CN102750261A - 一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法 - Google Patents

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袁行飞
周练
李阿龙
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Abstract

本发明提供了一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法。它包括以下步骤：1）确定铰接杆系机构的自由节点中的驱动节点和从动节点；2）针对铰接杆系在运动过程中产生的构型建立铰接杆系机构平衡矩阵，再由奇异值分解得到整体机构位移模态矩阵：3）将整体机构位移模态矩阵分解为关于驱动节点对应的机构位移模态矩阵 U a (2l×m)和从动节点对应的机构位移模态矩阵 U p (2k×m)；4）计算机构位移模态子矩阵的奇异值，如其最小奇异值趋于零，则可判定此铰接杆系机构发生奇异和运动分岔。本发明所提供的方法具有较强的操作性，为新型空间结构—机构提供了结构设计和施工设计的依据，具有广阔的应用前景。

Description

一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法
技术领域
本发明涉及新型空间结构—机构的奇异和运动分岔的确定方法，属于新型空间结构工程分析与设计技术领域。
背景技术
随着结构形式的不断发展,现代结构中出现了许多可动体系，如张拉整体结构、索穹顶、攀达穹顶以及可展结构等。这些新体系具有可变的初始形态，施工成型过程伴随着区别于弹性位移的几何位移，因此常与“机构”联系在一起。已有研究发现机构运动存在奇异和分岔现象，机构在奇异和分岔构型处可能出现运动“死点”，也可能按照非设计运动路径运动失去可控性。当机构按照非设计路径运动时，由于控制与实际运动之间的矛盾，将在系统中产生较大的附加荷载，导致整个结构系统失稳，造成严重后果。因此，对机构奇异和运动分岔的研究具有非常重要的实际意义。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是提供一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法，具有较强的操作性。
为此，本发明采用以下技术方案： 
1）、确定铰接杆系机构的自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点；
2）、针对铰接杆系在运动过程中产生的构型建立铰接杆系机构平衡矩阵，所述铰接杆系机构平衡矩阵为2n×b阶矩阵，再由奇异值分解得到整体机构位移模态矩阵：
                       (1)
其中n为自由节点数，b为平面铰接机构杆件数，m为铰接杆系机构位移模态数，u为机构位移模态向量；
3）、将步骤2）获得的整体机构位移模态矩阵分解为关于驱动节点对应的机构位移模态矩阵U a (2l×m)和从动节点对应的机构位移模态矩阵U p (2k×m)，其中l为驱动节点数，k为从动节点数，并定义U a 的转置矩阵U a T和U p 的转置矩阵U p T分别为关于驱动节点的机构位移模态子矩阵和关于从动节点的机构位移模态子矩阵；
4）、计算机构位移模态子矩阵的奇异值，如其最小奇异值趋于零，则可判定此铰接杆系机构发生奇异和运动分岔。
进一步地，设驱动节点对应约束力矢量为F a ，为阶矩阵；从动节点对应约束力矢量为F p ，为
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE006
阶矩阵，由于约束力属于内力，不做功，可得：
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE008
                               (2)
当U a T非行满秩而U p T行满秩时，对应U a T的零空间，F p 等于零，即从动节点不受约束，铰接杆系机构发生输入奇异；
当U p T非行满秩而U a T行满秩时，对应U p T的零空间，F a 等于零，即驱动节点不受约束，铰接杆系机构发生输出奇异；
当U a T，U p T同时非行满秩时，铰接杆系机构发生结构奇异，驱动节点和从动节点不受约束，铰接杆系机构同时具有输入奇异和输出奇异的特点。
本发明通过考察铰接杆系机构的机构位移模态子矩阵是否行满秩来判定铰接杆系机构的奇异和运动分岔。
当驱动节点或从动节点对应的机构位移模态转置矩阵（机构位移模态子矩阵）出现非行满秩现象时，驱动节点或从动节点失去约束，获得自由度，机构运动发生奇异。本发明讨论的运动分岔为广义的分岔，即当机构在某个构型的运动状态发生奇异，则认为此构型为分岔构型。因此，可通过考察机构驱动节点和从动节点的机构位移模态子矩阵是否行满秩来判定机构奇异与运动分岔。
本发明所提供的方法具有较强的操作性，为新型空间结构—机构提供了结构设计和施工设计的依据，具有广阔的应用前景。
附图说明
图1为一平面铰接四杆体系的初始构型示意图。
图2为平面铰接四杆体系的顶升运动路径示意图。
图3为对应驱动节点的机构位移模态子矩阵最小奇异值变化曲线图。
图4为对应从动节点的机构位移模态子矩阵最小奇异值变化曲线图。
图5a为平面铰接四杆机构两种输入奇异分岔构型中第一种分岔构型示意图，
图5b为平面铰接四杆机构两种输入奇异分岔构型中第二种分岔构型示意图。
图6为输出奇异分岔构型示意图，图中，Eamin和Epmin分别为驱动节点和从动节点的机构位移模态子矩阵的最小奇异值，n为迭代步。
具体实施方式
以图1所示一平面铰接四杆体系为例，各点坐标为A (0, 0)，B (3, -4)，C (5, -20/3)，D (7, -4)，E (10, 0)， 杆件长度AB=5，BC =10/3，CD =10/3，DE =5，AE =10。
选择AB、DE杆件为驱动杆，则节点B、D为驱动节点，C节点为从动节点。在B、D节点上分别作用一竖直向上的单位力，通过MATLAB编程模拟其顶升运动过程，其运动路径如图2所示。
针对运动路径中的构型建立铰接杆系机构平衡矩阵A，所述铰接杆系机构平衡矩阵A为2n×b阶矩阵：
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE010
                 (3)
再由奇异值分解得到整体机构位移模态矩阵： 
Figure 755505DEST_PATH_IMAGE002
                        (4)
其中n为平面杆系自由节点数，b为杆件数，m为机构位移模态数，u为机构位移模态向量。
将整体机构位移模态矩阵分解为驱动节点对应的机构位移模态矩阵U a (2l×m)和从动节点对应的机构位移模态矩阵U p (2k×m)，其中l为驱动节点数，k为从动节点数，并定义U a 的转置矩阵U a T和U p 的转置矩阵U p T分别为关于驱动节点的机构位移模态子矩阵和关于从动节点的机构位移模态子矩阵；
计算机构位移模态子矩阵的特征值（或奇异值），如其最小特征值（或奇异值）趋于零，则可判定此铰接杆系机构发生奇异和运动分岔。
四杆体系顶升过程中，机构位移模态子矩阵的最小奇异值变化曲线如图3、4所示。
图3中，当迭代步n=50时，机构位移模态矩阵为：
， 
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE014
驱动节点的机构位移模态子矩阵U a T的最小奇异值Eami趋近于零，此时U a T非行满秩，U p T行满秩，机构发生输入奇异，奇异构型如图5(a)中实线所示。
图3中，当迭代步n=170时，机构位移模态子矩阵为:
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE016
，
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE018
驱动节点的机构位移模态子矩阵U a T的最小奇异值Eami趋于零。此时U a T非行满秩，U p T行满秩，机构发生输入奇异，对应奇异构型如图5(b)中实线所示。
图5(a)和5(b)中两奇异构型处，对应U a T的零空间F p 均为零，从动节点C均失去约束，获得自由度。当驱动节点B、D固定时，从动节点C仍具有如图5(a)和5(b)中虚线所示的可动性,因此此两奇异构型均为分岔构型。
图4中，当迭代步n=0时，机构位移模态子矩阵为：
Figure 2012101747855100002DEST_PATH_IMAGE020
，
从动节点的机构位移模态子矩阵最小奇异值Epmi趋于零，此时U a T行满秩，U p T非行满秩，机构发生输出奇异，奇异构型如图6中实线所示。对应U p T 的零空间F a 为零，驱动节点B，D失去约束。当从动节点C固定时，驱动节点B，D仍具有如图6中虚线所示的可动性。因此，此奇异构型也为分岔构型。

