JP7258452B1 - Cad向け作図方法 - Google Patents
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Abstract
Description
より詳細には、ギリシャの3大作図問題のひとつである、『角の3等分問題』について、角の3等分問題とは、『任意に与えられた角度を三等分することは可能か?』という問題であり、通常の作図方法、すなわち、コンパスと目盛りの無い定規を用いた作図法では、一般に与えられた角の三等分を作図することが不可能であることが知られている。しかしながら、目盛りのついた定規を使用する作図方法、折り紙を用いた作図方法、放物線を描ける小道具を用いた作図方法等、道具の使い方を変更したり、新しい道具を追加することにより、角の三等分を作図できる場合があることも知られている。
また、CADにおいて、直線または曲線を作図する線の太さは、細いほど好ましく、作図自体が厳密になるほど、線の太さ自体がクローズアップされる。よって、特に、角度の等分の作図方法が厳密になるほど、作図する線の太さ自体を細くすることが要求される。
このCAD向け作図方法は、直線OXと直線OYとの間の交角XOYを3等分するCAD向け作図方法において、直線OX上に点A1、直線OY上に点B1をそれぞれ、OA1=OB1となるように求める段階と、直線OX上の点A1と直線OY上の点B1とを結び、三角形A1OB1を作成する段階と、辺A1B1を一辺とする正三角形A1B1O ‘を作成する段階と、正三角形A1B1O ‘の外接円の中心O11を通り、A1B1に平行な直線がA O ‘およびB O ‘それぞれと交わる点をA2およびB2とする一方、A1B1の中点をO12とする段階と、A2B1とB2 O12、A1B2とA2 O12それぞれの交点C1‘およびC1を求める段階と、O ‘C1およびO ‘C1‘それぞれの延長線がA1B1と交わる点をE1およびE1‘とする段階と、を有し、これにより、E1およびE1‘により、A1B1が3等分され、さらに、A2B2とO ‘C1との交点F1、およびA2B2とO ‘C1‘との交点F1‘それぞれを求める段階と、AおよびBそれぞれから、F1E1‘またはF1‘E1の距離である外接円上の点をそれぞれa及びbとする段階と、a O ‘およびb O ‘それぞれとA1B1との交点IおよびJを求める段階と、直線OIおよび直線OJを引く段階とを、有し、角XOI、角IOJおよび 角JOYそれぞれが、交角XOYの3等分に相当する、構成としている。
このCAD向け作図方法は、CADシステムにより、直線OXと直線OYとの間の交角XOYを3等分するCAD向け作図方法において、
該CADシステムは、直線OX上に点A、直線OY上に点Bをそれぞれ、OA=OBとなるように求める段階と、直線OX上の点Aと直線OY上の点Bとを結び、三角形AOBを作成する段階と、辺ABを一辺とする正三角形ABO1を作成する段階と、正三角形ABO1に外接する中心O2の外接円を作図する段階と、OO1上の頂点Zにより構成されるZAとZBとのなす角度(中央角θ)を、角度XOYの値に応じて、中央角θを角度XOYを変数とする近似曲線により、中央角θの値を算出する段階と、OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、O1HとO2Aとの交点PおよびO1IとO2Bとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角XOP、角POQおよび角QOYを構成する段階とを、実行する、構成としている。
より詳細には、任意角度の3等分に関するCAD向け作図方法に関し、2つの頂点がそれぞれ、3等分すべき任意角度を形成する各線分上にある任意の大きさの正三角形に基づきながら、3等分すべき任意角度に対応する中央角度に注目し、中央角度を利用して作図する場合において、0°から180°までの間で、有限数の角度それぞれにおいて、角度の3等分の角度に相当する角度そのものを用いて中央角度を算出し、これらの有限個の座標点(3等分対象角度、中央角度)に基づいて、近似曲線を求めておけば、この近似曲線を利用することにより、任意角度の3等分の作図方法が、数学的には不可能であることが証明されているとしても、それは、線分の太さがない純理論的な場面であり、実際のCAD向け作図方法においては、視認可能が必須であり、そのために、作図を構成する線分の太さが不可欠である点を考慮すれば、0°から180°までの任意角度において、実質的な誤差を限りなく小さくすることが可能な実用的な任意角度の3等分に関するCAD向け作図方法を提供することが可能となる。
