JP6226320B2 - 鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法、同定装置および同定用プログラム - Google Patents

Description

本発明は、体積弾性率（体積弾性係数）、流量係数などを未知とする鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法、当該同定法を用いた同定装置および当該同定法をコンピュータに実行させるための同定用プログラムに関する。

油圧マニピュレータは、電動マニピュレータと比較すると、出力荷重比が高いだけでなく、エネルギを消費せずに姿勢維持が可能である。このため、油圧マニピュレータは建設、レスキュー、地雷除去、農業などの分野における作業機として普及している。近年は作業条件（作業環境、作業対象、作業者、作業機自身の手先形状などの条件）に対する依存度を低減させるために、モデルベースト制御による高度自動化が強く期待されている。

油圧マニピュレータを高度自動化するために、インピーダンス制御、適応制御、ゲインスケジュールド制御を含め、数多くの制御系設計法が提案されている。これらの制御系設計法は、油圧マニピュレータのパラメータ同定を前提としている。また、パラメータ同定を前提としない制御系設計法を数値シミュレーションで検証するためにも、パラメータ同定が必要である。さらに、高度な故障検出や品質管理を達成するためにもパラメータ同定は重要である。

油圧マニピュレータの場合には、電動マニピュレータの場合に比べて、パラメータ同定が困難である。理由の第１点として、油圧マニピュレータの未知パラメータは電動マニピュレータよりも個数が多く、かつ、流量係数のように公称値が与えられない（非特許文献１参照）ことがある。

理由の第２点として、油圧マニピュレータの制御系設計モデルは複雑なナビエ・ストークス方程式などに複数の仮定を与えて得られるため、電動マニピュレータなど（非特許文献３、４、５、６参照）と異なり、常に解軌道が存在するとは限らないことがある。換言すると、同定誤差が一定程度を上回ると、圧力の平方関数を有する入力行列が虚数になって数値シミュレーションが不可能となり、ＧＡ（Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）（非特許文献９）、ＰＳＯ（Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｓｗａｒｍ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ）（非特許文献１０）などの探索法に基づく同定法を適用できない。

理由の第３点として、油圧マニピュレータは入出力の制約が強いことがある。入力にはスプールに対する摩擦力を低減するためのディザー（人工の振動）信号が常に存在するため、零入力応答を用いた同定ができない。また、モータ駆動ではなくシリンダ駆動が多いため、関節位置など出力飽和が生じやすい。

本発明者等は、流量係数、配管体積を含む９つのパラメータを未知とする水平１自由度油圧アームのパラメータ同定法を提案し、モデル検証により当該同定法の有効性を実証することに成功した（非特許文献８参照）。当該同定法は、ＧＡ（非特許文献９）、ＰＳＯ（非特許文献１０）などの探索法に基づく同定法とは異なり、初期推定値などを試行錯誤する必要が無く、計算コストも低い。

一方、従来において、鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法には、全リンクを同時運動させる同時同定法（非特許文献５）と各リンクを逐次運動させる逐次同定法（非特許文献４）が知られている。一般に、建設機械など実際の油圧マニピュレータでは
、作業領域の形状や大きさ、計算精度（逆行列の条件数）の観点から同時同定法よりも逐次同定法が好ましい。

なお、本明細書において参照している先行技術文献を以下に列記する。

Merrit H：Hydraulic control systems, John Willey & Sons,(1967) 西海，一柳，加藤，小波：自励振動法を用いた油圧サーボアクチュエータ系の実時間パラメータ推定，日本フルードパワーシステム学会論文集，Vol.36，No.1，p.1-7 (2005) Johan G.，Erik W.，Geir H.，Torgny B.：Nonlinear Grey-Box Identification of Linear Actuators Containing Hysteresis,Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation, p.1818-1823 (2006) Mayeda, H. Yoshida, K. Osuka, K. ：Base parameters of manipulator dynamic models, IEEE Transactions on robotics and automation, Vol.6, No.3, p.312-321 (1990) H. Kawasaki, K. Nishimura：Terminal-Link Parameter Estimation of Robotic Manipulator, IEEE J.Robotics and Automation, Vol.4, No.1, p.485-490 (1988) 大明, 足立：シリアル2 リンク2 慣性系の非干渉化同定と物理パラメータ推定, 電気学会論文誌D, Vol.128, No.5, p.669-677（2008） M. Jelali, A. Kroll:Hydraulic servo systems,Springer,(2002) 前島, 酒井, 中西, 大須賀：油圧アームの基底パラメータ同定法とモデル検証, 日本フルードパワーシステム学会論文集, Vol.43, No.1, p.16-21 (2012) C. Li, J. Zhou：Parameters identification of hydraulic turbine governing system using improved gravitational search algorithm, Energy Conversion and Management, Vol.52, p.374-381 (1970) Bruno H. G. Barbosa, Luis A. Aguirre, Carlos B. Martinez, and Antonio P. Braga：Black and Gray-Box Identification of a Hydraulic Pumping System, IEEE Transactions on control systems technology, Vol.19, No. 2, p.398-406 (2011) Michael B. Rannow, Perry Y. Li：Soft Switching Approach to Reducing Transition Losses in an On/Off Hydraulic Valve, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol.134 (2012) D. Luenberger：Optimization by vector space method, Wiley interscience, (1968) (社) 計測自動制御学会編:ロボット制御の実際, コロナ社, (1997) (社) 日本フルードパワー工業会:実用油圧ポケットブック, p.367 (2012) A.Mohanty, B.Yao：Indirect Adaptive Robust Control of Hydraulic Manipulators With Accurate Parameter Estimates, IEEE Transactions on Control Systems Technology, Vol.19, No.3, p.567-575 (2011) M. Gautier et al.,：A Direct Determination of Minimum Inertia Parameters of Robots, Proc. of the 1988 IEEE Int. Cof. on Robotics and Automations, p.1682-1687 (1988)