Claims (2)

1.一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法，其特征在于，它通过考察机构位移模态子矩阵是否非行满秩来判定铰接杆系机构的奇异和运动分岔，并包括以下步骤：
1）、确定铰接杆系机构的自由节点中的驱动节点和从动节点，所述驱动节点为与铰接杆系机构驱动杆件直接相连的自由节点，所述从动节点为除驱动节点外的其余自由节点；
2）、建立铰接杆系机构平衡矩阵，该矩阵为2n×b阶矩阵，对平衡矩阵进行奇异值分解得到整体机构位移模态矩阵： 
Figure 2012101747855100001DEST_PATH_IMAGE002
                          (1)
其中n为平面杆系自由节点数，b为杆件数，m为机构位移模态数，u为机构位移模态向量；
3）、将步骤2）获得的整体机构位移模态矩阵分解为驱动节点对应的机构位移模态矩阵U a (2l×m)和从动节点对应的机构位移模态矩阵U p (2k×m)，其中l为驱动节点数，k为从动节点数，并定义U a 的转置矩阵U a T和U p 的转置矩阵U p T分别为关于驱动节点的机构位移模态子矩阵和关于从动节点的机构位移模态子矩阵；
4）、计算机构位移模态子矩阵的奇异值，如其最小奇异值趋于零，则判定此铰接杆系机构发生奇异和运动分岔。
2.如权利要求1所述的一种采用机构位移模态子矩阵法检测铰接杆系机构奇异和运动分岔的方法，其特征在于： 
设驱动节点对应约束力矢量为F a ，为
Figure 2012101747855100001DEST_PATH_IMAGE004
阶矩阵；从动节点对应约束力矢量为F p ，为
Figure 2012101747855100001DEST_PATH_IMAGE006
阶矩阵，由于约束力属于内力，不做功，可得：
Figure 2012101747855100001DEST_PATH_IMAGE008
                               (2)
当U a T非行满秩而U p T行满秩时，对应U a T的零空间，F p 等于零，即从动节点不受约束，铰接杆系机构发生输入奇异；
当U p T非行满秩而U a T行满秩时，对应U p T的零空间，F a 等于零，即驱动节点不受约束，铰接杆系机构发生输出奇异；
当U a T，U p T同时非行满秩时，铰接杆系机构发生结构奇异，驱动节点和从动节点不受约束，铰接杆系机构同时具有输入奇异和输出奇异的特点。
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