JPH1049691A - ベジェ曲線による点列トレースの方法および装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 点列を適切なベジェ曲線でトレースする技術
を提供する。 【解決手段】 座標点を順次指定し、最後に指定された
第１、第２の座標点間と、第２、第３の座標点間を、そ
れぞれ第１、第２のベジェ曲線でトレースする。このと
き、第２の座標点から第１の座標点に向かう直線と、第
３の座標点から第２の座標点を通って外挿される直線と
がはさむ第１の角度から、第２の座標点と第１のベジェ
曲線を制御する第１の制御点とを結ぶ第１の方向を、第
１の設定式に従って決定し、第１の制御点の位置を第２
の設定式に従って決定する。また、第２の座標点から第
３の座標点に向かう直線と、第１の座標点から第２の座
標点を通って外挿される直線とがはさむ第２の角度か
ら、第２の座標点と第２のベジェ曲線を制御する第２の
制御点とを結ぶ第２の方向を、第３の設定式に従って決
定し、第２の制御点の位置を第４の設定式に従って決定
する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、製版システム等
のコンピュータシステムにおいて、指定された複数の座
標点の間を３次のベジェ曲線でトレースする技術に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】入力された点座標間を３次のベジェ曲線
で近似する方法としては、特開平６−１０３３５６号公
報に記載されたものがある。

【０００３】一般に、３次のベジェ曲線は次の数式１で
表される。

【０００４】

【数１】

【０００５】なお、明細書における説明ではベクトルを
示す矢印は省略する。

【０００６】図７は、数式１で示した３次のベジェ曲線
を示す平面図である。数式１において、ｔは０≦ｔ≦１
の範囲にあるパラメータ、Ｐ（ｔ）はパラメータｔによ
って決定される曲線上の点座標、Ｐ1 は曲線の始点の座
標、Ｐ２は曲線の終点の座標、Ｐ11およびＰ22は制御点
とよばれる点の座標である。このように、３次のベジェ
曲線Ｐ（ｔ）はパラメータｔの関数であり、第１制御点
Ｐ11および第２制御点Ｐ22の座標と始点Ｐ1 および終点
Ｐ2 の座標によって構成される多項式である。従って、
ベジェ曲線の形状（膨らみ）は、２つの制御点Ｐ11およ
びＰ22の座標によって制御される。

【０００７】３次のベジェ曲線を用いて、複雑な曲線を
発生させる場合は、２つの制御点を任意に設定可能と
し、曲線発生後も任意に修正可能とすることが望まし
い。しかし、画像輪郭をトレースする場合には、トレー
スしたい画像輪郭にそって、順次点座標を入力して、近
似曲線を生成する方が使い勝手がよく、制御点までも順
次入力しなければならないとすると、作業が煩雑にな
る。そこで、特開平６−１０３３５６号公報に記載され
た方法に示すように、入力された点座標列から計算によ
って自動的に制御点を算出する技術が考えられている。

【０００８】図８は、従来例において、入力された点座
標列データに基づいて座標点間のベジェ曲線を発生させ
る過程を示している。以下、図８（ａ）に示す４つの座
標点Ｐ1 、Ｐ2 、Ｐ3 、Ｐ4 が入力され、この座標点の
うちＰ2 とＰ3 とを結ぶ３次のベジェ曲線を発生させる
場合に、その制御点を決定する方法について説明する。

【０００９】まず、座標点Ｐ2 およびＰ3 間の第１制御
点Ｐ21を決定する。図８（ｂ）に示すように、座標点Ｐ
2 の前後の座標点Ｐ1 とＰ3 とを結ぶ線分Ｐ1 Ｐ3 を平
行移動して、Ｐ2 を通る線分Ｐ1'Ｐ2'を求める。この
時、線分Ｐ1 Ｐ1'と線分Ｐ3 Ｐ3'がそれぞれ線分Ｐ1 Ｐ
3 と垂直になるように線分Ｐ1'Ｐ3'を決める。そして、
第１制御点Ｐ21は、線分Ｐ2 Ｐ3'を１：３に内分する点
に決定される。同時に、座標点Ｐ1 およびＰ2 間の第２
制御点Ｐ22が、線分Ｐ1'Ｐ2 を３：１に内分する点に決
定される。次に、座標点Ｐ2 およびＰ3 間の第２制御点
Ｐ32を決定する。図８（ｃ）に示すように、座標点Ｐ3
の前後の座標点Ｐ2 とＰ4 とを結ぶ線分Ｐ2 Ｐ4 を平行
移動して、Ｐ3 を通る線分Ｐ2'Ｐ4'を求める。この時、
線分Ｐ2 Ｐ2'と線分Ｐ4 Ｐ4'がそれぞれ線分Ｐ2 Ｐ4 と
垂直になるように線分Ｐ2'Ｐ4'を決める。そして、第２
制御点Ｐ32は、線分Ｐ2'Ｐ3 を１：３に内分する点に決
定される。同時に、座標点Ｐ3 およびＰ4 間の第１制御
点Ｐ31が、線分Ｐ3 Ｐ4'を１：３に内分する点に決定さ
れる。このようにして求めた第１制御点Ｐ21および第２
制御点Ｐ32を用い、座標点Ｐ2 を開始点、座標点Ｐ3 を
終点とすると、図８（ｄ）に示すように３次のベジェ曲
線を発生させることができる。また、入力された複数の
座標点において、同様にして制御点を求めることによ
り、連続した複数のベジェ曲線を発生させることができ
る。また、上述したように、ある座標点に隣り合う制御
点は、その座標点を通る直線上に位置するため、ベジェ
曲線の性質から隣り合うベジェ曲線を滑らかに接続させ
ることが可能である。このように、従来の方法では、３
つの座標点が指定されたときに、その中央の座標点に近
い２つの制御点が、両端の座標点を結ぶ直線と平行な方
向に沿って、中央の座標点を通るような直線上に設定さ
れていた。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】上述の方法により制御
点を求める場合、図９に示すように、座標点Ｐ4 の位置
が座標点Ｐ3 とＰ4 とを結ぶ線分上の新たな座標点Ｐ4V
であるとすると、座標点Ｐ2 とＰ3 とを結ぶベジェ曲線
の第２制御点Ｐ32は新たな制御点Ｐ32V となり、ベジェ
曲線の形状（膨らみ）が変化する結果となる。ところ
で、４つ目の座標点がＰ4 である場合も、また、Ｐ4Vで
ある場合も、４つの座標点Ｐ1 〜Ｐ4 （またはＰ1 〜Ｐ
4V）を順次接続する線分の方向は変わっていない。従っ
て、ベジェ曲線でトレースした結果も、４つ目の座標点
がＰ4 であるかＰ4Vであるかに関わらず、３つ目の座標
点Ｐ3 の位置までは、同一であることが好ましい場合が
ある。しかし、上述したように、従来の方法では、最後
の座標点Ｐ4 の位置によっては、その前の二つの座標点
Ｐ2 、Ｐ3 の間のベジェ曲線が変わってしまうという問
題があった。

