JP4540893B2 - 転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置 - Google Patents
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置に関し、特に転がり直動案内装置の運動精度を向上させる技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
転がり直動案内装置は、ロボットや工作機械等の各種機械装置で直進動を得るために広く採用され、近年の小型化や高精度化の要求に伴って転がり直動案内の運動精度の向上が一層求められている。
転がり直動案内装置の運動性能を低下させる要因としては、その一つに転動体の移動に伴って周期的な変位成分を生じる転動体通過振動がある。この転動体通過振動は、転がり直動案内装置のスライダを案内レール上で等速に移動させたときのスライダの姿勢（角度）変化を測定することで確認できる。図１４に転動体通過振動の一例として、スライダの移動距離に対するピッチング角変位の測定結果を示した。この測定結果によれば、転動体である玉やローラの直径の約２倍の波長で顕著な振動が現れている。転動体通過振動によるスライダの角度変化自体は小さいが、スライダからの距離が大きい位置では、大きな変位に増幅されるために無視できないものとなる。
【０００３】
ここで、転動体通過振動が発生するメカニズムを簡単に説明する。いま、図１５（ａ）に示すように、上下２列の転動体転動溝３０，３２を有するスライダ３４が案内レール３６に沿って移動する転がり直動案内装置を考える。２つの溝３０，３２内の玉３８の配置が、図１５（ｂ）に示すように玉３８の直径Ｄwの１／２だけずれていると仮定すると、上溝３０の玉数＜下溝３２の玉数となる。転がり直動案内装置に予圧が与えられていて外部荷重が作用しない場合、上溝３０の玉荷重の総計＝下溝３２の玉荷重の総計であるから、上溝３０の玉１個あたりの荷重＞下溝３２の玉１個あたりの荷重となる。即ち、上溝３０の玉が下溝３２の玉より大きく変形し、上下の玉３８の配置が同一の状態（図１５（ａ）の状態）と比較して、スライダ３４は下方に移動する。この状態からスライダ３４が直径Ｄw分移動すると、玉３８はＤw／２移動し、図１５（ｃ）に示す状態となる。このときの玉３８の配置は図１５（ｂ）を上下反転したものとなり、スライダ３４は上方に移動する。従って、玉径の２倍の距離毎に繰り返し変動が現れるようになり、これが転動体通過振動の主原因となる。
【０００４】
このような転動体通過振動を低減するために、転がり直動案内装置のスライダ３６には、図１６に示すクラウニング４０と呼ばれる緩やかな傾斜部分が設けられている。クラウニング４０を設けることによって、スライダ３４端部の玉３８は、移動に伴って徐々に負荷が増加・減少していくので、スライダ３４の姿勢変化が緩和される。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
ところが、上記クラウニング４０の最適な形状についての理論的な検討は十分に行われておらず、また、このクラウニング形状の違いで転動体通過振動の大きさが変化することが経験的に知られており、クラウニング形状を如何にして、転がり直動案内装置の運動精度向上に寄与させるように設定するかが課題となっていた。さらに、従来の転がり直動案内装置におけるクラウニング形状は、その加工の容易性から単一円弧形状や単一直線勾配形状等が主に用いられているが、その形状の設計は主に経験則に基づいて行われるもので、転動体通過振動を効果的に抑制する設計方法は用いられていなかった。
【０００６】
本発明は上記状況に鑑みてなされたもので、スライダの転動体転動溝に形成するクラウニングを、転がり直動案内装置の玉通過振動を低減できる最適なクラウニング形状に設計する転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置を提供し、転がり直動案内装置の運動精度を高めることを目的としている。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
上記目的達成のため、本発明に係る請求項１記載の転がり直動案内装置の設計方法は、外面に第１の転動体転動溝を有して軸方向に延びる案内レールに、前記第１の転動体転動溝に対向する第２の転動体転動溝を有するスライダが遊嵌され、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間に転動体が装填されると共に、前記第２の転動体転動溝の軸方向両端にクラウニング部分を有する転がり直動案内装置の設計方法であって、前記クラウニング部分の形状を、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間の転動体が前記軸方向に移動しても、前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれる形状に設定することを特徴とする。
【０００８】
この転がり直動案内装置の設計方法では、スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれる形状に設定することにより、第１及び第２転動体転動溝内の転動体に生じる弾性変位量が、その配置位置によらずに略一定となり、スライダ移動時の転動体通過振動の発生が抑えられる。これにより、運動精度の高い転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
【０００９】
請求項２記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記クラウニング部分の形状を、前記転動体転動溝間の転動体を前記スライダの軸方向中心位置に対して軸方向へ転動体を対称に振り分けたときに、前記軸方向中心位置に転動体が配置される状態と、前記軸方向中心位置に隣接する転動体同士間が配置される状態における前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれるように設定することを特徴とする。
【００１０】
この転がり直動案内装置の設計方法では、転動体転動溝内に存在する転動体個数が異なる２つの状態、即ち、軸線方向中心位置に転動体が配置される状態と、軸方向中心位置に隣接する転動体同士間が配置される状態に対して、それぞれの状態における剛性が略同一となるクラウニング形状を設定することにより、スライダ移動時における接触角方向の変位量及びピッチング方向の変位量が略等しくなり、玉通過振動を低減できる。
【００１１】
請求項３記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記各状態で前記剛性が同一となる複数のクラウニング形状座標点をそれぞれ求め、該複数のクラウニング形状座標点に対する近似曲線を求めてクラウニング形状に設定することを特徴とする。
【００１２】
この転がり直動案内装置の設計方法では、剛性が同一となる複数のクラウニング形状座標点に対して近似曲線を求め、得られた近似曲線をクラウニング形状に設定することにより、離散されたクラウニング形状座標点に対してのみ剛性の計算を行うため、クラウニング部分全体にわたって剛性の計算を行う必要がなく、計算負担が軽減され、且つ、必要十分な精度でクラウニング形状を設定することができる。
【００１３】
請求項４記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、前記複数のクラウニング形状座標点のうち、少なくとも１点を通過し、他のクラウニング形状座標点に対しては、その近傍を通過する近似曲線であることを特徴とする。
【００１４】
この転がり直動案内装置の設計方法では、複数のクラウニング形状座標点のうち少なくとも１点を通過し、他のクラウニング形状座標点に対してはその近傍を通過する近似曲線を用いることで、うねりの少ない曲線形状を得ることができる。
【００１５】
請求項５記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、ｆ（ｘ）＝ａwｘw（ａw、ｗは定数）なる型のべき関数であることを特徴とする。
【００１６】
この転がり直動案内装置の設計方法では、べき関数を用いて曲線近似することにより、単一円弧形状の場合と比較して、よりクラウニング形状座標点に近い曲線形状に設定できる。
【００１７】
請求項６記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、複数の曲線を組み合わせて設定した曲線であることを特徴とする。
