JPH0660195A - 曲面表示装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】曲面を多角形に分割近似して表示する装置に関
し、近似多角形の生成に要する処理時間を短縮すること
を目的とする。 【構成】パラメトリック曲面の曲がり具合に応じて、適
当な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手
段と、選択したパラメータｕ，ｖのサンプル点における
パラメトリック曲面上の各点の位置を算出する手段と、
パラメトリック曲面上の前記各点の一の点と、その近傍
の他の点とを順次線分で結ぶことによって形成される多
数個の多角形にてパラメトリック曲面を近似し、描画す
る手段とを具備することにより構成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、図形表示装置に係り、
特に曲面を多角形に分割近似して表示する装置に関す
る。

【０００２】

【従来の技術】三次元図形を表示する図形表示装置にお
いては、三次元図形を二次元のスクリーンに投影する処
理を行なう。曲面の中には、曲面上の点の座標をパラメ
ータｕ，ｖを用いて表わすパラメトリック曲面がある
が、これは、 Ｐ（ｕ，ｖ）＝［ ｘ（ｕ，ｖ） ｙ（ｕ，ｖ） ｚ
（ｕ，ｖ） ］ により表記することができるものである。

【０００３】このようなパラメトリック曲面の中には、
図形表示にしばしば用いられる双３次ベッツェ（外１）
曲面があるが、これは、

【数２】 により表記することができるものである。

【外１】

【０００４】ベッツェ曲面を２次元のスクリーンに投影
する処理は、その曲面の式が複雑なため、通常ｕ，ｖを
離散的にサンプリングして、いくつかの曲面上の点を求
め、サンプル点の間は多角形で近似する手法が良く用い
られる。図６は、近似多角形について説明する図であ
る。

【０００５】図６に示すような多角形が、元の曲面を良
く近似する為には、サンプル点の取り方が重要である。
従来より用いられている曲面の分割方法としては、図７
に示すような方法がある。

【０００６】図７において、曲面と近似多角形との誤差
を評価する関数を用意する。曲面を多角形で近似してみ
て、評価関数により誤差を評価する。誤差が小さく満足
する値ならば、その近似多角形を採用する。誤差が大き
く、一定の範囲を越える場合には、曲面を分割点（ｕ
ｄ，ｖｄ）より、四分割する。

【０００７】すなわち、

【数３】 である。

【０００８】続いて、分割の結果得られた四つの曲面の
それぞれについて近似多角形を当てはめ、再び誤差関数
で評価する。このうち、誤差を満足しない曲面について
は、更に四分割を行ない、以後この一連の処理を、誤差
が満足する値になるまで繰り返す。

【０００９】

【発明が解決しようとする課題】このような従来の方法
では、分割を行なう度に、誤差評価の処理が必要であ
り、また、その誤差評価の処理に続いて、曲面の分割処
理が必要となる確率が非常に高いので、処理量が多くな
るという問題点がある。

【００１０】本発明は、このような従来の問題点に鑑み
て為されたものであり、曲面を多角形に近似して表示す
る装置において、曲面分割の処理回数を減少させるため
の手段を設けることにより、近似多角形の生成に要する
処理時間を短縮し、曲面表示装置の性能向上に寄与する
ことを目的とする。

【００１１】

【課題を解決するための手段】本発明によれば、上述の
目的は、前記特許請求の範囲に記載した手段にて達成さ
れる。

【００１２】すなわち、請求項１の発明は、その曲面が
パラメータｕ，ｖの関数によって表わされるパラメトリ
ック曲面を、２次元の画像として表示する装置であっ
て、パラメトリック曲面の曲がり具合に応じて、適当な
個数のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手段
と、選択したパラメータｕ，ｖのサンプル点におけるパ
ラメトリック曲面上の各点の位置を算出する手段と、パ
ラメトリック曲面上の前記各点の一の点と、その近傍の
他の点とを順次線分で結ぶことによって形成される多数
個の多角形にてパラメトリック曲面を近似し、描画する
手段とを具備する曲面表示装置である。

【００１３】また、請求項２の発明は、前記パラメトリ
ック曲面の曲がり具合に応じて、適当な個数のパラメー
タｕ，ｖのサンプル点を選択する手段において、パラメ
トリック曲面の曲率半径の大きさに応じて、適当な個数
のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手段を設け
る曲面表示装置である。

【００１４】また、請求項３の発明は、前記パラメトリ
ック曲面の曲率半径の大きさに応じて、適当な個数のパ
ラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手段において、
パラメトリック曲面上の点であって、その曲率半径が最
小となるものの位置をｕ方向、ｖ方向それぞれ求める手
段と、求めたパラメトリック曲面上の点の位置での曲率
半径ρｕ，ρｖの値に基づいて、その点における近似多
角形とパラメトリック曲面との偏差を、予め定められた
許容値以内とするように、パラメータｕ，ｖのサンプル
点を算出する手段とを設ける曲面表示装置である。

