JP2006518886A - 等角構造による幾何学表面の解析法 - Google Patents

Abstract

幾何学表面を、解析・分類・認識する方法が開示される。幾何学表面はリーマン多様体として扱われ、表面に対応する等角構造が計算される。表面の等角構造は、表面についての固有の幾何学情報を含むが、他の表現に較べてよりコンパクトなフォーマットになる。円盤、球又は平面等のようなカノニカルパラメータ領域への表面の等角写像は、表面の幾何学情報を維持し、等角構造の計算をより容易ならしめる。そのような等角表現により可能にされる多様な用途は、表面マッチング、表面カタログ化、表面認識、アニメーション及び表面間のモーフィング及び他の数学的解析を含む。

Description

関連出願のクロスリファレンス
本出願は、その開示が参考として添付された、２００２年１１月６日出願の特許仮出願番号６０／４２４，１４１の、米国特許法１１９条（ｅ）に基づく優先権を主張する。

連邦が後援する研究開発に関する陳述
非適用

本出願は表面の解析を対象とし、特にコンパクトリーマン面理論を計算アルゴリズムに変換することにより、表面解析用の基本的な幾何学ツールを提供することによって、表面の等角構造を計算することによる、表面の解析法を対象とする。

幾何学表面の分類及び識別は、コンピュータグラフィックス及びコンピュータ支援設計の分野の、基本的な問題である。走査及び画像化の技術が開発されるにつれて、彩色された多数のメッシュがデータベース内とワールドワイドウェブ（ＷＷＷ）上及びインターネット上で利用可能になっている。加えてＭＲＩやＰＥＴ画像システムのような医学用画像技術は、人体内の構造の３次元（３−Ｄ）モデルを生成することが可能である。例えば、脳画像における最近の進歩は、脳地図のデータベースにそのような画像を収集して記憶することを促進してきた。同様に、バイオメトリックセキュリティの用途では、顔の認識は予め記憶した顔に３−Ｄの顔の特徴を、画像化し、記憶し、適合させることを必要としている。また３−Ｄのウェブページを用いる娯楽システムは数が増しており、モーフィングやテクスチャマッピングのようなコンピュータアニメーション技術は同様に３−Ｄ表面の生成と取り扱いを必要とする。

これらの全ての用途において、幾何学データは微分構造の代わりに組合せ構造を有する三角のメッシュとして表わされる。従って、微分構造の幾何学技術を用いてこれらの表面を処理することは困難である。現在の解析方法は、二つの表面の間のハウスドルフ距離を測定する。しかしながら、その表面の間の対応関係を見いだすための一般的なアプローチはなく、さらに組合せ探索は効率的ではない。加えて、表面解析の現在の方法は、表面の三角化と解像度に非常に依存している。しかしながら、異なる三角化と解像度は広く変化する結果を導くことができる。結局のところ、幾何学表面データは極めて大きくなる。一つの表面は数百万の頂点と表面を有するようになり、その結果、現在のシステムに必要とされる実際の計算の数は、効果的かつ効率的なアルゴリズムを開発することを極度に困難にしている。さらに、トポロジー不変量を用いた表面分類は、表面の分類が一般的には粗度が高いために、またユークリッド幾何的不変量を用いた表面分類は表面の分類に柔軟性がないために、現在のところ有効な一般的方法は見いだされていない。

従って、表面の幾何学にのみ依存する、本来的なシステムである幾何的解析方法であって、表面を効果的に分類し、同じクラスの二つの表面の間の対応関係を見いだす一般的な方法を提供し、数値的に安定かつ正確な二つの特性を有する計算の効率と達成可能性を提供する、幾何的解析方法を提供することは有用である。

幾何学表面を、解析・分類・認識する方法が開示される。幾何学表面はリーマン多様体として扱われ、表面に対応する等角構造が計算される。表面の等角構造は、表面についての固有の幾何学情報を含むが、よりコンパクトなフォーマットになる。しかしながら一般的に、表面はかなり大きな多数のメッシュデータを伴う、複数のメッシュデータとして表わされる。そのようなメッシュ化された表面の等角構造の計算は、多数のメッシュデータ点のために、及び、必要とされる計算が多すぎるために、困難な作業である。円盤、球又は平面等のようなカノニカルパラメータ領域への表面の等角写像は、表面の幾何学情報を維持し、等角構造の計算をより容易ならしめる。

特にある実施形態では、第一と第二の表面が第一と第二の写像された表面を形成するカノニカルパラメータ領域に等角的に写像される。各々の写像表面に対する等角パラメータ化が計算され、それらの表面が適合するかどうか決定するために、互いに比較される。

他の実施形態では、表面が等角パラメータ化に従って分類される、表面の分類方法が開示される。特に、表面に対応する周期マトリックスＲが決定され記憶される。次いで予め記憶した周期マトリックスＲを調べて、所望の表面に対応する第二の周期マトリックスＲ'とこのマトリックスを比較することにより、特定の表面に対する調査が実行される。

他の実施形態では、表面認識の方法が提供される。特に、ある表面を表わすメッシュが提供され、一つ又はそれ以上の特徴点が連続的に取り除かれる。取り除かれた各々の特徴点に対して、対応する周期マトリックスＲが計算される。予め計算された周期マトリックスのシーケンスと結果の周期マトリックスのシーケンスの比較により、ある表面が認識される。

代案として、全ての特徴点が一度に取り除かれ、その表面内のある点が選択される。この点は予め定められた軌道上の表面を移動するので、周期マトリックスのシーケンスが計算され、予め計算された周期マトリックスのシーケンスと比較される。

他の実施形態では、画像圧縮の方法が開示される。ある表面を表わすメッシュが提供され、そのメッシュに対する等角パラメータ化が計算される。等角パラメータ化を用い、平均曲率を計算することができ、これら二つのパラメータにより元の表面を一意的に決定することができる。

他の実施形態では、医学的画像への用途が開示される。脳や他の器官のような医学的画像は、一般的に属ゼロの表面である。属ゼロの表面の球への等角写像は、その表面を解析することを可能にする。

他の実施形態では、ある表面をアニメ化する方法が開示される。二つの類似した形状が与えられ、各々の表面から特徴点が取り除かれ、各々の表面の重複が計算される。各々の表面は一つ又はそれ以上のパッチに分解され、各々のパッチがある平面に写像される。一つの表面から他への等角写像が決定され、制御点が選択された後に、二つの平面の間の円滑な遷移を生成するために、Ｂスプライン又は他の滑らかな曲線関数が用いられる。

他の実施形態では、所定の表面を覆うためのテクスチャを生成する方法が提供される。表面は等角パラメータ化を用いて、平面表面のようなカノニカルパラメータ表面に写像され、そのパラメータ表面用のテクスチャが計算される。テクスチャパッチを大域的に滑らかにするために、テクスチャパッチの間の境界を拡散するためのディリクレ法が用いられる。このようにして、テクスチャパッチが「成長」され、互いに「縫い合わせ」られ、次いでパラメータ表面に写像される。

以下の詳細な説明において、上述した方法及びシステムの他の形式、特徴及び態様が記述される。本発明は、添付図面とともに考慮された以下の詳細な記述から、よりよく理解される。

図１ａは人の顔と正方形の間の等角写像を描いた図であり、図１ｂは図１ａの人の顔から図１ｂの平面へ写像されたチェッカーボードテクスチャを描いた図である。 図２ａ〜ｄは２穴のトーラスの解析１−形式の種々の要素を描いた図である。 図３は球内のガーゴイルモデルの球等角はめ込みを描いた図である。 図４は球に等角写像された人の脳のモデルを描いた図である。 図５は単位球に写像されたウサギのモデルを描いた図である。 図６ａ〜ｂはパラメータ化のゼロ点を描いた図である。 図７ａ〜ｄは属２の３トーラスに対する大域等角地図を描いた図である。 図８ａ〜ｄは属２の１トーラスの等角等価ではなくトポロジー等価を描いた図である。 図９ａ〜ｄは異なる等角構造を有する属１表面を描いた図である。 図１０ａ〜ｄは大域等角パラメータ化の均一性の改善を描いた図である。 図１１ａ〜ｄは異なる等角構造を有する種々の属２表面を描いた図である。 図１２ａ〜ｂはウサギの表面の三角化の組織化利用を描いた図であり、図１２ｃ〜ｄは等角幾何学画像からのウサギの表面の再構築を描いた図である。 図１３ａは脳表面モデルを描いた図であり、図１３ｂは球に等角写像された図１３ａの脳表面モデルを描いた図であり、図１３ｃは図１３ａの脳表面モデルの球体幾何学画像を描いた図であり、図１３ｄは図１３ｃが２５６回圧縮された後に再構築された脳表面モデルを描いた図である。 図１４は等角構造を用いた女の人の顔から男の人の顔への幾何モーフィングを描いた図である。 図１５ａ〜ｂは三角化のオリジナルレベルでのティーポットモデルの大域パラメータ化を描いた図であり、図１５ｃ〜ｄは三角化の簡潔化レベルでのティーポットモデルの大域パラメータ化を描いた図である。 図１６ａ〜ｄは、４つの高い属の表面に対する、大域パラメータ化の結果を描いた図である。