従来既知の2等分作図方法と組み合わせる6等分(2×3)、12等分(2×2×3)、18等分(2×3×3)等なら別段、任意角度の3等分以外の分割作図、たとえば、5等分、7等分、11等分あるいは、これらの組合わせ分割(15等分、21分割、35分割、77分割等)には、適用できず、限定された分割数に限っての作図方法であり、実用に供するCAD向け作図方法とは言い難いものであった。
以上の技術的問題点に鑑み、本発明の目的は、0°から180°までの任意角度を任意非素数について分割する作図において、従来の作図方法に比べて、誤差を小さくすることにより、実用に供するように作図の線の太さを従来より細くすることが可能なCAD向け作図方法を提供することにある。
CADシステムにより、直線OXと直線OYとの間の交角XOYを3等分、または5等分、または7等分、または11等分するCAD向け作図方法において、
該CADシステムは、
直線OX上に点A、直線OY上に点Bをそれぞれ、OA=OBとなるように求める段階と、
直線OX上の点Aと直線OY上の点Bとを結び、三角形AOBを作成する段階と、
辺ABを一辺とする正三角形ABO1を作成する段階と、
正三角形ABO1に外接する中心O2の外接円を作図する段階と、
O2を通り、ABに平行な線分が外接円と交わる点CおよびDを求める段階と、
前記外接円とO1O2の延長線との交点O3を頂点とし、GおよびHが前記外接円上にあり、かつ、ABと平行な対辺GHを有する正三角形GHO3を作成する段階と、
GO3とA O1、HO3とB O1それぞれの交点Eおよび交点Fを求める段階と、
角度XOYの値および角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、OO1上の頂点Zにより構成されるZAとZBとのなす角度(中央角θ)を、中央角θを作図して、中央角θを算出する段階と、
複数の交角XOYそれぞれに対して、上記中央角θを算出する段階を繰り返し、角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、角度XOYを変数とする中央角θの近似曲線をそれぞれ求める段階と、
所与の角度XOYに対して、前記近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
3等分の場合は、O1HとO2Aとの交点PおよびO1IとO2Bとの交点Qを求め、5等分の場合は、O1HとCDとの交点PおよびO1IとCDとの交点Qを求め、7等分の場合は、O1HとFGとの交点PおよびO1IとEHとの交点Qを求め、11等分の場合は、O1HとBEとの交点PおよびO1IとAFとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行し、
これにより、角POQが角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に相当する、構成としている。
さらにまた、角度XOYの7等分の場合は、角度XOPおよび角度QOYそれぞれを、請求項1に記載の3等分作図法により3等分するのでもよい。
加えて、角度XOYの11等分の場合は、角度XOPおよび角度QOYそれぞれを請求項2に記載の5等分作図法により5等分作図するのでもよい。
さらに、角度XOYを3m5l7n11o(m、l、n、oは零以上の整数)分割する場合、角度XOYをまず3分割し、3分割した角度領域各々に対して、5分割し、5分割した角度領域各々に対して、7分割し、7分割した角度領域各々に対して、11分割することにより行うのでもよい。
さらに、前記角度3φが、90°および180°それぞれの場合、中央角θは 、90°および180°であり、前記近似曲線は、少なくともこの2 点を通過する。
さらにまた、複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、隣接する3φの角度間隔は、10°ないし20°ごとに設定されるのがよい。
加えて、複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、前記近似曲線の角度3 φに対する微係数に応じて、10°ないし20°の範囲で、隣接する 3φの角度間隔ごとに設定されるのがよい。