【００１５】また、請求項４の発明は、パラメトリック
曲面が、

【数４】 にて表わされるｍ×ｎ次のベッツェ曲面である場合にお
いて、パラメトリック曲面上の点であって、その曲率半
径が最小となるものの位置をｕ方向、ｖ方向それぞれ求
めるに際し、その位置の探索を、ｕ方向、ｖ方向それぞ
れ制御点を順に結んで形成される折れ線の最も尖ってい
る制御点を探すことにより行なう手段を設ける曲面表示
装置である。

【００１６】また、請求項５の発明は、折れ線の尖り度
として、隣接する制御点を結ぶベクトル、すなわち、 Ｄ_i ＝ Ｑ_ij − Ｑ_{i-i j} Ｄ_j ＝ Ｑ_ij − Ｑ_{i j-i} を考えたとき、ベクトルＤ_iとＤ_i+1との内積、若しくは
Ｄ_jとＤ_j+1との内積を算出する手段と、この内積値が負
で、しかもその絶対値が最大となる制御点を、最も尖っ
た折れ線上の制御点とする手段とを設ける曲面表示装置
である。

【００１７】また、請求項６の発明は、ｕ方向につい
て、曲率半径が最小となる曲面上の点の座標（ｕ，
ｖ）、及びこの座標と僅かにずれた曲面上の他の点の座
標（ｕ＋Δｕ，ｖ）を結ぶ線分と、この線分の両端点を
通る半径ρｕの円弧との差分が、曲面とその近似多角形
に対して要求される最大偏差の２分の１以下となるよう
に、前記Δｕの間隔を算出する手段と、ｖ方向につい
て、曲率半径が最小となる曲面上の点の座標（ｕ，
ｖ）、及びこの座標と僅かにずれた曲面上の他の点の座
標（ｕ，ｖ＋Δｖ）を結ぶ線分と、この線分の両端点を
通る半径ρｖの円弧との差分が、曲面とその近似多角形
に対して要求される最大偏差の２分の１以下となるよう
に、前記Δｖの間隔を算出する手段と、算出したΔｕ及
びΔｖの間隔により、パラメトリック曲面を分割し、適
当な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手
段とを設ける曲面表示装置である。

【００１８】

【作用】本発明では、予め曲面の曲がり具合を算出し
て、適切なサンプル点の間隔を求め、その間隔にて曲面
を分割する方法を採用する。以下の説明で対象とする曲
面は、ｍ×ｎ次のベッツェ曲面、すなわち、

【数５】 である。

【００１９】曲率最大位置の探索 ベッツェ曲面の定義よりｕ＝ｉ／ｍ，ｖ＝ｊ／ｎの時、
Ｂ_i（ｕ）、Ｂ_j（ｖ）はそれぞれ最大値をとり、曲面は
（ｉ，ｊ）番目の制御点Ｑ_ijの影響を最も強く受ける。
曲率最大位置では曲面が最も尖っているのであるから、
制御点ネットの中で最も尖っている制御点Ｑをｕ方向、
ｖ方向それぞれ探査する。

【００２０】尖り度合いの評価値は、例えば、

【数６】 によって算出し、それぞれ負の最大値を与える制御点Ｑ
をその方向の曲率最大位置とする。尖り度合いに関する
説明図を、図１に示す。探査の結果、ｕ方向、ｖ方向そ
れぞれに尖り度最大の制御点Ｑが見つかる。

【００２１】曲率半径の算出 ｕ方向に関して、曲率最大位置での曲率半径ρｕは、ｕ
方向に最も尖っている制御点Ｑ_ijが最も強く影響を及ぼ
す（ｕ，ｖ）＝（ｉ／ｍ，ｊ／ｎ）における曲面の座標
をＰ（ｕ，ｖ）とすると、

【数７】 により算出することができる。

【００２２】上記の式において、ｄＰ_u（ｕ，ｖ）は、
ｕ方向の一次偏微分であり、ｄ²Ｐ_u（ｕ，ｖ）は、ｕ方
向の二次偏微分である。ｕ方向に続いて、ｖ方向に関す
る曲率最大位置での曲率半径ρｖも同様に算出する。

【００２３】分割間隔の算出 次に、図２（ａ）に示すように、点Ｐ（ｕ，ｖ）からｕ
方向に僅かずれた点Ｐ（ｕ＋Δｕ，ｖ）が、半径ρの円
に張る内角θを求める。一方、図２（ｂ）に示すよう
に、半径ρの円弧と弦との距離が、指定の許容偏差ｐｖ
となるような、円弧の内角ｄωを求める。