以下に続く実施形態では、リーマン面として２次元（２−Ｄ）の表面が扱われ、その表面に対応する等角構造が計算される。全ての指向可能な表面はリーマン面であり、等角変換の元で不変な本来的等角構造を有する。一般的に、等角構造はトポロジー構造よりも洗練されており、距離構造よりも柔軟性がある。属１表面に対しては、全ての等角構造の空間は２次元である。このようにして、二つのパラメータを用いて全ての属１表面を分類することができる。一般的に属ｇの表面に対しては、全ての可能な等角構造の空間は６ｇ−６次元である。従って全ての属ｇの表面を、ｇ×ｇの複素マトリックスを用いて分類することができる。

二つの表面の間の等角等価を、システム的に計算するための方法論が提供される。特に、同じ等角構造を有する任意の二つの表面に対する、その二つの表面の間の等角一対一写像をシステム的に計算するための方法が提供される。属０の表面については、そのような写像の群は６次元である。属１の表面については、そのような群は２次元である。属１以上の表面については、そのような写像のそのような群はただ１次元を含むのみである。こうして以下に記述される方法は、最良の写像を見いだして、同じ等角構造を有する任意の二つの表面の間のハウスドルフ距離を測定する、効率的な方法を利点として提供する。

ある表面の等角構造が決定される以下に記述される方法については、等角構造はその表面の幾何的関数であるのみである。それは三角化及び解像度のどちらによっても影響されず、さらに等角写像はその表面の形状を保存する。

全ての表面がリーマン面であることは、良く知られている。全てのリーマン面は、等角座標地図又は等角構造を有する。等角変換は、等角構造を等角構造に写像する。二つのリーマン面の間の等角変換により、全ての場所で角度が保存される。知られているように、１次元の接続された複素多様体は、リーマン面として知られる。リーマンの均一化定理により、全ての表面をカノニカル空間に大域的に等角的にはめ込むことができる。カノニカル空間は一般的に円盤、平面又は球であるが、その選択はその表面に固有な幾何学により決定される。等角的にはめ込まれた表面は、カノニカル空間にはめ込まれた元の幾何学情報の大部分を含んでいる。等角的なはめ込みを通して、３Ｄ表面マッチング問題をこれらの三つのカノニカル空間内の２Ｄマッチング問題に変換することができる。以下でより詳細に論じられるように、この方法は非剛体変形表面マッチングへの可能性を有する。

表面をカノニカル空間にはめ込むこの方法は、その表面の等角構造を反映する。ある表面からカノニカル空間への全ての大域な等角はめ込みは、特別な群を形成する。もし二つの表面が互いに等角写像されることができるならば、それらは同じ群構造を共有する。言い換えれば、そのような群構造は完全な等角不変量である。従って等角不変量を用いて、全ての表面を分類することができる。各々のトポロジー的に等価な級数に対して、無限の数の等角的に等価な級数が存在する。これは、表面分類問題において有用である。

Ｓ_１及びＳ_２を、（ｘ^１，ｘ^２）によりパラメータ化された二つの正則表面とする。ローカル座標でψ（ｘ^１，ｘ^２）＝（ψ^１（ｘ^１，ｘ^２），ψ（ｘ^１，ｘ^２））と表示される写像φ：Ｓ_１→Ｓ_２を定義する。

Ｓ_１及びＳ_２の第一の基本形（リーマン距離）を、以下のものとする。

ψにより誘導されるＳ_１の引き戻し距離は、

である。

のような関数λ（ｘ^１，ｘ^２）が存在すると、φはＳ_１とＳ_２の間の等角写像である、と言う。特に、Ｓ_１からローカル座標面（ｘ^１，ｘ^２）への写像が等角写像であれば、（ｘ^１，ｘ^２）は等温座標としても参照される、Ｓ_１の等角座標である。図１ａは、人の顔と平面上の正方形の間の等角写像を示す。図１ｂは、その表面にチェッカーボードをテクスチャマップすることにより、その写像の等角的性質を描いたものである。図１ａ、１ｂを調べると、チェッカーボードの全ての直角が表面のテクスチャに保存されていることを示す。図１ｂは、高い属、即ち、属が１より大きい表面を有する、４つの表面の大域パラメータ化の結果を示す。見てわかるように、チェッカーボードパターンの全ての角度は直角であり、その写像の等角的性質を表わしている。

複素多様体に対して、Ｕ⊂Ｃが開集合であり、ｆがｆ：Ｕ→Ｃの複素関数であるとする。任意のｚ_０∈Ｕに対し、ε>０が円盤上に以下のように存在するならば、ｆは正則と呼ばれる。

そうすればｆは、収束するべき級数として表わされることができる。

Ｕ⊂Ｃ及びＶ⊂ＣをＣの開集合とする。ｆが一対一であり正則であって、かつｆ^−１：Ｖ→Ｕも正則であるならば、写像ｆ：Ｕ→Ｖは両正則である。
Ｓを、以下の三つの条件を満たす族｛（Ｕ_ｊ，ｚ_ｊ）｝_ｊ∈Ｊを有する、接続されたハウスドルフ空間とする。
１．全てのＵ_ｊはＳの開部分集合であり、Ｓ＝∪_ｊ∈ＪＵ_ｊである。
２．全てのｚ_ｊは、複素平面内の開部分集合Ｄ_ｊへのＵ_ｊの同相写像である。
３．Ｕ_ｊ∩Ｕ_ｋ≠φならば、遷移推移写像

は両正則写像であり、また正則同相写像である。

このように、｛（Ｕ_ｊ，ｚ_ｊ）｝_ｊ∈Ｊは、Ｓ上の近傍座標の系であり、Ｓ上に１次元の複素構造を定義する。リーマン面の近傍座標（Ｕ，ｚ）は、一対のＳの開集合Ｕであり、かつ複素平面へのＵの同相写像ｚである。ＵはＳの近傍座標として参照され、同相写像ｚはローカル座標又はローカルパラメータとして参照される。

一般的に、ｆ（Ｕ）⊂ＶであるＳ上の全ての近傍座標（Ｕ，ｚ）及びＲの（Ｖ，ｗ）に対してｗ・ｆ・ｚ^−１が正則であれば、リーマン面Ｒ上へのＳの写像ｆは、正則写像であると言われる。両正則写像ｆ：Ｓ→Ｒは、Ｒ上へのＳの正則写像ｆが、正則逆写像ｆ^−１：Ｒ→Ｓを有することを意味する。

このように、二つのリーマン面ＳとＲの間に両正則写像が存在するならば、それらは両正則等価である。そのような写像が存在するならば、ＳとＲは同じリーマン面であると見なされ、ＳとＲは同じ等角構造を有する。一般的に、複素構造、両正則写像及び両正則等価は、それぞれ等角構造、等角写像及び等角等価とも呼ばれる。

表面Ｓが、

に等しいリーマン距離を有するとすると、この距離は、近傍の座標（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）上のｄｓ_２のローカル表現が

であるような、等角構造｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）｝を一意に決定するために用いられることができる。ここで、λ（ｚ_ｉ）は正の実関数である。

等角構造を計算するためには、Ｓ上の全ての正則微分形式が見いだされなければならない。Ｓがリーマン面であるとすれば、Ｓ上の正則微分形式ωは、以下の二つの条件を満たす｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ，ω_ｉ）｝の族により与えられる：
１．｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）｝が等角構造であるとすれば、ωは

であるローカル表現ω_ｉを有する。ここで、ｆ_ｉはＵ_ｉ上の正則関数である。
２．ｚ_ｉ＝φ_ｉｊ（ｚ_ｊ）がＵ_ｉ∩Ｕ_ｊ≠φの座標遷移であるならば、

である。このようにローカル表現は、

の連鎖法則を満たす。

Ｓ上の全ての正則微分の集合がΩ^１（Ｓ）として表わされ、ここでΩ^１（Ｓ）はＳのコホモロジー群に同形である群構造を有する。このように、Ω^１（Ｓ）を計算するために、Ｓのホモロジー群が計算されなければならない。