さらに、前記角度XOYを3等分する作図段階において、角度XOYの値 に応じて、ズームアップ機能を利用して、拡大して作図を行うのがよい。
さらにまた、正三角形ABO1を作図する場合、O1がABに関してOと反対側に位置するように位置決めするのでもよい。
より詳細には、任意角度の3等分に関するCAD向け作図方法に関し、2つの頂点がそれぞれ、3等分すべき任意角度を形成する各線分上にある任意の大きさの正三角形に基づきながら、3等分すべき任意角度に対応する中央角度に注目し、中央角度を利用して作図する場合において、0°から180°までの間で、有限数の角度それぞれにおいて、角度の3等分の角度に相当する角度そのものを用いて中央角度を算出し、これらの有限個の座標点(3等分対象角度、中央角度)に基づいて、近似曲線を求めておけば、この近似曲線を利用することにより、任意角度の3等分の作図方法が、数学的には不可能であることが証明されているとしても、それは、線分の太さがない純理論的な場面であり、実際のCAD向け作図方法においては、視認可能が必須であり、そのために、作図を構成する線分の太さが不可欠である点を考慮すれば、0°から180°までの任意角度において、実質的な誤差を限りなく小さくすることが可能な実用的な任意角度の3等分に関するCAD向け作図方法を提供することが可能となる。
入力部10は、マウスやキーボード等の入力装置から構成される。この入力部10から入力される例えばマウスカーソルの位置情報は、カーソル位置検知部20で検出される。このカーソル位置検知部20によって検出されたこのカーソル位置情報は、表示制御部90に供給され、そこで例えばCRT装置や液晶ディスプレイ装置からなる表示部80の表示画面上の検出された位置にマウスカーソル等が表示される。
また、カーソル位置検知部20からのカーソル位置情報は、コマンド実行処理部30に与えられ、そこでカーソル位置検知部20で検出されたカーソル位置と入力部10からのクリック情報等から選択されたコマンドを実行し、CAD処理部40に対して実行されたコマンド処理を施す。このコマンド実行処理部30は、カーソル位置検知部20で検出されたカーソル位置にアイコン等のコマンド起動メニューが表示されていない場合には、そのカーソル位置情報をCAD処理部40にスルー状態で供給する。
CAD処理部40は、コマンド実行処理部30を介して入力された情報に基づきCAD 処理を行う。このCAD処理部40については、通常のCAD 処理を行うものなので詳しい説明は割愛するが、外部のハードディスク装置等の記憶媒体からなる図形情報記憶部50から図形要素情報を入力し、編集等を加えた後にその図形要素情報を図形情報記憶部50に保存する役割も果たしている。
( 1 ) 直線の場合、端点・中点、
( 2 ) 円・楕円・穴記号の場合、中心点、
( 3 ) 円弧・楕円弧の場合、端点・中心点、
( 4 ) 自由曲線の場合、頂点、
の対からX 軸及びY 軸に沿う延長直線の交点を目的要素として、カーソルがこれを捕捉したときに、カーソルの表示形態を変更する等X ・等Yコマンド160と、第3に、反応要素である図形要素の描画開始点から水平又は垂直方向に延びる線を目的要素として、カーソルがこれを補足したときに、カーソルの表示形態を変更する水平・垂直コマンド170と、第4に、反応要素である図形要素の描画開始点から予め入力した角度増量値の値と一致する角度方向に延びる線を目的要素とし、カーソルがこれを捕捉したときに、カーソルの表示形態を変更する角度増量コマンド180との4つのコマンドがあり、それぞれのコマンド150~180のチェックボックスをチェックすることにより、チェックされたコマンドが目的要素位置検知部60で実行される。また、この作図支援機能設定ダイアログボックスには、角度増量コマンド180において任意の角度を入力部10のキーボード等を用いて手入力により入力する角度増量値入力ボックス190も備えられている。
分割数の入力ボックス191および分割対象角度入力ボックス192も備えられている。
近似曲線の作成方法は、CADシステムにより、直線OXと直線OYとの間の交角XOYを3等分、または5等分、または7等分、または11等分するCAD向け作図方法において、該CADシステムは、
直線OX上に点A、直線OY上に点Bをそれぞれ、OA=OBとなるように求める段階と、
直線OX上の点Aと直線OY上の点Bとを結び、三角形AOBを作成する段階と、
