JP5869476B2

JP5869476B2 - 断層撮影画像の取得および再構成を実行するシステムおよび方法

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Publication number: JP5869476B2
Application number: JP2012516309A
Authority: JP
Inventors: デンプジー，ジェームズ，エフ; ゼン，クィングオ; ナナ，ロジャー; パトリック，ジョン，エル; イーガン，ティモシー，ピー; シュバーツマン，シュマリュ
Original assignee: ヴューレイインコーポレイテッド
Priority date: 2009-06-19
Filing date: 2010-06-17
Publication date: 2016-02-24
Anticipated expiration: 2030-06-17
Also published as: CN106154192B; JP2018027313A; JP6899013B2; EP2443590A1; JP2012530549A; US20100322497A1; EP2443590B1; AU2010262843B2; CA2760053C; AU2010262843A1; CA2760053A1; US9472000B2; US10055861B2; CN102804207B; JP2016041389A; JP6674421B2; US10825209B2; US20190012814A1; CN106154192A; US20170032544A1

Description

本願は、オブジェクトの撮像のシステムおよび方法に、特に、測定された周波数サンプルの断層撮影再構成を介した撮像に関わるシステムおよび方法に関する。

断層撮影〔トモグラフィー〕は断面または断面化による画像化である。断層撮影において使用される装置は断層撮影装置〔トモグラフ〕と呼ばれ、生成される画像は断層撮影像〔トモグラム〕である。断層撮影は医療、考古学、生物学、地球物理学、海洋学、物質科学、宇宙物理学およびその他の科学において使用される。トモグラフィーという単語は、「断面」「スライス」または「切断」を意味するギリシア語の単語「トモス」に由来する。断層撮影はスライス・ベースの撮像をいうが、典型的には三次元（3D）画像または四次元画像（時間的に分解された複数の三次元画像）にも適用される。

２００６年、カンデスら（非特許文献１）およびドノホ（非特許文献２）からの独創的な原稿が画像の再構成のための「圧縮センシング」と名付けられる新たな研究分野を創出した。一般に、ドノホの文献で述べられているように、圧縮センシングの理論は「信号および画像処理の多くの場面で成り立つことが知られている一つの特定の仮定に依存している。それは、変換の散在性（transform sparsity）〔変換が疎であること〕の原理である。」これは、画像を再構成するためにより少ないデータの測定を許容し、よって画像取得を高速化するために変換の散在性を活用できるモデルを創り出そうとする多くの研究を触発した。これらの技法はみな、画像自身またはその画像の何らかの変換を圧縮できることに依拠している。この一群の研究は、ドノホによる独創的な文献から動機付けられている。ドノホではこう述べられている「何でも圧縮できるという現象は、非常に自然な疑問を持ち上げる。取得したものの大半を捨ててしまうのに、なぜそんなにまで苦労して全データを取得しようとするのか？最終的に捨てられない部分だけを直接測定することはできないのであろうか？」この研究は、最適に疎である変換を生成するよう設計された最適化モデルの開発につながった。

Emmanuel J. Candes et al., Robust uncertainty principles: exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information, 52(2) IEEE Transactions on Information Theory, 2006, pp.489-509 David Donoho, Compressed sensing, 52(4), IEEE Transactions on Information Theory, April 2006, pp.1289-1306 Joshua Trzasko & Armando Manduca, Highly Undersampled Magnetic Resonance Image Reconstruction via Homotopic l0-Minimization, 28(1), IEEE Transactions on Medical Imaging, January 2009, pp.106-121

画像の断層撮影再構成のためのシステムおよび方法が開示される。

たとえば、本開示のいくつかの側面によれば、画像を生成する方法は、撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得し、ｋ空間データ・セットの一部を収集し、ｋ空間データ・セットの収集された一部から凸最適化モデル（convex optimization model）に従って画像を再構成することを含むことができる。

凸最適化モデルは、ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子および撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含むことができる。

ｋ空間データ・セットの一部の収集は、データ収集パターンに従ってデータを収集することを含むことができる。たとえば、データ収集パターンが渦巻きパターン、放射状パターンおよび／または複数の平行なサンプリング線を含むパターンを含むことができる。

いくつかの実施形態では、画像の再構成は、画像強度の全変動（total variation）の離散化のl＝0ノルムの近似を使って画像データを生成することを含むことができる。そのような実施形態では、画像データの生成は、対話的なプロセスを実行することを含むことができる。ここで、該逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含む。ホモトピック・パラメータおよび二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定できる。また、前記逐次反復プロセスの反復工程は、所定のレートに従って二次緩和パラメータの値を大きくし、二次緩和パラメータの値および二次緩和パラメータとホモトピック・パラメータの間の所定の関係に従ってホモトピック・パラメータの値を小さくすることを含むことができる。

l＝0ノルムを使い、逐次反復プロセスを含む実施形態では、逐次反復プロセスは内側および外側の逐次反復プロセスを含むことができる。外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む。内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、ホモトピック・パラメータの値および二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含むことができる。内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含むこともできる。

いくつかの実施形態では、画像の再構成は、画像強度の全変動の離散化のl＝1またはl＝2ノルムの一つを使って画像データを生成することを含むことができる。そのような実施形態では、画像データの生成は、対話的なプロセスを実行することを含むことができる。ここで、該逐次反復プロセスの反復工程は、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含むことができる。ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づくことができる。ノルム重み付け因子の値の更新は、ガウシアン・カーネルを使って平滑化された画像データを生成することを含むことができる。

l＝1またはl＝2ノルムを使い、逐次反復プロセスを含む実施形態では、逐次反復プロセスは内側および外側の逐次反復プロセスを含むことができる。外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む。内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、ホモトピック・パラメータの値および二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含むことができる。また、内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含むこともできる。

画像の再構成は、撮像されたオブジェクトを表す画像データを生成することを含むことができる。また、画像の再構成はディスプレイ、プリンタおよび／またはメモリ・デバイスに画像データを出力することを含むことができる。

本開示のさらなる側面によれば、画像を生成する方法は、撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得し、所定のデータ収集パターンに従ってｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成し、サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成し、画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成することを含むことができる。逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含むことができる。

一例として、画像データの前記第一の集合は、ｋ空間データ・セットの前記一部の逆フーリエ変換に少なくとも部分的に基づく。

前記複数の重み付け因子は、画像データの諸属性についての重要度重み付け因子を含むことができる。前記複数の重み付け因子は、画像データの異なる属性にそれぞれの重みを適用するための重み付け因子を含むことができる。前記複数の重み付け因子は、画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含むことができる。

本開示のさらなる側面によれば、画像を生成する方法は、磁気共鳴撮像システムからｋ空間データ・セットを受領し、所定のデータ収集パターンに従ってｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、ここで、前記所定のデータ収集パターンは渦巻きパターンを含み、サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成し、画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成することを含むことができる。逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含むことができる。

画像データの前記第一の集合の生成は、ｋ空間データ・セットの前記一部の逆フーリエ変換に少なくとも部分的に基づくことができる。

本開示のさらなる側面によれば、画像を生成する撮像システムは、撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと、ｋ空間データ・セットの一部を収集し、凸最適化モデルに従ってｋ空間データ・セットの収集された一部から画像を再構成するコンピューティング・ユニットとを有する。

凸最適化モデルは、ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子を含むことができる。凸最適化モデルは、撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含む。

いくつかの実施形態では、コンピューティング・ユニットは、画像強度の全変動の離散化のl＝0ノルムの近似を使って画像データを生成することができる。そのような実施形態では、コンピューティング・ユニットは、対話的なプロセスを使って画像データを生成することができる。ここで、該逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含むことができる。ホモトピック・パラメータおよび二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定できる。

いくつかの実施形態では、コンピューティング・ユニットは、画像強度の全変動の離散化のl＝1またはl＝2ノルムの一つを使って画像データを生成することができる。そのような実施形態では、コンピューティング・ユニットは、対話的なプロセスを使って画像データを生成することができる。ここで、該逐次反復プロセスの反復工程は、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含むことができる。ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づくことができる。

コンピューティング・ユニットは、撮像されるオブジェクトを表す画像データを生成することができる。コンピューティング・ユニットは、ディスプレイ、プリンタおよび／またはメモリ・デバイスに画像データを出力することができる。

ｋ空間データ・セットは、画像捕捉システム、たとえば磁気共鳴撮像（MRI: magnetic resonance imaging）システムまたは他の既知の画像捕捉システムによって生成されることができる。

本開示のさらなる側面によれば、画像を生成する撮像システムは、撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと、所定のデータ収集パターンに従ってｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成し、サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成し、画像データの第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成するコンピューティング・ユニットとを有する。逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含むことができる。

いくつかの実施形態では、撮像システムは、画像捕捉システムからｋ空間データ・セットを受領するためのインターフェースを含むことができる。いくつかの実施形態では、撮像システムは、統合された画像捕捉システムを含むことができる。

いくつかの実施形態では、所定のデータ収集パターンは渦巻きパターンを含むことができる。そのような実施形態では、ｋ空間データ・セットは、磁気共鳴撮像（MRI）システムによって生成されたｋ空間データを含むことができる。他の実施形態では、データ収集パターンは放射状パターンを含むことができる。そのような実施形態では、ｋ空間データ・セットは、計算機断層撮影（CTまたはCATスキャン）システムによって生成されたｋ空間データを含むことができる。

本発明の特徴、側面および実施形態について付属の図面との関連で述べる。
l＝0ノルムの場合について再構成アルゴリズムのフローチャートを示す図である。 l＝1またはl＝2ノルムの場合について再構成アルゴリズムのフローチャートを示す図である。 3Dのk空間サンプリングのために使用されることのできる渦巻き状の軌跡を示す図である。図３に示される渦巻き状の軌跡をスライスすることによって達成できる一連のサンプリング・マスク・パターンを示す図である。固定したシフト角をもって生成されるｋ空間サンプリングのための渦巻きパターンの集合を示す図である。変化させられるシフト角をもって生成されるｋ空間サンプリングのための渦巻きパターンの集合を示す図である。種々の再構成技法の結果を比較するための画像の集合を示す図である。種々の再構成技法の結果を比較するための画像の集合を示す図である。種々の再構成技法の結果を比較するための画像の集合を示す図である。種々の再構成技法の結果を比較するための画像の集合を示す図である。種々の再構成技法の結果を比較するための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎渦巻きサンプリングを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎渦巻きサンプリングを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎渦巻きサンプリングを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎渦巻きサンプリングを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎放射状サンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。もとの画像と、種々の再構成技法および図示したｋ空間疎GRAPPAサンプリング・パターンを使って再構成される画像との比較のための画像の集合を示す図である。撮像システムのある実施形態のブロック図である。

