JPH11134176A - 逆数演算回路 - Google Patents
逆数演算回路Info
- Publication number
- JPH11134176A JPH11134176A JP29654397A JP29654397A JPH11134176A JP H11134176 A JPH11134176 A JP H11134176A JP 29654397 A JP29654397 A JP 29654397A JP 29654397 A JP29654397 A JP 29654397A JP H11134176 A JPH11134176 A JP H11134176A
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 誤差補正値の演算回数を削減して処理速度を
向上する。 【解決手段】 任意の数値の逆数の近似解をニュートン
ラプソン法によって演算し、該近似解に誤差補正値を加
算して最終的な演算結果を出力する逆数演算回路におい
て、前記数値と前記近似解とを参照入力とするテーブル
を備え、前記数値と前記近似解とに応じた誤差補正値を
該テーブルからルックアップする。テーブルを用いて誤
差補正値をルックアップするようにしたので、誤差補正
値の演算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だ
け）にでき、処理速度を向上できる。
向上する。 【解決手段】 任意の数値の逆数の近似解をニュートン
ラプソン法によって演算し、該近似解に誤差補正値を加
算して最終的な演算結果を出力する逆数演算回路におい
て、前記数値と前記近似解とを参照入力とするテーブル
を備え、前記数値と前記近似解とに応じた誤差補正値を
該テーブルからルックアップする。テーブルを用いて誤
差補正値をルックアップするようにしたので、誤差補正
値の演算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だ
け）にでき、処理速度を向上できる。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、逆数演算回路に関
し、とくに、ニュートンラプソン法を用いて逆数の近似
解を求める逆数演算回路に関する。
し、とくに、ニュートンラプソン法を用いて逆数の近似
解を求める逆数演算回路に関する。
【０００２】
【従来の技術】従来から、任意の数値Ｂの逆数１／Ｂを
得るための回路として、１／Ｂの近似解、すなわち誤差
ｅを含む解Ａを求める回路が知られており、たとえば、
非線形方程式の数値解法の一つであるニュートンラプソ
ン法を用いた逆数演算回路が使用されている。
得るための回路として、１／Ｂの近似解、すなわち誤差
ｅを含む解Ａを求める回路が知られており、たとえば、
非線形方程式の数値解法の一つであるニュートンラプソ
ン法を用いた逆数演算回路が使用されている。
【０００３】図３は、従来回路の逆数演算部分のフロー
チャートである。このフローにおいて、Ｂは逆数演算の
元になる数値、Ｘn は配列変数、ｎはループカウンタ、
ｍはループカウンタの最大値、Ｃ、Ｄ及びＦは一時的に
用いられるテンポラリ変数、Ｅは誤差補正値を格納する
変数、Ａは最終的な逆数の近似解を格納する変数であ
る。
チャートである。このフローにおいて、Ｂは逆数演算の
元になる数値、Ｘn は配列変数、ｎはループカウンタ、
ｍはループカウンタの最大値、Ｃ、Ｄ及びＦは一時的に
用いられるテンポラリ変数、Ｅは誤差補正値を格納する
変数、Ａは最終的な逆数の近似解を格納する変数であ
る。
【０００４】このフローでは、まず、配列Ｘ0 に逆数１
／Ｂの初期近似値αをセットする（ステップ２）。ただ
し、この初期近似値αと逆数１／Ｂのと間には、ｅ0 を
誤差とすれば、 ｅ0 ＝α−１／Ｂ ………（１） という関係が成立する。
／Ｂの初期近似値αをセットする（ステップ２）。ただ
し、この初期近似値αと逆数１／Ｂのと間には、ｅ0 を