ここで、本発明者等が提案したパラメータ同定法を、そのまま鉛直多関節油圧マニピュ
レータにおけるパラメータの同定に応用できないという課題がある。この理由は、当該同定法は、概算可能な配管体積を未知パラメータとする一方で、圧力や温度に依存して変化する体積弾性率（非特許文献１１）を既知パラメータとしているからである。また、鉛直多関節マニピュレータは、水平１自由度アームには存在しなかった遠心力・コリオリ力項と重力項を有しているからである。

そこで、従来の鉛直多関節電動マニピュレータのための逐次同定法と、本発明者等による水平１自由度油圧アームのための同定法を組み合わせることで、鉛直多関節油圧マニピュレータのための逐次同定法を構成することが考えられる。しかしながら、単に、これらの同定法を組み合わせただけでは、体積弾性率等の一部のパラメータを一意に同定できないという問題が生じる。

本発明の課題は、この点に鑑みて、体積弾性率、流量係数などを未知とする鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法を提案することにある。すなわち、本発明の課題は、ＧＡやＰＳＯなどの探索法に基づく同定法を適用せず、逐次同定法を修正することで、体積弾性率、流量係数などを未知とする鉛直多関節油圧マニピュレータの全てのパラメータを一意に同定することのできるパラメータ同定法、当該同定法を用いた同定装置および当該同定法をコンピュータに実行させるための同定用プログラムを提案することにある。

上記の課題を解決するために、本発明の鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法、同定装置および同定用プログラムでは、鉛直多関節油圧マニピュレータの非線形モデルを表す状態空間方程式を定め、当該状態空間方程式に、従来の逐次同定法を修正した新たな逐次同定法を適用する。本発明による新たな逐次同定法では、各ステップにおいて、測定したパラメータおよび既知のパラメータを用いて、状態空間方程式に基づき、体積弾性率、流量係数を含む未知パラメータについての線形方程式を立てるが、当該線形方程式を用いた同定計算は行わない。各ステップの終了後に、未知パラメータについての線形方程式を、全ステップを横断して２つの線形方程式に厳密に統合し、これらを各時刻に亘って連立することで２つの正規方程式を導く。そして、これら２つの正規方程式を解くことで、体積弾性率および流量係数を含む未知パラメータを同定する。

本発明のパラメータ同定法によってパラメータを設定した鉛直多関節油圧マニピュレータについて実験したところ、同定した体積弾性率等のパラメータの有効性が確認された。また、本発明の同定法による同定結果を用いて非線形モデルを構築し、当該モデルの出力と試験機出力を比較するモデル検証を行ったところ、本発明の同定法の妥当性が検証された。

鉛直多関節油圧マニピュレータを示す説明図である。 図１の油圧アクチュエータを示す説明図である。 逐次同定法を示す説明図である。 試験機（鉛直多関節油圧マニピュレータ）の構成を示す写真である。 試験機の構成を示す概略ブロック図である。 試験機を用いた同定試験におけるステップ１で得られる入力信号（差動トランスの出力電圧ｕ）、この入力信号によって得られた出力信号（ピストン変位ｓ、キャップ圧ｐ＋、ロッド圧ｐ−）を示すグラフである。 試験機を用いた同定試験におけるステップ２で得られる入力信号（差動トランスの出力電圧ｕ）、この入力信号によって得られた出力信号（ピストン変位ｓ、キャップ圧ｐ＋、ロッド圧ｐ−）を示すグラフである。 試験機を用いた同定試験におけるステップ３で得られる入力信号（差動トランスの出力電圧ｕ）、この入力信号によって得られた出力信号（ピストン変位ｓ、キャップ圧ｐ＋、ロッド圧ｐ−）を示すグラフである。 ステップ１の同定入力と同一の周波数での検証結果を示すグラフである。 ステップ２の同定入力と同一の周波数での検証結果を示すグラフである。 ステップ３の同定入力と同一の周波数での検証結果を示すグラフである。 ステップ１の同定入力とは異なる周波数での検証結果を示すグラフである。 ステップ２の同定入力とは異なる周波数での検証結果を示すグラフである。 ステップ３の同定入力とは異なる周波数での検証結果を示すグラフである。 油圧マニピュレータの手先に慣性質量（６．５［ｋｇ］）を固定した場合について、周波数１．０［Ｈｚ］での検証結果を示すグラフである。 油圧マニピュレータの手先に慣性質量（６．５［ｋｇ］）を固定した場合について、周波数１．０［Ｈｚ］での検証結果を示すグラフである。 第１、第２関節軸にともに、周波数１．０［Ｈｚ］の正弦波を印加した検証結果を示すグラフである。 第１、第２関節軸にともに、周波数１．０［Ｈｚ］の正弦波を印加した検証結果を示すグラフである。

以下に、図面を参照して、本発明を適用した鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法を説明する。

