JP6109752B2 - 新規な微小機械デバイス - Google Patents

Description

発明の分野
本発明は、微小機械（マイクロメカニカル）デバイスに関するものであり、特に、その温度補償に関するものである。特に、本発明はＭＥＭＳ共振器に関するものである。本発明によるデバイスは、請求項１の前文に記載された特徴を有する。
また、本発明は、請求項３１の前文に記載された方法に関するものである。

発明の背景
広範に使用される水晶ベースの共振器は、多数の用途において、一般にシリコンベースの微小機械共振器に置き替えることができる可能性がある。シリコン共振器は、水晶共振器よりも小型に作製することができ、シリコン共振器には、複数の標準的な製造法が存在する。しかし、シリコンベースの共振器に関連する問題は、これらの共振器が、共振周波数の温度ドリフト（温度ゆらぎ）が高いことにある。このドリフトは主に、シリコンのヤング率の温度依存性によるものであり、この温度依存性は、約-30ppm/℃の周波数温度係数（ＴＣＦ：temperature coefficient of frequency）を生じさせる。このことは、周囲温度の変化により共振周波数を変動させる。

こうした大きな固有の温度ドリフトは、シリコンベースの共振器が、水晶が多数を占める発振器市場に参入することを阻む。しかし、温度依存性を種々の方法で補償することが知られている。従来技術の解決策は、次のものを含む：
温度センサ、及び関連する電子制御回路による能動的補償、しかし、十分低い温度ドリフトを、量産用途に適し、かつ水晶の品質と競合し得る低コストの技術で共振器にもたらすことはできなかった。また、温度補償回路の使用はエネルギーの消費を増加させ、このことは、特に電池駆動のデバイスでは重大な欠点である。さらに、補償回路は、共振回路内の電気的ノイズを増加させがちである。
共振器の温度を、共振器の温度分離、及び制御による共振器の加温／冷却で安定化することによる能動的補償。しかし、この解決策もデバイスのエネルギー消費を増加させ、デバイスを、生産するのが複雑なものにする。温度補償回路も、その制御が低速であり、従って、周囲温度の急速または大幅な変化を十分良好に補償することができない。
構造に対して、温度ドリフトと正負が逆の符号を示すアモルファス（非晶質）Ｓ_iＯ₂の添加による受動的補償。しかし、このことは、より複雑な製造プロセス（工程）と、共振器性能とのトレードオフ（二律背反）をもたらす。
重度のｐ型ドーピング、例えばホウ素（ボロン）ドーピングによって、ラーメ（Lame）モードのようなｃ₄₄で特徴付けられるすべり（せん断、シェア）モードを強度に補償する受動的補償。しかし、他のいくつかのモードは、より少ししか、あるいは全く補償されず、非常に特殊なモードへの適用性、及び圧電駆動の場合に励起の幾何学的形態を限定する。特に、伸縮モードは、ｐ型ドーピングによって十分に補償されない。

受動補償法は、本願と同一の出願人による、まだ公開されていないフィンランド国特許出願第２０１０５８４９号明細書（特許文献１）及びフィンランド国特許出願第２０１０５８５１号明細書（特許文献２）、並びにこれらが引用する参考文献、特にA.K. Samarao et al. “Passive TCF Compensation in High Q Silicon Micromechanical Resonators”, IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS 2010), pp. 116-119（非特許文献１）、米国特許出願公開第２０１０／０１２７５９６号明細書（特許文献３）、及び米国特許第４７１９３８３号明細書（特許文献４）に記載されている。

A.K. Samarao et al.による“Intrinsic Temperature Compensation of Highly Resistive High-Q Silicon Microresonators via Charge Carrier Depletion”, Frequency Control Symposium (FCS), 2010 IEEE International. 1-4 June 2010, pages: 334-339（非特許文献２）は、ホウ素ドーピング（ｐ型ドーピング）したシリコン共振素子を具えて共振器の温度ドリフトを低減するバルク弾性波共振器を開示している。このホウ素ドーピング（ｐ型ドーピング）した共振素子は、これに加えて、１つ以上の、拡散リン（ｎ型ドーピング）の層を具えて、１つ以上のｐｎ接合を共振素子において生成する。このｐｎ接合は、低い電荷キャリア濃度でデプレッション領域を形成して、-3ppm/℃を達成することができるという効果を有する。

Hajjam et al. “Sub-100ppb/℃ Temperature Stability Actuated High Frequency Silicon Resonators via Degenerate Phosphorous Doping and Bias Current Optimization”, IEEE International Electron Device Meeting, Dec. 2010（非特許文献３）も、リンによるシリコンのｎ型ドーピングによってＴＣＦをさらに改善する可能性を開示している。この文献の著者は、熱拡散ドーピングしたシリコンにおける0.05ppm/℃の温度ドリフトを報告している。しかし、拡散ドーピングは、電界キャリアの強い濃度傾斜を共振器内に生じさせ、効率的なＴ（温度）補償のために必要であることが後に示される約1×10¹⁹cm^-3またはそれ以上のｎ型ドーパント濃度は、デバイスの表面から約2ミクロンの厚さを貫く領域にしか生成することができない。達成される濃度レベルも、デバイスの正確な幾何学的形状に依存し得るし、このことは設計上の制約を与える。従って、共振器の設計に対しては、例えば、その体積、厚さ、及び共振モードの利用可能性についての厳しい制限が存在する。例えば、バルク弾性波モードは、拡散ドーピングによる共振器では効率的に補償されない。

米国特許第４３５８７４５号明細書（特許文献５）は、表面波を搬送し、かつ温度補償されるという薄くドーピングしたシリコン層を具えた基板を有する表面弾性波（ＳＡＷ：surface acoustic wave）デバイスを開示している。しかし、現代のシミュレーションは、この特許文献に記載された構造は、レイリー（Rayleigh）ＳＡＷ波及びすべり水平ＳＡＷ波しか搬送することができず、これらの波は、実際には、シリコンの補償されない弾性行列要素からの強い寄与分により十分に温度補償されないことを示している。これに加えて、この刊行物は、開示された構造においてＳＡＷモードを励起するために実際に使用することのできる励起手段を、何ら開示していない。こうした手段、例えば圧電層の、ドーピング層上への導入は、圧電層からの寄与分が非常に大きいので、デバイスの性能をさらに低下させる。これらの事実により、上述した構造は商業的に全く利用されていない。

従って、改良されて実際に実現可能な半導体共振器及び他のデバイスの必要性が存在する。

フィンランド国特許出願第２０１０５８４９号明細書 フィンランド国特許出願第２０１０５８５１号明細書 米国特許出願公開第２０１０／０１２７５９６号明細書 米国特許第４７１９３８３号明細書 米国特許第４３５８７４５号明細書 国際出願番号ＰＣＴ／ＦＩ２０１０／０５０９３５ 米国特許第７１４５４０２号明細書

A.K. Samarao et al. "Passive TCF Compensation in High Q Silicon Micromechanical Resonators", IEEE International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS 2010), pp. 116-119 A.K. Samarao et al. "Intrinsic Temperature Compensation of Highly Resistive High-Q Silicon Microresonators via Charge Carrier Depletion", Frequency Control Symposium (FCS), 2010 IEEE International. 1-4 June 2010, pages: 334-339 Hajjam et al. "Sub-100ppb/℃ Temperature Stability Actuated High Frequency Silicon Resonators via Degenerate Phosphorous Doping and Bias Current Optimization", IEEE International Electron Device Meeting, Dec. 2010 "Handbook of Semiconductor Silicon Technology", O’Mara, W.C.; Herring, R.B.; Hunt, L.P.編集 1990 William Andrew Publishing/Noyes（登録商標） C. Bourgeois et al., "Design of resonators for the determination of the temperature coefficients of elastic constants of monocrystalline silicon", Frequency Control Symposium 1997, Proceedings of the 1997 IEEE International, 1997, pp. 791-799 R.W. Keyes "Solid State Physics", Vol.20, 1967 Hall "Electronic Effect in the Elastic Constants of n-Type Silicon", Physical Review, vol.161(2), pp. 756-761, 1967

発明の概要
本発明の目的は、改良された温度補償付き微小機械デバイス、例えば共振器を実現することにある。特に、本発明の目的は、一層の設計の柔軟性を提供する共振器設計を実現することにある。１つの目的は、単純な方法で工業生産することのできる共振器構造を提供することにある。

本発明は、種々の目的で、温度補償付き共振器の設計一式を提供することもできる。

１つの態様によれば、本発明によるデバイスは、高濃度のｎ型ドーピング剤を含む半導体材料製の振動または偏向素子、及びこの振動または偏向素子に機能的に接続された励起または検出（センシング）手段を具えている。さらに、この振動または偏向素子は、ｎ型ドーピング剤でほぼ均質にドーピングされている。

本発明の主要な態様によれば、このデバイスはバルク弾性波（ＢＡＷ）デバイスである。従って、このデバイスは、バルク弾性波を搬送して、音響的ＢＡＷモードで振動するように構成されている。こうした構造では、上記振動または偏向素子が、その厚さ全体にわたって均質にドーピングされている。

１つの態様によれば、本発明によるデバイスは、高濃度のｎ型ドーピング剤を含む半導体材料製の振動または偏向素子、及びこの振動または偏向素子に機能的に接続された励起または検出手段を具えている。この振動または偏向半導体素子は、１つまたは複数のバネと見ることができ、このバネは、デバイスの機能にとって不可欠な役割を有する。このバネの方向が、そのバネ定数（一般に、弾性行列要素ｃ₁₁、ｃ₁₂、ｃ₄₄の関数である）が主にｃ₁₁−ｃ₁₂の項に依存するような方向であれば、バネ定数の温度変化をｎ型ドーピングによって著しく低減することができる。このバネは機能的にデバイスの不可欠な部分であるので、この方法で、温度の関数としてのデバイス性能変化を最小にすることができる。

１つの態様によれば、本発明によるデバイスは、高濃度のｎ型ドーピング剤を含む半導体材料製の振動または偏向素子、及びこの振動または偏向素子に機能的に接続された励起または検出手段を具え、この半導体材料はシリコンであることが好ましく、振動または偏向素子の共振または偏向の方向に対する半導体材料の結晶方位は、デバイスの温度係数を最大にする方向から30°未満、好適には15°未満しか外れないように選定されている。１つの好適例によれば、上記結晶方位は、デバイスの温度係数を最大にするように選定されている。選定した結晶方位の影響の例は、後に本明細書中に挙げる。