本開示は、撮像システムおよび／または撮像システムから画像データを受領する手段を含んでいてもよい、画像処理システムを使って画像を生成するために使用できる断層撮影再構成のための方法を提供する。本開示の諸側面を組み込むことのできるより具体的な撮像システムの例は、X線またはガンマ線断層撮影を使う計算機断層撮影（CTまたはCATスキャン）、共焦点レーザー走査顕微鏡法（LSCM: confocal laser scanning microscopy）、低温電子断層撮影（Cryo-ET: cryo-electron tomography）、静電容量断層撮影（ECT: electrical capacitance tomography）、電気抵抗率断層撮影（ERT: electrical resistivity tomography）、電気インピーダンス断層撮影（EIT: electrical impedance tomography）、機能的磁気共鳴撮像（fMRI: functional magnetic resonance imaging）、磁気誘導断層撮影（MIT: magnetic induction tomography）、磁気共鳴撮像（MRI: magnetic resonance imaging）（かつては磁気共鳴断層撮影（MRT: magnetic resonance tomography）または核磁気共鳴断層撮影として知られた）、中性子断層撮影、光コヒーレンス断層撮影（OCT: optical coherence tomography）、光投影断層撮影（OPT: optical projection tomography）、プロセス断層撮影（PT: process tomography）、陽電子放出断層撮影（PET: positron emission tomography）、陽電子放出断層撮影‐計算機断層撮影（PET-CT）、量子断層撮影、単一光子放出計算機断層撮影（SPECT: single photon emission computed tomography）、地震波断層撮影（seismic tomography）、超音波撮像（US: ultrasound imaging）、超音波支援光断層撮影（UAOT: ultrasound assisted optical tomography）、超音波透過断層撮影（ultrasound transmission tomography）、光学音響断層撮影（OAT: optoacoustic tomography）もしくは熱音響断層撮影（TAT: thermoacoustic tomography）としても知られる光音響断層撮影（PAT: photoacoustic tomography）および回転する星の磁気的な幾何構造を再構成するために使われるゼーマン・ドップラー撮像のためのシステムを含む。このリストは長いが、網羅的なものではなく、本願は、当業者に知られているあらゆる同様の断層撮影再構成方法に適用可能である。

開示されるプロセスは、１）画像再構成のためのモデル；２）モデルの高速数値解法のためのアルゴリズム；および３）再構成の忠実度を改善するためのｋ空間サンプリング・パターンおよび戦略を伴う。

本願は、オブジェクトの画像の断層撮影再構成を、そのオブジェクトの不完全な測定された周波数サンプルから実行するプロセスを開示する。ここで、オブジェクトも該オブジェクトのフーリエ変換も疎ではない。すなわち、変換の散在性は仮定も要求もされず、実際、必ずしも厳密に成り立たないことが知られている。開示される方法は、好ましくは不完全な測定された周波数サンプルとの整合性のための備えをしつつ、撮像対象のオブジェクトを示すと先験的にわかっている物理的属性を最適に示す画像を生成するために、圧縮センシングにおいて使用されるのと同様の最適化方法を提供することを含む。しかしながら、従来の圧縮センシング技法は、アルゴリズムにおいて何らかの圧縮項を伴う。対照的に、本開示は、そのような従来のアルゴリズムに見出される圧縮項をなしですます方法を提示する。開示される方法を使えば、画像を生成するために必要とされる周波数サンプリングの量を減らすことによって、画像取得のスピードを高めることができる。人間の被験者またはデリケートなオブジェクトの撮像において組織の電離放射線照射や加熱が起こりうる応用では、吸収される線量またはエネルギーも減らすことができる。それにより、撮像されるオブジェクトまたは被験者へのリスクを最小にできる。

開示されるプロセスの実施形態は、測定されている根底にあるオブジェクトによって生成される信号がしばしば、ピクセル／ボクセル・サイズと画像視野（FOV: field of view）のサイズの中間の何らかの中間スケールでのノイズのない区分ごとに一定の強度のオブジェクトによってよく近似されることができるという先験的な知識を適用することを含むモデルを用いることができる。本プロセスは、再構成されたオブジェクトのフーリエ変換と測定されたフーリエ・データとの間の最小二乗の意味での一致を得るよう同時に試みながら、対応する信号強度のこれらの属性を最適化することを含むことができる。このようにして、最適化が、疎なフーリエ・データからオブジェクトを再構成するという不足決定問題を取り上げ、その物理的属性の先験的な知識に関して測定されたデータと整合する最適な解を選択する。

開示されるプロセスは、たいていの撮像アプリケーションでは、生体を撮像するにしても製造物を撮像するにしても、撮像される根底にあるオブジェクトは、ノイズのない区分ごとに一定の強度のオブジェクトによってよく表現されるという観察が動機となっている。たとえば、人体は、脂肪または脂肪組織、筋肉、骨、軟組織、脳組織、肺および空気の集合として見ることができる。これらの組織は互いに当接し、画像中に不連続を引き起こす。これは、種々の解剖学的または生理学的構造を同定するために使われるコントラストを生じる。

本開示は、画像再構成のための一般的モデルを提起する。本モデルは、二つの項をもつことができる。第一の項は、撮像されるオブジェクトの先験的な属性を強制するためのものであり、第二の項は、重要度因子によって重み付けられた最小二乗の意味で画像のフーリエ変換と測定されたフーリエ・データとの不一致にペナルティを与えるためのものである。本モデルの第一の項は、区分ごとに一定であるが、同時に、オブジェクトに存在していることがわかっている大きな不連続にペナルティを与えないような画像を生成するよう設計された画像の変動にわたるノルム（a norm over the variation of the image）であることができる。画像再構成のための開示されるモデルは、画像における変動の疎さ〔散在性〕を最大にする制約されない凸最適化モデルを用いることができる。

式(1)において、αは撮像されるオブジェクトの先験的属性についての重要度重み付け因子であり、u(ベクトルx)は位置「ベクトルx」における画像強度である。M_lは大きな不連続にペナルティを与えることを防ぐためのノルム重み付け因子であり、たとえば

である。ここで、

はu(ベクトルx)の平滑化されたバージョンであり（これは、たとえば分散σ_Gをもつガウシアン・カーネルGを用いてなど、多くの方法で達成できる。）、εは、

のときにゼロによる除算を防止するために含められる小さな定数である。

はu(ベクトルx)のn次元の局所的な有限差分であり、n次元の空間座標「ベクトルx」はn次元の空間領域X内にある。よって、

は画像uの画像強度の全変動（TV: total variation）の離散化のl₀、l₁またはl₂ノルムである。また、式(1)において、

であり、

はn次元離散フーリエ変換演算子であり、Pはn次元フーリエ領域Kにおける選択された座標点「ベクトルp」に対応するn次元選択演算子である。値

は画像uのフーリエ変換の測定された値である。ノルム重み付け因子M_lは、大きな画像強度について変動の重要度を減らすことにおいて重要な役割を演じ、

とともに単調減少するいかなる関数でもよい。また、K領域における制約が、重み付け因子

による最小二乗ペナルティに緩和されていることを注意されたい。これは、各測定点の重要度の推定を許容するためである。このアプローチは、より高い品質またはより少ないノイズをもつ測定データにより高い重要度を与えることを許容する。それはまた、測定データにおける種々の周波数における特徴の重要度を強調するために使われることもできる。たとえば、周波数の関数としての既知のまたは期待されるノイズ属性が、

に組み込まれることができる。

本稿に開示されるのは、式(1)において提供されるモデルを解くための非常に効率的なアルゴリズムである。本開示は、l＝0ノルムの場合についてのアルゴリズムの実施形態およびl＝1または2ノルムの場合についてのアルゴリズムの実施形態を含む。

最初に、l＝0ノルムを使う実施形態についてアルゴリズムを記載する。l＝0のときの式(1)において明示的に述べられるモデルに関する困難は、その解が通例、手に負えない（intractable）組み合わせ探索を必要とするので、直接解くのが数値的に非効率であるということである。この問題を克服するため、たとえば非特許文献３で提案されるl₀ノルムについての近似のような近似を使うことができる。この文献は参照によってここに組み込まれ、以下では「チャスコ論文」と称する。チャスコ論文は、l₀準ノルム（quasi-norm）のホモトピック最小化によるl₀ノルムの近似を開示する。本アルゴリズムへのそのような近似の適用は、次の式(2)のようなモデルを導く。

式(2)において、σは、σ≫0をもって開始されるホモトピック・パラメータである。式(2)は、uの値が収束するまで各解法後にσを減少させつつ、uについて解かれる。前記近似は、l＝0の解を近似するためにl＝1または2ノルムを使うことができる。チャスコ論文によって提案されたこのモデルを解くための諸アルゴリズムは、リアルタイムの画像再構成を要求する応用については、非効率で、問題があることがある。数値的な非効率が、それでもたいしたものではあるのだが、劣るからである。測定データは典型的には複素画像を生成するので、前記アルゴリズムを、式(3)によって下記に示されるように、複素周波数データおよび複素画像データ両方を扱うよう拡張する。

式(3)において、R(.)は実成分演算子、I(.)は虚成分演算子、l′は前記近似のためにl＝1ノルムが使われるかl＝2ノルムが使われるかに依存して1または2である。

