JPH0816643A - 面積計算方法 - Google Patents
面積計算方法Info
- Publication number
- JPH0816643A JPH0816643A JP6147350A JP14735094A JPH0816643A JP H0816643 A JPH0816643 A JP H0816643A JP 6147350 A JP6147350 A JP 6147350A JP 14735094 A JP14735094 A JP 14735094A JP H0816643 A JPH0816643 A JP H0816643A
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- curved
- bezier
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 境界曲線がｎ次のＢezier曲線または２次有
理Ｂezier曲線の場合について、制御点の値のみからそ
の境界曲線で囲まれた領域を計算する。 【構成】 Ｂezier曲線又は２次有理Ｂezier曲線である
閉じた曲線列の指定を行う（step１）。次に、指定され
た曲線列中の各曲線Ｃkに対する以下の計算を行う（ste
p２）。 【数８】 次に、Ｓkの総和（ΣＳk）の面積する（step３）。
理Ｂezier曲線の場合について、制御点の値のみからそ
の境界曲線で囲まれた領域を計算する。 【構成】 Ｂezier曲線又は２次有理Ｂezier曲線である
閉じた曲線列の指定を行う（step１）。次に、指定され
た曲線列中の各曲線Ｃkに対する以下の計算を行う（ste
p２）。 【数８】 次に、Ｓkの総和（ΣＳk）の面積する（step３）。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、面積計算方法に関し、
より詳細には、３次元立体形状処理における曲面片の内
外及び大小判定等を行う面積計算方法に関する。例え
ば、平面上の曲線で囲まれた領域の面積の計算を必要と
する技術分野に適用されるものである。
より詳細には、３次元立体形状処理における曲面片の内
外及び大小判定等を行う面積計算方法に関する。例え
ば、平面上の曲線で囲まれた領域の面積の計算を必要と
する技術分野に適用されるものである。
【０００２】
【従来の技術】本発明に係る従来技術の記載された公知
文献としては、Ｓutherland，Ｉ．Ｅ．，Ｓproull，Ｒ.
Ｆ．and Ｓchumacker，Ｒ.Ａ.；「Ａ characterization
of ten hidden-surface algorithms」,(ＡＣＭ Ｃompu
ting Ｓurvey，Ｍarch，1974）がある。このような従来
技術では、曲面片の向き付けられた境界を多角形を用い
て近似し、その多角形について、内外および大小の判定
を行なっていた。しかし、自由曲線からなる境界を持つ
曲面片については、内外および大小を正しく判定できな
いことがあった。
文献としては、Ｓutherland，Ｉ．Ｅ．，Ｓproull，Ｒ.
Ｆ．and Ｓchumacker，Ｒ.Ａ.；「Ａ characterization
of ten hidden-surface algorithms」,(ＡＣＭ Ｃompu
ting Ｓurvey，Ｍarch，1974）がある。このような従来
技術では、曲面片の向き付けられた境界を多角形を用い
て近似し、その多角形について、内外および大小の判定
を行なっていた。しかし、自由曲線からなる境界を持つ
曲面片については、内外および大小を正しく判定できな
いことがあった。
【０００３】図３は、複雑な曲面片とその平均法線ベク
トルを示す図である。ここで内外判定とは、曲面片の法
線ベクトルの向いている方向を外とし、その反対側を内
とすることであり、また大小判定とは、簡単に言えば曲
面片において表面積における大小比較のことである。例
えば、曲面片がねじれているような形状をしているとき
は、多角形では正確に近似できず、法線ベクトルが反対
側を向いてしまうことがある。また、計算速度をポリゴ
ン分割をしたために低速であった。
トルを示す図である。ここで内外判定とは、曲面片の法
線ベクトルの向いている方向を外とし、その反対側を内
とすることであり、また大小判定とは、簡単に言えば曲
面片において表面積における大小比較のことである。例
