KR100843228B1 - 마스크 포토그래피 해석방법 및 이를 이용한 이미지 형성방법 - Google Patents

마스크 포토그래피 해석방법 및 이를 이용한 이미지 형성방법 Download PDF

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Abstract

마스크 토포그라피 효과를 고려하여 계산속도 및 계산정확도를 모두 확보할 수 있는 마스크 토포그라피 해석시스템 및 이를 이용한 이미지 형성방법을 제시한다. 그 시스템 및 방법은 조명계 및 투영광학계를 구비하는 노광시스템의 이미지를 계산하는 데에 있어서, 마스크 상에 형성된 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식으로 전기장(EK)을 구하고 동시에 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 전기장(ER)을 구한 다음, 전기장(EK)와 전기장(ER)을 조합하여 투영렌즈 퓨필 면에서의 전기장(EF)을 결정한다.
마스크 토포그라피, 이미지 형성방법, 피치, 전자기장 해석법, 퓨필 면

Description

마스크 포토그래피 해석방법 및 이를 이용한 이미지 형성방법{Method of solving mask photography and image forming method using the same}
도 1a는 종래의 키르히호프 방식에 의해 마스크 토포그라피를 거리에 따른 진폭 및 상으로 나타낸 그래프이고, 도 1b는 도 1a를 주파수에 따른 진폭 및 상으로 나타낸 그래프이다.
도 2a는 종래의 전자기장 해석법에 의해 마스크 토포그라피를 거리에 따른 진폭 및 상으로 나타낸 그래프이고, 도 2b는 도 2a를 주파수에 따른 진폭 및 상으로 나타낸 그래프이다.
도 3은 본 발명의 해석법이 적용되는 노광기구를 개략적으로 나타낸 도표이다.
도 4는 본 발명의 해석법에 이용되는 전자기장 해석법을 설명하는 흐름도이다.
도 5는 본 발명의 마스크 토포그라피를 해석하는 과정을 설명하는 흐름도이다.
도 6은 전자기장 해석법을 이용하여 피치를 고려한 본 발명의 전기장(ER)을 구하기 위하여 주파수에 따른 진폭과 상을 구하는 방법을 설명한 도표이다.
도 7a는 주파수 영역에서 f축과 g축에 따른 진폭의 이미지를 나타내는 사진이고, 도 7b는 상의 사진이다.
도 8a 및 도 8b는 Abbe 방법을 설명하기 위한 조명방식의 사례를 나타내는 도면이다. 이때, 도 8a는 각(annular) 조명방식에 관한 것이고, 도 8b는 4극(quadruple) 조명방식이다.
도 9는 정상입사(normal incidence)로 입사하는 (0, 0) 위치의 점 광원에 의한 세기를 Abbe 방법으로 계산한 결과를 나타낸 도면이다.
도 10은 사입사(oblique incidence)로 입사하는 (σ, 0) 위치의 점 광원에 의한 세기를 Abbe 방법으로 계산한 결과를 나타낸 도면이다.
도 11a 및 도 11b는 각각 TE-모드와 TM-모드에서 정상입사와 사입사에 따른 0차광 및 1차광의 투과도변화율(η)을 나타낸 그래프이다.
도 12는 TE 및 TM 성분을 x, y, z 평면이 벡터로 분해한 도면이고, 도 13은 존스 매트릭스에 의한 투영렌즈 퓨필 면의 전기장을 나타낸 식이며, 도 14는 존스 매트릭스를 전개한 파울리 매트릭스이다.
본 발명은 반도체 제조장치 및 그 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 마스크 토포그라피(topography)를 해석하는 시스템 및 이를 이용한 이미지(image) 형성방법에 관한 것이다.
포토리소그래피(photolithography) 공정에서 마스크 상의 피쳐(feature) 크기(size)는 노광장비의 파장보다 작아지고, 피쳐 크기에 대한 마스크 두께의 비 (aspect ratio)는 커지고 있다. 이에 따라, 마스크를 토포그라피가 없는 얇은 상태로 가정하는 종래의 키르히호프(Kirchhoff) 방식으로는 마스크 상의 패턴의 토포그라피(이하, 마스크 토포그라피)에 대한 정확한 시뮬레이션(simulation) 예측이 어려워지게 되었다.
도 1a 및 도 1b를 참조하여 키르히호프 방식을 설명하면, 기판(10) 상의 차단층(20) 사이의 영역을 투과한 빛은 스텝함수와 같은 진폭 혹은 투과도(transmittance)를 갖고 상(phase)의 변화가 없다. 이때, 차단층(20) 사이의 간격은 140nm인 4배 마스크이고, 빛의 파장은 280nm이었다. 구체적으로, 도 1a의 거리에 따른 진폭(실선)과 상(점선)에 대한 그래프에서, 빛이 투과된 부분만이 균일하게 진폭이 상승하였고, 거리에 따른 상의 변화는 없었다. 또한, 투영렌즈(projection lens)의 퓨필(pupil) 면에서의 주파수(f)에 따른 진폭(화살표)과 상의 관계를 도 1b에서 살펴보면, 상의 변화가 없이 0차광은 a1의 진폭 그리고 1차광은 a2의 진폭을 가진다.