１つの態様によれば、本発明によるデバイスが、ｎ型ドーピングされた共振素子、及びこの共振素子において共振モードを励起するトランスデューサ手段を具えている。共振モードは、次のもののうち１つとすることができる：
プレート（平板）共振素子におけるすべりモード、
プレート共振素子における面積伸縮（ＳＥ：square extension）モード、
プレート共振素子における幅伸縮（ＷＥ：width extension）モード、
プレート共振素子における屈曲モード、
ビーム（梁）共振素子における伸縮モード、
ビーム共振素子における屈曲モード、または
ビーム共振素子におけるねじりモード。

本発明による微小機械デバイスを製造する方法は、次のステップを含む：
ｎ型ドーピング、好適には均質にｎ型ドーピングされたデバイス層を含む半導体ウェハーを用意するステップ、
この半導体ウェハーを処理して、ｎ型ドーピングされたデバイス層から、偏向または振動することのできる素子を形成するステップ、
この素子に機能的に接続されて、素子において共振モードを励起するか、素子の共振周波数、または偏向の度合いを検出するための、励起または検出手段を用意するステップ。

上述した態様は、そうしたものとして、あるいはそのあらゆる適切な組合せとして、及び／または後述する具体的な好適例の１つ以上で実現することができる。好適例のいくつかは、従属請求項の主題である。

本発明の応用領域は、例えば、微小機械周波数基準用水晶、及び共振または偏向素子をセンサの不可欠な部分として具えた微小機械センサを含む。「偏向」とは、素子のｃ₁₁−ｃ₁₂依存のバネ定数による、素子のローディング（装荷）を含む全方向の動き（例えば、屈曲、伸張、ねじり、及び回転）をカバーする。

以下の説明では、上記振動または偏向素子が共振素子である、本発明の好適例に集中する。

１つの好適例によれば、共振器中のｎ型ドーピング剤の濃度は、少なくとも1.0×10¹⁹cm^-3であり、少なくとも1.1×10¹⁹cm^-3であることが好ましく、典型的には少なくとも1.2×10¹⁹cm^-3である。通常、この濃度は10²¹cm^-3未満である。従って、強度に過剰な負電子の電荷キャリアが共振器中に存在する。上述した濃度限界以上で、０に近いＴＣＦを有する実用的な共振器を実現することができる。一般に、この濃度限界は、ラーメモードにとって最低の濃度である。他のモードについては、０のＴＣＦの限界は一般に、これより少し高い。

１つの好適例によれば、上記共振素子に、ｐ型ドーピング剤がほとんど存在しない。

１つの好適例によれば、上記共振素子が、ｎ型ドーピング剤でほぼ均質にドーピングされている。そのドーピング濃度は、共振素子内で10%以下の局所的変動しか有しないことが好ましい。

１つの好適例によれば、上記共振素子が、チョクラルスキー（Czochralski）法によって成長させた結晶を含み、この成長法では、ｎ型ドーピング剤が結晶成長段階中に既に存在する。１つの好適例によれば、上記共振素子が、成長段階中に既に存在するｎ型ドーピング剤でエピタキシャル成長させた結晶を含む。これらの方法は共に、結晶の均質なドーピングを生じさせる。

上記共振器はシリコン製とすることができ、上記ドーピング剤は、例えばリン、アンチモン、またはヒ素とすることができる。

１つの好適例によれば、上記共振素子が、少なくとも4μmの厚さ、及び少なくとも１つの横方向に少なくとも50μmの寸法を有する均質にドーピングされたシリコンのプレートまたはビームを具え、上記トランスデューサ素子が、上記共振素子に、すべり、面積伸縮、幅伸縮、または屈曲のプレート・バルク弾性波モード、あるいは、伸縮、屈曲、またはねじりのビーム・バルク弾性波モードを生じさせるように構成されている。

１つの好適例によれば、上記共振素子の最小寸法が少なくとも5μmであり、一般に少なくとも7μmである。このような比較的厚い共振器は、実際には、拡散ドーピングによって均質にドーピングすることはできない。プレート共振器の場合、最小寸法は一般にその厚さである。

１つの好適例によれば、本発明のデバイスは、非熱的な駆動法を用いてバイアス電流なしで駆動されるように構成されている。このことは、圧電薄膜励起手段または静電励起手段で実現することができ、これについては、以下でより詳細に説明する。

本発明によれば、多数の利点が得られる。実際に温度ドリフトの無い共振器、さらには、共振器の過補償（過度の補償）を、本発明によるｎ型ドーピングによる共振器で実現することができることが、発明者によって実験的に示されている。こうした挙動は、同程度のｐ型ドーピングで達成されるドーピングレベルでは例証されていない。これに加えて、ｐ型ドーピングによる共振器は、ｃ₄₄すべり剛性項に強く依存した共振モードで駆動して初めて温度補償効果を示し、このことは、ｐ型ドーピングの温度補償への適用性を、比較的限られた共振モードの組に限定する。ｎ型ドーピングの領域を有する既知の共振器に関しては、ＴＣＦは未だに比較的低い。多数の用途において、０に近いＴＣＦが最終的に望まれるが、さらに高いＴＣＦを提供して、他の設計パラメータとトレードオフすることのできる解決策が必要である。本発明は、この必要性に応える。

ｎ型ドーピングによる共振器の場合、周波数が項ｃ₁₁−ｃ₁₂に主に依存する共振モードを温度補償することができ、ここにｃ₁₁及びｃ₁₂は弾性行列の要素である。本明細書では、ｃ₁₁−ｃ₁₂で特徴付けられる一組の共振モード及び幾何学的形態を、詳細に提示する。一般に、本発明は、例えば、ラーメモードのプレート共振器のようなすべりモード共振器、伸縮、屈曲、及びねじり共振モードで振動するビーム、及びそれらのより雑多な組合せに適用することができる。従って、本発明は、柔軟性を改善する目的に適う。

複数のｐｎ接合を有する共振器に比べれば、本発明の設計は、より製造し易い。温度補償効果を達成するために、ｐｎ接合を必要としない。これに加えて、温度補償効果は、強度のｎ型ドーピングでより顕著になり、ｐｎ接合に基づく正または０のＴＣＦは実証されていない。

拡散ドーピングによる非均質な共振器に比べて、本発明は大きな利点も有する。拡散ドーピングによる共振器は、大きな連続体（厚さ＞2μmまたは最小断面寸法＞4μm）をなすバネを有し、拡散法では均質にドーピングすることができない。多数の状況において、こうしたデバイスが望まれる。その例は、次の通りである：

Ａ．比較的大きい体積（厚さ≧10μm、及び／または50μmより大きい横方向の寸法）を有するＢＡＷ ＭＥＭＳ共振器、例えばプレート共振器。大きな体積の共振器、従って、ｎ型ドーピングする必要のある大きな体積のバネが、良好なエネルギー蓄積容量のために必要であり、このことは、デバイスの低いノイズ（信号対ノイズ比）をもたらす。この種のＭＥＭＳ共振器の例は、本発明を用いて実現することができ、ＳＥモード、ラーメモード、及び幅伸縮のプレート共振器である。

他方では、プレートに孔の密なアレイを、デバイスの任意点から表面までの距離が2μm未満になるように穿孔した場合には、要求されるグリッド（格子）は、非常に密にする必要があり、孔は、その径を非常に小さくしなければならない。これに加えて、孔のグリッドは（特に、密である際には）、デバイスの動作を乱す（例えば、共振器における損失の増加をもたらす）ことがあり、デバイスを製造時の精度不良に対してより敏感にすることがあり、そして、プロセスの複雑性を重度にする。

Ｂ．大きな径を有するバネは、製造時の精度不良をより許容する。例えば、バネの幅を規定するプロセスの精度不良が0.1μmであるものと仮定する。公称値2μm幅のバネのバネ定数の相対誤差は、5%になる。こうしたバネに基づく共振器は、25000ppmの周波数精度不良がある。他方では、同じ処理の精度不良では、20μm幅のバネは、2500ppmの周波数精度不良を生じさせるに過ぎない。

特許文献５に開示されているもののようなＳＡＷ共振器に比べて、本発明のＢＡＷデバイスは、完全に異なる動作原理を有し、最も重要なこととして、温度補償を失うことなしに、実際に実現することができる。なお、ＳＡＷ共振器のより深層までドーピングを延ばすことは、表面波を使用するので意味をなさず、しかも実際には、電気的な短絡（シャント）結合が増加して振動が生じなくなるので、デバイスを動作不能にする。

製造の観点からは、均質にプレドーピング（事前ドーピング）したウェハーを使用する能力が、プロセスを簡略化する、というのは、適切にドーピングしたウェハーをウェハー製造業者から購入することができ、ドーピングステップが別個であるため、標準的なＭＥＭＳプロセスの流れを変更する必要がないからである。

本発明を、理論的及び実験的な両面で実証する。ｃ₁₁−ｃ₁₂で特徴付けられるモードが、重度のｎ型ドーピングによる自由電子の添加によって影響されることを、理論計算が示している。実験的には、良好に温度補償された面積伸縮共振素子、さらには過補償されたラーメモード共振素子が実証されている。「過補償されている」とは、追加的素子（例えば、トランスデューサ用に必要な層、あるいは追加的なトランスデューサブロック）が結合されていないこうした共振素子が、正の温度ドリフト、即ち25℃で＞０の（０より大きい）ＴＣＦを示すことを意味する。

シリコンをリンで強度にｎ型ドーピングすると、従来のｐ型ドーピングによるシリコン共振器に比べて、さらに強い温度補償効果が存在することも、発明者によって判明している。他のｎ型ドーパントでも、同様の挙動を期待することができる、というのは、理論（明細書の最後を参照）は、実験結果と十分に一致し、ｎ型ドーパントとして使用する特定元素とは無関係であるからである。過補償された（従って、ＴＣＦ＞０の）シリコン共振器が実際に可能であることが、本発明によって示されている。一方では、このことは、種々の目的で、これまでは水晶ベースの共振器にしか考えられなかった、異なる種類の新たな共振器を開発する新たな可能性を与える。

本発明の特に重要な好適例は、温度補償された面積伸縮共振モードを具え、この共振モードは、圧電的にも静電的にも駆動することができ、他の望ましい特性も有する。正の温度ドリフト（またはＴＣＦ）を有する、ｃ₁₁−ｃ₁₂のみによって特徴付けられるラーメモードも重要であり、（圧電駆動される薄膜のような）多材料デバイスの温度ドリフトを０に近く設計するために、シリコンを過補償する余地があることを示している。

