CN110544310A - 一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，本发明提出了双曲几何空间中共形结构度量的一个通用框架与算法，使得任意亏格的三维点云都可一致性的共形映射到双曲庞加莱模型中，通过计算基本域在泰希米勒空间中的坐标，构建了双曲共形特征描述子。最后，本发明的方法应用在公开的人脸数据集BU3DFER中实现人脸表情的识别。实验结果表明，相对于欧氏几何空间的共形特征，本发明提出的双曲空间中的特征描述子不仅对奇点选择不敏感，而且有效提高了人脸表情的识别率；对比其它非共形特征描述子，本发明方法在保持同等识别率的情况下，所需的面部特征点数显著减少。

Description

一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法

技术领域

本发明涉及特征提取方法技术领域，尤其涉及一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法。

背景技术

三维点云可以近似地表示原始表面，在医学影像、计算机视觉以及三维打印等诸多领域中有着重要的应用价值，吸引了众多研究者的关注，三维点云的特征表示、分割、配准、分类、识别、检索、绘制和重建等方面的理论与应用研究工作已成为几何学和代数拓扑学等学科的研究热点。其中三维点云的特征表示是开展其它相关研究工作的必要前提。如何提取三维点云代表性的特征，通过低维度的特征进行匹配、检索与识别而有效降低算法的复杂度是该领域目前需要解决的重要问题。复杂形变下的特征表示研究更具有挑战性，也更具有普适性。现有方法大多是在欧氏空间或球面空间来设计黎奇流，存在只能得到与原曲面近似映射结果或者计算过于复杂难以直接用于解决实际应用问题。

发明内容

为解决现有技术的缺点和不足，本发明提供一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，研究双曲黎奇流下的共形映射方法，提出了双曲几何空间中共形结构度量的一个通用框架与算法，使得任意亏格的三维点云都可以一致性的共形映射到双曲庞加莱模型中，通过计算基本域在泰希米勒空间中的坐标，构建双曲共形特征描述子。

为实现本发明目的而提供的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，包括有以下步骤：

步骤1：对于给定的三维点云数据，通过Delaunay三角剖分算法将其三角网格化，建立离散曲面；

步骤2：对于欧拉示性数非负的离散曲面，使用卷积网络来估计欧拉示性数非负的离散曲面关键点位置的方法对欧拉示性数非负的离散曲面上的特征点线进行标定；

步骤3：双曲几何空间上的拓扑规范化；

步骤4：构造双曲黎奇流下的黎曼度量；

步骤5：在庞加莱模型中嵌入步骤3中多重连接曲面或高亏格曲面；

步骤6：计算双曲共形特征描述子。本发明的有益效果是：

本发明提供的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，研究双曲黎奇流下的共形映射方法，提出了双曲几何空间中共形结构度量的一个通用框架与算法，使得任意亏格的三维点云都可一致性的共形映射到双曲庞加莱模型中进行特征度量，拓展了现有双曲共形特征分析的应用范围。本发明得到的特征描述子F^c对于刚体变换、等距变换和双曲共形变换具有不变性，在共形映射下能够表征特征线和孔洞的变化。它可以很好地保留局部几何形状，可作为弹性曲面形态测量的候选特征，如人脸表情变化和大脑皮质病变等。

进一步，所述步骤3通过拓扑规范化：将欧拉示性数非负的离散曲面转为多重连接曲面或高亏格曲面，将曲面共形映射至双曲几何空间中，进行拓扑规范化，在多重连接曲面或高亏格曲面中添加边界线，以使其欧拉示性数从非负转换为负数，具体操作如下：

步骤3.1：对于亏格小于2的封闭曲面，定义一条或三条以上的特征线，并沿着它们切开曲面，使得曲面具有多个边界；

步骤3.2：将曲面的欧拉示性数都规范到负值后，追踪每个孔洞和边界线连接到其它孔洞和边界线的路径来生成基本群{a₁，b₁，a₂，b₂，…，a_g，b_g}，其中g为亏格数，对于包含边界线的曲面，在某一边界线上选择若干个点，并将每个点与其他各边界上的最近点相连接，再使用迪杰斯特拉算法跟踪路径并避免碰撞，从而生成基本群；