誤差とすれば、 ｅ0 ＝α−１／Ｂ ………（１） という関係が成立する。
【０００５】次に、ループカウンタｎを０にリセット
（ステップ３）した後、ｎ＝ｍ＋１になるまで、「Ｂ＊
Ｘn 」を演算してその答えをＣにセット（ステップ４）
し、「２−Ｃ」を演算してその答えをＤにセット（ステ
ップ５）し、「Ｘn ＊Ｄ」を演算してその答えを「Ｘ
n+1 」にセット（ステップ６）し、ｎを＋１（ステップ
８）するという処理を繰り返す。
（ステップ３）した後、ｎ＝ｍ＋１になるまで、「Ｂ＊
Ｘn 」を演算してその答えをＣにセット（ステップ４）
し、「２−Ｃ」を演算してその答えをＤにセット（ステ
ップ５）し、「Ｘn ＊Ｄ」を演算してその答えを「Ｘ
n+1 」にセット（ステップ６）し、ｎを＋１（ステップ
８）するという処理を繰り返す。
【０００６】今、ｎ＝０であれば、Ｘn ＝αであるか
ら、「Ｂ＊Ｘn 」は「Ｂ＊α」となり、 Ｃ＝Ｂ＊α ………（２） となる。このため、「２−Ｃ」は「２−Ｂ＊α」とな
り、 Ｄ＝２−Ｂ＊α ………（３） となる。したがって、「Ｘn ＊Ｄ」は「α＊（２−Ｂ＊
α）」となり、「Ｘn+1」には α＊（２−Ｂ＊α） ………（４） がセットされることになる。
ら、「Ｂ＊Ｘn 」は「Ｂ＊α」となり、 Ｃ＝Ｂ＊α ………（２） となる。このため、「２−Ｃ」は「２−Ｂ＊α」とな
り、 Ｄ＝２−Ｂ＊α ………（３） となる。したがって、「Ｘn ＊Ｄ」は「α＊（２−Ｂ＊
α）」となり、「Ｘn+1」には α＊（２−Ｂ＊α） ………（４） がセットされることになる。
【０００７】また、ｎ＝１であれば、Ｘn ＝α＊（２−
Ｂ＊α）であるから、「Ｂ＊Ｘn 」は「Ｂ＊（α＊（２
−Ｂ＊α））」となり、 Ｃ＝Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α）） ………（５） となる。このため、「２−Ｃ」は「２−（Ｂ＊（α＊
（２−Ｂ＊α）））」となり、 Ｄ＝２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α））） ………（６） となる。したがって、「Ｘn ＊Ｄ」は「（α＊（２−Ｂ
＊α））＊（２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α））））」
となり、「Ｘn+1 」には （α＊（２−Ｂ＊α））＊（２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α）））） ………（７） がセットされることになる。
Ｂ＊α）であるから、「Ｂ＊Ｘn 」は「Ｂ＊（α＊（２
−Ｂ＊α））」となり、 Ｃ＝Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α）） ………（５） となる。このため、「２−Ｃ」は「２−（Ｂ＊（α＊
（２−Ｂ＊α）））」となり、 Ｄ＝２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α））） ………（６） となる。したがって、「Ｘn ＊Ｄ」は「（α＊（２−Ｂ
＊α））＊（２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α））））」
となり、「Ｘn+1 」には （α＊（２−Ｂ＊α））＊（２−（Ｂ＊（α＊（２−Ｂ＊α）））） ………（７） がセットされることになる。
【０００８】すなわち、ステップ４〜８では、ｎを０〜
ｍ−１まで変化させながら、 Ｘn+1 ＝Ｘn ＊（２−Ｂ＊Ｘn ） ………（８） の計算を繰返し行っており、ループを抜ける時点（ｎ＝
ｍ−１の時点）でのＸnの値は、ステップ２でセットし
た初期値αよりも誤差が少ない良好な近似値であるが、
丸め誤差等の誤差を含む近似解であることに変わらない
ので、続けて以下の誤差補正処理を行う。
ｍ−１まで変化させながら、 Ｘn+1 ＝Ｘn ＊（２−Ｂ＊Ｘn ） ………（８） の計算を繰返し行っており、ループを抜ける時点（ｎ＝
