JP4260768B2 - 高速フーリエ変換装置およびネットワークアナライザ - Google Patents

Description

この発明はたとえばネットワークアナライザ或いはスペクトラムアナライザなどの測定器に利用して好適な高速フーリエ変換装置に関し、特に離散的フーリエ変換を並列に実行する高速フーリエ変換装置に関する。

フーリエ変換技術、例えばＦＦＴ（ファーストフーリエトランスフォーム）は、ネットワークアナライザやスペクトラムアナライザ等の計測器において、素子の応答特性を分析したり、入力信号の周波数スペクトラムを分析する等のために、広く用いられている。例えば、そのようなフーリエ変換処理は、所定の時間間隅で測定して得られた時間領域データに用いられる。この時間領域データを周波数領域データに変換して、入力信号の周波数領域での周波数成分を分折し、あるいは周波数スペクトルを求めている。

これとは反対に、フーリエ変換処理により周波数領域のデータを時間領域データに変換することもあり、その場合は逆フーリエ変換とも呼ばれる。例えば、フィルタあるいは他の通信デバイスを測定する場合において、ネットワークアナライザにより、その被試験デバイスに周波数掃引信号を与え、その結果としての周波数領域の信号を、所定の周波数ステップ毎に測定する。この測定したデータに基づいて、ネットワークアナライザは、被試験デバイスの伝達関数、反射係数、位相変移、群遅延（グループデレー）、スミスチャート等の各種のパラメータを計算し表示する。

ネットワークアナライザはさらに、被試験デバイスの時間領域での応答、例えば時間軸反射特性（ＴＤＲ）を求めるために用いられることもある。その場合、被試験デバイスの伝達関数を示す周波数領域データが、逆フーリエ変換により時間領域データに変換される。この逆フーリエ変換処理の前に、周波数領域において、窓関数が伝達関数に乗ぜられることもある。これにより、被試験デバイスの時間領域での応答特性、例えばインパルス応答特性を、実際にそのデバイスにインパルスを印加することなく分析することができる。

このようなフーリエ変換の手法は基本的には、いわゆる難散的フーリエ変換に基づいており、被試験デバイスの応答は、一定間隔の連続的なサンプルにより得られる離散的ハーモニクスとして測定される。離散的フーリエ変換は多くの演算回数を要する。すなわちＮ個の測定点から得られた測定値を離散的フーリエ変換する場合、Ｎ²回の演算を必要とし、演算量が膨大になるため、全体としての演算に大きな時間が掛かる欠点があった。

この欠点を解消するために、ＦＦＴと呼ばれる高速フーリエ変換方法が、クーリとチューキイにより開発された。ＦＦＴは離散的フーリエ変換に要する演算回数を減少させるためのアルゴリズムであり、一般にコンピュータにより実行され、フーリエ変換の実行における冗長動作を除去することにより、演算回数を削減する。ＦＦＴによれば、Ｎ個のサンプルデータをフーリエ変換する場合の演算量は、Ｎｌｏｇ₂Ｎで表される。したがってＦＦＴは、難散的フーリエ変換より演算量を大幅に減少できるので、特に大量のデータを扱う場合には、従来の離散的フーリエ変換よりはるかに高速の処理ができる。

然しながら、このＦＦＴにも欠点がある。まずＦＦＴは取り扱うＮ個のデータ数が、２のべき乗であることを必要とするので、そのアプリケーションが制限されることがある。また他の重要の問題として、ＦＦＴはＮ個のサンプルデータの全てが揃わないと、フーリエ変換の演算を始められない特質を持っている。このため測定開始からフーリエ変換終了までに必要な時間は、図８に示すように測定時間Ｔ_MESに演算処理時間Ｔ_FFTを加えた Ｔ_MES＋Ｔ_FFTが、全体のフーリエ変換に要する時間になる。

一方ＦＦＴを発展させ、ＦＦＴより分解能よくフーリエ変換することができる、チャープＺ変換と呼ばれているフーリエ変換方法もある。このチャープＺ変換方法の他の利点は、データサンプルの数が２のべき乗であることを必要としないことである。このフーリエ変換手法は１９７５年発行のラビナーとゴールドによる「ディジタル信号処理の理論と応用」３９３ー３９８ページ、に記載されている。この変換方法は変換時間に限ってみるならば、ＦＦＴを３回繰返して結果を得る変換方法であるため、変換に要する時間は図９に示すように測定時間Ｔ_MESにＦＦＴの３倍の時間３Ｔ_FFTを加えた時間になる。すなわちチャープＺ変換は従来のＦＦＴにおいて必要な変換時間より長い変換時間を要する。