辺ABを一辺とする正三角形ABO1を作成する段階と、
正三角形ABO1に外接する中心O2の外接円を作図する段階と、
O2を通り、ABに平行な線分が外接円と交わる点CおよびDを求める段階と、
前記外接円とO1O2の延長線との交点O3を頂点とし、GおよびHが前記外接円上にあり、かつ、ABと平行な対辺GHを有する正三角形GHO3を作成する段階と、
GO3とA O1、HO3とB O1それぞれの交点Eおよび交点Fを求める段階と、
角度XOYの値および角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、OO1上の頂点Zにより構成されるZAとZBとのなす角度(中央角θ)を、中央角θを作図して、中央角θを算出する段階と、
複数の交角XOYそれぞれに対して、上記中央角θを算出する段階を繰り返し、角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、角度XOYを変数とする中央角θの近似曲線をそれぞれ求める段階を有する。
図8、図9および図45に示すように、角度XOYの5等分の場合は、角度XOYを3等分する直線OLおよび直線OMを引き、直線OLとO2Aとの交点P、および直線OMとO2Bとの交点Qを求め、O1PとO2を通りO1Aに平行な線分との交点H、およびO1QとO2を通りO1Bに平行な線分との交点Iを求め、AHとBIとの交点ZをO1O2上に求め、角度XZYを中央角θとして算出する。
図46に示すように、角度XOYの7等分の場合は、角度XOYを3等分する直線OLおよび直線OMを引き、直線OLとO2Aとの交点P、および直線OMとO2Bとの交点Qを求め、O1PとO2を通りO1Aに平行な線分との交点H、およびO1QとO2を通りO1Bに平行な線分との交点Iを求め、AHとBIとの交点ZをO1O2上に求め、角度XZYを中央角θとして算出する。
図47に示すように、角度XOYの11等分の場合は、角度XOYを3等分する直線OLおよび直線OMを引き、直線OLとO2Aとの交点P、および直線OMとO2Bとの交点Qを求め、O1PとO2を通りO1Aに平行な線分との交点H、およびO1QとO2を通りO1Bに平行な線分との交点Iを求め、AHとBIとの交点ZをO1O2上に求め、角度XZYを中央角θとして算出する。
この場合、以下に示すように、角度XOYを、たとえば、10°刻みごとに、近似曲線を直線近似し、0°から180°までの任意角度XOYの全体近似曲線を折れ線近似した場合でも、所与の角度XOYに対して、折れ線近似により算出した中央角度を利用して、角度XOYを3m5l7n11o(m、l、n、oは零以上の整数)分割する場合において、作図の線の太さも考慮すれば、実質的に誤差のない作図方法を実現可能である。
3等分する角度が、10ごとに、10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80°、90°、100°、110°、120°、130°、140°、150°、160°、および170°それぞれの場合、中央角度θは、小数点2位まで、110.72°、102.93°、96.60°、91.83°、88.55°、86.72°、86.36°、87.43°、90.00°、94.12°、99.87°、107.31°、116.47°、127.26°、139.48°、152.71°、および166.44°となった。
この結果を、横軸に3等分する角度(3φに相当)、縦軸に中央角度θとして、17点をプロットして、17点を滑らかに通る近似曲線を作成したのが、図10である。
図10に示すように、近似曲線は、60°ないし70°の範囲に最小値を有する下に凸の曲線である。
CADの作図画面において、上記作図手順に従い、中央角度θを作図し、中央角度θの数値をCADの基本的角度読み取り機能(例えば、中央角度θを構成する2直線の一方の直線にカーソルを合わせ、他方の直線までカーソルを移動させることにより、中央角度θの読み取り可能)により算出し、10°ごとの3等分すべき角度と、対応する中央角度θとのデータセットにより、角度Δと角度Δ+10との間ごとに、中央角度θを直線式F(Δ)で近似し、角度Δに対応した直線式F(Δ)をメモリに記憶させておき、任意の3等分すべき角度が選択される場合において、それに応じて、中央角度θを算出すべき直線式F(Δ)が選択されるようにしておく。