ｍ−１の時点）でのＸnの値は、ステップ２でセットし
た初期値αよりも誤差が少ない良好な近似値であるが、
丸め誤差等の誤差を含む近似解であることに変わらない
ので、続けて以下の誤差補正処理を行う。
【０００９】まず、Ｘn+1 をＸn にするために、ｎにｎ
＋１をセットする（ステップ９）。次に、「Ｂ＊Ｘn 」
を演算してその答えをＣにセット（ステップ１０）し、
「１−Ｃ」を演算してその答えをＦにセット（ステップ
１１）した後、「Ｆ＊Ｘ0 」を演算してその答えをＥに
セット（ステップ１２）する。これらのステップ９〜１
２の処理は、上記ループ処理で求めた近似解Ｘn とＢの
逆数１／Ｂとの誤差をＥとするとき、 （１／Ｂ）−Ｘn ＝Ｅ ………（９） と表わすことができ、これを変形して、 （１−Ｂ＊Ｘn ）＊α＝Ｅ ………（１０） と表わすことができることを利用するものであり、要す
るに、式（１０）を演算するものである。したがって、
最後のステップ１３で、 Ｘn+1 ＋Ｅ＝Ａ ………（１１） を実行して、ＥをＸn （上記ループ処理で求めた近似
解）に加えることにより、さらに誤差が少ない良好な近
似解Ａを得ることができる。
＋１をセットする（ステップ９）。次に、「Ｂ＊Ｘn 」
を演算してその答えをＣにセット（ステップ１０）し、
「１−Ｃ」を演算してその答えをＦにセット（ステップ
１１）した後、「Ｆ＊Ｘ0 」を演算してその答えをＥに
セット（ステップ１２）する。これらのステップ９〜１
２の処理は、上記ループ処理で求めた近似解Ｘn とＢの
逆数１／Ｂとの誤差をＥとするとき、 （１／Ｂ）−Ｘn ＝Ｅ ………（９） と表わすことができ、これを変形して、 （１−Ｂ＊Ｘn ）＊α＝Ｅ ………（１０） と表わすことができることを利用するものであり、要す
るに、式（１０）を演算するものである。したがって、
最後のステップ１３で、 Ｘn+1 ＋Ｅ＝Ａ ………（１１） を実行して、ＥをＸn （上記ループ処理で求めた近似
解）に加えることにより、さらに誤差が少ない良好な近
似解Ａを得ることができる。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、かかる
従来の逆数演算回路にあっては、ステップ１０〜１２の
誤差補正処理で上式（１０）（１１）に示す演算処理を
行っているため、合計４回（減算１回、積算２回、加算
１回）の演算が必要であり、処理速度の向上という点で
改善すべき課題があった。
従来の逆数演算回路にあっては、ステップ１０〜１２の
誤差補正処理で上式（１０）（１１）に示す演算処理を
行っているため、合計４回（減算１回、積算２回、加算
１回）の演算が必要であり、処理速度の向上という点で
改善すべき課題があった。
【００１１】そこで、本発明は、誤差補正値の演算回数
を削減して処理速度を向上することを目的とする。
を削減して処理速度を向上することを目的とする。
【００１２】
【課題を解決するための手段】請求項１に係る発明は、
任意の数値の逆数の近似解をニュートンラプソン法によ
って演算し、該近似解に誤差補正値を加算して最終的な
演算結果を出力する逆数演算回路において、前記数値と
前記近似解とを参照入力とするテーブルを備え、前記数
値と前記近似解とに応じた誤差補正値を該テーブルから
ルックアップすることを特徴とする。
任意の数値の逆数の近似解をニュートンラプソン法によ
って演算し、該近似解に誤差補正値を加算して最終的な
演算結果を出力する逆数演算回路において、前記数値と
前記近似解とを参照入力とするテーブルを備え、前記数
値と前記近似解とに応じた誤差補正値を該テーブルから
ルックアップすることを特徴とする。
【００１３】これによれば、テーブルを用いて誤差補正
値をルックアップするようにしたので、誤差補正値の演
算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だけ）にす
ることができ、処理速度の向上を図ることができる。
値をルックアップするようにしたので、誤差補正値の演