したがって、この発明の目的は、従来のフーリエ変換技術における問題を克服することができる、高速フーリエ変換方法と装置を提供することにある。この発明の他の目的は、測定時間Ｔ_MESを含めて従来のＦＦＴ手法より短時間にフーリエ変換の結果を得ることができる、高速フーリエ変換方法および装置を提案するものである。この発明のさらに他の目的は、サンプルデータを得ながらそれと同時に実時間的に離散的フーリエ変換プロセスを実行する、高速フーリエ変換方法および装置を提供することにある。この発明のさらに他の目的は、フーリエ変換式の各項について離散的フーリエ変換プロセスを並列的に実行する、高速フーリエ変換方法および装置を提供することにある。この発明のさらに他の目的は、フーリエ変換式の連続した複数項について離散的フーリエ変換プロセスを並列的に実行する、高速フーリエ変換方法および装置を提供することにある。この発明のさらに他の目的は、フーリエ変換式の単独項あるいは連続的な複数項について、離散的フーリエ変換プロセスを並列的に実行する高速フーリエ変換方法を用いた、ネットワークアナライザ装置を提供することにある。

本発明の高速フーリエ変換方法および装置は、本発明の出願人により新たに開発された、並列離散的フーリエ変換手法に基づいている。本発明の高速フーリエ変換は、複数のフーリエ変換式間の共通項の演算は、それに対応する順番のデータサンプルを基にして、他の共通項とは独立に実行できる、との事実に基づいている。フーリエ変換式の各項の総和が、最終的なフーリエ変換結果となる。本発明のフーリエ変換手法はまた、最近のディジタル処理デバイスの動作の高速化を利用して達成されている。また本発明の高速フーリエ変換方法および装置は、並列離散的フーリエ変換を実行する際に、継続する複数項についてまとめてフーリエ変換の演算をおこなうことにより、演算の冗長性を省き、計算回数を減少させている。

この発明の高速フーリエ変換装置は、データサンプルが得られる毎に、複数のフーリエ変換式の対応する共通項について変換演算をする、離散的フーリエ変換器により構成されている。その共通項は測定動作の開始から計数した、データサンプルの順番に対応している。本発明の高速フーリエ変換装置はさらに、この離散的フーリエ変換手段が演算した演算値を、複数のフーリエ変換式の項に対応して配列別に記憶する演算結果ファイルを有している。本発明の高速フーリエ変換装置はさらに、この演算結果ファイルに変換結果の配列別に記憶された演算値を、各変換結果の配列毎に加算し、複数のフーリエ変換式の最終的な変換結果を得るための、加算器を有している。

この発明による高速フーリエ変換装置によれば、例えば被試験デバイスに周波数掃引信号を入力する。この周波数掃引信号の所定の周波数間隔について、被試験デバイスの出力信号をＮ回測定して、サンプル数Ｎの周波数領域データを得る。Ｎ個のフーリエ変換式について、この測定プロセスにより得られたデータサンプルの取得順に対応する共通項について、離散的フーリエ変換を実行する。データサンプルの取得順は、例えばその測定プロセスの開始点を基準にした測定回数により規定する。フーリエ変換式の共通項についての演算プロセスは、取得したデータサンプルについて実時間で実行され、次のデータサンプルが得られる前に終了する。したがって、次の測定データサンプルが得られるまでに、離散的フーリエ変換式の共通なＮ項の演算が行われる。最近のディジタル信号処理デバイスの高速化により、アナログ掃引周波数発生器の各周波数間隔の時間より速く、共通なＮ項の離散的フーリエ変換演算が可能である。

よって最後の測定値が得られた時点では、その最後のＮ番目のフーリエ変換をするのみで、Ｎ個の測定データについて離散的フーリエ変換の全ての項の演算が完了する。得られた項別の演算結果を、フーリエ変換式の配列別に加算すれば、最終的なフーリエ変換結果を得ることができる。