角度XOYの3等分の場合と同様な手順に従って作成した、角度XOYの5等分、7等分および11等分する場合それぞれの図10と同様な近似曲線を、図11、図12、および図13に示す。
所与の角度XOYに対して、前記近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
3等分の場合は、O1HとO2Aとの交点PおよびO1IとO2Bとの交点Qを求め、5等分の場合は、O1HとCDとの交点PおよびO1IとCDとの交点Qを求め、7等分の場合は、O1HとFGとの交点PおよびO1IとEHとの交点Qを求め、11等分の場合は、O1HとBEとの交点PおよびO1IとAFとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行することにより構成される。
角度3φが、90°および180°それぞれの場合、中央角θは、90°および180°であり、近似曲線は、少なくともこの2点を通過する。
複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、隣接する3φの角度間隔は、10°ないし20°ごとに設定される。
複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、近似曲線の角度3φに対する微係数に応じて、10°ないし20°の範囲で、隣接する3φの角度間隔ごとに設定される。
角度XOYを3等分する作図段階において、角度XOYの値に応じて、ズームアップ機能を利用して、拡大して作図を行うのでもよい。
近似曲線は、3φと、それに対応する中央角θとによる複数の座標(3φ、θ)間を接続する折れ線により近似するのでもよい。
正三角形ABO1を作図する場合、O1がABに関してOと反対側に位置するように位置決めするのでもよい。
図14ないし図22(いずれもCAD作図画面を示す)において、上述の近似曲線を利用して、分割すべき対象角度、および分割数に応じて、中央角度を算出し、それにより作図する場合を示す。
図14は、分割すべき対象角度が20°、および分割数が5分割の場合であり、図11の近似曲線によれば、中央角度は182.63°である。
それに基づいて、CAD向け作図方法は、所与20°の角度XOYに対して、近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
5等分の場合は、O1HとCDとの交点PおよびO1IとCDとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行し、
これにより、角POQが角度XOYの5等分に相当する。
図15は、分割すべき対象角度が97°、および分割数が5分割の場合であり、図11の近似曲線によれば、中央角度は158.4°である。
CAD向け作図方法は、図14と同様である。
図16は、分割すべき対象角度が160°、および分割数が5分割の場合であり、図11の近似曲線によれば、中央角度は183.96°である。
CAD向け作図方法は、図14と同様である。
図17は、分割すべき対象角度が20°、および分割数が7分割の場合であり、図12の近似曲線によれば、中央角度は183.44°である。
それに基づいて、CAD向け作図方法は、所与20°の角度XOYに対して、近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
7等分の場合は、O1HとFGとの交点PおよびO1IとEHとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行し、
これにより、角POQが角度XOYの7等分に相当する。
図18は、分割すべき対象角度が97°、および分割数が7分割の場合であり、図の近似曲線によれば、中央角度は112.7°である。
CAD向け作図方法は、図17と同様である。
図19は、分割すべき対象角度が160°、および分割数が7分割の場合であり、図の近似曲線によれば、中央角度は113.57°である。
CAD向け作図方法は、図17と同様である。
図20は、分割すべき対象角度が20°、および分割数が11分割の場合であり、図の近似曲線によれば、中央角度は229.26°である。
それに基づいて、CAD向け作図方法は、所与20°の角度XOYに対して、近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
