평균값으로, 노드를 연결하는 라인과 일치하는 축 주위로의 상기 동시 회전 업데이트 이전에, 상기 유한 요소의 요소 기준 프레임을 회전시키는 단계;
- 유한 요소의 노드를 연결하는 라인을 유한 요소의 변위된 노드에 연결된 라인 상으로 가져오기 위해 필요한 최소 회전을 도출하는 단계; 및
- 상기 최소 회전을 회전된 요소 기준 프레임에 인가하는 단계로써 연산될 수도 있다.
업데이트된 요소 기준 프레임의 축은 변위된 유한 요소의 노드를 연결하는 라인과 일치하는 것이 바람직하다.
또 다른 실시형태에서, 유한 요소의 노드는, 노드 기준 프레임이 제공되고, 증분 단계는 유한 요소의 변위된 노드에 대해, 노드에서의 변위 벡터의 회전 성분만큼 노드 기준 프레임을 회전시킴으로써 업데이트된 노드 기준 프레임을 연산하는 단계를 더 포함한다.
그 다음,
- 유한 요소에 대한 노드의 위치, 및
- 노드 기준 프레임에 기초하여 플렉시블 시스템에 대해 매끄럽게 된 형상을 보간하는 단계를 제공할 수도 있다.
그 다음, 보간된 매끄러운 형상이 디스플레이될 수도 있다.
프로세스의 일 실시형태에서, 플렉시블 시스템의 최소화된 에너지는 노드의 노드 기준 프레임과 그 노드를 포함하는 유한 요소의 요소 기준 프레임 사이의 차이에 관한 함수이다.
이 경우, 프로세스는 증분 단계 동안, 유한 요소의 노드에서, 요소 기준 프레임을 노드 기준 프레임으로 변환하는 회전을 연산하는 단계를 추가로 포함할 수도 있고; 그러면, 최소화된 에너지는 그 연산된 회전에 의존하게 된다.
바람직하게는, 플렉시블 시스템의 최소화된 에너지는 노드의 노드 기준 프레임과 그 노드를 포함하는 유한 요소의 요소 기준 프레임 사이의 차이에 의한 스케일링 인자의 곱 (product of a scaling factor) 의 함수이고, 프로세스는 스케일링 인자 (scaling factor) 를 하나의 증분 단계에서 또 다른 증분 단계로 변화시키는 단계를 추가로 포함한다. 하기의
- 스케일링 인자는 수동으로 변화되는 것;
- 증분 단계에서 에너지를 최소화하기 위한 다수의 반복 (iteration) 에 따라 스케일링 인자가 변화되는 것; 또는
- 유한 요소에 대한 요소 기준 프레임과 유한 요소에 대한 노드 기준 프레임 (nodal frame of reference) 사이의 차이에 따라 스케일링 인자가 변화되는 것을 제공하는 것이 가능하다.
또 다른 실시형태에서, 에너지를 최소화하는 단계는 반복적으로 수행될 수 있고,
- 나머지 (residual) 와 변위 변동의 스칼라 곱을 연산하는 단계, 및
- 그 스칼라 곱의 값에 따라 반복을 정지시키는 단계를 포함한다.
소정의 변위 경계 조건은 플렉시블 시스템의 하나의 노드에서 1 이상의 자유도 릴리스 (at least one degree of freedom release)를 포함하는 것을 추가로 제공할 수도 있고; 그러면, 로컬 기준 프레임 (local frame of reference) 에서, 릴리스된 자유도를 갖는 노드에 대해, 최소화하는 단계가 수행된다. 그러면, 그 노드에서 릴리스된 자유도는 로컬 기준 프레임의 일 축을 따라 표현될 수도 있다.
마지막으로, 본 발명은, 그러한 프로세스의 모든 단계를 컴퓨터상에서 실행하도록 구성된 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 포함하는 컴퓨터 판독가능 매체 상에 상주하는 컴퓨터 프로그램 제품을 제공한다.
이하, 본 발명을 구현하는 시스템에 대하여, 비-한정적인 예에 의해 첨부한 도면을 참조하여 설명한다.
본 발명은 우선, 종래의 증분 토탈 라그랑주 포뮬레이션 (incremental total Lagrangian formulation) 에서 동시 회전 업데이팅에 대한 솔루션을 제안한다. 명확함을 위해, NAFEMS World Congress 문헌 (이하 NAFEMS 문헌이라 한다) 에 개시된 프로세스가 본 명세서에 다시 논의된다. 본 설명의 첫 번째 부분에서, 양 단부에서 플렉시블 시스템의 소정의 기준 변위가 충분히 결정되는 경우를 고려한다.
본 프로세스의 목적은, 플렉시블 시스템이 소정의 변위 경계 조건에 따를 경우에 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 것이다. 도 1 의 참조번호 2 는 플렉시블 시스템의 시작 컨피규레이션 (configuration) 을 나타낸다. 시스템의 양 단부에는, 기준 프레임 (4 및 6) 이 표시되어 있다. 이들 기준 프레임은 로컬 기준 프레임이고, 양 단부에서 플렉시블 시스템의 방위 (orientation) 를 표시하고 있다. 따라서, 용어 "변위" 는 플렉시블 시스템의 단부의 위치를 포함할 뿐만 아니라, 플렉시블 시스템의 방위도 포함하는 것으로 이해할 수 있다. 이에 따라, 한 지점의 변위는 6개의 자유도를 포함한다.
도 1 의 참조번호 12 는 플렉시블 시스템의 최종 컨피규레이션을 나타내며, 참조번호 14 및 16 은 플렉시블 시스템의 양쪽 단부에서의 기준 프레임을 나타낸다. 제 1 단부 (기준 프레임 6 및 16) 에서, 변위는 위치의 변위를 포함하고, 기준 프레임 (6 및 16) 의 축은 평행하다. 제 2 단부 (기준 프레임 4 및 14) 에서는, 변위는 위치 및 방위에서의 변위를 포함하고, 기준 프레임 (14) 의 축은 기준 프레임 (4) 의 축에 비해 회전되어 있다.
또한, 도 1 은 플렉시블 시스템의 잠정 컨피규레이션 (20, 22 및 24) 을 도시한 것이다. 도 1 의 잠정 컨피규레이션의 수는 오로지 설명을 위해 선택된 것이다. 하나의 컨피규레이션으로부터 다음 컨피규레이션으로 통과 (이것은 하나의 증분 단계를 나타냄) 하기 위하여, 소정 변위의 일부가 플렉시블 시스템으로 인가된다. 도 1 의 예에서는, 3 개의 잠정 컨피규레이션과 이로 인한 4 개의 증분 단계에 의하여, 소정 변위의 1/4 을 플렉시블 시스템에 인가함으로써 하나의 컨피규레이션으로부터 다음 컨피규레이션으로 통과하게 된다. 예를 들어, 제 1 증분 단계에서는, 병진 및 회전 상태인 소정 변위의 1/4 을 플렉시블 시스템의 단부에 인가함으로써, 시작 컨피규레이션 (2) 으로부터 제 1 잠정 컨피규레이션 (20) 으로 통과하게 된다.
플렉시블 시스템의 각 잠정 컨피규레이션과 최종 컨피규레이션은 기하학적으로 비선형인 유한 요소 해석을 이용하여 연산되며, 구체적으로, 플렉시블 시스템은 일련의 유한 요소로서 표현되어 있다. 설명을 위하여, 제 1 증분 단계가 참조되며, 이 제 1 증분 단계에서는, 시작 컨피규레이션 (2) 으로부터 제 1 잠정 컨피규레이션 (20) 으로 통과하게 된다. 도 2 는 기준 프레임 (4) 과 일부 요소를 갖는 시작 컨피규레이션 (2) 의 일부를 도시한 것이다. 다수의 요소 (30, 35, 40, 45) 가 도시되어 있고, 각 요소는 두 개의 노드 (31, 36, 41, 46 및 51) 사이에 연장되어 있다. 노드 (31) 는 실제로 플렉시블 시스템의 단부이다. 각 요소 (30, 35, 40, 45) 는 도 2 에서 (32, 37, 42 및 47) 로 도면번호가 붙여진 요소 기준 프레임과 연관되어 있다. 또한, 도 2 는 제 1 잠정 컨피규레이션 (20) 과 각 노드를 부분적으로 도시한 것이고, 요소와 기준 프레임은 30 으로 증가된 참조번호를 가진다.