좀더 정확한 토포그라피의 예측을 위하여, 마스크 토포그라피 효과를 감안하여 마스크의 표면에서의 전기장(E-field)의 투과도와 상을 계산하는 전자기장(EM field) 해석법이 등장하였다.
전자기장 해석법을 설명하기 위한 도 2a 및 도 2b를 참조하면, 기판(10) 상의 차단층(20) 사이의 영역을 투과한 빛은 진폭 혹은 투과도(transmittance)와 상(phase)이 키르히호프 방식과는 다른 양상을 보인다. 상기 양상은 진폭과 상을 이미지로 표현한 도 2a의 사진(30)과 거리에 따른 진폭(실선)과 상(점선)에 대한 그래프(40)에서 확인할 수 있다. 즉, 진폭은 스텝함수가 변형된 모양을 나타내고, 상은 일정하지 않아서 빛이 투과하지 않은 부분은 변화되었다.
도 2a의 결과를 투영렌즈의 퓨필 면에서의 주파수(f)에 따른 진폭(화살표)과 상의 관계로 도시한 도 2b에 의하면, 0차광과 1차광의 진폭은 키르히호프 방식에 비해 증가된 것으로 해석되었다. 즉, 0차광 및 1차광의 진폭은 각각 앞에서의 진폭 a1 및 a2보다 크게 나타났다. 또한, 상은 약 10° 정도가 되었다. 정리하면, 마스크 면에서의 전기장의 진폭과 상 변화는 투영렌즈의 퓨필 면에서의 0차광 및 1차광의 전기장의 진폭과 상의 변화를 야기한다. 상기 진폭 및 상의 변화는 웨이퍼 상 이미지의 콘트라스트(contrast)를 변화시키고 초점변형(focus tilt)에 영향을 준다. 따라서, 전자기장 해석법은 마스크 면에서의 전기장을 계산하여, 이에 따른 웨이퍼 상의 이미지의 관계를 정확하게 예측할 수 있다.
그런데, 전자기장 해석법으로 마스크 면에서의 전기장을 계산할 경우, 단순한 라인 앤드 스페이스(Line and Space; 이하 L/S) 패턴의 경우 수행시간이 1분 이내이나, 복잡한 2차원 패턴은 수행시간이 기하급수적으로 증가한다. 특히 DFM(Design For Manufacturability)이나 OPC(Optical Proximity Correction)에서의 복잡한 2차원 패턴을 계산하는 것은 현실적으로 불가능하다. 이에 따라, 전자기장 해석법을 대신하여 근접모델(approximation model)을 도입하여 마스크 면에서의 전기장의 투과도 혹은 진폭과 상에 대한 계산속도를 향상시키려는 시도들이 있었다.
표 1은 앞에서 설명한 키르히호프 방식, 전자기장 해석법 및 근접모델의 특징을 기술한 것이다. 이때, 근접모델은 DDM 방식과 바운다리(boundary) 방식이 사례로 제시되었다. 상기 특징은 마스크 토포그라피 효과를 계산할 수 있는 지의 여부와 수행시간 및 계산의 정확도를 각각의 방법 별로 비교하였다.
방 법 마스크 토포그라피 효과의 계산 가능 여부 수행시간 (계산속도) 계산 정확도
키르히호프 방식 불가능 1배 하
전자기장 해석 가능 10 ~100배 상
DDM 가능 2 ~ 5배 상중
바운다리 층 방식 가능 1배 중
표 1에 의하면, 계산의 정확도 측면에서는 전자기장 해석법이 가장 우수하며, 하지만 앞에서 설명한 바와 같이 수행시간이 상대적으로 너무 길다. DDM 방식은 계산의 정확도는 비교적 우수한 편이나, 수행시간이 많이 걸리는 편이다. 계산속도의 측면에서는 바운다리 층 방법이 DFM 및 OPC 에서 가장 사용하기에 적합한 방법이다. 하지만, 바운다리 층 방법은 이를 구현하기가 어려워서 다양한 패턴 별로 이상적인 바운다리 층을 사용할 수 없다. 또한, 상기 방법은 사전에 결정된 하나의 바운다리 층을 사용해야 하기 때문에 계산정확도가 떨어진다.
따라서, 본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는 마스크 토포그라피 효과를 고려하여 계산속도 및 계산정확도를 모두 확보할 수 있는 마스크 토포그라피 해 석시스템을 제공하는 데 있다.
또한, 본 발명이 이루고자 하는 다른 기술적 과제는 상기 해석시스템을 이용하는 이미지 형성방법을 제공하는 데 있다.
상기 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 마스크 토포그라피 해석시스템은 마스크 상에 형성된 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식으로 전기장(EK)을 구하고 동시에 상기 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 전기장(ER)을 구한 다음, 전기장(EK)와 전기장(ER)을 조합하여 투영렌즈 퓨필 면에서의 전기장(EF)을 결정한다.