【００１８】
この転がり直動案内装置の設計方法では、複数の曲線を組み合わせて近似曲線を設定することにより、よりクラウニング形状座標点に近い曲線形状にできると共に曲線形状の加工を容易にできる。
【００１９】
請求項７記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、最小二乗法により近似した曲線であることを特徴とする。
【００２０】
この転がり直動案内装置の設計方法では、曲線近似を最小二乗法により行うことにより、クラウニング形状座標点からの残差の小さい曲線に近似できる。
【００２１】
請求項８記載の転がり直動案内装置は、請求項１〜請求項７のいずれか１項記載の転がり直動案内装置の設計方法を用いてクラウニング形状が設定されたスライダを備えていることを特徴とする。
【００２２】
この転がり直動案内装置では、上記の転がり直動案内の設計方法によりクラウニング形状を設定したスライダを備えることにより、玉通過振動が低減され運動精度が高められ、高精度な転がり直動案内装置とすることができる。
【００２３】
【発明の実施の形態】
以下、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置の好適な実施の形態について、図面を参照して詳細に説明する。
図１は本発明に係る転がり直動案内装置の概略構成を示す斜視図であり、図２は図１のＡ−Ａ断面図である。本実施形態の転がり直動案内装置１００は、外面に転動体転動溝（第１の転動体転動溝）３ａ，３ｂを有してＸ軸方向に延びる案内レール１と、その案内レール１を跨いで組み付けられたスライダ２とを備えている。
案内レール１は、図１及び図２に示すように、案内レール１の上面１ａと両側面１ｂが交差する稜線でＸ軸方向に連続して形成され断面が略１／４円弧形状の凹溝からなる一方の転動体転動溝３ａと、案内レール１の両側面１ｂの略中央位置で断面が略半円形状の他方の転動体転動溝３ｂとが形成されている。
【００２４】
また、スライダ２は、スライダ本体２ａと、その両端部に取り付けられたエンドキャップ２ｂからなり、スライダ本体２ａは両袖部４の内側面に案内レール１の転動体転動溝３ａ，３ｂに対向する転動体転動溝（第２の転動体転動溝）５ａ，５ｂを有すると共に、袖部の肉厚部分をＸ軸方向に貫通する図示しない転動体戻し路を有している。
エンドキャップ２ｂは、スライダ本体２ａの転動体転動溝５ａ，５ｂとこれに平行な転動体戻し路とを連通させる図示しない湾曲路を有しており、これら転動体転動溝５ａ，５ｂと転動体戻し路と両端の湾曲路とで、転動体循環回路が形成されている。転動体循環回路内には、例えば鋼球からなる多数の転動体６が充填されている。以降、転動体転動溝３ａ，５ａを上側転動路７、転動体転動溝３ｂ，５ｂを下側転動路８として適宜呼称する。
【００２５】
上記構成の転がり直動案内装置１００は、基台に固定された案内レール１上をスライダ２が移動すると、転動体６が上側転動路７及び下側転動路８内を転動しつつ、スライダ２の移動方向にスライダ２より低速で移動し、一端側の湾曲路でＵターンして転動体戻し路をスライダ移動方向とは逆方向に転動しつつ移動し、他端側の湾曲路で再度Ｕターンして上側転動路７及び下側転動路８内に戻るといった循環を繰り返す。
【００２６】
次に、スライダ本体２ａの転動体転動溝５ａ，５ｂに形成する最適なクラウニング形状を決定するためのクラウニング形状設計方法について詳細に説明する。
図３は、転動体転動溝３ａ，５ａの接触角方向ｍに対するＢ−Ｂ断面の概念的矢視図であって、（ａ）はスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに関して対称に玉６が振り分けて配置された状態、（ｂ）はスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が存在するように玉６を配置した状態を示している。図中、Ｌ1はスライダ本体２ａの軸方向長さ、ｓは隣り合う玉６との間隔、ｎはスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに玉６が配置されたときのＬ1内に存在する玉６の個数を表す。なお、図中のクラウニング形状はクラウニング量を誇張して示しているが、実際の玉６は転動体転動溝に接している。
また、本実施形態の転がり直動案内装置においては４列の転動体転動路を有する例を示しているが、ここでは計算を単純化するために、上側転動路７となる２つの転動体転動溝３ａ，３ａ及び５ａ，５ａ内は同一の玉配置とし、下側転動路８となる２つの転動体転動路３ｂ，３ｂ及び５ｂ，５ｂ内は同一の玉配置として考える。
【００２７】
ヘルツの弾性接触理論によれば、番号ｊの玉６の垂直転動体荷重Ｑjは（１）式で与えられる。
【数１】
ここで、Ｋはヘルツの非線形ばね定数であり、δjは図２に示す接触角方向ｍに対する番号ｊの玉と転動体転動溝面との間の弾性変形量である。図３（ａ）及び（ｂ）における弾性変形量δjは（２）式で与えられる。
【数２】
【００２８】
（２）式において、δ0は玉のオーバーサイズ量であって締め代に相当する。また、Ｃjはクラウニング量を表し、Ｃj≧０である。なお、δj＜０となる場合はδj＝０とする。（１）式及び（２）式より、番号ｊの玉と転動体転動溝面との間の弾性変形によって生ずる垂直方向剛性ｋjは（３）式に示すようになる。
【数３】
【００２９】
スライダ本体が、軸方向中心Ｏのまわりのピッチング方向に微小角度θ（図１参照）傾くとき、番号ｊの玉によって生ずる反モーメントＭjは（４）式で与えられる。
【数４】
ここで、ｘjは番号ｊの玉のＸ軸座標である。（４）式より番号ｊの玉によるＯ点まわりの傾き方向剛性ｋj θは（５）式のようになる。
【数５】
【００３０】
図３（ａ）に示すようにスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに対して玉が振り分けて配置された状態では、Ｌ1の範囲内にｎ−１個の玉が存在する。図３（ａ）の玉の配置では、Ｌ1の範囲内に存在する玉による垂直方向剛性の総和ｋA、及び傾き方向剛性の総和ｋA θは以下のように与えられる。
【数６】
【００３１】
ここで、ｘAjはスライダ本体の軸方向中心Ｏに関して対称に玉を振り分けて配置したときの番号ｊの玉のＸ軸座標である。いま、図３（ａ）に示す番号１及び番号ｎ−１の玉位置におけるクラウニング量がＣaであり、その他の玉位置ではクラウニング量が０とすると、スライダ本体両端のクラウニング部分１０ａ，１０ｂには、それぞれ番号１と番号ｎ−１の玉が配置される。このとき、上記（６）、（７）式は次のように表すことができる。
【数７】
【００３２】
一方、図３（ｂ）に示すように、スライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が位置する配置では、Ｌ1の範囲内にｎ個の玉が存在する。図３（ｂ）に示す玉の配置では、Ｌ1の範囲内に存在する玉による垂直方向剛性の総和ｋB、及び傾き方向剛性の総和ｋB θは、以下のように与えられる。
【数８】
【００３３】
ここで、ｘBjはスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が位置するように配置したときの番号ｊの玉のＸ軸座標である。いま、図３（ｂ）に示す番号１と番号ｎの玉位置におけるクラウニング量がＣb、番号２とｎ−１の玉位置におけるクラウニング量がＣcであるとし、その他の玉位置におけるクラウニング量が０とすると、図中左側のクラウニング部分１０ａには番号１と２の玉、右側のクラウニング部分１０ｂには番号ｎ−１とｎの玉が配置される。このとき、（１０）式及び（１１）式は、次のように表すことができる。
【数９】
【００３４】
ところで、垂直方向に一定の外部荷重が作用するとき、
ｋa＝ｋB （１４）
が成り立つと、図３（ａ），（ｂ）に示すスライダ本体の垂直方向移動量は等しくなる。また、ピッチング方向に一定の外部モーメントが作用するとき、
ｋA θ＝ｋB θ （１５）
【００３５】
が成り立つと、図３（ａ），（ｂ）に示すスライダ本体２ａの傾き量は等しくなる。よって、（１４）式と（１５）式が同時に成り立てば、図３（ａ）の玉配置におけるスライダ本体２ａの垂直方向移動量と傾き量が、図３（ｂ）の玉配置におけるスライダ本体２ａの垂直方向移動量と傾き量と等しくなる。これにより、（１４）式と（１５）式が同時に成り立つ場合には、これらが成り立たない場合と比較して玉通過振動の振幅が減衰されることが期待できる。
このように、本発明に係るクラウニング形状の設計方法は、図３（ａ）の状態と、図３（ｂ）の状態とで、垂直方向の剛性及びピッチング方向の剛性を一致させることで、玉通過振動の発生を大幅に低減させることを特徴としている。