［鉛直多関節油圧マニピュレータの状態空間表現］
はじめに、鉛直多関節油圧マニピュレータの制御系設計のための状態空間表現を述べる。記述の簡単化のために、図１、２に示す鉛直２関節油圧マニピュレータの場合を例に挙げて説明するが、一般のｎ関節（ｎ：２以上の整数）の場合にも同様に適用可能である。

図１（ａ）に示すように、鉛直２関節油圧マニピュレータ１は開ループリンク構造のものであり、垂直に延びる固定端リンクＬｉｎｋ０、当該固定端リンクＬｉｎｋ０の先端に、第１関節軸Ｊｏｉｎｔ１を中心として鉛直方向に旋回可能に連結された第１リンクＬｉｎｋ１と、第１リンクＬｉｎｋ１の先端に、第２関節軸Ｊｏｉｎｔ２を中心として鉛直方向に旋回可能に連結された第２リンクＬｉｎｋ２を備えている。第１リンクＬｉｎｋ１は、第１油圧アクチュエータＡｃｔｕａｔｏｒ１によって旋回駆動され、第２リンクＬｉｎｋ２は第２油圧アクチュエータＡｃｔｕａｔｏｒ２によって旋回駆動される。第１、第２油圧アクチュエータＡｃｔｕａｔｏｒ１、２は、図２に示す同一構成の油圧アクチュエータからなる。

図２に示すように、油圧アクチュエータ１０は、第１、第２リンク間あるいは第２、第３リンク間に架け渡した油圧シリンダ１１と、当該油圧シリンダ１１を駆動する制御弁１２を備えている。不図示の油圧ユニットから供給される油圧によって制御弁１２のスプール１３の位置を制御して、油圧シリンダ１１のキャップ側の油圧室１４、ロッド側の油圧室１５に対する油圧の供給・排出を制御してピストン１６を移動させる。動作制御はコンピュータを中心に構成される不図示の制御装置によって行われる。

鉛直多関節油圧マニピュレータ１は非線形制御系の一つであり、状態空間表現の一つは、式（１）で与えられる（非特許文献７）。

ｘは次式で規定される。
但し、
ｑ_ｉ∈Ｒ：相対関節角度
ｐ±∈Ｒ：圧力
ｕ_ｓｉ∈Ｒ：スプール変位

ｆ_０（ｘ）、ｇ_０（ｘ）は式（２）で与えられる。

式（２）において、
である。下付文字の１と２は関節番号、下付文字の＋と−は、それぞれキャップ側とロッド側であり、ピストン変位はストローク中点、スプール変位はノーマル位置、圧力は大気圧を原点とする。また、摩擦係数Ｆ_ｖｉは、厳密には非線形特性を持つが、本実施の形態では、制御系設計のためのモデルを得るために、定数として扱う。各符号の意味は次の通りである（図１（ａ）、（ｂ）および図２参照）。

［状態空間表現の未知パラメータ］
表１に、既知パラメータと未知パラメータを示す。未知パラメータの一部である体積弾性率ｂ、流量係数Ｃｆは電動マニピュレータには存在しないパラメータであり、公称値が無い、または、公称値が一定ではなく温度や経年によって変化することが多い。

一般にマニピュレータのパラメータは関節番号ｉに依存しないパラメータ（以下、全リンク共有パラメータ）と関節番号ｉに依存するパラメータがある。重力加速度ｇや体積弾
性率ｂは前者であって関節番号ｉに依存せず、慣性Ｍや流量係数Ｃｆは後者であって関節番号ｉに依存する。

通常の電動マニピュレータには無い油圧マニピュレータの構造的特徴として、「未知の全リンク共有パラメータが存在する」という点に着眼する。つまり、通常の電動マニピュレータの場合、全リンク共有パラメータは重力加速度ｇのみであって既知であるが、油圧マニピュレータの場合、全リンク共有パラメータの１つは体積弾性率ｂであり未知である。重力加速度ｇが存在しない水平多関節の場合であっても油圧マニピュレータの各リンクは一つの流体を共有しているため、体積弾性率ｂは常に存在する。

［パラメータ同定法］
図３は本発明のパラメータ同定法による鉛直２関節油圧マニピュレータのパラメータ同定手順を示す説明図である。本発明のパラメータ同定法は従来の逐次同定法を修正したものである。従来の逐次同定法では、図３に示すパラメータ同定のための各ステップ１〜３（Ｓｔｅｐ１〜３）を間欠無く連続して実施するのではなく、各ステップ１〜３間において同定計算を実施する。すなわち、ステップ１とステップ２の間においてステップ１の動作結果を用いた同定計算を実施し、ステップ２とステップ３の間においてステップ２の動作結果を用いた同定計算を実施する（非特許文献１３）。

従来の逐次同定法では各ステップ間で未知パラメータの重複が生じることがある。例えば、ステップ１とステップ２の間における同定計算の未知パラメータとステップ２とステップ３の間における同定計算の未知パラメータは一部が重複しうる。この場合、重複する未知パラメータは複数のステップ間で同定されるため、従来の逐次同定法では必ずしも一意に同定されない。

無論、相対関節角度から絶対関節角度への座標変換などによって重複を回避可能な場合もあり得るが、全リンク共有パラメータは全ステップ間に存在しており、従来の逐次同定法では常に一意に同定されない。すなわち、鉛直多関節油圧マニピュレータの体積弾性率ｂは従来の逐次同定法では一意に同定されないという問題が生じる。