えば、曲面片がねじれているような形状をしているとき
は、多角形では正確に近似できず、法線ベクトルが反対
側を向いてしまうことがある。また、計算速度をポリゴ
ン分割をしたために低速であった。
【０００４】この点を解決するために、曲面片のうち直
線だけでなく自由曲線を境界に持つものについても、内
外および大小の判定を精度よく、しかも高速に行なうよ
うにした３次元立体形状処理における曲面片の内外及び
大小判定方式が提案されている。
線だけでなく自由曲線を境界に持つものについても、内
外および大小の判定を精度よく、しかも高速に行なうよ
うにした３次元立体形状処理における曲面片の内外及び
大小判定方式が提案されている。
【０００５】平面上の曲線で囲まれた領域の面積の計算
においては、曲線が数式で表現できる場合には、面積を
定義する積分式を解くか、または、数値積分を行うか、
または、曲線をいくつかの線分で近似して、それらの線
分で構成されている多角形の面積で、曲線で囲まれた面
積を代用することが多く行われ、多角形の面積を計算す
る式としては、特開平３−１６３６７９号公報に記載さ
れている。この公報のものは、対象とする曲面片の向き
付けられた境界上で線積分を行ない、該線積分から三次
元ベクトルを構成し、該三次元ベクトルの向きを用いて
対象する曲面片の内外及び大小を判定するものである。
においては、曲線が数式で表現できる場合には、面積を
定義する積分式を解くか、または、数値積分を行うか、
または、曲線をいくつかの線分で近似して、それらの線
分で構成されている多角形の面積で、曲線で囲まれた面
積を代用することが多く行われ、多角形の面積を計算す
る式としては、特開平３−１６３６７９号公報に記載さ
れている。この公報のものは、対象とする曲面片の向き
付けられた境界上で線積分を行ない、該線積分から三次
元ベクトルを構成し、該三次元ベクトルの向きを用いて
対象する曲面片の内外及び大小を判定するものである。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】パラメトリック曲線
（曲線上のある点の座標値それぞれが一つのパラメータ
で表わされる曲線）の代表的なものとして、Ｂezier
（ベジェ）曲線がある。このベジェ曲線は制御ポリゴン
さえ決まれば、曲線形状を一意に決めることができるた
め、ポリゴン形状から直観的に曲線を予想できる。
（曲線上のある点の座標値それぞれが一つのパラメータ
で表わされる曲線）の代表的なものとして、Ｂezier
（ベジェ）曲線がある。このベジェ曲線は制御ポリゴン
さえ決まれば、曲線形状を一意に決めることができるた
め、ポリゴン形状から直観的に曲線を予想できる。
【０００７】このように、Ｂezier曲線はパラメトリッ
クな曲線であり、制御点によってその形状が定義され
る。一方、面積を表わす積分は多項式の形式の方が処理
しやすいため、基底変換によりＢezier曲線を多項式曲
線に変換して計算することが多い。また、次数が高い場
合等では、数値積分によって値を求めることもある。し
かし、このような計算を行うことで、誤差が混入し、厳
密な値が必要なときには、不具合が生じる場合がある。
クな曲線であり、制御点によってその形状が定義され
る。一方、面積を表わす積分は多項式の形式の方が処理
しやすいため、基底変換によりＢezier曲線を多項式曲
線に変換して計算することが多い。また、次数が高い場
合等では、数値積分によって値を求めることもある。し
かし、このような計算を行うことで、誤差が混入し、厳
密な値が必要なときには、不具合が生じる場合がある。
【０００８】一方、有理Ｂezier曲線は、面積を表わす
曲面式が有理式となり、積分が困難である。このような
状況において、Ｂezier曲線または有理Ｂezier曲線で囲
まれた領域の面積の計算が、これらの曲線の制御点から
直接計算可能であれば、数値計算による誤差の影響を最
小限におさえることができる。
曲面式が有理式となり、積分が困難である。このような
状況において、Ｂezier曲線または有理Ｂezier曲線で囲
まれた領域の面積の計算が、これらの曲線の制御点から
直接計算可能であれば、数値計算による誤差の影響を最
小限におさえることができる。
【０００９】本発明は、このような実情に鑑みてなされ
たもので、境界曲線がｎ次のＢezier曲線または２次有
理Ｂezier曲線の場合について、制御点の値のみからそ