여기서, 상기 피치는 라인 앤드 스페이스(L/S) 패턴의 피치일 수 있다.
본 발명의 바람직한 실시예에 있어서, 상기 전기장(ER)은 상기 피치 별로 참조표로 저장할 수 있고, 상기 참조표는 상기 피치 별로 0차광 및 1차광의 전기장을 저장한 것으로, 기본 형식은 f, g, 진폭 및 상일 수 있다. 또한, 상기 참조표는 존스 및 파울리 매트릭스를 이용하여 표기할 수 있으며, 경우에 임계치수(CD)를 고려하여 수정할 수 있다.
상기 전기장(ER)은 상기 피치 별로 키르히호프 방식에 의해 진폭과 상을 해석하는 기준을 정하고, 전자기장 해석법에 의해 진폭과 상을 구할 수 있다.
상기 다른 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명에 의한 마스크 토포그라 피 해석시스템을 이용한 이미지 형성방법은 조명계 및 투영광학계를 구비하는 노광시스템의 이미지를 계산하는 데에 있어서, 마스크 상에 형성된 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식으로 전기장(EK)을 구하고 동시에 상기 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 전기장(ER)을 구한 다음, 전기장(EK)와 전기장(ER)을 조합하여 투영렌즈 퓨필 면에서의 전기장(EF)을 결정한다.
상기 이미지는 상기 마스크 패턴의 푸리에 변환의 적분값과 상기 조명계와 상기 투영렌즈의 퓨필 사이의 변환교차계수의 적분값의 곱에서, 상기 푸리에 변환의 적분값을 상기 전기장(EF)로 대체하여 예측할 수 있다. 또한, 상기 이미지는 상기 전기장(EK)의 적분값과 상기 전기장(ER)과 상기 변환교차계수의 곱의 적분값을 곱으로 예측할 수 있다. 나아가, 상기 이미지는 입사되는 점 광원의 시간평균세기와 상기 광원의 이미지 면에서의 전기장의 곱을 적분하여, 상기 전기장(EK)와 전기장(ER)을 조합하여 예측할 수 있다.
이하 첨부된 도면을 참조하면서 본 발명의 바람직한 실시예를 상세히 설명한다. 다음에서 설명되는 실시예는 여러 가지 다른 형태로 변형될 수 있으며, 본 발명의 범위가 아래에서 상술되는 실시예에 한정되는 것은 아니다. 본 발명의 실시예들은 당분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 본 발명을 보다 완전하게 설명하기 위하여 제공되는 것이다. 실시예 전체에 걸쳐서 동일한 참조부호는 동일한 구성요소를 나타낸다.
본 발명의 실시예에서는 마스크 토포그라피를 해석하는 기본 개념을 설명한 후, 이를 사입사(oblique incidence) 및 편광된(polarized) 빛으로 확장한다. 또한, 각각의 경우에 대해 DFM, OPC 및 리소그래피 시뮬레이션에서 주로 사용되는 이미지 형성방법(image formation method)인 홉킨스(Hopkins) 법, SOCS(Sum Of Coherent System)법 및 아베(Abbe)법에 접목시킬 것이다. 설명의 편의를 위하여, 기본 개념을 이미지 형성방법에 적용하고, 이어서 사입사 및 편광된 빛에 대한 해석을 이미지 형성방법에 적용하는 순서로 설명한다.
1. 본 발명의 마스크 토포그라피 해석법의 기본 개념
도 3은 본 발명의 해석법이 적용되는 노광기구(optical lithography tool)를 개략적으로 나타낸 도표(diagram)이다.
도 3을 참조하면, 노광시스템은 조명계(illumination system), 마스크(일명, reticle), 투영계(projection system) 및 포토레지스트가 도포된 웨이퍼를 포함한다. 조명계는 광원과 조명광학계를 구비하고, 투영계는 투영광학계를 포함한다. 투영계를 향하는 마스크 상의 패턴의 표면은 마스크 면(100), 웨이퍼 방향의 투영계의 일면은 도시된 바와 같이 투영렌즈의 퓨필 면(200) 그리고 이미지가 형성되는 웨이퍼의 표면은 이미지 면(300)으로 정의된다.
도 4는 본 발명의 해석법에 이용되는 전자기장 해석법을 설명하는 흐름도이다.
도 4에 의하면, 사입사의 입사각이 작고 피쳐 크기에 대하여 마스크의 두께(종횡비; aspect ratio)가 작을 경우, 사입사에 의한 마스크 면(100)에서의 전기 장의 투과도와 상의 변화는 정상입사(normal incidence)로 가정할 수 있다. 예컨대, 도 11a에서와 같이, 입사각의 변화에 따라 진폭의 변화가 일정한 부분은 비록 사입사이더라도 정상입사로 가정할 수 있다. 또한, 정상입사의 가정 하에서 조명계는 점 광원(point source)이라고 할 수 있다. 전자기장 해석법의 과정은 도 2a 및 도 2b를 참조하여 설명한 바 있다. 즉, 마스크 면(100)에서의 전자기장 해석법에 의한 투과도와 상의 변화가 투영렌즈 퓨필 면(200)과 이미지 면(300)에 그대로 적용된다. 이때, EF는 이미지 면(300)으로 입사되는 전기장이다.