ここで、（１４）式と（１５）式に、（８）、（９）、（１２）、（１３）式を代入して整理すると、玉通過振動の低減の条件として次式が得られる。
【数１０】
【００３６】
（１６）式において、δ0、ｘAj、ｘBj、ｎを設計諸元として与え、さらにクラウニング量Ｃaを所定の値に仮設定すると、設定されたクラウニング量Ｃaに対するＣb、Ｃcが求められる。
ここで、図４にクラウニング形状の寸法を示すように、Ｃa，Ｃb，Ｃcは、ｘA1，ｘB1，ｘB2（又は、ｘA(n-1)、ｘBn，ｘB(n-1)）におけるクラウニング量となる。なお、図４におけるｘ＝±ｘsの位置は、スライダ本体２ａの転動体転動溝の直線部分とクラウニング部分１０ａ，１０ｂとの交点の座標を表す。即ち、ｘ＝±ｘsではクラウニング量が０となる。
【００３７】
以上より、スライダ本体２ａのクラウニング部分１０ａ（図中左側）では、図５に図４のＣ部拡大図を示すように、ＰL0（−ｘs，０），ＰL1（ｘA1，Ｃa），ＰL2（ｘB1，Ｃb），ＰL3（ｘB2，Ｃc）の４つのクラウニング形状座標点が玉通過振動の低減の条件式である（１６）式を満足することになる。また、スライダ本体２ａのクラウニング部分１０ｂ（図中右側）では、図６に図４のＤ部拡大図を示すように、ＰR0（ｘs，０），ＰR1（ｘA(n-1)，Ｃa），ＰR2（ｘBn，Ｃb），ＰR3（ｘB(n-1)，Ｃc）の４つのクラウニング形状座標点が（１６）式を満足することになる。
【００３８】
本実施形態においては、スライダ本体２ａ両端のクラウニングに対して、それぞれ上記のクラウニング形状座標点をべき関数で曲線近似させて、クラウニングの形状を定式化している。なお、（１６）式を満足する点の座標は、クラウニング量Ｃaの設定値に依存するため、クラウニング量Ｃaを微小量変化させて他のクラウニング量Ｃb及びＣcを求め、これらをべき関数を用いて曲線近似させることで求める。このような方法により、クラウニング量Ｃaをパラメータとしてクラウニング形状のクラウニング形状座標点を求め、べき関数を用いて曲線近似させた場合のクラウニング量Ｃjは、（１７）式で表される。
【００３９】
【数１１】
ここで、ａw、ｗはべき関数の定数で、最小二乗法等の方法で曲線近似させるときに計算される定数である。これらの定数ａw，ｗを最適に決定することで、玉通過振動を効果的に低減することが可能となる。なお、曲線近似方法としては、最小二乗法以外であっても、残差を小さくできる近似方法であれば如何なる方法であってもよい。
【００４０】
図７は、上記方法により決定されたクラウニング形状座標点ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3及びＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3に対し、べき関数で曲線近似した結果と、単一円弧形状に曲線近似した結果を示す図である。なお、クラウニング形状座標点ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3は、クラウニング形状座標点ＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3とそれぞれ同じクラウニング量であるため、図中の黒丸で示すクラウニング形状座標点は合計４点となっている。これらのクラウニング形状座標点をそのまま直線連結すると、滑らかな形状にならず、実際のクラウニングの加工が困難となる。そこで、上記４つのクラウニング形状座標点を通るように（１７）式を用いて曲線近似を行うが、この場合のクラウニング形状座標点の配置では近似結果に大きなうねりを生じる。このため、ＰL0（ＰR0）のクラウニング形状座標点に対しては通過し、ＰL1（ＰR1）とＰL2（ＰR2）とＰL3（ＰR3）のクラウニング形状座標点に対してはその近傍を通過するという条件で曲線近似を行った。その結果が図中実線で示す曲線である。また、従来行われてきた単一円弧形状（半径Ｒ＝１１００ｍｍ）のクラウニング形状も点線で示している。このように、べき関数を用いて曲線近似することにより、単一円弧形状に曲線近似した場合と比較してクラウニング形状座標点からのずれ量の総和を小さくできる。
【００４１】
次に、スライダ移動時におけるスライダの姿勢変化について説明する。
スライダ本体２ａが、図１に示す鉛直方向にｚa移動し、ピッチング方向にθ姿勢変化したとき、上側転動路７の転動体転動溝３ａ及び下側転動路８の転動体転動溝３ｂにおける番号ｊの玉の弾性変形量δUj，δLjは次式で与えられる。
【数１２】
ここで、ｘUj，ｘLjはそれぞれ上側転動路７，下側転動路８における番号ｊの玉のＸ軸座標であり、以下の式で与えられる。
【数１３】
【００４２】
ここで、ｘU1は上側転動路７における番号１の玉のＸ軸座標であり、ａ（０≦ａ＜１．０）は初期状態における上側転動路７及び下側転動路８の玉の位置関係を示す定数であり、上側転動路７と下側転動路８の玉の位置が玉径の１／２ずれているときにａ＝０．５となる。なお、上記（１８）式において、δUj＜０，δLj＜０となる場合は、δUj＝０，δLj＝０とする。
（１）式より上側転動路７及び下側転動路８における番号ｊの玉の垂直転動体荷重ＱUj，ＱLjは（２０）式で与えられる。
【数１４】
【００４３】
また、スライダ本体の鉛直荷重Ｆz及びピッチング方向のモーメントＭpは（２１）式で与えられる。
【数１５】
ここで、ｎU，ｎLはそれぞれ上側転動路７及び下側転動路８の負荷圏内の玉数である。Ｆz＝０，Ｍp＝０として、（２１）式をまとめると次のようになる。
【数１６】
【００４４】
このように、（１８）式、及び（２０）、（２１）式を用いてスライダの姿勢変化ｚa、及びピッチング方向の角度θを計算することができる。即ち、（２２）式が成り立つようなｚa及びθを数値計算によって算出する。また、玉の移動距離をパラメータにとってＺa及びθを算出することによって、玉の移動距離と姿勢変化の関係を得ることができる。
【００４５】
ここで、図８は、前述のべき関数による曲線形状と、単一円弧形状のクラウニングによる玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図で、（ａ）は玉の移動距離に対するスライダの鉛直方向変位、（ｂ）は玉の移動距離に対するスライダのピッチング角変位を示している。ここで、玉の移動距離は、スライダが案内レール上を移動する際に転動体転動溝内で移動する玉の移動距離である。なお、ここでは、クラウニング長さＬcを６．４ｍｍとし、（１９）式における上側転動路７及び下側転動路８内の玉の位置関係を示す定数ａを０．５として計算している。
【００４６】
図８（ａ）によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングの方が、単一円弧形状のクラウニングより鉛直方向変位が低減されており、鉛直方向の玉通過振動の発生が低減されることがわかる。
また、図８（ｂ）によれば、単一円弧形状のクラウニングは大きな振幅のピッチング角変位を周期的に発生させているが、べき関数による曲線形状のクラウニングは、殆どピッチング角変位を生じさせていない。このように、ピッチング方向の玉通過振動の発生が大幅に低減されている。
【００４７】
以上説明したように、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法によれば、案内レール１及びスライダ２に形成された転動体転動溝に充填される玉の位置が、スライダ２の移動時に転動体転動溝毎に異なる場合でも、転動体６の玉通過振動を低減でき、スライダ２の姿勢変化も低減できるクラウニング形状を簡便にして決定することができる。これにより、転がり直動案内の運動精度を向上でき、高い精度が要求される部位に対して適用可能な転がり直動案内装置を、設計コストを抑えつつ安定供給することができる。また、離散されたクラウニング形状座標点のみ剛性の計算を行うため、クラウニング部分全体にわたって剛性の計算を行う必要がなく、計算負担を軽減しつつ、必要十分な精度でクラウニング形状を設定できる。
【００４８】
ここで、上記クラウニング形状の寸法等の諸条件を変更し、玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を説明する。
図９は、定数ａを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図で、（ａ）は鉛直方向変位、（ｂ）はピッチング角変位の振幅を、べき関数による曲線形状のクラウニングと単一円弧形状のクラウニングに対してそれぞれ示している。なお、この場合のクラウニング長さＬcは６．４ｍｍである。