は今やuについての周期的境界条件のもとにあると定義される。よって、

は次元dでの

の成分であり、離散フーリエ変換

によって対角化されることができる巡回行列である。緩和変数（relaxation variable）wおよび二次緩和パラメータ（quadratic relaxation parameter）βが導入されている。式(3)を直接解こうとするアルゴリズムの素朴な実装では、実装の際に少なくとも三つのループが期待される。第一のループはσ→0についてであり、第二のループはβ→∞についてであり、第三のループは所与のσおよびβについてuとwの間で交互するためのものである。しかしながら、本開示は、同時にモデルの使用をリアルタイム撮像用途まで拡大しつつ、σおよびβについてのループを組み合わせる効率的な技法を提起する。

本願で開示される代替的なアプローチによれば、所与の初期uについてuおよびwを解くためには、式(4)および(5)として下記に示される縮小公式によってwを解くことができる。

次いで、更新されたwが固定されることができ、更新されたuが下記の式(6)に従って決定される。

式(6)において、

はそれぞれ有限差分演算子

のフーリエ変換またはカーネルである。

所与のσおよびβの各セットについて、解が収束するまで、式(4)および(5)は(6)とともに逐次反復される。次いで、σおよびβを緩和する。(4)および(5)を有効なものにするためには式(7)として下記に示す不等式に従う条件を達成することが望ましい。

ここで、

なので、式(7)のさらなる緩和、つまり(7)を満たす十分条件は、式(8)のように書くことができる。

σ²β≧4 (8)
不等式(8)は、本実装の際に、σおよびβを同時に更新するためのガイドを明示的に提供する。つまり、非常に小さな正のβ＝1ではじめて、次いで式(9)に従ってσを設定する：
何らかのC≧4についてσ＝√(C/β) (9)
こうして、l＝0ノルムの場合についての再構成アルゴリズムは、図１に示されるフローチャートに従って進行できる。ブロック１００では、さまざまな入力データが設定される。たとえば、ブロック１００は、

についての値を設定することを含むことができる。

重み付け因子η_pは、構築される結果がサンプリングされたデータにどのぐらい近く追随するかを制御するために設定される値のベクトルであることができる。K空間におけるサンプリング線（単数または複数）に沿った異なるサンプリング点について異なる重みを割り当てることができる。重み付け因子η_pは、サンプリング・デバイスのノイズ・パワー・スペクトルに関する既知の先験的情報に従って、あるいは再構成される画像中の異なる周波数の重要度に重み付けするために設定できる。たとえば、比較的高い重み、よって重要度が、ｋ空間の中心または中心近くおよび／またはｋ空間における期待される山（ridges）の近くのサンプリング点について割り当てられることができる。ここで、比較的重要な周波数データは一般に、MRIのようないくつかの撮像アプリケーションのために位置特定される。

値Pはｋ空間におけるサンプリング・パターンの代表である。値f_pは、値Pに従うパターンに沿ってサンプリングされたｋ空間データを表す。値αは、構築される画像の全体的ななめらかさを制御するための重み付け因子を与えるスカラーである。αについてのより大きな値は、構築される結果とサンプリングされたデータとの間のより大きな差を許容することによって、よりなめらかな画像に導く傾向がある。このように、αおよびM{x}について設定された値は、画像中の所望されるコントラストを失いすぎることなく、画像のなめらかさを制御するために調整できる。

値u₀は、構築された画像の初期値を表す。最初、大まかな画像が、パターンPに沿ってｋ空間からサンプリングされる周波数データを使って、生成できる。これはたとえば、逆フーリエ変換を適用してサンプリングされたｋ空間データから画像空間データを生成することによる。一般に、たとえば逆投影のような任意の再構成技法からの結果が、初期画像データu₀として使用できる。

値β₀は二次緩和に対する初期重みを表し、これは小さな値、たとえば1.0未満として始まることができる。アルゴリズムが進行するにつれて、二次緩和重みβがレートβ_rateに従って増大し、最大β_maxは超えない。このように、値β_maxは二次緩和重みについて許容される最大値である；β_rateは1より大きな何らかの値であり、二次緩和重みβが本プロセスの外側反復工程毎に増大するレートである。値β_maxは最大処理時間（レートβ_rateに依存する）および最終的な画像の品質に影響することができる。値β_maxは、反復工程の最大数が数十、数百、数千またはそれ以上であることを許容するよう十分大きく設定されることができる。よって、たとえば、いくつかの実装では、値β_maxは2¹⁶に設定されることができ、β_rateは2または4に設定されることができる。

値ε_innerおよびε_outerは、後述するようなそれぞれ内側（inner）および外側（outer）ループ停止基準のために使われる公差閾値である。たとえば、いくつかの実装では、閾値ε_innerおよびε_outerはゼロよりずっと小さい値、たとえば1e−4に設定されることができる。最後に、値Cは、式(9)に基づくσとβの間の所望される関係を維持するために、何らかの値、たとえばC≧4に設定されることができる。

次に、ブロック１０２において、緩和パラメータ

および画像データuがブロック１００で入力された

およびu₀についての初期値に従って初期化される。

第一の、外側の逐次反復プロセスはブロック１０４で始まり、ブロック１０４〜１２４を含む。この外側の逐次反復プロセスは、ブロック１０８〜１１８にまたがる第二の、内側の逐次反復プロセスを含む。外側の逐次反復プロセスは、ブロック１０４でホモトピック・パラメータσを更新し、ブロック１０６で外側画像データ変数u_outerを、画像データuの現在の値に等しく設定し、ブロック１０７で、再構成された画像における大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐためにノルム重み付け因子Mを設定することを含む。ノルム重み付け因子Mに関する追加的な詳細は、図２との関連で後述する。

次に、内側の逐次反復プロセスの反復工程が何回か実行される。内側の逐次反復プロセスは、ブロック１０８で、内側画像データ変数u_innerを、画像データuの現在の値に等しく設定することを含む。内側の逐次反復プロセスは次いで、ブロック１１０で式(4)に従って緩和変数wの実部を更新し、ブロック１１２で式(5)に従って緩和変数wの虚部を更新することを含む。次いで、ブロック１１４で、ブロック１１０および１１２で修正された緩和変数wを使って、式(6)に従って画像データuとして修正された画像データが生成される。

次に、ブロック１１６で、内側公差（tolerance）値tol_innerが式(10)に従って設定される。

tol_inner＝|u−u_inner|/|u_inner| (10)
このように、内側公差値tol_innerは、内側の逐次反復プロセスの現在の反復工程の間に作成された画像データにおける差を表す。内側公差値tol_innerは次いで、内側の逐次反復プロセスのさらなる反復工程が望ましいかどうかを判定するために使用できる。よって、ブロック１１８において、内側の逐次反復プロセスのもう一回の反復工程が実行されるべきかどうかについての判定が、公差値tol_innerが、ブロック１００で入力された公差閾値ε_innerより小さいかどうかを判定することによって、なされる。もしそうでない場合には、プロセスはブロック１０８に戻り、内側逐次反復プロセスが反復される。それ以外の場合には、プロセスは外側の逐次反復プロセスを続ける。また、ブロック１１８において、内側逐次反復プロセスの反復工程数を追跡し、無限ループを防ぐために、カウンタ「iter」が使用されることができる。反復工程数「iter」が最大反復工程数「iterMax」を超える場合、内側の逐次反復プロセスを打ち切ることができ、プロセスは外側の逐次反復プロセスを続けることができる。

ブロック１２０では、外側公差値tol_outerが式(11)に従って設定される。

tol_outer＝|u−u_outer|/|u_outer| (11)
このように、外側公差値tol_outerは、外側の逐次反復プロセスの現在の反復工程の間に、すなわち内側の逐次反復プロセスについての緩和パラメータおよびホモトピック・パラメータβおよびσの現在の値を使って作成された画像データにおける差を表す。外側公差値tol_outerは次いで、外側の逐次反復プロセスのさらなる反復工程が望ましいかどうかを判定するために使用できる。

ブロック１２２において、緩和パラメータ

の値が、ブロック１００で緩和レート

として設定されたレートを使って、

に従って調整される。

ブロック１２４で、外側の逐次反復プロセスのもう一回の反復工程が実行されるべきかどうかについての判定が、外側公差値tol_outerが、ブロック１００で入力された外側公差閾値ε_outerより小さいかどうかを判定することによって、なされる。もしそうでない場合には、プロセスはブロック１０４に戻り、外側逐次反復プロセスが反復される。それ以外の場合には、プロセスは完了となる。

次に、l＝1または2ノルムを使う実施形態についてのアルゴリズムを述べる。そのような実施形態については、式(1)の緩和は、下記に式(12)として示される。

次いで、所与の画像uについて、緩和変数wについて解くために、縮小公式を使うことができる。l＝1ノルムについては式(13)および(14)に基づき、l＝2ノルムについては式(15)および(16)に基づく。

巡回境界条件のもとで、l＝1または2の両方の場合について、結果として式(17)を得る。

このように、l＝1または2ノルムの場合についての再構成アルゴリズムは、図２に示されるフローチャートに従って進行できる。ブロック２００では、さまざまな入力データが設定される。たとえば、ブロック２００は、

についての値を設定することを含むことができる。

重み付け因子η_pは、構築される結果がサンプリングされたデータにどのぐらい近く追随するかを制御するために設定される値のベクトルであることができる。K空間におけるサンプリング線（単数または複数）に沿った異なるサンプリング点について異なる重みを割り当てることができる。重み付け因子η_pは、サンプリング・デバイスのノイズ・パワー・スペクトルに関する先験的情報に従って、あるいは再構成される画像中の異なる周波数の重要度に重み付けするために設定できる。たとえば、比較的高い重み、よって重要度が、ｋ空間の中心または中心近くおよび／またはｋ空間における期待される山（ridges）の近くのサンプリング点について割り当てられることができる。ここで、比較的重要な周波数データは一般に、MRIのようないくつかの撮像アプリケーションのために位置特定される。

値σ_Gはガウシアン・カーネルGについての標準偏差である（たとえば式(18),(18'')）。値Pはｋ空間におけるサンプリング・パターンである。値f_pは、値Pに基づくパターンに沿ってサンプリングされたｋ空間データを表す。値αは、構築される画像の全体的ななめらかさを制御するための重み付け因子を与えるスカラーである。αについてのより大きな値は、構築される結果とサンプリングされたデータとの間のより大きな差を許容することによって、よりなめらかな画像に導く傾向がある。このように、αについて設定された値は、画像中の所望されるコントラストを失いすぎることなく、画像のなめらかさを制御するために調整できる。

