CN115115729B - 一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法。首先根据一种显式表达的球谐函数生成三维曲面，然后使用等高线分割法对曲面进行分割并着色，最后运用垂直投影法生成二维图形作为单花型图案。本发明方法能生成各种单花型图案并直接作为设计的基本元素，避免繁琐的元素提取步骤。同时本方法变化形式更加容易控制，能够根据特定系数控制图形的对称性。

Description

一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法
技术领域
本发明涉及计算机图形学、数字艺术图形生成领域，具体涉及一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，引入显示球谐函数生成纺织品图案的单花型图形，并构造对称花型图案的生成条件，生成可控的花型图案。
背景技术
传统的数字艺术图形生成有，基于分型理论生成分型艺术图形的方法、基于动力系统结合混沌理论生成数字艺术图形的方法、以弱混沌理论为基础的均匀随机网图形生成方法和准规则斑图图形生成方法等。
基于分型理论生成分型艺术图形的方法，能够生成具有自相似性、结构复杂的数字艺术图形，根据生成图形特点又可分为L-系统图形，IFS(迭代函数系统)图形，复动力系统图形等。以弱混沌理论为基础的均匀随机网图形生成方法，是对磁场粒子运动轨迹可视化的结果，其生成图形骨架结构变化丰富，具有精细线条排列的效果。上述两类图形虽能生成具有独立结构的单花型，但往往需要大量的调参筛选出合适的图形。
基于动力系统结合混沌理论生成数字艺术图形的方法，基于离散动力系统理论，通过对混沌动力系统迭代过程进行可视化生成动力系统图形。以弱混沌理论为基础的准规则斑图图形生成方法，对哈密顿算子进行平滑操作，生成的图形具有规则性、对称性、造型丰富、时尚型突出等特点。但是，准规则斑图或动力系统所生成的图形往往铺满整个图像空间，需借助软件经繁杂的交互式分割提取单花型。
发明内容
本发明目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，利用等高线分割法将具有“星型”特点的球谐函数曲面投影成二维单花型图形，使之能直接作为设计的基本元素，避免繁琐的元素提取步骤；同时，该方法变化形式更加容易控制，能够根据特定系数控制图形的对称性。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：本发明提供了一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，所述方法包括以下步骤：
步骤一，设置基本参数：相关系数，θ相关系数，其中φ和θ均为显式球谐函数的系数，相关系数设置可遵循纺织品图案对称花型图案的生成条件，设置球坐标系下离散曲面的角度分辨率a×b，其中离散曲面是球谐函数对应的纺织品图案单花型可视化表达，a，b分别为经纬方向角度采样分辨率；
步骤二，设置采样角度步长du和dv；
步骤三，设置等高线数目，各等高线之间的距离以及纺织品图案所对应的颜色；为使图形颜色分布尽量均匀，根据高度z对离散曲面进行等距划分；根据等距划分的高度值，使各等高线间的距离相同；
步骤四，定义球坐标系下离散曲面上点的编号依次遍历离散曲面顶点的编号，每次遍历时根据映射关系计算出/>对应的/>
步骤五，根据显示球谐函数依次计算出对应的球半径r，之后根据坐标转换公式计算出相应的四个三维直角坐标；
步骤六，判断对应的曲面高度z，若为正，将/>对应的曲面高度z代入等距划分公式，并计算得到等高线序号，用等高线序号对应的颜色和四个三维直角坐标进行四边形面片的绘制，其中着色方式使用平面着色，遍历结束，完成三维网格曲面的绘制；
步骤七，将三维网格曲面垂直投影到xOy平面，生成相应的二维单花型图形；
步骤八，引入铺砌方法，结合所生成的二维单花型图形设计纺织品图案。
进一步地，步骤一中，显式球谐函数如下：