ビーム共振器の０に近いＴＣＦ挙動は、次のことによって実現することができる：
i) ＴＣＦの最大値が０に近くなるように、ドーピング濃度を最適化すること、または、
ii) できればｐ型の追加的ドーパントを結晶に添加すること、または、
iii) 共振器全体のＴＣＦを０に近く変化させる追加的な共振部品を追加すること、または、
iv) 共振素子の方向を、結晶に対する最適な方向から外れた角度に、正確に設定すること、または、
v) 以上のことの組合せ。

「温度補償された」とは、共振器の周波数温度係数（ＴＣＦ）が、標準的なドーピングレベルを有するシリコン結晶製の共振器のＴＣＦより高いこと、即ち、約-30ppm/℃より高く、好適には-20ppm/℃より高いことを称する。

「０に近い（温度ドリフトのＴＣＦ）」とは、-5〜+5ppm/℃のＴＣＦ範囲を意味する。

特定共振モードの周波数が、行列要素項(ｃ₁₁−ｃ₁₂)によって特徴付けられる、あるいは支配されるとは、他の項（例えば、ｃ₄₄項）からは、20%以下の周波数寄与分しか生じないことを意味する。

結晶方位は、角カッコの表記法、例えば[100]で表される。この表記法は、あらゆる等価な方向を意味し：例えば、[100]は[010]または[001]と等価である。

弾性行列要素ｃ₁₁、ｃ₁₂、及びｃ₄₄を文中で参照する際には、これらの要素は[100]結晶軸において与えられるものと仮定する。例えば、この定義によれば、シリコンの弾性行列要素はおよそ(ｃ₁₁, ｃ₁₂, ｃ₄₄)＝(166, 64, 80)GPaである。

本発明は、多種多様な発振器、クロック及びタイマー装置において利用することができ、これらの装置はさらに、携帯電子装置、特に無線装置のような電子装置の一部分を形成することができる。

以下では、本発明の実施形態及び利点を、図面を参照しながら、より詳細に説明する。

図１ａは、ＳＯＩまたはＣＳＯＩウェハー上に製造された静電駆動プレート共振器の、それぞれ上面図及び断面図である。 図１ｂは、ＳＯＩまたはＣＳＯＩウェハー上に製造された静電駆動プレート共振器の、それぞれ上面図及び断面図である。 図２ａは、ＳＯＩまたはＣＳＯＩウェハー上に製造された圧電駆動プレート共振器の、それぞれ上面図及び断面図である。 図２ｂは、ＳＯＩまたはＣＳＯＩウェハー上に製造された圧電駆動プレート共振器の、それぞれ上面図及び断面図である。 プレートの辺が[100]方向に一致するようにプレート共振器を整列させた際の、ラーメモード周波数の温度依存性を示す図である。 プレートの辺が[100]方向に一致するようにプレート共振器を整列させた際の、ラーメモード周波数の温度依存性を示す図である。 プレートの辺が[100]方向に一致するようにプレート共振器を整列させた際の、ＳＥモード周波数の温度依存性を示す図である。 プレートの辺が[100]方向に一致するようにプレート共振器を整列させた際の、ＳＥモード周波数の温度依存性を示す図である。 圧電駆動ラーメ共振器アレイを示す図である。 屈曲／長さ伸縮型ビーム共振器の温度係数を、シリコン結晶に対する可能なすべてのビーム方向について例示する図である。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器のラーメ／輪郭すべりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器のラーメ／輪郭すべりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器のラーメ／輪郭すべりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器のラーメ／輪郭すべりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の面積伸縮モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の面積伸縮モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の幅伸縮モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、プレート共振器の幅伸縮モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮一次モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮一次モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮一次モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮三次高調波モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮三次高調波モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の長さ伸縮三次高調波モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面内屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面内屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面内屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面外屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面外屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器の面外屈曲モードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器のねじりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器のねじりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器のねじりモードについて示す。 ｎ型ドーピングを利用して温度ドリフトを調整する代表的なモード形、及びそれぞれについてシミュレーション計算したＴＣＦ値の関連設計パラメータへの依存性を例示する図であり、ビーム共振器のねじりモードについて示す。 好適な複合共振器を示す図である。 シリコンの弾性定数ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄の感度を、ｎ型ドーパント濃度の関数として示す図である。 シリコンの弾性定数ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄の感度を、ｎ型ドーパント濃度の関数として示す図である。 シリコンの弾性定数ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄の感度を、ｎ型ドーパント濃度の関数として示す図である。 シリコンの弾性行列の項ｃ₁₁−ｃ₁₂の感度を、ｎ型ドーパント濃度の関数として示す図である。 ２つの面積伸縮モード、即ちラーメモード及び屈曲ビームモードの、(Q/P, R/P)-面内の位置を示す図である。

実施形態の詳細な説明
本発明は、その１つの態様によれば、シリコンＭＥＭＳ共振器の共振周波数の温度ドリフトを補償するための、シリコンの重度のｎ型（例えば、リンによる）ドーピングの思想及び応用を提起する。以下に示すように、本発明は次のものに適用することができる：
種々の幾何学的形態を有する共振器、例えばビーム共振器及びプレート共振器、あるいはそれらの組合せ、
種々の波動、例えば縦波及びすべり波のバルク弾性波（ＢＡＷ）、及び、
ねじりモード、屈曲モード、及び伸縮モードを含む種々の共振モード。

これらの変形の多数の具体例は、これらの具体例の一部または全部に適用可能なｎ型ドーピングの一般的態様を短く説明した後に、以下に示す。

標準的なドーピングでの温度ドリフトは、特別な方策をとらなければ、-30ppm/℃のオーダーである。ｎ型ドーピングによるシリコン共振器の温度ドリフトは、ドーピング濃度、結晶方位、モード形、幾何学的設計、及び共振器の干渉材料構造に応じて、-20〜+20、特に-5〜+5ppm/℃である。ＴＣＦ曲線は、Ｎ次（一般にＮ＝３）多項式関数を、25℃の温度で測定した温度ドリフトデータに当てはめることによって決定される。特に断りのない限り、本明細書に挙げる温度ドリフト（またはＴＣＦ）値は25℃で与えられる。他の温度では、温度／周波数曲線の非線形性が生じ得ることにより、これらの値が異なり得る。これについては以下でより詳細に説明する。

一実施形態によれば、上記共振素子が、ｐ型ドーピング剤がほとんど無く（通常の純度レベル内であり）、-3ppm/℃以上のＴＣＦを生み出す、ｎ型ドーピングによるシリコン結晶を具えている。

一実施形態によれば、ｎ型ドーピングが、共振器の厚さ全体を通して、通常の製造公差内で均質である。従って、異なる挙動をする材料どうしの境界面が、共振素子内に存在しない。

以下に説明する実験的及び理論的検討は、ｎ型ドーピングによれば、主にｃ₁₁−ｃ₁₂剛性項によって特徴付けられるモードの補償であることが示され、ｃ₄₄剛性項によって特徴付けられ、ｐ型ドーピングによって温度補償される、以前から知られているモードとは対照的である。

一実施形態によれば、上記共振素子が、リンでドーピングして、10¹⁸...10²⁰cm^-3の比較的重度のドーピング濃度に及ぶシリコン結晶を具えている。こうした濃度は、ｃ₁₁剛性定数が支配的な面積伸縮（ＳＥ）プレートモードで動作する、０に近い（ＴＣＦ≧-3ppm/℃の）温度ドリフトの共振器を製造するのに十分である。こうした濃度は、ｃ₁₁−ｃ₁₂で特徴付けられるラーメモードで動作する、０に近い（ＴＣＦ≧-3ppm/℃の）温度ドリフトの共振器を製造するにも十分であり、さらにＴＣＦ＞0ppm/℃を達成して、電極及び圧電層のような追加的薄膜層の負の温度ドリフト効果に対抗する可能性を伴う。

上記共振素子は、例えば、エピタキシャル成長させるか、チョクラルスキー法によって成長させた結晶を具えることができる。適切な方法は、“Handbook of Semiconductor Silicon Technology”, O’Mara, W.C.; Herring, R.B.; Hunt, L.P.編集 1990 William Andrew Publishing/Noyes（登録商標）（非特許文献４）に提起されている。

本発明による微小機械共振器は、それ自体は既知のトランスデューサ手段で駆動することができる。一実施形態によれば、このトランスデューサ手段が圧電駆動素子を具えている。他の実施形態によれば、このトランスデューサ手段が静電駆動手段を具えている。

図１ａ及び１ｂに、シリコン基板１８上に製造した静電駆動式ＭＥＭＳ共振器を示す。基板上にあるデバイス層は、ギャップ１２によって、デバイス層の周囲部分、即ち電極層１０、及び基板から分離された共振素子１６を具えている。共振素子１６を保持する固定部（図示せず）が適所にある。共振素子１６の横側に電極１４がある。交流の駆動電圧を電極層１０から電極１４に結合させると、共振素子１６を振動させることができる。

図２ａ及び２ｂに、シリコン基板２８上に製造された圧電駆動式ＭＥＭＳ共振器の基本設計を示す。共振素子２６は、重ね合わせた圧電層２７を設けられている。圧電層２７上に電圧を、例えば圧電層上に配置した導電性電極から共振素子自体に加えることによって、圧電層は共振素子２６にも力を加える。

本発明は一般に、静電駆動式共振器及び圧電駆動式共振器に、共に適用可能である。

特に重要なものは、温度補償される面積伸縮（ＳＥ）モード共振器であり、こうした共振器は、ｎ型ドーピングによる共振素子上に堆積させた圧電層及び電極層を用いて、容易に励起することができる。以下に示すように、ＳＥモードは、０に近いＴＣＦ（-1ppm/℃）を有することが観測されている。ＳＥモードは、静電的に励起することもできる。

一実施形態によれば、上記共振器が、ｎ型ドーピングによる共振素子（ＴＣＦ＞０）及び圧電層（例えばＡlＮ）及び電極層を具えて、圧電駆動式ＭＥＭＳ共振器を形成する。これらの圧電層及び電極層は、負のＴＣＦを有することが知られている。しかし、共振器全体のＴＣＦは、こうした共振素子のＴＣＦの過補償により、０に近い。この構成は、温度補償付きのＳＥモード共振器に特に適している。

図５を参照すれば、ラーメモードも圧電アクチュエータを用いて励起することができ、このことは例えば、特許文献１に開示されているように、少なくとも２つの共振器５０Ａ、５０Ｂを、互いに対して横方向にアレイとして設け、少なくとも１つの圧電トランスデューサ素子５２を、共振素子５０Ａ、５０Ｂ間に設けて共振素子に結合することによって行う。輪郭すべりモードまたはワイングラスモードのような、本発明の範囲内の他のプレート共振モードも、同様に励起することができる。