【００４９】
この図によれば、上側転動路７と下側転動路８の玉の位置ずれがないａ＝０，１のときには振幅が０になり、位置ずれが最大となるａ＝０．５付近で振幅が大きくなる傾向が認められる。べき関数による曲線形状のクラウニングでは、ａ＝０．５付近で現れる鉛直方向の最大振幅が単一円弧形状のクラウニングより小さく抑えられ、特にピッチング角変位の振幅に対しては、ａの全領域にわたって大きく低減されている。このため、べき関数を用いて曲線近似したクラウニング形状の方が単一円弧形状の場合よりも玉通過振動の振幅を低減でき、玉の位置ずれに対する影響が少なくて済む。
【００５０】
図１０は、クラウニング長さＬcを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図で、（ａ）は鉛直方向変位、（ｂ）はピッチング角変位の振幅を、べき関数による曲線形状のクラウニングと単一円弧形状のクラウニングに対してそれぞれ示している。なお、この場合の定数ａは０．５としている。
この図によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングの方が、単一円弧形状のクラウニングより全体的に振幅が小さく抑えられており、べき関数の使用が玉通過振動の振幅を低減する上で有利となっている。また、べき関数によるクラウニング形状の長さＬcが６ｍｍのときに鉛直方向変位の振幅が最低となっている。
【００５１】
図１１は、クラウニング長さＬcを鉛直方向変位の振幅が最低となる６．０ｍｍとし、定数ａを０．５として、図８同様に玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
この図によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングに対する鉛直方法変位が大きく低減されており、且つ、ピッチング角変位も小さいことから、このクラウニング形状に設計することで、玉通過振動の極めて小さい転がり直動案内装置が得られる。
【００５２】
次に、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法の第２実施形態を説明する。本実施形態の設計方法は、前述したクラウニング形状のクラウニング形状座標点を曲線近似する際、複数の曲線を組み合わせることで近似曲線を設定している。
図１２は、３つの異なる半径及び中心位置による円弧で形成したクラウニング形状を示している。即ち、スライダ本体の端部からＸ軸方向に沿って距離Ｌcまでの間に３種の円弧によってクラウニング形状を形成している。なお、各円弧の境界となる中間点ＰRO1（ｘR1，Ｈ1），ＰRO2（ｘR2，Ｈ2）は任意に設定している。
【００５３】
まず、クラウニング形状座標点ＰR0から中間点ＰRO1までの間は中心位置Ｏ0（Ｌ1／２−Ｌc，Ｒ0）の半径Ｒ0の円弧で形成し、中間点ＰRO1から中間点ＰRO2までの間は中心位置Ｏ1（ｘO1，ＨR1）の半径Ｒ1の円弧で形成し、中間点ＰRO2から最端点ＰRO3までの間は中心位置Ｏ2（ｘO2，ＨR2）の半径Ｒ2の円弧で形成している。
【００５４】
図１３に、３つの異なる円弧を組み合わせてクラウニング形状を形成した一例を示した。これによれば、異なる種類の３つの円弧を連続的に接続することにより、前述のべき関数により近似した曲線に殆ど一致した曲線形状が得られると共に、４つのクラウニング形状座標点に対するずれを一層小さく設定できる。従って、玉通過振動を防止するための最適位置であるクラウニング形状座標点により近いクラウニング形状にでき、スライド移動時の振動や姿勢変化を大きく低減できる。また、クラウニング形状の加工時においても、円弧形状に設定しておくことによりＮＣ加工機械等で容易に加工プログラムを生成でき、加工を行うことができる。
【００５５】
また、ここでは３つの異なる円弧を組み合わせた一例を示したが、必要に応じて任意の数の円弧を組み合わせることもできる。このように複数の円弧を用いてクラウニング形状を決定することで、クラウニング形状座標点の位置関係に応じてより適切なクラウニング形状を得ることができる。
【００５６】
上記各実施形態においては、玉を使用した転がり直動案内装置を用いて説明しているが、これに限らず、ローラ等の他の転動体を用いた転がり直動案内に対しても、また、玉同士の間にセパレータが挿入されたタイプの直動案内装置であっても同様の設計方法によりクラウニング形状を決定することができる。
なお、上記各実施形態においては、クラウニング部分に含まれる玉が、片側で２個の場合と１個の場合を言及しているが、これ以外の玉個数であっても同様な手法でクラウニング形状を決定できる。また、上記実施形態では、垂直方向とピッチング方向の剛性を検討することでクラウニング形状を決定しているが、垂直方向の代わりに水平方向、ピッチング方向の代わりにヨーイング方向（案内レール幅方向）の剛性を用いてもよく、同様な方法でクラウニング形状を決定することができる。
【００５７】
【発明の効果】
以上詳細に説明したように、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法によれば、少なくともスライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、または、スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性が略一定に保たれる形状に設定することにより、第１及び第２転動体転動溝内の転動体に生じる弾性変位量が、その配置位置によらずに略一定となり、スライダ移動時の転動体通過振動の発生が抑えられる。これにより、運動精度の高い転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
この転がり直動案内装置の設計方法によりクラウニング形状を設定することにより、高い運動精度の転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明に係る転がり直動案内装置の概略構成を示す斜視図である。
【図２】図１のＡ−Ａ断面図である。
【図３】転動体転動溝のＢ−Ｂ断面の概念的矢視図である。
【図４】クラウニング形状の寸法を示す図である。
【図５】図４のＣ部拡大図である。
【図６】図４のＤ部拡大図である。
【図７】各クラウニング形状座標点に対し、べき関数を曲線近似した結果と、単一円弧形状に曲線近似した結果を示す図である。
【図８】べき関数による曲線形状と、単一円弧形状のクラウニングによる玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
【図９】定数ａを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図である。
【図１０】クラウニング長さを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図である。
【図１１】玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
【図１２】３つの異なる半径及び中心位置による円弧で形成したクラウニング形状を示す図である。
【図１３】３つの異なる円弧を組み合わせてクラウニング形状を形成した一例を示す図である。
【図１４】スライダの移動距離に対するピッチング角変位の測定結果を示す図である。
【図１５】上下２列の玉溝を有する転がり直動案内装置を示す図である。
【図１６】スライダのクラウニング形状を示す図である。
【符号の説明】
１ 案内レール
２ スライダ
３ａ，３ｂ 転動体転動溝
５ａ，５ｂ 転動体転動溝
６ 玉（転動体）
１０ａ，１０ｂ クラウニング部分
１００ 転がり直動案内装置
ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3，ＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3 クラウニング形状座標点
【発明の属する技術分野】
本発明は、転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置に関し、特に転がり直動案内装置の運動精度を向上させる技術に関する。
【０００２】
【従来の技術】
転がり直動案内装置は、ロボットや工作機械等の各種機械装置で直進動を得るために広く採用され、近年の小型化や高精度化の要求に伴って転がり直動案内の運動精度の向上が一層求められている。