각 증분 단계에서는, 플렉시블 시스템이 소정의 변위 부분을 따를 경우에 플렉시블 시스템의 전체 위치 에너지를 최소화한다. 플렉시블 시스템의 전체 위치 에너지는 플렉시블 시스템을 구성하는 각각의 유한 요소의 전체 위치 에너지의 합으로서 연산된다. 이것은 NAFEMS 자료에 개시된 반복과정 프로세스에 의해 수행된다. 이 반복과정 프로세스는 이하에 논의되는 바와 같이 수행될 수도 있다.
각 증분 단계에서는, 동시 회전 업데이트를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘을 사용한다. NAFEMS 자료의 섹션 4.3.2.1에서 논의된 바와 같이, 소정의 증분 단계 내의 변위 (또는 NAFEMS 자료에서 사용된 용어 중에서 "palier")는 이전 증분 단계에서 얻어진 솔루션에 대응하는 컨피규레이션에 대해 측정된다. 바꾸어 말하면, 하나의 증분 단계에서는, 증분 단계의 초기에 플렉시블 시스템의 컨피규레이션의 요소에 연관된 요소 기준 프레임에서, 각 요소에 대하여 플렉시블 시스템의 전체 위치 에너지의 최소화가 수행된다. 도 2 의 예에서는, 증분 단계의 초기의 컨피규레이션이 시작 컨피규레이션 (2) 이다. 그러므로, 도 2 의 요소 기준 프레임 (32, 37, 42 및 47) 인 시작 컨피규레이션에 대응하는 기준 프레임에서 제 1 잠정 컨피규레이션을 얻기 위하여 플렉시블 시스템의 전체 위치 에너지를 반복적으로 최소화하게 된다.
그러나, 다음 증분 단계에 대하여, 제 1 잠정 컨피규레이션에 대응하는 업데이트된 기준 프레임을 참조하게 될 것이다. 즉, 그 이후의 증분 단계는 제 1 잠정 컨피규레이션 (20) 으로부터 제 2 잠정 컨피규레이션 (22) 으로 통과하게 된다. 제 1 잠정 컨피규레이션과 연관된 요소 기준 프레임 (62, 67, 72 및 77) 에서는 제 2 증분 단계의 연산이 수행된다. 이것은 다음 증분 단계 이전에 각 증분 단계의 종료시에 새로운 기준 프레임을 연산하는 것을 필요로 한다. NAFEMS 자료는 각 요소에 대한 업데이트된 기준 프레임의 연산에 대해 더 상세한 설명을 제공하지 않는다. 바꾸어 말하면, 동시 회전 업데이트가 제시되더라도, 이 동시 회전 업데이트의 수행에 관해서는 설명이 제공되지 않는다.
본 발명은, 변위 벡터의 휨 회전 성분을 참조하지 않고도, 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 성분에 의거하여, 하나의 주어진 유한 요소에 대한 동시 회전 업데이트를 진행하는 것을 제시하고 있다.
본 발명의 솔루션은, 업데이트된 요소 기준 프레임에서, 하나의 축이 유한 요소의 노드를 연결하는 라인과 평행하다는 점을 보증하는 장점을 가진다. 이 특성은 각 증분 단계에서 유지되며, 모든 연산을 유사하게 하여, 보다 간단하고 용이하게 한다.
도 3 은 도 2 의 유한 요소 (40 및 70)의 확대도이다. 시작 컨피규레이션에는 노드 (41 및 46) 가 도시되어 있고, 유한 요소 (40) 는 노드 (41 및 46) 사이에 연장되어 있다. 유한 요소 (40) 의 요소 기준 프레임 (42) 은 축 x, y 및 z를 가진다. x-축은 노드 (41 및 46) 를 연결하는 라인과 평행하다.
플렉시블 시스템의 전체 위치 에너지를 최소화하여 플렉시블 시스템의 각 노드에 변위 벡터를 제공한다. 변위 벡터는 병진 성분 (ux, uy, uz) 과 회전 성분 (θx, θy, θz) 을 포함한다. 병진 성분 (ux, uy, uz) 은 각 노드의 위치에서의 변위를 나타내고, 병진 성분은 용이하게 알 수 있으며, 도 3의 예에서는, 노드 (41) 내지 노드 (71) 또는 노드 (46) 내지 노드 (76) 의 위치에서의 변위에 대응한다.
회전 성분 (θx, θy, θz) 은 각 노드의 방위에서의 변위를 나타내고, 이 회전 성분은, 시스템이 플렉시블 시스템이어서 주어진 노드에서의 시스템의 방위가 하나의 증분 단계에서 변경된다는 사실을 나타내고 있다.
회전 성분은, 증분 단계의 종료시에 획득된 컨피규레이션의 주어진 노드에서 플렉시블 시스템에 인가되는 휨 (bending) 을 나타내고 있는 휨 회전 성분 (bending rotational component) 을 포함한다.
또한, 회전 성분은 주어진 노드에서 플렉시블 시스테에 인가되는 비틀림 (torsion) 을 나타내고 있는 비틀림 회전 성분을 포함한다.
노드 (41) 에서의 회전 성분 (θx, θy, θz) 이 요소 (40) 의 기준 프레임 (42) 에서 표현되어 있으면, x-축은 노드 (41) 로부터 노드 (46)로 연장되어 있는 라인과 평행하며, 비틀림 성분은 축 x 를 따라 계측된 성분 θx 이다. 휨 회전 성분은 성분 θy 및 θz 이다. 즉, 휨 회전 성분은, 유한 요소의 노드를 연결하는 라인에 대해 평행한 요소 기준 프레임의 x-축을 가로지르는 축을 따르는 노드의 회전을 나타내고 있다.
비틀림 회전 성분은 θx 이고, 요소 기준 프레임의 x-축을 따르는 노드에 인가되는 비틀림 (torsion) 을 나타내고 있다.
제 1 실시형태에서는, 오로지 유한 요소의 노드에서의 변위 벡터의 병진 성분에만 의거하여 업데이트된 요소 기준 프레임이 연산된다. 이 실시형태는 2 차원으로만 변형하는 플렉시블 시스템에 적합하게 되어 있으며, 이러한 경우, 플렉시블 시스템은 임의의 비틀림 회전 제약조건에 종속되지 않고, 2D 평면에서만 휘어진다. 이러한 평면 변형의 예는 양 단부에서 클램프(clamp) 된 수평 빔에 의해 제공되고, 중력에 의해 작용을 받아서, 일 단부에 부과된 수평 압축 변위를 따르게 된다.
이 경우, 업데이트된 요소 기준 프레임은 아래와 같이 연산될 수도 있다. 증분 단계의 초기의 컨피규레이션에서는, 두 개의 노드 P1 및 P2 를 연결하는 유한 요소 P1P2 를 참조한다. 이 유한 요소에 대한 기초 프레임은 3개의 축 x, y 및 z 를 가진다. x-축은 두 개의 노드를 연결하는 라인 (P1P2)과 평행하다. y-축은 2D 평면의 x-축에 대해 수직이다. z-축은 2D-평면에 대해 수직이다.
(ux1, uy1, uz1) 을, 유한 요소의 제 1 노드 P1 에서 연산되어 유한 요소의 요소 기준 프레임에서 계측된 변위 벡터의 병진 성분이라고 한다. (θx1, θy1, θz1) 을, 유한 요소의 제 1 노드 P1 에서 연산된 변위 벡터의 회전 성분이라고 한다. 이와 유사하게, (ux2, uy2, uz2) 와 (θx2, θy2, θz2) 를, 유한 요소의 요소 기준 프레임에서 계측된, 제 2 노드 P2 에 대한 변위 벡터의 회전 및 병진 성분이라고 한다. P1' 및 P2' 는 증분 단계에서 연산된 변위된 노드이다.
2D 인 경우의 플렉시블 시스템은 어떠한 비틀림 상수도 가지지 않으므로, θx1 = θx2 = 0 이다. 제 1 및 제 2 노드에서의 비틀림 회전 제약조건은 제로 (zero) 이다. 플렉시블 시스템은 2D 평면 내에서 이동하여 uz1 = uz2 = 0 이 된다.
따라서, 제 1 및 제 2 노드에서의 변위 벡터의 휨 회전 성분은 θz1 및 θz2 으로 표현된다.
이 실시형태에서는, 업데이트된 요소 기준 프레임이 아래와 같이 연산된다. 요소 기준 프레임의 x-축은 변위된 노드 P1' 및 P2' 를 연결하는 라인 (P1'P2') 에 대하여 평행하게 설정된다. x-축은 P1' 으로부터 P2' 의 방향으로 방위가 정해져 있다. 플렉시블 시스템이 이동하고 있는 2D 평면에서는, y-축이 x-축에 대해 수직이다. z-축은 다시 2D 평면에 대해 수직이다. 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산하기 위하여, 변위 벡터의 회전 성분이 참조되는 것은 아니다.