結局この発明によれば、測定時間Ｔ_MESにフーリエ変換式中の１項分の演算処理に要する時間Ｔ_DFTを加えた Ｔ_MES＋Ｔ_DFTの時間により、全ての演算処理が終了する。フーリエ変換式中の１項分の演算処理に要する時間Ｔ_DFTは、各測定点間の時間△ｔより短いので、この発明によれば、測定データの取得終了とほぼ同時に最終的なフーリエ変換結果を得ることができる。本発明の他の実施例では、離散的フーリエ変換における計算の冗長性を省き、全体としての計算回数を減少させる手法を示している。以上のような本発明の目的と優位性は、以下の詳細な説明と添付した図面を参照して、より明らかになるであろう。

離散的フーリエ変換の演算式を用いてフーリエ変換をするフーリエ変換装置において、テストポイントについてテストデータが得られる毎に、データ番号を計数する測定回数計数器と、そのデータ番号で規定された、複数のフーリエ変換式間の共通項について、フーリエ変換演算を実行するフーリエ変換器と、このフーリエ変換器により得られた、複数のフーリエ変換式間の、共通項についてのフーリエ変換演算結果を記憶する演算結果ファイルと、演算結果ファイルに記憶した各演算値を、全てのフーリエ変換式が最終結果を示すように、加算する加算手段と、によって高速フーリエ変換装置を構成する。

また、上記の高速フーリエ変換装置で、Ｎ個のテストデータが上記フーリエ変換器に供給され、その各テストデータは実数部と虚数部を有し、上記複数のフーリエ変換式はＮ個の離散的フーリエ変換式により構成され、かつその各フーリエ変換式はＮ個の項を有するように構成してもよい。また、上記の高速フーリエ変換装置で、その演算結果ファイルは、上記複数のフーリエ変換式の全ての項に対応して、アレイ状に配置された上記演算結果を蓄積するための記憶領域を有するように構成してもよい。また、上記の高速フーリエ変換装置で、その演算結果ファイルは、上記複数のフーリエ変換式の数に対応した上記演算結果を蓄積するための記憶領域を有し、上記フーリエ変換により、そのフーリエ変換式の各項について得られた前回の演算結果に、新たな演算結果を加えることにより、上記演算結果の累計をその記憶領域に蓄積するように構成してもよい。

さらに、次のように構成してもよい。離散的フーリエ変換の変換式を用いてフーリエ変換するフーリエ変換装置において、各テストポイントについてテストデータが得られる毎に、データ番号を計数する測定回数計数器と、そのデータ番号で規定された、複数のフーリエ変換式間に共通な複数の項について、フーリエ変換演算を実行するフーリエ変換器と、このフーリエ変換器により得られた、複数のフーリエ変換式間の共通項の、フーリエ変換演算結果を記憶する演算結果ファイルと、演算結果ファイルに記憶した各演算値を、全てのフーリエ変換式が最終結果を示すように、加算する加算手段と、によって構成され、そのフーリエ変換式の上記複数の項における、計算の冗長分を除去して高速フーリエ変換装置を構成する。

また、上記高速フーリエ変換装置で、その複数の項は３項であり、上記複数のフーリエ変換式間に共通の３項についてフーリエ変換の演算が同時に実行されるように構成してもよい。また、上記の高速フーリエ変換装置で、Ｎ個のテストデータが上記フーリエ変換器に供給され、その各テストデータは実数部と虚数部を有し、上記複数のフーリエ変換式はＮ個の離散的フーリエ変換式により構成され、その各フーリエ変換式はＮ個の項を有し、上記フーリエ変換器は、上記複数のフーリエ変換式間に共通の３項についてフーリエ変換の演算を同時に実行するように構成してもよい。

さらに、次のように構成してもよい。Ｎ個のデータサンプルを連続的に生成するデータサンプリング装置と、そのデータサンプリング装置に接続され、Ｎ個のフーリエ項のうち受けたデータサンプルに対応する項について計算する項別フーリエ計算器と、その項別フーリエ計算器はそのデータサンプルを受けることにより動作し、この項別フーリエ計算器に接続され、その計算されたのフーリエ項を記憶するための項別フーリエ記憶装置と、その計算されたフーリエ項を加算して、そのＮ個の連続的データサンプルについてのフーリエ変換結果を生成するアキュームレータと、により高速フーリエ変換装置を構成してもよい。