【００１１】この発明は、従来技術における上述の課題
を解決するためになされたものであり、従来とは異なる
方法に従って、点列を適切なベジェ曲線でトレースする
技術を提供することを目的とする。

【００１２】

【課題を解決するための手段およびその作用・効果】上
述の課題の少なくとも一部を解決するため、第１の発明
は、３次のベジェ曲線によって点列をトレースする方法
であって、（ａ）トレースされるべき複数の座標点を順
次指定する工程と、（ｂ）最後に指定された第１ないし
第３の座標点のうちの前記第１の座標点と前記第２の座
標点との間を第１のベジェ曲線でトレースするために、
前記第１のベジェ曲線を規定する２つの制御点のうちで
前記第２の座標点に近い第１の制御点を決定する工程
と、（ｃ）前記第２の座標点と前記第３の座標点との間
を第２のベジェ曲線でトレースするために、前記第２の
ベジェ曲線を規定する２つの制御点のうちで、前記第２
の座標点に近い第２の制御点を決定する工程と、を備
え、前記工程（ｂ）は、前記第２の座標点から前記第１
の座標点に向かう直線と、前記第３の座標点から前記第
２の座標点を通って外挿される直線とがはさむ第１の角
度から、前記第２の座標点と前記第１の制御点とを結ぶ
第１の方向を、所定の第１の設定式に従って決定する工
程と、前記第１の方向において、前記第１の制御点の位
置を所定の第２の設定式に従って決定する工程と、を備
え、前記工程（ｃ）は、前記第２の座標点から前記第３
の座標点に向かう直線と、前記第１の座標点から前記第
２の座標点を通って外挿される直線とがはさむ第２の角
度から、前記第２の座標点と前記第２の制御点とを結ぶ
第２の方向を、所定の第３の設定式に従って決定する工
程と、前記第２の方向において、前記第２の制御点の位
置を所定の第４の設定式に従って決定する工程と、を備
えることを特徴とする。

【００１３】第２の座標点に隣り合う二つの制御点、即
ち、第１のベジェ曲線を制御する第１の制御点および第
２のベジェ曲線を制御する第２の制御点、の方向を示す
第１の方向および第２の方向が、第１の座標点と第２の
座標点とを結ぶ直線と、第２の座標点と第３の座標点と
を結ぶ直線とがなす角度から決定されるため、第２の座
標点と第３の座標点とを結ぶ直線の長さに影響されるこ
とがない。このように、第１の発明によれば、点列をト
レースするベジェ曲線を生成する際に、トレースされる
点座標を指定しながら、従来とは異なる方法に従って、
順次適当な制御点を求めてベジェ曲線を生成することが
可能となる。

【００１４】上記第１の発明において、前記第１の設定
式および前記第３の設定式は、前記第１の座標点から前
記第２の座標点に向かう第１の単位ベクトルと前記第２
の座標点から前記第３の座標点に向かう第２の単位ベク
トルとを所定の割合でそれぞれ合成することによって、
前記第１の方向および前記第２の方向をそれぞれ決定す
る、ことが好ましい。

【００１５】ここで、「単位ベクトル」とは、大きさが
１のベクトルである。単位ベクトルの合成により決定さ
れる第１の方向および第２の方向は、第２の座標点と第
３の座標点とを結ぶ線分の長さに影響されない。従っ
て、最後の座標点の入力が、その前の二つの座標点間に
既に生成されたベジェ曲線に、影響を与えることがな
い。