其中，r为曲面上的点到球心(设为坐标原点)的距离，为曲面上的点的位矢与z轴的夹角/>θ为曲面上的点的位矢在xOy平面的投影与z轴的夹角(0≤θ≤2π)，mi(0≤i≤3)和pi(4≤i≤7)为球谐函数的系数，决定曲面的形状，取为非负整数；将mi(0≤i≤3)记为/>相关系数，pi(4≤i≤7)为θ相关系数。
进一步地，步骤一中，对称花型的生成条件如下：
为使图形具有关于x轴的反射对称性，则高度函数z需满足式(2)，将曲面高度z代入式(2)，化简得到式(3)；根据三角函数的周期性可知，无论p6，p7取何值(定义域范围内)，式(3)中的cos项必定满足等式，因此仅需考虑sin项，当p5为偶数时，式(3)中的sin项满足等式，此时图形具有关于x轴的反射对称性；
为使图形具有关于y轴的反射对称性，则需满足式(4)，将将曲面高度z代入式(4)，化简得到式(5)；同样，根据三角函数的周期性，当p4为奇数或p5为偶数时，式(5)中的sin项满足等式；当p6为偶数或p7为偶数时，式(5)中的cos项满足等式；当两项同时满足要求，则图形具有关于y轴的反射对称性；
此外，为使图形具有k-旋转对称性，则需满足式(6)：
由于对称性与无关，以下仅考虑式(1)中θ对应的两个三角函数项，有如下两种情况：
当该两个三角函数项均被启用时(指数均不为0)，二者周期应为倍数关系，且较大者应为T，具体公式如下：
式中：Tsin为sin项的周期；Tcos为cos项的周期；由式(1)可知，影响Tsin的系数是p4，p5；影响Tsin的系数是p6，p7；其中p4，p6为角频率，p5，p7为指数；当指数为偶数时，三角函数周期为奇指数的二分之一；因此可以得到sin项和和cos项的周期计算公式为：
当该两个三角函数项仅有一项被启用时，则无需考虑两者的倍数关系，启用项的周期应等于T，仍可根据式(8)计算得到；
若要使图形具有k-旋转对称性，首先根据式(6)计算得到T，然后选择三角函数项的启用数量(2或1)：若启用数量为1，则需根据式(8)设置启用项系数使其周期等于T；若启用数量为2，则需根据式(8)设置θ相关系数，使式(7)成立。
进一步地，步骤二中，采样角度步长计算公式如下：
其中，du为球坐标系下θ所对应的轴方向的步长；dv为球坐标系下所对应的轴轴方向的步长。
进一步地，步骤三中，等距划分的公式如下：
其中，q为等高线数目；d为各等高线间的距离；z为曲面上一点的高度；c为等高线序号；通过该式计算出等高线序号，等高线序号一致的点将被赋予相同的纺织品图案颜色。
进一步地，步骤四中，映射关系计算公式如下：
进一步地，步骤五中，坐标转换公式如下：
进一步地，步骤六中，平面着色方式具体指四边形面片的颜色仅由面片上点决定。
进一步地，步骤七中，垂直投影具体指由四边形面片组成的三维网格曲面由上往下被投影到平面，形成二维的单花型图形。
进一步地，步骤八中，铺砌方法是指通过铺砌块无缝且不交叉地覆盖平面的方法。
本发明的有益效果：
本发明能直接作为设计的基本元素，避免繁琐的元素提取步骤且方法变化形式更加容易控制，能够根据特定系数控制图形的对称性，因此，使其无需进行元素提取而直接配上构图，即可生成纺织品图案，从而大大提高了设计效率。
附图说明
图1为本发明的一个实施例中的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法的流程图；
图2为本发明的一个实施例中的三维曲面图；
图3为本发明的一个实施例中的单花型图。
具体实施方式
针对背景技术的不足，本发明的目的在于提供一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，该方法利用等高线分割法将具有“星型”特点的球谐函数曲面投影成二维单花型图形，使之能直接作为设计的基本元素，避免繁琐的元素提取步骤；同时，该方法变化形式更加容易控制，能够根据特定系数控制图形的对称性。
下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。应理解，这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。