Ｓを距離ｇの２次元リーマン多様体、Ｎ⊂Ｒ^３をコンパクト２次元多様体とする。Ｃ^１の写像φ＝（φ_１，φ_２，φ_３）：Ｓ→Ｎ⊂Ｒ^３に対して、

をＳ、ｇ＝（ｇ_αβ），（ｇ^αβ）＝（ｇ_αβ）^−１上のローカル座標ｘ＝（ｘ^１，ｘ^２）のエネルギー密度とする。φのＣ^１偏差は、φ_０＝φである、パラメータ｜ε｜<ε_０に滑らかに依存する、Ｃ^１写像φ_ε：Ｓ→Ｎの族（φ_ε）である。全ての｜ε｜<ε_０について、Ｓ／ω上のφ_ε＝φであるコンパクト集合Ω⊂Ｓが存在するならば、φの偏差（φ_ε）はコンパクトに支持される。

Ｃ^１上の調和写像は、コンパクトに支持される偏差についてディリクレのエネルギーが安定である、写像φ：Ｓ→Ｎ⊂Ｒ^３であり、

で与えられる。ローカル座標では、

であり、ここで｜ｇ｜＝ｄｅｔ（ｇ_αβ）である。もしかつ唯一に

であるならば、写像ψは調和であり、ここでλはＳ上に大域的に定義された関数であり、ｎ・φはＮ上の画像点で正規である。属０の表面に対しては、調和写像は等角写像である。ＮがＲであるならば、ψは調和関数と呼ばれる。全ての等角写像は調和であるが、全ての調和写像が等角ではないことに留意されたい。

Ｓ上の全ての点に対して、

である開集合Ｄ⊂Ｓが存在すれば、Ｓ上の実の微分１−形式τは調和である。ここでｆはＳ上の調和関数であり、ｄは外微分演算子である。

全ての調和微分は、コホモロジー群Ｈ^１（Ｓ，Ｒ）に対し同形である特殊群Ｈを形成する。ホッジ理論によれば、各々のコホモロジー級数において一意の調和微分形式が存在する。

正則１−形式ωは、

であり、共に調和である、二つの実の微分１−形式τ及びγに分解される。正則１−形式をその表面上で積分することにより、表面は複素平面に等角写像されることができる。

全ての正則１−形式は、ホモロジー群Ｈ_１（Ｓ，Ｚ）に双対である群Ω^１（Ｓ）を形成する。属ｇの表面Ｓに対して、Ｈ_１（Ｓ，Ｚ）の２ｇの生成子が存在する。各々の把に対応して、

である二つの生成子γ_ｉ，γ_ｉ＋ｇが存在する。ここで、・は二つの閉曲線の代数的交差数を表わす。そこで｛γ_１，γ_２，...γ_２ｇ−１，γ_２ｇ｝は、カノニカルホモロジー基底と呼ばれる。もしＢ＝｛γ_１，γ_２，...γ_２ｇ−１，γ_２ｇ｝がＨ_１（Ｓ，Ｚ）の基底であるならば、双対正則１−形式基底はＢ^＊＝｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ−１，ω_２ｇ｝であり、

を満たす。

図２ａ〜ｄは２穴のトーラスのホモロジー基底を示し、図２ａでは４つの閉曲線からなる。図２ｂは、影を付した曲線がωの積分線である、ｅ_１に双対である調和１−形式ωを示す。図２ｃは、図２ｂに示される調和１−形式に直交である、共役調和１−形式ω^＊を示す。図２ｄは、正則１−形式

を示す。

等角等価に対する完全な不変量は、複素マトリックスにより与えられる。Ｂ＝｛γ，γ_２，...，γ_２ｇ｝がカノニカルホモロジー基底であり、Ｂ^＊＝｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ−１，ω_２ｇ｝がΩ^１（Ｓ）の基底であるとすると、マトリックスＰ＝（Ｐ_ｉｊ）はＳの周期マトリックスと呼ばれ、ここで

である。それぞれＰ_１とＰ_２で表される二つの表面の周期マトリックスの検査は、二つの表面の間の等角写像を計算する必要なしに、二つの表面が互いに等角等価であるかどうかを決定することができる。

一般的に表面は、三角メッシュにより表わされる。全ての単体の表面は、自然な内在する複素構造を有する。Ｋが単体的複体であり、写像ｆ：｜Ｋ｜→Ｒ^３が｜Ｋ｜をＲ^３にはめ込むとすると、Ｍ＝（Ｋ，ｆ）は三角メッシュと呼ばれ、ｎ＝０，１，２であるＫ^ｎはｎ−単体の集合である。σ^ｎは、ｎ−単体σ^ｎ＝｛ν_１，ν_２，...ν_ｎ｝を表わし、ここでν_ｉ∈Ｋ_０である。

鎖空間は単体の線形結合であり、

により与えられる。ｎ＝０，１，２であるＣ_ｎの要素は、ｎ−鎖と呼ばれる。同様に全ての面Σ_ｋｆ_ｋの和はＣ_２にあり、Ｍはまたこの２−鎖を表わすのに用いられる。

鎖空間の間の境界演算子∂_ｎ：Ｃ_ｎ→Ｃ_ｎ−１は、線形演算子である。σ∈Ｋ_ｎ，σ＝［ν_０，ν_１，...，ν_ｎ−１］ならば、

である。ここで、Ｃ_ｎのｎ−鎖に対しては、境界演算子は

として定義される。

∂１のヌル空間を表わすために、ｋｅｒ∂_１⊂Ｃ_１はＭ上の全ての閉ループを表わす。同様に、ｉｍｇ∂_２⊂Ｃ_１は、全ての表面パッチ境界を表わす、∂_２の画像空間を表わす。∂_１・∂_２＝０なので、ｉｍｇ∂_２⊂ｋｅｒ∂_１である。従って、Ｍのホモロジー群Ｈ_ｎ（Ｍ，Ｚ）は

として表わされる。

Ｈ_１（Ｍ，Ｚ）は、Ｍ上の任意の表面パッチの境界でもない、全ての閉ループを表わす。Ｍのトポロジーは、Ｈ_１（Ｍ，Ｚ）により決定される。

Ｍを属ｇの閉メッシュ、Ｂ＝｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝をそのホモロジー群の任意の基底とする。そうするとＢの交差マトリックスＣは、

により表わされる。ここで・は、交差点でのｅ_ｉ及びｅ_ｊの接線ベクトルの外積の方向が法線の方向と一致した場合には＋１、その他の場合には−１を計数する、交差点の数である。

共鎖空間は、鎖空間からＲへの同相写像の集合であり、

により与えられる。ここでＨｏｍ（Ｃ_ｎ，Ｒ）は、Ｃ_ｎのＲへの間の全ての同相写像の集合を表わす。Ｃ_ｎの要素は、ｎ−共鎖又はｎ−形式と呼ばれる。双対境界演算子は、δ_ｎ：Ｃ^ｎ→Ｃ^ｎ＋１として定義される。ω_ｎ∈Ｃ^ｎをｎ−形式、及びｃ_ｎ＋１∈Ｃ_ｎ＋１をｎ＋１鎖とすると、

であり、かつδ_１・δ_０＝０である。

コホモロジー群Ｈ^ｎ（Ｍ，Ｒ）は、

として定義される。ｋｅｒδ^１内の１−形式は閉１−形式と呼ばれ、ｉｍｇδ^０内の１−形式は完全１−形式と呼ばれる。二つの閉１−形式は、それらが完全な１−形式と異なる場合に、コホモロガスと呼ばれる。コホモロジー群Ｈ^１（Ｍ，Ｒ）は、ホモロジー群Ｈ_１（Ｍ，Ｚ）に同形である。

ｎ−鎖に沿ったｎ−形式の積分は、ｃ_ｎ∈Ｃ_ｎ、ω_ｎ∈Ｃ^ｎの場合

として定義される。境界演算子及び双対境界演算子は、ストークスの公式

により関連づけられる。

くさび積は、双一次演算子∧：Ｃ^１×Ｃ^１→Ｃ^０である。ｆ∈Ｋ_２をＭ上の面、∂_２ｆ＝ｅ_０＋ｅ_１＋ｅ_２，ω，τ∈Ｃ^１とすると、

となる。双一次演算子スターくさび積∧^＊：Ｃ^１×Ｃ^１→Ｃ^２が、同様に定義される。ｆ∈Ｋ_２、三つの辺の長さをｌ_０，ｌ_１，ｌ_２、ｆの面積をＡとすると、

となり、ここで

であり、二次形式Ｇは

の形式を有する。

閉１−形式の調和エネルギーωは、

により与えられ、ここで

であり、ｅが境界の辺、ｅ∈∂_２Ｍとすると、ｅは一つの面ｆ_０に貼り付けられｗ_ｅは

により与えられる。

閉１−形式は、それが調和エネルギーを最小化する場合には、即ち

として定義されるラプラシアン演算子がゼロに等しい場合には、調和１−形式と呼ばれる。従って、そのラプラシアンがゼロである場合に限り、閉１−形式は調和である。Ｍがホモロジー基底｛ｒ_１，ｒ_２，...，ｒ_２ｇ｝及び調和１−形式基底｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝を有する場合、もし