步骤3.3：沿基本域来切割表面S形成拓扑盘称为基本域，对于高亏格的曲面而言，有4g条边，其边界形式为：

步骤3通过拓扑规范化：将欧拉示性数非负的离散曲面转为多重连接曲面或高亏格曲面，将曲面共形映射至双曲几何空间中，进行拓扑规范化，经过这样的处理，虽然从理论角度看，双曲几何下的离散曲面曲率流和欧氏几何下的曲率流具有相似的理论框架，但是从计算角度看，因为双曲离散熵能量是严格凸的，没有零空间，所以双曲曲率流具有更稳定的收敛性。此外，由于双曲度量的共形因子在双曲平面中的边界附近趋于无穷大，所以双曲平面中的等距嵌入算法对于数值误差更为敏感，这样双曲曲率流的计算精度更高。

再进一步，所述步骤4构造双曲黎奇流下的黎曼度量，具体操作如下：

步骤4.1：输入三角形网格M(V，E，F)和目标高斯曲率其中V，E，F分别表示顶点、边和面的集合，v_i表示顶点；e_ij＝[v_i，v_j]表示连接v_i和v_j的边，边长标记为l_ij；f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]表示双曲三角面，表示其中顶点v_i处的内角；

步骤4.2：根据Bresenham圆填充算法，计算初始成对的圆填充值，双曲三角网格中每个顶点v_i的半径r_i，每条边e_ij的边权w_ij；

步骤4.3：对于每条边e_ij，由公式

l_ij＝cosh^-1(cosh(r_i)cosh(r_j)+cosh(ω_ij)sinh(r_i)sinh(r_j)) (2)

计算其边长l_ij；

步骤4.4：对于每一个双曲三角面片f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]，使用双曲余弦公式

计算其三角形内角其中 的算法与相同；

步骤4.5：对于每一个顶点v_i，由公式

其中表示网格M的边界，计算其高斯曲率k_i；

步骤4.6：对于每个三角形[v_i，v_j，v_k]，由公式

分别计算出双曲黎奇流能量的梯度中的和其中h_ij为Hessian矩阵H＝(h_ij)，矩阵中的每个元素，a＝cosh(l_ij)cosh(l_ki)-cosh(l_jk)，b＝sinh(l_ij)sinh(l_ki)；