他の実施形態によれば、上記共振器が、過補償される（ＴＣＦ＞０）共振素子５０Ａ、５０Ｂのアレイ、及び共振素子５０Ａ、５０Ｂに結合された過小補償される圧電アクチュエータ１２を具えている。従って、共振器全体のＴＣＦは、個別の構成部品のＴＣＦの間であり、０に近く設計することができる。

図５の例では、２枚プレートのラーメ共振器アレイを示している。しかし、その関連する内容を参照する形で本明細書に含める特許文献１に広く説明されているように、このアレイは二次元にすることができ、複数の共振プレート及び圧電トランスデューサを種々の幾何学的形態で具えることができる。

共振器の幾何学的形態
一実施形態によれば、上記共振器がビーム（梁）である。「ビーム」とは一般に、その面内アスペクト比（幅対長さ）が、少なくとも５である共振素子を称する。一般に、アスペクト比は少なくとも１０である。

一実施形態によれば、上記共振素子がプレート（平板）である。このプレートは長方形にすることができる。例えば、正方形プレートとすることができる。このプレートは、多角形、円形、または楕円形にすることもできる。プレートのアスペクト比（いずれかの横方向の寸法対厚さ）は５未満である。

所望の共振モード、及び温度補償のレベルに応じて、共振器の結晶方位は、その辺方向、基準点、及び／または駆動手段に対して変化する。以下では、理論的に最適な結晶方位、即ち、ＴＣＦを最大にする方向における、好適な共振の幾何学的形態及び共振モードを説明する。しかし、図６を参照して説明するように、この最適な方向からの偏差を利用して、ＴＣＦを調整することができる。

以下の説明は、共振素子の幾何学的形状に応じて段落分けする。まず、基本的に二次元のプレートを具えた共振器を説明する。次に、基本的に一次元のビーム共振器を説明する。最後に、共振器の一般化をいくつか導入し、本発明を利用した、より複雑な幾何学的形状及び変形を簡単に説明する。

共振器の固定は、所望の共振モードが共振素子内に出現することを可能にする、あらゆる適切な位置で行うことができる。一般に、この固定部は、共振素子の動作に大きく寄与せず、共振素子の一部であると見なされないことを意図している。しかし、後に説明するように、固定部を、共振器の共振特性、特にＴＣＦに相当量の影響を与えるビームとなるように設計する、いくつかの特別な設計が存在する。この場合、固定部は共振素子の一部である。

プレート共振器
すべりモードのプレート共振器
シリコンウェハー内の結晶方位が(100)であり、プレートの辺が[100]方向に沿って配向した正方形シリコンプレートにおいて励起されるラーメモードが、ｎ型ドーピングを十分に利用することのできる純粋なすべりモード共振器の例である。この構成では、ラーメモードの共振周波薄が、√(c₁₁−ｃ₁₂)に比例する。

例として、320μm×320μm×10μmの寸法（長さ×幅×高さ）を有するプレートのモード形状を、図７に例示する。ラーメモードは10MHzで出現する。

この基本的なラーメモード形状に加えて、ラーメモードのより高次の変形例の挙動も、本発明によってカバーされる。一次モードは、正方形プレート内の対角線上を伝搬する２つのすべり波で構成される。より高次のモードでは、仮想的に分割した各正方形サブプレート内で、この条件が満たされる。より高次のラーメモードは、特許文献１において、より広く説明されている。同様の特性のすべり波が、プレート共振器において励起され、このすべり波は、共振器の平面内で45度回転している。このモードを輪郭すべりモードと称し、ほとんど純粋なすべり特性のモードである。輪郭すべりモードのモード形状を図７ｂに示す。その共振周波数は9MHzである。

有限要素モデルのシミュレーションは、プレートを(100)面内で回転させると、モードは次第に、ラーメモードから輪郭すべりモードへと変化し、共振周波数も同時に、10MHzから9MHzに低下する。種々のｎ型ドーパント濃度に対するリニアＴＣＦを、ＦＥＭ（finite element method：有限要素法）シミュレーションを用いて計算することができ、剛性行列要素の温度感度は、理論より計算することができる。

プレートが(100)面内を回転することに伴う、ラーメモードのＴＣＦから輪郭すべりモードへのＴＣＦへの変化を、図７ｃに示す。0/90度の面内回転角が、辺を[100]方向に沿って配向したプレートに相当し：この方向でラーメモードが発生する。45度の回転角で、辺が[110]方向に沿って配向して、輪郭すべりモードが出現する。その中間の角度では、モードがラーメモードから輪郭すべりモードへと次第に移行する。

(110)面では、上述したラーメ／輪郭すべりモードに類似したモードが観測され得るが、これらのモードは、その√(ｃ₁₁−ｃ₁₂)依存性の意味で、(100)面内のモードほど純粋ではない；従って、以下では、これらのモードを、疑似ラーメモード及び疑似輪郭すべりモードと称する。このことは、(110)面が(100)面ほど対称的でないことによる。0/90度の面内回転角では、プレートの一辺が[100]方向に沿って配向するのに対し、他の辺は[110]方向に沿って配向する。同様にして、45度の面内回転角では、プレートの対角線が[100]及び[110]方向に沿って配向する。図７ｄに、疑似ラーメモード（0/90度の面内回転角）、疑似輪郭すべりモード（45度）、及び中間的な角度での「混合」モードについて、ＴＣＦ値を示す。

図７ｃ及び７ｄにおけるＴＣＦ値は、ＦＥＭシミュレーションによって計算したものであり、共振周波数の、弾性行列要素ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄に対する感度は、モデルシミュレーションから抽出したものであり、リニアＴＣＦ値は、弾性行列要素の温度感度を用いて、理論より（「VTT理論値」でラベル付けしたデータ点）、種々のｎ型ドーパントで計算したものである。「Bourgeois ｎ 低度」／「Bourgeois ｐ 低度」でラベル付けしたデータ点は、比較的弱度（低度）のｎ型ドーパント／ｐ型ドーパントを有するシリコンを表す基準曲線である（C. Bourgeois et al., “Design of resonators for the determination of the temperature coefficients of elastic constants of monocrystalline silicon”, Frequency Control Symposium 1997, Proceedings of the 1997 IEEE International, 1997, pp. 791-799（非特許文献５）参照）（対応するＳiの抵抗率は、「Bourgeois ｐ 低度」及び「Bourgeois ｎ 低度」について、それぞれ4Ω・m及び0.05Ω・mである）。すべてのデータについて、熱膨張からの一定の寄与分+1.3ppm/℃を仮定した（「共振器のＴＣＦについての理論モデル」、及び「剛性行列要素の温度感度についての理論モデル」の章を参照）。本明細書に挙げる、計算したデータの説明は、特に断りのない限り、以下の取り扱いにおける同種のあらゆるデータプロットに関係する。図８ａ及び８ｂでは、「理論値（概算）」でラベル付けした線は、理想的なすべりモードについての計算値であり、その周波数は√(ｃ₁₁−ｃ₁₂)に比例し；ｎ型ドーパント濃度ｎ＝5×10¹⁹cm^-3での、理論からの、弾性行列要素の温度感度を用いた。実験データ点は、図７ｃに「VTT実験値、n=5e19」で示す。

図７ｃ及び７ｄ中のデータより、次の所見を挙げることができる：
ラーメモードについてシミュレーション計算したＴＣＦは、「理論値（概算）」曲線と一致し、これによりシミュレーションの有効性が裏付けられ、ラーメモード共振周波数の形態は解析的に知られ、この周波数は√(ｃ₁₁−ｃ₁₂)に比例する。
ｎ型ドーパント濃度ｎ＝5×10¹⁹cm^-3では、ラーメモード、輪郭すべりモード、及び中間的な角度でのモードが、ＴＣＦ＞〜+13ppm/℃で過補償される。ｎ型ドーパント濃度ｎ＝2×10¹⁹cm^-3については、ＴＣＦ＞+6ppm/℃で、同じことが当てはまる。
ラーメモードについて、ＴＣＦが０である濃度は、およそｎ＝1.2×10¹⁹cm^-3である。
実験データ点は、シミュレーション計算したデータと十分に一致する。
(110)面では、ｎ＝5×10¹⁹cm^-3及びｎ＝2×10¹⁹cm^-3については、疑似ラーメモード、疑似輪郭すべりモード、及び中間的な角度でのモードが、０を超えるＴＣＦを有するが、(110)面内での対称性の欠如により、これらのモードは純粋なすべりモードではない。
これらのモードのいずれのＴＣＦも、濃度レベルをｎ＜2×10¹⁹cm^-3なる適切な値に選択することによって、０にすることができる。
比較的低度のｎ型またはｐ型ドーピングでは、約-30ppm/℃の一般的なシリコンのＴＣＦが観測される。

ラーメモードは、その温度ドリフトを、十分実現可能なドーパントレベルで過補償することができるので、重要である。実験的には、こうした共振器において+18ppm/℃のＴＣＦさえも達成することができることが示されている。

本発明は、単純な正方形プレートのラーメモードプレート共振器に限定されず、理論的に副正方形に分割することのできる、より複雑な変形例も実現することができる。その原理は、本願と同一の出願人による特許文献１により広く説明されているのと同じ原理である。

面積伸縮（ＳＥ）モードのプレート共振器
シリコンウェハー内の結晶方位が(100)であり、プレートの辺が[100]方向に沿って配向した正方形のシリコンプレートにおいて励起されるＳＥモードは、ｎ型ドーピングを利用することのできる伸縮モード共振器の例を表す。ラーメモードまたは輪郭すべりモード共振器の前の例で説明したのと同様のプレート共振器について、13MHzにおけるＳＥモードを図８に例示する。

図８ｂに、プレート共振器を(100)面内で回転させた際の、ＳＥモードの温度係数の計算値を例示する。0/90度の面内回転角が、[100]方向に合わせたプレートの辺に対応し、45度が、[110]方向に合わせた辺に対応する。

所見は次の通りである：
ＴＣＦは、辺を[100]方向に合わせたプレートおいて、その最高値に達する。
実験データは、シミュレーション計算したデータと程よく一致する。実験とシミュレーションとの間で観測された約-1ppm/℃のオフセット（ずれ）は、隅部にある固定部に起因するものとすることができる。（共振素子における固定部または中心孔によるシステムの微調整は、後に説明する）。
ここでも、低レベルのｐ型またはｎ型ドーピングにより、約-30ppm/℃の一般的なシリコンのＴＣＦが再現される。
図２４中で「SE100」としてラベル付けした点は、辺を[100]方向に合わせたプレートのＳＥモードが、温度補償基準を満たすことを示している。[110]方向に合わせた同様のプレートは、この基準を満たさない。