値β₀は二次緩和に対する初期重みを表し、これは小さな値、たとえば1.0未満として始まることができる。アルゴリズムが進行するにつれて、二次緩和重みβがレートβ_rateに従って増大し、最大β_maxは超えない。このように、値β_maxは二次緩和重みについて許容される最大値である；β_rateは1より大きな何らかの値であり、二次緩和重みβが本プロセスの反復工程毎に増大するレートである。値β_maxは最大処理時間（レートβ_rateに依存する）および最終的な画像の品質に影響することができる。値β_maxは、反復工程の最大数が数十、数百、数千またはそれ以上であることを許容するよう十分大きく設定されることができる。よって、たとえば、いくつかの実装では、値β_maxは2¹⁶に設定されることができ、β_rateは2または4に設定されることができる。

値ε_innerおよびε_outerは、後述するようなそれぞれ内側（inner）および外側（outer）ループ停止基準のために使われる公差閾値である。たとえば、いくつかの実装では、値ε_innerおよびε_outerはゼロよりずっと小さい値、たとえば1e−4に設定されることができる。

値εは、

次に、ブロック２０２において、緩和パラメータ

および画像データuがブロック２００で入力された

およびu₀についての初期値に従って初期化される。

第一の、外側の逐次反復プロセスはブロック２０４で始まり、ブロック２０４〜２２４を含む。この外側の逐次反復プロセスは、ブロック２０８〜２１８にまたがる第二の、内側の逐次反復プロセスを含む。外側の逐次反復プロセスは、ブロック２０４で外側画像データ変数u_outerを、画像データuの現在の値に等しく設定し、ブロック２０６で、再構成された画像における大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐためにノルム重み付け因子Mを設定することを含む。この実施形態では、ノルム重み付け因子Mは下記の式(18)に従うガウシアン・カーネルGを使って設定される。

しかしながら、たとえば次の式(18')および(18'')に示されるような他の方法を使うこともできる。

一般に、正でありかつ区間[0,＋∞)で減少する任意の関数が潜在的に使用可能である。

次に、第二のプロセスの反復工程が何回か実行される。第二の逐次反復プロセスは、ブロック２０８で、外側画像データ変数u_outerを、画像データuの現在の値に等しく設定することを含む。ブロック２１０で、l＝1ノルムについては式(13)に従って、l＝2ノルムについては式(15)に従ってwの実部が更新される。ブロック２１２で、l＝1ノルムについては式(14)に従って、l＝2ノルムについては式(16)に従ってwの虚部が更新される。次いで、ブロック２１４で、ブロック２１０および２１２で修正された緩和変数wを使って、式(17)に従って画像データuとして修正された画像データが生成される。

次に、ブロック２１６で、内側公差（tolerance）値tol_innerが式(10)に従って設定される。内側公差値tol_innerは、内側の逐次反復プロセスの現在の反復工程の間に作成された画像データにおける差を表す。内側公差値tol_innerは次いで、内側の逐次反復プロセスのさらなる反復工程が望ましいかどうかを判定するために使用できる。よって、ブロック２１８において、内側の逐次反復プロセスのもう一回の反復工程が実行されるべきかどうかについての判定が、公差値tol_innerが、ブロック２００で入力された公差閾値ε_innerより小さいかどうかを判定することによって、なされる。もしそうでない場合には、プロセスはブロック２０８に戻り、内側逐次反復プロセスが反復される。それ以外の場合には、プロセスは外側の逐次反復プロセスを続ける。また、ブロック２１８において、内側逐次反復プロセスの反復工程数を追跡し、無限ループを防ぐために、カウンタ「iter」が使用されることができる。反復工程数「iter」が最大反復工程数「iterMax」を超える場合、内側の逐次反復プロセスは打ち切られることができ、プロセスは外側の逐次反復プロセスを続けることができる。

ブロック２２０では、外側公差値tol_outerが式(11)に従って設定される。外側公差値tol_outerは、外側の逐次反復プロセスの現在の反復工程の間に、すなわちノルム重み付け因子Mおよび緩和パラメータβの現在の値を使って作成された画像データにおける差を表す。外側公差値tol_outerは次いで、外側の逐次反復プロセスのさらなる反復工程が望ましいかどうかを判定するために使用できる。

ブロック２２２において、緩和パラメータ

の値が、ブロック２００で緩和レート

として設定されたレートを使って、

に従って調整される。

ブロック２２４で、外側の逐次反復プロセスのもう一回の反復工程が実行されるべきかどうかについての判定が、外側公差値tol_outerが、ブロック２００で入力された外側公差閾値ε_outerより小さいかどうかを判定することによって、なされる。もしそうでない場合には、プロセスはブロック２０４に戻り、外側逐次反復プロセスが反復される。それ以外の場合には、プロセスは完了となる。

図１および図２に示し、上記で説明したプロセスのいくつかの実施形態では、式(6)および(17)における分母は効率のために事前計算できる。これらの式の分子は、uによって生成される密なｋ空間の補間または疎なｋ空間サンプルのsinc補間を介したデカルト格子上へのグリッド化によって評価できる。

画像再構成のもう一つの重要な側面は、画像データのｋ空間またはｋ領域バージョンをサンプリングするために使われるサンプリング・パターンPに関わる。ｋ空間またはｋ領域のサンプリングは、再構成される画像の品質に重要な影響をもつ。多くの撮像技法（たとえば、計算機断層撮影法）では、オブジェクトを通る信号の投影が測定され、そのフーリエ変換がｋ空間において放射状の中心スライス定理（central-slice theorem）プロファイルを生成する。磁気共鳴（MR）撮像に類似する撮像技法では、たとえば、ｋ空間軌跡は、勾配システムおよびエンコード軸によって操作される連続経路に沿って測定される。

ｋ空間中の真の撮像されるオブジェクトのパターンは、原点でピークとなり、中心から放射状に突出する強度の山をもつ傾向がある。一般に、最良の再構成のためには、突出する山を単一の連続的なサンプリング経路でもって数回サンプリングすることが望ましい。できるだけ短時間で単一の励起をもってできるだけ多くのｋ空間をカバーするために、渦巻き状の軌跡が当初開発された。渦巻き状の軌跡はｋ空間の中心のまわりを複数回まわるので、本稿に記載される再構成技法のための優れた疎サンプリング・パターンを提供できる。また、ｋ空間の中心のよりよい知識がよりよい画像再構成につながることが当技術分野で知られている。2Dまたは3D空間をカバーするために渦巻き状の軌跡を使うことは、ｋ空間の中心における、より密な、あるいは繰り返されたサンプリング情報につながり、画像再構成が改善される。繰り返されるサンプリングは、測定されたｋ空間データについての我々の先験的知識を改善し、これは我々のモデルでは

を介して受け入れられている。

非渦巻き状のサンプリング・パターンを含むさまざまなサンプリング・パターンが本開示の諸側面とともに用いることができるものの、以下の記述は、渦巻き状のｋ空間サンプリングのいくつかの好ましい実施形態の説明を与える。中心(Cx,Cz)のある2D渦巻きについて、aが正の定数、ξが軌跡がどの葉（leaf）を通るかを決定するための定数シフト・パラメータ（constant shifting parameter）として与えられているとして、アルキメデスのらせんは、一般に下記の式(19)によって示される系に従って原点から作成できる。

r＝aθ （極座標）
x＝rcos(θ＋ξ)＋Cx （デカルト座標のx） (19)
y＝rsin(θ＋ξ)＋Cz （デカルト座標のz）
この軌跡に沿ったサンプリングは変化させることができる。ｋ空間の中心付近でのより密なサンプリングが渦巻き状の軌跡によって得ることができ、これは全体的な再構成の品質を改善する。渦巻き状のパターンは、ξだけ回転させることによって、ｋ空間を充填またはタイリングするよう生成できる。ここで、該角度は一様にまたは確率論的に分布されることができる。シネ撮像が実行される場合、反復される画像の取得はこれら異なるパターンを通じて巡回することができる。さらに、再構成データの重要度に時間的に重み付けするよう重み付け因子

を設定して、前のまたは後のスキャンからｋ空間データが含められることができる。

これらの2D渦巻きパターンは、読み取り軸に沿って3Dで取得されることができる。これは3Dでの非常に高速な取得技法を提供する。これらは、一様にまたは確率論的に分布したデカルトまたは放射状の軌跡と組み合わせることもできる。2Dパターンは、平面上の渦巻き状軌跡を平面内のある軸のまわりに回転させることによって、3Dのｋ空間をサンプリングするためにも使用できる。これを数学的に表現すると、ｚ軸のまわりの角度φ_iの回転のためには、一つの3Dらせんのために次の式(20)が得られる。

r＝aθ （極座標）
x＝rcos(θ＋ξ)cosφ_i＋Cx （デカルト座標のx） (20)
y＝rcos(θ＋ξ)sinφ_i＋Cy （デカルト座標のy）
z＝rsin(θ＋ξ)＋Cz （デカルト座標のz）
回転φ_iを変えれば、3Dのｋ空間をカバーする異なる平面状の渦巻きを生成できる。たとえば、α＝4/π、ξ＝0として、式(21)に従って10の均等に分布した回転角を使うと、図３に示される渦巻き状の軌跡が達成できる。

φ_i＝2πi/10 i＝0,1,2,…,9 (21)
図４は離散的な3Dサンプリング・マスクである。これは、均等に分布した回転角の数をたとえば50まで増やし、軌跡マスクを異なる複数のz値でスライスすることによって達成できる一組のパターンを含む。図４に示したマスクは、9.13%のｋ空間サンプリング比を許容する。

