JPH03225420A - ベッセル関数近似多項式係数の計算方式 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は科学技術計算分野での数値計算処理に関し、特
に構造解析、振動解析、波動解析などの計算処理に有用
なベッセル関数近似多項式係数の計算方式に関する。

〔従来の技術〕

従来、ベッセル関数近似多項式係数の計算法は、例えば
「電子計算機のための数値計算法■」山内二部、宇野利
雄、−松信共編培風館１９６７に示されているように、
ＸがＯ附近（例えばＯ〈Ｘく８）では整板展開式より最
良近似式を生成し、Ｘが大きな値（例えば８〈Ｘ〉では
漸近展開式より最良近似式を生成している。これらの方
法では、展開式係数計算処理部と最良近似式化処理部と
結果出力部とによって最良近似式係数が計算される。

〔発明が解決しようとする課題〕

上述した従来の近似係数の計算方式では、２くＸ〈８に
対し出力された近似式でベッセル関数を計算すると、演
算と中で接近した値どうしの減算によりケタ落ちが生じ
る。従って精度の良い結果を得るには、精度的に余裕の
ある演算器を利用しなければならないという欠点がある
。

さらに、第２種ベッセル関数でＸが０附近のときは対数
計算や第１種ベッセル関数の計算を必要とする近似式と
なり、またＸが大きいときは第１種、第２種ベッセル関
数が共に三角関数２回、平方根１回の計算を必要とする
近似式となり、多くの演算量が必要になるという欠点が
ある。

本発明の目的は上述した点に鑑み、任意のＸの区間で最
良近似式を作ることにより、多項式のみの簡単の計算式
によって演算器の精度に余裕がなくても精度良く高速に
近似解が得られる近似式を生成する計算方式を提供する
ことにある。

〔課題を解決するための手段〕

本発明によるベッセル関数近似多項式係数の計算方式は
、計算区間および計算精度を指示するデータを入力する
入力部と、ベッセル関数の微分値を漸化式によって順次
に計算する高階微分値計算部と、前記微分値に基づきテ
ーラ展開の係数を計算するテーラ展開係数計算部と、前
記係数に基づき前記計算区間および計算精度に対応する
最良近似多項式係数を計算する最良近似多項式化処理部
と、前記最良近似多項式係数を出力する出力部とを有す
る。

［実施例〕 次に本発明について図面を参照して説明する。

第１図は本発明の一実施例の基本構成図である。なお、
以下の説明ではｎ次ベッセル関数Ｊ。

とする）。

入力部１は、最良近似式を得ないＸの区間の情報と、要
求精度あるいは最大項数といった最良近似式化の打切り
情報を入力する。ここで区間の中央値をＸ″とする。

高階微分値計算部２は０次ベッセル間数Ｏ階かｍは十分
大きな値とする）と漸化式方式で計算せる。（詳細につ
いては後述する。）。

テーラ展開係数計算３は上記の０次ベッセル関数の各階
の微分値をその階数にの階乗（ｋりで割り、 −０ のテーラ展開の係数Ｃｋ（Ｃｈ＝Ｚｏ”（Ｘ’　）／ｋ
ｌ）を計算する。また同様に ！）を計算する。

最良近似多項式化処理部４は上記のテーラ展開の係数よ
り、要求精度や最大項数といった打切り情報を満足する
まで、−次から高次の最良近似多項式係数Ｃ’、、Ｄ’
、を順次に計算する。

出力部５は上記のようにして計算された最良近似多項式
係数や最大誤差、偏差点の値等を出力する。

なお、ここで出力される最良近似多項式係数よりベッセ
ル関数近似値を計算するには、ｊを多項式の次数として
次の計算式に従えばよい。

ｋ■０ 第２図はベッセル関数の高階微分値計算部２の詳細を示
す説明図である。

初期値設定部２１はＺ、）（ｘ’　）、Ｚｔ（ｘ’　）
の値の設定、およびｆｏ（ｘ’）□１．ｇｏ（ｘ’）□
０．ｆ’ｏ（ｘ’）＝０．ｇ’ｏ（ｘ’）＝０．に＝１
の値の設定をする。