도 5는 도 4의 전자기장 해석법을 포함하여 본 발명의 마스크 토포그라피를 해석하는 과정을 설명하는 흐름도이다. 본 발명에서 구하고자 하는 전기장은 투영렌즈 퓨필 면(200)을 기준으로 한다.
도 5를 참조하면, 본 발명의 해석법의 특징은 다양한 피치 및 형상의 패턴을 포함한 마스크를 피치(pitch)를 고려하지 않고 키르히호프 방식으로 전기장(EK)을 구하고 동시에 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 전기장(ER)을 구한 다음, 전기장(EK)과 전기장(ER)을 곱하여 투영렌즈 퓨필 면(200)에서의 전기장(EF)을 결정하는 것이다. 이렇게 구해진 전기장(EF)은 이미지 면(300)으로 입사하는 것이다. 구체적으로, 피치를 고려하지 않은 전기장(EK)는 투영렌즈 퓨필 면(200)에서의 0차광 및 1차광의 전기장이고, 피치를 고려한 전기장(ER)은 역시 투영렌즈 퓨필 면(200)에서의 0차광 및 1차광의 전기장이다. 이때, 피치는 L/S 패턴의 것이므로, 각각의 피치에 대한 전자기장 해석법의 수행시간은 1분 이내로 완료할 수 있다.
나아가, 피치를 고려한 전기장(ER)은 참조표(look-up table)에 저장하여 이를 마스크 토포그라피 해석을 할 때 참조할 수 있다. 참조표는 피치별로 0차광 및 1차광의 전기장을 저장한 것으로, 기본 형식(format)은 f, g, 진폭 및 상이며, 이를 존스(Jones) 및 파울리(Pauli) 매트릭스(matrix)로 표기할 수 있다. 이에 대해서는 나중에 상세하게 설명하겠다. 필요에 따라, 참조표는 통상적인 방법에 의해 측정된 임계치수(Critical Dimension; CD)를 고려하여 수정할 수 있다.
본 발명의 해석방법을 적용하면 수행시간은 키르히호프 방식과 동일하게 유지하면서 전자기장 해석법과 동일한 계산정확도를 확보할 수 있다. 특히, 피치를 고려한 전기장(ER)을 참조표를 이용하여 구함으로써, 전기장(ER)을 즉시 참조할 수 있다.
도 6은 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 본 발명의 전기장(ER)을 구하기 위하여 주파수에 따른 진폭과 상을 구하는 방법을 설명한 도표이다. 여기서, 피치는 피치(P1)와 P1보다 큰 피치(P2)를 예를 들었다. 최종적으로는, 피치(P1)과 피치(P2)에서의 진폭과 상을 조합하는 과정, 예컨대 곱하는 과정을 <P1 ⓒ P2> 영역에 도시하였다. 이때, A와 P는 각각 진폭과 상에서의 비례상수값, K0와 K1은 키르히호프 방식에서의 상수, R0와 R1은 전자기장 해석법에서의 상수, λ는 파장 그리고 NA는 개구수(numerical aperture)이다.
도 6을 참조하면, 피치(P1)에서의 진폭과 상을 해석하는 기준을 설정하도록 먼저 키르히호프 방식으로 진폭과 상을 구한다. 피치(P1)의 경우, 키르히호프 방식에 의한 진폭은 각각 주파수 0과 (λ/(NAㅧP1)에서 A_K0P1 및 A_K1P1이고, 상은 동일한 주파수에서 각각 0 및 P_K1P1이다. 이어서, 피치(P1)에서의 전자기장 해석법에 의해 진폭과 상을 구한다. 이때, 전자기장 해석법에 의한 진폭은 각각 주파수 0과 (λ/(NAㅧP1)에서 A_R0P1 및 A_R1P1이고, 상은 동일한 주파수에서 각각 0 및 P_R1P1이다.
피치(P2)의 경우, 키르히호프 방식에 의한 진폭은 각각 주파수 0과 (λ/(NAㅧP2)에서 A_K0P2 및 A_K1P2이고, 상은 동일한 주파수에서 각각 0 및 P_K1P2이다. 이어서, 피치(P2)에서의 전자기장 해석법에 의해 진폭과 상을 구한다. 이때, 전자기장 해석법에 의한 진폭은 각각 주파수 0과 (λ/(NA(P2)에서 A_R0P2 및 A_R1P2이고, 상은 동일한 주파수에서 각각 0 및 P_R1P2이다. 도시된 바와 같이, 피치(P2)에서의 진폭과 상이 나타나는 주파수의 간격이 피치(P1)에서의 것보다 작았다. 그후에, 피치(P1)과 피치(P2)에서 계산된 진폭과 상을 <P1 ⓒ P2> 영역에서와 같이 조합한다.