上記の問題を解決するため、ステップ１の直後のみで体積弾性率ｂを同定して、ステップ２以降では既知パラメータとして扱うという対応と、全てのステップ間で体積弾性率ｂを毎回同定して、最終ステップの直後に平均値をとるという対応とが考えられる。しかし、前者では実験データの一部のみを用いて同定するため、後者では他の未知パラメータとは計算方法が異なるため、他の未知パラメータとは信頼性などが整合せず合理的でない。

そこで、本発明のパラメータ同定法では、従来の逐次同定法を修正して、各ステップを間欠なく連続して実施して、かつ、最終ステップの直後に全てのパラメータを一意に同定する新たな逐次同定法を用いる。この新たな逐次同定法では、一般の線型方程式には厳密解が存在しないことから、各ステップ間で与えられた正規方程式から各ステップ間で近似解を得るのではなく、最終ステップ直後にのみ近似解を得る。このようにすれば、実験データの全てを用いて、かつ、他の未知パラメータと同一の計算方法を用いて、体積弾性率ｂを一意に同定することができるため、逐次同定法として合理的である。

図３を参照して、本発明のパラメータ同定法の各ステップを詳しく述べる。以下に述べる同定法は、コンピュータを中心に構成されるパラメータ同定装置１００によって行うことができる。パラメータ同定装置１００は入力部、記憶部、演算部、鉛直多関節油圧マニピュレータの駆動制御部等を備え、予めインストールされているパラメータ同定用プログラムを実行することにより、鉛直多関節油圧マニピュレータの未知パラメータの同定計算を行う。

＜ステップ１＞
パラメータ同定装置１００を用いて、第１関節軸（Ｊｏｉｎｔ１）を固定し（ｑ_１の値を一定とし）、第２関節軸（Ｊｏｉｎｔ２）が単独運動を行うように、鉛直多関節油圧マニピュレータを駆動する。一定のサンプリング周期で（各時刻において）、制御用の入力信号ｕに対する相対関節間角度ｑ、ピストン変位ｓ、圧力ｐ＋、ｐ−を測定して記憶保持する。

電動マニピュレータの場合と異なって式（１）の状態方程式を未知パラメータについての線形方程式として直接解釈することはできない。そこで、式（２）の第２式の両辺にＭ（ｑ）行列を掛け、式（２）の第３式の両辺にＶ_＋ｉ／ｂを掛け、さらに式（２）の第４式の両辺にＶ_-ｉ／ｂを掛ける。そして式（２）の第１式を考慮せずに、未知パラメータに依存しない項のみを右辺に移項し、未知パラメータの線形性に着目すると、式（１）の非線形の状態方程式は次式で表される。但し、同定計算はしない。すなわち、従来の逐次同定法のように、未知パラメータについての線形方程式を各時刻に亘って連立することで２つの正規方程式を導き、これらの正規方程式を解くことはしない。

＜ステップ２＞
第２関節軸を最小値に固定し（ｑ_２＝ｑ_２ｍｉｎ）、第１関節軸が単独運動を行うように、鉛直多関節油圧マニピュレータを駆動する。一定のサンプリング周期で（各時刻において）、制御用の入力信号ｕに対する相対関節間角度ｑ、ピストン変位ｓ、圧力ｐ＋、ｐ−を測定する。式（１）の非線形の状態方程式は次式で表される。但し、同定計算はしない。

＜ステップ３＞
第２関節軸を最大値に固定し（ｑ_２＝ｑ_２ｍａｘ）、第１関節軸が単独運動を行うように、鉛直多関節油圧マニピュレータを駆動する。一定のサンプリング周期で（各時刻において）、制御用の入力信号ｕに対する相対関節間角度ｑ、ピストン変位ｓ、圧力ｐ＋、ｐ−を測定する。式（１）の状態方程式は次式で表される。ここでも、同定計算はしない。なお、ステップ２およびステップ３の実行順序は、逆であってもよいことは勿論である。

＜ステップ４＞
上記の各ステップ１〜３において、パラメータ同定装置１００は、各時刻ｔ＝ｔ_１，・・・，ｔ_Ｎ毎に次のパラメータを得るものとする。

従来の逐次同定法では、各ステップ間において、未知パラメータについての線形方程式を各時刻に亘って連立することで正規方程式を導き、各ステップ間の正規方程式をそれぞれ解く。しかし、未知パラメータのうち、
については、上記のステップ間において重複が生じる。また、座標変換しても、従来の逐次同定法では、少なくとも、体積弾性率ｂは全リンク共有パラメータであるため、一意に同定されない。

本発明のパラメータ同定法（パラメータ同定装置１００）では、最終ステップ４のみにおいて、未知パラメータについての線形方程式を、全ステップを横断して、以下に式（３
）で示す２つの線形方程式に厳密に統合する。
そして、この２つの線形方程式を、各時刻ｔに亘って連立することで、２つの正規方程式を導き、最終ステップ４において初めてこの正規方程式を解く。

複数の線形方程式を厳密に統合（連立）しても、一般の線形方程式には厳密解が存在しないことから、統合の前後で近似解は値が変化することに注意する。ここで、ヒルベルト空間における射影定理（非特許文献１２、１３）より、式（３）の未知パラメータａ１、ａ２は次の式（４）に規定するように、一意に定まる。

ここで、パラメータの符号や値域について一切の制約条件を与えることなく、かつ、初期推定値を試行錯誤することなく、体積弾性率、流量係数が陽に同定されていることが重要である。