步骤4.7：构造Hessian矩阵H＝(h_ij)，其中

步骤4.8：求解线性系统：

步骤4.9：更新每个顶点的共形因子u_i←u_i+δu_i；

步骤4.10：对于每个顶点v_i，重新计算其高斯曲率k_i；

步骤4.11：若所有顶点v_i的高斯曲率k_i都小于用户定义的阈值ε，即则算法结束，否则跳至步骤4.3。

步骤4利用牛顿法来优化黎奇流能量，求解双曲黎曼度量，如以上步骤所示，经过该方法处理后的数据比梯度下降法更为有效和稳定。

更进一步，所述步骤5在庞加莱模型中嵌入步骤3中多重连接曲面或高亏格曲面，具体操作如下：

步骤5.1：计算曲面的基本群，并沿着基本群的路径组切割曲面来获得基本域；

步骤5.2：计算曲面的双曲单值化度量，将基本域嵌入到双曲几何空间下的庞加莱模型中；在计算出双曲黎曼度量之后，将曲面的基本域嵌入到双曲几何中。

更进一步，所述步骤5.2中将曲面的基本域嵌入到双曲几何中，嵌入步骤如下：

步骤5.2.1：将双曲黎曼度量由M复制到

步骤5.2.2：选取初始面将其3个顶点分别映射到庞加莱模型中：p(v₀)＝(0，0)，

步骤5.2.3：将f₀₁₂的所有未曾嵌入过的相邻面放入队列；

步骤5.2.4：若队列为空时，结束算法；否则，继续后续步骤；

步骤5.2.5：从队列中取出第一个三角面，记为f_ijk，如果其还未曾嵌入到庞加莱模型中，那么：(a)假设顶点v_i和v_j已嵌入庞加莱模型，则计算两个双曲圆(p(v_i)，l_ki)和(p(v_j)，l_kj)的相交点；(b)选择其中的一个相交点p(v_k)，使得三角面朝上，即满足条件：(p(v_j)-p(v_i))×(p(v_k)-p(v_i))＞0；(c)将f_ijk的相邻面放入队列中；

步骤5.2.6：转至步骤5.2.4。

更进一步，所述步骤6计算双曲共形特征描述子，具体为：

在庞加莱模型中计算每个同伦类的测地线b_k距离，即泰希米勒空间坐标，将这些距离的集合作为三维点云的双曲共形特征描述子，计算步骤方法为：

假设测地线b_k上的边是逆时针排列的，标记为(e₁，e₂，...，e_m)，并且与顶点v_i∈b_k相邻的两个边是e_i和e_i+1，那么每条测地线的长度计算公式为：

其中|e_i|是双曲度量下边e_i的长度；测地线b_k长度对于共形映射是不变的，它们形成了每个曲面的形状特征；

经过以上步骤，曲面上的亏格及边界曲线在双曲黎奇流下的黎曼度量下的测地线b_k长度作为泰希米勒空间坐标，形成曲面的一组特征描述子

其中

经过步骤6的处理，对于实际应用曲面上的孔洞和边界线，它们在双曲黎曼度量下的测地线长度是泰希米勒空间坐标。泰希米勒空间坐标具有简洁、区分度好以及高效稳定的特点，在刚性运动、缩放和共形变换下保持不变，对分辨率也不敏感，具有扎实的理论依据。因此，将其作为曲面共形结构的特征描述子可取得良好的性能。

附图说明

以下结合附图对本发明的具体实施方式作进一步的详细说明，其中：

图1为本发明的三维点云共形结构的特征描述框架图，其中，(a)为三维点云网格曲面示意图，(b)为特征线标定示意图，(c)为曲面拓扑规范化示意图，(d)为嵌入到庞加莱模型示意图，(e)为计算出共形特征描述子示意图；

图2为高亏格曲面在庞加莱模型中的嵌入示意图，其中(a)为亏格为2的世界杯曲面示意图，(b)为基本域在庞加莱模型中的嵌入示意图；

图3为人脸曲面的两种处理方式，其中，(a)为原始人脸曲面示意图，(b)为增加了面部特征点的示意图；(c)为带特征线的人脸曲面示意图；(d)为挖孔后的人脸曲面示意图；

图4为人脸的双曲共形特征的计算框架示意图。

具体实施方式

将一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法应用美国纽约州立大学宾汉姆顿分校的BU3DFER三维人脸数据集，可以实现人脸表情的识别，具体实施步骤如下：

步骤1：对于给定的三维点云数据，通过Delaunay三角剖分算法将其三角网格化，建立离散曲面；直接提取美国纽约州立大学宾汉姆顿分校的BU3DFER三维人脸数据集中的三维人脸曲面；

步骤2：对于欧拉示性数非负的离散曲面，使用卷积网络来估计欧拉示性数非负的离散曲面关键点位置的方法对欧拉示性数非负的离散曲面上的特征点线进行标定；运用美国纽约州立大学宾汉姆顿分校的BU3DFER三维人脸数据集，按照步骤2提取面部主要特征点，如眼角、嘴角、鼻孔边界点、颧骨尖等，部分特征点如图3(b)和图3(c)所示。依次连接这些特征点来产生眼睛区域和嘴部区域的轮廓线。

步骤3：双曲几何空间上的拓扑规范化：将欧拉示性数非负的离散曲面转为多重连接曲面或高亏格曲面，将曲面共形映射至双曲几何空间中，进行拓扑规范化，在多重连接曲面或高亏格曲面中添加边界线，以使其欧拉示性数从非负转换为负数，具体操作如下：