모든 피치에 대하여 앞에서 설명한 방식대로 진폭과 상을 조합할 수 있고, 각각의 피치에 대하여 원하는 전기장(ER)을 쉽게 구할 수 있다. 모든 피치에 대하여 상기 과정을 반복하기 어려운 경우에는 대표적으로 선택된 피치에 대하여 진폭과 상을 계산하고, 이를 근거로 주파수에 따른 진폭과 상을 추정할 수 있다. 각각의 피치에 대한 진폭과 상을 참조표에 저장할 수 있다.
도 7a는 주파수 영역에서 f축과 g축에 따른 진폭의 이미지를 나타내는 사진이고, 도 7b는 상의 이미지이다. 각각은 주파수 영역에서 f축 (g=0인 축)상에 위와 같은 방법으로 계산된 진폭과 상을 360( 회전하여 방사 대칭시켜 f-g 평면에서의 진폭과 상을 추출한 것이다.
한편, 투영렌즈는 컷오프 주파수(cut off frequency)를 갖는다. 컷오프 주파수 는 상기 렌즈의 개구수(NA)와 빛의 파장에 의해 결정된다. 이에 따라, 상기 전기장(ER)은 -2NA/λ≤f≤2NA/λ, -2NA/λ≤g≤2NA/λ인 범위의 f, g에 대해서만 계산하면 된다.
2. 이미지 형성방법에 적용
1) 홉킨스 방법에의 적용
홉킨스 방법에서 사용되는 전기장의 세기(intensity)는 다음 식(1) ~ 식 (3)으로 표현된다. 이때, I(x, y)는 이미지 면(도 3의 300)에서의 세기이고 O(f, g)는 투영렌즈의 퓨필면(도 3의 200)에서의 세기이다. 또한, TCC(f, g, f', g')는 잘 알려진 바와 같이 조명계와 투영렌즈 퓨필 사이의 변환교차계수(Transmission Cross Coefficient)이다.
Figure 112007002318364-pat00001
…… 식 (1)
Figure 112007002318364-pat00002
…… 식(2)
Figure 112007002318364-pat00003
…… 식(3)
여기서, F는 마스크 패턴의 푸리에 변환, J는 조명계 그리고 K는 투영렌즈를 나타낸다. 홉킨스 방법은 조명계와 투영렌즈에 의해 결정되는 TCC와 마스크 패턴의 푸리에 변환을 곱한 후에 이를 주파수 영역에서 적분하여 세기를 구한다. 식(2)에서의 F(f, g)는 도 5의 EF(f, g)에 대응된다. 이에 따라, EF(f, g) = EK(f, g)ER(F, g)를 식(2)에 대입하면 다음 식(4)이 유도된다.
Figure 112007002318364-pat00004
…… 식(4)
식(4)에 의하면, O(f, g)는 기존의 키르히호프 방식으로 계산된 결과에 부가적으로 전기장(ER) = ∬ER(f,g)E* R(f+f', g+g')df'dg'부분만 더 계산하면 된다. 상기 부가적인 부분은 참조표를 참조하면 되므로, 수행속도는 기존의 키르히호프 방식과 동일하다. 또한, 전자기장 해석법에 의한 정보를 참조표를 통하여 이용하므로, 마스크 토포그라피 효과를 정확하게 반영할 수 있다.
2) SOCS 방법에의 적용
SOCS 방법은 앞서 설명한 홉킨스 방법의 O(f,g)를 커넬(kernel; Φ)의 합으로 전개하고, 이를 광학적인 지름(optical diameter; ambit) 안에 들어오는 마스크 패턴과 컨볼류션(convolution)하여 세기(intensity)를 계산한다. 그 결과는 아래의 식(5) 및 식(6)이다. 이때, Φ는 커넬, M은 마스크 패턴이다.
Figure 112007002318364-pat00005
…… 식(5)
Figure 112007002318364-pat00006
…… 식(6)
본 발명에서 도입된 전기장(ER)은 커넬처럼 주변 패턴이 변하더라도 변하지 않는 값이므로 참조표에 저장할 수 있다. 세기는, 식(7)에서와 같이, 식(4)의 O(f,g) 함수에서 기존의 TCC 를 전기장(ER)이 포함된 새로운 TCC(TCCnew)를 추출한 후, 이를 커넬(Φ)의 합으로 전개하여 계산한다.
Figure 112007002318364-pat00007
…… 식(7)
이때, TCCnew(f,g, f', g')는
Figure 112007002318364-pat00008
이다.
따라서, 키르히호프 방식으로 계산된 커넬을 새로운 TCC(TCCnew)로 변형하여 마스크 토포그라피 효과를 계산할 수 있다.