ならば、ホモロジー基底と調和１−形式基底は互いに双対であると呼ばれる。ここで−γ_ｉ・γ_ｊは、γ_ｉとγ_ｊの代数的交差数である。

Ｍをメッシュ、ＮをＲ^３内の滑らかな表面とする。区分的な線形写像ｕ：Ｍ→Ｎ⊂Ｒ^３は、Ｍの全ての頂点をＮに、

として写像する。ｕ＝（ｕ^１，ｕ^２，ｕ^３）の調和エネルギーは

として与えられ、ここでＥ（δｕ_α）は１−形式（δｕ_α）に対して定義される調和エネルギーである。ｕが調和エネルギーＥ（ｕ）を最小化するならば、ｕは調和写像であり、以下の条件

を満たす。ここで、ｎはＮ上の法線場である。

調和１−形式ωを与えられると、一意の共役調和１−形式ω^＊が存在する。正則１−形式は、

として定義される。全ての正則１−形式はＨ^１（Ｍ，Ｒ）に同形である、群Ω^１（Ｍ）を形成する。Ω^１（Ｍ）の基底は、調和１−形式群の基底から直接構成されることができる。｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝の基底を有する調和１−形式群を与えられると、Ω^１（Ｍ）の基底は

により与えられる。

Ｂ＝｛γ_１，γ_２，...γ_２ｇ−１，γ_２ｇ｝がＨ_１（Ｍ，Ｚ）の基底であり、Ｂ^＊＝｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ−１，ω_２ｇ｝がΩ^１（Ｍ）の双対基底であることを与えられると、Ｃ_{２ｇ×２ｇ}＝（ｃ_ｉｊ）のマトリックスとＳ_{２ｇ×２ｇ}＝（ｓ_ｉｊ）のマトリックスは、

として定義される。するとＭの周期マトリックスＲは

として定義される。ここでＲは、Ｒ^２＝−Ｉを満たす。マトリックス（Ｃ，Ｒ）は、Ｍの等角等価級数を決定する。特に、（Ｒ_１，Ｃ_１）及び（Ｒ_２，Ｃ_２）をそれぞれ有する任意の二つの表面Ｍ_１，Ｍ_２に対して

のような整数のマトリックスＮが存在する場合に限り、Ｍ_１とＭ_２は互いに等角等価である。

ｇ>０の属のメッシュの等角構造は、
１．Ｕ_ｉが単に接続され、かつＭの面により形成されている、
２．Ｍ⊂∩Ｕ_ｉである、
３．ｚ_ｉは区分的に線形で、δｚ_ｉ｜ｕ_ｉ＝ω｜ｕ_ｉのような正則１−形式ωが存在する、
ような｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）｝の族である。

属ゼロメッシュに対しては、正則１−形式は存在しない。この場合、属０の表面は単位球Ｓ^２の表面に等角写像され、Ｓ^２の等角構造はＭの等角構造を定義するために用い得る。従って不連続な調和写像ｕ：Ｍ→Ｓ^２は、Ｍの等角構造を定義する。全ての表面に対して、Ｍをｃ∈Ｃ_１に沿って切断することにより、トポロジー円盤Ｄ_Ｍが形成され、それを用いて特別な１−鎖を形成し得る。このｃに沿った切断は軌跡又は切断グラフとして参照され、Ｄ_ＭはＭの基本領域である。ｃの選択は一意ではなく、従ってどれもが基本領域ではない。

等角写像ｕ：Ｄ_Ｍ→Ｃは正則１−形式

を用いて検出されることができる。基底点ν_０∈Ｄ_Ｍが選択され、全ての頂点ν∈Ｄ_Ｍに対して、∂_１γ＝ν−ν_０であるような任意の経路γ∈Ｃ_１（Ｄ_Ｍ）が選択される。従って、

である。

以上に論じたように、全ての属０の表面は球に写像されることができ、従って全ての属０の表面は等角等価である。Ｓ^２からそれ自身への全ての等角写像は、６次元メビウス変換群を形成する。球を複素平面に写像するための立体射影を用いると、全てのメビウス変換は

の形式である。しかしながら属０の表面を球に写像するための等角写像を計算するためには、メビウス変換の形式を理由として、解を一意にするためにメビウス変換への特別な制約が必要である。

他の問題点は、写像の画像はＲ^３内ではなく、Ｓ^２上のものであることである。従って、写像が更新されると、画像はＲ^３内ではなく、Ｓ^２の接ベクトル空間内に移動されなければならない。

以上に述べたことを設定して、上記の等角構造を計算するために、いくつかのアルゴリズムが以下に提供される。コンピュータグラフィックス、コンピュータ視覚及び医学的画像構成分野の用途が示される。

以下のアルゴリズムでは、任意の属０の表面と球の間の等角写像である、アルゴリズム１が計算される。第一に、画像質量中心が計算されなければならず、それは

の形式である。不連続な場合に対しては、

の近似が用いられる。ここで、Ａ_{［ｕ，ｖ，ｗ］}は面［ｕ，ｖ，ｗ］の面積である。

さてアルゴリズム１は、属０のメッシュのＳ^２への等角写像を計算するために用いられることができる。

アルゴリズム１：属０のメッシュの等角パラメータ化
入力：閉属０メッシュＭ
出力：大域等角写像φ：Ｍ→Ｓ^２
１．ＭをＳ^２に写像する、ガウス写像を計算する。
２．Ｍの各々の頂点ｕでの、ラプラシアンΔφ（ｕ）を計算する。
３．Δφ（ｕ）を、φ（ｕ）∈Ｓ^２の接ベクトル空間へ射影する。
４．負に射影されたΔφ（ｕ）に沿って、φ（ｕ）を更新する。
５．Δφ（ｕ）の質量中心ｍｃ（φ）を計算し、質量中心をＳ^２の中心にシフトして、Ｓ^２上になるようにφ（ｕ）を再正規化する。
６．全ての頂点に対して、射影されたラプラシアンがゼロになるまで、ステップ２〜５を繰り返す。

図３，４，５は、三つの異なる属０の表面に対する、球等角写像を示す。特に、図３はＳ^２に等角写像されたガーゴイルモデルを示し、図４はＳ^２に等角写像された脳のモデルを示し、図５はＳ^２に等角写像されたウサギのモデルを示す。

二つのトポロジー円盤の間の等角写像の計算に関して、全てのそのような写像は、先に議論されたメビウス群の下位群である、３次元群を形成し、

により表わされる。トポロジー円盤と単位円盤の間の等角写像を計算するために、二重化と呼ばれる技術を用いる。

二重化は、境界を有する表面を閉対称表面に変換する。境界∂Ｍを有する表面Ｍが与えられると、

がＭを二度被覆する、対称閉表面

が構築される。即ち、面

を面ｆ∈Ｍに等距離的に写像する、等距離射影π：

→Ｍが存在する。各々の面ｆ∈Ｍに対して、

内に二つの前画像が存在する。アルゴリズム２は、一般的なメッシュＭの二重化を計算する。

アルゴリズム２．開メッシュの二重化の計算
入力：境界を有するメッシュ
出力：Ｍの二重化

１．−Ｍとして表示される、Ｍのコピーの作成
２．−Ｍの配向の逆転
３．任意の境界頂点ｕ∈∂Ｍに対して、一意に対応する境界頂点−ｕ∈∂−Ｍが存在し、任意の辺ｅ∈∂Ｍに対して、一意の境界辺−ｅ∈∂−Ｍが存在する。全ての対応する頂点と辺を見つける。
４．対応する頂点と辺が同じになるように、Ｍと−Ｍを貼り付ける。結果のメッシュは、二重化

である。

アルゴリズム２で記述した二重化技術を用いて、トポロジー円盤のＳ^２への等角写像を直接計算することができる。二重化表面は対称的なのでＭ及び−Ｍは別の半球に写像され、立体射影πを用いて球の半球は単位円盤に写像されることができる。この方法により、トポロジー円盤と単位円盤Ｄ^２の間を写像する、等角写像が計算される。式（５２）のメビウス変換を適用することにより、全ての可能な等角写像が計算される。