［３関節以上の鉛直多関節油圧アクチュエータへの適用］
上記の説明は、理解を容易にするために、関節数が２の場合のものである。本発明は関節数が３以上の場合にも同様に適用可能なことは勿論である。

例えば、バックホー等の建設作業機械においては鉛直３関節油圧アクチュエータが広く用いられている。鉛直３関節油圧マニピュレータは、固定端リンクの側から、第１関節軸を介して第１リンクが連結され、第１リンクに対して第２関節軸を介して第２リンクが連結され、第２リンクに対して第３関節軸を介して開放端リンクである第３リンクが連結された開ループリンク構造のものである。この場合には、本発明のステップ１を第３関節軸に対して行い、ステップ２、３を第２関節軸および第１関節軸のそれぞれに対して行い、５組の線形方程式を導出する。導出した５組の線形方程式を厳密に統合して正規方程式を導出してパラメータ同定を行う。具体的には、各ステップは次の通りである（ステップ２、３の順序は逆であってもよい。）。

（１）第１、第２関節軸のそれぞれの相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、開放端リンクである第３関節軸について前述のステップ１を実行して１つの線形方程式を導出する。
（２）第３関節軸の相対関節間角度を最小値に固定し、第１関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第２関節軸について前述のステップ２を実行して１つの線形方程式を導出する。
（３）第３関節軸の相対関節間角度を最大値に固定し、第１関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第２関節軸について前述のステップ３を実行して１つの線形方程式を導出する。
（４）第２関節軸の相対関節間角度を最小値に固定し、第１関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第３関節軸について前述のステップ２を実行して１つの線形方程式を導出する。
（５）第２関節軸の相対関節間角度を最大値に固定し、第１関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第３関節軸について前述のステップ３を実行して１つの線形方程式を導出する。
（６）得られた５組の線形方程式を用いて、前述したステップ４を実行して、パラメータ同定を行う。

したがって、ｎを２以上の整数とした場合に、固定端リンクの側から、第１〜第ｎ関節軸を順次介して第１〜第ｎリンクが直列に連結され、第１〜第ｎ関節軸を中心として第１〜第ｎリンクを旋回させる第１〜第ｎ油圧アクチュエータが取り付けられている開ループリンク構造の鉛直多関節油圧マニピュレータの場合には、次のようにして各関節軸に対してステップ１〜３を実行すればよい。

（ａ）第１〜第（ｎ−１）関節軸のそれぞれの相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第ｎ関節軸についてステップ１を実行して１つの線形方程式を導出する。
（ｂ）ｋを１〜（ｎ−１）までの整数とすると、第（ｋ＋１）関節軸の相対関節間角度を
最小値に固定し、第ｋ、第（ｋ＋１）関節以外の各関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第ｋ関節軸についてステップ２を実行して１つの線形方程式を導出する。
（ｃ）第（ｋ＋１）関節軸の相対関節間角度を最大値に固定し、第ｋ、第（ｋ＋１）関節軸以外の各関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第ｋ関節軸についてステップ３を実行して１つの線形方程式を導出する（各関節軸についてステップ２、３の実行順序は逆であってもよい。）。
（ｄ）ステップ１、および、第（ｎ−１）〜第１関節軸のそれぞれについてステップ２、３を実行して得られた、合計で（２ｎ−１）組の線形方程式に対して、ステップ４を実行して、２つの正規方程式を導出し、当該正規方程式を解き、パラメータ同定を行う。

［同定実験］
次に、上記のパラメータ同定法によってパラメータを設定した鉛直２関節油圧マニピュレータの実験方法と結果について述べて考察する。

（実験方法）
図４は試験機の外観写真であり、図５は試験機のシステム構成（信号の流れ）を示す概略構成図である。

試験機２０（鉛直２関節油圧マニピュレータ）は次の構成部分を備えている。表１に既知パラメータの値を示してある。
第１〜第３リンクおよび第１、第２関節軸を備えた剛体のマニピュレータ本体２１
油圧ユニット２２（ダイキン工業、ＮＤＲ０８１−０７１Ｈ−３０、吐出流量１１．７［Ｌ／ｍｉｎ］、供給圧力ｐｓ＝７［ＭＰａ］，容量７［Ｌ］）
油圧配管２３（横浜ゴム、ＳＷＰ７０−６、内径１／４インチ）
油圧アクチュエータの制御弁１２（ダイキン工業，ＫＳＰＳ−Ｇ０２−４１−１０，直動形，ゼロラップ型，定格流量４０［Ｌ／ｍｉｎ］，ディザー周波数３００［Ｈｚ］，ゲイン特性１３０［Ｈｚ］／−３［ｄＢ］±１０［％］）
油圧アクチュエータの片ロッドシリンダ１１（ＪＰＮ，ＫＷ−１ＣＡ３０×７５，ストロークＬ＝７５［ｍｍ］）
オイルフィルタ（大生工業，ＵＭ−０３−２０Ｕ−１Ｖ）

出力信号（ｐ＋、ｐ−）は、圧力センサ２４、２５（キーエンス，ＡＰ−１５Ｓ）、出力信号ｓはポテンショメータ２６（緑測器，ＬＰ−１００Ｆ−Ｃ）で計測される。作動油温度は温度センサ２７によって計測される。計測値は、差動トランス２８（１［ｍｍ］／１．４［Ｖ］）の出力電圧として計測される入力信号ｕと同時に、制御装置２９のＡＤ変換器３０（インタフェース、ＰＣＩ−３１５５，１６ｂｉｔ）を介して、制御計算機３１（ＥＰＳＯＮ，ＬＸ７７００，実時間化Ｌｉｎｕｘ（登録商標），２．５３［ＧＨｚ］，計測周期１［ｍｓ］）に保存される。