なお、ｆｓｃ（Ｘ’）、ｇｋ（ｘ’）は次の式を満足す
る（１／Ｘ′）の多項式である。

ｆｓｔ（ｘ’）、ｇｋ（ｘ’）係数計算部２２はｆｂ（
ｘ’）＝ｆ’　ｋ−ｔ（Ｘ）＋ｇｋ−ｘ（Ｘ）ｇｈ（ｘ
’）□ｇ’ｂ−ｔ（ｘ’）−ｆｘ−ｘ（ｘ’）−ｇｋ−
ｔ（ｘ’）／ｘ’としてｆｋ（ｘ’）、ｇｋ（ｘ’）の
計算式の（１／ｘ’）’（ｉ＝０　。

・・・、　ｋ−１）に対する係数を計算する。

ｆ’ｋ（Ｘ’）　ｌ　ｇ’ｍ（ｘ’）係数計算部２３は
上記のようにして計算されるｆｋ（ｘ’）、ｇｋ（ｘ’
）の（１／ｘ’）’に対する係数より、これを微分した
ときの（１／ｘ’）’（ｉ・帆　・・、ｋ）に対する係
数を計算する。

る係数よりそれぞれの関数値を求め 計算制御部２５はｋに１を加えステップ２２に制御を移
すが、ｋが十分大きな値ｍになればこの処理を終了させ
る。

なお、分かりやすくするため、ｆｋ（ｘ’）、ｇｋ（ｘ
’）。

ｆ’ｋ（ｘ’）、ｇ’ｋ（ｘ’）がどのような多項式に
なるか次に例を示す。

ｆ＋（ｘ’）・Ｏ，ｇ＋（ｘ’）・−１，ｆ’ｔ（蝉）
・０．ｇ’ｔ（ｘ’）＝Ｏｆ２（ｘ’）・−１，ｇ２（
ｘ’）４／ｘ’、ｆ’２（ｘ’）□０．ｇ’２（ｘ’）
・−（１／ｘ’）２ ｆ３（ｘ’　）・−１／ｘ’　、ｇ３（ｘ’　）＝−１
−２（１／ｘ’　）２．ｆ’３（ｘ’）＝１（１八’　
＞２．ｇ’３＜ｘ’　）・４（１／ｘ’　）３また、別
の方法としてｒｂ（ｘ’）＋ｇｉ＋（ｘ’）（ｋ＝１．
−・・ｍ）の計算式をテーブルに入れておき、これを参
照方法によればステップ２２および２３の処理部を省略
できる。

〔発明の効果〕

以上説明したように、本発明は次の効果がある。

（１）漸化式計算方式によるベッセル関数の高階微分値
計算部を導入したことにより、任意のＸの区間でのベッ
セル関数のティラー展開式の生成を可能としな、これに
より従来の近似値方法で精度低下が生じていた場合でも
、高精度演算化することなく高い精度の解を得る近似式
をを作ることができる。

（２）本発明によって得られる近似式は単純な多項式で
あり、加算と乗算のみで計算できる。

（３）シたがって従来の方法で得られた近似式より高速
で解が得られる近似式を生成できる。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の一実施例の基本構成図、第２図は高階
微分値計算部の説明図である。

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. 計算区間および計算精度を指示するデータを入力する入
   力部と、ベッセル関数の微分値を漸化式によって順次に
   計算する高階微分値計算部と、前記微分値に基づきテー
   ラ展開の係数を計算するテーラ展開係数計算部と、前記
   係数に基づき前記計算区間および計算精度に対応する最
   良近似多項式係数を計算する最良近似多項式化処理部と
   、前記最良近似多項式係数を出力する出力部とを有する
   ことを特徴とするベッセル関数近似多項式係数の計算方
   式。