転がり直動案内装置の運動性能を低下させる要因としては、その一つに転動体の移動に伴って周期的な変位成分を生じる転動体通過振動がある。この転動体通過振動は、転がり直動案内装置のスライダを案内レール上で等速に移動させたときのスライダの姿勢（角度）変化を測定することで確認できる。図１４に転動体通過振動の一例として、スライダの移動距離に対するピッチング角変位の測定結果を示した。この測定結果によれば、転動体である玉やローラの直径の約２倍の波長で顕著な振動が現れている。転動体通過振動によるスライダの角度変化自体は小さいが、スライダからの距離が大きい位置では、大きな変位に増幅されるために無視できないものとなる。
【０００３】
ここで、転動体通過振動が発生するメカニズムを簡単に説明する。いま、図１５（ａ）に示すように、上下２列の転動体転動溝３０，３２を有するスライダ３４が案内レール３６に沿って移動する転がり直動案内装置を考える。２つの溝３０，３２内の玉３８の配置が、図１５（ｂ）に示すように玉３８の直径Ｄwの１／２だけずれていると仮定すると、上溝３０の玉数＜下溝３２の玉数となる。転がり直動案内装置に予圧が与えられていて外部荷重が作用しない場合、上溝３０の玉荷重の総計＝下溝３２の玉荷重の総計であるから、上溝３０の玉１個あたりの荷重＞下溝３２の玉１個あたりの荷重となる。即ち、上溝３０の玉が下溝３２の玉より大きく変形し、上下の玉３８の配置が同一の状態（図１５（ａ）の状態）と比較して、スライダ３４は下方に移動する。この状態からスライダ３４が直径Ｄw分移動すると、玉３８はＤw／２移動し、図１５（ｃ）に示す状態となる。このときの玉３８の配置は図１５（ｂ）を上下反転したものとなり、スライダ３４は上方に移動する。従って、玉径の２倍の距離毎に繰り返し変動が現れるようになり、これが転動体通過振動の主原因となる。
【０００４】
このような転動体通過振動を低減するために、転がり直動案内装置のスライダ３６には、図１６に示すクラウニング４０と呼ばれる緩やかな傾斜部分が設けられている。クラウニング４０を設けることによって、スライダ３４端部の玉３８は、移動に伴って徐々に負荷が増加・減少していくので、スライダ３４の姿勢変化が緩和される。
【０００５】
【発明が解決しようとする課題】
ところが、上記クラウニング４０の最適な形状についての理論的な検討は十分に行われておらず、また、このクラウニング形状の違いで転動体通過振動の大きさが変化することが経験的に知られており、クラウニング形状を如何にして、転がり直動案内装置の運動精度向上に寄与させるように設定するかが課題となっていた。さらに、従来の転がり直動案内装置におけるクラウニング形状は、その加工の容易性から単一円弧形状や単一直線勾配形状等が主に用いられているが、その形状の設計は主に経験則に基づいて行われるもので、転動体通過振動を効果的に抑制する設計方法は用いられていなかった。
【０００６】
本発明は上記状況に鑑みてなされたもので、スライダの転動体転動溝に形成するクラウニングを、転がり直動案内装置の玉通過振動を低減できる最適なクラウニング形状に設計する転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置を提供し、転がり直動案内装置の運動精度を高めることを目的としている。
【０００７】
【課題を解決するための手段】
上記目的達成のため、本発明に係る請求項１記載の転がり直動案内装置の設計方法は、外面に第１の転動体転動溝を有して軸方向に延びる案内レールに、前記第１の転動体転動溝に対向する第２の転動体転動溝を有するスライダが遊嵌され、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間に転動体が装填されると共に、前記第２の転動体転動溝の軸方向両端にクラウニング部分を有する転がり直動案内装置の設計方法であって、前記クラウニング部分の形状を、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間の転動体が前記軸方向に移動しても、前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれる形状に設定することを特徴とする。
【０００８】
この転がり直動案内装置の設計方法では、スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれる形状に設定することにより、第１及び第２転動体転動溝内の転動体に生じる弾性変位量が、その配置位置によらずに略一定となり、スライダ移動時の転動体通過振動の発生が抑えられる。これにより、運動精度の高い転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
【０００９】
請求項２記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記クラウニング部分の形状を、前記転動体転動溝間の転動体を前記スライダの軸方向中心位置に対して軸方向へ転動体を対称に振り分けたときに、前記軸方向中心位置に転動体が配置される状態と、前記軸方向中心位置に隣接する転動体同士間が配置される状態における前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれるように設定することを特徴とする。
【００１０】
この転がり直動案内装置の設計方法では、転動体転動溝内に存在する転動体個数が異なる２つの状態、即ち、軸線方向中心位置に転動体が配置される状態と、軸方向中心位置に隣接する転動体同士間が配置される状態に対して、それぞれの状態における剛性が略同一となるクラウニング形状を設定することにより、スライダ移動時における接触角方向の変位量及びピッチング方向の変位量が略等しくなり、玉通過振動を低減できる。
【００１１】
請求項３記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記各状態で前記剛性が同一となる複数のクラウニング形状座標点をそれぞれ求め、該複数のクラウニング形状座標点に対する近似曲線を求めてクラウニング形状に設定することを特徴とする。
【００１２】
この転がり直動案内装置の設計方法では、剛性が同一となる複数のクラウニング形状座標点に対して近似曲線を求め、得られた近似曲線をクラウニング形状に設定することにより、離散されたクラウニング形状座標点に対してのみ剛性の計算を行うため、クラウニング部分全体にわたって剛性の計算を行う必要がなく、計算負担が軽減され、且つ、必要十分な精度でクラウニング形状を設定することができる。
【００１３】
請求項４記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、前記複数のクラウニング形状座標点のうち、少なくとも１点を通過し、他のクラウニング形状座標点に対しては、その近傍を通過する近似曲線であることを特徴とする。
【００１４】
この転がり直動案内装置の設計方法では、複数のクラウニング形状座標点のうち少なくとも１点を通過し、他のクラウニング形状座標点に対してはその近傍を通過する近似曲線を用いることで、うねりの少ない曲線形状を得ることができる。
【００１５】
請求項５記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、ｆ（ｘ）＝ａwｘw（ａw、ｗは定数）なる型のべき関数であることを特徴とする。
【００１６】
この転がり直動案内装置の設計方法では、べき関数を用いて曲線近似することにより、単一円弧形状の場合と比較して、よりクラウニング形状座標点に近い曲線形状に設定できる。
【００１７】
請求項６記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、複数の曲線を組み合わせて設定した曲線であることを特徴とする。
【００１８】
この転がり直動案内装置の設計方法では、複数の曲線を組み合わせて近似曲線を設定することにより、よりクラウニング形状座標点に近い曲線形状にできると共に曲線形状の加工を容易にできる。
【００１９】
請求項７記載の転がり直動案内装置の設計方法は、前記近似曲線が、最小二乗法により近似した曲線であることを特徴とする。
【００２０】
この転がり直動案内装置の設計方法では、曲線近似を最小二乗法により行うことにより、クラウニング形状座標点からの残差の小さい曲線に近似できる。
【００２１】
請求項８記載の転がり直動案内装置は、請求項１〜請求項７のいずれか１項記載の転がり直動案内装置の設計方法を用いてクラウニング形状が設定されたスライダを備えていることを特徴とする。
【００２２】