步骤3.1：对于亏格小于2的封闭曲面，定义一条或三条以上的特征线，并沿着它们切开曲面，使得曲面具有多个边界；

步骤3.2：将曲面的欧拉示性数都规范到负值后，追踪每个孔洞和边界线连接到其它孔洞和边界线的路径来生成基本群{a₁，b₁，a₂，b₂，…，a_g，b_g}，其中g为亏格数，对于包含边界线的曲面，在某一边界线上选择若干个点，并将每个点与其他各边界上的最近点相连接，再使用迪杰斯特拉算法跟踪路径并避免碰撞，从而生成基本群；

步骤3.3：沿基本域来切割表面S形成拓扑盘称为基本域，对于高亏格的曲面而言，有4g条边，其边界形式为：

本方法采用将BU3DFER三维人脸数据集的原始人脸曲面模型直接以无亏格的方式共形映射到双曲庞加莱模型中，同时将张开的眼睛和嘴巴作为孔洞处理，再将其共形映射到双曲几何空间中两种不同的方式来处理表情形变较大的两个区域——嘴巴和眼睛，如图3(b)和图3(c)所示，为人脸曲面产生两类不同的拓扑结构：无亏格和高亏格，最后统一在双曲几何空间中分别度量其双曲共形特征，整个计算流程如图4所示。

方法1：以无亏格方式看待人脸曲面(图3(c))，首先标记左右眼内外角和嘴巴等区域的特征线，产生3个及以上的边界，使得其具有负的欧拉示性数。眼部区域和嘴部区域的边界线如图3(c)中的黄线所示。然后，利用基本群生成器构造多重连接曲面上的基本群。

方法2视人脸为高亏格曲面(图3(d))，则在检测出眼睛和嘴巴的轮廓后，沿着眼睛轮廓线将眼部掏出2个孔洞，另外对于张开嘴巴的曲面，也将嘴部掏出孔洞，使其亏格数为2(张眼闭嘴)或3(张眼张嘴)，由公式10欧拉示性数

假设一个封闭曲面S具有g个亏格，b个边界，那么其欧拉示性数为：

χ(g，b)＝2-2g-b. (2)

计算可得其欧拉示性数同样为负值。然后，利用基本群生成器构造高亏格人脸曲面上的基本群。

步骤4：构造双曲黎奇流下的黎曼度量，具体操作如下：

步骤4.1：输入三角形网格M(V，E，F)和目标高斯曲率其中V，E，F分别表示顶点、边和面的集合，v_i表示顶点；e_ij＝[v_i，v_j]表示连接v_i和v_j的边，边长标记为l_ij；f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]表示双曲三角面，表示其中顶点v_i处的内角；

步骤4.2：根据Bresenham圆填充算法，计算初始成对的圆填充值，双曲三角网格中每个顶点v_i的半径r_i，每条边e_ij的边权w_ij；

步骤4.3：对于每条边e_ij，由公式

l_ij＝cosh^-1(cosh(r_i)cosh(r_j)+cosh(ω_ij)sinh(r_i)sinh(r_j)) (3)

计算其边长l_ij；

步骤4.4：对于每一个双曲三角面片f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]，使用双曲余弦公式