【００１６】また、上記第１の発明において、前記第１
の設定式および前記第３の設定式は、前記第１の角度と
前記第２の角度を、所定の割合で内分する方向をそれぞ
れ決定することによって、前記第１の方向および前記第
２の方向を決定してもよい。

【００１７】第１の座標点と第２の座標点とを結ぶ直線
と、第２の座標点と第３の座標点とを結ぶ直線がなす角
度を、所定の割合で内分する方向も、第２の座標点と第
３の座標点とを結ぶ線分の長さに影響されない。従っ
て、最後の座標点の入力が、その前の二つの座標点間に
既に生成されたベジェ曲線に影響を与えることがない。

【００１８】また、上記第１の発明において、前記第２
の座標点から前記第１の座標点に向かう線分と、前記第
１の方向とがはさむ角と、前記第２の座標点から前記第
３の座標点に向かう線分と、前記第２の方向とがはさむ
角と、を等しく設定する、ことが好ましい。

【００１９】ベジェ曲線は、その両端点では、端点と制
御点とを結ぶ直線を接線とする曲線となる。従って、制
御点の方向を決定する角度の設定によって、第１の座標
点と第２の座標点とを結ぶ第１のベジェ曲線と、第２の
座標点と第３の座標点とを結ぶ第２のベジェ曲線との、
第２座標点における接続性を変えることができる。

【００２０】また、上記第１の発明において、前記第１
の方向および前記第２の方向を、前記第１の角度と前記
第２の角度をそれぞれ２等分する方向に設定する、こと
が好ましい。

【００２１】こうすれば、第１の方向と第２の方向が第
２の座標点を挟んで反対方向、即ち、第２の座標点にお
ける第１のベジェ曲線の接線と第２のベジェ曲線の接線
が直線となる。従って、第１のベジェ曲線と第２のベジ
ェ曲線の傾きが、第２の座標点の前後で一致し、両者を
滑らかに接続可能である。

【００２２】また、上記第１の発明において、前記第１
の方向および前記第２の方向を決定するための前記所定
の割合として、複数の割合をあらかじめ登録し、前記複
数の割合の中から、トレースの途中で選択可能としても
よい。

【００２３】こうすれば、トレースの途中で適当なベジ
ェ曲線の接続性を選択しながら、順次トレースを実行す
ることができる。

【００２４】また、上記第１の発明において、前記第２
の設定式は、前記第１の座標点と前記第２の座標点とを
結ぶ線分の長さに所定の値を乗じた距離だけ前記第２の
座標点から離れた位置に前記第１の制御点を決定し、前
記第４の設定式は、前記第２の座標点と前記第３の座標
点とを結ぶ線分の長さに所定の値を乗じた距離だけ前記
第２の座標点から離れた位置に前記第２の制御点を決定
する、ことが好ましい。

【００２５】こうすれば、ベジェ曲線の制御点を一義的
に決定でき、ベジェ曲線を生成する事ができる。

【００２６】また、上記第１の発明において、前記所定
の値として複数の値をあらかじめ登録し、前記複数の値
の中から、トレースの途中で選択可能としてもよい。

【００２７】こうすれば、トレースの途中で、適当なベ
ジェ曲線の制御点位置を選択しながら、順次トレースを
実行することができる。

【００２８】第２の発明は、３次のベジェ曲線によって
点列をトレースする装置であって、トレースされるべき
複数の座標点を順次指定する点座標入力部と、最後に指
定された第１ないし第３の座標点のうちの前記第１の座
標点と前記第２の座標点との間を第１のベジェ曲線でト
レースするために、前記第１のベジェ曲線を規定する２
つの制御点のうちで前記第２の座標点に近い第１の制御
点を決定するとともに、前記第２の座標点と前記第３の
座標点との間を第２のベジェ曲線でトレースするため
に、前記第２のベジェ曲線を規定する２つの制御点のう
ちで、前記第２の座標点に近い第２の制御点を決定する
制御点算出部と、を備え、前記制御点算出部は、前記第
２の座標点から前記第１の座標点に向かう直線と、前記
第２の座標点から前記第３の座標点を通って外挿される
直線とがはさむ角度から、前記第２の座標点と前記第１
の制御点とを結ぶ第１の方向を、所定の第１の設定式に
従って決定するとともに、前記第２の座標点から前記第
３の座標点に向かう直線と、前記第１の座標点から前記
第２の座標点を通って外挿される直線とがはさむ角度か
ら、前期第２の座標点と前記第２の制御点とを結ぶ第２
の方向を、所定の第３の設定式に従って決定する制御点
方向決定部と、前記第１の方向において、前記第１の制
御点の位置を所定の第２の設定式に従って決定するとと
もに、前記第２の方向において、前記第２の制御点の位
置を所定の第４の設定式に従って決定する制御点位置決
定部と、を備えることを特徴とする。

【００２９】第２の発明も、上記第１の発明と同様の作
用・効果を有しており、点列をトレースするベジェ曲線
を生成する際に、トレースされる点座標を指定しなが
ら、従来とは異なる方法に従って、順次適当な制御点を
求めてベジェ曲線を生成することが可能となる。