アルゴリズム３．トポロジー円盤からＤ^２への大域等角写像の計算
入力：トポロジー円盤Ｍ
出力：Ｍから単位円盤Ｄ^２への大域等角写像φ
１．Ｍの二重化

を計算する。
２．対称性を保存する、大域等角写像

を計算する。
３．φ（∂Ｍ）が赤道となるように、

を回転する。
４．上部の半球を単位円盤に写像するために、立体射影πを使用する。
５．π・φを出力する。

属０でない表面に対しては、これらの表面に対する大域等角パラメータ化の計算において、表面のトポロジーにより決定される、正則１−形式群Ω^１（Ｍ）は重要である。この群を計算するために、ホモロジー基底が最初に計算され、双対調和１−形式基底が次に計算され、それから調和１−形式が基底正則１−形式に変換される。

ホモロジー及び調和１−形式を計算するために、代数アルゴリズムが導入される。メッシュＭが与えられると、対応するホモロジー基底が代数トポロジー法を用いて計算される。σ_ｉ ^ｎ∈Ｋ_ｎ及びσ_ｋ ^ｎ−１∈Ｋ_ｎ−１とし、次に

と定義すると、ｎ次元境界マトリックスが

として定義される。ホモロジー基底は、

の演算子のゼロ固有値に対応する、固有ベクトルから形成される。

アルゴリズム４．メッシュＭに対するホモロジー基底の計算
入力：メッシュＭ
出力：ホモロジー基底｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝
１．∂_１，∂_２に対し、境界マトリックスを計算する。
２．マトリックス［式（５５）］の、スミス標準形を計算する。
３．｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝を形成するために、ゼロ固有値に対応するＤの固有ベクトルを見いだす。

全ての調和１−形式は、ホモロジー群Ｈ_１（Ｍ，Ｚ）の双対である、コホモロジー群を形成する。調和１−形式は、閉でありかつ同時に調和である。ホッジ理論によれば全ての調和１−形式は、ホモロジー群の双対空間である、線形空間を形成する。また各々のコホモロジー級数は、一意の調和１−形式を有する。

アルゴリズム５．調和１−形式基底の集合の計算
入力：Ｍのホモロジー基底｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝
出力：調和１−形式基底｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝
１．ｃ_ｉ ^ｊ＝−γ_ｉ・γ_ｊ，ｉ、ｊ＝１，２，...，２ｇの値を設定する。
２．ω_ｉに対する以下の線形システムを解く。
δω_ｉ＝０
Δω_ｉ＝０
<ω_ｉ，γ_ｊ>＝−γ_ｉ・γ_ｊ
３．｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝を出力する。
上記に用いた代数的アプローチの代案として、ホモロジー、コホモロジー及び調和１−形式が以下の組合せアルゴリズムを用いて計算されてもよい。

アルゴリズム６．メッシュＭの基本領域の計算
入力：メッシュＭ
出力：Ｍの基本領域Ｄ_Ｍ
１．任意の面ｆ_０∈Ｍを選択し、Ｄ_Ｍ＝ｆ_０，∂Ｄ_Ｍ＝∂ｆ_０として、ｆ_０と辺を共有するｆ_０の全ての隣接面を待ち行列Ｑに入れる。
２．Ｑが空でないとして
ａ．Ｑの最初の面ｆを取り、∂ｆ＝ｅ_０＋ｅ_１＋ｅ_２とする。
ｂ．Ｄ_Ｍ＝Ｄ_Ｍ∪ｆ
ｃ．−ｅ_ｉ∈∂Ｄ_Ｍである、最初のｅ_ｉ∈∂ｆを見つけ、順序を守って∂Ｄ_Ｍ内の−ｅ_ｉを｛ｅ_ｉ＋１，ｅ_ｉ＋２｝で置換する。
ｄ．Ｄ_Ｍ又はＱでない、ｆと辺を共有する全ての隣接面をＱに入れる。
３．互いに対向する∂Ｄ_Ｍ内の全ての隣接対向辺を除く、即ち∂Ｄ_Ｍから全ての対｛ｅ_ｋ，−ｅ_ｋ｝を除く。

結果の基本領域Ｄ_Ｍは、それらの挿入順に従って区分けされたＭの全ての面を含む。配向しない辺とＤ_Ｍの最終的な境界頂点は、カットグラフと呼ばれる、グラフＧを形成する。
カットグラフに対してアルゴリズム７が、同様にＭのホモロジー基底である、対応するホモロジー生成子を計算する。

アルゴリズム７．Ｍのホモロジー基底の計算
入力：メッシュＭ
出力：ホモロジー基底｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝
１．Ｍの基本領域Ｄ_Ｍを計算し、対応するカットグラフＧを決定する。
２．Ｇをスパンする樹形曲線Ｔを、Ｇ／Ｔ＝｛ｅ_１，ｅ_２，...，ｅ_２ｇ｝として計算する。
３．根頂点ｒ∈Ｔを選択し、深さ優先でＴを検討する。
４．∂ｅ_ｉ＝ｔ_ｉ−ｓ_ｉとすると、［ｒ，ｔ_ｉ］、［ｒ，ｓ_ｉ］で表わされる、根ｒからｔ_ｉ，ｓ_ｉへの経路が存在し、それらをループγ_ｉ＝［ｒ，ｔ_ｉ］−［ｒ，ｓ_ｉ］に接続する。
５．Ｈ_１（Ｇ，Ｚ）、Ｈ_１（Ｍ，Ｚ）の基底として、｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝を出力する。

Ｍのコホモロジー群Ｈ^１（Ｍ，Ｚ）に対する基底を明示的に計算するために、閉１−形式｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝の集合が

であるように見つけられる。ここで、

はクロネッカーのデルタであり、γ_Ｉはホモロジー基底である。

アルゴリズム８．Ｍのコホモロジー基底の計算
入力：メッシュＭ
出力：コホモロジー基底｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝
１．メッシュＭの基本領域Ｄ_Ｍ及びカットグラフＧを計算し、スパンする樹形曲線Ｔ、Ｇ／Ｔ＝｛ｅ_１，ｅ_２，...，ｅ_２ｇ｝を計算する。
２．任意の辺ｅ∈Ｔに対し、ω_ｉ（ｅ_ｉ）＝１，ω_ｉ（ｅ）＝０とする。
３．Ｄ_Ｍが、Ｄ_Ｍ＝｛ｆ_１，ｆ_２，...,ｆ_n｝の方法で順序付けられているとして、Ｄ_Ｍの順序を｛ｆ_ｎ，ｆ_ｎ−１，...，ｆ_１｝に逆転する。
４．Ｄ_Ｍが空でないとして
ａ．Ｄ_Ｍの最初の面ｆを取り、Ｄ_Ｍ，∂ｆ＝ｅ_０＋ｅ_１＋ｅ_２を除く。
ｂ．｛ｅ_ｋ｝を、

、

の二つの集合に分割する。
ｃ．

である、ω_ｉ（ｅ_ｋ），ｅ_ｋ∈Πの値を任意に選択し、Πが空であれば右側はゼロに等しい。
ｄ．Ｄ_Ｍの境界を、∂Ｄ_Ｍ＝∂Ｄ_Ｍ＋∂ｆのように更新する。
コホモロジー基底｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝が一度計算されると、ホモロジー基底の双対｛γ_１，γ_２，...，γ_２ｇ｝は線形変換｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝により、

のように見つけられることができる。

アルゴリズム９．閉１−形式を調和１−形式に拡散する。
入力：閉１−形式ωであるメッシュＭ
出力：ωにコホモロガスな調和１−形式
１．Δ（ω＋δｆ）≡０である、ｆ∈ｃ^０（Ｍ）を選択する。
２．上記の希薄線形システムをｆについて解く。
３．ω＋δｆを出力する。

ここで、

である。
調和１−形式｛ω_１，ω_２，...，ω_２ｇ｝が与えられると、共役調和１−形式ω^＊線形システムを

を解くことにより見つけることができる。
基本領域が一度計算されると、正則１−形式ωの積分により等角写像が直接計算されることができる。最初に、根頂点ｖ_０∈Ｄ_Ｍを選択し、次にＤ_Ｍを逆転するために、深さ優先探索法を用いる。各々の頂点ｕ∈Ｄ_Ｍは、ｖ_０からｕへの一意の経路γを有し、φ（ｕ）＝<ω，γ>を定義する。

アルゴリズム１０．メッシュＭの大域等角パラメータ化
入力：メッシュＭ、正則１−形式ω。
出力：写像φ：Ｄ_Ｍ→Ｃ、又は大域等角パラメータ化。
１．Ｍの基本領域Ｄ_Ｍを計算する。
２．頂点ｕ∈Ｄ_Ｍを逆転するため、深さ優先探索法を用い、γ_ｕと表示される根頂点ｖ_０からｕまでの経路を記録する。
３．積分φ（ｕ）＝<ω，γ_ｕ>を計算する。
４．ｕの等角座標として、φ（ｕ）を出力する。