同定入力は正弦波（ｖ＝Ａｓｉｎ（２πｆｔ））の指令電圧であり、制御装置２９のＤＡ変換器３２（インタフェース，ＰＣＩ−３３２５，１２ｂｉｔ）を介して、制御計算機３１に入力される。直接計測されないピストン速度と圧力の時間微分値は、それぞれピストン変位と圧力の１次または２次の後進差分に移動平均フィルタ（２０次，カットオフ周波数５０［Ｈｚ］）をオフラインで施して与えられる。

ここで、振幅Ａ＝０．５，１．０［Ｖ］、周波数ｆ＝１．０［Ｈｚ］、時間区間ｔ＝６〜１０［ｓ］、作動油（ＩＳＯＶＧ３２，密度８６０［ｋｇ／ｍ３］）温度を４０±２［℃］の条件にて、１０回の入出力信号を用いて同定実験する。実験の手順は先に述べたステップ１〜４で示したとおりである。

図６、図７および図８は、入力信号を差動トランス２８の出力電圧として示すグラフである。これらの図には、この入力信号によって得られた出力信号（ピストン変位ｓ、キャップ圧ｐ＋とロッド圧ｐ−）も示してある。ただし、入力信号ｕと出力信号ｓはストロークＬ（＝７５［ｍｍ］）で、出力信号ｐ＋、ｐ−はポンプ供給圧力ｐｓ（＝７［ＭＰａ］）で、それぞれ正規化した。

（実験結果）
表２に本発明のパラメータ同定法によって同定されたパラメータの最大値と最小値と平均値および相対標準偏差（ＲＳＤ［％］）を示す。計算機（１．６７［ＧＨｚ］）を用いた式（４）の計算時間は６．５［ｓ］であり、式（４）の行列Ｘ_１Ｎ、Ｘ_２Ｎの条件数は、最大でそれぞれ１１と２７、最小でそれぞれ１０と２５であった。また、行数はそれぞれ１２０００と２４０００であった。本発明のパラメータ同定法では、パラメータの符号や値域について一切の制約条件を与えることなく、かつ、パラメータの初期推定値を必要としないにもかかわらず、１６次元の同定されたパラメータの値は全て正であった。

（実験結果の考察）
表２から、同定されたパラメータの相対標準偏差は、最大で２．１５［％］、最小で０．１４［％］となった。一般に、相対標準偏差が５．００［％］以下であれば、精度が良いと知られている．同定結果の相対標準偏差は、すべて５．００［％］以下を達成しているため、パラメータ同定の精度が良いと言える。

式（４）を誤差少なく解くためには、行列Ｘ_１Ｎ、Ｘ_２Ｎの条件数を小さくする必要がある（非特許文献１６）。行列Ｘ_１Ｎ、Ｘ_２Ｎの条件数は最大でもそれぞれ１１と２７であり、十分に小さな値である。したがって、パラメータの係数間の独立性は確保できている。また、三つの動作はパラメータを励起するのに十分な動作パターンであると考えられる。

上掲の表２には公称値（Ｎｏｍｉｎａｌ Ｖａｌｕｅ）も示してある（非特許文献１４）。ただし、慣性パラメータについては機械図面からの概略計算値とする。また、粘性摩擦係数と流量係数の公称値は、一般的に与えられない。１６次元の同定されたパラメータの値と公称値を比較すると、機械系のパラメータについて公称値に十分近い値が得られている。温度変化の影響に沿って相対標準偏差が比較的大きい体積弾性率についても、公称
値に十分近い値が得られており、同じ供給圧力の研究（非特許文献１５）で推定された値とも近い。機械系のパラメータだけでなく、流体系のパラメータについても公称値に近い値を得られたことから、本発明の同定法は有効であると考えられる。

［モデル検証］
最後に、先に述べた本発明のパラメータ同定法による同定結果を用いて、非線形モデルを構築して、試験機を用いて本発明の同定法の妥当性を検証する。

（検証方法）
モデル検証のため、式（１）の状態方程式に対して、本発明のパラメータ同定法によって同定されたパラメータを用いて非線形モデルを計算機（１．６７ ［ＧＨｚ］， Ｓｉｍｕｌｉｎｋ）に構築する。ただし、離散化法はＲｕｎｇｅ−Ｋｕｔｔａ法（４次、可変ステップ）である。同定実験で扱わなかった時間区間ｔ＝１０〜１４［ｓ］の入力信号を印加した非線形モデルの出力信号と、同一の時間区間における試験機の出力信号を用いてモデル検証する。非線形モデルの初期状態は、検証開始時刻における試験機の状態を与える。ただし試験機の初期ピストン速度は１次後進差分を用いて与える。さらに、同定入力とは異なる周波数におけるモデル出力の有効性を示すため、周波数ｆ＝３．０［Ｈｚ］において同様にモデル検証する。

