KR100819960B1

KR100819960B1 - 등각 구조에 의한 기하학적 표면의 분석 방법

Info

Publication number: KR100819960B1
Application number: KR1020057008156A
Authority: KR
Inventors: 싱-텅 야우; 시안펭 구; 얄린 왕
Original assignee: 지오메트릭 인포매틱스 인코퍼레이티드
Priority date: 2002-11-06
Filing date: 2003-11-06
Publication date: 2008-04-07
Also published as: JP2006518886A; WO2004044689A2; KR20050084991A; AU2003286922A8; WO2004044689A3; US20060013505A1; AU2003286922A1; EP1559060A2; CN1781111A; EP1559060A4

Abstract

기하학적 표면을 분석하고, 분류하며, 인식하는 방법이 개시된다. 기하학적 표면은 리만 다면체로 취급되며, 표면에 상응하는 등각 구조가 계산된다. 표면의 등각 구조는 표면에 대한 내부의 기하학 정보를 포함하지만, 다른 표면들과 비교할 때 훨씬 더 많이 치밀하다. 표면을 원반, 구, 또는 평면과 같은 기준 파라미터 도메인에 등각으로 매핑시키는 것은 표면의 기하학적 정보를 보유하며, 등각 구조의 계산을 훨씬 더 쉽게 한다. 그러한 등각 표현에 의해 가능해진 다양한 애플리케이션은 표면 매칭, 표면 카탈로깅, 표면 인식, 표면들간의 애니메이션 및 모핑, 및 다른 수학적 분석을 포함한다.

Description

등각 구조에 의한 기하학적 표면의 분석 방법{ANALYSIS OF GEOMETRIC SURFACES BY CONFORMAL STRUCTURE}

관련 출원에 대한 상호 참조

본 출원은 미국특허법(35 U.S.C.) 제119조(e)에 의거 2002년 11월 6일자 출원된 가출원번호 제60/424,141호에 대해 우선권을 주장하며, 거기에 기재된 사항은 본 명세서에 참조를 위해 병합되는 것으로 한다.

본 출원은 표면의 분석에 관한 것이며 특히, 컴팩트한 리만 표면이론을 컴퓨터로 계산가능한 알고리즘으로 변환하여 표면 분석을 위한 기초적인 기하 도구를 제공함으로써 표면의 등각 구조를 계산하여 표면을 분석하는 것에 관한 것이다.

기하 표면의 분류 및 식별은 컴퓨터 그래픽 및 컴퓨터 캐드(CAD) 분야에서 기본적인 문제이다. 스캐닝 및 이미징 기술이 발전하면서, 다수의 채색된 메쉬가 데이터베이스, WWW, 그리고 인터넷에서 이용 가능해지고 있다. 또한, MRI나 PET 이미징과 같은 의료 이미징 기술이 신체 내부구조의 3차원 모델을 생성할 수 있다. 예를 들면, 뇌 이미징에서의 최근의 발전은 뇌 지도의 데이터베이스에서 이와 같은 이미지의 수집과 저장을 가속시켜 왔다. 마찬가지로, 바이오메트릭 보안 응용에 서, 안면 인식은 이미징, 저장, 및 미리 저장된 안면들에 대한 3차원 안면 특징들의 매칭을 포함한다. 또한, 3차원 웹페이지를 사용하는 엔터테인먼트 시스템은 그 수가 증가하고 있으며, 모핑(morphing)과 텍스처(texture) 매핑과 같은 컴퓨터 애니메이션 기술 또한 3차원 표면의 생성과 조작을 포함한다.

이 모든 응용들에 있어서, 기하적인 데이터는 미분구조(differential structure) 대신에 조합구조(combinatorial structure)를 갖는 삼각 메쉬로서 표현된다. 따라서, 이들 구조들을 미분 기하 기법을 사용하여 처리하는 것은 어렵다. 현재의 분석 방법은 2개 표면 사이의 Hausdorff 거리를 측정하나; 상기 표면들 사이에 일치를 발견하는 일반적인 접근방법은 없고, 또한 조합 검색은 비효율적이다. 또한, 현재의 표면 분석 방법은 표면의 삼각법(triangulation)과 분해능(resolution)에 크게 의존하고 있다. 그러나, 다른 삼각법과 분해능은 크게 변화하는 결과를 가져올 수 있다. 결국, 기하 표면 데이터는 극히 크다. 하나의 표면이 수백만의 꼭지점과 면들을 가질 수 있으므로 현재의 시스템에서 필요한 순수한 계산 횟수는 효과적이고 효율적인 알고리즘을 만드는 것을 극히 어렵게 한다. 또한, 현재로서는 토폴로지 불변량을 사용하여 표면을 분류하는 효과적이고 일반적인 방법이 없는데 이는 상기 분류가 보통 너무 조악하기 때문이며, 또한 상기 분류가 너무 엄격하기 때문에 유클리드 기학 불변량을 사용하는 방법도 없다.

따라서, 표면의 형상에만 의존하는 점에서 본질적인 시스템이고; 표면들을 효율적으로 분류하여, 동일 분류에서 2개의 표면 사이에 일치를 발견하는 일반적인 방법을 제공하고; 수적으로 안정하고 정확한 효율적이면서 달성가능한 계산 (computation)을 제공하는 기하적 분석 방법을 제공하는 것이 유용하다.

기하 표면을 분석, 분류 및 인식하는 방법이 개시된다. 기하 표면들은 리만 다양체(Riemann manifolds)로서 취급되고 상기 표면에 대응하는 등각 구조가 계산된다. 상기 표면의 등각 구조는 표면에 관한 본질적인 기하 정보를 포함하지만, 훨씬 더 콤팩트한 포맷이다. 그러나 일반적으로 표면들은 상당히 큰 메쉬 데이터 포인트 수를 갖는 복수의 메쉬 데이터로서 표현된다. 이와 같은 메쉬 표면의 등각 구조를 계산하는 것은 많은 메쉬 데이터 포인트의 갯수와 필요한 훨씬 더 많은 계산 횟수 때문에 어려운 일이다. 상기 표면을 디스크, 구체, 또는 평면과 같은 정규 파라미터 도메인으로 등각으로 매핑하는 것은 상기 표면의 기하 정보를 계속 유지하고, 등각 구조의 계산을 훨씬 용이하게 한다.

특히, 일 실시예에서, 제 1 및 제 2 표면은 제 1 및 제 2 매핑 표면을 형성하는 정규 파라미터 도메인으로 등각으로 매핑된다. 각각의 매핑 표면에 대한 등각 파라미터화는 상기 표면들이 매칭하는지를 판단하기 위해 계산되고 서로 비교된다.

다른 실시예에서, 표면을 분류하는 방법이 개시되며, 이 방법에서는 표면이 상기 등각 파라미터화에 따라 분류된다. 구체적으로는, 상기 표면에 대응하는 주기 매트릭스(R)가 결정되어 저장된다. 그 후, 특정 표면에 대한 검색이 미리 저장된 주기 매트릭스(R)를 조사하고 이 매트릭스를 원하는 표면에 대응하는 제 2 주기 매트릭스(R')에 비교함으로써 수행될 수 있다.

또 다른 실시예에서, 표면 인식에 대한 방법이 제공된다. 구체적으로는, 표면을 나타내는 메쉬가 제공되고 하나 이상의 피처 포인트가 순차적으로 제거된다. 제거된 각 피처 포인트에 대해 대응하는 주기 매트릭스(R)가 계산된다. 얻어진 주기 매트릭스의 순서를 미리 계산된 주기 매트릭스의 순서와 비교함으로써, 표면이 인식된다.

또는, 모든 피처 포인트가 한번에 제거될 수 있고 한 포인트가 상기 표면 내에서 선택된다. 이 포인트가 표면을 소정의 궤도로 이동하면서, 주기 매트릭스의 순서가 계산되고 주기 매트릭스의 미리 계산된 순서와 비교된다.

또 다른 실시예에서, 이미지 압축 방법이 개시된다. 표면을 나타내는 메쉬가 제공되고 상기 메쉬에 대한 등각 파라미터화가 계산된다. 상기 등각 파라미터화를 사용하여, 평균 곡률이 계산될 수 있으며, 이들 2개의 파라미터를 가지고 원래 표면이 유일하게 결정된다.

다른 실시예에서, 의료 이미징에 대한 응용이 개시된다. 예를 들어 뇌나 다른 기관의 의료 이미지는 전형적인 지너스-0 표면(genus-zero surface)이다. 상기 지너스-제로 표면을 구체로 등각 매핑하는 것은 상기 표면을 분석하는 것을 가능하게 한다.

다른 실시예에서, 표면을 애니메이팅(animating)하는 방법이 개시된다. 2개의 유사한 구체가 주어진 경우, 각 표면으로부터 피처 포인트들이 제거되고 각 표면의 배증(doubling)이 계산된다. 각 표면은 하나 이상의 패치로 분해되고 각 패치는 평면으로 매핑된다. 한 평면으로부터 다른 평면으로의 등각 매핑이 결정되고 제어 포인트를 선택한 후 BSpline곡선이나 다른 부드러운 곡선 함수가 상기 2개의 평면간 부드러운 전이를 발생시키기 위해 사용된다.

다른 실시예에서, 주어진 표면을 커버하기 위한 텍스처를 발생시키는 방법이 제공된다. 상기 표면은 등각 파라미터화를 사용하여 평면 표면과 같은 정규 파라미터 표면으로 매핑되며, 상기 텍스처는 상기 파라미터 표면을 위해 계산된다. 상기 텍스처 패치들을 전체적으로 부드럽게 하기 위해, 텍스처 패치간의 경계를 확산시키는데 디히클레(Dirichlete) 방법이 사용된다. 이런 방식으로, 텍스처 패치는 성장하고 함께 꿰매진 다음 상기 파라미터 표면으로 매핑된다.

상술한 방법 및 시스템의 다른 형태, 피처, 및 측면들이 다음에서 보다 상세하게 설명된다.

본 발명은 첨부된 도면과 함께 다음의 상세한 설명으로부터 더욱 완전하게 이해될 수 있다:

도 1A는 사람의 안면과 구체 사이의 등각 매핑을 도시하고,

도 1B는 도 1A의 사람 안면으로부터 도 1B의 평면에 매핑된 체커 보드 텍스처를 도시하고,

도 2A 내지 2D는 2홀 토루스(torus)의 홀로모픽 1-형의 다양한 성분들을 도시하고,

도 3은 구체에서 가고일 모델(gargoyle model)에 대한 구형의 등각 임베딩을 도시하고,

도 4는 구체에 등각으로 매핑된 인간의 뇌 모델을 도시하고,

도 5는 상기 단위 구체에 매핑된 토끼 모델을 도시하고,

도 6A 및 6B는 파라미터화의 영점을 도시하고,

도 7A 내지 7D는 지너스 2 및 3인 토루스에 대한 글로벌한 등각 환추(atlas)를 도시하고,

도 8A 내지 8D는 2개의 지너스-1 토루스의 등각 등가물(conformal equivalence)이 아닌 토폴로지 등가물(topological equivalence)을 도시하고,

도 9A 내지 9D는 상이한 등각 구조를 갖는 지너스-1 표면을 도시하고,

도 10A 내지 10D는 글로벌한 등각 파라미터화의 균일성에서의 향상을 도시하고,

도 11A 내지 11D는 상이한 등각 구조를 갖는 다양한 지너스-2 표면을 도시하고,

도 12A 및 12B는 토끼 표면의 삼각법의 규칙화의 사용을 도시하고,

도 12C 및 12D는 등각 기하 이미지로부터 토끼 표면의 재구성을 도시하고,

도 13A는 뇌 표면 모델을 도시하고,

도 13B는 구체로 등각 매핑된 도 13A의 뇌 표면 모델을 도시하고,

도 13C는 도 13A의 뇌 표면 모델의 구형 기하 이미지를 도시하고,

도 13D는 도 13C가 256배 압축된 후 재구성된 뇌 표면을 도시하고,

도 14는 등각 구조를 사용하여 여성 안면으로부터 남성 안면으로의 기하 모핑을 도시하고,

도 15A 및 15B는 삼각법의 원시 레벨에서 차주전자 모델의 전체적인 파라미터화를 도시하고,

도 15C 및 15D는 삼각법의 단순화된 레벨에서 차주전자의 전체적인 파라미터화를 도시하고, 및

도 16A 내지 16D는 4개의 높은 지너스 표면에 대한 전체적인 파라미터화 결과를 도시하는 도면이다.