アルゴリズム１１．メッシュＭの等角構造
入力：メッシュＭ。
出力：Ｍ｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）｝の等角構造
１．正則１−形式基底

を計算する。
２．Ｍ⊂Ｕ_ｉである分割｛Ｕ_ｉ｝を計算する。ここで、Ｕ_ｉは単に接続されている。
３．各々のＵ_ｉに対し、正則基底

を選択し、ｚ_ｉとして写像を表示する、Ｕ_ｉ上の正則１−形式を積分する。ゼロ点がある場合、Ｕ_ｉを再分割し、ステップ３を繰り返す。
４．｛（Ｕ_ｉ，ｚ_ｉ）｝を出力する。

基本領域上の正則１−形式の積分により得られる大域等角パラメータ化は、メッシュのカノニカル分解、メッシュのテンソル積スプライン表面への変換、表面マッチング及び認識及びその他の有用な画像処理用途に用いることができる。

ポアンカレ−ホップ理論によれば、Ｍがトーラスに同相でなければ、正則１−形式ωはゼロ点を持たねばならない。ωのゼロ点は、等角因子がそこではゼロである点である。属ｇの表面は、２ｇ−２のゼロ点を有する。等角写像は各々の点の近傍を２度覆い、二重化は複素平面上のｐの画像の近傍を被覆する。

への写像φ：Ｃ→Ｃは、局所的に近傍に於いて同様である。図６ａ及び６ｂは、それぞれ開ティーポットモデル及び複素平面に対する、大域等角パラメータ化のゼロ点を示す。

調和１−形式ωを、表面Ｍから単位円Ｓ^１への写像として扱うことができる。従って正則１−形式に対しては、実部の調和１−形式は値が循環する写像である。虚部の調和１−形式は、勾配場である。ゼロ点を通る積分曲線は、その表面を正則パッチに再分割する。特に、メッシュＭ及び正則１−形式

に対し、τ又はτ^＊に沿った、又はゼロ点を通る、積分曲線はその表面をトポロジー円盤又はシリンダーに分割する。

Ｍを、Ｃに等角写像されるトポロジートーラスＭであるとする。正則１−形式ωをその普遍被覆空間上で積分することにより、周期的等角写像が結果となる。基底点ｕ_０の選択により、基底点の画像集合は、

である。この写像は、周期的又はモジュラである。全トーラスは１周期に写像され、それはＭの周期と呼ばれるスパンが<γ_１，ω>、<γ_２，ω>である平行四辺形である。Ｍの属ｇが１より大きい場合、異なるハンドルは異なる周期を有する。全表面は、ｇ重に重なるモジュラ平行四辺形に写像される。平行四辺形は、ゼロ点の画像を通して、互いに張り付きかつ交わっている。

図７ａ〜ｄは、この現象を示す。図７ａ及び７ｂでは、２穴のトーラスは二つのハンドルに分離され、各々のハンドルがモジュラ空間に等角写像される。図７ｃ及び７ｄは、属３のトーラスとモジュラ空間への等角写像を示す。

ここで記述した方法を一般化するために、境界を有するメッシュが考察される。境界を有するメッシュＭが与えられると、Ｍの二重化

が計算される。各々の内頂点ｕ∈Ｍに対し、

内のｕの二つのコピーが存在し、それらはｕ_１及びｕ_２と表わされる。ｕ_１及びｕ_２は、

のように、互いに双対である。各々の境界頂点ｕ∈∂Ｍに対し、

内に唯一のコピーが存在するので、ｕはそれ自身と双対である。

Ｍ上の調和１−形式を計算するために、全ての

の対称調和１−形式は同時にＭ上の調和１−形式であることが知られている。各々の調和１−形式ωに対し双対演算子を、

のように定義する。任意のωが、

のように、対称部分と非対称部分に分解されることができる。ここで、

は対称部分、

は非対称部分である。

アルゴリズム１２．境界を有するメッシュに対する、正則１−形式基底の集合の計算
入力：境界を有するメッシュＭ。
出力：

の形式のメッシュＭに対する正則１−形式基底。
１．Ｍの二重化

を計算する。
２．

の正則１−形式基底を計算する。
３．

を割り当て、余分のものを除く。
４．τ_ｉ ^＊と表わされる、τ_ｉの共役調和１−形式を計算する。
５．正則基底

を出力する。

図８ａ及び８ｃは、トポロジー等価である即ち二つの属１表面であるにもかかわらず二つの表面が等角等価ではない、二つの属０表面を示す。各々のトーラスは開かれて、図８ｂ及び８ｄにそれぞれ示されるような、平面平行四辺形に等角写像される。それぞれの平行四辺形の形状は、等角等価級数を表わす。等角等価級数は、これら二つの場合は直角である平行四辺形の鋭角の角度、及び等角不変量を表わすための隣接する二つの辺の間の長さの比、又はこれら二つの属１表面の形状因子により、決定される。図８ｂ及び８ｄに示すように、二つのトーラスは異なる形状因子を有しており、等角等価ではない。

以下の表１は、図９ａ〜９ｄに示された属１表面の等角不変量を含む。図９ａ〜９ｄに示されたどの表面も、等角等価でないことが明らかである。

アルゴリズム１３．Ｍ_１及びＭ_２が等角等価であるかどうかの検証
入力：二つのメッシュＭ_１及びＭ_２
出力：Ｍ_１及びＭ_２の等角等価又はそうでないことの指数
１．Ｍ_１及びＭ_２それぞれに対応する、周期マトリックス（Ｒ_１，Ｃ_１）及び（Ｒ_２，Ｃ_２）を計算する。
２．Ｒ_１＝Ｐ_１Γ_１Ｐ_１ ^−１及びＲ_１＝Ｐ_２Γ_２Ｐ_２ ^−１の、ジョルダン正規形式を計算する。
３．Γ_１≠Γ_２ならば、偽を返す。
４．Ｎ＝Ｐ_１Ｐ_２ ^−１として、Ｎが転置可能整数マトリックスかつＮＣ_１Ｎ^ｔ＝Ｃ_２ならば真を返し、それ以外は偽を返す。

等角因子λ（ｕ，ｖ）は、表面Ｓの第一基本形式を表わす。λが一定であれば、その表面のガウスの曲率はゼロである。その表面を選択的に切断して新しい境界が導入されると、等角構造は変更されることができる。実際には、パラメータ化の均一性を改善することは有用で、一般的に高いガウスの曲率を有する表面の領域に、これらの切断が行われる。図１０ａ〜ｄは、均一性の改善を示す。図１０ａに示された球のパラメータ化では、耳の部分がより高度にサンプリングされている。耳部へのトポロジー切断の導入により、パラメータ化はより均一になる。

一般的に計算の安定性は、三角化の品質に大きく依存する。三角化の全ての角度が鋭角である場合、計算アルゴリズムは安定でかつ収束することが保証される。図１５は、表面モデルの複雑性のレベルが異なる、二つのティーポットモデルの大域パラメータ化を示す。図１５ａ〜ｂに見られるように、より複雑な元のティーポットに対し、大域パラメータ化は全ての角度が鋭角、特に直角である結果を示す。図１５ｃ〜ｄは、全ての角度が鋭角、特に直角である、簡便化したティーポットモデルの大域等角パラメータ化を示す。どちらの場合も、モデルの複雑性に関わりなく、計算アルゴリズムは収束して安定である。以下のアルゴリズムは、全て鋭角を有する三角化を近似する。

アルゴリズム１４．全てが鋭角を有する表面の三角化
入力：メッシュＭ
出力：全てが鋭角を有するＭの再メッシュ
１．ループ再分割法を用いて、メッシュを再分割する。
２．最少の辺の長さの基準を用いた、辺崩壊を用いてメッシュを単純化する。
３．Ｍ上の全ての角度が鋭角になるまで、ステップ１及び２を繰り返す。
４．再メッシュされたＭを出力する。

等角パラメータ及び平均曲線マッチングに基づく表面マッチング

ある表面が、人間の表現や皮膚変形のように、それほど延長することなく他に変形されることができるならば、その変形は大域等角写像により正確に近似されることができる。等角パラメータ化は、表面の第一の基本的な形状に依存し、特にリーマン距離テンソルがそれほど変化しない限り等角構造はリーマン距離連続性に依存するので、等角構造は同様である。従って、二つの表面をカノニカルパラメータ領域に写像し、パラメータ領域内にその表面をマッチングすることは、３−Ｄマッチング問題がより効率的に解決できるようにする。