さらに、次のように構成してもよい。被試験装置の応答特性を分析するためのネットワークアナライザにおいて、印加された信号に対する被試験装置の応答をあらわす信号をディジタルに変換する変換器と、その変換器に接続され、そのディジタル信号を周波数領域において処理して、その印加された信号に対する被試験装置の応答の、伝達関数を計算するための伝達関数アナライザと、その伝達関数アナライザはさらに、その計算された伝達関数に基づいて、その被試験装置のシミュレートされた信号に対する応答特性に対応する、周波数領域での信号を計算し、複数の離散的フーリエ変換（ＤＦＴ）式に共通する、周波数領域での少なくとも１つのデータサンプルについて、並列フーリエ変換動作を行う高速フーリエ変換器と、その高速フーリエ変換器はその周波数領域信号を受けるように接続され、その周波数領域信号を時間領域信号に実質的に実時間で変換し、その各離散的フーリエ式は得られた時間領域信号点に対応し、これらによりネットワークアナライザを構成してもよい。

また、上記のネットワークアナライザで、その高速フーリエ変換器は、複数の離散的フーリエ変換式に共通する複数の周波数領域データサンプルについて並列フーリエ変換動作を実施するように構成してもよい。また、上記のネットワークアナライザで、その複数の周波数領域データサンプルは３個であり、その複数の離散的フーリエ変換式間に共通の３データサンプルについて、フーリエ変換の演算を同時に実行するように構成してもよい。また、上記のネットワークアナライザで、その高速フーリエ変換器は、複数の離散的フーリエ変換式に共通する３個の連続した周波数領域データサンプルについて、並列フーリエ変換動作を実施するように構成してもよい。

図１にこの発明によるフーリエ変換装置の一実施例を示す。図１に示す実施例では、周波数帰引発振器１１から被試験回路１２に、周波数帰引信号が与えられる。被試験回路１２から出力される信号は、検波回路１３に入力される。検波回路１３は、被試験回路１２からの出力信号について、周波数帰引発振器１１の発振信号の周波数における、実数部と虚数部を検波する。この試験のための周波数はほぼ直流からマイクロ波周波数までの範囲で可能であり、特に無線周波数で動作する被試験対象に適している。よく知られているように、周波数帰引発振器１１は個別の固定周波数の信号を被試験回路に供給することもできる。ＡＤ変換器１９および２０は、検波回路１３からの実数部と虚数部の検波出力を受け、それらをディジタル信号に変換する。

ＡＤ変換器からのディジタルデータはフーリエ変換器１４に入力される。この入力データは、複素数測定値（以下測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)と称す）となっていおり、フーリエ変換器１４はこの入力データについて、高速の離散的フーリエ変換を行う。これにより周波数領域データがフーリエ変換（正式にはフーリエ逆変換）されて、時間領域のデータとなる。

周波数掃引発信器１１は図２に示すように、時間Ｔの経過と共に、発信周波数が周波数Ｆ１からＦ２まで直線的に増加する周波数掃引動作を行う。ＡＤ変換器は一定時間間隔△ｔ毎、したがって図２の一定周波数ステップ△ｆ毎にＡＤ変換を繰り返す。周波数掃引発振器１１の周波数掃引速度が一定のものであるとすれば、検波回路１３およびＡＤ変換器から得られる測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)は、一定の周波数間隔△ｆ毎に被試験回路１２の応答出力を測定した測定値と見ることができる。

この発明による高速フーリエ変換装置１４は、並列離散的フーリエ変換（ＰＤＦＴ）を行うものであり、入力手段１５例えばデータバッファと、信号処理装置としてのプロセッシングデバイス１６例えばディジタル信号プロセッサと、メモリ１７およ表示器１８例えばＣＲＴモニタとによって構成される。プロセッシングデバイス１６は，測定回数計数器１６Ａと、項別フーリエ変換器１６Ｂと、加算器１６Ｃとを有している。好ましくは、このプロセッシングデバイス１６は、テキサスインスツルメント社のディジタル信号プロセッサ、ＴＭＳ３２０Ｃ３０で構成される。メモリ１７は、項別フーリエ変換器１６Ｂの演算結果を記憶するための、演算結果ファイル１７Ａを有する。