다음 실시예에서 2차원 표면들은 리만 표면으로 취급되며 상기 표면에 대응하는 등각 구조가 계산된다. 방위를 맞출 수 있는(orientable) 모든 면들은 리만 표면이고, 등각 변형하에서 불변인 고유한 등각 구조를 갖는다. 일반적으로, 상기 등각 구조는 토폴로지 구조보다 더욱 정교하고 미터법 구조보다 덜 정확하다. 지너스-1 표면에 대해서, 모든 등각 구조의 공간은 2차원이다. 그리하여, 2개의 파라미터를 사용함으로써, 모든 지너스-1 표면들이 분류될 수 있다. 일반적으로, 지너스 g 표면에 대해서, 모든 가능한 등각 구조의 공간은 6g-6 차원이다. 그리하여, 모든 지너스 g 표면들은 g x g 복소 매트릭스(complex matrix)를 사용하여 분류될 수 있다.

2개의 표면 사이에 등각 등가물을 시스템적으로 계산하는 방법이 제공된다. 구체적으로, 동일한 등가 구조를 갖는 임의의 2개 표면에 대해, 상기 2개 표면 사이에 등각 1 대 1 매핑을 시스템적으로 계산하는 방법이 제공된다. 지너스-0 표면에 대해, 그와 같은 매핑의 그룹은 6차원적이다. 지너스-1 표면에 대해, 그와 같은 그룹은 2차원적이다. 지너스-1 이상의 표면에 대해, 그와 같은 매핑의 그와 같은 그룹은 단지 1차원만을 포함한다. 그리하여, 유리한 것은, 이하에서 설명되는 방법들이 최적의 매핑을 발견하고 동일한 등각 구조를 갖는 임의의 2개 표면 사이의 Hausdorff 거리를 측정하는 효율적인 방법을 제공한다.

표면의 등가 구조가 결정되는 이하에서 설명된 방법들에 대해, 상기 등가 구조는 상기 표면의 기하의 함수일 뿐이다. 그것은 삼각법과 분해능 어느것에 의해서도 영향을 받지 않으며 또한 등각 매핑은 상기 표면의 형상을 보존한다.

모든 면들이 리만 표면이라는 것은 잘 알려져 있다. 임의의 리만 표면은 등각 좌표 환추(conformal coordinate atlas), 또는 등각 구조를 갖는다. 등각 변형은 하나의 등각 구조를 하나의 등각 구조에 매핑한다. 2개의 리만 표면 사이의 등각 변형에 의해 어디에서든지 각들이 유지된다. 알려진 바와 같이, 1차원 접속된 복소 다양체(complex manifold)는 리만 표면으로 알려져 있다. 리만 균일화 정리에 의해, 모든 표면들은 정규의 공간(canonical space)에 전체적으로 등각으로 매립될 수 있다. 상기 정규 공간은 보통 디스크, 평면, 또는 구체이며, 그 선택은 표면의 고유의 기하구조에 의해 결정된다. 상기 등각 매립된 표면은 상기 정규 공간 상에 매립된 원시 기하 정보의 많은 부분을 포함한다. 등각 매립을 통해서, 3차원 매칭 문제가 이들 3개의 정규 공간에서 2차원 매칭 문제로 변환될 수 있다. 이하에서 보다 상세히 설명된 바와 같이, 이 방법은 비-강체의 기형의 표면 매칭을 위한 잠재성을 갖는다.

표면을 상기 정규 공간에 매립하는 방법은 상기 표면의 등각 구조를 반영한 다. 구체적으로는, 하나의 표면으로부터 정규 공간으로의 모든 전체적인 등각 매립은 특수 그룹을 형성한다. 만일 2개의 표면이 서로에게 등가으로 매핑될 수 있다면, 그것들은 동일한 그룹 구조를 공유한다. 다시 말해, 그와 같은 그룹 구조는 완전 등각 불변량이다. 그러므로, 등각 불변량을 사용하여 모든 구조를 분류할 수 있다. 토폴로지상의 등가 분류 각각에 대해, 무수한 등각 등가 분류가 존재한다. 이것은 표면 분류화 문제를 위해 가치있는 것이다.

S₁과 S₂를 2개의 정규 표면으로 하고, (x¹, x²)에 의해 파라미터화 되는 것으로 하자. 로컬 좌표에서

로서 표현되는 매핑 φ: S₁ -> S₂를 정의한다.

S₁과 S₂의 제 1 기초 형태(리만 메트릭스(Riemann metrics))를:

로 하자.

에 의해 유도된 S1에 대한 풀 백 메트릭(pull back metric)은

이다.

만약 다음과 같은 함수 λ(x¹, x²)가 존재한다면,

,

φ는 S₁과 S₂ 사이에서 등각 매핑이라고 할 수 있다. 구체적으로, S₁으로부터 로컬 좌표 평면(x₁, x₂)으로의 매핑이 등각이라면, (x₁, x₂)는 S1의 등각 좌표이고, 또한 등온 좌표로서 지칭된다. 도 1A는 사람의 안면과 평면 상의 정사각형 사이의 등각 매핑을 도시한다. 도 1B는 체커보드를 표면에 텍스처 매핑함으로써 상기 매핑의 등각 성질을 도시한다. 도 1A 와 1B를 정밀 검사는 상기 체커보드 상의 모든 직각은 상기 표면의 텍스처 상에 유지된다는 것을 설명해준다. 도 16은 높은 지너스를 갖는 4개의 표면들 즉 지너스 > 1 인 표면의 글로벌 파라미터화 결과를 도시한다. 도시된 바와 같이 상기 체커보드 패턴 상의 모든 각들은 상기 매핑의 등각 성질을 나타내는 직각이다.

복소 다양체에 대해, U ⊂ C 는 개방 셋이라고 가정하고 f는 복소함수 f: U →C 라고 하자. 그러면 임의의 z₀ ∈ U 에 대해 ε> 0 라면, f는 홀로모픽(holomorphic)하다고 한다. 그러므로 디스크에서

이면,

f는 다음과 같은 수렴 파워 시리즈(power series)로서 표현된다.

U ⊂ C와 V ⊂ C를 C의 개방 셋이라고 하자. f가 1 대 1 이고 홀로모픽하다면 매핑 f: U →V는 바이홀로모픽(biholomorphic) 하며, f^-1: V →U 역시 홀로모픽하다.

S를 다음과 같은 3개의 조건을 만족하는 {(U_j, z_j)}_jεJ 군(family)과 연결된 Hausdorff 공간이라 하자:

1. 모든 U_j는 S의 개방 서브셋이고, S = ∪_jεJU_j

2. 모든 z_j는 상기 복소 평면에서 개방 서브셋 D_j로의 U_j의 유사형(homeomorphism)이다

3. 만일 U_j ∩U_k ≠φ라면, 전이 매핑

은 바이홀로모픽 매핑이며, 역시 홀로모픽 유사형이다.

이와 같이, {(U_j, z_j)}_jεJ 은 S 상의 좌표 이웃들(coordinate neighborhoods)의 시스템이고 S상의 1차원 복소 구조를 정의한다. 리만 표면의 좌표 이웃 (U, z)는 S에서 한 쌍의 개방 셋(U)이고 상기 복소 평면으로의 U의 유사형 z이다. U는 S의 좌표 이웃으로서 지칭되며, 유사형 z는 로컬 좌표 또는 로컬 파라미터로서 지칭된다.

일반적으로, 리만 표면 R로의 S의 매핑 f는, w·f·z^-1이 f(U) ⊂ V에 의해 S의 (U, z)과 R의 (V, w)의 모든 좌표 이웃들에 대해 홀로모픽하다면, 홀로모픽 매핑이라고 한다. 바이홀로모픽 매핑 f:S →R은 R상으로의 S의 홀로모픽 매핑 f가 홀로미픽 역매핑 f^-1: R →S를 갖는 것을 의미한다.

이와 같이, 2개의 리만 표면 S 와 R은 둘 사이에 바이홀로모픽 매핑이 존재한다면 바이홀로모픽 등가이다. 이와 같은 매핑이 존재한다면, S와 R은 같은 리만 표면으로 간주되고 S와 R은 같은 등각 구조를 갖는다. 일반적으로, 복소 구조, 바이홀로모픽 매핑 및 바이홀로모픽 등가는 각각 등각 구조, 등각 매핑 및 등각 등가라고도 한다.

표면 S가

와 같은 리만 메트릭을 갖는 것으로 하면, 상기 메트릭은 등각 구조 {(U_i, z_i)}를 유일하게 결정하는데 사용될 수 있으며, 따라 서 좌표이웃 (U_i, z_i) 에서 ds2의 로컬 표현은

이다.

여기서 λ(z_i)는 양의 실수 함수이다.

상기 등각 구조를 결정하기 위해 S에에서 모든 홀로모픽 미분 형태들이 발견되어야 한다. S를 리만 표면이라고 하면, S에서 홀로모픽 미분형태 ω는 다음과 같은 2개의 조건을 만족하는 {(U_i, z_i, ω_i)}의 군으로 주어진다:

1. {(Ui, zi)}를 등각 구조라고 가정하면, ω는 다음과 같은 로컬 표현 ω₁을 갖는다.

여기서, f_i는 U_i에 대한 홀로모픽(holomorphic) 함수이다.

2. 만약

가

에 대한 좌표 이행이라면,

그리하여, 로컬 표현은 연쇄 규칙을 만족한다.

S에 대한 모든 홀로모픽 미분의 집합은

로 나타내며,

는 S의 동상동(cohomology) 그룹에 대해 등정형이다. 그리하여,

을 계산하기 위해서는 S의 상동 그룹이 계산되어야만 한다.

S를 메트릭 g,

조밀한 2차원 다면체를 갖는 2차원 리만(Riemann) 다면체라고 하자. C¹ 맵

에 대해,

를

에 대한 로컬 좌표

에 서의 에너지 밀도라고 하자. φ의 C¹ 이형(variation)은 파라미터

에 부드럽게 의존하는 C¹ 맵

의 패밀리

이며, 그리하여

이다. φ의 이형

은 만약 모든

에 대한 S/ω에 대해서

인 콤팩트 집합

이 존재한다면 조밀하게 지원된다.

C¹ 에 대한 하모닉(harmonic) 맵은 조밀하게 지원된 이형에 관한 디리치렛(Dirichlet)의 에너지에 대해 정적인 맵

이며, 다음으로 주어진다.

로컬 좌표에서

이며, 여기서

이다. 맵

은 다음을 만족할 때에만 하모닉하다.

여기서, λ는 S에 대해 전역적으로 정의된 함수이며,

는 N에 대한 이미지 점에서 수직이다. 유-영(genus-zero) 표면에 대해서, 하모닉 매핑은 등각 매핑이다. 만약 N이 R이라면,

은 하모닉 함수로 불린다. 모든 등각 맵은 하모닉하지만, 모든 하모닉 맵이 등각은 아니라는 것을 주의하라.

S에 대한 실수 미분 1-형태 τ는 만약 S에서의 임의의 점에 대해, 다음의 식을 만족하는 열린 집합

가 존재한다면, 하모닉하다.

여기서, f는 S에 대한 하모닉 함수이며, d는 외부-미분 연산자이다.

모든 하모닉 미분은 동상동 그룹

에 등정형인 특수 그룹 H를 형성한다. 호지(Hodge) 이론에 따르면, 각각의 동상동 클래스에는, 고유한 하모닉 미분 형태가 있다.

홀로모픽 1-형태 ω는

가 되는 두 개의 실수 미분 1-형태

와

로 분해될 수 있으며, 여기서

와

는 모두 하모닉이다. 하모닉 1-형태를 평면에 대해서 적분함으로써, 평면은 복소수 평면으로 등각으로 매핑될 수 있다.

모든 하모닉 1-형태는 상동 그룹 H₁(S,Z)에 듀얼(dual)이다. 유(genus) g 평면 S에 대해서, H₁(S,Z)의 2g 생성기가 있다. 각각의 핸들에 대응해서, 다음의 식이 되는 두 개의 생성기

가 있다.

여기서,

은 두 개의 닫힌 곡선의 대수적 교차 수를 나타낸다.

은 기준 상동 기초라 불린다. 만약

가 H₁(S,Z)의 기초라면, 듀얼 홀로모픽 1-형태 기초는

이며, 다음을 만족한다.

도 2A-2D는 4개의 닫힌 곡선을 구성하는 도 2A에서의 2-구멍 토러스(torus)의 상동 기초를 묘사한다. 도 2B는 빗금친 곡선이 ω의 적분 선들인 e₁에 대한 하모닉 1-형태 ω듀얼을 묘사한다. 도 2C는 도 2B에 묘사된 하모닉 1-형태에 직교인 공액 하모닉 1-형태 ω*를 묘사한다.

등각 등가에 대한 완전 불변식은 복소수 행렬에 의해 제공된다.

가 기준 상동 기초이고

가

의 기초라고 가정하면, 행렬 P=(p_ij)은 S의 주기 행렬이라 불리며, 여기서

이다.