この転がり直動案内装置では、上記の転がり直動案内の設計方法によりクラウニング形状を設定したスライダを備えることにより、玉通過振動が低減され運動精度が高められ、高精度な転がり直動案内装置とすることができる。
【００２３】
【発明の実施の形態】
以下、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法及びこれにより設計された転がり直動案内装置の好適な実施の形態について、図面を参照して詳細に説明する。
図１は本発明に係る転がり直動案内装置の概略構成を示す斜視図であり、図２は図１のＡ−Ａ断面図である。本実施形態の転がり直動案内装置１００は、外面に転動体転動溝（第１の転動体転動溝）３ａ，３ｂを有してＸ軸方向に延びる案内レール１と、その案内レール１を跨いで組み付けられたスライダ２とを備えている。
案内レール１は、図１及び図２に示すように、案内レール１の上面１ａと両側面１ｂが交差する稜線でＸ軸方向に連続して形成され断面が略１／４円弧形状の凹溝からなる一方の転動体転動溝３ａと、案内レール１の両側面１ｂの略中央位置で断面が略半円形状の他方の転動体転動溝３ｂとが形成されている。
【００２４】
また、スライダ２は、スライダ本体２ａと、その両端部に取り付けられたエンドキャップ２ｂからなり、スライダ本体２ａは両袖部４の内側面に案内レール１の転動体転動溝３ａ，３ｂに対向する転動体転動溝（第２の転動体転動溝）５ａ，５ｂを有すると共に、袖部の肉厚部分をＸ軸方向に貫通する図示しない転動体戻し路を有している。
エンドキャップ２ｂは、スライダ本体２ａの転動体転動溝５ａ，５ｂとこれに平行な転動体戻し路とを連通させる図示しない湾曲路を有しており、これら転動体転動溝５ａ，５ｂと転動体戻し路と両端の湾曲路とで、転動体循環回路が形成されている。転動体循環回路内には、例えば鋼球からなる多数の転動体６が充填されている。以降、転動体転動溝３ａ，５ａを上側転動路７、転動体転動溝３ｂ，５ｂを下側転動路８として適宜呼称する。
【００２５】
上記構成の転がり直動案内装置１００は、基台に固定された案内レール１上をスライダ２が移動すると、転動体６が上側転動路７及び下側転動路８内を転動しつつ、スライダ２の移動方向にスライダ２より低速で移動し、一端側の湾曲路でＵターンして転動体戻し路をスライダ移動方向とは逆方向に転動しつつ移動し、他端側の湾曲路で再度Ｕターンして上側転動路７及び下側転動路８内に戻るといった循環を繰り返す。
【００２６】
次に、スライダ本体２ａの転動体転動溝５ａ，５ｂに形成する最適なクラウニング形状を決定するためのクラウニング形状設計方法について詳細に説明する。
図３は、転動体転動溝３ａ，５ａの接触角方向ｍに対するＢ−Ｂ断面の概念的矢視図であって、（ａ）はスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに関して対称に玉６が振り分けて配置された状態、（ｂ）はスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が存在するように玉６を配置した状態を示している。図中、Ｌ1はスライダ本体２ａの軸方向長さ、ｓは隣り合う玉６との間隔、ｎはスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに玉６が配置されたときのＬ1内に存在する玉６の個数を表す。なお、図中のクラウニング形状はクラウニング量を誇張して示しているが、実際の玉６は転動体転動溝に接している。
また、本実施形態の転がり直動案内装置においては４列の転動体転動路を有する例を示しているが、ここでは計算を単純化するために、上側転動路７となる２つの転動体転動溝３ａ，３ａ及び５ａ，５ａ内は同一の玉配置とし、下側転動路８となる２つの転動体転動路３ｂ，３ｂ及び５ｂ，５ｂ内は同一の玉配置として考える。
【００２７】
ヘルツの弾性接触理論によれば、番号ｊの玉６の垂直転動体荷重Ｑjは（１）式で与えられる。
【数１】
【数２】
（２）式において、δ0は玉のオーバーサイズ量であって締め代に相当する。また、Ｃjはクラウニング量を表し、Ｃj≧０である。なお、δj＜０となる場合はδj＝０とする。（１）式及び（２）式より、番号ｊの玉と転動体転動溝面との間の弾性変形によって生ずる垂直方向剛性ｋjは（３）式に示すようになる。
【数３】
スライダ本体が、軸方向中心Ｏのまわりのピッチング方向に微小角度θ（図１参照）傾くとき、番号ｊの玉によって生ずる反モーメントＭjは（４）式で与えられる。
【数４】
【数５】
図３（ａ）に示すようにスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏに対して玉が振り分けて配置された状態では、Ｌ1の範囲内にｎ−１個の玉が存在する。図３（ａ）の玉の配置では、Ｌ1の範囲内に存在する玉による垂直方向剛性の総和ｋA、及び傾き方向剛性の総和ｋA θは以下のように与えられる。
【数６】
ここで、ｘAjはスライダ本体の軸方向中心Ｏに関して対称に玉を振り分けて配置したときの番号ｊの玉のＸ軸座標である。いま、図３（ａ）に示す番号１及び番号ｎ−１の玉位置におけるクラウニング量がＣaであり、その他の玉位置ではクラウニング量が０とすると、スライダ本体両端のクラウニング部分１０ａ，１０ｂには、それぞれ番号１と番号ｎ−１の玉が配置される。このとき、上記（６）、（７）式は次のように表すことができる。
【数７】
一方、図３（ｂ）に示すように、スライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が位置する配置では、Ｌ1の範囲内にｎ個の玉が存在する。図３（ｂ）に示す玉の配置では、Ｌ1の範囲内に存在する玉による垂直方向剛性の総和ｋB、及び傾き方向剛性の総和ｋB θは、以下のように与えられる。
【数８】
ここで、ｘBjはスライダ本体２ａの軸方向中心Ｏの真下に玉が位置するように配置したときの番号ｊの玉のＸ軸座標である。いま、図３（ｂ）に示す番号１と番号ｎの玉位置におけるクラウニング量がＣb、番号２とｎ−１の玉位置におけるクラウニング量がＣcであるとし、その他の玉位置におけるクラウニング量が０とすると、図中左側のクラウニング部分１０ａには番号１と２の玉、右側のクラウニング部分１０ｂには番号ｎ−１とｎの玉が配置される。このとき、（１０）式及び（１１）式は、次のように表すことができる。
【数９】
ところで、垂直方向に一定の外部荷重が作用するとき、
ｋa＝ｋB （１４）
が成り立つと、図３（ａ），（ｂ）に示すスライダ本体の垂直方向移動量は等しくなる。また、ピッチング方向に一定の外部モーメントが作用するとき、
ｋA θ＝ｋB θ （１５）
【００３５】
が成り立つと、図３（ａ），（ｂ）に示すスライダ本体２ａの傾き量は等しくなる。よって、（１４）式と（１５）式が同時に成り立てば、図３（ａ）の玉配置におけるスライダ本体２ａの垂直方向移動量と傾き量が、図３（ｂ）の玉配置におけるスライダ本体２ａの垂直方向移動量と傾き量と等しくなる。これにより、（１４）式と（１５）式が同時に成り立つ場合には、これらが成り立たない場合と比較して玉通過振動の振幅が減衰されることが期待できる。
このように、本発明に係るクラウニング形状の設計方法は、図３（ａ）の状態と、図３（ｂ）の状態とで、垂直方向の剛性及びピッチング方向の剛性を一致させることで、玉通過振動の発生を大幅に低減させることを特徴としている。
ここで、（１４）式と（１５）式に、（８）、（９）、（１２）、（１３）式を代入して整理すると、玉通過振動の低減の条件として次式が得られる。
【数１０】
（１６）式において、δ0、ｘAj、ｘBj、ｎを設計諸元として与え、さらにクラウニング量Ｃaを所定の値に仮設定すると、設定されたクラウニング量Ｃaに対するＣb、Ｃcが求められる。
ここで、図４にクラウニング形状の寸法を示すように、Ｃa，Ｃb，Ｃcは、ｘA1，ｘB1，ｘB2（又は、ｘA(n-1)、ｘBn，ｘB(n-1)）におけるクラウニング量となる。なお、図４におけるｘ＝±ｘsの位置は、スライダ本体２ａの転動体転動溝の直線部分とクラウニング部分１０ａ，１０ｂとの交点の座標を表す。即ち、ｘ＝±ｘsではクラウニング量が０となる。
【００３７】
以上より、スライダ本体２ａのクラウニング部分１０ａ（図中左側）では、図５に図４のＣ部拡大図を示すように、ＰL0（−ｘs，０），ＰL1（ｘA1，Ｃa），ＰL2（ｘB1，Ｃb），ＰL3（ｘB2，Ｃc）の４つのクラウニング形状座標点が玉通過振動の低減の条件式である（１６）式を満足することになる。また、スライダ本体２ａのクラウニング部分１０ｂ（図中右側）では、図６に図４のＤ部拡大図を示すように、ＰR0（ｘs，０），ＰR1（ｘA(n-1)，Ｃa），ＰR2（ｘBn，Ｃb），ＰR3（ｘB(n-1)，Ｃc）の４つのクラウニング形状座標点が（１６）式を満足することになる。