제 2 실시형태에서는, 유한 요소의 노드에서의 변위 벡터의 병진 성분 및 비틀림 회전 성분에 의거하여, 업데이트된 요소 기준 프레임이 연산된다. 이 실시형태는 3 차원에서 변형하는 플렉시블 시스템에 적합하게 되어 있다. 이것은 예를 들어, 케이블에 적용되며, 케이블에 인가된 비틀림 제약조건은 케이블의 3D 변형으로 귀결되며, 보다 일반적으로는, 직선 중립 라인이 비-평면 (non-planar) 의 곡선으로 변형하는 임의의 상황으로 귀결된다.
노드 P1 및 P2 에 대한 변위 벡터는 제 1 실시형태에서와 같이 참조되며, 이 실시형태에서는, θx1 = θx2 = 0 또는 uz1 = uz2 = 0 이라고 가정할 이유가 없다. 업데이트된 요소 기준 프레임은 아래와 같이 연산된다. 먼저, 노드 P1 및 P2 의 비틀림 성분 θx1 및 θx2 를 참조한다. 업데이트된 요소 기준 프레임은,
- 요소 기준 프레임에 대하여, x-축에 따른 회전, 즉, 노드 P1 및 P2 의 평균 비틀림 회전 성분 (θx1 + θx2)/2 와 동일한 각도를 갖는 라인으로서 노드 P1 및 P2 를 연결하는 라인 (P1 P2) 을 따르는 회전을 인가하고,
- 회전된 프레임에 대하여, 노드 P1 으로부터 노드 P2 로 향하는 단위 벡터를 노드 P1' 으로부터 노드 P2' 으로 향하는 단위 벡터로 변환하는 최소 회전과 동일한 회전을 인가하며, 이 회전은 변위 벡터의 병진 성분 (ux1, uy1, uz1) 및 (ux2, uy2, uz2) 에 의거하여 연산되며, 변위 벡터의 회전 성분 (θx1, θy1, θz1) 및 (θx2, θy2, θz2) 를 참조하지 않는,
위의 두 단계에 의해 연산된다.
바꾸어 말하면, 증분 단계 도중에 사용된 요소 기준 프레임은 노드에 인가되는 평균 비틀림 회전 성분에 대응하는 양만큼 먼저 회전하게 되고, 다음으로, 그 회전된 프레임이 더 회전하게 되어, 업데이트된 요소 기준 프레임의 x-축이 변형된 노드 P1' 및 P2' 를 연결하는 라인 (P1'P2') 과 평행하게 된다.
제 1 실시형태에서와 같이, 업데이트된 기준 프레임의 x-축은 변위된 노드 P1' 및 P2' 를 연결하는 라인과 평행하지만, 제 1 실시형태와 반대로, y-축 및 z-축은 노드에 인가된 비틀림 변위를 참조하여 회전하게 되므로, xy-평면은 일정하게 유지할 이유가 없다.
두 실시형태에서는, 유한 요소의 노드에서 변위 벡터의 휨 회전 성분을 참조하지 않고도 업데이트된 요소 기준 프레임이 연산된다. 또한, 두 실시형태에서는, 요소 기준 프레임의 x-축이 유한 요소의 노드를 연결하는 라인에 대해 평행하게 유지된다.
위에서 논의된 프로세스는 각 유한 요소에 대하여 업데이트된 기준 프레임을 제공한다. 이 업데이트된 기준 프레임은 다음 증분 단계에서의 반복적인 연산을 위해 사용될 수도 있다. 요소 기준 프레임의 업데이트는 유한 요소 해석에서 사용된 근사법이 유효함을 보증한다. 구체적으로, NAFEMS 자료의 섹션 4.1.1.1 에 개시된 케이블 운동학
u(x, y, z) = u0(x) - y.θz(x) + z.θy(x)
v(x, y, z) = v0(x) - z.θy(x)
w(x, y, z) = w0(x) + y.θz(x) 는,
회전 θy 및 θz 가 충분히 작은 동안에는 유효하게 유지되므로, sinθ
Figure 112009081788869-pat00004
θ 이며, 이 가정은 요소 기준 프레임이 위에서 논의된 바와 같이 업데이트 될 경우에 유효하다.
요소 기준 프레임의 동시 회전 업데이트는 각 노드에서의 변위 벡터의 휨 성분을 참조하지 않는다. 변위 벡터의 휨 성분은 노드 기준 프레임의 업데이트 처리를 위해 참조된다.
또한, 증분 단계는 시스템의 경사-불연속 (slope-discontinuous) 표시인 플렉시블 시스템의 유한 요소 표시를 제공한다. 플렉시블 시스템의 평탄한 그리고 경사-연속적인 표시를 얻기 위하여, 본 발명은 노드 기준 프레임의 이용을 제시하고 있다. 노드 기준 프레임은 플렉시블 시스템의 각 노드와 연관되어 있다. 노드 프레임은, 변위 벡터의 휨 회전 성분을 참조함으로써, 요소 기준 프레임과 별개로 업데이트 된다.
또한, 도 3은 노드 기준 프레임을 도시한 것이다. 시작 컨피규레이션 (2) 에서는, 노드 기준 프레임이 아래와 같이 정의된다:
- 각 노드 기준 프레임의 x-축은 플렉시블 시스템에 대해 접한다.
- 각 노드 기준 프레임의 y-축은 중립 라인을 따르는 케이블 시스템의 비틀림을 나타내고, 바꾸어 말하면, 플렉시블 시스템의 일 단부, 예를 들어, 제 1 노드 (31) 에서 y-축의 소정의 임의의 방향이 선택된다. 다음 노드에 대하여, 플렉 시블 시스템에 인가되는 비틀림 제약조건을 참조하여, y-축은 y-축에 대하여 수직인 것으로 결정된다. 따라서, 플렉시블 시스템이 평면 내에서 임의의 비틀림을 가지지 않으면, 각종 노드 기준 프레임에 대한 y-축은 모두 평면에 놓여 있거나, 모두 평면에 대해 직교한다.
- 각 노드 기준 프레임의 z-축은 프레임의 모든 축이 수직이 되도록 되어 있다.
각 증분 단계에서는, 노드 기준 프레임이 아래와 같이 업데이트 된다. 노드 P1 에서의 노드 기준 프레임은 그 노드에서의 변위 벡터의 회전 성분 (θx1, θy1, θz1) 에 의해 회전되어 업데이트 된다. 업데이트된 노드 기준 프레임의 원점은 변위된 노드 P1' 에 있다. 이것은, 각각의 노드 (71 및 76)에 대한 노드 기준 프레임 (73 및 78) 뿐만 아니라, 각각의 노드 (41 및 46) 에 대한 노드 기준 프레임 (43 및 48) 과 함께, 도 3 에 표시되어 있다. 또한, 도 3 은 두 개의 점을 갖는 단절된 라인에서, 플렉시블 시스템의 평탄화된 컨피규레이션을 도시한 것이다. 노드 기준 프레임의 업데이트는 변위 벡터의 휨 및 비틀림 회전 성분을 참조한다.
노드 기준 프레임을 제공하는 것은, 각 증분 단계에서, 플렉시블 시스템의 형상을 연산할 수 있도록 한다. 플렉시블 시스템의 형상은 노드의 위치와, 노드 기준 프레임에 의거하여 연산된다. 구체적으로, 플렉시블 시스템의 형상은 각종 노드에서의 노드의 위치와 노드 기준 프레임을 이용하여 보간된다. 이하의 보간 규칙이 사용될 수도 있다:
- 플렉시블 시스템은 각 노드를 통과해야 한다.
- 각 노드에서는, 플렉시블 시스템이 노드 기준 프레임의 x-축에 대해 접해야 한다.
- 각 노드에서는, y-축 및 z-축이 케이블에 적용되는 비틀림 제약조건을 나타내고 있다.
플렉시블 시스템의 형상을 보간하기 위하여, 예를 들어, 큐빅 스플라인 보간 (cubic spline interpolation) 과 같은 삽화 보간 툴의 상태를 이용할 수도 있다.
보간 단계는 플렉시블 시스템의 변형된 형상을 사용자에게 표시하기 이전에 수행되는 것이 바람직하다. 따라서, 사용자에게는 변형된 플렉시블 시스템의 평탄화된 도면이 제공될 수도 있고, 플렉시블 시스템의 유한 요소 도면이 제공되지 않을 수도 있다.