计算其三角形内角其中 的算法与相同；

步骤4.5：对于每一个顶点v_i，由公式

其中表示网格M的边界，计算其高斯曲率k_i；

步骤4.6：对于每个三角形[v_i，v_j，v_k]，由公式

分别计算出双曲黎奇流能量的梯度中的和其中h_ij为Hessian矩阵H＝(h_ij)，矩阵中的每个元素，

a＝cosh(l_ij)cosh(l_ki)-cosh(l_jk)，b＝sinh(l_ij)sinh(l_ki)；

步骤4.7：构造Hessian矩阵H＝(h_ij)，其中

步骤4.8：求解线性系统：

步骤4.9：更新每个顶点的共形因子u_i←u_i+δu_i；

步骤4.10：对于每个顶点v_i，重新计算其高斯曲率k_i；

步骤4.11：若所有顶点v_i的高斯曲率k_i都小于用户定义的阈值ε，即则算法结束，否则跳至步骤4.3。

步骤5：在庞加莱模型中嵌入步骤3中多重连接曲面或高亏格曲面，具体操作如下：

步骤5.1：计算曲面的基本群，并沿着基本群的路径组切割曲面来获得基本域；

步骤5.2：计算曲面的双曲单值化度量，将基本域嵌入到双曲几何空间下的庞加莱模型中；在计算出双曲黎曼度量之后，将曲面的基本域嵌入到双曲几何中，嵌入步骤如下：

步骤5.2.1：将双曲黎曼度量由M复制到

步骤5.2.2：选取初始面将其3个顶点分别映射到庞加莱模型中：p(v₀)＝(0，0)，

步骤5.2.3：将f₀₁₂的所有未曾嵌入过的相邻面放入队列；

步骤5.2.4：若队列为空时，结束算法；否则，继续后续步骤；

步骤5.2.5：从队列中取出第一个三角面，记为f_ijk，如果其还未曾嵌入到庞加莱模型中，那么：(a)假设顶点v_i和v_j已嵌入庞加莱模型，则计算两个双曲圆(p(v_i)，l_ki)和(p(v_j)，l_kj)的相交点；(b)选择其中的一个相交点p(v_k)，使得三角面朝上，即满足条件：(p(v_j)-p(v_i))×(p(v_k)-p(v_i))＞0；(c)将f_ijk的相邻面放入队列中；

步骤5.2.6：转至步骤5.2.4。

步骤6：计算双曲共形特征描述子，具体步骤为：

在庞加莱模型中计算每个同伦类的测地线b_k距离，即泰希米勒空间坐标，将这些距离的集合作为三维点云的双曲共形特征描述子，计算步骤方法为：

假设测地线b_k上的边是逆时针排列的，标记为(e₁，e₂，...，e_m)，并且与顶点v_i∈b_k相邻的两个边是e_i和e_i+1，那么每条测地线的长度计算公式为：

其中|e_i|是双曲度量下边e_i的长度；测地线b_k长度对于共形映射是不变的，它们形成了每个曲面的形状特征；

经过以上步骤，曲面上的亏格及边界曲线在双曲黎奇流下的黎曼度量下的测地线b_k长度作为泰希米勒空间坐标，形成曲面的一组特征描述子

其中

采用步骤步骤3中两种方法处理后，三维人脸曲面的欧拉示性数都规范为负数，所以都可以在双曲几何空间中进行共形映射，从而以一致性的方式计算其双曲共形特征描述子。首先，使用步骤4计算曲面的双曲黎曼度量，再将其基本域嵌入到庞加莱模型中。由此，三维人脸曲面可简化至二维双曲平面中。然后，在庞加莱模型中计算每个同伦类的测地线长度，得出其泰希米勒坐标，作为人脸曲面的双曲共形特征。

为了验证双曲共形特征描述子在无亏格和高亏格曲面下的有效性，本方明对求得的双曲共形映射下三维点云的特征描述子进行统计检验，检验过程如下:

按照各种表情的强烈程度进行了三组不同实验。

第一组实验中，以亏格数为2的方式分析轻微表情的双曲共形特征，实验中嘴巴呈闭合状态，包括了强度级别为一级和二级的高兴、悲伤和愤怒表情；第二组实验以亏格数为3的方式分析夸张表情的共形特征，实验数据中的所有嘴巴呈张开状态，包括了三级和四级强度的厌恶、恐惧、惊喜和高兴等表情；最后一组实验则以无亏格曲面的方式分析了所有强度级别的全部表情特征。