【００３０】

【発明の他の態様】この発明は、以下のような他の態様
も含んでいる。第１の態様は、コンピュータシステムの
マイクロプロセッサによって実行されることによって、
上記の発明の各工程または各手段を実現するソフトウェ
アプログラムを格納した携帯型記憶媒体である。

【００３１】

【発明の実施の形態】次に、本発明の実施の形態を実施
例に基づき説明する。図１は、この発明の一実施例を適
用する画像処理装置を示すブロック図である。

【００３２】図１において、ハードディスク装置１０
は、トレースされる画像データを記憶した記憶装置であ
る。画像表示部５０は、ハードディスク装置１０に記憶
された画像データを、ＣＲＴ（表示装置）６０に表示す
る回路である。点座標入力部２０は、ＣＲＴ６０に表示
された画像を参照して、ユーザが点座標データを入力す
る手段である。点座標入力部２０としては、マウス等の
ポインティングデバイスが使用される。制御点設定条件
入力部２２は、入力された点座標データに基づいて発生
させるベジェ曲線を制御する制御点の設定条件（後述す
る）を入力する手段である。制御点設定条件入力部２２
としては、キーボード等が使用される。メモリ３０は、
点座標入力部２０で入力された点座標データを配列デー
タとして格納する。点座標描画部５２は、メモリ３０に
格納された点座標データを、ＣＲＴ６０に表示する回路
である。制御点算出部４０は、制御点の設定方向を決定
する制御点方向決定部４０ａと、制御点位置を決定する
制御点位置決定部４０ｂとを備え、メモリ３０に格納さ
れた点座標データ、および制御点設定条件入力部２２で
入力された設定条件に基づいて、ベジェ曲線を制御する
制御点データを算出する回路である。ベジェ曲線発生部
４２は、メモリ３０に格納された点座標データ、および
制御点算出部４０で算出された制御点データに基づい
て、ベジェ曲線を発生させる回路である。また、これら
の各手段は、ハードウエア回路としてだけでなくソフト
ウエアプログラムによっても実現可能である。また、ソ
フトウエアプログラムは、フロッピーディスクやＣＤ−
ＲＯＭ等の携帯型記憶媒体（可搬型記憶媒体）に格納さ
れ、携帯型記憶媒体から、図示しないソフトウエアプロ
グラム格納用のメモリまたはハードディスク装置１０に
転送される。ベジェ曲線描画部５４は、ベジェ曲線発生
部４２で発生させたベジェ曲線データを、ＣＲＴ６０に
表示させる回路である。ＣＲＴ６０は、画像表示部５
０、点座標描画部５２、ベジェ曲線描画部５４から出力
された表示データを表示する表示装置である。

【００３３】次に、本実施例の動作を図２、図３を用い
て説明する。図２は、本実施例の動作手順を示したフロ
ーチャートである。図３は、図２に示した手順に従っ
て、入力座標点間に発生させたベジェ曲線の生成過程を
示した説明図である。

【００３４】図３（ａ）に示す半リング状の画像の輪郭
を、座標点Ｐ1 、Ｐ2 、Ｐ3 、Ｐ4…を順次入力してト
レースすることとする。まず、図２に示すステップＳ
１、ステップＳ２において、ユーザが第１座標点（画像
トレースの始点）、第２座標点の入力を行う。この工程
は、図１に示す点座標入力部２０で行われる。入力され
たデータはメモリ３０に配列データとして格納される。
ステップＳ３では、第１座標点Ｐ1 と第２座標点Ｐ2 と
の間を結ぶ第１のベジェ曲線を制御する第１制御点Ｐ11
および第２制御点Ｐ22の座標を算出する。この工程は、
図１の制御点算出部４０で行われる。２つの座標点Ｐ1
、Ｐ2 が入力された時点では、後述する方法によって
制御点を算出することができない。そこで、まず仮の制
御点Ｐ11、Ｐ22を、数式２を用いて算出する。図３
（ｂ）は、その算出結果と、ベジェ曲線表示結果を示し
ている。

【００３５】

【数２】

【００３６】図３（ｂ）に示すように、数式２で示され
る第１制御点Ｐ11および第２制御点Ｐ22は、第１座標点
Ｐ1 と第２座標点Ｐ2 とを結ぶ線分を１：１：１に内分
する点である。従って、ステップＳ４において、座標点
Ｐ1 およびＰ2 と制御点Ｐ11およびＰ22によって生成さ
れるベジェ曲線は、数式１より求められ、直線となる。
このステップＳ４の工程は、図１に示すベジェ曲線発生
部４２およびベジェ曲線描画部５４で実行され、得られ
たベジェ曲線が元の画像とともにＣＲＴ６０に表示され
る。

【００３７】ステップＳ５では入力座標点の番号を示す
パラメータｎが３に設定される。ステップＳ６〜Ｓ１０
では、３番目の座標点である第３座標点を入力し、第１
のベジェ曲線の再描画および第２のベジェ曲線の描画を
行い、表示する。図３（ｃ）はその結果を示している。
まず、ステップＳ６においてユーザが第３座標点を入力
すると、入力されたデータはメモリ３０に配列データと
して格納される。この工程は、ステップＳ１およびステ
ップＳ２と同様に、図１に示す点座標入力部２０を用い
て行われる。次に、ステップＳ７において、ユーザが、
後述するパラメータαおよびβを設定する。この工程
は、図１に示す制御点条件入力部２２を用いて行われ
る。なお、ステップＳ７は、ステップＳ６における座標
点入力時と同時に実行するようにしてもよく、あるいは
ステップＳ６の前に実行してもよい。例えば、あらかじ
め複数のパラメータ条件を登録しておき、座標点入力時
の前後に、所定の条件選択ボタン（キーボードのシフト
キーやコントロールキー等）を用いて、その中の１つを
選択して設定可能とする方法等がある。このとき、条件
選択ボタンを押さえない状態では、パラメータ条件の初
期値が使用される。