11等分の場合は、O1HとBEとの交点PおよびO1IとAFとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行し、
これにより、角POQが角度XOYの11等分に相当する。
図21は、分割すべき対象角度が97°、および分割数が11分割の場合であり、図の近似曲線によれば、中央角度は229.03°である。
CAD向け作図方法は、図20と同様である。
図22は、分割すべき対象角度が160°、および分割数が11分割の場合であり、図の近似曲線によれば、中央角度は232.88°である。
CAD向け作図方法は、図20と同様である。
図23ないし図26を参照して、角度XOYが80°の場合において、21分割するCAD用作図方法を説明する。概略的には、3分割用の近似曲線により中央角度を求め、角度XOYを3分割作図し、角度XOYを3分割する角度それぞれに対して、7分割用の近似曲線により中央角度を求め、角度XOYを3分割する角度それぞれを7分割作図する。
図24は、角度XOYを3分割する角度LOMに対して、角度LOMを7分割するためのPおよびQをそれぞれ求め、OとP1とを結ぶOL1、およびOとQ1とを結ぶOM1を引き、角度LOL1、角度L1OM1および角度M1OMそれぞれが、角度LOMの7分割の3倍、1倍および3倍に相当する角度である点を示す。
図25は、角度LOMの7分割の3倍に相当する角度LOL1を3分割する場合の中央角度に基づいて、角度LOL1を3分割するためのPおよびQをそれぞれ求め、OとPとを結ぶOL2、およびOとQとを結ぶOM2を引き、角度LOL2、角度L2OM2および角度M2OM1それぞれが、角度LOL1の3分割に相当する角度である点を示す。
また、角度LOMと同様に、角度XOYを3分割する角度XOLについて、角度LOMと同様に、角度XOLを7分割するためのPおよびQをそれぞれ求め、角度XOL3、角度L3OM3および角度M3OLそれぞれを、角度XOLの7分割の3倍、1倍および3倍に相当する角度として作図し、さらに、角度XOL3、および角度M3OLそれぞれを3分割するためのPおよびQをそれぞれ求め、角度XOL5、角度L5OM5および角度M5OL3それぞれ、および角度M3OL4、角度L4OM4および角度M4OLそれぞれを、角度XOL3、および角度M3OLそれぞれの3分割に相当する角度として作図する。
図26は、角度XOYを21分割する作図が完了した図を示す。以上のように、角度XOYが80°の場合において、まず、角度XOYを3分割の作図を行い、3分割したそれぞれの角度に対して、7分割の作図を行い、3分割および7分割それぞれにおいて、近似曲線を利用して、中央角度を算出し、算出した中央角度に基づいて、作図を行うことにより、図26に示すように、実質的に誤差のない作図が可能であることが示されている。
図27は、角度XOYを7分割する場合の中央角度113.57°に基づいて、角度XOYを7分割するためのPおよびQをそれぞれ求め、OとPとを結ぶOL、およびOとQとを結ぶOMを引き、角度XOL、角度LOMおよび角度MOYそれぞれが、角度XOYの7分割の3倍、1倍および3倍に相当する角度である点を示す。
図28は、角度XOYの7分割の3倍に相当する角度XOLに対して、角度LOMを利用して、角度LOMを3分割するOL2、およびOL3を引き、角度XOL3、角度L3OL2および角度L2OLそれぞれが、角度XOLの3分割に相当する角度である点を示す。
図29は、角度LOMの11分割する場合の中央角度229.18°に基づいて、角度LOMを11分割するためのP1およびQ1をそれぞれ求め、OとP1を結ぶOL1、およびOとQ1を結ぶOM1を引き、角度LOL1、角度L1OM1、および角度M1OMそれぞれが、角度LOMの11分割の5倍、1倍および5倍に相当する角度に相当する角度である点を示す。
さらに、角度LOL1が角度LOMの11分割の5倍に相当するところ、角度LOL1の5分割する場合の中央角度187.7°に基づいて、角度LOL1を5分割するためのP2およびQ2をそれぞれ求め、OとP2を結ぶOL4、およびOとQ2を結ぶOM4を引き、角度LOL4、角度L4OM4、および角度M4OL1それぞれが、角度LOL1の5分割の2倍、1倍および2倍に相当する角度に相当する角度である点を示す。
さらに、角度LOL4、および角度M4OL1それぞれを、従来既知の作図方法により2分割し、角度LOL5、角度L5OL4、および角度M4OM5、角度M4OL1それぞれが、角度LOL4、および角度M4OL1それぞれの2分割に相当する角度である点を示す。