【００３８】
本実施形態においては、スライダ本体２ａ両端のクラウニングに対して、それぞれ上記のクラウニング形状座標点をべき関数で曲線近似させて、クラウニングの形状を定式化している。なお、（１６）式を満足する点の座標は、クラウニング量Ｃaの設定値に依存するため、クラウニング量Ｃaを微小量変化させて他のクラウニング量Ｃb及びＣcを求め、これらをべき関数を用いて曲線近似させることで求める。このような方法により、クラウニング量Ｃaをパラメータとしてクラウニング形状のクラウニング形状座標点を求め、べき関数を用いて曲線近似させた場合のクラウニング量Ｃjは、（１７）式で表される。
【００３９】
【数１１】
【００４０】
図７は、上記方法により決定されたクラウニング形状座標点ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3及びＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3に対し、べき関数で曲線近似した結果と、単一円弧形状に曲線近似した結果を示す図である。なお、クラウニング形状座標点ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3は、クラウニング形状座標点ＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3とそれぞれ同じクラウニング量であるため、図中の黒丸で示すクラウニング形状座標点は合計４点となっている。これらのクラウニング形状座標点をそのまま直線連結すると、滑らかな形状にならず、実際のクラウニングの加工が困難となる。そこで、上記４つのクラウニング形状座標点を通るように（１７）式を用いて曲線近似を行うが、この場合のクラウニング形状座標点の配置では近似結果に大きなうねりを生じる。このため、ＰL0（ＰR0）のクラウニング形状座標点に対しては通過し、ＰL1（ＰR1）とＰL2（ＰR2）とＰL3（ＰR3）のクラウニング形状座標点に対してはその近傍を通過するという条件で曲線近似を行った。その結果が図中実線で示す曲線である。また、従来行われてきた単一円弧形状（半径Ｒ＝１１００ｍｍ）のクラウニング形状も点線で示している。このように、べき関数を用いて曲線近似することにより、単一円弧形状に曲線近似した場合と比較してクラウニング形状座標点からのずれ量の総和を小さくできる。
【００４１】
次に、スライダ移動時におけるスライダの姿勢変化について説明する。
スライダ本体２ａが、図１に示す鉛直方向にｚa移動し、ピッチング方向にθ姿勢変化したとき、上側転動路７の転動体転動溝３ａ及び下側転動路８の転動体転動溝３ｂにおける番号ｊの玉の弾性変形量δUj，δLjは次式で与えられる。
【数１２】
【数１３】
ここで、ｘU1は上側転動路７における番号１の玉のＸ軸座標であり、ａ（０≦ａ＜１．０）は初期状態における上側転動路７及び下側転動路８の玉の位置関係を示す定数であり、上側転動路７と下側転動路８の玉の位置が玉径の１／２ずれているときにａ＝０．５となる。なお、上記（１８）式において、δUj＜０，δLj＜０となる場合は、δUj＝０，δLj＝０とする。
（１）式より上側転動路７及び下側転動路８における番号ｊの玉の垂直転動体荷重ＱUj，ＱLjは（２０）式で与えられる。
【数１４】
また、スライダ本体の鉛直荷重Ｆz及びピッチング方向のモーメントＭpは（２１）式で与えられる。
【数１５】
【数１６】
このように、（１８）式、及び（２０）、（２１）式を用いてスライダの姿勢変化ｚa、及びピッチング方向の角度θを計算することができる。即ち、（２２）式が成り立つようなｚa及びθを数値計算によって算出する。また、玉の移動距離をパラメータにとってＺa及びθを算出することによって、玉の移動距離と姿勢変化の関係を得ることができる。
【００４５】
ここで、図８は、前述のべき関数による曲線形状と、単一円弧形状のクラウニングによる玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図で、（ａ）は玉の移動距離に対するスライダの鉛直方向変位、（ｂ）は玉の移動距離に対するスライダのピッチング角変位を示している。ここで、玉の移動距離は、スライダが案内レール上を移動する際に転動体転動溝内で移動する玉の移動距離である。なお、ここでは、クラウニング長さＬcを６．４ｍｍとし、（１９）式における上側転動路７及び下側転動路８内の玉の位置関係を示す定数ａを０．５として計算している。
【００４６】
図８（ａ）によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングの方が、単一円弧形状のクラウニングより鉛直方向変位が低減されており、鉛直方向の玉通過振動の発生が低減されることがわかる。
また、図８（ｂ）によれば、単一円弧形状のクラウニングは大きな振幅のピッチング角変位を周期的に発生させているが、べき関数による曲線形状のクラウニングは、殆どピッチング角変位を生じさせていない。このように、ピッチング方向の玉通過振動の発生が大幅に低減されている。
【００４７】
以上説明したように、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法によれば、案内レール１及びスライダ２に形成された転動体転動溝に充填される玉の位置が、スライダ２の移動時に転動体転動溝毎に異なる場合でも、転動体６の玉通過振動を低減でき、スライダ２の姿勢変化も低減できるクラウニング形状を簡便にして決定することができる。これにより、転がり直動案内の運動精度を向上でき、高い精度が要求される部位に対して適用可能な転がり直動案内装置を、設計コストを抑えつつ安定供給することができる。また、離散されたクラウニング形状座標点のみ剛性の計算を行うため、クラウニング部分全体にわたって剛性の計算を行う必要がなく、計算負担を軽減しつつ、必要十分な精度でクラウニング形状を設定できる。
【００４８】
ここで、上記クラウニング形状の寸法等の諸条件を変更し、玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を説明する。
図９は、定数ａを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図で、（ａ）は鉛直方向変位、（ｂ）はピッチング角変位の振幅を、べき関数による曲線形状のクラウニングと単一円弧形状のクラウニングに対してそれぞれ示している。なお、この場合のクラウニング長さＬcは６．４ｍｍである。
【００４９】
この図によれば、上側転動路７と下側転動路８の玉の位置ずれがないａ＝０，１のときには振幅が０になり、位置ずれが最大となるａ＝０．５付近で振幅が大きくなる傾向が認められる。べき関数による曲線形状のクラウニングでは、ａ＝０．５付近で現れる鉛直方向の最大振幅が単一円弧形状のクラウニングより小さく抑えられ、特にピッチング角変位の振幅に対しては、ａの全領域にわたって大きく低減されている。このため、べき関数を用いて曲線近似したクラウニング形状の方が単一円弧形状の場合よりも玉通過振動の振幅を低減でき、玉の位置ずれに対する影響が少なくて済む。
【００５０】
図１０は、クラウニング長さＬcを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図で、（ａ）は鉛直方向変位、（ｂ）はピッチング角変位の振幅を、べき関数による曲線形状のクラウニングと単一円弧形状のクラウニングに対してそれぞれ示している。なお、この場合の定数ａは０．５としている。
この図によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングの方が、単一円弧形状のクラウニングより全体的に振幅が小さく抑えられており、べき関数の使用が玉通過振動の振幅を低減する上で有利となっている。また、べき関数によるクラウニング形状の長さＬcが６ｍｍのときに鉛直方向変位の振幅が最低となっている。
【００５１】
図１１は、クラウニング長さＬcを鉛直方向変位の振幅が最低となる６．０ｍｍとし、定数ａを０．５として、図８同様に玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
この図によれば、べき関数による曲線形状のクラウニングに対する鉛直方法変位が大きく低減されており、且つ、ピッチング角変位も小さいことから、このクラウニング形状に設計することで、玉通過振動の極めて小さい転がり直動案内装置が得られる。
【００５２】