3) Abbe 방법에의 적용
도 8a 및 도 8b는 Abbe 방법을 설명하기 위한 조명방식의 사례를 나타내는 도면이다. 도 8a는 각(annular) 조명방식에 관한 것이고, 도 8b는 4극(quadruple) 조명방식이다. 각각의 조명방식에서 점들은 점 광원(point source)을 표시한 것이다. 식(8)은 이미지 면(도 3의 300)에서의 전기장을 나타낸 것이다. 즉. Isource는 각 점 광원의 시간평균세기(time-averaged intensity)를 의미하며, Eimage는 각 점 광원에 의한 이미지 면에서의 전기장을 의미한다.
Figure 112007002318364-pat00009
…… 식(8)
도 9는 정상입사(normal incidence)로 입사하는 (0, 0) 위치의 점 광원에 의한 세기를 Abbe 방법으로 계산한 결과를 나타낸 도면이다. 첫번째 도면에서 바깥쪽의 원(실선)은 점 광원의 설명한 EK이고, 내부의 원(점선)은 도 5를 참조하여 설명한 투영렌즈의 퓨필 면에서의 EK이다. 두번째 도면에서 바깥쪽의 원(실선)은 점 광원의 설명한 ER이고, 내부의 원(점선)은 도 5를 참조하여 설명한 투영렌즈의 퓨필 면에서의 ER이다. 즉, Abbe 방식으로 전기장을 계산하려면 그림 5에의 EK를 계산할 때 사용하는 조명계를 정상입사하는 점 광원으로 변환하면 된다.
도 10은 사입사(oblique incidence)로 입사하는 (σ, 0) 위치의 점 광원에 의한 세기를 Abbe 방법으로 계산한 결과를 나타낸 도면이다. 첫번째 도면에서 바깥쪽의 원(실선)은 점 광원의 설명한 EK이고, 내부의 원(점선)은 도 5를 참조하여 설명한 투영렌즈의 퓨필 면에서의 EK이다. 두번째 도면에서 바깥쪽의 원(실선)은 점 광원의 설명한 ER이고, 내부의 원(점선)은 도 5를 참조하여 설명한 투영렌즈의 퓨필 면에서의 ER이다.
도시된 바와 같이, 사입사의 EK와 ER은 그림 9에서 계산된 EK와 ER를 (-σ,0)만큼 변위(shift)하면 된다. 이 경우, 그림 9에서의 EK와 ER를 이용하여 EF(f,g) = EK(f,g)ER(f,g)를 계산한 후, EF를 (-σ,0)만큼 변위(shift)시켜도 같은 결과를 얻을 수 있다.
조명계상에 존재하는 모든 점 광원에 대해 위 과정을 반복하면 마스크 토포그라피를 고려한 전기장의 세기를 계산할 수 있다.
3. 사입사(oblique incidence)에 의한 마스크 토포그라피
앞에서 설명한 기본개념 및 이미지 형성방법에의 적용하는 것에 대한 기본 가정은 사입사의 입사각이 진폭의 변화에 영향을 미치지 않을 정도로 작고 피쳐 크기에 대한 마스크 두께가 크지 않을 경우 사입사에 의한 마스크 면에서의 전기장의 투과도와 상의 변화는 정상입사와 유사하다는 것이었다. 하지만, 사입사의 입사각이 진폭의 변화에 영향을 줄 정도로 크고 피쳐 크기에 대한 두께가 실질적으로 큰 경우, 본 발명의 마스크 토포그라피 해석에 대한 보강이 필요하다.
도 11a 및 도 11b는 각각 TE-모드와 TM 모드에서 정상입사와 사입사에 따른 0차광 및 1차광의 투과도변화율(η)을 나타낸 그래프이다. 여기서, 투과도변화율(η)은 광원에서의 진폭과 투영렌즈 퓨필 면에서의 진폭의 비이다. 이때, 차단층은 MoSi으로 이루어졌으며, 입사광의 파장은 193nm이었다.
도 11a 및 도 11b를 참조하면, 사입사에 의한 마스크 면에서의 전기장의 투과도와 상의 변화가 정상입사와 차이가 발생할 경우, 도 5에 제시된 전자기장 해석법으로 다양한 피치의 L/S 패턴의 투영렌즈의 퓨필 면에서 0차광 및 1차광의 전기장을 정상입사와 사입사 각각에 대해 계산한다. 그후, 도 9의 ER은 정상입사에 의한 전기장 그리고 도 10의 ER은 사입사에 의한 전기장으로 대체한다.