屈曲モードのプレート共振器
正方形の形状のプレート共振器に存在する屈曲サドルモードは、結晶軸と適切に合わせた際に、ｃ₁₁−ｃ₁₂によって強度に特徴付けられるモードである。サドルモードは、共振モードのサドル面形状によって特徴付けられ、このサドル面形状は、共振器の本体全体にわたって交差する２本の節線（変位の無い位置の集合）を生じさせる（サドルモードについてのそれ以上の説明は、特許文献２を参照）。320μm×320μm×10μmの寸法（幅×長さ×厚さ）のプレートにおける２種類のサドルモードを、図９ａ及び９ｂに示す。

シミュレーションによれば、図９ａのサドルモードは、次の場合に、最大の（十分に高度のｎ型ドーパント濃度（＞1.2×10¹⁹/cm³）を仮定すれば、０を超える）ＴＣＦを有する：
プレートが(100)面に合わせて製造され、プレートの辺が[100]方向に合っている場合、または、
プレートが(110)面に合わせて製造され、プレートの一辺が[100]方向に沿い、他の辺が[110]方向に沿っている場合。

図９ｂのサドルモードは、次の場合に（０を超える）最大のＴＣＦを有する：
プレートが(100)面に合わせて製造され、プレートの対角線が[100]方向に合っている場合、または、
プレートが(110)面に合わせて製造され、一方の対角線が[100]方向に沿い、他方の対角線が[110]方向に沿っている場合。

特許文献２においてより詳細に説明されているように、サドルモードは長方形プレートに限定されず、例えば円板形プレートにおいても、同様の特性のモードが存在する。

以上で説明したサドルモードに加えて、ｎ型ドーピングによって温度補償することのできる他の屈曲（曲げ）共振モードを、プレート共振器において励起することができる。これらのモードは、（別な節で後に説明する）ビーム共振器の面外屈曲モードと同様のモードとして特徴付けることができる。プレート共振器は、横方向の寸法どうし（高さと幅）が互いに近いか等しいビーム共振器として記述することができる。

幅伸縮プレート共振器
正方形プレート共振器の一辺の長さを変化させると、モード形状は次第に、面積伸縮モード（図８ａ）から幅伸縮（ＷＥ）モード（図１０ａ）へと変化し、図１０ａは、320×680×10μm³の共振器の、12MHzにおける幅伸縮モードであり、このモードでは、短辺によって規定される方向に面内伸縮が発生する。

ＷＥモードは、ＳＥモードよりも、ｎ型ドーピングによる温度補償の影響を受けやすいことが興味深い。図１０ｂに、ＷＥモードからＳＥモードへと次第に変化する共振モードのシミュレーション計算したＴＣＦを示し、ここでも、ＷＥモードに戻れば、共振器の一辺が230μmから680μmに変化する間に、他の辺は320μmに保たれている。320μmの辺長におけるＳＥモードが最低のＴＣＦを有し、辺長のアスペクト比が１から外れるとともに、ＴＣＦが増加する。このグラフは、辺どうしの比率が２：１より大きい際に、約2.3×10¹⁹cm^-3のｎ型ドーパント濃度で、ＷＥモードを温度補償することができることを示唆している。

ビーム共振器
ビーム共振器の伸縮／屈曲共振の、周波数対弾性行列要素の関係の近似
ある材料要素の一次元伸張／収縮についてのヤング率は、Ｙ１Ｄ＝Ｔ／Ｓによって与えられ、ここに、Ｔは伸張／収縮方向に沿った応力であり、Ｓは関連する変形である。この材料要素に、Ｔと直交する方向に影響を与える応力は無いものと仮定する。この材料が、立方晶系（等軸晶系）の結晶対称性を有するものと仮定すれば、応力対変形の関係は、行列式[Ｔ]＝[ｃ][Ｓ]によって与えられ、ここに[Ｔ]及び[Ｓ]はそれぞれ、６×１の応力及び変形行列であり、[ｃ]は６×６の弾性行列であり、３つの独立要素ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄を有する。Ｙ１Ｄを、[100]の結晶軸に沿った伸張について解けば、Ｙ１Ｄ=ｃ₁₁−２×ｃ₁₂ ²/(ｃ₁₁＋ｃ₁₂)²という結果が出る。

ビームの曲げ剛性及び伸縮剛性は、Ｙ１Ｄに比例する。従って、屈曲（曲げ）共振モードまたは伸縮共振モードの共振周波数は、√(Ｙ１Ｄ)に比例する。

図１９中に「Ｙ１Ｄ」とラベル付けした点は、伸縮／屈曲共振モードが、ｎ型ドーピングで温度補償することができる共振のクラスに属することを示す。図６に、立方晶系結晶のすべての可能な結晶方位について、Ｙ１Ｄから計算したリニアＴＣＦの値を示す。この計算は、理論に基づき、ｎ＝5×10¹⁹cm^-3のｎ型ドーパント濃度を仮定している。ＴＣＦは、[100]方向に沿って最大になる。概算の結果は、ビームが[100]方向に沿って配向するか、あるいは[100]方向から著しく外れない際に、ビームの屈曲または伸縮共振を温度補償することができることを示唆している。以下のシミュレーション計算した例が、このことのさらなる裏付けを与える。

長方形の断面を有するねじりビームを、以下でより詳細に説明する。しかし、本発明は、長方形でない（例えば、円形または楕円形の）断面を有するビーム、さらには、その断面がビームの長さに沿って変化するビーム（例えば、テーパ付きビーム）に一般化することができる。

伸縮モードのビーム共振器
ビーム形の本体は、長さ伸縮共振を有し、この共振は、共振器の収縮／伸張によって特徴付けられる。この共振周波数は近似的に、ｆ＝√(Ｙ１Ｄ/ρ)/２Ｌによって与えられ、ここにＹ１Ｄは、上記のように定義した１Ｄ（一次元）伸張についてのヤング率であり、ρは共振器の密度であり、Ｌは共振器の長さである。上記で示唆したように、共振器の長さ方向を[100]の結晶方位に合わせた際に（あるいは、[100]方向からの偏差が小さい際に）、ｎ型ドーピングによって共振を温度補償することができる。この共振器は、あらゆるウェハー面上に製造することができる。

ビーム共振器の伸縮共振モードの例を、図１１ａに示す。ビームの寸法（長さ×幅×高さ）は、320μm×5μm×10μmである。

図１１ｂ及び１１ｃに（図１１ｃの凡例参照）、図１１ａのビーム共振器を(100)面内または(110)面内で回転させると共に、リニアＴＣＦが変化する様子を例示する。(100)面（図１１ｂ）については、面内回転角0または90度が、[100]方向に合わせたビームに相当するのに対し、45度が、[110]方向に合わせることに相当する。(110)面については、面内回転角0度が、[100]方向に合わせることに相当し、90度が、[110]方向に合わせることに相当する。「理論値（近似）」でラベル付けした曲線が、Ｙ１Ｄに基づく計算値であり、理論からの、弾性行列要素の温度感度、及びｎ＝5×10¹⁹cm^-3のｎ型ドーパント濃度による。他のすべてのデータラベルは、以上でラーメ／輪郭すべりモードに関して説明した通りである。

次の所見を挙げることができる：
ドーパント濃度ｎ＝5×10¹⁹cm^-3については、[100]方向に合わせた共振器が、ＴＣＦ＞10ppm/℃で過補償される。
ドーパント濃度ｎ＝5×10¹⁹cm^-3については、[100]方向から約20度の偏差で、ＴＣＦが０になる。
最適な方向に対して、０に近いＴＣＦが、ｎ＝1.6×10¹⁹cm^-3の概算濃度で得られる。
Ｙ１Ｄに基づく概算とシミュレーション計算したデータとは、互いに十分一致する。
約-30ppm/℃の一般的なシリコンのＴＣＦは、比較的低度のｎ型ドーピングで得られる。
約0...25°の間の回転角毎に最適なドーピング濃度が、およそｎ＝1.6×10¹⁹...5×10¹⁹cm^-3の間に存在する。

図１１ａに例示する一次の長さ伸縮モードに加えて、より高次の長さ伸縮モードを、同様の方法で温度補償することができる。図１２ａに、上述したのと同じ共振器の三次伸縮モードのモード形状を例示する。中心にある１つの節点の代わりに、この共振モードは、その長軸に沿って３つの節点を有する。

図１２ｂ及び１２ｃに、三次の長さ伸縮モードについて計算した温度係数を例示する。所見は、一次の長さ伸縮モードと基本的に同様である。

屈曲モードのビーム共振器
長さ伸縮モードに関連して上記で参照したのと同様のビームも、屈曲モード（面内屈曲及び面外屈曲を含む）に励起することができる。屈曲モード共振は√(Ｙ１Ｄ)に比例し、従って、このビームを[100]結晶方位に合わせると、上記の説明による長さ伸縮共振器と同様の方法で、ｎ型ドーピングによって温度補償することができる。

図１３ａに、前の例による、ビーム共振器の最低次の面内屈曲共振モードを例示する。

図１３ｂ及び１３ｃに、一次の面内屈曲モードについて計算した温度係数を例示する。その結果は、長さ伸縮共振モードについての結果と非常に類似している。特に、約0...25°の間の回転角毎に最適なドーピング濃度が、およそｎ＝1.6×10¹⁹...5×10¹⁹cm^-3の間に存在する。

図１３ａに例示する一次の屈曲モードに加えて、より高次のモードを用いることもできる。こうしたモードの例として、より高次の面外屈曲モードの例を図１４ａに示す。ここでも、共振器の寸法は前の例と同様である。

図１４ｂ及び１４ｃに、この、より高次の面外屈曲モードについて計算した温度係数を例示する。温度補償は、上記の例と同様に働きが現れる。約0...25°のの間の回転角毎に最適なドーピング濃度が、およそｎ＝1.8×10¹⁹...5×10¹⁹cm^-3の間に存在する。なお、(ｃ₁₁−ｃ₁₂)項以外からの、共振周波数に対する寄与分は、前の例と比べると少し増加し、従って、例えば、ｎ＝5×10¹⁹cm-³での最大過補償は、少し小さくなる。同じ理由で、ＴＣＦを０にすることのできる最小のｎ型ドーパント濃度が低下し：シミュレーションによれば、この下限はおよそｎ＝1.8×10¹⁹cm^-3である。