P₁과 P₂로 주어지는 2개 평면의 주기 행렬에 대한 검사는 2개 평면 사이의 등각 매핑을 계산할 필요없이, 2개 평면이 서로에 대해 등각으로 동등한지를 판정할 수 있다.

일반적으로, 평면은 삼각형 메시(meshes)에 의해 표현된다. 모든 심플리셜(simplicial) 표면은 자연스런, 아래에 놓이는 복소수 구조를 갖는다. K를 심플리셜 복소수라고 하고, 매핑

이 R³에

를 끼워넣는다면, M(K,f)는 삼각형 메시라 불리며, Kn(여기서 n=0,1,2)은 n-심플리시의 집합들이다.

은 n-복소수를 나타내며,

이고,

이다.

연쇄 공간은 심플리시들의 선형 결합이며, 다음의 식으로 주어진다.

Cn(n=0,1,2)에서의 요소들은 n-연쇄라고 불린다. 또한, 모든 페이스(faces)

의 합은 C₂에 있으며, M은 또한 이러한 2-연쇄를 나타내기 위해 사용된다.

연쇄 공간들 중의 경계 연산자

는 선형 연산자이다.

라고 하면,

그다음 C_n의 n-체인에 대해, 바운더리 오퍼레이터는

로서 정의된다.

∂₁의 영공간(null space)을 나타내기 위해서, ker∂₁⊂C₁는 M 상의 모든 닫혀진 루프를 나타낸다. 유사하게, img∂₂⊂C₁는 모든 표면 패치 바운더리를 나타 내는 ∂₂의 이미지 공간을 나타낸다. ∂₁ㆍ∂₂= 0 이므로, img∂₂⊂ ker∂₁이다. 그러므로, M의 호몰로지 그룹(homology group), H_n(M, Z)는 다음과 같이 주어진다.

H ₁(M, Z)는 M 상의 임의의 표면 패치의 바운더리가 아닌 모든 닫혀진 루프를 나타낸다. M의 위상은 H₁(M, Z)에 의해 판정된다.

M이 지너스(genus) g의 닫혀진 메쉬가 되게 하고, B = {

₁,

₂,...,

_2g} 그 호몰로지 그룹의 임의의 기저가 되게 하자. 그러면 B의 교차 행렬 C는 다음과 같이 주어진다.

여기서 ㆍ은 교차의 개수를 나타내며, 교차점에서의 e_i 및 e_j 의 탄젠트 벡터의 크로스 프로덕트(cross product)의 방향이 정상적인 방향과 일치하는 경우 +1 을 하고, 그렇지 않으면 -1 을 한다.

코-체인 공간은 R로의 체인 공간 사이의 위상동형(homeomorphism)의 세트이고 다음과 같이 주어진다.

여기서 Hom(C_n, R)은 R로의 C_n사이의 모든 위상동형의 세트를 나타낸다. C_n의 요소는 n-코체인 또는 n-폼으로 불린다. 코바운더리 오퍼레이터는 δ_n : Cⁿ →Cⁿ⁺¹로서 정의된다. ω_n∈Cⁿ 가 n-폼이 되게 하고, 가 n+1 체인이 되게 하자, 그러면

,

및

δ₁ㆍδ₂= 0.

코호몰로지 그룹 H ⁿ (M,R)은 아래와 같이 정의된다.

kerδ¹에서 1-폼은 닫혀진 1-폼으로 불려지고 imgδ⁰에서의 1-폼은 이그젝트(exact) 1-폼으로 불려진다. 두개의 닫혀진 1-폼은 그들이 이그젝트 1-폼과 다르 다면 코호몰로지한 것으로 불려진다. 코호몰로지 그룹 H ¹ (M,R)은 호몰로지 그룹 H ₁ (M,Z)와 동형이다.

n-체인을 따라 n-폼의 집적은 c_n ∈ C_n 및 ω_n∈ Cⁿ 인 경우 아래와 같이 정의된다.

바운더리 및 코바운더리 오퍼레이터는 Stokes 공식

에 의해 관련된다.

웨지 프로덕트는(Wedge product)는 쌍일차(bilinear) 오퍼레이터 ∧: C¹xC¹ →C⁰ 이다. f∈K₂가 M상의 페이스, δ₂f=e0+e1+e2, ω,

∈ C₁되게 하면,

이다.

쌍일차 오퍼레이터 스타 웨지 프로덕트 ∧^*: C¹xC¹ →C² 는 유사하게 정의된다. f∈K₂이고, 세개의 에지의 길이를 l₀, l₁, l₂, 및 f의 영역이 A라고 하면,

여기서,

,

및 2차 폼 G는 폼

을 갖는다.

닫혀진 1-폼의 조화 에너지 ω는

여기서,

및 e가 바운더리 에지, e∈δ₂M 라면, e는 하나의 페이스 f₀에 부착되고 그다음 w_e 는 다음과 같이 주어진다.

조화 에너지를 최소화시킨다면, 즉

로서 한정된 Laplacian 오퍼레이터가 0과 같다면, 닫혀진 1-폼은 조화 1-폼으로 불려진다. 따라서, Laplacian 오퍼레이터가 영인 경우에 한해 닫혀진 1-폼은 조화된다. M이 호몰로지 기저 {r₁, r₂,...,r_2g} 및 조화 1-폼 기저 {ω₁, ω₂,...,ω_2g}를 갖게 하고,

여기서, -

_{i ㆍ}

_j는

_i및

_j대수학적인 교차 개수이면, 호몰로지 기저 및 조화 1-폼 기저는 서로 듀얼(dual)이 되는 것으로 알려져 있다.

M이 메쉬가 되게 하면 N은 R³의 부드러운 표면이다. 구분적인 선형 맵 u:M →N ⊂ R³은

으로서 M ~ N 의 모든 정점을 도시한다.

u = (u¹, u², u³)의 조화 에너지는 다음과 같이 주어진다.

여기서, E(δu_α)는 1-폼 (δu_α)에 대해 정의된 조화 에너지이다. 만약 u가 조화 에너지, E(u)를 최소화시키면, u는 조화 맵이고 다음의 조건을 만족한다.

여기서, n은 N 상의 노말(nomal) 필드이다.

조화 1-폼 ω가 제공되면, 고유의 켤레 조화 1-폼 ω^*이 존재한다. 홀로모로픽(holomorophic) 1-폼은

으로서 정의된다.

모든 홀로모로픽 1-폼은 H¹(M,R)와 동형인 그룹

¹(M)을 형성한다.

¹(M)의 기저는 조화 1-폼 그룹의 기저로부터 직접 구성될 수 있다. {ω₁, ω₂,...,ω_2g} 의 기저를 갖는 조화 1-폼 그룹이 제공되면,

¹(M)의 기저는 {ω₁+

ω₁ ^*,ω₂+

ω₂ ^*,...,ω_2g+

ω_2g ^*,} 에 의해 제공된다.

제공된 B = {

₁,

₂,...,

_2g-1,

_2g}가 H₁(M,Z)의 기저이고, B^*= {ω₁, ω₂,...,ω_2g-1,ω_2g}가

¹(M)의 듀얼 기저이면, 행렬 C_2gx2g=(c_ij) 및 행렬 S_2gx2g=(s_ij)는

,

로서 정의된다.

그런 다음 M의 주기 행렬 R은

CR=SI

과 같이 정의된다.

여기서 R은 R²=-I를 만족한다. 상기 행렬(C, R)은 M의 등각동등한 클래스를 결정한다. 특히, (R₁, C₁)과 (R₂, C₂)을 갖는 임의의 두 표면 M₁, M₂ 각각에 대해, M₁과 M₂ 는 정수 행렬 N이 존재한다면 서로 등각 동등하여,

이 된다.

종수 g>인 메시의 등각 구조는 {(U_i, z_i)}의 패밀리여서,

1. U_i는 단순히 연결되고, M의 면에 의해 형성된다.

2. M ⊂∩U_i

2. z_i는 모두 선형이고, 홀로모픽 1 폼

가 존재하여

이다.

종수가 0인 메시에 대해, 홀로모픽(holomorphic) 1 폼은 존재하지 않는다. 이경우, 종수가 0인 표면은 단위구 S²의 표면으로 등각으로 매핑될 수 있고, S²의 등각 구조는 M의 등각 구조를 정의하는 데에 사용될 수 있다. 따라서, 불연속 조화맵 u:M→ S²는 M의 등각구조를 정의한다. 임의의 표면에 대해, c ∈ C₁를 따라 M을 자름으로써, D위상적인 디스크(D_M)이 형성될 수 있고, 그와 함께 특수한 1-체인이 형성될 수 있다. 이 c를 따라 자는 것은 궤적 또는 커트 그래프라고 하고, D_M은 M의 기본 영역이 된다. c의 선택은 고유하지 아니하며, 따라서 기본 영역이 없다.

등각 맵 u:D_M→ C는 홀로모픽 1 폼

을 사용하여 발견될 수 있다.

이 선택되고 임의의 꼭지점(vertex)

에 대해 임의의 경로

이 선택되어,

이고,

이다.

전술한 바와 같이, 모든 종수 0인 표면은 등각 동등하다. S²에서 그자신으로의 모든 등각 맵은 6차원 뫼비우스 변환 그룹을 형성한다. 복소 평면으로 상기 구면을 매핑하기 위한 스테레오 그래픽 사영을 사용하여, 모든 뫼비우스 변환은

의 폼이 된다.

그러나, 뫼비우스 변환의 폼에 따라 고유 해답을 형성하기 위해, 구면으로 종수 0인 표면을 매핑하는 등각 맵을 연산하기 위한, 뫼비우스 변환에 대한 추가적인 제약들이 필요하다.

다른 어려움은 맵의 이미지가 S² 상에 있고 R³상에는 없는 것이다. 따라서, 맵이 갱신될 때, 이미지는 있고 R³가 아닌 S²의 탄젠트 공간에서 이동되어야 한다.

전술한 것들이 구축되면, 전술한 등각 구조를 연산하기 위해 여러 알고리즘이 하기에 제공된다. 컴퓨터 그래픽, 컴퓨터 비전, 메디컬 이미징 영역에서의 적용이 기술된다.

다음의 알고리즘인 알고리즘(1)에서, 임의의 종수가 0인 표면과 구면 사이의 등각 맵이 연산된다. 우선 이미지의 질량 중심이 연산되어야하고, 다음의 폼이다.

불연속인 경우, 다음의 근사치가 사용된다.

여기서, A_{[u, v, w]}는 면[u, v, w]의 영역이다.

알고리즘(1)은 현재 S²에 대한 종수가 0인 메시의 등각 맵을 연산하는 데에 사용될 수 있다.

알고리즘(1): 종수가 0인 메시의 등각 패러미터화

입력 : 닫힌 종수가 0인 메시 M

출력 : 전체 등각 지도 φ: M→S²

1. M을 S²로 매핑한 가우스 맵을 연산.

2. M,

각각의 꼭지점에서의 라플라시안을 연산.

3.

∈S²의 탄젠트 공간으로의

의 사영.

4. 네거티브하게 사영된

를 따라서

를 갱신.

5.

의 질량중심

, S²의 중심에 대한 질향 중심을 연산하고, S² 상에 있는

를 재정규화(renormalize).

6. 사영된 라플라시안이 0이 될때까지 모든 꼭지점에 대한 꼭지점 스텝(2-5)을 반복.

도 3, 4, 및 5는 3 개의 다른 종수가 0인 표면에 대한 구체 등각 매핑을 도시한다. 특히, 도 3은 S²로 등각으로 매핑된 가고일 모양의 모델을 도시하고, 도 4는 S²로 등각으로 매핑된 뇌를 도시하며, 도 5는 S²로 등각으로 매핑된 토끼의 모델을 도시한다.

임의의 2 개의 위상의 디스크 사이의 등각 맵을 연산하는 것을 고려하여, 모든 그러한 매핑은 전술한 뫼비우스 그룹의 서브 그룹이고 다음의 식으로 나타내는 3차원 그룹을 형성한다.

위상의 디스크와 단위 디스크 사이의 등각 맵을 연산하기 위해, 더블링이라고 하는 기술이 사용된다.

더블링은 경계가 있는 표면을 닫힌 대칭형 표면으로 변환한다. 경계

을 갖는 표면 M이 주어지면, 대칭의 닫힌 면

이 구축되어

이 M을 2번 덮는다. 즉, 면

을 면

에 대해 등축으로 매핑하는 등축 사영(isometric projection)

이 존재한다. 각 면

에 대해,

에 2개의 원상(preimage)이 있다. 알고리즘(2)은 일반 메시 M의 더블링을 연산한다.

알고리즘(2). 열린 메시의 더블링 연산

입력 : 경계를 갖는, 메시 M

출력 : M,

의 더블링

1. -M으로 표시되는 M의 사본을 만든다.