図３および図４に示される渦巻き状パターンは非常に疎であるが、それでいてｋ空間の突出する（projecting）特徴を横断してサンプリングしている。同時に、これはｋ空間の中心の反復されたサンプリングおよび原点付近での密なパターンを提供する。開示される画像再構成検知技法は、ｋ空間における突出する特徴をカバーするために、高度のインコヒーレンスをもつサンプリングを好む。この高度のインコヒーレンスはランダム・サンプリングまたはポワソン・サンプリングによって達成できるものの、これは、たとえ2Dまたは3Dのｋ空間の疎なサンプリングを生じるためであっても、多くの軌跡を必要とする。開示される3D渦巻き状サンプリング・パターン中に若干のインコヒーレンスを組み込むために、いくつかの実施形態では、擬似ランダムなシフトが、上記の回転された2D渦巻きパターンの軌跡平面中に導入されることができる。そのような擬似ランダム・シフトは、サンプリング中のより少数のギャップをもつ、3Dのｋ空間の改善されたカバー率を提供する。

この新たなアプローチでは、渦巻き平面はそれでも3Dのｋ空間をカバーするために擬似ランダムな量だけ回転させられる。最も一般的な場合では、サンプリング平面に対する法線ベクトルの配向がランダムに生成されることができ、渦巻きへのランダムな位相シフトが含められることができる。平面原点もシフトできるが、ｋ空間の原点の反復された、密なサンプリングが望まれるので、大きなシフトは好ましくない。渦巻き状の軌跡に、サンプリング面を出入りしてわずかに逸脱するよう摂動を加えることもできる。

たとえば、いくつかの実施形態では、初期渦巻き平面が該平面を含む軸に沿って、種々の回転角φ_i i＝0,1,…,N−1だけ回転させられる。回転された各平面におけるシフト角は異なる値ξ_i i＝0,…,N−1に関わっていてもよい。よって、新たな軌跡は次の式(22)に示されるようにより柔軟な定式化をもつ。

r＝aθ （極座標）
x＝rcos(θ＋ξ_i)cosφ_i＋Cx （デカルト座標のx） (22)
y＝rcos(θ＋ξ_i)sinφ_i＋Cy （デカルト座標のy）
z＝rsin(θ＋ξ_i)＋Cz （デカルト座標のz）
ξ_iおよびφ_iの値は自由に変えて異なるパターンを生じることができる。サンプリング・パターンは擬似ランダムな性質であるが、画像取得のために固定したパターンを使ったり、あるいは測定時に擬似ランダム・シフトを実装する取得方式を用いたりしてもよい。

画像取得および再構成の開示される組み合わされたプロセスは、本稿では、シフトされたハイブリッド・アルキメデス型ランダム・パターンらせん（shifted hybrid Archimedean random pattern spiral）、すなわちSHARPS技法と称される。図５および図６に示される画像では、固定されたシフト角をもって一組の渦巻きパターンが生成され、もう一組がシフト角ξ_iを変えることによって生成されている。再構成のための画像再構成パラメータ設定は、すべての実験について同じであった。

たとえば、対称的な回転方式が式(23)に従って選ばれることができる。

φ_i＝2πi/N i＝0,…,N−1 (23)
ξ_i＝iΦ i＝0,…,N−1
あるいは、非対称な回転方式が式(24)に従って選ばれることができる。

φ_i＝πi/N i＝0,…,N−1 (24)
ξ_i＝iΦ i＝0,…,N−1
NおよびΦを適切に選ぶことによって、式(22)の軌跡に対応するマスクは、本画像再構成プロセスのためにより好適にされることができる。たとえば、図５に示されるマスクは、α＝4/π、N＝50およびΦ＝(9/16)πと設定することにより式(23)に基づく対称的な回転方式を使って達成できる。図５に示されるマスクは、9.86%のｋ空間サンプリング比を許容する。図６に示されるマスクは、α＝4/π、N＝50およびΦ＝(9/16)πと設定することにより式(24)に基づく非対称な回転方式を使って達成できる。図６に示されるマスクは、10.37%のｋ空間サンプリング比を許容する。

図７〜図１１は、もとの画像（図７）と、逆投影再構成を使って生成された画像（図８、図９）と、本願で開示される再構成プロセスを使って生成された画像（図１０、図１１）との間の違いを例解する画像を示している。より具体的には、図７に示される一連の画像は、種々の再構成技法の比較のためのベースラインとして使われる元の画像である。図７に示される画像についての画像データは、フーリエ変換によってｋ空間に変換され、次いで逆投影を使って再構成された（図８および図９）、また、本願で開示される再構成技法を使っても再構成された（図１０および図１１）。

図８および図９に示される画像は逆投影再構成アルゴリズムを使って生成された。より具体的には、図８に示される画像は図５に示される対称マスクを使って得られたものであり、図９に示される画像は図６に示される非対称マスクを使って得られたものである。

対照的に、図１０および図１１に示される画像が、本稿に開示されるアルゴリズムを使って生成された。図１０に示される画像は、図５に示される対称マスクを使って得られたものであり、図１１に示される画像は図６に示される非対称マスクを使って得られたものである。従来の逆投影再構成プロセスを使って生成された画像に比べて、本願のプロセスを使って生成された画像は著しい改善を示した。逆投影再構成プロセスを使って生成された図８および図９に示される画像は、それぞれ相対誤差42.16%および40.36%を含んでいた。対照的に、本願の再構成プロセスを使って生成された図１０および図１１に示される画像が含んでいた相対誤差は、それぞれたった15.81%、15.00%であった。

同様に、シフトなしで回転のみを使う3Dらせんを使って本プロセスが実行されることもできる。すなわち、式(23)および(24)においてΦ＝0と設定するのである。下記の表１は、64×64×64立方体体積に基づく、対称回転（式(23)）および非対称回転（式(24)）を使った、シフトあり（Φ≠0）およびシフトなし（Φ＝0）のサンプリング・パターンの比較を示している。

表１から、葉間（interleaf）シフトのある3Dらせんを使うと、シフトなしの場合よりあらゆる側面でよりよい結果が得られることが観察できる。シフトを使う二つのマスクの間では、非対称な回転を使う結果のほうが、対称的な回転を使った場合よりも、あらゆる側面においてわずかによい。

本願の画像取得および再構成プロセスのためのｋ空間サンプリング・パターンの生成のための本願で開示されるアプローチがこれで実証された。この新たなアプローチは、渦巻き平面の回転の際にシフト角を変化させ、たとえ同数の渦巻きを使う場合であってもｋ空間サンプリング比をより高いレベルに改善する。

本稿で開示されるモデルおよびアルゴリズムを使ったさらなる2D結果が以下で記述される。関連付けられた図示された再構成は128×128ピクセル画像についてであり、必要な計算時間はMatlabにおける実装について２秒未満である。

図１２ないし図１５は、ｋ空間の渦巻きサンプリングによる画像再構成の例を与える。図１２〜図１４に示される例では、ｋ空間サンプリングはｋ領域の13%をカバーする。これは臨床スキャナで約11msで取得できる。図１５に示される例では、ｋ空間サンプリングはｋ領域の54.29%をカバーする。

より具体的には、図１２は頭部および頸部のアキシャル0.35テスラ（T）MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１２のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１２のＢは、図１２のＤに示される画像を生成するために図１２のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な渦巻き線を示す。図１２のＣは、逆投影技法を使って生成されたときの結果として得られる画像を示す。これは79.29%の相対誤差をもつ。図１２のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、これはずっと低い6.68%の相対誤差をもつ。

図１３は前立腺のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１３のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１３のＢは、図１３のＤに示される画像を生成するために図１３のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な渦巻き線を示す。図１３のＣは、逆投影技法を使って生成されたときの結果として得られる画像を示す。これは62.93%の相対誤差をもつ。図１３のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、これはずっと低い7.40%の相対誤差をもつ。

図１４は胸郭のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１４のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１４のＢは、図１４のＤに示される画像を生成するために図１４のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な渦巻き線を示す。図１４のＣは、逆投影技法を使って生成されたときの結果として得られる画像を示す。これは70.74%の相対誤差をもつ。図１４のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、これはずっと低い8.41%の相対誤差をもつ。

図１５は、複素画像データおよび二つの等間隔の渦巻き線を使った、脳のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１５のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１５のＢは、図１５のＤに示される画像を生成するために図１５のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた二つの疎な渦巻き線を示す。図１５のＣは、逆投影技法を使って生成されたときの結果として得られる画像を示す。これは7.74%の相対誤差をもつ。図１５のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、これはより低い5.93%の相対誤差をもつ。

図１６は、ｋ領域の25%未満しかカバーしないｋ空間の疎な放射状サンプリングによる画像再構成の例を示している。改善された相対誤差に加え、図１６のＣ、Ｄ、図１７のＣ、Ｄ、図１８のＣ、Ｄ、図１９のＣ、Ｄにおける画像生成における本願で開示されるアルゴリズムの使用は、４倍強の画像取得速度の増加を実証した。

図１６は頭部および頸部のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１６のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１６のＢは、図１６のＣおよびＤに示される画像を生成するために29本の軌跡を使って図１６のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図１６のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図１６のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図１６のＣおよびＤの画像はそれぞれ8.47%および6.78%の相対誤差をもつ。

図１７は前立腺のレベルにおける骨盤のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１７のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１７のＢは、図１７のＣおよびＤに示される画像を生成するために29本の軌跡を使って図１７のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図１７のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図１７のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図１７のＣおよびＤの画像はそれぞれ6.62%および5.75%の相対誤差をもつ。

図１８は肺のレベルでの胸郭のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１８のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１８のＢは、図１８のＣおよびＤに示される画像を生成するために29本の軌跡を使って図１８のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図１８のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図１８のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図１８のＣおよびＤの画像はそれぞれ8.57%および6.43%の相対誤差をもつ。

図１９は脳のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図１９のＡは、もとのベースライン画像を示す。図１９のＢは、図１９のＣおよびＤに示される画像を生成するために29本の軌跡を使って図１９のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図１９のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図１９のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図１９のＣおよびＤの画像はそれぞれ9.70%および8.30%の相対誤差をもつ。

次に、図２０〜図２２は、ハーフフーリエ技法の使用を含む例を示している。ここで、当技術分野で知られている諸方法により位相補正が決定され、よって複素画像ではなく、実画像が再構成できる。図２０のＣ、Ｄ、図２１のＣ、Ｄ、図２２のＣ、Ｄ、図２３のＣ、Ｄに示される再構成画像は、領域のたった25%未満をカバーするｋ空間の疎な放射状サンプリングを使って生成されており、４倍強の画像取得速度の増加を実証している。