（検証結果）
図９〜図１１にステップ１、２、３の同定入力と同一の周波数ｆ＝１．０［Ｈｚ］、また図１２〜図１４に同定入力とは異なる周波数ｆ＝３．０［Ｈｚ］での検証結果を示す。実線は入力信号と試験機の出力信号、破線は構築した非線形モデルの出力信号である。まず、ｆ＝１．０［Ｈｚ］だけでなく、ｆ＝３．０［Ｈｚ］までにおいて負圧発生（虚数発生）が生じず、数値シミュレーションが可能であった。次に試験機の出力信号が振幅と位相の観点で非線形モデルによって再現された。特に図９で顕著な圧力のピーク前後における特徴的な波形も非線形モデルによって再現された。表３に各周波数におけるＦｉｔ率［％］の評価結果を示す。全てのＦｉｔ率は正の値を達成していた。

（検証結果の考察）
図９〜図１４と表３から、ピストン変位・圧力について、試験機出力の波形によく一致した非線形モデル出力の波形が得られており、パラメータ同定が良好に行われていることを示している。特に、図１３では、高周波における圧力のピーク時の特徴的な波形も非線形モデルによって再現された。またＦｉｔ率は十分に高い値が達成されている。本明細書では記載を省略したが、非線形モデルの速度のＦｉｔ率はすべて９０％以上であった。

図１５、図１６に油圧マニピュレータの手先に慣性質量（６．５［ｋｇ］）を固定した場合について、周波数１．０［Ｈｚ］での検証結果を示す。これは、実際の作業などで作業対象物を把持して、運動中に手先負荷が変動する場合を想定し、本発明の同定法の有効性を検証するためである。油温は４０−２〜４０＋２［℃］の範囲に固定されている。表４に本発明のパラメータ同定法によって同定されたパラメータの値を示す。Ｍ_２は１２．２０［ｋｇｍ^２］と同定された。まず、手先負荷を付与したＭ_２の公称値は１２．２１［
ｋｇｍ^２］であり、同定された値は妥当であるといえる。次に手先負荷の増加にともない、Ｒ_１２とＷ_１、Ｗ_２は増加した一方で、流体系のパラメータは変動していない。また、各軸における圧力の特徴的な波形も非線形モデルによって再現された。よって、油圧マニピュレータの手先負荷が変動する場合においても、本発明の同定法の有効性が示された。

図１７、図１８に、第１、第２関節軸にともに、周波数１．０［Ｈｚ］の正弦波を印加した検証結果を示す。これは、各軸の単独運動により同定されたパラメータを用いて、実用的に求められる同時運動を想定し、本発明のパラメータ同定法の有効性を検証するためである。各軸を単独で動作させた場合と出力信号の波形が異なる理由としては、各軸を同時運動したことで、分流による干渉作用によるものと考えられる。しかし振幅と位相の観点では非線形モデルの圧力の出力信号は、各軸ともに出力信号がほぼ再現された。よって、同時運動する２関節油圧マニピュレータに対しても、本発明の同定法の有効性が示された。

比較のために同時同定法を用いて、同定した場合について、周波数１．０［Ｈｚ］で検証した。これは、本発明のパラメータ同定法と同時同定法について、同定用動作を検証するためである。行列Ｘ_１Ｎ、Ｘ_２Ｎの条件数は、それぞれ２２と２７となった。また、重力係数Ｗ_１とＷ_２の値は、Ｗ_１よりＷ_２が大きくなった。公称値と式（１）の定義から、Ｗ_１よりＷ_２の値が大きくなることはない。故に、本発明のパラメータ同定法は同時同定する手法より優れている。

以上から、従来法では解決できない鉛直多関節油圧マニピュレータの同定問題を、本発明のパラメータ同定法によって解決する有効性が示された。本発明のパラメータ同定法はインピーダンス制御系やゲインスケジュール制御系など、高度な制御系設計／解析にも有用と考えられる。また、パラメータの初期推定など試行錯誤を介さずに非線形モデルを構築できる本発明のパラメータ同定法の応用範囲として、油圧マニピュレータの数値シミュレーション、最適設計、モデルベースト制御、故障診断などが考えられ、本発明のパラメータ同定法の有用性は非常に高いと考えられる。

１ 鉛直２関節油圧マニピュレータ
Ｌｉｎｋ０ 第１リンク
Ｌｉｎｋ１ 第２リンク
Ｌｉｎｋ２ 第３リンク
Ｊｏｉｎｔ１ 第１関節軸
Ｊｏｉｎｔ２ 第２関節軸
Ａｃｔｕａｔｏｒ１ 第１油圧アクチュエータ
Ａｃｔｕａｔｏｒ２ 第２油圧アクチュエータ
１０ 油圧アクチュエータ
１１ 油圧シリンダ
１２ 制御弁
１３ スプール
１４ キャップ側の油圧室
１５ ロッド側の油圧室
１６ ピストン
２０ 試験機
２１ マニピュレータ本体
２２ 油圧ユニット
２３ 油圧配管
２４、２５ 圧力センサ
２６ ポテンショメータ（ポジションセンサ）
２７ 温度センサ
２８ 差動トランス
２９ 制御装置
３０ ＡＤ変換器
３１ 制御計算機
３２ ＤＡ変換器
１００ パラメータ同定装置

Claims (3)