等角因子λ（ｕ，ｖ）及び法線ｎ（ｕ，ｖ）をパラメータ領域に記憶することにより、元の表面はＲ^３内の回転と並進まで一意に再構築することができる。λ（ｕ，ｖ）は第一の基本的形状を定義し、ｎ（ｕ，ｖ）は第三の基本的形状及びそのため第二の基本的形状も定義するので、即ちＲ^３内のはめ込みが計算できる。従って表面はユークリッド変換まで、一意に再構築されることができる。

より効率的は方法は、等角パラメータ領域上の平均曲率を用いることである。境界のない任意の閉表面に対し、等角因子λ（ｕ，ｖ）及び平均曲率Ｈにより、表面は一意に決定される。境界のある任意の開表面に対し、等角因子λ（ｕ，ｖ）、平均曲率Ｈ及び境界での第二の基本的形状により、表面は一意に決定される。

ガウスの曲率と平均曲率に基づいて表面をマッチングするために、マッチングされる表面はカノニカルパラメータ領域にはめ込まれる。例えば、人の顔が単位円盤に写像されることができる。ガウスの曲率と平均曲率は、等角パラメータ化を用いて計算される。ガウスの曲率と平均曲率のレベル集合は、パラメータ領域上の平面曲線の族である。これらの曲線のレベル集合は、表面をマッチングするのに用いられる。

特別な特徴を含む表面をマッチングするために、特徴点が最初に取り除かれて表面の二重化が計算される。次に、第一の表面の特徴が第二の表面の対応する特徴に適合することを保証するために、写像のホモトピー型式が制約される。以上に記述したようにマッチングを実行するために、等角構造が次に計算される。例えば、人の顔をマッチングするために、目、鼻の尖端及び口のような特徴は、等角構造の計算に先立って取り除かれる。

表面分類
効率的なデータベース化とサーチができるように表面を分類するために、各々の表面に対する周期マトリックスの形式の等角構造が計算されて記憶される。図１１ａ〜ｄは、種々の属２の表面を示す。以下に見られるように、周期マトリックスＲが等価でないので、図１１ａ〜ｄに示されるどの表面も等角等価ではない。

図１１ａの２穴のトーラスは、８６１の頂点と１５３６の面を含み、

である周期マトリックスＲを有する。図１１ｂに示される花瓶モデルは、１５８２の頂点と２９５６の面を有し、

である周期マトリックスＲを有する。図１１ｃに示される花モデルは、５１１２の頂点と１００００の面を有し、

である周期マトリックスＲを有する。図１１ｄに示される結び目を有するビンは１５０００の頂点と３００００の面を有し、

である周期マトリックスＲを有する。

表面認識
互いに直接マッチングされることなく、表面が認識できることが望ましい。カノニカル方法で表面の等角構造を変形し、各々の変形に対して周期マトリックスを計算することは、表面の本来的な幾何的特性を示す、周期マトリックスのシーケンスを提供する。

例えば人の顔を認識するために、左目の中心、右目の中心、鼻の先端及び口の中心のような、特徴点は取り除かれる。顔表面への各々の変形に対し、表面の二重化と周期マトリックスが計算される。周期マトリックスのシーケンスの比較により、顔のような幾何学表面を認識することができる。

代案として、全ての主要な特徴点が除かれ、他の点が選択されてその表面内を移動し、その選択された点の各々の移動に対し、二重化の周期マトリックスが計算される。例えば、人の顔を認識するために、目の中心、鼻の先端、口の中心の点が除かれ、顔の上の他の点が予め定めた軌道に沿って移動される。各々のステップごとに、現在位置の点が除かれて、周期マトリックスが計算される。周期マトリックスのシーケンスが、予め定められた軌道に沿った各々の点毎に一度計算される。表面を認識するために用いられるものは、これらの周期マトリックスである。

調和スペクトル解析
代案として、以上に記述したラプラシアン演算子は、無限の固有値と固有関数を有する。全ての固有値のスペクトルは、その表面の本来の幾何学の殆どを反映する。加えて固有関数は、その表面を再構築するために用いられうる。その表面の象徴としての、表面のスペクトルのみを用いて、表面が再構築されることができる。例えば医学の分野では、内蔵の形状のスペクトルの解析により、病気が検出されることがある。
ラプラシアンマトリックスの固有値と固有ベクトルを見いだすことにより、三角メッシュで表現される表面に対して、所望の固有値と固有関数が計算されることができる。

調和固有関数を用いた表面データの圧縮
属０の表面は単位球に等角写像され、その表面の位置ベクトルはその球上で定義される、値がベクトルの関数として表示される。その球上のラプラシアン演算子の固有関数は、球の関数空間に対する基底を形成する、球面調和関数である。次に、位置ベクトルが関数基底に関して分解され、スペクトルが得られる。高周波成分をフィルタする事により、表面データが圧縮される。以上に記述したメビウス変換を用いることで、ある領域がさらなる検査のために、「拡大」されることができる。一般的な表面に対しては、その等角等価級数内のカノニカル形状にその表面を等角写像し、ラプラシアン演算子の固有関数を用いて表面位置ベクトルを分解することは、所望の関数基底から高周波成分を記憶前に取り除けるようにする。

代案として、等角因子と等角座標上で定義された平均曲率を、ユークリッド変換に対しその表面を一意に決定するために用いることができる。この方法では、その平面で定義された二つの関数、即ち等角因子と平均曲率が、その表面を表わすために用いられる。このようにして、記憶容量を３分の１節約することが実現される。以上に記述した固有関数の技術、又は他の既知の圧縮技術を用いることにより、さらなる圧縮が得られる。

再メッシュ化とハードウェアの設計
等角構造を用いることにより、表面がパラメータ領域に等角写像された後に、その表面を再メッシュ化することができる。この方法では、非正則な接続性を正則な三角化に変更することができる。理論的には、再構築された法線は正確である。これは幾何学データの表現を単純化し、かつグラフィック用のハードウェアの構成を単純化する。現在のところ、一般的なグラフィック用のハードウェアについては、接続性の情報を記憶するためのメモリバッファが存在する。この接続性の情報を指定するために必要な、ＣＰＵとグラフィックカードの間の交信は、極度に時間を要する。グラフィックカードのメモリ内に記憶されたデータの接続性が正則であり、かつグラフィックカードがそれ自身でそのことを予測できれば、接続性の情報に対しての余分なメモリは必要でなくなる。このようにして、プロセッサとグラフィックカードの間に必要な交信のレベルを、削減することができる。グラフィックカードの構成に関して、現在のところ幾何学を処理するパイプラインと、表面テクスチャを処理するパイプラインとは分離されている。正則な接続性を用いて、幾何学はテクスチャのように表現されることができ、従ってこれら二つの分離されたパイプラインは統合されることができる。このようにして、グラフィックカードの構成の複雑さを削減することができる。

また再メッシュ化により、幾何学画像は構築され、画像フォーマットが表面幾何学を表現するために用いられることができる。このようにして、とりわけ圧縮、多重解像度及びフィルタ化のような、幾何学に作用する多くの画像処理技術が用いられうる。

図１２ａは、元々のメッシュの非正則な接続性を有する、ウサギのモデルを示す。等角構造を用いて、図１２ｂに示されるように再メッシュ化された後は、接続性は非常に正則で、再構築された法線は非常に正確である。等角幾何学画像は図１２ｃに示され、再構築された形状は図１２ｄに示されている。

パラメータ表面とメッシュ変換
ＣＡＧＤの分野では、Ｂスプライン面及びベジェ面のような、パラメータ表面がしばしば用いられる。製造業では、これらの種類のパラメータ表面を使用している制御器が、しばしば処理機器を指導している。しかしながら、幾何学データはしばしば三角メッシュとして表現されている。現在の幾何学データ取得デバイスは、濃密な点雲として幾何学データを出力する。これらのスキャンされる点雲をメッシュに変換することはより容易であり、従ってパラメータ表面をメッシュから変換したりメッシュ化したりすることは重要である。現在のところ、メッシュをスプライン表面に変換する、自動的な方法はない。

以下に記述する、等角幾何学技術を用いることにより、この問題を解決することができる。以上に議論したように、表面の大域等角パラメータ化が計算され、ゼロ点を通る勾配場に沿った積分線を用いて、表面がカノニカルパッチに分解される。各々のカノニカルパッチは平面上の矩形に写像され、その上にテンソル積スプライン表面が構築される。境界上の制御点をマッチングすることにより、結果としてのパラメータ化を大域的に滑らかにすることができる。そのため、任意の所望の連続性でメッシュをパラメータ表面に変換することは、便利である。さらに、この構築は、法線情報を正確に保存する。