図２０は、ハーフフーリエ技法を使った、頭部および頸部のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図２０のＡは、もとのベースライン画像を示す。図２０のＢは、図２０のＣおよびＤに示される画像を生成するためにｋ空間の半分を通る22本の軌跡を使って図２０のＡに示される画像のｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図２０のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図２０のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図２０のＣおよびＤの画像はそれぞれ36.80%および16.05%の相対誤差をもつ。このように、部分フーリエ技法と組み合わせたときは、l＝2ノルムのほうがよい再構成を与えた。

図２１は、ハーフフーリエ技法を使った、前立腺のレベルでの骨盤のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図２１のＡは、もとのベースライン画像を示す。図２１のＢは、図２１のＣおよびＤに示される画像を生成するために図２１のＡに示される画像のｋ空間の半分を通る22本の軌跡を使ってｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図２１のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図２１のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図２１のＣおよびＤの画像はそれぞれ28.58%および10.31%の相対誤差をもつ。このように、部分フーリエ技法と組み合わせたときは、またもやl＝2ノルムのほうがよい再構成を与えた。

図２２は、ハーフフーリエ技法を使った、肺のレベルにおける胸郭のアキシャル0.35T MR画像のための画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図２２のＡは、もとのベースライン画像を示す。図２２のＢは、図２２のＣおよびＤに示される画像を生成するために図２２のＡに示される画像のｋ空間の半分を通る22本の軌跡を使ってｋ空間のサンプリングのために使われた疎な放射状パターンを示す。図２２のＣは、l＝0ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示し、図２２のＤは、l＝2ノルムをもつ開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。図２２のＣおよびＤの画像はそれぞれ45.62%および11.75%の相対誤差をもつ。

部分フーリエ技法と組み合わされるとき、重み付けされたl₂ノルムが最良の再構成を与える。どちらの技法ももとのオブジェクトに似た再構成されたオブジェクトを生じるが、l₂ノルムは、コントラストを保持し、大きな不連続性にペナルティを与えないことにおいてよりすぐれた性能をもつ。l₀ノルムにおけるホモトピック緩和は、収束に難があるようであり、フルｋ空間の疎なサンプリングに対して、より好適である。

一般に、本願で開示される再構成プロセスは、複素または実のオブジェクトの再構成で機能できる。測定されたデータは典型的には複素オブジェクトと整合する情報を提供する。実際には、撮像されるオブジェクトは実であり、実オブジェクトと整合するよう測定されたデータを修正できる位相シフトが存在する。本願で開示されるアルゴリズムは典型的には、実オブジェクトを再構成するときによりよい性能を発揮する。複素オブジェクトと整合する測定データから位相因子を決定するための既知の諸方法が当技術分野に存在する。ｋ空間の原点を通過する放射状および渦巻き状の軌跡はいずれも、測定されたオブジェクトを実オブジェクトと整合させるための位相マップを決定または推定するために使用できる、共役な対称ｋ空間データ

を提供できる。

本願で開示される画像再構成技法は、MR撮像におけるパラレルイメージング技法の場合のような追加的な取得電子系チャンネルを必要とすることなく、画像取得を加速するプロセスを提供する。パラレルイメージング技法とは対照的に、本願の方法は、似たような加速において、より少ないアーチファクトおよびよりよい信号対雑音特性とともに、よりすぐれた画像忠実度を実証した。均等な理想的条件のもとで、画像の信号対雑音比は約２倍よくなった。

たとえば、図２３は、加速因子約R＝3での、平均信号中に組み合わされたシミュレートされた８チャンネル・コイルのｋ空間からの脳の画像についての画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図２３のＡはもとのベースライン画像を示す。図２３のＢは、図２３のＤに示される画像を生成するための図２３のＡに示される画像のｋ空間の33%のサンプリングのために使われる、疎な放射状パターンを示している。図２３のＣは、逆投影技法を使った場合の結果として得られる画像を示しており、これは13.95%の相対誤差をもつ。図２３のＤは開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。これは相対誤差が1.83%とより低く、信号対雑音比は11.1である。

図２４は、加速因子約R＝3での、４本の自己較正信号（ACS: autocalibration signal）ラインをもつGRAPPA（GeneRalized Autocalibrating Partially Parallel Acquisitions［一般化自己較正式部分パラレル取得］）（すなわち、ACSラインを含めてｋ空間の33%）を使ったシミュレートされた８チャンネル・コイルのｋ空間からの脳の画像についての画像再構成プロセスに関連する画像の例を示している。図２４のＡはもとのベースライン画像を示す。図２４のＢは、図２４のＤに示される画像を生成するためのｋ空間のサンプリングのために使われる、平行線からなる疎なパターンを示している。図２４のＣは、逆投影技法を使った場合の結果として得られる画像を示しており、これは18.35%の相対誤差をもつ。図２４のＤは開示されるアルゴリズムを使った場合の結果として得られる画像を示す。これは相対誤差が7.82%とより低く、信号対雑音比は11.1である。

このように、本開示は、撮像されるオブジェクトの先験的な物理的属性の多基準最適化および測定された周波数サンプルとの最小二乗での一致を実行することによる、不完全な測定された周波数サンプルからの画像再構成のための一般的モデルを提供する。オブジェクトに存在していると知られている先験的な物理的属性は、画像の変動にわたる画像強度の全変動（TV）の離散化のl＝0、l＝1またはl＝2ノルムを介して最適化されることができる。それにより、区分ごとに一定だが、同時にノルム重み付け因子M_lを介して大きな不連続性にペナルティを与えない画像が生成される。最小二乗項は重み付け因子

を含む。これにより、取得の周波数および時間をもって調整されることのできる、各測定された点の重要度の推定が許容される。

本開示は、ノルムの選択（l＝0、l＝1またはl＝2）に依存する、モデルの高速な数値解法のためのアルゴリズムを提供する。l＝0ノルムについては、本解法は、l＝0の準ノルムのホモトピック最小化によって近似できる。本アルゴリズムは、明示的に、MRIで遭遇されるような虚オブジェクトの再構成を含むことができる。最小二乗項は、格子上で、あるいは直接的なsinc補間によって評価されることができる。

また、再構成忠実度を改善するためのｋ空間サンプリング・パターンおよび戦略が開示される。本開示は、2Dおよび3Dのｋ空間疎サンプリング・パターンを含む。放射状の疎ｋ空間パターンは、いかなる型の断層撮影画像を再構成するために使用されることもできる。デカルト式の疎ｋ空間パターンは多様な画像、たとえばMR画像を再構成するために使用されることができる。渦巻き状のパターンは、多様な画像、たとえばMR画像を再構成するために、ｋ空間において一様にまたは確率論的に配置されることができる。画像品質を改善するために、ｋ空間の中心においてより密なサンプリングが実行できる。反復される取得またはシネ取得では、各取得毎にパターンを変えたり、置換（permute）したりしてもよい。いくつかの型の画像再構成、たとえばMR画像再構成については、渦巻き状のパターンは、一様にまたは確率論的に配置されたデカルト式または放射状の軌跡と組み合わされることができる。

図２５は、撮像システム３００のブロック図を示している。図１および図２に示されるような画像再構成アルゴリズムは、図３〜図５および図１２〜図２４に示されるようなｋ空間サンプリング・パターンと組み合わされて、画像捕捉システム３０２によって生成されるｋ空間データから画像または一連の画像を生成するために使用できる。画像捕捉システム３０２は、撮像システム３００と一体であってもよいし、あるいは画像捕捉システム３０２とは別個であってもよい。画像捕捉システム３０２は、2Dおよび／または3D画像を含むことのできる画像を取得し、取得された画像の対応するｋ空間データを提供することのできる装置を含んでいてもよい。画像捕捉システム３０２として使用されることのできる、あるいは構成要素が画像捕捉システム３０２の構成要素として使用されることのできる従来システムの例は、これに限られないが、X線またはガンマ線断層撮影を使う計算機断層撮影（CTまたはCATスキャン）、共焦点レーザー走査顕微鏡法（LSCM: confocal laser scanning microscopy）、低温電子断層撮影（Cryo-ET: cryo-electron tomography）、静電容量断層撮影（ECT: electrical capacitance tomography）、電気抵抗率断層撮影（ERT: electrical resistivity tomography）、電気インピーダンス断層撮影（EIT: electrical impedance tomography）、機能的磁気共鳴撮像（fMRI: functional magnetic resonance imaging）、磁気誘導断層撮影（MIT: magnetic induction tomography）、磁気共鳴撮像（MRI: magnetic resonance imaging）（かつては磁気共鳴断層撮影（MRT: magnetic resonance tomography）または核磁気共鳴断層撮影として知られた）、中性子断層撮影、光コヒーレンス断層撮影（OCT: optical coherence tomography）、光投影断層撮影（OPT: optical projection tomography）、プロセス断層撮影（PT: process tomography）、陽電子放出断層撮影（PET: positron emission tomography）、陽電子放出断層撮影‐計算機断層撮影（PET-CT）、量子断層撮影、単一光子放出計算機断層撮影（SPECT: single photon emission computed tomography）、地震波断層撮影（seismic tomography）、超音波撮像（US: ultrasound imaging）、超音波支援光断層撮影（UAOT: ultrasound assisted optical tomography）、超音波透過断層撮影（ultrasound transmission tomography）、光学音響断層撮影（OAT: optoacoustic tomography）としても知られる光音響断層撮影（PAT: photoacoustic tomography）もしくは熱音響断層撮影（TAT: thermoacoustic tomography）およびゼーマン・ドップラー撮像のためのシステムを含む。

撮像システム３００は、画像の再構成のための命令３０４を含む。命令３０４は、メモリ３０６内に記憶されたソフトウェア命令を含むことができる。命令３０４が記憶されるメモリ３０６は、リムーバブル・メモリ、たとえばコンパクト・ディスク（CD）またはデジタル・ビデオ・ディスク（DVD）および／または固定メモリ、たとえば読み出し専用メモリ（ROM）チップまたはハード・ドライブを含むことができる。メモリ３０６は撮像システム３００にローカルであるように示されているが、代替的に、命令３０４を記憶するメモリ３０６の一部または全部が撮像システム３００の外部である、たとえば外付けハード・ドライブまたは撮像システム３００にネットワークおよび／またはインターネットを介して接続されたリモート・システムの形であることもできる。