각 증분 단계에서는, 노드기준 프레임으로 인해, 단계의 시작 시점에 플렉시블 시스템에 인가되는 초기 응력 (initial stress) 이 참조될 수도 있다. 위에서 설명한 바와 같이, 유한 요소의 노드에 인가되는 변위 벡터의 휨 회전 성분을 참조하지 않고도, 요소 기준 프레임이 업데이트 된다. 다른 한편으로, 노드에 인가되는 변위 벡터의 모든 회전 성분에 의거하여, 노드 기준 프레임이 업데이트 된다. 요소 기준 프레임과 노드 기준 프레임을 업데이트 한 후, 다른 노드의 한 쪽에 있는 요소 기준 프레임과 노드 기준 프레임 사이에 있는 하나의 노드에서의 각도 차이는 휨 회전 성분의 양을 나타내고 있다. 이 차이는 플렉시블 시스템에 인가되는 초기 응력의 양을 또한 나타내고 있다.
또한, 본 발명은 증분 단계의 시작 시점에 플렉시블 시스템에 인가되는 초기 응력을 계측하는 수단으로서 노드 기준 프레임을 이용하는 것에 대해 제시하고 있다. 이것은, 플렉시블 시스템의 각 유한 요소의 각 노드에서, 노드 기준 프레임을 유한 요소의 요소 기준 프레임과의 비교에 의해 수행된다. 상기 비교 (또는 노드 기준 프레임과 요소 기준 프레임 사이의 차이) 는 플렉시블 시스템에 인가되는 초기 응력을 나타내고 있다. 하나의 가능한 비교는 요소 기준 프레임을 노드 기준 프레임으로 변환하는 회전을 연산하는 것에 있다. 이 회전의 각도는 노드의 초기 응력을 나타내고 있으며, 증분 단계 도중에 최소화되는 에너지에 대응하는 기여도를 연산하기 위해 사용될 수도 있다. 노드를 포함하는 두 개의 유한 요소에 대한 노드 기준 프레임과 요소 기준 프레임 사이의 어느 하나의 주어진 노드에서의 차이를 참조할 수도 있다. 이와 달리, 주어진 요소에 대한 요소 기준 프레임과, 유한 요소를 구성하는 노드의 노드 기준 프레임 사이의 차이를 참조할 수도 있다. 두 개의 예는, 그 차이가 전체 플렉시블 시스템을 넘어서 합산될 경우, 동일한 결과가 되거나 비례하는 결과가 된다.
예를 들어, x-y 평면에서의 평면 운동에 대해, 기초 변형률 에너지로서 아래의 수식을 사용할 수도 있다:
Figure 112006024587411-pat00005
이 수식에서, 윗 첨자가 표시된 항목은, 증분 단계의 시작 시점의 노드 기준 프레임과 이에 대응하는 요소 기준 프레임간의 요소 노드에서의 각도 차이를 나타내고 있다. 윗 첨자가 표시되지 않은 항목은 현재의 반복과정 노드 변위를 나타내고 있다.
최소화되는 에너지에서, 노드 기준 프레임과 요소 기준 프레임 사이의 차이를 나타내고 있는 항목을 사용하는 것은 플렉시블 시스템의 거동을 연산함에 있어서 불안정을 발생시킬 수도 있으며, 이러한 불안정은 하나의 증분 단계로부터 다음 단계까지 플렉시블 시스템의 형상의 폭 넓은 변화로 나타난다. 이러한 항목을 사용하는 것은 증분 단계 도중에 수렴된 솔루션을 발견하는 것을 더욱 어렵게 할 수도 있다.
이들 문제를 회피 또는 제한하기 위하여, 대응하는 항목 또는 항목들은 스케일링 인자 μIS 로 곱해질 수도 있으며, 스케일링 인자는 0 및 1 사이의 값으로 이루어진다. 기초 변동률 에너지에 대한 예시된 수식은 아래와 같이 된다.
Figure 112006024587411-pat00006
스케일링 인자 μIS 가 1 이면, 초기 응력이 참조되며, 스케일링 인자 μIS 가 0 이면, 초기 응력이 참조되지 않는다. 스케일링 인자 μIS 는 그 결과에 따라 증분 단계 상에서 변경되는 것이 바람직하다. 수렴된 솔루션이 증분 단계 도중에 발견되거나, 플렉시블 시스템이 불안정한 것으로 판명되면, 스케일링 인자를 감소시키는 것이 전형적이다. 이것은 사용자에 의해 수행될 수도 있으며, 이와 달리, 예를 들어, 증분 단계에서의 현재의 반복과정 횟수에 따라 스케일링 인자가 자동으로 적합하게 될 수도 있다. 또 다른 실시형태에서, 스케일링 인자는 요소의 평균 노드 기준 프레임 (그 단부 노드에서의 노드 기준 프레임의 평균) 과 그 요소 기준 프레임 사이의 차이 값에 의존하며, 이 실시형태는, 작은 차이가 증분 단계에서의 반복과정 처리의 결과에 대한 수렴도 (convergence) 를 또한 나타내고 있다는 사실을 이용하고 있으며, 바꾸어 말하면, 차이가 작을수록, 유한 요소는 플렉시블 시스템의 거동에 대한 시뮬레이션을 더욱 잘 행한다.
도 4 및 5 는 증분 단계의 종료시의 유한 요소에 대한 예를 도시한 것이다. 두 도면은 설명을 위하여 2D 이며, 평균 노드 프레임 (80) 뿐만 아니라, 유한 요소 (70), 노드 프레임 (73 및 78), 기초 프레임 (72) 을 도시한 것이다. 위에서 설명한 바와 같이, 평균 노드 프레임은 노드 프레임의 평균으로 연산되고, 그 원점은 노드의 중앙이며, 이에 따라, 기초 프레임과 동일한 원점이 된다. 평균 노드 프레임의 각 벡터는 노드 프레임의 대응하는 벡터의 정규화된 합이다. 도 4에서, 기초 프레임 (72) 과 평균 노드 프레임 (80) 사이의 각도 차이는 본 예에서 몇 도 (degree) 일 정도로 작다. 이것은 양호한 수렴도와, 스케일링 인자 μIS 를 올바르게 선택하였음을 나타내고 있다. 도 5에서는, 기초 프레임 (72) 과 평균 노드 프레임 (80) 사이의 각도 차이가 중요하며, 약 45°의 값은 스케일링 인자 μIS 가 너무 높은 값임을 나타내고 있다. 3 차원 예에서, 평균 노드 프레임과 요소 기준 프레임 사이의 차이는 요소 기준 프레임을 평균 노드 프레임으로 변환하는 회전 각도로서 연산될 수도 있다. 10°미만인 각도의 값은 스케일링 인자의 값이 올바르고 적절한 수렴도임을 나타내고 있다.
위에서 논의한 바와 같이, 각 증분 단계에서는, 평형 솔루션에 대한 반복 탐색을 진행한다. 각 반복과정은 2 단계 처리이며, 처리과정의 첫 번째 단계는 에너지 표면상에서의 하강 방향을 구하는 것이고, 처리과정의 두 번째 단계는 최적의 단계를 구하기 위한 하강 방향의 라인-탐색 (line-searching) 을 행하는 것이다. 최적의 단계를 구하는 것은 정지 기준을 필요로 하며, NAFEMS 문헌의 섹션 4.3.2.4 는 각 반복과정에서 나머지 벡터와 전체 에너지를 평가하는 것을 제시하고 있다. 다음으로, 나머지의 놈 (norm) 과 전체 에너지 변동의 모노토니 (monotony) 에 대하여 각각의 수렴도 검사가 수행된다. 나머지의 놈과 에너지 변동의 모노토니 양자에 기초한 이 정지 기준은 유효하지만, 덜 엄격한 정지 기준을 제공하는 것이 유용할 수도 있으며, 플렉시블 시스템이 균형을 찾기 전에 불안정한 상태를 통과할 경우에 특히 유용하다.
본 발명은, 나머지와 변위 변동간의 스칼라 곱으로 정의된 나머지 에너지 놈을 정지 기준으로서 사용하는 것에 대해 제시하고 있다. 이러한 정지 기준을 사용하는 것은 시스템이 불안정한 상태를 보다 용이하게 통과할 수 있도록 한다. 이것은 시스템이 분기 (bifurcation) 를 겪게 되어 하나의 소정 컨피규레이션으로부터 매우 상이한 컨피규레이션으로 냉정하게 통과하는 경우에 특히 뚜렷하다. 제안된 정지 기준을 사용하는 것은 각 증분 단계에서 수행되는 에너지의 반복적인 최소화 과정 도중에 솔루션을 구하는 것을 보다 용이하게 하며, 따라서, 연산이 더 짧다. 이 정지 기준을 사용하는 것은 위에서 개시된 동시 회전 업데이트와 무관하다.