次に、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法の第２実施形態を説明する。本実施形態の設計方法は、前述したクラウニング形状のクラウニング形状座標点を曲線近似する際、複数の曲線を組み合わせることで近似曲線を設定している。
図１２は、３つの異なる半径及び中心位置による円弧で形成したクラウニング形状を示している。即ち、スライダ本体の端部からＸ軸方向に沿って距離Ｌcまでの間に３種の円弧によってクラウニング形状を形成している。なお、各円弧の境界となる中間点ＰRO1（ｘR1，Ｈ1），ＰRO2（ｘR2，Ｈ2）は任意に設定している。
【００５３】
まず、クラウニング形状座標点ＰR0から中間点ＰRO1までの間は中心位置Ｏ0（Ｌ1／２−Ｌc，Ｒ0）の半径Ｒ0の円弧で形成し、中間点ＰRO1から中間点ＰRO2までの間は中心位置Ｏ1（ｘO1，ＨR1）の半径Ｒ1の円弧で形成し、中間点ＰRO2から最端点ＰRO3までの間は中心位置Ｏ2（ｘO2，ＨR2）の半径Ｒ2の円弧で形成している。
【００５４】
図１３に、３つの異なる円弧を組み合わせてクラウニング形状を形成した一例を示した。これによれば、異なる種類の３つの円弧を連続的に接続することにより、前述のべき関数により近似した曲線に殆ど一致した曲線形状が得られると共に、４つのクラウニング形状座標点に対するずれを一層小さく設定できる。従って、玉通過振動を防止するための最適位置であるクラウニング形状座標点により近いクラウニング形状にでき、スライド移動時の振動や姿勢変化を大きく低減できる。また、クラウニング形状の加工時においても、円弧形状に設定しておくことによりＮＣ加工機械等で容易に加工プログラムを生成でき、加工を行うことができる。
【００５５】
また、ここでは３つの異なる円弧を組み合わせた一例を示したが、必要に応じて任意の数の円弧を組み合わせることもできる。このように複数の円弧を用いてクラウニング形状を決定することで、クラウニング形状座標点の位置関係に応じてより適切なクラウニング形状を得ることができる。
【００５６】
上記各実施形態においては、玉を使用した転がり直動案内装置を用いて説明しているが、これに限らず、ローラ等の他の転動体を用いた転がり直動案内に対しても、また、玉同士の間にセパレータが挿入されたタイプの直動案内装置であっても同様の設計方法によりクラウニング形状を決定することができる。
なお、上記各実施形態においては、クラウニング部分に含まれる玉が、片側で２個の場合と１個の場合を言及しているが、これ以外の玉個数であっても同様な手法でクラウニング形状を決定できる。また、上記実施形態では、垂直方向とピッチング方向の剛性を検討することでクラウニング形状を決定しているが、垂直方向の代わりに水平方向、ピッチング方向の代わりにヨーイング方向（案内レール幅方向）の剛性を用いてもよく、同様な方法でクラウニング形状を決定することができる。
【００５７】
【発明の効果】
以上詳細に説明したように、本発明に係る転がり直動案内装置の設計方法によれば、少なくともスライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、または、スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性が略一定に保たれる形状に設定することにより、第１及び第２転動体転動溝内の転動体に生じる弾性変位量が、その配置位置によらずに略一定となり、スライダ移動時の転動体通過振動の発生が抑えられる。これにより、運動精度の高い転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
この転がり直動案内装置の設計方法によりクラウニング形状を設定することにより、高い運動精度の転がり直動案内装置を容易に設計することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明に係る転がり直動案内装置の概略構成を示す斜視図である。
【図２】図１のＡ−Ａ断面図である。
【図３】転動体転動溝のＢ−Ｂ断面の概念的矢視図である。
【図４】クラウニング形状の寸法を示す図である。
【図５】図４のＣ部拡大図である。
【図６】図４のＤ部拡大図である。
【図７】各クラウニング形状座標点に対し、べき関数を曲線近似した結果と、単一円弧形状に曲線近似した結果を示す図である。
【図８】べき関数による曲線形状と、単一円弧形状のクラウニングによる玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
【図９】定数ａを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図である。
【図１０】クラウニング長さを変化させたときの玉通過振動の振幅を計算した結果を示す図である。
【図１１】玉通過振動をシミュレーションにより求めた結果を示す図である。
【図１２】３つの異なる半径及び中心位置による円弧で形成したクラウニング形状を示す図である。
【図１３】３つの異なる円弧を組み合わせてクラウニング形状を形成した一例を示す図である。
【図１４】スライダの移動距離に対するピッチング角変位の測定結果を示す図である。
【図１５】上下２列の玉溝を有する転がり直動案内装置を示す図である。
【図１６】スライダのクラウニング形状を示す図である。
【符号の説明】
１ 案内レール
２ スライダ
３ａ，３ｂ 転動体転動溝
５ａ，５ｂ 転動体転動溝
６ 玉（転動体）
１０ａ，１０ｂ クラウニング部分
１００ 転がり直動案内装置
ＰL0，ＰL1，ＰL2，ＰL3，ＰR0，ＰR1，ＰR2，ＰR3 クラウニング形状座標点
Claims (8)
- 外面に第１の転動体転動溝を有して軸方向に延びる案内レールに、前記第１の転動体転動溝に対向する第２の転動体転動溝を有するスライダが遊嵌され、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間に転動体が装填されると共に、前記第２の転動体転動溝の軸方向両端にクラウニング部分を有する転がり直動案内装置の設計方法であって、
前記クラウニング部分の形状を、前記第１の転動体転動溝と前記第２の転動体転動溝との間の転動体が前記軸方向に移動しても、前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれる形状に設定することを特徴とする転がり直動案内装置の設計方法。 - 前記クラウニング部分の形状を、前記転動体転動溝間の転動体を前記スライダの軸方向中心位置に対して軸方向へ転動体を対称に振り分けたときに、前記軸方向中心位置に転動体が配置される状態と、前記軸方向中心位置に隣接する転動体同士間が配置される状態における前記スライダの垂直方向（鉛直方向）及びピッチング方向に対する剛性、若しくは、前記スライダの水平方向及びヨーイング方向に対する剛性、または、前記剛性のいずれもが略一定に保たれるように設定することを特徴とする請求項１記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 前記各状態で前記剛性が同一となる複数のクラウニング形状座標点をそれぞれ求め、該複数のクラウニング形状座標点に対する近似曲線を求めてクラウニング形状に設定することを特徴とする請求項２記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 前記近似曲線が、前記複数のクラウニング形状座標点のうち、少なくとも１点を通過し、他のクラウニング形状座標点に対しては、その近傍を通過する近似曲線であることを特徴とする請求項３記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 前記近似曲線が、ｆ（ｘ）＝ａwｘw（ａw、ｗは定数）なる型のべき関数であることを特徴とする請求項３又は請求項４記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 前記近似曲線が、複数の曲線を組み合わせて設定した曲線であることを特徴とする請求項３又は請求項４記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 前記近似曲線が、最小二乗法により近似した曲線であることを特徴とする請求項３〜請求項６のいずれか１項記載の転がり直動案内装置の設計方法。
- 請求項１〜請求項７のいずれか１項記載の転がり直動案内装置の設計方法を用いてクラウニング形状が設定されたスライダを備えていることを特徴とすることを特徴とする転がり直動案内装置。
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