【００２４】内角θは、｜Ｐ（ｕ，ｖ）−Ｐ（ｕ＋Δ
ｕ，ｖ）｜／ρｕで求めることができ、また、内角ｄω
は、２ｃｏｓ^-1（１−ｐｖ／ρｕ）で求めることができ
る。そして、分割数ｎｕは、θ／ｄω／Δｕで求めるこ
とができる。なお、ｖ方向についても同様である。

【００２５】最大曲率を与える制御点Ｑは、ｕ方向とｖ
方向で異なるであろうが、曲面上の一点にｕ方向、ｖ方
向の最大曲率が重なったと仮定する。上述した方法によ
り求めた分割数ｎｕで曲面を分割した場合、近似多角形
の縁における誤差は、ｕ方向、ｖ方向とも、それぞれ許
容誤差ｐｖの範囲内に収まっている。

【００２６】ところが、近似多角形の中央付近では、図
３に示すように、許容誤差ｐｖを越える誤差となる恐れ
がある。しかし、その量は、最高でも許容誤差ｐｖの二
倍と見積もることができる。そこで、上記の内角ｄωを
算出する際において用いたｐｖの代わりに、ｐｖ’＝ｐ
ｖ／２を用いて、分割数ｎｕを算出するようにしてもよ
い。

【００２７】

【実施例】図４は、本発明の一実施例を示す図である。
図４において、分割間隔算出回路１は、ベッツェ曲面の
ｕ方向、ｖ方向それぞれの次数ｍ，ｎと、制御点Ｑ
_ijと、許容偏差ｐｖとを入力し、曲面を誤差ｐｖ以下で
近似する多角形を発生させるための分割数ｎｕを算出す
る。

【００２８】曲面分割近似回路２は、分割間隔算出回路
１で算出した分割数ｎｕにて、ベッツェ曲面を分割し、
近似多角形を出力する。多角形描画回路３は、ビットマ
ップメモリー上に近似多角形を描画し、曲面の画像を出
力する。曲面分割近似回路２及び多角形描画回路３は、
通常の図形表示装置において広範に実現されているもの
であるので、特に詳述する必要はないであろう。

【００２９】従って、以下の説明では、分割間隔算出回
路１について更に詳しく述べることとする。図５は、分
割間隔算出回路の詳細なブロック図の一例である。図５
において、分割間隔算出回路１０は、曲率最大位置探索
回路１１と、曲率半径算出回路１２と、分割間隔算出回
路１３とを有している。

【００３０】曲率最大位置探索回路１１は、両端の制御
点Ｑ_ijを除く各制御点Ｑ_ijにおいて、 ｕ方向尖り度 (i,j) = ( Q(i-1,j)-Q(i,j) ) ・ ( Q(i,
j)-Q(i+1,j) ) ｖ方向尖り度 (i,j) = ( Q(i,j-1)-Q(i,j) ) ・ ( Q(i,
j)-Q(i,j+1) ) により、三制御点Ｑ_ijで形成する三角形の尖り度を算出
する。

【００３１】そして、負で絶対値が最大の値をとる制御
点Ｑ_ijを、ｕ方向若しくはｖ方向の曲率最大位置とし、
その位置（ｉ，ｊ）を曲率半径算出回路１２に対して出
力する。

【００３２】曲率半径算出回路１２は、ｕ方向の曲率半
径ρｕ、及びｖ方向の曲率半径ρｖを求めるものであ
る。ｕ方向の曲率半径ρｕを求める場合においては、ｕ
方向の曲率最大位置より、ｕ＝ｉ／ｍ，ｖ＝ｊ／ｎに
て、Ｐ（ｕ，ｖ），ｄＰ_u （ｕ，ｖ），ｄ²Ｐ_u（ｕ，
ｖ）を求める。

【００３３】そして、

【数８】 により曲率半径ρｕを算出する。ｖ方向の曲率半径ρｖ
も、同様に算出する。

【００３４】分割間隔算出回路１３は、ｕ方向について
は、Ｐ（ｕ，ｖ）とｕ方向に僅かにずれた点Ｐ（ｕ＋Δ
ｕ，ｖ）が半径ρｕの円に張る内角θを求める。この内
角θは、｜Ｐ（ｕ，ｖ）−Ｐ（ｕ＋Δｕ，ｖ）｜／ρｕ
で求めることができる。

【００３５】また、半径ρの円弧と弦との距離が、所定
の許容偏差ｐｖ以内となるような、円弧の内角ｄωを求
める。この内角ｄωは、２ｃｏｓ^-1（１−ｐｖ／ρｕ）
で求めることができる。分割数ｎｕは、内角θと内角ｄ
ωとを用いて、θ／ｄω／Δｕにより求めることができ
る。なお、ｖ方向についても同様である。