지금까지의 처리과정에 대한 설명에서는, 플렉시블 시스템의 양 단부에서의 소정의 기준 변위가 완전히 결정되며, 바꾸어 말하면, 플렉시블 시스템의 위치 및 방위가 완전히 제약되어 있다. 이하 개시되는 실시형태에서는, 플렉시블 시스템이 그 양 단부에서도 얼마간의 자유도를 갖는 경우에 대해서 고려한다. 플렉시블 시스템의 하나의 예는, 플레시블 시스템의 하나의 지점, 주로 그 하나의 단부가 위치에 있어서 고정되지만 회전은 자유로운 경우이며, 이것은 그 지점이 병진에 있어서는 고정되지만 회전에 있어서는 3 개의 자유도를 가진다는 것을 의미한다. 또 다른 예는 슬라이딩 시스템에 대한 슬라이딩 지점이며, 시스템은 하나의 방향을 따라 슬라이딩 하는 것이 자유롭고, 슬라이딩 방향 주위로 회전하는 것이 가능하며, 이 예에서는, 플렉시블 시스템이 병진에 있어서 하나의 자유도를 가지고 회전에 있어서 하나의 자유도를 가진다.
선형 시스템의 솔루션은 종래 기술에 존재한다. 이러한 솔루션은 (스캔), J.F. Imbert, CEPADUES Editions, 1979-1984, page 276 또는 MSC NASTRAN Version 64, Handbook for linear Analysis, 1985, The MacNeal-Schwendel Corp., page 4.4.1, Chapter 4.4, Multipoint Constraint Operations 에 기재되어 있다. 이러한 문헌은 제약조건을 인자화 하는 것, 즉, 제약조건 또는 자유도의 일부를 다른 자유도의 함수로서 표현하는 것에 대해 제시하고 있다. 구체적으로, 소정의 선형 시스템에서의 자유도의 컬럼 벡터를 X 라고 한다. 풀어야 할 일반적인 문제는 수식 (1)과 같이 표현될 수 있다.
K.X + AT.λ = Fapp 및 A.X = b (1)
여기서, K 는 강성도 행렬, A 는 변위 제약조건의 야코비 행렬 (jacobian matrix) 이며, λ 는 라그랑주 승수의 컬럼 벡터이며, b 는 제약조건 우측의 컬럼 벡터이며, Fapp 는 시스템에 가해지는 힘의 컬럼 벡터이다 (AT 는 행렬 A 의 전치행렬을 나타냄). 종래 기술의 솔루션은 제약조건을 인자화 하는 것, 즉, 아래의 수식 (2)와 같이, 행렬 N 및 M과 함께, 자유도의 독립적인 서브세트 Xa 를 구하는 것이다.
X = N.Xa. + M (2)
이것은 수식 (1)의 X 값을 대체하는 것을 가능하게 한다. A.N = 0 이라고 가정하고, NT 를 미리 곱하면, 수식 (1)은 아래의 수식과 같이 되며,
NT.K.N.Xa = NT.(Fapp - K.M)
이 수식은 종래 기술의 솔루션을 이용하여 독립적인 자유도 Xa 에서 구해질 수도 있다. (이완된 자유도의 세트를 포함하는) Xa 가 일단 구해지면, 전체 변위는 수식 (2) 에 의해 복구될 수도 있다.
자유도의 세트를 독립 및 종속 서브세트로 자동 분할하는 것이 선형의 문제일 경우에 값비싼 처리 과정이라는 점을 제외하고도, 이 솔루션은 비선형의 문제일 경우에 몇몇 추가적인 문제를 발생시킨다. 우선, 비선형 시스템에서는, 기준 프레임이 위에서 설명한 바와 같이 업데이트 될 필요가 있다. 이것은, 기준 프레임이 업데이트 될 때마다 제약조건이 다시 인자화 되어야 함을 의미하며, 바꾸어 말하면, 수식 (2)의 행렬 N 의 값은 각 증분 단계를 지난 후에 다시 연산되어야 할 필요가 있다. 다음으로, 숫자가 제한된 자릿수로 기억되는 컴퓨터 시스템에서는, 제약조건의 인자화를 위해 요구되는 행렬의 반전이 연산의 난이도를 낮출 수도 있다. 마지막으로, 강성도 행렬 K 는 각 증분 단계에서 변동하며, 이것은 NT.K.N 을 반복적으로 연산하는 것을 필요로 하며, 이것은 비용이 많이 드는 것으로 판명되어 있다.
따라서, 기준 프레임의 업데이트와 함께, 비선형 시스템에서 제약조건이 이완되도록 한다는 요건이 있다. 본 발명은, 일 실시형태에서, 일부 이완되고 일부 부과된 자유도로 이루어진 제약조건을 시스템의 이러한 노드에 대한 로컬 기준 프레임에 의해, 에너지를 최소화하기 위한 하이브리드 기준 프레임을 이용하는 것에 대해 제시하고 있다.
릴리스된 자유도가 로컬 기준 프레임의 축을 따라 표현되도록 로컬 기준 프레임이 선택된다. 다음으로, 제약되지 않은 자유도 Xa 의 서브세트를 구하는 것은, 이완된 (부과되지 않은) 자유도에 대응하는 라인을 수식 (1) 에서 선택함으로써 (바꾸어 말하면, 강성도 행렬로부터, 부과된 자유도, 즉, 이완되지 않은 자유도에 대응하는 라인 및 컬럼을 제거함으로써), 간단히 수행될 수도 있다.
이것은 위에서 논의한 문제에 대한 솔루션을 제공한다. 본 발명의 솔루션은 각 증분 단계에서 기준 프레임의 구체적으로 선택된 변경을 수행하는 것만을 필요로 하지만, 에너지를 최소화하기 위하여, 각 단계에서는 여하튼 기준 프레임의 변경이 필요하며, 이하 논의하는 바와 같이, 하이브리드 기준 프레임의 세트에 대한 변경은 연산의 관점에서 더 복잡한 것은 아니다.
각각의 노드 (36, 41) 및 (41, 46) 을 갖는 두 개의 유한 요소 (35 및 40) 를 도시하고 있는 도 6 을 참조하여 상기 솔루션이 예시되어 있다. 또한, 도 6은 제 1 및 제 2 유한 요소 (35 및 40) 에 대한 요소 기준 프레임 (37 및 42) 를 도시하고 있으며, 프레임 (37 및 42) 은 간단히 R1 및 R2 로 표기되어 있다. 지점 (36) 에서의 자유도의 컬럼 벡터를 X1 이라고 하고, 지점 (41 및 46) 에서의 자유도의 컬럼 벡터를 각각 X2 및 X3 이라고 한다.
자유도의 이완이 없을 경우에는, 우선, 유한 요소에 대한 요소 기준 프레임 또는 임의의 프레임에서, 각 유한 요소 (35 및 40)에 대해 강성도 행렬이 연산될 것이다. 대응하는 기초 프레임에서 각 요소에 대한 강성도 행렬이 일단 연산되면, 각종 행렬이 전체 기준 프레임에서 표현되며, 그 다음으로, 이하의 수식 (3) 내지 (6) 에서 설명된 바와 같이 합산된다.
구체적으로, 로컬 프레임 R1 의 제 1 요소 (35) 에 대하여, 평형 수식 K.X = F 는 아래와 같다.
Figure 112006024587411-pat00007
(3)
이와 유사하게, 제 2 요소에 대한 대응하는 로컬 프레임 R2 에서는, 제 2 유한 요소에 대해 아래의 수식을 얻으며,
Figure 112006024587411-pat00008
(4)
여기서, 각 Xk 가 6 개의 자유도를 가지면, 각 Kij 는 실제로 6 x 6 행렬이다. 수식 (3) 및 (4) 에서, 행렬에 대한 아래 첨자 1 및 2 는 행렬이 로컬 기준 프레임 R1 및 R2 에서 표현되어 있음을 나타내고 있다.