2. -M의 배향을 역전한다.

3. 임의의 경계 꼭지점

에 대해, 고유하게 대응하는 경계 꼭지점

이 존재하고,

의 에지에 대해, 고유한 경계 에지

가 존재한다. 대응하는 모든 꼭지점과 에지를 찾아라.

4. M과

을 결합하여 대응하는 꼭지점과 에지가 일치하도록하라. 그 결과인 메시는

을 더블링하는 것이다.

알고리듬 2에서 설명된 더블링 기술을 사용하면, S²에 대한 위상 디스크의 등각 맵핑은 직접 계산될 수 있다. 더블링 표면은 대칭이기 때문에, M 및 -M 은 분리된 반구로 맵핑되게 될 것이며, 입체 투영(stereographic projection) π를 사용하면, 구의 반구는 유닛 디스크로 맵핑될 수 있다. 이 방식에서, 위상 디스크와 유닛 디스크 D² 사이에 맵을 만드는 등각 맵핑은 계산된다. 수학식 52 에서의 뫼비우스 변환을 적용함으로써, 모든 가능한 등각 맵핑은 계산될 수 있다.

알고리듬 3. 위상 디스크로부터 D²까지의 글로벌 등각 맵 계산.

입력 : 위상 디스크 M.

출력 : M으로부터 유닛 디스크 D² 까지의 글로벌 등각 맵 Φ.

1. M의 더블링

계산.

2. 대칭을 유지하면서, 글로벌 등각 맵 Φ:

→S² 계산.

3. Φ(∂M)이 적도가 되게 Φ(

)회전.

4. 유닛 디스크에 대한 상위 반구를 맵핑하기 위해 스테레오-그래픽 투영 π사용.

5.

°Φ출력.

논-제로 지너스를 갖는 표면에 대해, 표면의 위상에 의해 판정된 홀로모로픽 1-폼 그룹

¹(M)은 이러한 표면에 대한 글로벌 등각 파라미터화를 계산하는데 중요하다. 이 그룹을 계산하기 위해서, 호몰로지 기저는 먼저 계산되고, 듀얼 조화 1-폼 기저는 그다음에 계산되며, 그다음 조화 1-폼은 기저 홀로모로픽 1-폼으로 변환된다.

호몰로지 및 조화 1-폼을 계산하는 대수적인 알고리듬이 도입된다. 메쉬 M이 제공되면, 상응하는 호몰로지 기저는 대수 위상 방법을 사용하여 계산된다. δ_i ⁿ∈K_n및 δ_i ^n-1∈K_n-1이 되게 하면,

을 정의한다.

그러면 n-차원 바운더리 행렬은

로서 정의된다.

그다음 호몰로지 기저는 다음의 오퍼레이터

의 제로 고유치에 상응하는 고유벡터로부터 형성된다.

알고리듬 4. 메쉬 M에 대한 호몰로지 기저 계산.

입력 : 메쉬 M.

출력 : 호몰로지 기저 {

₁,

₂,...,

_2g}

1. ∂₁, ∂₂ 에 대한 바운더리 행렬 계산.

2. 행렬 D = ∂₁ ^T∂₁ + ∂₂∂₂ ^T 의 Smith 노말 폼 계산.

3. {

₁,

₂,...,

_2g}를 형성하기 위해서, 제로 고유치에 상응하는 D의 고유벡터 구하기.

모든 조화 1-폼은 호몰로지 그룹 H₁(M,Z)의 듀얼인 코호몰로지 그룹을 형성한다. 조화 1-폼은 닫혀지고 조화된다. Hodge 이론에 따르면 모든 조화 1-폼은 호몰로지 그룹의 듀얼 공간인 선형 공간을 형성한다. 또한, 각 코호몰로지 등급은 고유의 조화 1-폼을 갖는다.

알고리듬 5. 일 세트의 조화 1-폼 기저 계산.

입력 : M의 호몰로지 기저 {

₁,

₂,...,

_2g}.

출력 : 조화 1-폼 기저 {ω₁, ω₂,...,ω_2g}.

1. c_i ^j = -

_iㆍ

_j, i,j = 1, 2,...,2g 의 값 설정.

2. ω_i 에 대한 다음의 선형 시스템 해결.

δω_i= 0

△ω_i = 0

< ω_i ,

_j>= -

_iㆍ

_j

3. {ω₁, ω₂,...,ω_2g} 출력

상기에서 사용된 대수적인 접근에 대한 대안으로서, 호몰로지, 코호몰로지, 및 조화 1-폼은 다음과 같은 알고리듬의 조합을 사용하여 계산될 수 있다.

알고리듬 6. 메쉬 M의 기초 도메인 계산.

입력 : 메쉬 M.

출력 : M의 기초 도메인 D_M.

1. D_M=f₀, ∂D_M = ∂f₀ 로 하고 임의의 페이스 f₀ ∈ M 선택, 큐 Q로 에지와 f₀를 공유하는 f₀ 의 모든 이웃하는 페이스를 출력.

2. Q가 비어있지 않는 동안

a. ∂f = e₀+ e₁+ e₂로 하고, Q 내의 제 1 페이스 f 제거.

b. D_M= D_M∪f.

c. -e_i ∈ ∂D_M 이 그 차수를 유지하면서 ∂D_M 내의 -e_i를 {e_i+1, e_i+2}로 대체하는, 최초의 e_i ∈ ∂f를 구한다.

d. 에지를 f 및 Q로의 D_M또는 Q 가 아닌 것을 공유하는 모든 이웃하는 페이스 입력.

3. 서로에 대해 대향하는 ∂D_M 의 모든 이웃하는 방향의 에지를 제거, 즉 ∂D_M 으로부터 모든 쌍 {e_k, -e_k} 제거.

결과적인 기초 도메인 D_M 은 그들의 삽입 순서에 따라 분류되는 M의 모든 페이스를 포함한다. D_M 의 최종 바운더리의 향하는 방향이 없는 에지 및 정점은 컷(cut) 그래프로서 참조되는 그래프 G를 형성한다.

컷 그래프에 대해, 알고리듬 7은 또한 M의 호몰로지 기저인 상응하는 호몰로지 제너레이터를 계산한다.

알고리듬 7. M의 호몰로지 기저 계산.

입력 : 메쉬 M.

출력 : 호몰로지 기저 .

1. M의 기초 도메인 D_M계산 및 상응하는 커트 그래프 G 판정.

2. G의 확장 트리 T 계산, G/T = { e₁, e₂,..., e_2g}라 하자.

3. 루트(root) 정점 r∈T, 깊은 제 1 트래버스(traverse) T 선택.

4. ∂e_i= t_i - s_i 로 하고, 루트 r로부터 [r, t_i] 및 [r, s_i] 로서 나타나는 t_i 및 s_i로의 경로가 존재하며, 그다음 그들을 루프

_i = [r, t_i]-[r, s_i] 에 연결.

5. H₁(G,Z) 및 H₁(M,Z)의 기저로서 {

₁,

₂,...,

_2g} 출력.

M, H¹(M,Z)의 코호몰로지 그룹에 대한 기저를 명백하게 계산하기 위해서, 일 세트의 닫혀진 1-폼 {ω₁, ω₂,...,ω_2g}는 다음과 같이 구해진다.

여기서, δ_i ^j 는 Kronecker 델타 이고,

_I 는 호몰로지 기저임.

알고리듬 8. M의 코호몰리지 기저 계산.

입력 : 메쉬 M.

출력 : 코호몰로지 기저.

1. 기초 도메인 D_M 및 메쉬 M의 커트 그래프 G 계산, 및 확장 트리 T, G/T = { e₁, e₂,..., e_2g} 계산.

2. 임의의 에지 e∈T 에 대해 ω_i(e_i)=1 및 ω_i(e)=0 로 함.

3. D_M은 D_M={f₁, f₂,...,f_n}인 방식으로 정렬된다면, DM의 차수를 {f_n, f_n-1,...,f₁}으로 반대로 전환.

4. D_M이 비어있지 않는 동안,

a. D_M의 제 1 페이스 유도, D_M이, ∂f = e₀+ e₁+ e₂로부터 f 제거.

b. {e_k}를 두개의 세트,

= {e ∈ ∂f ｜ -e ∈ ∂D_M},

= {e ∈ ∂f ｜ -e

∂D_M}로 나눔.

c. ω_i(e_k),e_k ∈

가 비었다면, 우변이 영과 동일한,

ω_i(e) =

ω_i(e) 인,

의 값을 임의로 선택.

d. ∂D_M= ∂D_M+ ∂f 라 하고, D_M의 바운더리 업데이트.

일단 코호몰로지 기저 {ω₁, ω₂,...,ω_2g} 가 계산되면, 호몰로지 기저 {

₁,

₂,...,

_2g}의 듀얼은

와 같이 선형 변환 {ω₁, ω₂,...,ω_2g} 에 의해 구해질 수 있다.

알고리듬 9. 닫혀진 1-폼을 조화 1-폼으로 확산.

입력 : 메쉬 M, 닫혀진 1-폼 ω.

출력 : ω에 대해 코호몰로지한 조화 1-폼,

1. △(ω+ ∂f) ≡0 과 같이 f ∈ C⁰(M)선택.

2. f에 대한 상기 희소 선형 시스템(sparse linear system) 해결.

3. ω+ ∂f 출력.

여기서,

조화 1-폼 {ω₁, ω₂,...,ω_2g}이 제공되면, 켤레 조화 1-폼 ω^* 다음의 선형 시스템을 해결함으로써 구해질 수 있다.

일단 기초 도메인이 계산되면, 등각 맵핑은 홀로모로픽 1-폼 ω을 적분함으로써 직접 계산될 수 있다. 먼저, 루트 정점 v₀∈D_M 선택하고 그다음 D_M 을 트래버스하기 위해서 깊은 제 1 탐색 방법을 사용하자. 각 정점 u∈D_M 은 v₀로부터 u까지의 고유한 경로

를 갖고, 그다음

(u) =< ω,

> 를 정의한다.

알고리듬 10. 메쉬 M의 글로벌 등각 파라미터화.

입력 : 메쉬 M, 조화 1-폼 ω.

출력 :

맵 , 또는 글로벌 등각 파라미터화.

1. 기초 도메인 M의 D_M 계산.

2. 정점 u∈D_M 를 트래버스하기 위해서 깊은 제 1 탐색 방법을 사용하고,

_u 로서 표시되는 루트 정점 v₀로부터 u까지의 경로 기록.

3. 적분

(u) =< ω,

_u > 계산.

4. u의 등각 좌표로서

(u) 출력.

알고리듬 11. 메쉬 M의 등각 구조.

입력 : 메쉬 M.

출력 : M{(U_i, z_i)}의 등각 구조.

1. 홀로모로픽 1-폼 기저

계산.

2. M⊂U_i, U_i가 단순하게 연결되는, 파티션 {U_i} 계산.

3. 각각의 U_i에 대해 홀로모로픽 베이스

선택, U_i상의 홀로모로픽 1-폼 집적, z_i로서 맵핑 표시. 제로 포인트가 존재한다면, U_i 세분 및 단계 3 반복.

4. {(U_i, z_i)} 출력.

기초 도메인 상의 홀로모로픽 1-폼을 집적함으로서 얻어지는 글로벌 등각 파라미터화는 메쉬의 정준 분해(canonical decomposition)를 위해 사용될 수 있고, 메쉬를 텐서 프로덕트 스플라인 표면(tensor product spline surface), 표면 매칭 및 인식, 및 다른 유용한 이미지 프로세싱 적용으로 변환시킨다.

Poincare-Hopf 이론에 따르면, 홀로모로픽 1-폼 ω는 토러스(torus)로의 위상동형(homeomorphic)이 아니라면 제로 포인트를 가져야만 한다. ω의 제로 포인트는 등각 인자가 제로인 포인트이다. 지너스-g 표면은 2g-2 제로 포인트를 갖는 다. 등각 맵핑은 각 포인트의 이웃을 두배 및 이중으로 싸곰 복소 평면 상의 이미지 p의 이웃을 커버한다. 맵에 국부적으로,

: C →C는 이웃에서

와 유사하다.

도 6A 및 6B 는 개방 티폿(teapot) 모델 및 복소 평면 각각에 대해 글로벌 등각 파라미터화 상의 제로 포인트를 묘사한다.

우리는 표면 M으로부터 단위 원 S¹ 까지의 맵핑으로서 조화 1-폼 ω를 취급할 수 있다. 그러면 홀로모로픽 1-폼에 대해, 실질적인 부분의 조화 1-폼은 원 평가된(circle valued) 맵핑이다. 가상 부분의 조화 1-폼은 그레디언트 필드(grident field)이다. 제로 포인트를 통하는 적분 곡선은 표면을 균등한 패치로 세분할 것이다. 특히, 메쉬 M 및 홀로모로픽 1-폼 ω=

+

^*에 대해,

또는

^*를 따라 및 제로 포인트를 통하는 적분 곡선은 표면을 위상 디스크 또는 실린더로 분할한다.