表面の数値計算
等角構造は、表面の共変微分を計算するためのよいパラメータ化である。共変微分は表面幾何学に対し固有なので、ユークリッド表面へのはめ込みは、適切でない。等角構造解析は、変質しうる表面の自然な物理的プロセスを計算するための能力がある。

等角座標の使用により、微分演算子は極めて単純なフォーマットを有する。一例として、ラプラシアン演算子は、

である。

この技術は、ナビエ−ストークス方程式やマクスウェル方程式のような、表面偏微分方程式のより容易な解法を可能にする。以上に記述した等角構造を用いて、表面のガウスの曲率が容易に決定される。

医学用画像化
上記の等角構造は、脳地図化、脳登録、心臓表面マッチング、血管表面解析のような、医学用画像分野にも適用することができる。例えば、単位球に脳表面を写像することにより、二つの脳を比較して表面をマッチングするために便利である。脳の上の幾何学構造を解析する事により、経年による脳の変化を見つけ、潜在的な病気を見つけることがより容易になる。

脳表面から球への等角写像は、三角化と解像度には独立である。等角写像は、二つの脳表面を比較して登録するための、よいカノニカル空間を提供する。脳表面は非常に複雑なので、他の方法で頂点の流れの展開を追跡することは極めて困難である。以下に記述する方法は、正確な角度情報を維持したまま、複雑な表面構造を取り扱う。脳は典型的な属０の表面なので、上記のアルゴリズム１が単位球に脳表面を写像するために使用されて良い。図１４は、脳写像の例を示す。

アニメーション
等角幾何学は、コンピュータグラフィックスアニメーションにも同様に適用されることができる。現在のデータ取得技術を用いて、俳優の３Ｄ形状が異なるジェスチュア及び表現でスキャンされることができる。以上に記述した等角解析技術を用いて、これらのキィとなるジェスチュアと表現が互いに他に写像されることができる。スプライン補間技術を用いることにより、ジェスチュアと表現の間の滑らかな遷移がそれらの間に生成されることができる。こうして、現状の方法を用いてアニメ化することが極めて困難な、柔らかい形状と変形しうるモデルを含む、任意の形状をアニメ化することができる。

二つの同様な形状を、与えられたと仮定する。第一に特徴点が見つけられ、次いで取り除かれる。表面の二重化が計算され、写像のホモトピー型が決定される。各々の表面上に、二つの表面のコホモロジー型が写像のホモトピー型により決定されるように、正則１−形式が選択される。ゼロ点が見つけられ、ゼロ点を通る勾配線を用いて表面がパッチに分解される。各々のパッチは、パラメータ領域の矩形に等角写像される。次に表面の間の写像を得るために、平面上のこれらのパッチはマッチングされる。

キィ形状の間の写像が一度知られると、キィ形状上の点が制御点として用いるために選択される。キィ形状の間の滑らかな遷移を生成するために、Ｂスプラインが用いられる。これは図１５に示され、ここでは女性の人の顔が等角構造を用いて、男性の人の顔にモーフィングされている。この方法で、任意の形状をアニメ化することができる。これは、俳優にとって特に有用である。顔の表現、ジェスチュア及び異なる年齢の俳優の皮膚の変化を、データベースに記憶することができる。これらの記憶された幾何学データは、仮想的な俳優を形成するためにアニメ化することができる。

歪みのないテクスチャマッピング
表面のテクスチャマッピングは、コンピュータゲーム産業及び映画産業の双方において、極めて重要である。表面の描画速度は、因子の中でも特に、表示される幾何学モデルの複雑さにより決定される。コンピュータゲームのようなリアルタイムのアプリケーションに対しては、単純なモデルが一般的に望ましい。画像の知覚的品質を改善するために、テクスチャマッピングと呼ばれる処理を用いて、幾何学表面に画像が貼り付けられる。

曲面に対しては、テクスチャマッピングは表示される画像に歪みをいくらか持ち込む。テクスチャの導入についての最も興味深い仕事は、平面のテクスチャと曲面のテクスチャの間の歪みを避けることである。産業界では、幾何学モデル作成者とテクスチャデザイナーは、一般的に異なる専門性を有する異なる専門職である。テクスチャマッピングは幾何学とテクスチャの双方を変更する必要があるので、これら二つの異なる技能の集合の間の調整は、一般的に困難かつ時間を要するものである。

以上に議論したように、等角パラメータ化は局所的な歪みを有さない。上記の技術を用いて、幾何学モデル作成者とテクスチャデザイナーは、以前よりも効率的かつ容易に彼らの技能を統合することができる。

ディリクレ法を用いたテクスチャ合成
テクスチャ合成は、与えられた表面をカバーするテクスチャを、小さいテクスチャ見本から生成することを目的とする。グラフィックデザイン、映画産業及びコンピュータゲーム産業において、これは重要な考察である。

等角パラメータ化を用いて、幾何学表面上のテクスチャ合成の困難な問題を、平面上のテクスチャ合成のより簡単な問題に変換することができる。等角因子解析と上記の技術を用いて、表面上に表示されるテクスチャの延伸を制御することができ、表面上のテクスチャの幾何学特性を正確に予測することができる。

合成されたテクスチャを大域的に滑らかにするために、テクスチャパッチの境界を拡散するディリクレ法を用いる。これは、テクスチャをより自然かつ滑らかにする。第一に、パラメータ平面上の制御された延伸効果を有する、バラバラにされたテクスチャパッチが決定される。これらのパッチは、それらのそれぞれの境界が重ならないで出会うまで、成長する。これらのパッチの境界は固定され、表面上のカバーされない領域でディリクレ問題が解かれる。各々の色チャンネルが関数として扱われ、上記の技術が、表面上の大域で滑らかなテクスチャを提供する解を提供する。

容積計量調和写像
３Ｄ多様体、Ｍを与えられると、写像ｆ：Ｍ→Ｒ^３は調和エネルギーを最小化することが望まれる。この方法で、元の３Ｄ多様体の容積測定写像をカノニカル空間で研究することができる。ｆ：Ｍ→Ｒ^３の調和エネルギーは、

として定義される。離散系に対して調和エネルギーは、

として定義され、ここでｋ_ｕｖ＝１／４８Σ_θｃｏｔ（θ）であり、θは与えられた辺の反対の上反角であり、ｌは辺の長さである。

調和写像を得るために、次に共役勾配法が調和エネルギーを最少にするために用いられる。容積計量調和写像は、属０の３Ｄオブジェクトを球に写像するために見いだされることができる。球上のカノニカル円に対しては、属０オブジェクト上の閉単一曲線が見出されることができる。その曲線上のプラトー問題を、等角変形距離に対して解くことができる。この方法で、ある表面に包含される容積のカノニカル表現を得ることができる。

調和写像はまた、手術のシミュレーションと計画において有用なツールである。関心のある体の領域の一つ又はそれ以上のＭＲＩ画像から、内科医は３Ｄ脳容積計量モデルを構築することができる。これらのＭＲＩ画像は、３Ｄの球に写像することができる。内科医は関心のある体の領域の３Ｄ地図を作ることができ、新しい患者の関心のある体の領域の３Ｄ容積計量データを、現存する地図データと比較することができる。調和写像は一意であるので、この技術は脳の容積計量データを登録するために有用な方法であり、手術のシミュレーションを開発するために有用である。

ここに開示された発明の概念から逸脱することなく、上記の方法の変形と修正がなされることを、当業者は認識するであろう。従って本発明は、添付の請求項の範囲と精神によってのみ限定されると考えられるべきである。

その他

明らかな誤りの訂正請求により訂正された箇所は、段落［００１７］の［図１］の説明に関する部分である。

Claims (1)

1. 第一及び第二の表面のそれぞれの第一及び第二のメッシュ表現を受領し、
   第一及び第二の写像された表面を形成する第一のカノニカルパラメータ領域に前記第一及び第二のメッシュ表現を等角写像し、
   前記第一及び第二の写像された表面のそれぞれの第一及び第二の等角パラメータ化を計算し、
   前記第一及び第二の写像された表面のそれぞれのガウスの曲率と平均曲率の第一及び第二のレベル集合を計算することを含む、第一及び第二の表面をマッチングする方法において、
   前記第一及び第二のガウスの曲率と平均曲率のレベル集合は、それぞれ前記第一及び第二の等角パラメータ化の関数であり、
   前記第一及び第二のガウスの曲率と平均曲率のレベル集合を比較して、比較値がある予め定められた閾値を超えた場合は前記第一及び第二の表面の間の適合を宣言し、それ以外の場合は前記第一及び第二の表面の間の不適合を宣言することを特徴とする第一及び第二の表面をマッチングする方法。
   

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