제약조건이 이완되지 않으면, 기준 프레임의 변경을 수식 (3) 및 수식 (4) 에 간단하게 적용하여, 도 6 의 도면번호 82로 표시된 전체 기준 프레임 RG 에서 상기 제약조건을 모두 읽어낸다. 로컬 기준 프레임 R1 로부터 전체 기준 프레임 RG 로 통과시키기 위한 행렬을 P1 로 표기하는 것으로 가정하면, 아래의 수식이 얻어지며,
Figure 112006024587411-pat00009
여기서, 아래 첨자 G 는 자유도가 전체 기준 프레임 RG 에서 표현되어 있음 을 나타낸다. 따라서, 수식 (3) 은 아래와 같이 변경되며,
Figure 112006024587411-pat00010
여기서, P1 은 로컬 기준 프레임 R1 로부터 전체 기준 프레임 RG 로 통과하기 위한 기준 프레임 행렬의 치환행렬이다. 따라서, 수식 (3) 은 프레임 RG 에서 아래와 같이 표현되고,
Figure 112006024587411-pat00011
(5)
수식 (4) 는 프레임 RG 에서 아래와 같이 표현되며,
Figure 112006024587411-pat00012
(6)
P2 는 로컬 기준 프레임 R2 로부터 전체 기준 프레임 RG 로 통과하기 위한 기준 프레임 행렬의 치환행렬이다. 모든 유한 요소에 대해 수식 (5) 및 (6) 을 합산함으로써, 전체 평형 수식이 얻어진다. 이것은 두 개의 유한 요소만을 갖는 도 6의 예에서는 아래의 수식을 제공한다.
Figure 112006024587411-pat00013
(6)
이러한 수식에서는 약간의 모호함이 있으며, 예를 들어, F2 는 R1 으로 표현된 제 2 노드 (41) 에 가해지는 힘과, 이와 동시에, R2 로 표현된 제 2 노드 (41) 에 가해지는 힘을 나타낸다. 이러한 모호함은 행렬 P1 및 P2 의 사용으로 인해 야기되며, 따라서, 간단하게 하기 위하여 모호함을 회피하기 위한 추가적인 아래 첨자를 사용하지 않는다. 수식 (6) 은, 전체 기준 프레임에서 연산된 바와 같이, 강성도 행렬의 형태를 도시한 것이다. 도 6 의 예는, 각각의 로컬 기준 프레임에서 연산된 강성도 행렬의 합산에 의해 적어도 둘 이상의 유한 요소로 일반화된다. 기준 프레임의 필수적인 동시 회전 업데이트로 인해, 플렉시블 시스템의 각 요소에 대한 프레임의 치환행렬 Pi 에 대한 연산은 각 증분 단계에서 수행된다.
본 발명은, 이 실시형태에서, 에너지를 최소화하기 위하여 하이브리드 기준 프레임을 사용하는 것에 대해 제시하고 있고, 일부 부과되고 일부 릴리스된 자유도를 갖는 노드에 대하여, 전체 프레임을 사용하는 대신에 로컬 프레임을 사용한다. 자유도가 로컬 프레임의 축을 따라 표현되도록 로컬 프레임이 선택된다.
예를 들어, 적어도 자유도가 노드 (41) 에서 릴리스되어 있고, 그렇지 않으면, 고정되어 있다고 가정한다. 릴리스된 자유도가 하나의 축을 따라 표현되어 있는 기준 프레임을 RL 이라고 하고, 이 프레임은 도 6 에서 도면번호 83 으로 표기되어 있다. 예를 들어, 이완된 제약조건 또는 자유도가 접선이어서, 시스템이 자유롭게 하나의 방향으로 슬라이딩 한다면, 접선 노드 프레임을 로컬 기준 프레임 RL 으로 사용할 수 있다. 시스템이 하나의 방향과 동일한 방향을 중심으로 한 회전을 따라 자유롭게 슬라이딩 하게 된다면, 동일한 노드 프레임이 사용될 수 있다. 이러한 경우, 행렬 X1 에 대해, 프레임의 치환행렬 P1 을 동일한 전체 기준 프레임 RG 에 사용하며, 이와 유사하게, 행렬 X3 에 대해, 프레임의 치환행렬 P2 를 동일한 전체 기준 프레임 RG 에 사용하게 된다. 그러나, 행렬 X2 에 대해서는, 프레임이 로컬 프레임 RL 로 변경된다. 상기 수식 (3) 은 아래와 같이 변경되며,
Figure 112006024587411-pat00014
여기서, 적용 가능하다면, 마지막 아래 첨자는 X1 및 X2 를 표현하기 위해 사용되는 기준 프레임을 나타내고,
- P1L 은 로컬 기준 프레임 R1 로부터 로컬 기준 프레임 RL 로 변경하기 위한 행렬을 나타내고,
- P2L 은 로컬 기준 프레임 R2 로부터 로컬 기준 프레임 RL 로 변경하기 위한 행렬을 나타낸다.
로컬 프레임 RL 이 로컬 프레임 R1 이면, P1L 이 간단하게 단위 행렬이 될 수 있음을 알 수 있다. 이것은 프레임 R1 이 하나의 축을 따라 자유도를 표현하도록 되어 있는 경우일 수도 있다.
따라서, 하이브리드 기준 프레임에서는, 수식 (3) 및 (4)가 각각 아래와 같 이 된다.
Figure 112006024587411-pat00015
(7)
및
Figure 112006024587411-pat00016
(8)
이것은 두 개의 유한 요소에 대해 아래의 강성도 행렬로 유도된다.
Figure 112006024587411-pat00017
(8)
수식 (8) 은, 제약조건이 이완되지 않은 경우에 사용되는 것과 거의 동일한 연산에 의해, 강성도 행렬과, 시스템에 인가되는 힘이 표현될 수 있음을 증명하고 있다. 유일한 차이는, 로컬 기준 프레임 RL 을 구해야 하고, 제약조건이 이완되어 있는 부분적으로 제약된 노드에서 로컬 기준 프레임 R1 및 R2 로부터 새로운 로컬 기준 프레임으로 통과하기 위한 두 개의 추가적인 행렬 P1L 및 P2L 을 연산해야 한다는 점이다.
그러나, 일단 수식 (8) 이 연산되면, 에너지를 최소화하는 것은 위에서 주어진 수식 (2) 의 행렬 N 및 M 에 대한 연산과 같은 것을 필요로 하지 않는다. 그래서, 이완된 자유도가 기준 프레임의 하나의 축을 따라 표현되도록 로컬 기준 프레임 RL 이 선택된다. 이것은, 이완되어 있는 모든 제약조건을 선택함으로써, 서브세트 Xa 의 선택이 간단하게 수행될 수도 있음을 의미한다. 바꾸어 말하면, 강성도 행렬의 라인 및 컬럼과, 제약조건이 이완되지 않은 로컬 기준 프레임의 축 및 축들에 대응하는 부하 벡터의 라인을 수식 (8) 에서 간단하게 제거한다는 것이다.
구체적으로, 도 6 의 예에서는, 각 노드에 대하여 6 개의 자유도, 즉, 병진 (u, v, w) 에 있어서 3개와 회전 (θx, θy, θz) 에 있어서 3개를 참조하고 있다. 각각의 Xi 는 아래와 같다.
Figure 112006024587411-pat00018
이와 같이, 하이브리드 기준 프레임에서 표현되어 있는 수식 (8) 의 강성도 행렬은 24 x 24 행렬이다. 노드 (41) 에서 하나의 자유도가 있다고 가정하면, 그 노드는 축 u 주위로 자유롭게 회전할 수 있으며, 다시 말하면, θx2 가 이완되어 있다. 이것은, u2, v2, w2, θy2 및 θz2 가 고정되어 있고, θx2 와, X1 및 X3 의 모든 변수가 연산될 필요가 있음을 의미한다. 이러한 효과를 위하여, 도 2 및 3 을 참조하여 위에서 논의한 바와 같이, 단부 노드로부터 떨어진 노드에서의 변위의 연산을 행하도록 진행된다.
보다 구체적으로, 우선, 수식 8 은 아래와 같이 상세하게 표현된다.
Figure 112006024587411-pat00019
이 수식에서, kij (1 ≤ i ≤ 18 이고 1 ≤ j ≤ 18) 는 위에서 논의된 바와 같이 연산되는 강성도 행렬의 각종 계수이다. u, v, w, θx, θy 및 θz 에 대한 첫 번째 아래 첨자는 노드를 나타내고, u, v, w, θx, θy 및 θz 에 대한 두 번째 아래 첨자는 변위가 표현되어 있는 프레임을 나타내며, G 는 전체 기준 프레임 RG 를 대표하고, L 은 로컬 기준 프레임 RL 을 대표한다.
인가된 부하와 관련하여, Fx app, Fy app 및 Fz app 는 노드에 인가되는 힘의 성분을 나타내는 한편, Mx app, My app 및 Mz app 는 노드에 인가되는 토크의 성분을 나타내고, 첫 번째 첨자 (아라비아 숫자로 된 첨자) 는 부하가 인가되는 노드를 나타내며, 두 번째 첨자는 변위가 표현되어 있는 프레임을 나타내며, G 는 전체 기준 프레임 RG 를 대표하고, L 은 로컬 기준 프레임 RL 을 대표한다.