の境界曲線で囲まれた領域を計算する面積計算方法を提
供することを目的としている。
たもので、境界曲線がｎ次のＢezier曲線または２次有
理Ｂezier曲線の場合について、制御点の値のみからそ
の境界曲線で囲まれた領域を計算する面積計算方法を提
供することを目的としている。
【００１０】
【課題を解決するための手段】本発明は、上記目的を達
成するために、（１）ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線である閉じた曲線列を指定し、設定された曲線列中の
各曲線Ｃkに対する
成するために、（１）ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線である閉じた曲線列を指定し、設定された曲線列中の
各曲線Ｃkに対する
【００１１】
【数２】
【００１２】の計算を行い、Ｓkの総和を面積とするこ
とにより、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベ
ジェ曲線で囲まれた領域の面積を計算すること、更に
は、（２）曲面片の境界曲線がベジェ曲線又は２次有理
ベジェ曲線である時、曲面片の内外及び大小判定に適用
することを特徴としたものである。
とにより、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベ
ジェ曲線で囲まれた領域の面積を計算すること、更に
は、（２）曲面片の境界曲線がベジェ曲線又は２次有理
ベジェ曲線である時、曲面片の内外及び大小判定に適用
することを特徴としたものである。
【００１３】
【作用】前記構成を有する本発明の面積計算方法は、 （１）ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲線である閉じた
曲線列を指定し、指定された曲線列中の各曲線Ｃkに対
する
曲線列を指定し、指定された曲線列中の各曲線Ｃkに対
する
【００１４】
【数３】
【００１５】の計算を行い、Ｓkの総和を面積とするの
で、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線で囲まれた領域の面積を正確に計算するとこができ
る。 （２）曲面片の境界曲線がベジェ曲線又は２次有理ベジ
ェ曲線である時、曲面片の内外及び大小判定に適用する
ことにより、より正確に内外及び大小判定が可能であ
る。
で、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線で囲まれた領域の面積を正確に計算するとこができ
る。 （２）曲面片の境界曲線がベジェ曲線又は２次有理ベジ
ェ曲線である時、曲面片の内外及び大小判定に適用する
ことにより、より正確に内外及び大小判定が可能であ
る。
【００１６】
【実施例】実施例について、図面を参照して以下に説明
する。図１は、本発明による面積計算方法の一実施例を
説明するためのフローチャートである。以下、各ステッ
プに従って説明する。まず、Ｂezier曲線又は２次有理
Ｂezier曲線である閉じた曲線列の指定を行う（step
１）。次に、指定された曲線列中の各曲線Ｃkに対する
以下の計算を行う（step２）。
する。図１は、本発明による面積計算方法の一実施例を
説明するためのフローチャートである。以下、各ステッ
プに従って説明する。まず、Ｂezier曲線又は２次有理
Ｂezier曲線である閉じた曲線列の指定を行う（step
１）。次に、指定された曲線列中の各曲線Ｃkに対する
以下の計算を行う（step２）。
【００１７】
【数４】
【００１８】次に、Ｓkの総和（ΣＳk）を面積とする
（step３）。
（step３）。
【００１９】
【数５】
【００２０】を
【００２１】
【数６】
【００２２】をそれぞれ使用する。これらの式は、どち
らも曲線を定義している座標値だけを直接使用して面積
を計算できる。
らも曲線を定義している座標値だけを直接使用して面積
を計算できる。
【００２３】図２は、本発明による面積計算方法を適用
する曲面片の内外及び大小判定を説明するためのフロー
チャートである。以下、各ステップに従って順に説明す
る。 step１１ ；曲面片の境界を構成する直線および自由曲線
の集合を求める。step１２ ；前記step１１で得られた集合の要素を一つ選
び、次の３つの線積分を求め、それぞれを記憶装置に蓄