ねじりモードのビーム共振器
図１５ａに、320μm×40μm×10μmの寸法（長さ×幅×高さ）を有するビームの一次のねじり共振のモード形状を示す。そのねじり軸は、ビームの長さ方向によって規定される。ねじり軸が[110]軸に沿って配向し、ビームの断面寸法のうち大きい方も[110]軸に沿って配向している（このことは、短い方の断面寸法を[100]方向に合わせることに直結する）際に、ねじり共振は(ｃ₁₁−ｃ₁₂)に強く依存する。

ねじりビームの断面のアスペクト比、及び必要なｎ型ドーピング濃度の条件は、図１５ｂ、１５ｃ及び１５ｄに提示するシミュレーション結果によってより正確に定量化され、ここで、異なるｎ型ドーパント濃度レベルにおける、一次のねじりモードのＴＣＦを、ビームの厚さの関数としてシミュレーション計算した（ビームの長さ及び幅は、図１５ａのビームと同一である）。

図１５ｂに、(110)面上に製造されて、その長さ方向が[110]方向に沿っているビームについてのシミュレーション結果を示す。

図１５ｃに、(100)面上に製造されて、その長さ方向が[110]方向に沿っているビームについてのシミュレーション結果を示す。

図１５ｄに、(110)面上に製造されたビームであって、その長さ方向が、ビームを面内で[110]方向から[100]方向に向けて35度だけ回転することによって得られる方向に沿っているビームについてのシミュレーション結果を示す。

所見は次の通りである：
図１５ｂ及び１５ｃに示す場合には、ＴＣＦ＝０が、ｎ型ドーパント濃度ｎ＝5×10¹⁹cm^-3で、約40ミクロンの厚さで達成され、これは、ビームの厚さがビーム幅に等しい場合である。従って、次のビームに対して、温度補償が可能である：
(100)面に製造され、その長さ方向が[110]方向に沿い、その幅が、その高さ（厚さ）より大きいか、およそ等しいビーム；
(110)面に製造され、その長さ方向が[110]方向に沿い、その高さ（厚さ）が、その幅より大きいか、およそ等しいビーム。
図１５ｂ及び１５ｃは、（極限の断面アスペクト比で）温度補償がまだ可能である最低のｎ型ドーパント濃度が、およそｎ＝1.3×10¹⁹cm^-3であることを示している。
図１５ｄは、(110)面に製造したビームについては、ＴＣＦの、ビーム断面のアスペクト比への依存性が最小になる中間的な角度が存在する。この方向は、[110]方向から[100]方向に向いた20〜50度、特に35度付近の傾斜であるものと考えられる。断面アスペクト比に依存しないＴＣＦは、プロセス変動に対する頑健性（ロバストネス）をもたらし、デバイス設計者にとっての一層の自由度を可能にする（例えば、デバイスが、異なる断面アスペクト比を有する複数のねじりバネを含むことができ、これらのバネのすべてが、ＴＣＦに対する同様の効果を有する）ので、実用上有利である。

シミュレーションを5度ステップで行い、30/40度の傾斜を有する場合が、上記に提示する場合よりも劣る。最適な傾斜方向は、33度と37度の間に生じる。重要なこととして、(100)面に製造したビームについては、同様のアスペクト比の非依存性を生じさせる中間的角度は見出されない。

図１５ａに例示し、図１５ｂ〜ｄに関連して説明した一次のねじりモードに加えて、より高次のねじりモードのＴＣＦ挙動は、同様の特性であり、同様に用いることができる。

一般化及び変形例
上述した原理及び共振器構造を、種々の方法で適用して、より複雑な共振器の実体を実現することができる。従って、共振器の幾何学的形態は、温度補償を所望のレベルに調整しつつ、特定用途の必要性を満足するように設計することができる。例えば、追加的な質量装荷要素を、プレートまたはビーム共振器に与えて、共振器の共振周波数を調整することができる。質量を装荷した屈曲モードの共振器自体は、本願と同一の出願人による特許文献２に、より広く記載されている。

質量要素及びバネに分割することのできる複合共振器はいずれも、少なくとも一部のバネが次の通りであるような共振モードである際に、ｎ型ドーピングで温度補償することができる：
これらのバネに伸縮または曲げ（屈曲）が生じ、同時に、これらのバネ、及び結晶に対するその配向が、伸縮／屈曲モードのビーム共振器に関連して上記に提示された条件を満足する；
これらのバネにねじりが生じ、同時に、これらのバネ及びその寸法が、ねじりモードのビーム共振器に関連して上記に提示された条件を満足する。

なお、複合共振器は複数のバネを含むことができ、個別のバネは独立して、伸縮、曲げ、またはねじりを施されることができる。

図１６に、単純で好適な複合共振器の設計を示し、この共振器は、バネ及び質量に分割することができる。この系は、バネに伸縮振動、屈曲振動、またはねじり振動が生じる共振モードを有し、従って、これらの共振モードは、バネが結晶と整列し、バネの寸法を適正に選択した際に、ｎ型ドーピングによって温度補償することができる。伸縮／屈曲モードについては、十分な条件は（適正なドーピングのレベルを仮定すれば）、ビームの主軸が[100]結晶方位に沿って配向し、ねじりモードについては、上述したように、配向条件がより厳格である。

すべりモードのプレート共振器の章での説明は、正方形プレート共振器の（疑似）ラーメモード及び（疑似）輪郭すべりモードに限定される。当業者にとって明らかなように、共振器の本体は、共振の周波数が(ｃ₁₁−ｃ₁₂)で特徴付けられるすべりモードで共振することができるために、正方形の形状である必要はない。例えば、円形共振プレートのいわゆるワイングラス共振モードは、(ｃ₁₁−ｃ₁₂)で特徴付けられるすべりモードであり、温度補償することができる。さらには、幾何学的形状が、完全な正方形または円板形状から外れて、より非対称な幾何学的形状になることを許容することによって、(ｃ₁₁−ｃ₁₂)で強く特徴付けられるすべりモードが、より弱い(ｃ₁₁−ｃ₁₂)依存性を有するモードへと次第に変化するものの、このモードは、ｎ型ドーピングでの過補償能力により、適切なｎ型ドーパント濃度で温度補償することができる。

一般に、こうした変形は、単純な幾何学的形状に対して、システムに非理想性をもたらし、共振素子のｎ型ドーピングの温度補償効果を低下させ得るが、ｎ型ドーピングの過補償能力により、所望の温度補償レベルはまだ達成可能である。

ｎ型ドーピングによる共振器の最適化及び実用的な実現
以上の説明より明らかなように、本発明を利用して、多数の共振器設計を過補償することができる。このことは、共振器全体の性能を最適化する際に、トレードオフすべき「遊び」が存在することを示す。その目標は一般に、全体の温度補償を０に近付けることにある。このことは例えば、次のことによって、周波数対温度の挙動を最適化することによって達成することができる：
ｎ型ドーパントのドーピング濃度を調整すること、
追加的ドーパントを、一般に全ドーパント原子数の50%未満、特に1〜49%、典型的には30%未満の総量まで含めること。これらの追加的ドーパントは、ｎ型またはｐ型、あるいはその両者とすることができる。
シリコン結晶に対する共振素子の角度を適切に選定すること。最適な角度からのいかなる偏差も、ＴＣＦを低下させる。従って、過補償された共振器を、（一般に、水平面で共振器を回転させることにより）最適な方向軸から外すことによって、ＴＣＦを所望のレベルに調整することができる。回転角は、例えば±1°〜30°とすることができる。
随意的に負のＴＣＦを有する追加的部分を、共振構造に設けること。従って、材質及び共振器設計の適切な選択によって、共振器全体のＴＣＦを０に調整することができる。この追加的部分は、例えば、共振素子の一部分となる追加的質量要素、あるいは、一般に共振素子の一部分とは考えられない固定部またはトランスデューサ素子を具えることができる。以下でより詳細に説明する圧電駆動式のＳＥ共振器及びラーメ共振器が、こうした設計の例である。

特別な特徴
本願の出願人による以前の特許出願ＰＣＴ／ＦＩ２０１０／０５０９３５（特許文献６）に説明されているように、ＢＡＷ共振器の製造公差の影響は、少なくとも１つのボイド（孔隙）を設けることによって最小にすることができる。ＦＥＭシミュレーションでは、ｎ型共振器に設けた中心ボイドによって、共振器のＴＣＦを増加させることもできることが判明している。例えば、寸法320×320×10μm³のＳＥモード正方形プレート共振器の場合には、100ミクロン径の中心ボイドをプレートの中心に作製した際に（5×10¹⁹cm^-3のｎ型ドーパント密度を仮定する）、+2ppm/℃を超えるＴＣＦの増加が観測された。他のモードにも、同様の挙動を期待することができる。

従って、本発明の１つの態様によれば、ｎ型ドーピングした共振素子が少なくとも１つのボイドを具え、このボイドは一般に、共振素子内の凹部またはスルーホール（貫通孔）である。このボイドは、閉ループトレンチの形態であることが好ましい。一般に、このボイドは、共振素子の中央に設けるが、中心でない位置に配置することもでき、あるいは、対称または非対称に配置されたボイドのアレイとすることができる。

本発明の他の態様によれば、共振プレートの固定部を、共振器の温度補償特性に相当量の影響を与えるビームであるように設計する。これに関連して、「相当量の影響」とは、共振器のＴＣＦに少なくとも2ppm/℃の影響を与えることを意味する。

さらに他の１つの態様によれば、共振デバイスが、ＴＣＦに差のある少なくとも２つの共振素子を別個に具え、この差は、30〜50ppm/℃であることが好ましい。これらの共振素子の少なくとも一方または両方を、ｎ型ドーピングすることができる。好適な実施形態によれば、両方の共振素子を、一般に同じ濃度でｎ型ドーピングすることができるが、これらの共振素子の結晶方位は45°だけ異なる。例えば、２つのラーメ共振器が存在し、一方が-30ppm/℃のＴＣＦを有し、他方が+18ppm/℃のＴＣＦを有することができる。これら２つの共振素子の両方の測定値を、ＴＣＦの差を利用した温度補償に用いることができる。この種の方法は、米国特許第７１４５４０２号明細書（特許文献７）に、より詳細に開示されている。

共振器のＴＣＦの理論モデル
共振器の周波数は、次式により一般化した形式で与えることができる：
ここに、ｃは、（共振器の共振モード、共振器の幾何学的形状、及び結晶に対する配向を考慮に入れて）一般化した材料の剛性であり、ρは、材料の密度であり、Ｌは、一般化した共振器の寸法である。