부하 좌표 시스템 RL 에 표현되어 있는 아래와 같은 5 개의 제약조건과 연관지어 참조하면,
Figure 112006024587411-pat00020
수식은 아래와 같이 된다.
Figure 112006024587411-pat00021
일단 에너지가 최소화되면 (이에 따라, 중간 노드에서 로컬 u 축을 주위의 이완된 회전을 포함하는 자유도의 Xa 세트, 즉, 다른 두 개의 노드의 모든 전체 자유도와 함께, 릴리스 자유도 θx2 를 얻으면), 자유도의 완전한 벡터 X 는 아래와 같이 복구될 수도 있다.
Figure 112006024587411-pat00022
이 복구 수식에서는, 변위 벡터 성분이 로컬 기준 프레임, 즉, 중간 노드에서 부분적으로 표현되어 있고, 전체 기준 프레임, 즉, 다른 두 개의 노드에서 부분적으로 표현되어 있음을 유의해야 하며, 물론, 전체 기준 프레임에서 변위 벡터를 완전히 표현하는 것이 이제는 가능하다.
Xa 벡터의 모든 성분이 연산되면, 노드 기준 프레임의 업데이트 뿐만 아니라 동시 회전 업데이트가 위에서 논의된 바와 같이 수행될 수도 있다. 유일한 차이점은, 자유도를 갖는 노드에 대해, 연산된 성분과 제약된 성분의 조합이 업데이트에서 사용된다는 것이다. 도 6 의 예에서는, u2, v2, w2, θy2 및 θz2 가 고정되어 있지만, θx2 는 X1 및 X2 의 성분과 동시에 연산된다. 기준 프레임과 노드 프레임의 업데이트를 위하여, 이러한 성분이
- 소정의 변위 경계 조건의 일부분과,
- 증분 단계의 도중에 에너지를 최소화하는 것으로부터 얻어진다는 점을 참조하지 않고, 변위 성분 (u2, v2, w2, θx2, θy2, θz2) 을 이용하여 위에서 개시된 바와 같이 진행할 수도 있다.
본 발명의 이 실시형태는 시스템의 유한 요소 표현의 노드에서 일부 제약을 이완되게 하는 것을 가능하게 한다. 기준 프레임의 변화는 동시 회전 업데이트로 인해, 각각의 증분 단계 후에 구현된다는 사실을 이용하고; 에너지가 최소화된 프레임의 신중한 선택은 제약의 임의의 인자화 (factorization) 를 회피하는 것을 가능하게 한다.
본 프로세스의 예는 도 7 내지 도 22 를 참조하여 아래와 같이 주어진다. 이러한 4 개의 예는 Dassault Systemes, Suresnes France 의 CATIA V5 에 의해 통합된 비선형 솔버 코어 (FORTRAN code) 를 이용하고 있다. 각 예에 대하여, 시뮬레이션은 75 개의 증분 단계 (45 스텝은 시작부터 초기 컨피규레이션, 30 스텝은 초기부터 최종 컨피규레이션) 으로 구성된다. 이들 스텝 중에서 몇 개만 도면에 표시되어 있다. 모든 실행은 IBM Thinkpad T42 (1.8 GHz Pentium IV processor, 1.0 GB 의 RAM) 를 통해 수행되었다.
제 1 예는 도 7 내지 10 에 도시되어 있다. 시스템은 단일 세그먼트이고, 양 단부 지점은 완전히 부과되어 있다. 시스템은 12 개의 요소 모델로서 분해되어 있다. 전체 실행은 CPU 시간으로 0.28 sec 내에 수행되며, 초기-최종 단계의 각 증분 단계에서는, 평균적으로 6 개의 반복과정에 의해 수렴도가 달성된다.
노드 위치와 노드 기준 프레임이 모든 도면에 표시되어 있다. 도 7 은 시스템의 형상이 사용자에 의해 완전히 특정되어 있는 시작 컨피규레이션을 도시한 것이다.
도 8 은 초기 컨피규레이션을 도시한 것이고, 단부 지점 위치 및 방위는 사용자에 의해 특정되며, 도면에는 광 기준 프레임으로서 표시되어 있다. 시스템의 변형된 형상은 프로그램에 의해 연산된다.
도 9 는 최종 컨피규레이션을 도시한 것이고, 단부 지점 위치 및 방위는 사용자에 의해 특정되고, 두꺼운 기준 프레임으로서 표시되어 있다. 변형된 형상은 프로그램에 의해 연산된다. 도 8 및 도 9 의 단부 지점 위치 및 방위간의 차이는 시스템이 따르는 소정의 변위 경계 조건을 나타낸다.
도 10 은 3 개의 중간 컨피규레이션을 도시한 것이고, 단부 지점 위치 및 방위가 보간되어 있으며 소정의 변위 경계 조건의 일부를 나타낸다. 변형된 형상은 프로그램에 의해 연산된다.
제 2 실시예는 도 11 내지 도 14 에 나타내어져 있다. (변형 평면에 직교하는 로컬 축을 중심으로) 회전 자유도가 초기 및 최종 컨피규레이션 양쪽의 좌측 단부 지점에서 릴리스되어 있다는 점을 제외하고는, 제 1 예와 유사하다.
전체 실행은 CPU 시간으로 0.27 sec 내에 수행되며, 제 1 예에서와 같이, 평 균적으로 증분 당 6 개의 반복과정에 의해 수렴도가 달성된다.
도 11-14 는 도 7-10 에 각각 대응하며, 다시 설명하지 않는다. 제 1 예에 관하여, 모든 도면에서 노드 위치와 노드 기준 프레임이 표현되어 있다.
제 3 예는 도 15 내지 도 18 에 나타내어져 있다. 이 예에서는, 시스템이 상이한 특징의 3 개의 세그먼트를 포함하며, 하나의 단부 지점과 하나의 중간 지점은 완전히 부과되어 있다. 이것은 도면에 나타나 있으며, 시스템의 슬렌더 부분은 제약되어 있지 않고 중력의 작용하에 아래로 휘어 있음을 명확하게 알 수 있다.
유한 요소 해석은 3 x 12 요소 모델에 의해 수행된다.
전체 실행은 CPU 시간으로 6.45 sec 내에 수행되고, 평균적으로 증분 당 40 개의 반복과정에 의해 수렴도가 달성된다.
도 15-18 은 도 7-10 에 각각 대응하며, 다시 설명하지 않는다. 노드 위치와 노드 기준 프레임이 모든 도면에 표시되어 있는 것은 아니다.
제 4 예는 도 19 내지 도 22 에 표시되어 있고, 3개의 회전 자유도가 모두 중간 지점에서 릴리스되어 있다는 점을 제외하고는, 이 예는 제 3 예와 동일하다.
전체 실행은 CPU 시간으로 5.2 sec 내에 수행되고, 각 증분 단계에서는, 평균적으로 증분 당 25 개의 반복과정에 의해 수렴도가 달성된다.
도 19-22 는 도 15-18 에 각각 대응하며, 다시 설명하지 않는다. 시스템에 인가되는 상이한 제약조건으로 인해 최종 컨피규레이션에서 차이가 있음에 유의해야 한다.
본 프로세스는 위에서 제공된 예에 한정되지 않는다. 예를 들어, 도 1 의 예에서는, 소정의 변위가 플렉시블 시스템의 양 단부에 존재하는 것으로 간주된다. 시스템의 두 지점 이상에서 (완전히 제약된 또는 그렇지 않은) 소정의 변위가 존재한다고 간주할 수도 있다.
도 1 내지 도 3 을 참조하여 개시된 프로세스에서는, 각 증분 단계 이후 또는 다음 증분 단계의 시작전에 동시 회전 업데이트가 수행된다. 각 스텝에서 동시 회전 업데이트를 수행하지 않는 것도 가능하며, 구체적으로, 필요한 경우, 즉, 각 요소 기준 프레임과, 이에 대응하는 업데이트 된 요소 기준 프레임 사이의 각도 변화가 소정의 값보다 높을 경우에는, 동시 회전 업데이트만 수행할 수도 있다. 실제로, 이 소정의 값은, 유사-시스템 업데이트 (quasi-systematic updating) 에 대응하는 낮은 값, 예를 들어, 1 sec 를 갖는 0 및 30 도 사이 일 수도 있다.
증분 단계 도중에 수렴도를 제어하기 위한 스케일링 인자가 위에 개시되어 있고, 이러한 스케일링 인자는 플렉시블 시스템의 거동을 제어할 목적으로 사용될 수도 있다. 예를 들어, 하나의 소정의 증분 단계에서 제로 값을 스케일링 인자에 대해 적용하는 것은 점탄성 (visco-elastic) 플렉시블 시스템을 시뮬레이션 하는 결과가 되며, 모든 초기 응력은 이완되어 있다.