【００３８】ステップＳ８では、ステップＳ４で生成し
て表示された第１のベジェ曲線を、一旦消去する。この
工程はベジェ曲線描画部５４で行われる。その後、新た
にステップＳ９において、第１座標点ないし第３座標点
に基づいて、第１のベジェ曲線および第２のベジェ曲線
の制御点の算出が行われる。

【００３９】ステップＳ９における制御点の算出は、図
１に示す制御点算出部４０で実行される。まず、図３
（ｃ）に示すように、座標点Ｐ2 と座標点Ｐ3 とを結ぶ
第２のベジェ曲線の第１制御点Ｐ21の方向を表す第１方
向ベクトルＶ21および第１のベジェ曲線における第２制
御点Ｐ22の方向を表す第２方向ベクトルＶ22を、算出す
る。この工程は、図１に示す制御点方向決定部４０ａで
実行される。その算出式を数式３に示す。

【００４０】

【数３】

【００４１】ここで、ｎはステップＳ６で入力した座標
点の番号である。ここでは、上記のように第３の座標点
Ｐ3 を入力した場合、即ち、ｎ＝３の場合について説明
する。図４は、数式３に従った第１方向ベクトルＶ21の
算出方法を示す説明図である。数式３からも理解できる
ように、第２のベジェ曲線の第１方向ベクトルＶ21は、
第１の座標点Ｐ1 から第２の座標点Ｐ2 に向かう単位ベ
クトルＶa と、第２の座標点Ｐ2 から第３の座標点Ｐ3
に向かう単位ベクトルＶb とに、αと（１−α）の重み
をつけて合成したベクトルである。また、図４（ｂ）に
示すように、この方向ベクトルＶ21は、線分Ｐ1 Ｐ2 と
線分Ｐ2 Ｐ3 とがなす角∠Ｑ1 Ｐ2 Ｐ3を、パラメータ
αによって内分する方向を示しているとみることもでき
る。また、数式３に示される第１ベジェ曲線の第２方向
ベクトルＶ22も同様に、線分Ｐ2Ｐ1 と線分Ｐ3 Ｐ2 と
がなす角∠Ｑ2 Ｐ2 Ｐ1 を、パラメータαによって内分
する方向を示す。パラメータαは、０≦α≦１の範囲で
設定可能であり、Ｖ21およびＶ22の方向は、パラメータ
αの設定により任意の方向に設定可能である。

【００４２】図５は、パラメータαと、第２座標点にお
ける第２のベジェ曲線の第１方向ベクトルＶ21および第
１のベジェ曲線の第２方向ベクトルＶ22との関係を説明
する説明図である。パラメータαの値としては０．５が
好ましい。この場合には、図５（ａ）に示すように、第
１方向ベクトルＶ21は、角∠Ｑ1 Ｐ2 Ｐ3 を２等分する
方向である。なお、第１方向ベクトルＶ21と第２方向ベ
クトルＶ22とは、座標点Ｐ2 を挟んで反対方向に設定さ
れる。一般にベジェ曲線は、両端点付近では、端点と制
御点とを結ぶ方向に沿った傾きを有している。従って、
α＝０．５に設定すれば、座標点Ｐ2 で接続される第１
のベジェ曲線と第２のベジェ曲線の傾きが、座標点の前
後で一致し、両者を滑らかに接続できる。

【００４３】α＝０とすれば、図５（ｂ）に示すよう
に、方向ベクトルＶ21は線分Ｐ2 Ｐ3の方向となり、方
向ベクトルＶ22は線分Ｐ2 Ｐ1 の方向となる。従って、
座標点Ｐ2 における第１のベジェ曲線と第２のベジェ曲
線の接続は、ベジェ曲線の性質から、外側に折れ曲がっ
た形状となる。

【００４４】また、α＝１とすれば、図５（ｃ）に示す
ように、Ｖ21は線分Ｐ1 Ｐ2 の方向となり、Ｖ22は線分
Ｐ3 Ｐ2 の方向となる。従って、座標点Ｐ2 における第
１のベジェ曲線と第２のベジェ曲線の接続は、ベジェ曲
線の性質から、内側に折れ曲がった形状となる。このよ
うに、パラメータαの設定により、ステップＳ６で最後
に入力した座標点Ｐn の一つ前の座標点Ｐn-1 の前後に
おける２つのベジェ曲線の接続性を変化させることがで
きる。

【００４５】次に、上述のようにして求めた第２のベジ
ェ曲線の第１方向ベクトルＶ21を用いて、第２のベジェ
曲線の第１制御点Ｐ21を、以下に示す数式４により算出
する。同様に、第１のベジェ曲線の第２方向ベクトルＶ
22を用いて、第１のベジェ曲線の第２制御点Ｐ22を、以
下に示す数式４により算出する。