える（ここで、Ｃは集合の要素の境界をあらわすループ
である）。 （ａ）∫C ydz （ｂ）∫C zdx （ｃ）∫C xdystep１３ ；前記step１２と同じ３つの積分を別の要素に
対して実行し、前記step１２で蓄えた積分にそれぞれを
加えて、記憶装置に蓄積する。step１４ ；前記step１３を全ての要素に渡って実行す
る。step１５ ；この曲面片の平均法線ベクトルを、∫C ydz
の総和をｘ成分に、∫C zdxの総和をｙ成分に、∫C xdy
の総和をｚ成分に持つベクトルと定め、それぞれの成分
とベクトルの大きさを計算して記憶装置に蓄える。step１６ ；前記step１５で求めた曲面片の平均法線ベク
トルが、立体の外側を向いていることを利用して、曲面
片の内外を判定できる。また、前記step１５で求めた曲
面片の平均法線ベクトルの大きさを用いて、曲面片の大
きさの判断基準とする。 なお、高速性については、一実施例として高次のＢezie
r（ベジェ）曲線や高次の有理Ｂezier（ベジェ）曲線に
応用すると、簡単な有理式積分となり、公式からパラメ
ータを代入することにより計算できる。
する曲面片の内外及び大小判定を説明するためのフロー
チャートである。以下、各ステップに従って順に説明す
る。 step１１ ；曲面片の境界を構成する直線および自由曲線
の集合を求める。step１２ ；前記step１１で得られた集合の要素を一つ選
び、次の３つの線積分を求め、それぞれを記憶装置に蓄
える（ここで、Ｃは集合の要素の境界をあらわすループ
である）。 （ａ）∫C ydz （ｂ）∫C zdx （ｃ）∫C xdystep１３ ；前記step１２と同じ３つの積分を別の要素に
対して実行し、前記step１２で蓄えた積分にそれぞれを
加えて、記憶装置に蓄積する。step１４ ；前記step１３を全ての要素に渡って実行す
る。step１５ ；この曲面片の平均法線ベクトルを、∫C ydz
の総和をｘ成分に、∫C zdxの総和をｙ成分に、∫C xdy
の総和をｚ成分に持つベクトルと定め、それぞれの成分
とベクトルの大きさを計算して記憶装置に蓄える。step１６ ；前記step１５で求めた曲面片の平均法線ベク
トルが、立体の外側を向いていることを利用して、曲面
片の内外を判定できる。また、前記step１５で求めた曲
面片の平均法線ベクトルの大きさを用いて、曲面片の大
きさの判断基準とする。 なお、高速性については、一実施例として高次のＢezie
r（ベジェ）曲線や高次の有理Ｂezier（ベジェ）曲線に
応用すると、簡単な有理式積分となり、公式からパラメ
ータを代入することにより計算できる。
【００２４】このように、直線および自由曲線から構成
される境界を持つ曲面片に対して、その内外および大小
が高速かつ正確に判定できる。また、正確性について
は、従来技術が多角形近似で計算するのに対して、曲面
片を表わす実際の境界線を使って計算するため精度がよ
くなり、正確に判定が行える。さらに、高速性について
は、従来技術が多角形近似により数値積分をしていた
が、簡単な積分を一度計算すればよいので高速な処理が
可能となった。以上の説明は曲面片の内外及び大小判定
方式についての説明であるが、図１に基づいて説明した
計算方法を図２に基づいて説明した曲面片の内外及び大
小判定に使用することにより、より正確に内外及び大小
判定が実現できる。
される境界を持つ曲面片に対して、その内外および大小
が高速かつ正確に判定できる。また、正確性について
は、従来技術が多角形近似で計算するのに対して、曲面
片を表わす実際の境界線を使って計算するため精度がよ
くなり、正確に判定が行える。さらに、高速性について
は、従来技術が多角形近似により数値積分をしていた
が、簡単な積分を一度計算すればよいので高速な処理が
可能となった。以上の説明は曲面片の内外及び大小判定
方式についての説明であるが、図１に基づいて説明した
計算方法を図２に基づいて説明した曲面片の内外及び大
小判定に使用することにより、より正確に内外及び大小
判定が実現できる。
【００２５】
【発明の効果】以上の説明から明らかなように、本発明
によると、以下のような効果がある。 （１）請求項１に対応する効果：ベジェ曲線又は２次有
理ベジェ曲線である閉じた曲線列を指定し、指定された
曲線列中の各曲線Ｃkに対する
によると、以下のような効果がある。 （１）請求項１に対応する効果：ベジェ曲線又は２次有