M이 C에 대해 등각으로 맵핑된 위상 토러스 M이 되게 하자. 보편적인 커버링 공간 상에서 홀로모로픽 1-폼 ω을 집적함으로써, 주기적인 등각 맵이 결과로서 산출된다. 베이스 포인트 u₀를 선택하면, 베이스 포인트의 이미지 세트는 다음과 같다.

이러한 맵핑은 주기적이거나 또는 모듈러(modular)하다. 전체 토러스는 M의 주기로서 참조되는, <

₁, ω>, <

₂, ω> 에 의해 확장된 평행사면형인 일 주기로 맵핑된다. M의 지너스-g 가 1 보다 크다면, 다른 핸들들은 다른 주기를 갖을 수 있다. 전체 표면은 g 가 덮여진 모듈러 평행사면형에 맵핑된다. 평행사면형은 부착될 수 있고 제로 포인트의 이미지를 통해 서로 교차할 수 있다.

도 7A-7D는 이러한 현상을 나타낸다. 도 7A 및 7B에서, 2-홀 토러스는 두개의 핸들로 분리되고 각 핸들은 모듈러 공간으로 등각으로 맵핑된다. 도 7C 및 7D는 지너스-3 토러스 및 모듈러 공간으로의 등각 맵핑을 나타낸다.

여기에서 설명된 방법을 일반화하기 위해서, 바운더리를 갖는 메쉬는 현재 고려될 것이다. 바운더리를 갖는 메쉬 M이 주어지면, M의 더블링

은 계산된다. 각 내부 정점 u∈M에 대해, u₁ 및 u₂ 로서 나타나는

에서의 u의 두개의 카피가 존재한다. u₁ 및 u₂ 는 아래와 같은 것으로서 서로에게 듀얼이다.

각 바운더리 정점 u∈∂M에 대해,

에서 단지 하나의 카피가 존재하여, u는 그 자체에 대해 듀얼이된다.

M 상의 조화 1-폼을 계산하기 위해서,

의 모든 대칭적인 조화 1-폼은 또한 M 상의 조화 1-폼이다.

각 조화 1-폼 ω에 대한 듀얼 오퍼레이터을 아래로 정의하자.

임의의 ω는 대칭 부분 및 아래와 같은 비대칭 부분으로 분해될 수 있다.

여기서,

는 대칭 부분이고,

는 비대칭 부분임.

알고리듬 12. 바운더리를 갖는 메쉬에 대해 일 세트의 홀로모로픽 1-폼 기저 계산.

입력 : 바운더리를 갖는 메쉬 M.

출력 : 폼 {

₁ +

₁ ^*,

₂ +

₂ ^*,...,

_k +

_k ^*}의 메쉬 M에 대한 홀로모로픽 1-폼.

1. M의 더블링,

계산.

2.

의 조화 1-폼 기저 계산.

3.

_i =

할당, 중복되는(redundant) 것들 제거.

4.

_i ^*로서 표시되는

_i의 켤레 조화 1-폼 계산.

5. 홀로모로픽 기저 {

₁ +

₁ ^*,

₂ +

₂ ^*,...,

_k +

_k ^*} 출력.

도 8A 및 8C는 비록 그들은 위상학적으로 동일한, 즉 두개의 표면이 등각적으로 동일하지 않은 두개의 지너스-1 표면이지만, 두개의 지너스-1 표면을 도시한다. 각 토러스는 개방되게 커트될 수 있고 도 8B 및 8D에 각각 나타난 것과 같은 2차원 평행사변형에 등각으로 맵핑될 수 있다. 각 평행사변형의 모양은 등각의 동일한 종류를 나타낸다. 등각의 동일한 종류들은 평행사변형의 날카로운 각, 이 두개의 경우에서의 우측 각, 및 등각의 불변을 나타내는 두개의 이웃하는 에지 사이의 길이 비율, 또는 이러한 두개의 지너스-1 표면의 모양 인자들에 의해 판정된다. 도 8B 및 8D에 나타난 것과 같이, 두개의 토러스는 다른 모양 인자를 갖고 등각적으로 동등하지 않다.

표 1은 이하에서 도 9A-9D에 나타난 지너스-1 표면의 등각의 불변을 포함한다. 도 9A-9D에 의해 나타난 표면의 어떠한 것도 등각적으로 동일하지 않음은 명백하다.

지너스-1 표면의 등각의 동일한 것들

메쉬	모양 인자	정점	페이스
토러스	1.0-1.142i	1089	2048
노트(knot)	1.0-.272i	5808	11616
노트2	1.0+0.128i	2050	3672
락커	1.0-3.509i	3750	7500
티폿	1.0-.112i	17024	34048

알고리듬 13. M₁ 및 M₂가 등각적으로 동등함을 증명

입력 : 두개의 메쉬 M₁ 및 M₂.

출력 : M₁ 및 M₂의 등각적으로 동등하거나 또는 동등하지 않은 표시

1. 각각 M₁ 및 M₂에 상응하는 주기 행렬 (R₁, C₁) 및 (R₂, C₂) 계산.

2. R₁ = P₁

₁P₁ ^-1 및 R₁ = P₂

₂P₂ ^-1의 Jordan 노말(normal) 폼 계산.

3.

₁ ≠

₂ 라면 거짓으로 복귀.

4. N = P₁P₂ ^-1 로하고, N이 역이 가능한 정수 행렬 및 NC₁N^t = C₂ 라면 참으로 복귀, 그렇지 않으면 거짓으로 복귀.

등각 인자 λ(u, v)는 표면 S의 제 1 기초 폼을 나타낸다. 만약 λ가 상수라면 표면의 Gaussian 곡률은 제로다. 표면 상에서 선택적으로 커팅함으로써, 새로운 바운더리는 도입되고, 따라서 등각의 구조는 변경될 수 있다. 실제로, 파라미터화의 일치를 개선하는 것이 도움이 되고, 일반적으로 이러한 커트는 높은 Gaussian 곡률을 갖는 표면의 영역 상에서 이루어진다. 도 10A-10D는 일치의 개선을 나타낸다. 도 10A에 나타난 구의 파라미터화에서, 이어(ear) 부분은 크게 아래로 샘플링된다. 이어 팁(ear tip)에서 위상 커트를 도입함으로써, 파라미터화는 더욱 많이 일치하게 된다.

일반적으로 계산의 안정성은 삼각형 분할의 품질에 크게 의존한다. 삼각형 분할의 모든 각이 날카로운 각도라면, 계산 알고리듬은 안정되고 수렴되도록 보장된다. 도 15는 표면 모델 복잡성의 두가지 다른 레벨에서의 티폿 모델의 글로벌 파라미터화를 나타낸다. 도 15A-15B에 나타난 바와 같이, 많은 복잡한 본래의 티폿에 대해 글로벌 파라미터화는 모든 각도가 날카로운 각도 특히 정확한 각도로 귀착된다. 도 15C-15D는 모든 각도가 날카로운 각도 특히 정확한 각도인 단순화된 티폿의 글로벌 등각 파라미터화를 나타낸다. 양자의 경우에, 모델의 복잡성과 관계없이, 계산 알고리듬은 수렴되고 안정적이다. 다음의 알고리듬은 모두 날카로운 각도를 갖는 삼각형 분할에 근접한다.

알고리듬 14. 모두 날카로운 각도를 갖는 표면의 삼각형 분할.

입력 : 메쉬 M.

출력 : 모두 날카로운 각도를 갖는 리메쉬(remesh) M

1. 루프 세분 방법을 사용하여 메쉬 세분.

2. 최소 에지 길이 표준을 사용하는 선분병합(Edge Collapse)을 사용하여 메쉬 단순화.

3. M 상의 모든 각도가 날카로울때 까지 단계 1 및 2 반복.

4. 리메쉬 M 출력.

등각 패러미터(conformal parameter)에 기초한 표면 매칭과 평균 곡선 매칭

인간의 표정(human expression)이나 피부의 변형과 같이, 하나의 표면이 너무 많은 왜곡없이 다른 하나로 변형될 수 있다면, 상기 변형은 글로벌 등각 매핑에 의해 정확하게 시늉내어질 수 있다. 등각 패러미터화는 표면의 제 1 기본 폼에 의존하고, 특히 등각 구조는 리만 계량 텐서(Riemannian metric tensor)가 너무 많이 변화하지 않고 상기 등각 구조가 유사한 한 연속한 리만거리(Riemannian metric)에 의존한다. 따라서, 정준 패러미터(canonical parameter) 영역으로의 두 표면의 매핑과 상기 패러미터 영역에서의 표면의 매핑은 3-D 매핑 문제가 보다 효율적으로 해결되도록 한다.

패러미터 영역에 등각 팩터 λ(u,v)와 노멀 n(u,v)를 저장함으로써, 원표면이 R³에서 로테이션과 전환에 따라 고유하게 재구성될 수 있다. λ(u,v)는 제 1 기본 폼을 정의하고, n(u,v)는 제 3 기본 폼을 정의하여 그에 따라 제 2 기본 폼을 정의하여, 즉, R³에 임베딩한 것이 연산될 수 있다. 따라서, 상기 표면은 유클리드 변환에 따라 고유하게 구성될 수 있다.

보다 효율적인 방법은 상기 등각 패러미터 영역 상의 평균 곡률을 사용하는 것이다. 경계를 갖지 않는 임의의 닫힌 표면에 대해, 상기 표면은 등각 팩터 λ(u,v)와 평균 곡률 H에 의해 고유하게 결정된다. 경계를 갖는 임의의 열린 표면에 대해, 표면은 등각 팩터 λ(u,v)와 평균 곡률 H, 및 경계 상의 제 2 기본 폼에 의해 고유하게 결정된다.

가우시안 곡률과 평균 곡률에 기초한 표면을 매치하기 위해, 매치될 표면은 정준 패러미터 영역에 포함된다. 예를 들면, 인간의 얼굴은 단위 디스크로 매핑될 수 있다(mapped). 가우시안 곡률과 평균 곡률은 등각 패러미터화(parameterization)를 사용하여 연산된다. 가우시안 곡률과 평균 곡률의 레벨의 세트는 패러미터 영역 상의 평면 곡선의 패밀리이다. 이 곡선의 레벨의 세트는 상기 표면들을 매칭하는 데에 사용된다.

특별한 특성을 가진 표면을 매칭하기 위해, 상기 특성의 포인트는 우선 제거되고 상기 표면의 더블링(doubling)이 연산된다. 다음으로, 상기 맵의 호모토피(homotopy) 형은 상기 제 1 표면에서의 특성이 제 2 표면의 대응하는 특성에 매치가 되는것을 보장하도록 제약을 가한다. 상기 등각 구조는 그런다음 전술한 바와 같이 매칭을 수행하도록 연산된다. 예를 들면, 인간의 얼굴을 매칭하기 위해, 눈, 코끝, 및 입과 같은 특성이 등각 구조의 연산에 앞서서 제거된다.

표면 분류(Surface Classification)

효과적인 데이터베이스화와 검색을 할 수 있는 표면 분류를 위해, 각 표면에 대한 주기 행렬(period matrix)의 형태로 상기 등각 구조가 연산되고 저장된다. 도 11A 내지 11D는 여러 종의 2 개의 표면을 도시한다. 하기에서 볼수 있는 바와 같이, 상기 주기 행렬 R이 등적이 아닌것 처럼 도 11A 내지 11D에 도시된 표면 중 어떤 것도 등적이 아니다.

도 11A의 2 홀의 원환체(torus)는 861 개의 꼭지점과 1,536 개의 면을 포함하고,

의 주기 행렬 R을 갖는다.

도 11B에 도시된 꽃병의 모델은 1,582의 꼭지점과 2,956의 면과,

의 주기 행렬 R을 갖는다.

도 11C에 도시된 꽃의 모델은 5,112의 꼭지점과 10,000의 면과,

의 주기 행렬 R을 갖는다.

도 11D에 도시된 옹이가 있는 병은 15,000의 꼭지점과 30,000의 면과,

의 주기 행렬 R을 갖는다.

표면 인식(Surface Recognition)

서로 직접적인 매칭 없이 표면이 인식될 수 있는 것이 바람직하다. 정준 방식으로 표면의 등각 구조를 변형하고 각 변형에 대해 주기 행렬을 연산하는 것은 상기 표면의 고유한 기하학적인 특성을 나타내는 일련의 주기 행렬을 제공한다.