さらに、角度MOM6、および角度L6OM1それぞれを、従来既知の作図方法により2分割し、角度MOM7、角度M7OM6、および角度L6OL7、角度L7OM1それぞれが、角度MOM6、および角度L6OM1それぞれの2分割に相当する角度である点を示す。
図31および図32は、図30の角度LOMの11分割と同様に、角度XOYの7分割の3倍に相当する角度LOXについて、角度LOXの3分割に相当する角度LOL2、角度L2OL3および角度L3OXそれぞれを11分割する手順を示す。
図34は、角度XOYを77分割する作図が完了した図を示す。以上のように、角度XOYが160°の場合において、まず、角度XOYを7分割の作図を行い、7分割したそれぞれの角度に対して、11分割の作図を行い、7分割および11分割それぞれにおいて、近似曲線を利用して、中央角度を算出し、算出した中央角度に基づいて、作図を行うことにより、図34に示すように、実質的に誤差のない作図が可能であることが示されている。
上述の、角度XOYが80°の場合において、21分割するCAD用作図方法(図23ないし図26)、および角度XOYが160°の場合において、111分割するCAD用作図方法(図27ないし図34)と同様に、角度XOYを3分割する場合の中央角度152.71°に基づいて、角度XOYを3分割し(図35)、次いで、角度XOYを3分割したそれぞれに対して、5分割する場合の中央角度164.2°に基づいて、5分割し(図36)、次いで、角度XOYを5分割したそれぞれに対して、11分割する場合の中央角度に基づいて、11分割し(図37ないし図42)、図43において、160°の角度XOYを105分割する作図が完了した図を示す。
φ:3等分角度
XOY(3φ):任意鋭角
ABO1:正三角形
O2:正三角形ABO1の外接円の中心
Z:OO1上の頂点Zにより構成されるZAとZBとのなす角度
H:O2を通り、AO1に平行な線分がO1PのP側への延長線と交わる
I:O2を通り、BO1に平行な線分がO1QのQ側への延長線と交わる点
Claims (14)
- CADシステムにより、直線OXと直線OYとの間の交角XOYを3等分、または5等分、または7等分、または11等分するCAD向け作図方法において、
該CADシステムは、
直線OX上に点A、直線OY上に点Bをそれぞれ、OA=OBとなるように求める段階と、
直線OX上の点Aと直線OY上の点Bとを結び、三角形AOBを作成する段階と、
辺ABを一辺とする正三角形ABO1を作成する段階と、
正三角形ABO1に外接する中心O2の外接円を作図する段階と、
O2を通り、ABに平行な線分が外接円と交わる点CおよびDを求める段階と、
前記外接円とO1O2の延長線との交点O3を頂点とし、GおよびHが前記外接円上にあり、かつ、ABと平行な対辺GHを有する正三角形GHO3を作成する段階と、
GO3とA O1、HO3とB O1それぞれの交点Eおよび交点Fを求める段階と、
角度XOYの値および角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、OO1上の頂点Zにより構成されるZAとZBとのなす角度(中央角θ)を、中央角θを作図して、中央角θを算出する段階と、
複数の交角XOYそれぞれに対して、上記中央角θを算出する段階を繰り返し、角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に応じて、角度XOYを変数とする中央角θの近似曲線をそれぞれ求める段階と、
所与の角度XOYに対して、前記近似曲線により対応する中央角θを算出する段階と、
OO1上に角度AZB=θとなるZを求める段階と、
O1A//O2H、O1B//O2I、となるHおよびIをそれぞれ、AZおよびBZ上に求める段階と、
3等分の場合は、O1HとO2Aとの交点PおよびO1IとO2Bとの交点Qを求め、5等分の場合は、O1HとCDとの交点PおよびO1IとCDとの交点Qを求め、7等分の場合は、O1HとFGとの交点PおよびO1IとEHとの交点Qを求め、11等分の場合は、O1HとBEとの交点PおよびO1IとAFとの交点Qを求める段階と、
OPおよびOQを引き、角POQを構成する段階とを、実行し、