【００４６】

【数４】

【００４７】図６は、パラメータβと、第２のベジェ曲
線の第１制御点Ｐ21および第１のベジェ曲線の第２制御
点Ｐ22との関係を説明する説明図である。数式４からも
理解できるように、第２のベジェ曲線の第１制御点Ｐ21
は、座標点Ｐ2 から第１方向ベクトルＶ21の方向に存在
し、線分Ｐ2 Ｐ3 の長さにパラメータβを乗じた距離に
位置する点である。同様に、第１のベジェ曲線の第２制
御点Ｐ22は、座標点Ｐ2 から第２方向ベクトルＶ22であ
って、線分Ｐ1 Ｐ2 の長さにパラメータβを乗じた距離
に位置する点である。また、パラメータβは、０≦β≦
１の範囲で設定可能である。従って、βの設定値を変え
て、制御点の位置を任意に変化させることができ、ベジ
ェ曲線の形状を変化させることができる。本実施例で
は、通常はβ＝１／５として制御点を算出する。β＝１
／３、即ち、βの値を大きくして制御点を算出すれば、
ベジェ曲線の膨らみを強調することができる。逆に、β
を小さくすれば、ベジェ曲線の膨らみを小さくすること
ができる。例えばβ＝１／２では、真円に対して、４点
のトレースで誤差が精度の高い疑似円が生成できる。

【００４８】なお、２つのパラメータα、βの値の組を
１つのパラメータ条件としたとき、複数のパラメータ条
件をあらかじめ登録しておくことが好ましい。例えば、
｛α＝０．５、β＝１／５｝、｛α＝０．５、β＝１／
３｝、｛α＝０、β＝１／５｝、｛α＝０、β＝１／
３｝の４つのパラメータ条件をあらかじめ登録してお
き、そのうちのひとつのパラメータ条件をデフォルトと
して設定しておく。通常は、デフォルト条件に基づいて
制御点を決定し、トレースの最中に、他のパラメータ条
件に切り換えできるようにしてもよい。

【００４９】図３（ｃ）の第１のベジェ曲線の第１制御
点Ｐ11は、座標点Ｐ1 の前に連続する座標点が入力され
ていないため、線分Ｐ1 Ｐ2 の垂直２等分線ｌを対称軸
として、制御点Ｐ22に線対称な点をＰ11とする。同様
に、第２のベジェ曲線の第２制御点Ｐ32は、座標点Ｐ3
の後に連続する座標点が入力されていないので、線分Ｐ
2 Ｐ3 の垂直２等分線ｍを対称軸として、制御点Ｐ21に
線対称な点とする。

【００５０】以上のようにして制御点を算出すれば、次
のような操作も可能である。例えば、パラメータαをα
＝０として連続的に座標点を入力すれば、数式３、数式
４により算出される制御点は各座標点を結ぶ直線上に存
在することになるので、直線を連続して生成することが
可能である。従って、アルゴリズムを変更することな
く、多角形を表すベジェ曲線を生成することができる。

【００５１】ステップＳ１０では、図３（ｃ）に示すよ
うに、ステップＳ９で算出した第１、第２のベジェ曲線
のそれぞれの制御点、および入力された座標点から第
１、第２のベジェ曲線を生成して、表示する。この工程
は、上記ステップＳ４と同様に、図１に示したベジェ曲
線発生部４２およびベジェ曲線５４で実行され、得られ
たベジェ曲線が元の画像とともにＣＲＴ６０に表示され
る。

【００５２】次に、ステップＳ１１でパラメータｎに１
を加算する。即ち、ここではｎ＝４とする。そして、以
下に説明するように、ステップＳ６に戻って第４座標点
を入力し、ステップＳ７からステップＳ１１を繰り返
し、第２のベジェ曲線の再生成および第３のベジェ曲線
の生成を行い、表示する。図３（ｄ）はその結果を示し
ている。

【００５３】まず、ステップＳ６において、ユーザが第
４座標点を入力し、ステップＳ７において、パラメータ
αおよびβを設定する。パラメータαおよびβの設定方
法は上述の通りである。ステップＳ８では、第２のベジ
ェ曲線を、一旦消去する。その後、新たにステップＳ９
において、制御点の算出が行われる。

【００５４】ステップＳ９において、図３（ｄ）に示す
ように、座標点Ｐ3 と座標点Ｐ4 とを結ぶ第３のベジェ
曲線の第１制御点Ｐ31の方向を表す第１方向ベクトルＶ
31および第２のベジェ曲線における第２制御点Ｐ32の方
向を表す第２方向ベクトルＶ32を、数式３により算出す
る。そして、第３のベジェ曲線の第１制御点Ｐ31および
第２のベジェ曲線の第２制御点Ｐ32を数式４により算出
する。

【００５５】ここで、第３のベジェ曲線の第２制御点Ｐ
42は、座標点Ｐ4 の後に連続する座標点が入力されてい
ないため、図３（ｄ）に示すように、線分Ｐ3 Ｐ4 の垂
直２等分線ｍを対称軸として、制御点Ｐ31に線対称な点
をＰ42とする。