温度が変化すると、材料パラメータの変化、及び共振器の寸法の変化により、共振周波数が変化する。共振周波数温度係数
は、次式のように材料パラメータに依存し：
ＴＣ_f＝ＴＣ_v−α、
ここに、αは、共振器の伸長を考慮した線膨張係数であり、音速のＴＣは次式の通りであり：
次式のようになる：

通常、明らかに支配的な効果は、第１項、即ち、剛性の熱係数ＴＣ_cであるのに対し、熱膨張効果はずっと小さい。共振材料のＴＣ_cを十分強度に修正することができるならば、温度安定性のある共振器を実現することができる。次の、モデルの実験的検証が、シリコンの重度のｎ型ドーピングによって、このことを実現できることを示している。

剛性行列要素の温度感度の理論モデル
本発明の実現可能性をさらに実証し、本発明の動作をさらに理解するために、出願人は理論モデルを開発した。このモデルは、Keyesによる多谷（many-valley）法（R.W. Keyes “Solid State Physics”, Vol.20, 1967（非特許文献６））を用いた、シリコンの弾性定数に対する自由電子の寄与分を利用する。このモデルは、単一の適合パラメータ、即ち変形ポテンシャルを含む。変形ポテンシャル・パラメータを、Hallによって公開されたデータ（Hall “Electronic Effect in the Elastic Constants of n-Type Silicon”, Physical Review, vol.161(2), pp. 756-761, 1967（非特許文献７））に適合し、ここで、温度範囲Ｔ＝100...308にあるデータ点を用いた。

図１７ａ〜ｃに、弾性行列パラメータの温度感度（dｃ_ij/dＴ、単位はPa/℃）を、ｎ型ドーパントレベルｎ＝0.5×10¹⁹cm^-3...10×10¹⁹cm^-3について示す。ｎ型ドーピングの場合には、ｃ₄₄弾性行列項の感度は影響されないものと仮定し、Hallによって提供されたデータを用いて、ｃ₄₄の温度感度を推定した。ｃ₁₁及びｃ₁₂については、温度感度は理論より得た。

本発明の構造に適用した理論、及びバルク弾性波モードは、実験データと、適度に良好なレベルで一致することが判明した（以下の実験データの節を参照）。理論的結果を用いてＴＣＦを計算する際には、常に、熱膨張係数は通常の（ドーピングしないか、弱度にドーピングした）シリコンの熱膨張係数であるものと仮定し、即ち、上記の一般的なＴＣＦ理論では、α＝2.6ppm/℃であるものと仮定した。

ｃ₁₁−ｃ₁₂で特徴付けられるモードの定義
以下では、「特定共振モードの周波数は、行列要素項(ｃ₁₁−ｃ₁₂)によって特徴付けられる、または支配される」、あるいは「主にｃ₁₁−ｃ₁₂に依存する」という表現を明確にする。

上記に提示した理論モデルは、弾性定数の温度感度dｃ_ij/dＴを、ｎ型ドーパント濃度の関数として予測することを可能にする。共振器の温度依存性を最小にするためには、あるドーパント濃度レベルで、ある定数の温度感度を０にすることが望まれる。このことは、定数ｃ₁₁、ｃ₁₂及びｃ₄₄の場合ではないように見えるが、項ｃ₁₁とｃ₁₂との差を調べると、およそｎ＝1.2×10¹⁹cm^-3のドーパント濃度で、感度d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴが０になることがわかる（図１８参照）。

この結果は、関係する共振器の幾何学的形状、結晶に対する配向、及び共振モードが、一般化した剛性（共振器のＴＣＦの理論モデルの章を参照）がｃ₁₁−ｃ₁₂に比例する場合に、共振器を温度補償することができることを示唆している。こうしたモードは、例えば、プレート共振器のラーメモードである。

「ｃがｃ₁₁−ｃ₁₂に比例する」は、次のことを意味する：ここで、一般化した剛性ｃを次の線形多項式のように表すことができるものと仮定する：
ｃ＝Ｐ×ｃ₁₁＋Ｑ’×ｃ₁₂＋Ｒ×ｃ₄₄
ここに、Ｐ、Ｑ’及びＲは定数である。この多項式は、次式のように書き直すことができる：
ｃ＝Ｐ×(ｃ₁₁−ｃ₁₂)＋Ｑ×ｃ₁₂＋Ｒ×ｃ₄₄ [式１]
ここに、Ｑ＝Ｑ’＋Ｐは、新たな定数である。

「ｃ₁₁−ｃ₁₂に比例する一般化した剛性ｃ」は、定数Ｐが０でなく、かつＱ＝Ｒ＝０であることを意味する。

しかし、上記温度補償特性は、以上で説明した厳密な条件を満たす共振器よりも広いクラスの共振器に適用することができる。図１８に示すように、感度d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴは、ｎ＝1.2×10¹⁹cm^-3を超える濃度で、正の値に達する。同時に、dｃ₁₂/dＴ及びdｃ₄₄/dＴは、負のままである（共振器のＴＣＦの理論モデルの章を参照）。従って、当該共振モードの一般化した剛性ｃの式が０でない係数Ｑ及びＲを有する共振モードは、温度補償することができ、適切なモード及び結晶に対する配向、及び最適なｎ型ドーパント濃度を有する共振器については、d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴによる正の効果は、dｃ₁₂/dＴ及び／またはdｃ₄₄/dＴからの寄与分により相殺される。こうした「純粋でない」(ｃ₁₁−ｃ₁₂)モードは、例えば、ビーム共振器の屈曲及び伸縮共振モードである。詳細例は、本明細書の他所に提示する。

一般に、共振モードの一般化した剛性ｃは、ｃ_ijの線形関数である必要はなく、一般に、純粋でないすべりモードについては、この関数が線形でない（ビーム共振器の伸縮／屈曲共振の、周波数対弾性行列要素の関係の近似を参照）。本発明の関係では、剛性の相対変化dｃ_ij/ｃ_ijは常に小さいので、一般化した剛性の線形延長を用いることができる（線形延長は、点[ｃ₁₁, ｃ₁₂, ｃ₄₄]＝[166, 64, 80]GPaで行い、この点は、通常の（基本的に非ドーピングの）シリコンの剛性項を表し、シリコン剛性の絶対値はドーピングに大きく影響されないので、この点を用いることができる）。一般化した剛性の変化dｃの多項式近似は、次式のように書くことができる：
dｃ＝Ｐ×(ｄｃ₁₁−ｄｃ₁₂)＋Ｑ×ｄｃ₁₂＋Ｒ×ｄｃ₄₄ 。

共振器の周波数は、√(ｃ)に比例する（共振器のＴＣＦの理論モデルを参照）。相対変化dｃ_ij/ｃ_ij、及び一般化した剛性dｃ/ｃの大きさが小さいことにより、周波数変化についての関係式も線形化して、次式を得ることができる：
dｆ＝(定数)×(Ｐ×(dｃ₁₁−dｃ₁₂)＋Ｑ×dｃ₁₂＋Ｒ×dｃ₄₄)
この式は、上述したのと同じ多項式形の係数を有する。

温度感度に関して表現すると、上記の関係式は次式のようになる：
dｆ/dＴ＝(定数)×(Ｐ×d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴ＋Ｑ×dｃ₁₂/dＴ＋Ｒ×dｃ₄₄/dＴ) 。

温度補償することのできるモードは、あるｎ型ドーパント濃度レベルでdｆ/dＴ＞＝０となる。従って、温度補償することのできる共振モードの条件は、次の線形不等式によって与えられる：
d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴ＋Ｑ/Ｐ×dｃ₁₂/dＴ＋Ｒ/Ｐ×dｃ₄₄/dＴ≧０。

数値予測は、次のように導出することができる：
図１８より、最大値[d(ｃ₁₁−ｃ₁₂)/dＴ]_maxを見出し、図１７ｂ及び１７ｃより、次の最小値を見出す：[dｃ₁₂/dＴ]min＝-7.9MPa/℃、及び[dｃ₄₄/dＴ]_min＝-4.4MPa/℃ 。
ｘ＝Ｑ/Ｐ及びｙ＝Ｒ/Ｐと定義すれば、上記不等式は、次式の形になる：
ｙ≦-7.9/4.4×ｘ＋3.5/4.4、あるいは近似的に、
ｙ≦-1.8×ｘ＋0.8 。

上記によって計算した値に5%の誤差マージンを仮定すれば（共振器のＴＣＦの理論モデルを参照）、次の不等式に至る：
ｙ≦-1.8×ｘ＋1 。

従って、直線-1.8×ｘ＋1に該当するすべての点(Ｑ/Ｐ, Ｒ/Ｐ)は、温度補償することのできるモードを表す。

結論として、あるモードの（行列要素の変化dｃ_ijの関数として）線形化した周波数変化dｆは、次式のように書くことができ：
dｆ＝Ｐ×dｃ₁₁＋Ｑ’×dｃ₁₂＋Ｒ×dｃ₄₄、または、
dｆ＝Ｐ×(dｃ₁₁−dｃ₁₂)＋Ｑ×dｃ₁₂＋Ｒ×dｃ₄₄、ここにＱ＝Ｑ’＋Ｐ
dｆが、次の不等式：
Ｒ/Ｐ＜＝-1.8×Ｑ/Ｐ＋1
を満たす係数Ｐ、Ｑ及びＲを有する際に、このモードをｎ型ドーピングで温度補償することができる。

図１９に、種々の実施形態に関連して説明したモードを、(Ｑ/Ｐ, Ｒ/Ｐ)面内に配置して示す。温度補償することのできるモードは、陰影を付けた領域内に入る。ラベル「Ｙ１Ｄ」は、ビームが[100]方向に沿って配向している際の、ビームの屈曲／伸縮モードの近似を参照する（ビーム共振器の伸縮／屈曲共振の、周波数対弾性行列要素の関係の近似を参照）。

実験的検証
均質なｎ型ドーピングの、単結晶シリコンＭＥＭＳ共振器の温度係数に対する影響を、実験的にテストした。プレート共振器をＳＯＩ（silicon on insulator：シリコン・オン・インシュレータ）ウェハー上に製造し、そのデバイス層をリンで、〜5×10¹⁹cm^-3にｎ型ドーピングした。デバイスは、Ｔ＝40...80℃の温度範囲によって特徴付けられ、温度対共振周波数曲線を抽出した。