算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だけ）にす
ることができ、処理速度の向上を図ることができる。
【００１４】
【発明の実施の形態】以下、本発明の実施例を図面に基
づいて説明する。図１、図２は本発明に係る逆数演算回
路の一実施例を示す図であり、たとえば、ＡＮＳＩ／Ｉ
ＥＥＥ Ｓｔｄ ７５４＿１９８５の単精度フォーマッ
トへの適用例である。
づいて説明する。図１、図２は本発明に係る逆数演算回
路の一実施例を示す図であり、たとえば、ＡＮＳＩ／Ｉ
ＥＥＥ Ｓｔｄ ７５４＿１９８５の単精度フォーマッ
トへの適用例である。
【００１５】図１において、３０は逆数演算の元になる
数値Ｂやその逆数演算の結果である近似値Ａなどを格納
するレジスタファイル、３１はフロー（図２参照）中の
加算処理を行う浮動小数点加算器、３２は同フロー中の
乗算処理を行う浮動小数点乗算器、３３は同フロー中の
ループ処理（図２のステップ４〜８）で得られたＸn+ 1
の誤差を補正する誤差演算回路であり、これらの回路で
取り扱う数の精度は、誤差演算回路３３を除き、上記フ
ォーマットより２３ビットである。
数値Ｂやその逆数演算の結果である近似値Ａなどを格納
するレジスタファイル、３１はフロー（図２参照）中の
加算処理を行う浮動小数点加算器、３２は同フロー中の
乗算処理を行う浮動小数点乗算器、３３は同フロー中の
ループ処理（図２のステップ４〜８）で得られたＸn+ 1
の誤差を補正する誤差演算回路であり、これらの回路で
取り扱う数の精度は、誤差演算回路３３を除き、上記フ
ォーマットより２３ビットである。
【００１６】ここで、本実施例の処理フロー（図２）に
おける初期値αは、以下の考え方に従うものである。ま
ず、α≒１／Ｂであり、αと１／Ｂとの絶対誤差をｅ0
とすると、 ｅ0 ＝α−（１／Ｂ） ………（１２） である。一般に、α≒１／Ｂをテーブルで作る場合、ｅ
0 を小さくすると精度が上がる反面、テーブルサイズが
大きくなる。逆にｅ0 を大きくすると、フロー中のルー
プ処理（図２のステップ４〜８）の回数が増加する。ｅ
0 の大きさは、α≒１／Ｂのテーブルサイズとループ回
数のトレードオフで決めることになるが、実用上のルー
プ回数は、以下のようにして決めることができる。
おける初期値αは、以下の考え方に従うものである。ま
ず、α≒１／Ｂであり、αと１／Ｂとの絶対誤差をｅ0
とすると、 ｅ0 ＝α−（１／Ｂ） ………（１２） である。一般に、α≒１／Ｂをテーブルで作る場合、ｅ
0 を小さくすると精度が上がる反面、テーブルサイズが
大きくなる。逆にｅ0 を大きくすると、フロー中のルー
プ処理（図２のステップ４〜８）の回数が増加する。ｅ
0 の大きさは、α≒１／Ｂのテーブルサイズとループ回
数のトレードオフで決めることになるが、実用上のルー
プ回数は、以下のようにして決めることができる。
【００１７】まず、最終的に得ようとする逆数の近似値
Ａの許容相対誤差の最大値をγ（ただし＞０）とする
と、絶対誤差Ａ−（１／Ｂ）と真の逆数１／Ｂとの比
は、 −γ≦（Ａ−（１／ｂ））／（１／Ｂ）≦γ ………（１３） となる。一般に、ｍ回ループした後のニュートンラプソ
ン法の誤差Ｘm-1 −（１／Ｂ）は、
Ａの許容相対誤差の最大値をγ（ただし＞０）とする
と、絶対誤差Ａ−（１／Ｂ）と真の逆数１／Ｂとの比
は、 −γ≦（Ａ−（１／ｂ））／（１／Ｂ）≦γ ………（１３） となる。一般に、ｍ回ループした後のニュートンラプソ
ン法の誤差Ｘm-1 −（１／Ｂ）は、
【００１８】
【数１】
【００１９】………（１４） となり、許容相対誤差の定義から（Ａ≒Ｘm-1 ）、
【００２０】
【数２】
【００２１】………（１５） であればよく、すべてのＢについて、式を満たす最小
のｍをループ回数とすればよい。次に、本実施例の誤差
補正処理は、図２のステップ２０に示すように、テーブ
ルルックアップによって行うことを特徴とするものであ
り、これにより、演算回数を実質的に１回（テーブルの