예를 들면, 인간의 얼굴을 인식하기 위해, 왼쪽 눈의 중심, 오른쪽 눈의 중심, 코끝, 입의 중심과 같은 특성 포인트가 제거된다. 얼굴 표면에 대한 각 변형에 대해, 표면의 더블링과 주기 행렬이 연산된다. 일련의 주기 행렬을 비교함으로써, 우리는 얼굴과 같은 기하학적인 표면을 인식할 수 있다.

또는, 모든 주된 특성 포인트가 제거되고, 상기 표면 내의 다른 포인트가 선택되고 이동되어, 상기 더블링의 주기 행렬이 상기 선택된 포인트의 각 이동에 대해 연산된다. 예를 들면 인간의 얼굴을 인식하기 위해 눈의 중심, 코끝, 및 입의 중심에서의 포인트가 제거되고, 얼굴의 다른 포인트가 미리 정해진 궤도를 따라 이동된한다. 각 스텝에서, 현재 위치의 포인트가 제거되고 주기 행렬이 연산된다. 미리 정해진 궤도를 따라 각 포인트에 대해 일련의 주기 행렬이 연산된다. 표면을 인식하기 위해 이 주기 행렬들이 사용된다.

조화 스펙트럼 분석

또는 전술한 라플라스 연산자는 부정 고유값과 고유함수를 갖는다. 모든 고유값의 스펙트럼은 상기 표면의 고유한 기하학적 형태의 많은 것을 나타낸다. 또한, 고유함수는 상기 표면을 재구성하는 데에 사용될 수 있다. 리(Rhe) 표면은 오직 표면의 서명(signature)으로서 표면의 스펙트럼을 사용해서만이 인식될 수 있다. 예를 들면, 의학 영역에서, 내장의 형태의 스펙트럼을 분석함으로써 일련의 병이 검지될 수 있다.

원하는 고유값과 고유함수가 라플라스 행렬의 고유값과 고유벡터를 찾아냄으로써 삼각형 메시에 의해 나타내는 표면에 대해 연산될 수 있다.

조화 고유함수를 사용하는 표면 데이터의 압축

종수가 0인 표면은 단위 구에 대해 등각적으로 매핑되고, 상기 표면의 위치 벡터는 상기 구면 상에 정의된 벡터값을 가진 함수로서 나타낸다. 상기 구면 상의 라플라스 연산자의 고유함수들은 상기 구면의 함수 공간에 대한 기저를 형성하는 구면 조화함수이다. 상기 위치 벡터는 그런 다음 상기 함수의 기저에 대해 분석되고 스펙트럼이 얻어진다. 고주파 성분을 필터링 함으로써, 표면 데이터가 압축된다. 전술한 뫼비우스 변환을 사용하는 동안, 영역은 추가적인 조사를 위해 "확대(zoomed into)" 될 수 있다. 일반적인 표면에 대해, 라플라스 연산자의 고유함수를 사용하여 그의 등각 동등한 클래스에서의 정준 형태로 상기 표면을 등각적으로 매핑하고 표면 위치 벡터를 분석하는 것은 고주파수 성분이 저장에 앞서 제거될 수 있는 원하는 함수의 기저를 제공한다.

또한, 상기 등각 죄표계에서 정의된 등각 팩터와 평균 곡률은 유클리드 변환에 대해 고유하게 상기 표면을 결정하는데에 사용될 수 있다. 이러한 방법으로, 평면 상에 정의된 2 개의 함수, 즉 등각 팩터와 평균 곡률이 표면을 나타내는 데에 사용된다. 따라서, 3분의 1의 저장공간의 절약이 실현된다. 또한 압축은 전술한 고유함수의 기술을 사용하거나 다른 알려진 압축 기술을 사용함으로써 얻어질 수 있다.

리메슁(remeshing)과 하드웨어 설계

등각 구조를 사용함으로써, 우리는 표면이 패러미터 영역으로 등각적으로 매핑된 후에 상기 표면을 리메시(remesh)할 수 있다. 이러한 방법으로, 불규칙한 접속이 정삼각형의 분할(regular triangulation)로 변경될 수 있다. 이론적으로, 재구성된 노멀(normal)들은 정확하다. 이것은 기하학적 데이터의 표시를 단순화시키고, 그래픽 하드웨어 아키텍처를 단순화 시킨다. 현재, 일반적인 그래픽 하드웨어에 대해, 접속정보를 저장하기 위한 메모리 버퍼가 있다. CPU와 이 접속정보를 특정짓기 위해 필요한 그래픽 카드 사이의 통신은 극도로 시간 소모적이다. 그래픽 카드 상의 메모리 내에 저장된 데이터의 접속이 정상적이고, 상기 그래픽 카드가 그 스스로 그것을 예측할 수 있다면, 그때에는 접속 정보를 위한 추가적인 메모리가 필요가 없다. 따라서, 프로세서와 그래픽 카드 사이의 통신의 필수 레벨을 감소 시킨다. 그래픽 카드의 아키텍처에 대하여, 현재 기하학적 배열을 처리하는 파이프라인과 표면 텍스처를 처리하는 파이프라인이 개별적이다. 정상적인 접속을 사용하여, 기하학적 배열이 텍스처로서 또한 나타낼 수 있고, 이 두개의 개별적인 파이프라인들은 결합될 수 있다. 이런 방식으로 그래픽 카드 아키텍처의 복잡성이 감소될 수 있다.

또한 리메시에 의해, 기하학적인 이미지가 구성될 수 있고, 상기 이미지 포맷이 표면의 기하학적 배열을 나타내기 위해 사용될 수 있다. 이러한 방식으로, 다른 것들 중에서 압축, 다중 분해능(multi-resolution), 및 필터링과 같은 기하학적 배열상에서 동작하는 많은 이미지 처리 기술이 사용될 수 있다.

도 12A는 원 메시의 비정상적인 연결을 갖는 토끼 모델을 도시한다. 등각 구조를 사용하여 리메시를 한 후, 도 12B에 도시된 것과 같이 접속이 매우 정상적으로 되고, 재구성된 노멀들은 매우 정확해진다. 상기 등각 기하학적 이미지가 도 12C에 도시되고, 재구성된 형태가 도 12D에 도시된다.

패러매트릭 표면과 메시 컨버전(Parametric Surface and Mesh Conversion)

CAGD 필드에서, 비스플라인(BSpline) 표면과 Bezier 표면과 같은 패러메트릭 표면이 자주 사용된다. 제조업에서, 이러한 종류의 패러메트릭 표면을 사용하는 컨트롤러가 자주 처리 머신을 가이드한다. 그러나, 기하학적 데이터는 자주 삼각형 메시로 나타낸다. 현재의 기하학적 데이터 획득 디바이스는 짙은 포인트 구름으로 기하학적인 데이터를 출력한다. 이 스캔된 포인트 구름을 메시로 변환하는 것이 보다 쉽고, 메시로부터 패러메트릭 표면을 변환하고 메시로 패러메트릭 표면을 변환하는 것은 매우 중요하다. 현재, 메시를 스플라인 표면으로 자동으로 변환하는 방법은 없다.

본문에 기술된 등각 기하학적인 기술을 사용하여, 이 문제는 해결될 수 있 다. 전술된 것과 같이, 표면의 글로벌 등각 패러미터화가 연산되고, 상기 표면은 제로 포인트를 통해 그래디언트 필드를 따라 집적 라인을 사용하여 정준 패치로 분해된다. 각 정준 패치는 평면상의 사각형으로 매핑되고, 텐서 프로덕트 스플라인 표면이 그 위에 구축된다. 상기 결과로서 나타나는 패러미터화는 바운드리 상에 제어 포인트를 매칭함으로서 전체적으로 부드럽게 될 수 있다. 따라서, 상기 메시를 임의의 바람직한 연속체를 가진 패러메트릭 표면으로 변환하는 것이 편리하다. 추가로, 이 구성은 정확한 노멀 정보를 유지한다.

표면에서의 수치계산

등각 구조는 표면에서의 공변미분(covariant differentiation)을 연산하기에 좋은 패러미터화이다. 공변미분은 표면 기하학적 배열에 대해 고유한 것이어서, 유클리드 표면에서의 삽입은 무관련하다. 등각 구조 분석은 왜곡된 형태의 표면에서의 자연적 물리적 프로세스를 연산하는 포텐셜을 갖는다.

등각좌표계를 사용하여, 미분연산자는 매우 간단한 포맷을 갖는다. 예를 들면, 라플라스 연산자는

이다.

이 기술은 나비어-스토크스 방정식 및 맥스웰 방정식과 같은 표면의 편미분 방정식의 보다 쉬운 해답을 갖도록 한다. 전술한 등각 구조를 사용하여, 표면의 가우시안 곡률이 쉽게 결정된다.

메디컬 이미징

전술한 등각 구조는 또한 뇌의 매핑, 뇌의 표시(brain registration), 심장표면의 매칭, 및 혈관의 표면 분석과 같은 메디컬 이미징 영역에 적용될 수 있다.

예를 들면, 단위구로 뇌의 표면을 매핑함으로써, 2 개의 뇌를 비교하고 그 특성들을 비교하는 것이 편리하다. 뇌의 기하학적인 구조를 분석함으로써, 뇌의 오버타임의 변화와 잠재적인 질병을 보다 쉽게 발견할 수 있다.

뇌의 표면에서 구까지 등각 맵은 삼각측량과 분해능에 독립적이다. 등각 매핑은 우리가 2 개의 뇌의 표면을 표시하고 비교할 수 있는 훌륭한 표준 공간을 제공한다. 뇌의 표면은 매우 복잡하기 때문에, 다른 방법으로 꼭지점(vertex)의 흐름의 전개를 추적하는 것은 매우 어렵다. 본문에 기술된 방법은 정확한 각도 정보를 관리하면서 복잡한 표면 구조를 제어한다. 뇌는 일반적으로 종수가 0인(genus-zero) 표면이기 때문에, 전술한 알고리즘(1)이 단위구에 대해 뇌표면을 매핑하는데에 사용된다. 도 14는 뇌 매핑에 대한 예를 도시한다.

애니메이션

등각 기하학적 배열은 또한 컴퓨터 그래픽 애니메이션에 적용될 수 있다. 현재의 데이터 획득 기술을 사용하여, 배우의 3D 형태를 다른 제스처와 표현으로 스캔할 수 있다. 전술한 등각 분석 기술을 사용하면, 이 키 제스처와 표현들이 서로 매핑될 수 있다. 스플라인 삽입 기술을 사용하여, 제스처와 표현 사이의 부드러운 변화가 그것들 사이에 생성될 수 있다. 따라서, 부드러운 형태와 왜곡된 모 델을 포함한 임의의 형태가 동화상화 될 수 있고, 이것은 현재 방법들을 사용하여 동화상을 만드는 것을 극도로 어렵게 한다.

우리에게 2개의 유사한 형태가 주어졌다고 가정하자. 제 1 특성 포인트가 위치지정되고 그런다음 제거된다. 상기 표면의 더블링은 연산되고, 매핑의 호모토피 유형이 결정된다. 각 표면의 홀로모픽(holomorphic) 1 폼이 선택되어, 2 개 표면의 코호모로지 유형이 호모토미 유형의 매핑에 의해 결정된다. 제로 포인트가 위치지정되고, 표면들이 제로 포인트를 지나는 그래디언트 선을 사용하여 패치되도록 분해된다. 각 패치들은 패러미터 영역의 사각형에 등각으로 매핑된다. 표면 사이의 맵을 얻기 위해, 평면 상의 이 패치들이 매칭된다.

키 형태 사이의 매핑이 알려지면, 키 형태상의 포인트들이 제어 포인트로서 작용하도록 선택된다. 비-스플라인이 키 형태들 사이에서의 부드러운 변화를 생성하도록 사용된다. 이것은 등각 구조를 사용하여 인간 여성의 얼굴이 인간 남성의 얼굴로 모핑되는(morphed) 도 15에 도시되어 있다. 이 방법으로, 우리는 임의의 형태를 동화상화 할 수 있다. 이것은 특히 인간 배우에게 유용하다. 다른 연령대의 배우의 얼굴의 표현, 제스처, 및 변형이 데이터 베이스에 저장될 수 있다. 이 저장된 기하학적 데이터는 가상의 배우를 형성해내도록 동화상화 될 수 있다.

왜곡없는 텍스처 매핑

표면의 텍스처 매핑은 컴퓨터 게임 산업과 영화 산업에 있어서 매우 중요하다. 표면의 렌더링 속도는 여러 다른 팩터 중에서 표시되는 기하학적 모델의 복잡도에 의해 결정된다. 컴퓨터 게임과 같이 리얼타임 적용을 위해, 단순 모델이 일 반적으로 바람직하다. 이미지의 인식 화질을 개선하기 위해, 이미지들이 텍스처 매핑이라고 하는 프로세스를 사용하여 기하학적 표면 상에 붙여진다.