２つの異なる種類の共振器において、合計４つの異なる共振モードを特性化した。テストした共振器の種類は次の通りである：
寸法（長さ×幅×高さ）320μm×320μm×10μmのプレート共振器であって、プレートの辺を[100]方向に合わせ、(100)面のシリコンウェハー上に製造したプレート共振器、及び、
上記と同様の共振器であるが、この面内で45度回転させ、即ち、辺を[110]方向に合わせた共振器。

両方の種類の共振器について、面積伸縮共振モード及びラーメ共振モードを特性化した。

測定から得られた周波数対温度データを、図３ａ、３ｂ、４ａ及び４ｂに示し、抽出したリニアＴＣＦを、理論からの予測値と共に表１に要約する。

最も重要な所見は、次の通りである：
１．[100]方向に合わせたプレートのラーメモードは、〜+18ppm/℃のリニアＴＣＦで過補償されていることが判明した。
２．[100]方向に合わせたプレートのＳＥ共振モードは、-1ppm/℃の０でないＴＣＦを有した。
３．[110]方向に合わせたプレートのラーメモードのＴＣＦは、ｎ型ドーピングによって、ごくわずかしか変化していない。
４．本明細書に提示した理論は、実験データと良く一致しているように見える。

これらのグラフは完全に直線的ではないが、顕著な二次の項（定数「ｂ」）が存在する。これらの曲線は、例えばシリコン結晶中の追加的ドーパントを用いて直線化することができる。

以上の実施形態、理論と実験、及び添付した図面は、例示目的に過ぎず、本発明を限定することを意図したものではなく、本発明の範囲は、以下の特許請求の範囲によって規定される。この特許請求の範囲は、その等価物を考慮に入れて、その全範囲を解釈すべきものである。

Claims (31)

1. ｎ型ドーピング剤を含む半導体材料製の振動または偏向素子であって、当該振動または偏向素子の共振または偏向の方向に対する結晶方位を有し、前記ｎ型ドーピング剤で、ほぼ均質にドーピングされた振動または偏向素子と、
   前記振動または偏向素子と機能的に接続された励起または検出手段とを具えた微小機械バルク弾性波（ＢＡＷ）デバイスであって、
   前記振動または偏向素子の前記結晶方位が、当該振動または偏向素子の周波数温度係数を最大にする方向から３０°未満だけ外れていることを特徴とする微小機械バルク弾性波デバイス。
2. 前記振動または偏向素子は、前記ｎ型ドーピング剤を、少なくとも1.0×10¹⁹cm^-3、典型的には少なくとも1.1×10¹⁹cm^-3、好適には少なくとも1.2×10¹⁹cm^-3の平均濃度で含むことを特徴とする請求項１に記載の微小機械デバイス。
3. 前記振動または偏向素子の最小寸法が5μmであり、特に7μmであることを特徴とする請求項１または２に記載の微小機械デバイス。
4. 前記振動または偏向素子が共振素子であり、
   前記励起または検出手段が、前記共振素子において共振モードを励起するためのトランスデューサ素子を具えていることを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の微小機械デバイス。
5. 前記共振素子が、ラーメモードまたは輪郭すべりモードのようなすべりモードで共振するように構成されたプレート共振器またはビーム共振器であり、前記ｎ型ドーピング剤の濃度が、少なくとも1.1×10¹⁹cm^-3、好適には少なくとも1.2×10¹⁹cm^-3であることを特徴とする請求項４に記載の微小機械デバイス。
6. 前記共振素子が、面積伸縮モードで共振するように構成されたプレート共振器であり、前記ｎ型ドーピング剤の濃度が、少なくとも2×10¹⁹cm^-3であることを特徴とする請求項４に記載の微小機械デバイス。
7. 前記共振素子が、長さ伸縮モードまたは幅伸縮モード、あるいは面内屈曲モードまたは面外屈曲モードで共振するように構成されたビーム共振器であり、前記ｎ型ドーピング剤の濃度が、少なくとも1.6×10¹⁹cm^-3であることを特徴とする請求項４に記載の微小機械デバイス。
8. 前記振動または偏向素子がシリコン結晶構造を具え、前記ｎ型ドーピング剤が、リン、ヒ素、またはアンチモンであることを特徴とする請求項４〜７のいずれかに記載の微小機械デバイス。
9. 前記共振素子に、ｐｎ接合が存在しないことを特徴とする請求項４〜８のいずれかに記載の微小機械デバイス。
10. 前記ｎ型ドーピング剤のドーピング濃度が、前記共振素子の周波数温度係数（ＴＣＦ）を、25℃において-5ppm/℃以上、特に-3ppm/℃以上に設定するのに十分なドーピング濃度であることを特徴とする請求項４〜９のいずれかに記載の微小機械デバイス。
11. 前記ｎ型ドーピング剤のドーピング濃度が、前記共振素子の周波数温度係数（ＴＣＦ）を、25℃において0ppm/℃以上に設定するのに十分なドーピング濃度であることを特徴とする請求項１０に記載の微小機械デバイス。
12. 前記共振素子が、質量を有する本体を具え、
    前記共振素子が、１つ以上のバネとして共振し、前記バネにねじりが生じる共振モードで共振するように構成されている
    ことを特徴とする請求項４〜１１のいずれかに記載の微小機械デバイス。
13. 前記共振素子が、質量を有する本体を具え、
    前記共振素子が、１つ以上のバネとして共振し、前記バネに屈曲及び／または伸縮が生じる共振モードで共振するように構成されている
    ことを特徴とする請求項４〜１１のいずれかに記載の微小機械デバイス。
14. 前記バネの方向が、[100]の結晶方位に沿っていることを特徴とする請求項１２または１３に記載の微小機械デバイス。
15. 前記共振素子が、前記半導体材料の結晶母体と整列し、これにより、前記共振素子が示す共振モードの周波数に対して、前記共振素子の前記半導体材料の弾性項(ｃ₁₁−ｃ₁₂)が少なくとも８０％の寄与分を有することを特徴とする請求項４〜１４のいずれかに記載の微小機械デバイス。
16. 前記共振素子が、正方形プレートのようなプレートを具えていることを特徴とする請求項４〜１５のいずれかに記載の微小機械デバイス。
17. 前記共振素子がプレートを具え、このプレートは、複数の同様の正方形サブプレートに分割することができることを特徴とする請求項１６に記載の微小機械デバイス。
18. 前記共振素子が、ラーメ共振モードで共振するように構成されていることを特徴とする請求項１６または１７に記載の微小機械デバイス。
19. 前記共振素子が、面積伸縮（ＳＥ）モードで共振するように構成されていることを特徴とする請求項１６または１７に記載の微小機械デバイス。
20. 前記共振素子が、(100)面のウェハー上に製造された長方形のプレートを具え、前記プレートの辺が、前記共振素子の前記半導体材料の結晶の[100]方向と一致することを特徴とする請求項１６〜１９のいずれかに記載の微小機械デバイス。
21. 前記共振素子がビームであり、
    前記ビームが、(100)面のウェハーまたは(110)面のウェハー上に製造され、前記ビームの主軸が、前記半導体材料の[110]方向に沿って配向しているか、あるいは、
    前記ビームの主軸が、前記ビームを前記面内で前記半導体材料の[110]方向から[100]方向に向けて20〜50度だけ回転させることによって配向させた方向に沿うように、前記ビームが(110)面のウェハー上に製造され、
    前記ビームが、ねじりモードで共振するように構成されていることを特徴とする請求項４、５または７に記載の微小機械デバイス。
22. 前記ビームの主軸が、前記半導体材料の[100]方向に沿って配向し、前記ビームが、伸縮モードまたは屈曲モードで共振するように構成されていることを特徴とする請求項２１に記載の微小機械デバイス。
23. 前記共振素子が、前記ｎ型ドーピング剤に加えて、ｐ型ドーピング剤または他のｎ型ドーピング剤のような他のドーピング剤を含むことを特徴とする請求項４〜２２のいずれかに記載の微小機械デバイス。
24. 前記共振素子が、第１の共振素子に加えて、この第１の共振素子に機械的に結合された少なくとも第２の共振素子を具え、前記第１の共振素子と前記第２の共振素子とが、前記共振素子全体の周波数温度係数（ＴＣＦ）に対して、異なる寄与分を有することを特徴とする請求項４〜２３のいずれかに記載の微小機械デバイス。
25. 前記共振素子が、均質にドーピングされたシリコンプレートまたはシリコンビームを具え、このシリコンプレートまたはシリコンビームが、少なくとも4μmの厚さ、及び少なくとも一方向に少なくとも50μmの寸法を有し、前記トランスデューサ素子が、前記共振素子に、すべり、面積伸縮、幅伸縮、または屈曲のプレート・バルク弾性波モード、あるいは、伸縮、屈曲、またはねじりのビーム・バルク弾性波モードを生じさせるように構成されていることを特徴とする請求項４〜２４のいずれかに記載の微小機械デバイス。
26. 前記励起または検出手段が、圧電薄膜励起手段または静電励起手段を具えていることを特徴とする請求項１〜２５のいずれかに記載の微小機械デバイス。
27. 前記微小機械デバイスが、バイアス電流なしで駆動されるように構成されていることを特徴とする請求項１〜２６のいずれかに記載の微小機械デバイス。
28. ｎ型ドーピング剤を含む半導体材料製の振動または偏向素子と、
    前記振動または偏向素子と機能的に接続された励起または検出手段とを具えた微小機械デバイスであって、
    前記振動または偏向素子が、前記半導体材料の結晶に対して整列し、共振モードで共振するように構成され、前記共振モードが有する共振周波数に対して、前記半導体材料の弾性行列のｃ₁₁−ｃ₁₂項が少なくとも８０％の寄与分を有することを特徴とする微小機械デバイス。
29. 請求項１〜２７のいずれかに記載された特徴をさらに具えた、請求項２８に記載の微小機械デバイス。
30. 微小機械バルク弾性波（ＢＡＷ）デバイスを製造する方法であって、
    均質にｎ型ドーピングされたデバイス層を含む、結晶方位を有する半導体ウェハーを用意するステップと、
    前記半導体ウェハーを処理して、前記ｎ型ドーピングされたデバイス層から、偏向または振動することのできる素子を形成するステップであって、前記素子の共振または偏向の方向に対する前記結晶方位が、当該素子の周波数温度係数を最大にする方向から３０°未満だけ外れているステップと、
    前記素子に機能的に接続され、前記素子において共振モードを励起するか、前記素子の共振周波数、または偏向の度合いを検出するための、励起または検出手段を用意するステップと
    を含むことを特徴とする微小機械バルク弾性波デバイスの製造方法。
31. 請求項１〜２９のいずれかに記載の微小機械デバイスを製造する、請求項３０に記載の方法。