各组实验中不同表情人脸的双曲共形特征描述子间的平均欧氏距离分别见表1、表2及表3，表中的距离进行了规一化处理，即其中d为任意两个特征描述子间的距离，而d_max为其中的最大距离。从中可以看出，第一组实验中愤怒和悲伤的人脸特征距离较近，而第二组实验中恐惧与高兴的特征距离较近。第三组实验中和愤怒最接近的表情是悲伤。

表1两个亏格人脸曲面之间的特征距离

(高兴、悲伤、愤怒的一二级表情)

表2三个亏格人脸曲面之间的特征距离

(厌恶、恐惧、惊喜、高兴的三四级)

表3多重连接的人脸曲面之间的特征距离

(所有强度下的全部表情)

本方法采用相同的实验条件。首先从数据集中随机选择60个人，然后再随机选择其中90％(即54名实验对象，648张人脸)的作为训练集，剩余的10％(即6个实验对象，72张人脸)作为测试集。为了获得稳定的平均识别率，以上过程重复100次，从而避免实验对象的选取差异带来影响。以无亏格的方式将其人脸曲面共形映射到双曲几何空间中，计算出双曲共形特征描述子，然后采用支持向量机的机器学习方法对其进行分类识别，得到表情的分类准确率为79.22％，见表4。

表4人脸表情识别性能对比

实验结果表明，相对于欧氏几何空间的双曲共形特征，本方法提出的双曲空间中的特征描述子不仅对奇点选择不敏感，而且有效提高了人脸表情的识别率；对比其它非双曲共形特征描述子，本方法在保持同等识别率的情况下，所需的面部特征点数显著减少。

以上实施例不局限于该实施例自身的技术方案，实施例子间可以相互结合成新的实施例。以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而并非对其进行限制，凡未脱离本发明精神和范围的任何修改或者等同替换，其均应涵盖在本发明技术方案的范围内。

Claims (6)

1.一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：包括如下步骤：

步骤1：对于给定的三维点云数据，通过Delaunay三角剖分算法将其三角网格化，建立离散曲面；

步骤2：对于欧拉示性数非负的离散曲面，使用卷积网络来估计欧拉示性数非负的离散曲面关键点位置的方法对欧拉示性数非负的离散曲面上的特征点线进行标定；

步骤3：双曲几何空间上的拓扑规范化；

步骤4：构造双曲黎奇流下的黎曼度量；

步骤5：在庞加莱模型中嵌入步骤3中多重连接曲面或高亏格曲面；

步骤6：计算双曲共形特征描述子。

2.根据权利要求1所述的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：所述步骤3通过拓扑规范化：将欧拉示性数非负的离散曲面转为多重连接曲面或高亏格曲面，将曲面共形映射至双曲几何空间中，进行拓扑规范化，在多重连接曲面或高亏格曲面中添加边界线，以使其欧拉示性数从非负转换为负数，具体操作如下：

步骤3.1：对于亏格小于2的封闭曲面，定义一条或三条以上的特征线，并沿着它们切开曲面，使得曲面具有多个边界；

步骤3.2：将曲面的欧拉示性数都规范到负值后，追踪每个孔洞和边界线连接到其它孔洞和边界线的路径来生成基本群{a₁，b₁，a₂，b₂，…，a_g，b_g}，其中g为亏格数，对于包含边界线的曲面，在某一边界线上选择若干个点，并将每个点与其他各边界上的最近点相连接，再使用迪杰斯特拉算法跟踪路径并避免碰撞，从而生成基本群；

步骤3.3：沿基本域来切割表面S形成拓扑盘称为基本域，对于高亏格的曲面而言，有4g条边，其边界形式为：

3.根据权利要求1所述的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：所述步骤4构造双曲黎奇流下的黎曼度量，具体操作如下：

步骤4.1：输入三角形网格M(V，E，F)和目标高斯曲率其中V，E，F分别表示顶点、边和面的集合，v_i表示顶点；e_ij＝[v_i，v_j]表示连接v_i和v_j的边，边长标记为l_ij；f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]表示双曲三角面，表示其中顶点v_i处的内角；