곡선 표면에 대해, 텍스처 매핑은 표시되는 이미지에서의 일종의 왜곡을 도입한다. 텍스처 왜곡의 가장 힘든 일은 평면과 곡선 표면의 텍스처 사이에서의 왜곡을 피하는 것이다. 산업에서, 기하학적 모델러와 텍스처 디자이너들은 일반적으로 다른 전문적 기술을 가진 다른 전문가이다. 텍스처 매핑은 기하학적 배열과 텍스처 모두를 변형할 필요가 있기 때문에, 이 두 다른 기술 세트사이의 협력은 대개 어렵고 시간 소모적이다.

전술한 바와 같이, 등각 패러미터화는 국부적인 왜곡을 갖지 않는다. 전술한 기술을 사용하여, 기하학적인 모델러와 텍스처 디자이너는 이전보다 쉽고 더 효율적으로 그들의 기술을 통합할 수 있다.

딜리크리트(Dirichlete) 방법을 사용한 텍스처 합성

텍스처 합성은 작은 텍스처 샘플로부터 주어진 표면을 덮을 수 있는 텍스처를 생성하는 것을 목적으로 한다. 이것은 그래픽 디자인, 영화 산업, 및 컴퓨터 게임 산업에서 중요하게 고려된다.

등각 패러미터화를 사용하여, 기하학적 표면 상의 텍스처 합성의 난제가 평면 상의 텍스처라는 보다 쉬운 문제로 변환될 수 있다. 전술한 등각 팩터 분석과 기술을 사용하여, 표면 상에서 텍스처를 늘리는 것이 제어될 수 있고, 표면 상의 텍스처의 기하학적 특성이 정확하게 예측될 수 있다.

전체적으로 부드럽게 합성된 텍스처를 만들기 위해, 텍스처의 패치의 경계를 확산시키는 딜리크리트 방법을 사용한다. 이것은 텍스처를 보다 부드럽게 그리고 부드럽게 만든다. 우선 제어된 스트레칭 효과를 가진 패러미터 평면 상의 개별적으로 떨어진 텍스처가 결정된다. 이 패치들은 그들 각각의 경계가 만나지만 서로 겹치지 않을때까지 성장된다. 이 패치들의 경계는 고정되고 딜리크리트 문제는 표면 상의 덮여지지 않은 영역에서 해결된다. 각 컬러 채널들은 함수로써 취급되고, 전술한 기술들이 표면상의 전체적인 부드러운 텍스처를 제공하는 해결책을 제공한다.

부피 조화 매핑(Volumetric Harmonic Mapping)

주어진 3D 복사본, M, f: M →R³은 조화 에너지를 최소화하는 것이 바람직하다. 이러한 방식으로, 원 3D 사본의 부피 매핑이 정준 공간에서 고려될 수 있다. f: M →R³에 대한 조화에너지는 다음의

과 같이 정의된다.

불연속 계에서, 조화 에너지는

로 정의된다.

여기서,

에서의

는 주어진 에지에 대해 반대의 2 면각이고, 1이 에지의 길이이다.

켤레 그래디언트 방법이 그런 다음 조화 매핑을 얻기 위해 상기 조화 에너지를 최소화하는 데에 사용될 수 있다. 부피 조화 맵은 구상으로 종수가 0인 3D 개체를 매핑하는 것이 발견될 수 있다. 구상의 정준 원에 대해, 종수 0인 개체에서의 닫혀진 단순한 곡선이 발견될 수 있다. 곡선 상의 플래토우(Plateau) 문제가 등각의 변형된 거리에 대해 해결될 수 있다. 이러한 방법으로, 표면에 의해 닫혀진 정준 작도(canonical description)가 얻어질 수 있다.

조화 매핑은 또한 외과수술의 시뮬레이션과 계획을 세우는데에 유용한 도구이다. 외과의사는 인체의 관심영역의 하나 이상의 MRI 이미지로부터 3D 뇌 부피 모델을 구성할 수 있다. 상기 외과 의사는 인체의 관심영역의 3D 지도를 구축할 수 있고, 새로운 환자의 인체의 관심영역의 3D 부피 데이터를 존재하는 지도 데이터와 비교할 수 있다. 조화 매핑은 고유하기 때문에, 이 기술은 뇌의 부피 데이터를 표시하는 유용한 방법이고, 외과 수술 시뮬레이션을 발달시키는 데에 유용할 것이다.

당업자는 또한 전술한 방법에 대한 변형과 변경이 본문에 기술된 발명의 개념에서 벗어남없이 이루어질 수 있다는 것을 이해할 것이다. 따라서, 본 발명은 첨부된 청구범위에 의해서 그 영역과 취지가 제한된다.

Claims

기하학적 표면(geometric surface)을 분석하는 방법에 있어서,

표면의 등각 구조(conformal structure)를 상기 표면의 표현으로부터 결정하는 단계와,

상기 등각 구조를 사용하여 상기 표면의 표현을 기준 파라미터 도메인(canonical parameter domain)에 등각으로 매핑하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 개방형인 경우 상기 개방형 표면에 해당하는 표현을 폐쇄형 표면에 해당하는 표현으로 변환하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 2 항에 있어서,

상기 개방형 표면에 해당하는 표현은 메쉬 Mo이고, 상기 표현을 변환하는 단계는 상기 메쉬 Mo를 더블링(doubling)하여 더블링된 메쉬
를 형성하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 3 항에 있어서,

상기 메쉬 Mo를 더블링(doubling)하여 더블링된 메쉬
를 형성하는 단계는

제 2 메쉬 -Mo를 반대 방향을 갖도록 한 Mo로서 형성하는 단계와,

Mo의 경계 위의 각각의 경계 꼭지점(boundary vertex) u (∂Mo로 표현됨)와, -Mo의 경계 위의 고유의 대응 경계 꼭지점 -u (∂-Mo로 표현됨)를 찾는 단계와,

상기 경계 ∂Mo 위의 각 경계 에지 h와 상기 경계 ∂-Mo 위의 고유의 대응 경계 에지 -h를 찾는 단계와,

상기 메쉬 Mo와 상기 제2 메쉬 -Mo를 결합하여 Mo와 -Mo의 상기 대응 꼭지점들과 에지들이 정렬되도록 하고, 이로써 결과적인 메쉬가 더블링된 메쉬가 되도록 하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 5 항에 있어서,

상기 홀로모픽 1-폼 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 6 항에 있어서,

상기 하모닉 1-폼 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 코호모로지 베이시스(cohomology basis)를 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 7 항에 있어서,

상기 코호모로지 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M을 생성하는 단계를 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크(topological disk)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 6 항에 있어서,

상기 하모닉 1-폼 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 호모로지 베이시스(homology basis)를 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 9 항에 있어서,

상기 호모로지 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M을 생성하는 단계를 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크(topological disk)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 9 항에 있어서,

상기 호모로지 베이시스를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 1 차원 및 2 차원의 경계 매트릭스를 생성하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M를 생성하는 단계를 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 1 차원 및 2 차원의 경계 매트릭스를 생성하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 12 항 또는 제 13 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 호모로지 베이시스(homology basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 14 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 15 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 12 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 코호모로지 베이시스(cohomology basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 17 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 18 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 단계는

상기 표면 표현으로부터 상기 표면의 기간 매트릭스(period matrix)를 결정하는 단계를 포함하고,

상기 기간 매트릭스는 상기 등각 구조의 완전 불변량(complete invariant)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 표면은 폐쇄형, 지너스 제로 표면(a closed, genus zero surface)이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 구(sphere)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 표면은 하나의 경계를 갖는 개방형, 지너스 제로 표면(an open, genus zero surface with a single boundary) - 위상 디스크(topological disk)로 지칭됨 -, 상기 기준 파라미터 도메인은 기준 평면 디스크(canonical planar disk)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 등각 구조를 사용하여 상기 표면의 표현을 기준 파라미터 도메인(canonical parameter domain)에 등각으로 매핑하는 단계는

상기 표면 표현의 홀로모픽 1-폼을 적분하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 표면은 복수의 경계를 갖는 개방형, 지너스 제로 표면이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 유클리디안 평면(Euclidian plane)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
제 1 항에 있어서,

상기 표면은 제로(zero) 보다 큰 지너스를 갖는 표면이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 유클리디안 평면(Euclidian plane)인 것을 특징으로 하는 분석 방법.
기하학적 표면 위에 텍스쳐(texture)를 매핑하는 방법에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현 M를 생성하는 단계와,

M으로부터 적어도 하나의 특징점(feature point)을 제거하는 단계와,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 단계와,

상기 홀로모픽 1-폼을 사용하여 모든 제로 점들의 위치를 정하는 단계와,

M 상의 그레디언트 필드(gradient field)를 결정하는 단계와,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트(a set of patches)로 분해하는 단계와,

상기 패치들의 세트를 기준 평면 직사각형들의 세트(a set of canonical planar rectangles)로 등각 매핑하는 단계와,

텍스쳐를 상기 기준 평면 직사각형들로 적용하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 매핑 방법.
기하학적 표면을 애니메이팅하는 방법에 있어서,

상기 표면의 제 1 메쉬 표현 M₁과 상기 표면의 제 2 메쉬 표현 M₂를 생성하는 단계와,

M₁과 M₂의 각각으로부터 M₁과 M₂ 모두에 공통인 적어도 하나의 특징점을 제거하는 단계와,

M₁과 M₂의 홀로모픽 1-폼을 각각 결정하는 단계와,

M₁과 M₂ 각각의 상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M₁과 M₂위의 각각의 모든 제로점들의 위치를 정하는 단계와,

M₁과 M₂ 위의 각각의 그레디언트 필드를 결정하는 단계와,

상기 제로점들을 통과하는 상기 각각의 그레디언트 필드의 적분선들을 이용하여 M₁과 M₂를 각각의 제 1 및 제 2 세트의 패치들(a set of patches)로 분해하는 단계와,

상기 제 1 및 제 2 세트의 패치들을 각각 제 1 및 제 2 세트의 기준 평면 직사각형들(a set of canonical planar rectangles)로 등각 매핑하는 단계와,

상기 제 1 및 제 2 세트의 기준 평면 직사각형들로부터 대응하는 직사각형들을 매칭함으로써 M₁으로부터 M₂로의 맵(map)을 형성하는 단계와,

비에스플라인(BSpline)을 이용하여 상기 M₁으로부터 M₂로의 맵(map)의 완만한 변이(smooth transition)를 생성하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 기하학적 표면의 애니메이팅 방법.
기하학적 표면의 메쉬 표현 M을 상기 기하학적 표면의 스플라인(spline) 표현으로 변환하는 방법에 있어서,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 단계와,

상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M 위의 모든 제로점들의 위치를 정하는 단계와,

M 위의 그레디언트 필드를 결정하는 단계와,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트(a set of patches)로 분해하는 단계와,

상기 패치들의 세트를 기준 평면 직사각형들의 세트(a set of canonical planar rectangles)로 등각 매핑하는 단계와,

상기 세트의 기준 평면 직사각형들 위에 정의된 스플라인 표면들의 세트를 구성하는 단계와,

제어점들(control points)을 매칭하여 전체적으로 완만한 상기 표면의 스플라인 표현을 만드는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 변환 방법.
기하학적 표면의 불규칙한 연결성을 가지는 메쉬 표현 M을 규칙적인 연결성을 가지는 메쉬 표현 M'으로 변환하는 방법에 있어서,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 단계와,

상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M 위의 모든 제로점들의 위치를 정하는 단계와,

M 위의 그레디언트 필드를 결정하는 단계와,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트로 분해하는 단계와,

상기 패치들의 세트를 기준 평면 직사각형들의 세트로 등각 매핑하는 단계와,

규칙적인 그리드(grid)를 상기 기준 평면 직사각형들에 적용하여 규칙적인 연결성을 가지는 상기 표면의 메쉬 표현을 도출하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 변환 방법.
기하학적 표면의 메쉬 표현을 압축하는 방법에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현 M을 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하는 단계와,

상기 기준 파라미터 도메인 위의 표면 위치 벡터(surface position vector)를 벡터값 함수로서 표현하는 단계와,

상기 기준 파라미터 도메인의 라플라시안(Laplacian)의 아이겐 함수들(eigen functions)을 찾는 단계와,

상기 라플라시안의 아이겐 함수들을 이용하여 상기 벡터값 함수를 분해하는 단계와,

상기 분해된 벡터값 함수들의 고주파 성분들을 제거하는 단계와,

상기 분해된 벡터값 함수의 저주파 성분들을 상기 표면의 메쉬 표현 M의 압축된 이미지로서 저장하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 압축 방법.
기하학적 표면의 메쉬 표현 M을 압축하는 방법에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현을 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하여 등각 파라미터 표현을 형성하는 단계와,