4. 편광된 빛에 대한 마스크 토포그라피
입사광이 편광된 빛이라면 도5의 전자기장 해석법으로TE 및 TM 성분 각각에 대해 ER을 계산한 후, 이를 이미지 형성방법(홉킨스, SOCS, 아베 방법)에 대입한다. 만일, x, y, z 평면에서 전기장을 계산하려면 TE 및 TM 성분 각각에 대해 계산된 ER을 도 12에 명시된 식에 근거하여 x, y, z 평면의 벡터로 분해하면 된다.
x, y, z 평면으로 전개할 경우, 도 5의 EF는 도 13의 존스 매트릭스(Jones matrix) 혹은 도 14의 파울리(Pauli matrix)와 ER 곱으로 전개할 수 있다. 즉, 투영렌즈의 퓨필 면에서의 전기장(E')을 ER과 존스 매트릭스 및 파울리 매트릭스의 곱으로 표현한 것이다. 이때 존스 매트릭스의 Jxx 성분은 ER의 x방향 성분, Jyy 성분은 ER의 y방향 성분으로 표현되며, Jxy = Jyx = 0이다. 또한, Ex 및 Ey는 ER 성분을 나타낸 것이다. 파울리 매트릭스는 존스 매트릭스를 전개한 것으로, σ0는 편광되지 않은 상태, σ1은 수직 또는 수평방향으로 선형 편광된 상태, σ2는 +45° 및 -45°로 선형편광된 상태 그리고 σ3은 왼쪽 및 오른쪽의 원방향으로의 편광상태를 나타내는 근거(basis)이다.
이상, 본 발명은 바람직한 실시예를 들어 상세하게 설명하였으나, 본 발명은 상기 실시예에 한정되지 않으며, 본 발명의 기술적 사상의 범위내에서 당분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의하여 여러 가지 변형이 가능하다.
상술한 본 발명에 의한 마스크 토포그라피 해석시스템 및 해석방법에 따르면, 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식으로 전기장(EK)을 구하고 동시에 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 전기장(ER)을 구한 다음, 전기장(EK)와 전기장(ER)을 조합하여 투영렌즈 퓨필 면에서의 전기장(EF)를 결정함으로써, 수행시간은 키르히호프 방식과 동일하게 유지하면서 전자기장 해석법과 동일한 계산 정확도를 확보할 수 있다.
또한, 상기 해석방법을 대표적인 이미지 형성방법인 홉킨스법, SOCS법 및 아베법에 상기 전기장(ER)을 대체함으로써, 수행시간은 키르히호프 방식과 동일하게 유지하면서 전자기장 해석법과 동일한 계산 정확도를 확보할 수 있다.
나아가, 상기 해석방법은 사입사 및 편광된 빛에 의한 경우에도 상기 전기장(ER)을 대체함으로써, 수행시간은 키르히호프 방식과 동일하게 유지하면서 전자기장 해석법과 동일한 계산 정확도를 확보할 수 있다.

Claims (29)

  1. 초기 광을 방출하는 광원을 포함하는 조명계, 상기 조명계로부터 방출된 상기 초기 광이 입사되어 투과하는 마스크, 및 상기 마스크를 투과한 투과 광이 입사되어 투과하고 상기 마스크에 대하여 반대 면에 투영렌즈 퓨필면을 가지는 투영계를 이용하여 형성한 마스크 토포그래피의 해석 방법에 있어서,
    상기 마스크 상에 형성된 피처(feature)들 사이의 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식을 이용하여 제1 전기장(EK)을 구하는 단계;
    상기 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 제2 전기장(ER)을 구하는 단계; 및
    상기 제1 전기장(EK)과 상기 제2 전기장(ER)을 조합하여 상기 투영렌즈 퓨필 면에서의 최종 전기장(EF)을 결정하는 단계를 포함하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  2. 제1항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)을 구하는 단계는,
    상기 마스크에 대하여 입사된 초기 광을 정상 입사(normal incidence) 또는 사입사(oblique incidence) 중의 하나로 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  3. 제2항에 있어서, 상기 초기 광이 정상 입사로 결정되고,
    상기 제2 전기장(ER)은 정상입사를 하는 점 광원을 기준으로 구하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  4. 제2항에 있어서, 상기 초기 광을 정상입사 또는 사입사 중의 하나로 결정하는 단계는,
    상기 초기 광의 입사 각도에 대한 광원에서의 진폭과 투영렌즈 퓨필 면에서의 진폭의 비인 투과도 변화율을 기준으로 수행되는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  5. 제4항에 있어서, 상기 초기 광을 정상입사 또는 사입사 중의 하나로 결정하는 단계는,
    상기 마스크의 두께와 상기 피처 크기에 대한 비율을 더 고려하여 결정하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  6. 제2항에 있어서, 상기 초기 광이 사입사로 결정되고,
    상기 제2 전기장(ER)을 구하는 단계는:
    상기 초기 광을 정상입사로 가정하여 상기 정상입사에 대한 예비 제2 전기장(ER)을 구하는 단계; 및
    상기 정상입사에 대한 예비 제2 전기장(ER)을 주파수에 따라 변위하여 계산하고, 이에 따라 사입사에 대한 제2 전기장(ER)을 구하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  7. 제1항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)은 상기 투영렌즈 퓨필 면에서의 0차광 및 1차광의 전기장인 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  8. 제1항에 있어서, 상기 피치는 라인 앤드 스페이스(L/S) 패턴의 피치인 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  9. 제1항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)은 상기 피치 별로 참조표로 저장하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  10. 제9항에 있어서, 상기 참조표는 상기 피치 별로 0차광 및 1차광의 전기장을 저장한 것이고,
    상기 참조표의 기본 형식은 f, g, 진폭 및 상인 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  11. 제9항에 있어서, 상기 참조표는 존스 매트릭스, 파울리 매트릭스, 또는 이들 모두를 이용하여 표기하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  12. 제9항에 있어서, 상기 참조표는 임계치수(CD)를 고려하여 수정하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  13. 제1항에 있어서, 상기 초기 광은 편광된 광이고,
    상기 제2 전기장(ER)은 존스 매트릭스 또는 파울리 매트릭스가 조합되는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  14. 제1항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)을 구하는 단계는,
    선택된 피치에 대한 대표 진폭과 대표 상을 계산하고, 상기 계산결과를 근거로 모든 피치에 대한 진폭과 상을 결정하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  15. 제1항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)은 상기 투영렌즈의 컷오프 주파수 범위 내에서 계산하는 것을 특징으로 하는 마스크 토포그라피 해석 방법.