これにより、角POQが角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に相当するCAD向け作図方法。 - 前記近似曲線を求める段階は、交角XOYに該当する角度Δと角度Δ+10°との間ごとに、中央角度θを直線式F(Δ)で近似し、角度Δに対応した直線式F(Δ)をメモリに記憶させておき、任意の3等分、または5等分、または7等分、または11等分すべき角度が選択される場合において、それに応じて、中央角度θを算出すべき直線式F(Δ)を選択する、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 角度XOYの5等分の場合は、角度XOPおよび角度QOYそれぞれを2等分作図する、請求項2に記載のCAD向け作図方法。
- 角度XOYの7等分の場合は、角度XOPおよび角度QOYそれぞれを、請求項1に記載の3等分作図法により3等分する、請求項3に記載のCAD向け作図方法。
- 角度XOYの11等分の場合は、角度XOPおよび角度QOYそれぞれを請求項2に記載の5等分作図法により5等分作図する、請求項4に記載のCAD向け作図方法。
- 角度XOYを3m5l7n11o(m、l、n、oは零以上の整数)分割する場合、請求項1ないし請求項4それぞれに記載の作図法により、角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分を段階的にm+l+n+o回行う、請求項5に記載のCAD向け作図方法。
- 角度XOYを3m5l7n11o(m、l、n、oは零以上の整数)分割する場合、角度XOYをまず3分割し、3分割した角度領域各々に対して、5分割し、5分割した角度領域各々に対して、7分割し、7分割した角度領域各々に対して、11分割することにより行う、請求項5に記載のCAD向け作図方法。
以上のように、角度XOYを3m5l7n11o分割する場合において、たとえば、角度XOYを3等分し、3等分したそれぞれの角度を5等分し、5等分したそれぞれの角度を7等分し、7等分したそれぞれの角度を11等分することにより行うところ、3等分、または5等分、または7等分、または11等分において、近似曲線に基づいて中央角度を利用して、作図する点は共通であり、角POQが角度XOYの3等分、または5等分、または7等分、または11等分に相当する中央角度の作図をする際、点Pおよび点Qの作図方法が異なるに過ぎず、3等分の場合は、O1HとO2Aとの交点PおよびO1IとO2Bとの交点Qを求め、5等分の場合は、O1HとCDとの交点PおよびO1IとCDとの交点Qを求め、7等分の場合は、O1HとFGとの交点PおよびO1IとEHとの交点Qを求め、11等分の場合は、O1HとBEとの交点PおよびO1IとAFとの交点Qを求める。
- 直線OXと直線OYとの間の交角XOYは、0°より大きく、180°以下 である、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 前記角度3φが、90°および180°それぞれの場合、中央角θは 、90°および180°であり、前記近似曲線は、少なくともこの2 点を通過する、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、隣接する3φの角度間隔は、10°ないし20°ごとに設定される、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 複数の所与の角度φに対応する3φにおいて、前記近似曲線の角度3 φに対する微係数に応じて、10°ないし20°の範囲で、隣接する 3φの角度間隔ごとに設定される、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 前記近似曲線は、3φと、それに対応する中央角θとによる複数の座 標(3φ、θ)間を接続する折れ線により近似する、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 前記角度XOYを3等分する作図段階において、角度XOYの値 に応じて、ズームアップ機能を利用して、拡大して作図を行う、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
- 正三角形ABO1を作図する場合、O1がABに関してOと反対側に位置するように位置決めする、請求項1に記載のCAD向け作図方法。
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