상기 메쉬 표현 M에 대한 가우시안 곡률(Gaussian curvature)과 평균 곡률(mean curvature)의 레벨 세트들 - 여기서, 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 상기 레벨 세트들은 상기 등각 파라미터 표현의 함수임 - 을 결정하는 단계와,

상기 메쉬 표현 M의 등각 파라미터 표현과 상기 메쉬 표현 M에 대한 가우시안 곡률과 평균 곡률의 레벨 세트들을 저장하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 압축 방법.
제 1 및 제 2 기하학적 표면들을 비교하는 방법에 있어서,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 생성하는 단계와,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 각각 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하여, 제 1 및 제 2 등각 파라미터 표현을 각각 형성하는 단계와,

상기 제 1 및 제 2 메쉬 표현들 각각에 대한 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들 - 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들은 각각 제 1 및 제 2 등각 파라미터 표현의 함수임 - 을 결정하는 단계와,

소정의 임계값을 이용하여 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들을 비교하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 비교 방법.
제 1 및 제 2 기하학적 표면들을 비교하는 방법에 있어서,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 생성하는 단계와,

상기 제 1 및 제 2 표면들 각각에 대한 제 1 및 제 2 기간 매트릭스를 결정하는 단계와,

소정의 임계값을 이용하여 상기 제 1 및 제 2 기간 매트릭스을 비교하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 비교 방법.
3차원 다면체(3-dimensional manifold)의 메쉬 표현 M을 부피 조화 매핑volumetric harmonic mapping)하는 방법에 있어서,

상기 3차원 다면체 위에 상기 메쉬 M의 매핑의 조화 에너지(harmonic energy)를 계산하는 단계와,

조화 매핑을 얻기 위하여 켤레 그레디언트 방법(conjugate gradient method)을 이용하여 조화 에너지를 최소화하는 단계를

포함하는 것을 특징으로 하는 매핑 방법.
기하학적 표면을 분석하는 시스템에 있어서,

표면의 등각 구조를 상기 표면의 표현으로부터 결정하는 수단과,

상기 등각 구조를 사용하여 상기 표면의 표현을 기준 파라미터 도메인(canonical parameter domain)에 등각으로 매핑하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 개방형인 경우 상기 개방형 표면에 해당하는 표현을 폐쇄형 표면에 해당하는 표현으로 변환하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 36 항에 있어서,

상기 개방형 표면에 해당하는 표현은 메쉬 Mo이고, 상기 표현을 변환하는 수단은 상기 메쉬 Mo를 더블링(doubling)하여 더블링된 메쉬
를 형성하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 37 항에 있어서,

상기 메쉬 Mo를 더블링(doubling)하여 더블링된 메쉬
를 형성하는 수단은

제 2 메쉬 -Mo를 반대 방향을 갖도록 한 Mo로서 형성하는 수단과,

Mo의 경계 위의 각각의 경계 꼭지점(boundary vertex) u (∂Mo로 표현됨)와, -Mo의 경계 위의 고유의 대응 경계 꼭지점 -u (∂-Mo로 표현됨)를 찾는 수단과,

상기 경계 ∂Mo 위의 각 경계 에지(half edge) h와 상기 경계 ∂-Mo 위의 고유의 대응 경계 에지 -h를 찾는 수단과,

상기 메쉬 Mo와 상기 제2 메쉬 -Mo를 결합하여 Mo와 -Mo의 상기 대응 꼭지점들과 에지들이 정렬되도록 하고, 이로써 결과적인 메쉬가 더블링된 메쉬가 되도록 하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 39 항에 있어서,

상기 홀로모픽 1-폼 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 40 항에 있어서,

상기 하모닉 1-폼 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 코호모로지 베이시스(cohomology basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 41 항에 있어서,

상기 코호모로지 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M을 생성하는 수단을 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크(topological disk)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 40 항에 있어서,

상기 하모닉 1-폼 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 호모로지 베이시스(homology basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 43 항에 있어서,

상기 호모로지 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M을 생성하는 수단을 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크(topological disk)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 43 항에 있어서,

상기 호모로지 베이시스를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 1 차원 및 2 차원의 경계 매트릭스를 생성하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 기본 도메인 D_M를 생성하는 수단을 포함하고,

상기 기본 도메인은 상기 표면을 한번 덮는 위상 디스크인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 1 차원 및 2 차원의 경계 매트릭스를 생성하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 46 항 또는 제 47 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 호모로지 베이시스(homology basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 48 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 49 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 47 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 코호모로지 베이시스(cohomology basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 51 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 더블링된 메쉬 표현
의 하모닉 1-폼 베이시스(harmonic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 52 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면이 폐쇄형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mc의, 또는 상기 표면이 개방형이면 상기 표면의 메쉬 표현 Mo의 홀로모픽 1-폼 베이시스(holomorphic 1-form basis)를 결정하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 결정하는 수단은

상기 표면 표현으로부터 상기 표면의 기간 매트릭스(period matrix)를 결정하는 수단을 포함하고,

상기 기간 매트릭스는 상기 등각 구조의 완전 불변량(complete invariant)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 표면은 폐쇄형, 지너스 제로 표면(a closed, genus zero surface)이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 구(sphere)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 표면은 하나의 경계를 갖는 개방형, 지너스 제로 표면(an open, genus zero surface with a single boundary) - 위상 디스크(topological disk)로 지칭됨 -, 상기 기준 파라미터 도메인은 기준 평면 디스크(canonical planar disk)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 등각 구조를 사용하여 상기 표면의 표현을 기준 파라미터 도메인(canonical parameter domain)에 등각으로 매핑하는 수단은

상기 표면 표현의 홀로모픽 1-폼을 적분하는 수단을 포함하는 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 표면은 복수의 경계를 갖는 개방형, 지너스 제로 표면이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 유클리디안 평면(Euclidian plane)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
제 35 항에 있어서,

상기 표면은 제로(zero) 보다 큰 지너스를 갖는 표면이고, 상기 기준 파라미터 도메인은 유클리디안 평면(Euclidian plane)인 것을 특징으로 하는 분석 시스템.
기하학적 표면 위에 텍스쳐(texture)를 매핑하는 시스템에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현 M를 생성하는 수단과,

M으로부터 적어도 하나의 특징점(feature point)을 제거하는 수단과,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 수단과,

상기 홀로모픽 1-폼을 사용하여 모든 제로 점들의 위치를 정하는 수단과,

M 상의 그레디언트 필드(gradient field)를 결정하는 수단과,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트로 분해하는 수단과,

상기 세트의 패치들을 기준 평면 직사각형들의 세트로 등각 매핑하는 수단과,

텍스쳐를 상기 기준 평면 직사각형들로 적용하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 매핑 시스템.
기하학적 표면을 애니메이팅하는 시스템에 있어서,

상기 표면의 제 1 메쉬 표현 M₁과 상기 표면의 제 2 메쉬 표현 M₂를 생성하는 수단과,

M₁과 M₂의 각각으로부터 M₁과 M₂ 모두에 공통인 적어도 하나의 특징점을 제거하는 수단과,

M₁과 M₂의 홀로모픽 1-폼을 각각 결정하는 수단과,

M₁과 M₂ 각각의 상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M₁과 M₂위의 각각의 모든 제로점들의 위치를 정하는 수단과,

M₁과 M₂ 위의 각각의 그레디언트 필드를 결정하는 수단과,

상기 제로점들을 통과하는 상기 각각의 그레디언트 필드의 적분선들을 이용하여 M₁과 M₂를 각각의 제 1 및 제 2 세트의 패치들(a set of patches)로 분해하는 수단과,

상기 제 1 및 제 2 세트의 패치들을 각각 제 1 및 제 2 세트의 기준 평면 직사각형들(a set of canonical planar rectangles)로 등각 매핑하는 수단과,

상기 제 1 및 제 2 세트의 기준 평면 직사각형들로부터 대응하는 직사각형들을 매칭함으로써 M₁으로부터 M₂로의 맵(map)을 형성하는 수단과,

비스플라인(BSpline)을 이용하여 상기 M₁으로부터 M₂로의 맵(map)의 완만한 변이(smooth transition)를 생성하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 기하학적 표면의 애니메이팅 시스템.
기하학적 표면의 메쉬 표현 M을 상기 기하학적 표면의 스플라인(spline) 표현으로 변환하는 시스템에 있어서,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 수단과,

상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M 위의 모든 제로점들의 위치를 정하는 수단과,

M 위의 그레디언트 필드를 결정하는 수단과,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트로 분해하는 수단과,

상기 세트의 패치들을 기준 평면 직사각형들의 세트로 등각 매핑하는 수단과,

상기 세트의 기준 평면 직사각형들 위에 정의된 스플라인 표면들의 세트를 구성하는 수단과,

제어점들(control points)을 매칭하여 전체적으로 완만한 상기 표면의 스플라인 표현을 만드는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 변환 시스템.
기하학적 표면의 불규칙한 연결성을 가지는 메쉬 표현 M을 규칙적인 연결성을 가지는 메쉬 표현 M'으로 변환하는 시스템에 있어서,

M의 홀로모픽 1-폼을 결정하는 수단과,

상기 홀로모픽 1-폼을 이용하여 M 위의 모든 제로점들의 위치를 정하는 수단과,

M 위의 그레디언트 필드를 결정하는 수단과,

상기 제로점들을 통과하는 상기 그레디언트 필드의 적분선을 이용하여 M를 패치들의 세트로 분해하는 수단과,

상기 패치들의 세트를 기준 평면 직사각형들의 세트로 등각 매핑하는 수단과,

규칙적인 그리드(grid)를 상기 기준 평면 직사각형들에 적용하여 상기 표면의 메쉬 표현 M' - 여기서, M'는 규칙적인 연결성을 가짐 - 을 도출하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 변환 시스템.
기하학적 표면의 메쉬 표현을 압축하는 방법에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현 M을 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하는 수단과,

상기 기준 파라미터 도메인 위의 표면 위치 벡터(surface position vector)를 벡터값 함수로서 표현하는 수단과,

상기 기준 파라미터 도메인의 라플라시안(Laplacian)의 아이겐 함수들(eigen functions)을 찾는 수단과,

상기 라플라시안의 아이겐 함수들을 이용하여 상기 벡터값 함수를 분해하는 수단과,

상기 분해된 벡터값 함수들의 고주파 성분들을 제거하는 수단과,

상기 분해된 벡터값 함수의 저주파 성분들을 상기 표면의 메쉬 표현 M의 압축된 이미지로서 저장하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 압축 시스템.
기하학적 표면의 메쉬 표현 M을 압축하는 시스템에 있어서,

상기 표면의 메쉬 표현을 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하여 등각 파라미터 표현을 형성하는 수단과,

상기 메쉬 표현 M에 대한 가우시안 곡률(Gaussian curvature)과 평균 곡률(mean curvature)의 레벨 세트들 - 여기서, 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 상기 레벨 세트들은 상기 등각 파라미터 표현의 함수임 - 을 결정하는 수단과,

상기 메쉬 표현 M의 등각 파라미터 표현과 상기 메쉬 표현 M에 대한 가우시안 곡률과 평균 곡률의 레벨 세트들을 저장하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 압축 시스템.
제 1 및 제 2 기하학적 표면들을 비교하는 시스템에 있어서,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 생성하는 수단과,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 각각 기준 파라미터 도메인으로 등각 매핑하여, 제 1 및 제 2 등각 파라미터 표현을 각각 형성하는 수단과,

상기 제 1 및 제 2 메쉬 표현들 각각에 대한 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들 - 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들은 각각 제 1 및 제 2 등각 파라미터 표현의 함수임 - 을 결정하는 수단과,

소정의 임계값을 이용하여 상기 가우시안 곡률과 평균 곡률의 제 1 및 제 2 레벨 세트들을 비교하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 비교 시스템.
제 1 및 제 2 기하학적 표면들을 비교하는 시스템에 있어서,

상기 제 1 및 제 2 표면들의 제 1 및 제 2 메쉬 표현들을 생성하는 수단과,

상기 제 1 및 제 2 표면들 각각에 대한 제 1 및 제 2 기간 매트릭스를 결정하는 수단과,

소정의 임계값을 이용하여 상기 제 1 및 제 2 기간 매트릭스을 비교하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 비교 시스템.
3차원 다면체(3-dimensional manifold)의 메쉬 표현 M을 부피 조화 매핑하는 시스템에 있어서,

상기 3차원 다면체 위에 상기 메쉬 M의 매핑의 조화 에너지를 계산하는 수단과,

조화 매핑을 얻기 위하여 켤레 그레디언트 방법을 이용하여 조화 에너지를 최소화하는 수단을

포함하는 것을 특징으로 하는 매핑 시스템.