  16. 초기 광을 방출하는 광원을 포함하는 조명계, 상기 조명계로부터 방출된 상기 초기 광이 입사되어 투과하는 마스크, 및 상기 마스크를 투과한 투과 광이 입사되어 투과하고 상기 마스크에 대하여 반대 면에 투영렌즈 퓨필면을 가지는 투영계를 이용한 웨이퍼 상의 이미지 형성 방법에 있어서,
    상기 마스크 상에 형성된 피처들 사이의 피치를 고려하지 않고 키르히호프 방식을 이용하여 제1 전기장(EK)을 구하는 단계;
    상기 피치를 고려하여 전자기장 해석법을 이용하여 제2 전기장(ER)을 구하는 단계;
    상기 제1 전기장(EK)과 상기 제2 전기장(ER)을 조합하여 상기 투영렌즈 퓨필 면에서의 최종 전기장(EF)을 결정하는 단계; 및
    상기 최종 전기장(EF)이 상기 웨이퍼 상의 이미지 면으로 입사하여 이미지를 형성하는 단계를 포함하는 이미지 형성방법.
  17. 제16항에 있어서, 상기 이미지는 상기 마스크 패턴의 푸리에 변환의 적분값과 상기 조명계와 상기 투영렌즈의 퓨필면 사이의 변환교차계수의 적분값의 곱에서, 상기 푸리에 변환의 적분값을 상기 최종 전기장(EF)로 대체하여 예측하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  18. 제17항에 있어서, 상기 이미지는 상기 제1 전기장(EK)의 적분값과 상기 제2 전기장(ER)의 적분값, 및 상기 변환교차계수의 적분값의 곱으로 예측하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  19. 제16항에 있어서, 상기 이미지는 입사되는 점 광원의 시간평균세기와 상기 광원의 이미지 면에서의 전기장의 곱을 적분하여, 상기 제1 전기장(EK)과 제2 전기장(ER)을 조합하여 예측하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  20. 제16항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)을 구하는 단계는,
    상기 마스크에 대하여 입사된 초기 광을 정상 입사(normal incidence) 또는 사입사(oblique incidence) 중의 하나로 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  21. 제20항에 있어서, 상기 초기 광이 정상 입사로 결정되고,
    상기 제2 전기장(ER)은 정상입사를 하는 점 광원을 기준으로 구하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  22. 제20항에 있어서, 상기 초기 광을 정상입사 또는 사입사 중의 하나로 결정하는 단계는,
    상기 초기 광의 입사 각도에 대한 광원에서의 진폭과 투영렌즈 퓨필 면에서의 진폭의 비인 투과도 변화율을 기준으로 수행되는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  23. 제22항에 있어서, 상기 초기 광을 정상입사 또는 사입사 중의 하나로 결정하는 단계는,
    상기 마스크의 두께와 상기 피처 크기에 대한 비율을 더 고려하여 결정하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  24. 제20항에 있어서, 상기 초기 광이 사입사로 결정되고,
    상기 제2 전기장(ER)을 구하는 단계는:
    상기 초기 광을 정상입사로 가정하여 상기 정상입사에 대한 예비 제2 전기장(ER)을 구하는 단계; 및
    상기 정상입사에 대한 예비 제2 전기장(ER)을 주파수에 따라 변위하여 계산하고, 이에 따라 사입사에 대한 제2 전기장(ER)을 구하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  25. 제16항에 있어서, 상기 피치는 라인 앤드 스페이스 패턴의 피치인 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  26. 제16항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)은 상기 피치 별로 참조표로 저장하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  27. 제25항에 있어서, 상기 참조표는 임계치수를 고려하여 수정하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  28. 제16항에 있어서, 상기 초기 광은 편광된 광이고,
    상기 제2 전기장(ER)은 존스 매트릭스 또는 파울리 매트릭스가 조합되는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
  29. 제16항에 있어서, 상기 제2 전기장(ER)은 상기 투영렌즈의 컷오프 주파수 범위 내에서 계산하는 것을 특징으로 하는 이미지 형성방법.
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