상기 개시된 각종 실시 형태는 플렉시블 시스템을 더욱 효율적으로 시뮬레이션 하기 위하여 결합될 수도 있다. 각종 실시 형태를 독립적으로 수행할 수도 있다. 예를 들어, 정지 기준은 노드 프레임에 무관하게 사용될 수도 있다. 상기 논의된 정지 기준은 도 3 및 도 4 를 참조하여 논의된 동시 회전 업데이트에 무관하게 사용될 수도 있고, 정지 기준은 비구조적 (즉, 연속적) 요소에도 사용될 수 있으며, 이러한 비구조적 또는 연속적 요소는 실제로 "입체" 요소이며, 노드 회전 자유도를 가지지 않는다.
마지막으로, 도 6 을 참조하여 개시된 하이브리드 기준 프레임의 사용은 이전에 논의된 동시 회전 업데이트에 대해 독립적으로 사용될 수도 있다. 또한 그러한 하이브리드 기준 프레임을 선형 솔버에서 사용할 수도 있다.
본 발명은 기하학적 비선형 유한 요소 해석을 사용하고, 동시 회전 업데이트를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘 내에서 복수의 증분 단계를 포함하는, 소정의 변위 경계 조건에 종속되는 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 프로세스를 제공한다.
이 동시 회전 업데이트는 업데이트된 요소 기준 프레임에서, 축들 중의 하나는 유한 요소의 노드를 연결하는 라인에 평행하고, 이러한 특성은 각각의 증분 단계에서 유지되고, 모든 연산을 유사하게, 따라서 더 간단하고 쉽게 만든다.

Claims (18)

  1. 기하학적 비선형 유한 요소 해석을 이용하여, 초기 컨피규레이션 (configuration) 으로부터 최종 컨피규레이션까지 시뮬레이팅되고 소정의 변위 경계 조건에 종속되는 플렉시블 시스템 (flexible system) 의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스로서,
    상기 컴퓨터-구현 프로세스는,
    동시 회전 업데이트 (co-rotational update) 를 갖는 토탈 라그랑주 포멀리즘 (total Lagrangian formalism) 내에서 상기 초기 컨피규레이션으로부터 상기 최종 컨피규레이션까지의 복수의 증분 단계를 포함하고,
    각각의 증분 단계는, 상기 소정의 변위의 일부에 종속될 때 상기 플렉시블 시스템의 에너지를 최소화하는 것에 의해, 상기 플렉시블 시스템의 유한 요소에 대해 상기 유한 요소의 노드에서 병진 및 회전 성분을 갖는 변위 벡터를 연산하는 단계를 포함하고,
    상기 동시 회전 업데이트는, 주어진 유한 요소에 대해, 상기 유한 요소의 노드에서 연산된 상기 변위 벡터의 휨 회전 성분을 고려하지 않고 업데이트된 요소 기준 프레임 (elementary frame of reference) 을 연산하는 단계를 포함하고,
    상기 요소 기준 프레임은 x 축, y 축 및 z 축을 갖고, 상기 x 축은 상기 유한 요소의 노드를 연결하는 라인에 평행한, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 동시 회전 업데이트는, 상기 유한 요소의 노드에서 연산된 상기 변위 벡터의 병진 성분에만 기초하여 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산하는 단계를 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  3. 제 2 항에 있어서,
    상기 업데이트된 요소 기준 프레임은,
    - 상기 유한 요소의 노드를 연결하는 라인을 상기 유한 요소의 변위된 노드에 연결된 라인 상으로 가져오기 위해 필요한 최소 회전을 도출하는 단계; 및
    - 상기 동시 회전 업데이트 이전에 상기 최소 회전을 상기 유한 요소의 요소 기준 프레임에 적용하는 단계
    로 연산되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 동시 회전 업데이트는,
    - 상기 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 비틀림 회전 성분의 평균값, 및
    - 상기 유한 요소의 노드에서 연산된 변위 벡터의 병진 성분
    에 기초하여 업데이트된 요소 기준 프레임을 연산하는 단계를 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  5. 제 4 항에 있어서,
    상기 업데이트된 요소 기준 프레임은,
    - 상기 동시 회전 업데이트 이전에, 상기 노드의 상기 비틀림 회전 성분의 평균 값 만큼, 상기 노드를 연결하는 라인과 일치하는 축을 중심으로 상기 유한 요소의 상기 요소 기준 프레임을 회전시키는 단계;
    - 상기 유한 요소의 노드를 연결하는 라인을 상기 유한 요소의 변위된 노드에 연결된 라인 상으로 가져오는데 필요한 최소 회전을 도출하는 단계; 및
    - 상기 최소 회전을 상기 회전된 요소 기준 프레임에 적용하는 단계
    로 연산되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  6. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 업데이트된 요소 기준 프레임의 축은, 변위된 유한 요소의 노드를 연결하는 라인과 일치하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  7. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 있어서,
    유한 요소 (40) 의 노드 (41, 46) 에는, 노드 기준 프레임 (nodal frame of reference) (43, 48) 이 제공되고,
    상기 증분 단계는, 상기 유한 요소의 변위된 노드 (71, 76) 에 대해, 상기 노드 (41, 46) 에서의 변위 벡터의 회전 성분만큼 상기 노드 기준 프레임 (43, 48) 을 회전시킴으로써, 업데이트된 노드 기준 프레임 (73, 78) 을 연산하는 단계를 더 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  8. 제 7 항에 있어서,
    - 상기 유한 요소에 대한 노드의 위치; 및
    - 상기 노드 기준 프레임에 기초하여,
    상기 플렉시블 시스템에 대해 매끄러운 형상 (smoothed shape) 을 보간하는 단계를 더 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  9. 제 8 항에 있어서,
    상기 보간된 매끄러운 형상을 디스플레이하는 단계를 더 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  10. 제 7 항에 있어서,
    상기 플렉시블 시스템의 최소화된 에너지는, 일 노드의 노드 기준 프레임과 상기 노드를 포함하는 유한 요소의 요소 기준 프레임 사이의 차이의 함수인, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  11. 제 10 항에 있어서,
    증분 단계 동안, 유한 요소의 노드에서, 요소 기준 프레임을 상기 노드 기준 프레임으로 변환하는 회전을 연산하는 단계를 더 포함하고,
    상기 최소화된 에너지는 상기 연산된 회전에 의존하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  12. 제 10 항에 있어서,
    상기 플렉시블 시스템의 최소화된 에너지는, 일 노드의 노드 기준 프레임과 상기 노드를 포함하는 유한 요소의 요소 기준 프레임 사이의 차이에 의한 스케일링 인자의 곱 (product) 의 함수이고,
    상기 스케일링 인자를 하나의 증분 단계로부터 또 다른 증분 단계로 변화시키는 단계를 더 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  13. 제 12 항에 있어서,
    상기 스케일링 인자는 수동으로 변경되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  14. 제 12 항에 있어서,
    상기 스케일링 인자는, 증분 단계에서 상기 에너지를 최소화시키기 위한 반복 횟수에 따라 변경되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  15. 제 12 항에 있어서,
    상기 스케일링 인자는, 유한 요소에 대한 요소 기준 프레임과 상기 유한 요소에 대한 노드 기준 프레임 사이의 차이에 따라 변경되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  16. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 에너지를 최소화하는 단계는,
    반복적으로 수행되고,
    - 나머지 (residual) 와 변위 변동의 스칼라 곱을 연산하는 단계, 및
    - 상기 스칼라 곱의 값에 따라 반복을 정지시키는 단계를 포함하는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  17. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 있어서,
    상기 소정의 변위 경계 조건은, 상기 플렉시블 시스템의 하나의 노드에서 하나 이상의 자유도 릴리스 (freedom release) 를 포함하고,
    상기 최소화하는 단계는, 로컬 기준 프레임에서 릴리스된 자유도를 갖는 노드에 대해 수행되며,
    상기 노드에서 릴리스된 자유도는, 상기 로컬 기준 프레임의 하나의 축을 따라 표현되는, 플렉시블 시스템의 거동을 결정하기 위한 컴퓨터-구현 프로세스.
  18. 제 1 항 내지 제 5 항 중 어느 한 항에 기재된 컴퓨터 구현 프로세스의 모든 단계를 컴퓨터상에서 실행하도록 구성된 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 포함하는 컴퓨터 프로그램 제품이 상주하는, 컴퓨터 판독가능 매체.
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