步骤4.2：根据Bresenham圆填充算法，计算初始成对的圆填充值，双曲三角网格中每个顶点v_i的半径r_i，每条边e_ij的边权w_ij；

步骤4.3：对于每条边e_ij，由公式

l_ij＝cosh^-1(cosh(r_i)cosh(r_j)+cosh(ω_ij)sinh(r_i)sinh(r_j)) (2)

计算其边长l_ij；

步骤4.4：对于每一个双曲三角面片f_ijk＝[v_i，v_j，v_k]，使用双曲余弦公式

计算其三角形内角其中 的算法与相同；

步骤4.5：对于每一个顶点v_i，由公式

其中表示网格M的边界，计算其高斯曲率k_i；

步骤4.6：对于每个三角形[v_i，v_j，v_k]，由公式

分别计算出双曲黎奇流能量的梯度中的和其中h_ij为Hessian矩阵H＝(h_ij)，矩阵中的每个元素，a＝cosh(l_ij)cosh(l_ki)-cosh(l_jk)，b＝sinh(l_ij)sinh(l_ki)；

步骤4.7：构造Hessian矩阵H＝(h_ij)，其中

步骤4.8：求解线性系统：

步骤4.9：更新每个顶点的共形因子u_i←u_i+δu_i；

步骤4.10：对于每个顶点v_i，重新计算其高斯曲率k_i；

步骤4.11：若所有顶点v_i的高斯曲率k_i都小于用户定义的阈值ε，即则算法结束，否则跳至步骤4.3。

4.根据权利要求1所述的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：所述步骤5在庞加莱模型中嵌入步骤3中多重连接曲面或高亏格曲面，具体操作如下：

步骤5.1：计算曲面的基本群，并沿着基本群的路径组切割曲面来获得基本域；

步骤5.2：计算曲面的双曲单值化度量，将基本域嵌入到双曲几何空间下的庞加莱模型中；在计算出双曲黎曼度量之后，将曲面的基本域嵌入到双曲几何中。

5.根据权利要求4所述的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：所述步骤5.2中将曲面的基本域嵌入到双曲几何中，嵌入步骤如下：

步骤5.2.1：将双曲黎曼度量由M复制到

步骤5.2.2：选取初始面将其3个顶点分别映射到庞加莱模型中：p(v₀)＝(0，0)，

步骤5.2.3：将f₀₁₂的所有未曾嵌入过的相邻面放入队列；

步骤5.2.4：若队列为空时，结束算法；否则，继续后续步骤；

步骤5.2.5：从队列中取出第一个三角面，记为f_ijk，如果其还未曾嵌入到庞加莱模型中，那么：(a)假设顶点v_i和v_j已嵌入庞加莱模型，则计算两个双曲圆(p(v_i)，l_ki)和(p(v_j)，l_kj)的相交点；(b)选择其中的一个相交点p(v_k)，使得三角面朝上，即满足条件：(p(v_j)-p(v_i))×(p(v_k)-p(v_i))＞0；(c)将f_ijk的相邻面放入队列中；

步骤5.2.6：转至步骤5.2.4。

6.根据权利要求1所述的一种双曲共形映射下三维点云的特征分析方法，其特征在于：所述步骤6计算双曲共形特征描述子，具体为：

在庞加莱模型中计算每个同伦类的测地线b_k距离，即泰希米勒空间坐标，将这些距离的集合作为三维点云的双曲共形特征描述子，计算方法为：

假设测地线b_k上的边是逆时针排列的，标记为(e₁，e₂，...，e_m)，并且与顶点v_i∈b_k相邻的两个边是e_i和e_i+1，那么每条测地线的长度计算公式为：

其中|e_i|是双曲度量下边e_i的长度；测地线b_k长度对于共形映射是不变的，它们形成了每个曲面的形状特征；

经过以上步骤，曲面上的亏格及边界曲线在双曲黎奇流下的黎曼度量下的测地线b_k长度作为泰希米勒空间坐标，形成曲面的一组特征描述子

其中