【００５６】ステップＳ１０では、図３（ｄ）に示すよ
うに、ステップＳ９で算出した第２のベジェ曲線の第２
制御点Ｐ32と既に算出されている第１制御点Ｐ21と座標
点Ｐ2 と座標点Ｐ3 から、数式１によりベジェ曲線を生
成して、表示する。同様に、ステップＳ９で算出した第
３のベジェ曲線の第１制御点Ｐ31と第２制御点Ｐ42と座
標点Ｐ3 と座標点Ｐ4 とから、数式１によりベジェ曲線
を生成して、表示する。

【００５７】次に、ステップＳ１１でパラメータｎに１
を加算する。即ち、ここではｎ＝５とする。そして、第
５座標点を入力するならば、ステップＳ６に戻り、ステ
ップＳ７からステップＳ１１を繰り返すことになる。つ
まり、ステップＳ６からステップＳ１１を繰り返すこと
により、次々に座標点入力とベジェ曲線の発生とを繰り
返し実行し、ベジェ曲線による連続した輪郭線を生成す
ることができる。

【００５８】本実施例によれば、以上の手順により、ト
レースされる点座標を指定しながら、順次適当な制御点
を求めてベジェ曲線を生成することができる。従って、
座標を入力して、発生させたベジェ曲線による近似結果
を確認しながら作業を進めることができる。また、近似
結果を修正したければ、一旦入力した座標点を取り消し
て、パラメータαおよびβを設定し直して再度ベジェ曲
線を発生させることが可能である。従って、操作性のよ
い、点列を適切なベジェ曲線でトレースする技術を提供
することができる。

【００５９】なお、この発明は上記の実施例や実施形態
に限られるものではなく、その要旨を逸脱しない範囲に
おいて種々の態様において実施することが可能である。
例えば、次のような変形も可能である。

【００６０】（１）数式３および数式４に示されるパラ
メータαおよびβは、第１方向ベクトルＶn-1 1 と第２
方向ベクトルＶn-1 2 および第１制御点Ｐn-1 1 と第２
制御点Ｐn-1 2 において、それぞれ共通であるが、これ
を独立のパラメータとして、設定自由度の向上を図って
もよい。

【００６１】（２）第１方向ベクトルＶn-1 1 および第
２方向ベクトルＶn-1 2 は、座標点Ｐn-2 と座標点Ｐn-
1 とを結ぶ直線と、座標点Ｐn と座標点Ｐn-1 とを結ぶ
直線とがなす角度を、パラメータαによって一定の割合
で内分する方向を表す方向ベクトルとしてもよい。

【００６２】（３）図２に示すステップＳ６において、
ユーザがポインティングデバイスにより点座標を入力指
定するまで、ポインティングデバイスが現在示している
座標位置を仮の座標点とみなして、ステップＳ６からＳ
１０を繰り返し実行するようにしてもよい。こうすれ
ば、生成されるベジェ曲線を確認しながら点座標を入力
指定することができる。また、このとき、パラメータα
およびβの条件を、上述した条件選択ボタンにより選択
するようにすれば、１つ前の既に入力された座標点の前
後の座標点を結ぶ２つのベジェ曲線の接続性（折れ曲が
り具合）や形状（膨らみ）を確認しながら点座標を入力
指定することができる。従って、操作性のよい、点列を
適切なベジェ曲線でトレースする技術を提供することが
できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明の一実施例を適用する画像処理装置を
示すブロック図。

【図２】本実施例の動作手順を示したフローチャート。

【図３】図２に示した手順に従って、入力点座標間に発
生させたベジェ曲線の生成過程を示した説明図。

【図４】数式３に従った第１方向ベクトルＶ21の算出方
向を示す説明図。

【図５】パラメータαと、第２座標点における第２のベ
ジェ曲線の第１方向ベクトルＶ21および第１ベジェ曲線
の第２方向ベクトルＶ22との関係を説明する説明図。

【図６】パラメータβと、第２座標点における第２のベ
ジェ曲線の第１制御点Ｐ21および第１のベジェ曲線の第
２制御点Ｐ22との関係を説明する説明図。

【図７】数式１で示した３次のベジェ曲線を示す平面
図。

【図８】従来例において、入力された点座標列データに
基づいて座標点間のベジェ曲線を発生させる過程を示す
説明図。

【図９】従来例の問題点を説明する説明図。

【符号の説明】

１０…ハードディスク装置 ２０…点座標入力部 ２２…制御点設定条件入力部 ３０…メモリ ４０…制御点算出部 ４０ａ…制御点方向決定部 ４０ｂ…制御点位置決定部 ４２…ベジェ曲線発生部 ５０…画像表示部 ５２…点座標描画部 ５４…ベジェ曲線描画部 ６０…表示装置（ＣＲＴ）