1. 鉛直多関節油圧マニピュレータの非線形モデルを表す状態空間方程式に基づき、前記鉛直多関節油圧マニピュレータの体積弾性率および流量係数を含む未知のパラメータを同定するパラメータ同定法であって、
   前記鉛直多関節油圧マニピュレータは、ｎを２以上の整数とすると、固定端リンクの側から、第１〜第ｎ関節軸を順次介して第１〜第ｎリンクが直列に連結され、前記第１〜第ｎ関節軸を中心として前記第１〜第ｎリンクをそれぞれ旋回させる第１〜第ｎ油圧アクチュエータが取り付けられている開ループリンク構造のものであり、
   前記状態空間方程式を式（１）で表し、
   前記鉛直多関節油圧マニピュレータの関節数ｎが２の場合に、
   式（１）のｘを次式で与え、
   但し、ｑ_１：第１関節軸の相対関節角度
   ｑ_２：第２関節軸の相対関節角度
   ｐ_＋１：第１油圧アクチュエータのシリンダのキャップ側圧力
   ｐ_−１：第１油圧アクチュエータのシリンダのロッド側圧力
   ｐ_＋２：第２油圧アクチュエータのシリンダのキャップ側圧力
   ｐ_−２：第２油圧アクチュエータのシリンダのロッド側圧力
   ｕ_ｓ１：第１油圧アクチュエータのスプール変位
   ｕ_ｓ２：第２油圧アクチュエータのスプール変位
   式（１）のｆ_０（ｘ）、ｇ_０（ｘ）を式（２）で与え、
   式（２）において、
   であり、各符号は次の通りであり、
   ステップ１において、前記第１関節軸の相対関節間角度ｑ_１を任意の角度に固定した状態で、前記第２関節軸の単独運動を行わせて当該第２関節軸の相対関節間角度ｑ_２を変化させることにより、式（１）で表される前記状態空間方程式を以下の式で示す線形方程式で表し、
   ステップ２において、前記第２関節軸の前記相対関節間角度ｑ_２を最小値に固定した状態で、前記第１関節軸の単独運動を行わせて当該第１関節軸の相対関節間角度ｑ_１を変化させることにより、式（１）の前記状態空間方程式を以下の式で示す線形方程式で表し、
   ステップ３において、前記第２関節軸の相対関節間角度ｑ_２を最大値に固定した状態で、前記第１関節軸の単独運動を行わせて当該第１関節軸の相対関節間角度ｑ_１を変化させることにより、式（１）の前記状態空間方程式を以下の式で示す線形方程式で表し、
   ステップ４において、前記ステップ１〜３において得られる３組の線形方程式を、これらステップ１〜３を横断して以下の式（３）で示す２つの線形方程式に厳密に統合し、
   当該線形方程式を、各時刻ｔ＝１、・・・、ｔ_Ｎに亘って連立することで、２つの正規方程式を導き、当該方程式を解き、
   ヒルベルト空間における射影定理より、式（３）の未知パラメータａ１、ａ２が、式（４）
   により一意に定まり、
   前記鉛直多関節油圧マニピュレータの関節数ｎが３以上の場合には、
   前記第１〜第（ｎ−１）関節軸のそれぞれの相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、前記第ｎ関節軸について前記ステップ１を実行して線形方程式を導出し、
   ｋを１〜（ｎ−１）までの整数とすると、第（ｋ＋１）関節軸の相対関節間角度を最小値に固定し、ｋ関節軸および第ｋ、第（ｋ＋１）関節以外の各関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、ｋ関節軸について前記ステップ２を実行して線形方程式を導出し、
   第（ｋ＋１）関節軸の相対関節間角度を最大値に固定し、第ｋ、第（ｋ＋１）関節軸以外の各関節軸の相対関節間角度を任意の角度に固定した状態で、第ｋ関節軸について前記ステップ３を実行して線形方程式を導出し、
   前記第１ステップ、および、前記第（ｎ−１）〜第１関節軸のそれぞれについて前記ステップ２、３を実行することによって得られる（２ｎ−１）組の線形方程式について、前記ステップ４を実行して正規方程式を導出して当該正規方程式を解く
   ことを特徴とする鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定法。
2. 請求項１に記載のパラメータ同定法を用いた鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定装置であって、
   前記ステップ１〜３のそれぞれを実行するために前記鉛直多関節油圧マニピュレータを駆動する駆動制御部と、
   前記ステップ１〜３のそれぞれにおける各時刻ｔ＝１、・・・、ｔ_Ｎ毎に、相対関節間角度ｑ、キャップ側圧力ｐ＋およびロッド側圧力ｐ−の測定値が入力される入力部と、
   前記測定値および前記鉛直多関節油圧マニピュレータの既知パラメータを記憶保持する記憶部と、
   前記測定値および前記既知パラメータに基づき、前記の式（４）を計算して、前記の式（３）の未知パラメータを算出する演算部と、
   を有していることを特徴とする鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定装置。
3. 請求項１に記載のパラメータ同定法を用いた鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定用プログラムであって、コンピュータを、
   前記ステップ１〜３のそれぞれを実行するために、前記鉛直多関節油圧マニピュレータを駆動制御する駆動制御手段、
   前記ステップ１〜３のそれぞれにおける各時刻ｔ＝１、・・・ｔ_Ｎ毎に、相対関節間角度ｑ、キャップ側圧力ｐ＋およびロッド側圧力ｐ−の測定値を取得する入力手段、
   前記測定値および前記鉛直多関節油圧マニピュレータの既知パラメータを記憶保持する記憶手段、および、
   前記測定値および前記既知パラメータに基づき、前記の式（４）を計算して、前記の式（３）の未知パラメータを算出する演算手段、
   として機能させることを特徴とする鉛直多関節油圧マニピュレータのパラメータ同定用プログラム。