参照動作）にして処理速度の向上を達成するというもの
である。かかるテーブルは、変数Ｂ、Ｃを参照入力と
し、次式（１６）に示す誤差補正値Ｅを出力するもので
あればよい。
のｍをループ回数とすればよい。次に、本実施例の誤差
補正処理は、図２のステップ２０に示すように、テーブ
ルルックアップによって行うことを特徴とするものであ
り、これにより、演算回数を実質的に１回（テーブルの
参照動作）にして処理速度の向上を達成するというもの
である。かかるテーブルは、変数Ｂ、Ｃを参照入力と
し、次式（１６）に示す誤差補正値Ｅを出力するもので
あればよい。
【００２２】 Ｅ＝（１−Ｃ）／Ｂ ………（１６） そして、テーブルサイズを小さくするために、次の点を
考慮する。一般に、ニュートンラプソン法では、Ｃの範
囲について、 １−２γ≦Ｃ≦２γ／Ｂ ………（１７） が成立するため、この範囲以外はテーブルを作成する必
要がない。また、この範囲のＣについて、Ｅの範囲は、 −２γ／Ｂ≦Ｅ≦２γ／Ｂ ………（１８） となる。式（１８）のＥは、最終的にＸn と加算（図２
のステップ１３参照）されてＡとなるが、Ａには相対誤
差γが許容されているため、Ｅに関しては、次の絶対誤
差が許容される。
考慮する。一般に、ニュートンラプソン法では、Ｃの範
囲について、 １−２γ≦Ｃ≦２γ／Ｂ ………（１７） が成立するため、この範囲以外はテーブルを作成する必
要がない。また、この範囲のＣについて、Ｅの範囲は、 −２γ／Ｂ≦Ｅ≦２γ／Ｂ ………（１８） となる。式（１８）のＥは、最終的にＸn と加算（図２
のステップ１３参照）されてＡとなるが、Ａには相対誤
差γが許容されているため、Ｅに関しては、次の絶対誤
差が許容される。
【００２３】 ｛Ｅの絶対誤差｝＝｛Ａ−（１／Ｂ）の相対誤差｝≦γ／Ｂ ………（１９） すなわち、式（１８）で、仮に１／Ｂの値が±１／４Ｂ
ずれてしまい、（１±１／４）（１／Ｂ）になったとし
ても、このずれに伴うＥの誤差は式（１９）を満たすこ
とになる。このことは、１／Ｂの精度が粗く、たとえ
ば、±１／４の誤差を含んでいたとしても演算精度上は
何ら不都合がないことを意味している。したがって、Ｂ
を２進数表現にしたとすると、Ｂの上位側３ビットに対
してだけテーブルを作成すればよく、メモリ等のハード
コストを抑えることができる。
ずれてしまい、（１±１／４）（１／Ｂ）になったとし
ても、このずれに伴うＥの誤差は式（１９）を満たすこ
とになる。このことは、１／Ｂの精度が粗く、たとえ
ば、±１／４の誤差を含んでいたとしても演算精度上は
何ら不都合がないことを意味している。したがって、Ｂ
を２進数表現にしたとすると、Ｂの上位側３ビットに対
してだけテーブルを作成すればよく、メモリ等のハード
コストを抑えることができる。
【００２４】また、ＡＮＳＩ／ＩＥＥＥ Ｓｔｄ ７５
４＿１９８５の単精度フォーマットの数の精度は２３ビ
ットであるが、たとえば、Ｘn と１／Ｂとの誤差に対す
る１／Ｂの比を１＊２ｅ（−９）以下とし、ループ数を
２回とすると、２回のループで得られるＸn+1 は２１ビ
ットの精度を持つことになる。このため、誤差Ｅの有効
数字は２ビットにあり、誤差演算回路３３の出力も２ビ
ットで済む。さらに、この２ビットに影響を与える誤差
演算回路３３の入力も、Ｂ、Ｂ＊Ｘn+1 ともに一部のビ
ットで済む。すなわち、Ｂは上位側４ビットでよく、Ｂ
＊Ｘn+1 は有効な値が乗る下位４ビットだけでよい（Ｂ
＊Ｘn+1 の値は１に近くほとんどのビットは１固定のた
め）。したがって、誤差演算回路３３及びその入出力部
分を小規模にでき、ハードコストをより抑えることがで
きる。
４＿１９８５の単精度フォーマットの数の精度は２３ビ
ットであるが、たとえば、Ｘn と１／Ｂとの誤差に対す
る１／Ｂの比を１＊２ｅ（−９）以下とし、ループ数を
２回とすると、２回のループで得られるＸn+1 は２１ビ
ットの精度を持つことになる。このため、誤差Ｅの有効
数字は２ビットにあり、誤差演算回路３３の出力も２ビ
ットで済む。さらに、この２ビットに影響を与える誤差