需要说明的是，在本专利的权利要求和说明书中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其它变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其它要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。
在本发明提及的所有文献都在本申请中引用作为参考，就如同每一篇文献被单独引用作为参考那样。此外应理解，在阅读了本发明的上述讲授内容之后，本领域技术人员可以对本发明作各种改动或修改，这些等价形式同样落于本申请所附权利要求书所限定的范围。
本发明提供了一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，所述方法包括以下步骤：
步骤一，设置基本参数：相关系数，θ相关系数，其中φ和θ均为显式球谐函数的系数，相关系数设置可遵循纺织品图案对称花型图案的生成条件，设置球坐标系下离散曲面的角度分辨率a×b，其中离散曲面是球谐函数对应的纺织品图案单花型可视化表达，a，b分别为经纬方向角度采样分辨率；显式球谐函数如下：
其中，r为曲面上的点到球心(设为坐标原点)的距离，为曲面上的点的位矢与z轴的夹角/>θ为曲面上的点的位矢在xOy平面的投影与z轴的夹角(0≤θ≤2π)，mi(0≤i≤3)和pi(4≤i≤7)为球谐函数的系数，决定曲面的形状，取为非负整数；将mi(0≤i≤3)记为/>相关系数，pi(4≤i≤7)为θ相关系数。
对称花型的生成条件如下：
为使图形具有关于x轴的反射对称性，则高度函数z需满足式(2)，将曲面高度z代入式(2)，化简得到式(3)；根据三角函数的周期性可知，无论p6，p7取何值(定义域范围内)，式(3)中的cos项必定满足等式，因此仅需考虑sin项，当p5为偶数时，式(3)中的sin项满足等式，此时图形具有关于x轴的反射对称性；
为使图形具有关于y轴的反射对称性，则需满足式(4)，将将曲面高度z代入式(4)，化简得到式(5)；同样，根据三角函数的周期性，当p4为奇数或p5为偶数时，式(5)中的sin项满足等式；当p6为偶数或p7为偶数时，式(5)中的cos项满足等式；当两项同时满足要求，则图形具有关于y轴的反射对称性；
此外，为使图形具有k-旋转对称性，则需满足式(6)：
由于对称性与无关，以下仅考虑式(1)中θ对应的两个三角函数项，有如下两种情况：
当该两个三角函数项均被启用时(指数均不为0)，二者周期应为倍数关系，且较大者应为T，具体公式如下：
式中：Tsin为sin项的周期；Tcos为cos项的周期；由式(1)可知，影响Tsin的系数是p4，p5；影响Tsin的系数是p6，p7；其中p4，p6为角频率，p5，p7为指数；当指数为偶数时，三角函数周期为奇指数的二分之一；因此可以得到sin项和和cos项的周期计算公式为：
当该两个三角函数项仅有一项被启用时，则无需考虑两者的倍数关系，启用项的周期应等于T，仍可根据式(8)计算得到；
若要使图形具有k-旋转对称性，首先根据式(6)计算得到T，然后选择三角函数项的启用数量(2或1)：若启用数量为1，则需根据式(8)设置启用项系数使其周期等于T；若启用数量为2，则需根据式(8)设置θ相关系数，使式(7)成立。
步骤二，设置采样角度步长du和dv；计算公式如下：
其中，du为球坐标系下θ所对应的轴方向的步长；dv为球坐标系下所对应的轴轴方向的步长。
步骤三，设置等高线数目，各等高线之间的距离以及纺织品图案所对应的颜色；为使图形颜色分布尽量均匀，根据高度z对离散曲面进行等距划分；根据等距划分的高度值，使各等高线间的距离相同；等距划分的公式如下：
其中，q为等高线数目；d为各等高线间的距离；z为曲面上一点的高度；c为等高线序号；通过该式计算出等高线序号，等高线序号一致的点将被赋予相同的纺织品图案颜色。
步骤四，定义球坐标系下离散曲面上点的编号依次遍历离散曲面顶点的编号，每次遍历时根据映射关系计算出/>对应的/>计算公式如下：
步骤五，根据显示球谐函数依次计算出对应的球半径r，之后根据坐标转换公式计算出相应的四个三维直角坐标；坐标转换公式如下：
步骤六，判断对应的曲面高度z，若为正，将/>对应的曲面高度z代入等距划分公式，并计算得到等高线序号，用等高线序号对应的颜色和四个三维直角坐标进行四边形面片的绘制，其中着色方式使用平面着色(四边形面片的颜色仅由面片上点/>决定)，遍历结束，完成三维网格曲面的绘制；