撮像システム３００は、中央処理装置（CPU: central processing unit）またはグラフィック処理装置（GPU: Graphic Processing Unit）であることのできるコンピューティング・ユニット３０８と、ユーザー・インターフェース３１０と、入出力（I/O）インターフェース３１２とを含む。コンピューティング・ユニット３０８は、命令３０２に従って動作を実行するよう動作できる。コンピューティング・ユニット３０８は、撮像システム３００にローカルであってもよいし、および／または一つまたは複数のローカルおよび／またはリモートにネットワーク接続されたコンピュータ・システムの間に分散されていてもよい、一つまたは複数のプロセッサを含むことができる。コンピューティング・ユニット３０８は、ユーザー・インターフェース３１０、入出力（I/O）インターフェース３１２および／または画像捕捉システム３０２の一つまたは複数の動作を制御することもできる。ユーザー・インターフェース３１０はユーザーへの出力情報のための装置、たとえばディスプレイおよび／またはプリンタや、ユーザーから入力を受け取るための装置、たとえばキーボード、タッチスクリーンおよび／またはマウスを含むことができる。I/Oインターフェース３１２は、外部画像捕捉システム３０２を含むことができる外部装置との通信を許容するために、一つまたは複数の通信ポート、たとえばユニバーサル・シリアル・バス（USB）ポートおよび／またはネットワーク接続装置、たとえばネットワーク・アダプターおよび／またはモデムを含むことができる。

たとえば、撮像システム３００のいくつかの実施形態は、たとえばここに参照によって組み込まれるDempseyへの米国特許出願公開第2005/0197564号に開示される、治療モニタリング、制御および検証のための実質的に同時な撮像ができるMRIシステムを含むことができる。開示される技法の画像案内放射線療法との組み合わせは、患者セットアップのためのより高速な画像を生成することができる。また、開示される技法の画像案内放射線療法との組み合わせは、MVおよびX線CTのための患者へのより少ない電離放射線線量で画像を生成することができる。

開示される原理に基づくさまざまな実施形態が上記で記述されているが、これらはあくまでも例として呈示されているのであって、限定するものではないことを理解しておくべきである。よって、本発明の広さおよび範囲は、上記の例示的な実施形態のいずれによっても限定されるべきではなく、請求項および本開示から出てくるその等価物に基づいてのみ定義されるべきである。さらに、記載される実施形態において上記の利点および特徴が与えられているが、これらは特許された発明の適用を、上記の利点のいずれかまたは全部を達成するプロセスおよび構造に限定するものではない。

さらに、連邦規則集３７第１．７７節のもとでの示唆に合わせるためまたは他の理由で編成上の手がかりを与えるために、本稿ではセクション見出しが与えられている。これらの見出しは本開示から発しうるいかなる請求項に述べられる発明も限定したり、特徴付けたりするものではない。具体的には、たとえば、見出しが「技術分野」を述べていても、請求項は、いわゆる技術分野を記述するためにこの見出しのもとで選ばれている言辞によって限定されるべきではない。さらに、「背景技術」における技術の説明は、その技術が本開示におけるいかなる発明に対する従来技術であるとの自認とも解釈するべきではない。「概要」も発行された特許に記載される発明の特徴付けと考えるべきではない。さらに、本開示において単数形で「発明」という言い方がされていたとしても、本開示に新規性のある点が一つだけであると論じるために使うべきではない。本開示から出てくる複数の請求項の限定に従って、複数の発明が規定されうるのであって、そのような請求項は、しかるべく、保護される発明（単数または複数）およびその等価物を定義する。あらゆる事例において、そのような請求項の範囲は、本開示に照らして請求項自身の価値において考えるべきであって、本稿に記載される見出しによって制約されるべきではない。
いくつかの態様を記載しておく。
〔態様１〕
画像を生成する方法であって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
前記ｋ空間データ・セットの一部を収集する段階と；
前記ｋ空間データ・セットの収集された一部から凸最適化モデルに従って画像を再構成する段階とを含む、
方法。
〔態様２〕
前記凸最適化モデルが、前記ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子を含む、態様１記載の方法。
〔態様３〕
前記凸最適化モデルが、撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含む、態様１記載の方法。
〔態様４〕
前記ｋ空間データ・セットの一部を収集する前記段階は、データ収集パターンに従ってデータを収集することを含む、態様１記載の方法。
〔態様５〕
前記データ収集パターンが渦巻きパターンを含む、態様４記載の方法。
〔態様６〕
前記データ収集パターンが放射状パターンを含む、態様４記載の方法。
〔態様７〕
前記データ収集パターンが複数の平行なサンプリング線を含む、態様４記載の方法。
〔態様８〕
凸最適化モデルに従って画像を再構成する前記段階が、画像強度の全変動の離散化のl＝0ノルムの近似を使って画像データを生成することを含む、態様１記載の方法。
〔態様９〕
画像データを生成する前記段階が、対話的なプロセスを実行することを含み、該逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含む、態様８記載の方法。
〔態様１０〕
前記ホモトピック・パラメータおよび前記二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定されている、態様９記載の方法。
〔態様１１〕
態様１０記載の方法であって、前記逐次反復プロセスの各反復工程は、
所定のレートに従って前記二次緩和パラメータの値を大きくし、
前記二次緩和パラメータの値および前記二次緩和パラメータと前記ホモトピック・パラメータの間の前記所定の関係に従って前記ホモトピック・パラメータの値を小さくすることを含む、
方法。
〔態様１２〕
前記逐次反復プロセスが外側の逐次反復プロセスであり、前記外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む、態様９記載の方法。
〔態様１３〕
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記ホモトピック・パラメータの値および前記二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含む，態様１２記載の方法。
〔態様１４〕
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含む、態様１３記載の方法。
〔態様１５〕
凸最適化モデルに従って画像を再構成する前記段階が、画像強度の全変動の離散化のl＝1ノルムまたは画像強度の全変動の離散化のl＝2ノルムのうちの一方を使って画像データを生成することを含む、態様１記載の方法。
〔態様１６〕
画像データを生成する前記段階が対話的なプロセスを実行することを含み、該逐次反復プロセスの反復工程は、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含む、態様１５記載の方法。
〔態様１７〕
前記ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づく、態様１６記載の方法。
〔態様１８〕
前記ノルム重み付け因子の値の更新は、ガウシアン・カーネルを使って平滑化された画像データを生成することを含む、態様１７記載の方法。
〔態様１９〕
前記逐次反復プロセスは外側の逐次反復プロセスであり、前記外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む、態様１６記載の方法。
〔態様２０〕
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記ホモトピック・パラメータの値および前記二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含む、態様１９記載の方法。
〔態様２１〕
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含む、態様２０記載の方法。
〔態様２２〕
画像を再構成する前記段階は、撮像されたオブジェクトを表す画像データを生成することを含む、態様１記載の方法。
〔態様２３〕
画像を再構成する前記段階は、ディスプレイ、プリンタおよびメモリ・デバイスのうちの少なくとも一つに画像データを出力することを含む、態様２２記載の方法。
〔態様２４〕
画像を生成する方法であって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成する段階と；
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成する段階と；
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する段階とを含み、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含む、
方法。
〔態様２５〕
画像データの前記第一の集合を、前記ｋ空間データ・セットの前記一部の逆フーリエ変換に少なくとも部分的に基づいて生成することをさらに含む、態様２４記載の方法。
〔態様２６〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの諸属性についての重要度重み付け因子を含む、態様２４記載の方法。
〔態様２７〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの異なる属性にそれぞれの重みを適用するための重み付け因子を含む、態様２４記載の方法。
〔態様２８〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含む、態様２４記載の方法。
〔態様２９〕
画像を生成する方法であって：
磁気共鳴撮像システムからｋ空間データ・セットを受領する段階と；
所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集する段階であって、前記所定のデータ収集パターンは渦巻きパターンを含む、段階と；
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成する段階と；
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する段階とを含み、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含む、
方法。
〔態様３０〕
画像データの前記第一の集合を、前記ｋ空間データ・セットの前記一部の逆フーリエ変換に少なくとも部分的に基づいて生成することをさらに含む、態様２９記載の方法。
〔態様３１〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの諸属性についての重要度重み付け因子を含む、態様２９記載の方法。
〔態様３２〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの異なる属性にそれぞれの重みを適用するための重み付け因子を含む、態様２９記載の方法。
〔態様３３〕
前記複数の重み付け因子は、前記画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含む、態様２９記載の方法。
〔態様３４〕
画像を生成する撮像システムであって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと；
前記ｋ空間データ・セットの一部を収集し、凸最適化モデルに従って前記ｋ空間データ・セットの収集された一部から画像を再構成するコンピューティング・ユニットとを有する、
システム。
〔態様３５〕
前記凸最適化モデルは、前記ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子を含む、態様３４記載のシステム。
〔態様３６〕
前記凸最適化モデルは、撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含む、態様３４記載のシステム。
〔態様３７〕
前記コンピューティング・ユニットは、画像強度の全変動の離散化のl＝0ノルムの近似を使って画像データを生成する、態様３４記載のシステム。
〔態様３８〕
前記コンピューティング・ユニットは、対話的なプロセスを使って前記画像データを生成し、該逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含む、態様３７記載のシステム。
〔態様３９〕
前記ホモトピック・パラメータおよび前記二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定されている、態様３８記載のシステム。
〔態様４０〕
前記コンピューティング・ユニットは、画像強度の全変動の離散化のl＝1ノルムまたは画像強度の全変動の離散化のl＝2ノルムのうちの一方を使って前記画像データを生成する、態様３４記載のシステム。
〔態様４１〕
前記コンピューティング・ユニットは、対話的なプロセスを使って前記画像データを生成し、該逐次反復プロセスの反復工程は、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含む、態様４０記載のシステム。
〔態様４２〕
前記ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づく、態様４１記載のシステム。
〔態様４３〕
前記コンピューティング・ユニットは、撮像されるオブジェクトを表す画像データを生成する、態様３４記載のシステム。
〔態様４４〕
前記コンピューティング・ユニットは、ディスプレイ、プリンタおよびメモリ・デバイスのうちの少なくとも一つに前記画像データを出力する、態様４３記載のシステム。
〔態様４５〕
前記ｋ空間データ・セットは、磁気共鳴撮像（MRI）システムによって生成される、態様３４記載のシステム。
〔態様４６〕
画像を生成する撮像システムであって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと；
所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成し、
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成し、
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する
コンピューティング・ユニットとを有しており、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含む、
システム。
〔態様４７〕
画像捕捉システムから前記ｋ空間データ・セットを受領するためのインターフェースをさらに有する、態様４６記載のシステム。
〔態様４８〕
画像捕捉システムをさらに有する、態様４６記載のシステム。
〔態様４９〕
前記所定のデータ収集パターンが渦巻きパターンを含む、態様４６記載のシステム。
〔態様５０〕
前記ｋ空間データ・セットは、磁気共鳴撮像（MRI）システムによって生成される、態様４９記載のシステム。