Claims (9)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ３次のベジェ曲線によって点列をトレー
   スする方法であって、（ａ）トレースされるべき複数の
   座標点を順次指定する工程と、（ｂ）最後に指定された
   第１ないし第３の座標点のうちの前記第１の座標点と前
   記第２の座標点との間を第１のベジェ曲線でトレースす
   るために、前記第１のベジェ曲線を規定する２つの制御
   点のうちで前記第２の座標点に近い第１の制御点を決定
   する工程と、（ｃ）前記第２の座標点と前記第３の座標
   点との間を第２のベジェ曲線でトレースするために、前
   記第２のベジェ曲線を規定する２つの制御点のうちで、
   前記第２の座標点に近い第２の制御点を決定する工程
   と、を備え、 前記工程（ｂ）は、前記第２の座標点から前記第１の座
   標点に向かう直線と、前記第３の座標点から前記第２の
   座標点を通って外挿される直線とがはさむ第１の角度か
   ら、前記第２の座標点と前記第１の制御点とを結ぶ第１
   の方向を、所定の第１の設定式に従って決定する工程
   と、 前記第１の方向において、前記第１の制御点の位置を所
   定の第２の設定式に従って決定する工程と、を備え、 前記工程（ｃ）は、前記第２の座標点から前記第３の座
   標点に向かう直線と、前記第１の座標点から前記第２の
   座標点を通って外挿される直線とがはさむ第２の角度か
   ら、前記第２の座標点と前記第２の制御点とを結ぶ第２
   の方向を、所定の第３の設定式に従って決定する工程
   と、 前記第２の方向において、前記第２の制御点の位置を所
   定の第４の設定式に従って決定する工程と、を備えるこ
   とを特徴とする方法。
2. 【請求項２】 請求項１に記載の方法であって、 前記第１の設定式および前記第３の設定式は、前記第１
   の座標点から前記第２の座標点に向かう第１の単位ベク
   トルと前記第２の座標点から前記第３の座標点に向かう
   第２の単位ベクトルとを所定の割合でそれぞれ合成する
   ことによって、前記第１の方向および前記第２の方向を
   それぞれ決定する、ことを特徴とする方法。
3. 【請求項３】 請求項１に記載の方法であって、 前記第１の設定式および前記第３の設定式は、前記第１
   の角度と前記第２の角度を、所定の割合で内分する方向
   をそれぞれ決定することによって、前記第１の方向およ
   び前記第２の方向を決定する、ことを特徴とする方法。
4. 【請求項４】 請求項１ないし３のいずれかに記載の方
   法であって、 前記第２の座標点から前記第１の座標点に向かう線分
   と、前記第１の方向とがはさむ角と、 前記第２の座標点から前記第３の座標点に向かう線分
   と、前記第２の方向とがはさむ角と、を等しく設定する
   ことを特徴とする方法。
5. 【請求項５】 請求項１ないし４のいずれかに記載の方
   法であって、 前記第１の方向および前記第２の方向を、前記第１の角
   度と前記第２の角度をそれぞれ２等分する方向に設定す
   る、ことを特徴とする方法。
6. 【請求項６】請求項２ないし５のいずれかに記載の方法
   であって、 前記第１の方向および前記第２の方向を決定するための
   前記所定の割合として、複数の割合をあらかじめ登録
   し、前記複数の割合の中から、トレースの途中で選択可
   能とすることを特徴とする方法。
7. 【請求項７】 請求項１ないし６のいずれかに記載の方
   法であって、 前記第２の設定式は、前記第１の座標点と前記第２の座
   標点とを結ぶ線分の長さに所定の値を乗じた距離だけ前
   記第２の座標点から離れた位置に前記第１の制御点を決
   定し、 前記第４の設定式は、前記第２の座標点と前記第３の座
   標点とを結ぶ線分の長さに所定の値を乗じた距離だけ前
   記第２の座標点から離れた位置に前記第２の制御点を決
   定する、ことを特徴とする方法。
8. 【請求項８】 請求項７に記載の方法であって、 前記所定の値として複数の値をあらかじめ登録し、前記
   複数の値の中から、トレースの途中で選択可能とするこ
   とを特徴とする方法。
9. 【請求項９】 ３次のベジェ曲線によって点列をトレー
   スする装置であって、 トレースされるべき複数の座標点を順次指定する点座標
   入力部と、 最後に指定された第１ないし第３の座標点のうちの前記
   第１の座標点と前記第２の座標点との間を第１のベジェ
   曲線でトレースするために、前記第１のベジェ曲線を規
   定する２つの制御点のうちで前記第２の座標点に近い第
   １の制御点を決定するとともに、前記第２の座標点と前
   記第３の座標点との間を第２のベジェ曲線でトレースす
   るために、前記第２のベジェ曲線を規定する２つの制御
   点のうちで、前記第２の座標点に近い第２の制御点を決
   定する制御点算出部と、を備え、 前記制御点算出部は、前記第２の座標点から前記第１の
   座標点に向かう直線と、前記第２の座標点から前記第３
   の座標点を通って外挿される直線とがはさむ角度から、
   前記第２の座標点と前記第１の制御点とを結ぶ第１の方
   向を、所定の第１の設定式に従って決定するとともに、
   前記第２の座標点から前記第３の座標点に向かう直線
   と、前記第１の座標点から前記第２の座標点を通って外
   挿される直線とがはさむ角度から、前期第２の座標点と
   前記第２の制御点とを結ぶ第２の方向を、所定の第３の
   設定式に従って決定する制御点方向決定部と、 前記第１の方向において、前記第１の制御点の位置を所
   定の第２の設定式に従って決定するとともに、前記第２
   の方向において、前記第２の制御点の位置を所定の第４
   の設定式に従って決定する制御点位置決定部と、を備え
   ることを特徴とする装置。