步骤七，将四边形面片组成的三维网格曲面由上往下垂直投影到xOy平面，生成相应的二维单花型图形；
步骤八，引入通过铺砌块无缝且不交叉地覆盖平面的方法，结合所生成的二维单花型图形设计纺织品图案。
本发明的具体实施方式涉及一种基于球谐函数的纺织品单花型生成方法，该方法具有很大的灵活性以及丰富的效果。方法鲁棒。并且该方法生成的花型图案独立成形，形状既似自然花瓣状，又具独特的抽象风格，能直接作为设计的基本元素应用于纺织品图案及产品设计实践中。由于其结构简单、独立成形的特点，使其无需进行元素提取而直接配上构图，即可生成纺织品图案，从而大大提高了设计效率。本发明方法过程如图1所示，具体如下：
步骤101，设置基本参数，构造的图形对称性为8倍旋转对称性，根据对称花型的生成条件，设置相关系数依次为12,0,10,0，θ相关系数依次为3,0,4,10。设置a为1024，b为1024。，设置球坐标系下离散曲面的角度分辨率a×b，其中φ和θ分均为显式球谐函数的系数，相关系数设置可遵循对称花型图案的生成条件，a，b分别为经纬方向角度采样分辨率。
步骤102，计算采样角度步长，
步骤103，设置等高线数目q＝3，等高线间的距离d＝0.33，以及所对应的颜色，rgb颜色依次选用{1,0.6,0.4}，{1,0.4,0.4}，{1,0.8,0.8}；
步骤104，定义曲面上点的需要，依次遍历并计算映射结果；具体为：定义球坐标系下曲面上点的序号依次遍历网格曲面顶点的编号，每次遍历时根据映射关系计算出/>对应的/>
步骤105，计算映射结果所对应的三维直角坐标；具体为：根据坐标转换公式将映射结果转换为三维直角坐标(x,y,z)；
步骤106，判断曲面高度，使用等距划分进行着色；具体为：判断对应的曲面高度z，若为正，将/>对应的曲面高度z代入等距划分公式，并计算得到等高线序号，用等高线序号对应的颜色和四个三维直角坐标进行四边形面片的绘制，使用等距划分进行着色，其中着色方式使用平面着色，即四边形面片的颜色仅由面片上点/>决定。遍历结束，完成三维网格曲面的绘制，三维网格曲面图如图2所示。
步骤107，垂直投影，生成单花型图形；具体为：将四边形面片组成的三维网格曲面由上往下被投影到平面，形成二维的单花型图形，单花型图形如图3所示。
步骤108，引入铺砌方法，结合所生成的二维单花型图形设计纺织品图案。
需要说明的是，在本专利的权利要求和说明书中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其它变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其它要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。
虽然通过参照本发明的某些优选实施方式，已经对本发明进行了图示和描述，但本领域的普通技术人员应该明白，可以在形式上和细节上对其作各种改变，而不偏离本发明的精神和范围。

Claims (8)

1.一种基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：
步骤一，设置基本参数：相关系数，θ相关系数，其中φ和θ均为显式球谐函数的系数，相关系数设置可遵循纺织品图案对称花型图案的生成条件，设置球坐标系下离散曲面的角度分辨率a×b，其中离散曲面是球谐函数对应的纺织品图案单花型可视化表达，a，b分别为经纬方向角度采样分辨率；
显式球谐函数如下：
其中，r为曲面上的点到球心(设为坐标原点)的距离，为曲面上的点的位矢与z轴的夹角/>θ为曲面上的点的位矢在xOy平面的投影与z轴的夹角(0≤θ≤2π)，mi(0≤i≤3)和pi(4≤i≤7)为球谐函数的系数，决定曲面的形状，取为非负整数；将mi(0≤i≤3)记为相关系数，pi(4≤i≤7)为θ相关系数；
对称花型的生成条件如下：
为使图形具有关于x轴的反射对称性，则高度函数z需满足式(2)，将曲面高度z代入式(2)，化简得到式(3)；根据三角函数的周期性可知，无论p 6，p 7取何值(定义域范围内)，式(3)中的cos项必定满足等式，因此仅需考虑sin项，当p5为偶数时，式(3)中的sin项满足等式，此时图形具有关于x轴的反射对称性；