【００３６】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
曲率が大きい位置における曲面上の点を優先的に分割点
とすることにより、曲面分割を行なっているので、近似
多角形を得るために行なう曲面の分割回数が大きく減少
する。よって、曲面分割の処理時間並びに生成しようと
する近似多角形が有する誤差を評価するための処理時間
を大幅に短縮することができるという利点がある。

【図面の簡単な説明】

【図１】ｕ方向の尖り度を説明する図である。

【図２】算出しようとする内角について説明する図であ
る。

【図３】誤差の大きさについて説明する図である。

【図４】本発明の一実施例を示す図である。

【図５】分割間隔算出回路の一例を示すブロック図であ
る。

【図６】近似多角形について説明する図である。

【図７】曲面の分割方法について説明する図である。

【符号の説明】

１，１０ 分割間隔算出回路 ２ 曲面分割近似回路 ３ 多角形描画回路 １１ 曲率最大位置探索回路 １２ 曲率半径算出回路 １３ 分割間隔算出回路

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】その曲面がパラメータｕ，ｖの関数によっ
   て表わされるパラメトリック曲面を、２次元の画像とし
   て表示する装置であって、 パラメトリック曲面の曲がり具合に応じて、適当な個数
   のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手段と、 選択したパラメータｕ，ｖのサンプル点におけるパラメ
   トリック曲面上の各点の位置を算出する手段と、 パラメトリック曲面上の前記各点の一の点と、その近傍
   の他の点とを順次線分で結ぶことによって形成される多
   数個の多角形にてパラメトリック曲面を近似し、描画す
   る手段とを具備することを特徴とする曲面表示装置。
2. 【請求項２】前記パラメトリック曲面の曲がり具合に応
   じて、適当な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選
   択する手段において、 パラメトリック曲面の曲率半径の大きさに応じて、適当
   な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル点を選択する手段
   を設ける請求項１記載の曲面表示装置。
3. 【請求項３】前記パラメトリック曲面の曲率半径の大き
   さに応じて、適当な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル
   点を選択する手段において、 パラメトリック曲面上の点であって、その曲率半径が最
   小となるものの位置をｕ方向、ｖ方向それぞれ求める手
   段と、 求めたパラメトリック曲面上の点の位置での曲率半径ρ
   ｕ，ρｖの値に基づいて、その点における近似多角形と
   パラメトリック曲面との偏差を、予め定められた許容値
   以内とするように、パラメータｕ，ｖのサンプル点を算
   出する手段とを設ける請求項２記載の曲面表示装置。
4. 【請求項４】パラメトリック曲面が、 【数１】 にて表わされるｍ×ｎ次のベッツェ曲面である場合にお
   いて、 パラメトリック曲面上の点であって、その曲率半径が最
   小となるものの位置をｕ方向、ｖ方向それぞれ求めるに
   際し、その位置の探索を、ｕ方向、ｖ方向それぞれ制御
   点を順に結んで形成される折れ線の最も尖っている制御
   点を探すことにより行なう手段を設ける請求項３記載の
   曲面表示装置。
5. 【請求項５】折れ線の尖り度として、隣接する制御点を
   結ぶベクトル、すなわち、 Ｄ_i ＝ Ｑ_ij − Ｑ_{i-i j} Ｄ_j ＝ Ｑ_ij − Ｑ_{i j-i} を考えたとき、ベクトルＤ_iとＤ_i+1との内積、若しくは
   Ｄ_jとＤ_j+1との内積を算出する手段と、この内積値が負
   で、しかもその絶対値が最大となる制御点を、最も尖っ
   た折れ線上の制御点とする手段とを設ける請求項４記載
   の曲面表示装置。
6. 【請求項６】ｕ方向について、曲率半径が最小となる曲
   面上の点の座標（ｕ，ｖ）、及びこの座標と僅かにずれ
   た曲面上の他の点の座標（ｕ＋Δｕ，ｖ）を結ぶ線分
   と、この線分の両端点を通る半径ρｕの円弧との差分
   が、曲面とその近似多角形に対して要求される最大偏差
   の２分の１以下となるように、前記Δｕの間隔を算出す
   る手段と、 ｖ方向について、曲率半径が最小となる曲面上の点の座
   標（ｕ，ｖ）、及びこの座標と僅かにずれた曲面上の他
   の点の座標（ｕ，ｖ＋Δｖ）を結ぶ線分と、この線分の
   両端点を通る半径ρｖの円弧との差分が、曲面とその近
   似多角形に対して要求される最大偏差の２分の１以下と
   なるように、前記Δｖの間隔を算出する手段と、 算出したΔｕ及びΔｖの間隔により、パラメトリック曲
   面を分割し、適当な個数のパラメータｕ，ｖのサンプル
   点を選択する手段とを設ける請求項３記載の曲面表示装
   置。