演算回路３３の入力も、Ｂ、Ｂ＊Ｘn+1 ともに一部のビ
ットで済む。すなわち、Ｂは上位側４ビットでよく、Ｂ
＊Ｘn+1 は有効な値が乗る下位４ビットだけでよい（Ｂ
＊Ｘn+1 の値は１に近くほとんどのビットは１固定のた
め）。したがって、誤差演算回路３３及びその入出力部
分を小規模にでき、ハードコストをより抑えることがで
きる。
【００２５】
【発明の効果】本発明によれば、テーブルを用いて誤差
補正値をルックアップするようにしたので、誤差補正値
の演算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だけ）
にすることができ、処理速度の向上を図ることができ
る。
補正値をルックアップするようにしたので、誤差補正値
の演算回数を実質的に一回（テーブルの参照動作だけ）
にすることができ、処理速度の向上を図ることができ
る。
【図１】一実施例の概略構成図である。
【図２】一実施例の処理フロー図である。
【図３】従来回路の処理フロー図である。
３０：レジスタファイル ３１：浮動小数点加算器 ３２：浮動小数点乗算器 ３３：誤差演算回路
Claims (1)
- 【請求項１】任意の数値の逆数の近似解をニュートンラ
プソン法によって演算し、該近似解に誤差補正値を加算
して最終的な演算結果を出力する逆数演算回路におい
て、前記数値と前記近似解とを参照入力とするテーブル
を備え、前記数値と前記近似解とに応じた誤差補正値を
該テーブルからルックアップすることを特徴とする逆数
演算回路。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP29654397A JPH11134176A (ja) | 1997-10-29 | 1997-10-29 | 逆数演算回路 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP29654397A JPH11134176A (ja) | 1997-10-29 | 1997-10-29 | 逆数演算回路 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH11134176A true JPH11134176A (ja) | 1999-05-21 |
Family
ID=17834899
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP29654397A Withdrawn JPH11134176A (ja) | 1997-10-29 | 1997-10-29 | 逆数演算回路 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH11134176A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100653675B1 (ko) | 2005-12-06 | 2006-12-05 | 엠텍비젼 주식회사 | 역수 연산 장치 및 방법 |
-
1997
- 1997-10-29 JP JP29654397A patent/JPH11134176A/ja not_active Withdrawn
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100653675B1 (ko) | 2005-12-06 | 2006-12-05 | 엠텍비젼 주식회사 | 역수 연산 장치 및 방법 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| A300 | Withdrawal of application because of no request for examination |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A300 Effective date: 20050104 |