Claims

画像を生成する方法であって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
ある程度のインコヒーレンスをもつデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットの一部を収集する段階であって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記データ収集パターンを該データ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて該データ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記データ収集パターン中に組み込まれる、段階と；
前記ｋ空間データ・セットの収集された一部から凸最適化モデルに従って画像を再構成する段階とを含み、
前記凸最適化モデルに従って画像を再構成する前記段階が、逐次反復プロセスを使って画像データを生成することを含み、該逐次反復プロセスは、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含む、
方法。
前記凸最適化モデルが、前記ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子を含む、請求項１記載の方法。
前記凸最適化モデルが、撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含む、請求項１記載の方法。
前記データ収集パターンが渦巻きパターンを含む、請求項１記載の方法。
前記データ収集パターンが放射状パターンを含む、請求項１記載の方法。
前記データ収集パターンが複数の平行なサンプリング線を含む、請求項１記載の方法。
画像データの前記生成が、画像強度の全変動の離散化のl＝0ノルムの近似を使う、請求項１記載の方法。
前記逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含む、請求項７記載の方法。
前記ホモトピック・パラメータおよび前記二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定されている、請求項８記載の方法。
請求項９記載の方法であって、前記逐次反復プロセスの各反復工程は、
所定のレートに従って前記二次緩和パラメータの値を大きくし、
前記二次緩和パラメータの値および前記二次緩和パラメータと前記ホモトピック・パラメータの間の前記所定の関係に従って前記ホモトピック・パラメータの値を小さくすることを含む、
方法。
前記逐次反復プロセスが外側の逐次反復プロセスであり、前記外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む、請求項８記載の方法。
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記ホモトピック・パラメータの値および前記二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含む，請求項１１記載の方法。
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含む、請求項１２記載の方法。
画像データの前記生成が、画像強度の全変動の離散化のl＝1ノルムまたは画像強度の全変動の離散化のl＝2ノルムのうちの一方を使う、請求項１記載の方法。
前記ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づく、請求項１記載の方法。
前記ノルム重み付け因子の値の更新は、ガウシアン・カーネルを使って平滑化された画像データを生成することを含む、請求項１５記載の方法。
前記逐次反復プロセスは外側の逐次反復プロセスであり、前記外側の逐次反復プロセスの各反復工程は、内側の逐次反復プロセスの一回または複数回の反復工程を含む、請求項１記載の方法。
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記ホモトピック・パラメータの値および前記二次緩和パラメータの値に少なくとも部分的に基づいて、緩和変数の値を更新することを含む、請求項１７記載の方法。
前記内側の逐次反復プロセスの各反復工程は、前記緩和変数の値に少なくとも部分的に基づいて画像データを更新することを含む、請求項１８記載の方法。
画像を再構成する前記段階は、撮像されたオブジェクトを表す画像データを生成することを含む、請求項１記載の方法。
画像を再構成する前記段階は、ディスプレイ、プリンタおよびメモリ・デバイスのうちの少なくとも一つに画像データを出力することを含む、請求項２０記載の方法。
画像を生成する方法であって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
ある程度のインコヒーレンスをもつ所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成する段階であって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記所定のデータ収集パターンを該所定のデータ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて前記所定のデータ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記所定のデータ収集パターン中に組み込まれる、段階と；
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成する段階と；
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する段階とを含み、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含み、
前記複数の重み付け因子は、前記画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含む、
方法。
画像データの前記第一の集合を、前記ｋ空間データ・セットの前記一部の逆フーリエ変換に少なくとも部分的に基づいて生成することをさらに含む、請求項２２記載の方法。
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの諸属性についての重要度重み付け因子を含む、請求項２２記載の方法。
前記複数の重み付け因子は、前記画像データの異なる属性にそれぞれの重みを適用するための重み付け因子を含む、請求項２２記載の方法。
前記所定のデータ収集パターンが渦巻きパターンを含む、請求項２２記載の方法。
画像を生成する撮像システムであって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと；
ある程度のインコヒーレンスをもつデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットの一部を収集し、凸最適化モデルに従って前記ｋ空間データ・セットの収集された一部から画像を再構成するコンピューティング・ユニットであって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記データ収集パターンを該データ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて前記データ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記データ収集パターン中に組み込まれる、コンピューティング・ユニットとを有し、
前記凸最適化モデルに従って画像を再構成する処理が、逐次反復プロセスを使って画像データを生成することを含み、該逐次反復プロセスは、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含む、
システム。
前記凸最適化モデルは、前記ｋ空間データ・セット内の期待されるノイズ属性を表す重み付け因子を含む、請求項２７記載のシステム。
前記凸最適化モデルは、撮像されるオブジェクトの先験的属性を表す重み付け因子を含む、請求項２７記載のシステム。
前記コンピューティング・ユニットによる画像データの前記生成は、画像強度の全変動の離散化のl＝0ノルムの近似を使う、請求項２７記載のシステム。
前記逐次反復プロセスの反復工程は、ホモトピック・パラメータの値を更新し、二次緩和パラメータの値を更新することを含む、請求項３０記載のシステム。
前記ホモトピック・パラメータおよび前記二次緩和パラメータのそれぞれの値は、所定の関係に従って互いとの関係において固定されている、請求項３１記載のシステム。
前記コンピューティング・ユニットによる画像データの前記生成は、画像強度の全変動の離散化のl＝1ノルムまたは画像強度の全変動の離散化のl＝2ノルムのうちの一方を使う、請求項２７記載のシステム。
前記ノルム重み付け因子は、平滑化された画像データに少なくとも部分的に基づく、請求項２７記載のシステム。
前記コンピューティング・ユニットは、撮像されるオブジェクトを表す画像データを生成する、請求項２７記載のシステム。
前記コンピューティング・ユニットは、ディスプレイ、プリンタおよびメモリ・デバイスのうちの少なくとも一つに前記画像データを出力する、請求項３５記載のシステム。
前記ｋ空間データ・セットは、磁気共鳴撮像（MRI）システムによって生成される、請求項２７記載のシステム。
画像を生成する撮像システムであって：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを受領し、記憶するメモリと；
ある程度のインコヒーレンスをもつ所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成する段階であって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記所定のデータ収集パターンを該所定のデータ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて前記所定のデータ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記所定のデータ収集パターン中に組み込まれる、段階と、
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成する段階と、
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する段階とを実行する
コンピューティング・ユニットとを有しており、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含み、
前記複数の重み付け因子は、前記画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含む、
システム。
画像捕捉システムから前記ｋ空間データ・セットを受領するためのインターフェースをさらに有する、請求項３８記載のシステム。
画像捕捉システムをさらに有する、請求項３８記載のシステム。
前記所定のデータ収集パターンが渦巻きパターンを含む、請求項３８記載のシステム。
前記ｋ空間データ・セットは、磁気共鳴撮像（MRI）システムによって生成される、請求項４１記載のシステム。
命令を含む非一時的なコンピュータ可読媒体であって、前記命令はプロセッサを：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
ある程度のインコヒーレンスをもつデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットの一部を収集する段階であって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記データ収集パターンを該データ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて前記データ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記データ収集パターン中に組み込まれる、段階と；
前記ｋ空間データ・セットの収集された一部から凸最適化モデルに従って画像を再構成する段階とを実行するよう構成するものであり、
前記凸最適化モデルに従って画像を再構成する前記段階が、逐次反復プロセスを使って画像データを生成することを含み、該逐次反復プロセスは、再構成された画像における不連続にペナルティを与えることを防ぐため、ノルム重み付け因子の値を更新することを含む、
非一時的なコンピュータ可読媒体。
命令を含む非一時的なコンピュータ可読媒体であって、前記命令はプロセッサを：
撮像されるオブジェクトのｋ空間データ・セットを取得する段階と；
ある程度のインコヒーレンスをもつ所定のデータ収集パターンに従って前記ｋ空間データ・セットのサブセットを収集し、それによりサンプリングされたｋ空間データ・セットを生成する段階であって、前記ある程度のインコヒーレンスは、前記所定のデータ収集パターンを該所定のデータ収集パターンの一つまたは複数の軌跡平面を含む軸に沿って回転させて前記所定のデータ収集パターンの前記一つまたは複数の軌跡平面中に一つまたは複数の擬似ランダムなシフトを導入することによって、前記所定のデータ収集パターン中に組み込まれる、段階と；
前記サンプリングされたｋ空間データ・セットを使って画像データの第一の集合を生成する段階と；
画像データの前記第一の集合を使って逐次反復プロセスを実行して画像データの第二の集合を生成する段階とを実行するよう構成するものであり、
前記逐次反復プロセスは、画像データの前記第一の集合からの画像データを、複数の重み付け因子に従って、前記サンプリングされたｋ空間データ・セットからのｋ空間データと組み合わせることを含む最適化モデルに従って、画像データの前記第一の集合を修正することを含み、
前記複数の重み付け因子は、前記画像データ中の大きな不連続にペナルティを与えるのを防ぐために、ノルム重み付け因子を含む、
方法。