理ベジェ曲線である閉じた曲線列を指定し、指定された
曲線列中の各曲線Ｃkに対する
【００２６】
【数７】
【００２７】の計算を行い、Ｓkの総和を面積とするの
で、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線で囲まれた領域の面積を正確に計算するとこができ
る。 （２）請求項２に対応する効果：曲面片の境界曲線がベ
ジェ曲線又は２次有理ベジェ曲線である時、曲面片の内
外及び大小判定に適用することにより、より正確に内外
及び大小判定が可能である。
で、２次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲
線で囲まれた領域の面積を正確に計算するとこができ
る。 （２）請求項２に対応する効果：曲面片の境界曲線がベ
ジェ曲線又は２次有理ベジェ曲線である時、曲面片の内
外及び大小判定に適用することにより、より正確に内外
及び大小判定が可能である。
【図１】 本発明による面積計算方法の一実施例を説明
するためのフローチャートである。
するためのフローチャートである。
【図２】 本発明による面積計算方法を適用する曲面片
の内外及び大小判定を説明するためのフローチャートで
ある。
の内外及び大小判定を説明するためのフローチャートで
ある。
【図３】 複雑な曲面片とその平均法線ベクトルを示す
図である。
図である。
Claims (2)
- 【請求項１】 ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲線であ
る閉じた曲線列を指定し、設定された曲線列中の各曲線
Ｃkに対する 【数１】 の計算を行い、Ｓkの総和を面積とすることにより、２
次平面上でｎ次ベジェ曲線又は２次有理ベジェ曲線で囲
まれた領域の面積を計算することを特徴とする面積計算
方法。 - 【請求項２】 曲面片の境界曲線がベジェ曲線又は２次
有理ベジェ曲線である時、曲面片の内外及び大小判定に
適用することを特徴とする請求項１記載の面積計算方
法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP6147350A JPH0816643A (ja) | 1994-06-29 | 1994-06-29 | 面積計算方法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP6147350A JPH0816643A (ja) | 1994-06-29 | 1994-06-29 | 面積計算方法 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH0816643A true JPH0816643A (ja) | 1996-01-19 |
Family
ID=15428204
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP6147350A Pending JPH0816643A (ja) | 1994-06-29 | 1994-06-29 | 面積計算方法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH0816643A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN106646518A (zh) * | 2016-11-18 | 2017-05-10 | 北京创业公社征信服务有限公司 | 基于三阶贝塞尔曲线及插值的gps轨迹数据补全方法 |
-
1994
- 1994-06-29 JP JP6147350A patent/JPH0816643A/ja active Pending
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN106646518A (zh) * | 2016-11-18 | 2017-05-10 | 北京创业公社征信服务有限公司 | 基于三阶贝塞尔曲线及插值的gps轨迹数据补全方法 |
| CN106646518B (zh) * | 2016-11-18 | 2019-06-11 | 北京创业公社征信服务有限公司 | 基于三阶贝塞尔曲线及插值的gps轨迹数据补全方法 |
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