为使图形具有关于y轴的反射对称性，则需满足式(4)，将将曲面高度z代入式(4)，化简得到式(5)；同样，根据三角函数的周期性，当p4为奇数或p5为偶数时，式(5)中的sin项满足等式；当p 6为偶数或p 7为偶数时，式(5)中的cos项满足等式；当两项同时满足要求，则图形具有关于y轴的反射对称性；
此外，为使图形具有k倍旋转对称性，则需满足式(6)：
由于对称性与无关，以下仅考虑式(1)中θ对应的两个三角函数项，有如下两种情况：
当该两个三角函数项均被启用时(指数均不为0)，二者周期应为倍数关系，且较大者应为T，具体公式如下：
式中：Tsin为sin项的周期；Tcos为cos项的周期；由式(1)可知，影响Tsin的系数是p4，p 5；影响Tsin的系数是p6，p 7；其中p4，p6为角频率，p 5，p 7为指数；当指数为偶数时，三角函数周期为奇指数的二分之一；因此得到sin项和和cos项的周期计算公式为：
当该两个三角函数项仅有一项被启用时，则无需考虑两者的倍数关系，启用项的周期应等于T，仍可根据式(8)计算得到；
若要使图形具有k-旋转对称性，首先根据式(6)计算得到T，然后选择三角函数项的启用数量(2或1)：若启用数量为1，则需根据式(8)设置启用项系数使其周期等于T；若启用数量为2，则需根据式(8)设置θ相关系数，使式(7)成立；
步骤二，设置采样角度步长du和dv；
步骤三，设置等高线数目，各等高线之间的距离以及纺织品图案所对应的颜色；为使图形颜色分布尽量均匀，根据高度z对离散曲面进行等距划分；根据等距划分的高度值，使各等高线间的距离相同；
步骤四，定义球坐标系下离散曲面上点的编号依次遍历离散曲面顶点的编号，每次遍历时根据映射关系计算出/>对应的/>
步骤五，根据显示球谐函数依次计算出对应的球半径r，之后根据坐标转换公式计算出相应的四个三维直角坐标；
步骤六，判断对应的曲面高度z，若为负，则不进行处理；若为正，将/>对应的曲面高度z代入等距划分公式，并计算得到等高线序号，用等高线序号对应的颜色和四个三维直角坐标进行四边形面片的绘制，其中着色方式使用平面着色，遍历结束，完成三维网格曲面的绘制；
步骤七，将三维网格曲面垂直投影到xOy平面，生成相应的二维单花型图形；
步骤八，引入铺砌方法，结合所生成的二维单花型图形设计纺织品图案。
2.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤二中，采样角度步长计算公式如下：
其中，du为球坐标系下θ所对应的轴方向的步长；dv为球坐标系下所对应的轴轴方向的步长。
3.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤三中，等距划分的公式如下：
其中，q为等高线数目；d为各等高线间的距离；z为曲面上一点的高度；c为等高线序号；通过该式计算出等高线序号，等高线序号一致的点将被赋予相同的纺织品图案颜色。
4.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤四中，映射关系计算公式如下：
。
5.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤五中，坐标转换公式如下：
。
6.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤六中，平面着色方式具体指四边形面片的颜色仅由面片上点决定。
7.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤七中，垂直投影具体指由四边形面片组成的三维网格曲面由上往下被投影到平面，形成二维的单花型图形。
8.根据权利要求1所述的基于球谐函数的纺织品图案单花型生成方法，其特征在于，步骤八中，铺砌方法是指通过铺砌块无缝且不交叉地覆盖平面的方法。
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