図４及び図５は、離散的フーリエ変換に用いる演算式とメモリ１７に設けた演算結果ファイル１７Ａをあらわしている。時間領域データを周波数領域データに変換するための、離散的フーリエ変換の演算式は
Ｘ(n)＝１／ＮΣ_m=0 ^N-1ｘ(m)ｅｘｐ(-j2πn・m/N) ・・・・ （１）
周波数領域データを時間領域データに変換する場合は、
Ｘ(n)＝Σ_m=0 ^N-1ｘ(m)ｅｘｐ(j2πn・m/N) ・・・・ （２）
で表される。この図１の実施例では、周波数領域のデータを時間軸領域のデータに変換する場合について説明しているから、以下の説明は（２）式に基づいて説明することにする。この技術分野の通常の知識を有する者には、どちらの変換方向であっても、本発明の原理が適用できることは明らかであろう。

式２においてＸ（ｎ）はフーリエ変換した変換結果を示す。式２は図４に示すような複数の式に表すことができ、Ｘ（ｎ）は各時間領域の各ポイントをあらわすこととなる。各式の右辺は測定値ｘ（ｍ）（周波数領域データサンプル）が与えられた場合に、それに対応して演算する項の集合になっている。この発明の１つの特徴は、図４に示した複数の演算式において、測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)の１つが得られるごとに、図４に示す複数の演算式において、Ｎ個のフーリエ変換項の演算がなされることにある。

このフーリエ変換プロセスを実行するために、この発明では測定回数計数器１６Ａと、項別フーリエ変換器１６Ｂが設けられている。測定回数計数器１６Ａは、検波回路１３とＡＤ変換器を通して測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)が入力される毎に、その計数値を＋１して、測定データ数を計数する。項別フーリエ変換器１６Ｂは、測定回数計数器１６Ａのデータ番号に従って、演算式の項番号を特定し、その特定された項番号についてフーリエ変換の演算を実行する。この演算は図４の式の同じ位置の項について、すなわち同一欄について実行される。その演算結果はメモリ１７に設けた演算結果ファイル１７Ａに記憶される。

図５に演算結果ファイル１７Ａの内部の様子を示す。図中のラベルＡ_0,0,・・・Ａ_(N-1),(N-1)は、演算結果ファイル１７Ａに格納されるフーリエ演算式（図４）の各項を示す。図５の例において、ラベルＡの先の添え字は時間領域ポイントの順番を示し、後の添え字はデータサンプルの順番を示す。

１回目の測定値ｘ(0)がＡＤ変換器から入力されると、測定回数計数器１６Ａは測定回数ｎをｎ＝０に初期設定する。測定回数計数器１６Ａは、項別フーリエ変換器１６Ｂに、フーリエ変換式の第１項目を演算するように指示する。項別フーリエ変換器１６Ｂはその指示に従って、図４に示した演算式の第１項目の演算、ｘ(0)ｅｘｐ(j2π0・0/N), ｘ(0)ｅｘｐ(j2π1・0/N), ｘ(0)ｅｘｐ(j2π2・0/N), ...ｘ(0)ｅｘｐ(j2π(N-1)・0/N)を行う。各演算結果は図５の演算結果ファイル１７Ａの配列変数部分Ａ_0,0,Ａ_1,0,Ａ_2,0,・・・・Ａ_N-1,0に記憶される。

２回目の測定値ｘ(1)がＡＤ変換器から入力されると、測定回数計数器１６Ａは、このデータが２回目測定データであることを示すために、測定回数ｎをｎ＝１に設定する。これと共に測定回数計数器１６Ａは、項別フーリエ変換器１６Ｂに、フーリエ変換式の第２項目を演算するように指示する。これにより項別フーリエ変換器１６Ｂはその指示に従って、図４に示した演算式の第２項目の演算、すなわちｘ(1)ｅｘｐ(j2π0・1/N), ｘ(1)ｅｘｐ(j2π1・1/N), ｘ(1)ｅｘｐ(j2π2・1/N), ...ｘ(1)ｅｘｐ(j2π(N-1)・1/N)を行う。各演算結果は図５の演算結果ファイル１７Ａの配列変数部分Ａ_0,1,Ａ_1,1,Ａ_2,1,・・・・Ａ_N-1,1に記憶される。

このように、この発明ではＡＤ変換器がＡＤ変換した測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)を出力する毎に、各項毎にフーリエ変換する。好ましい実施例では次の測定値が入力されるまでの間（△ｔの時間内）に、各項毎の演算が済んでいるので、最後の測定値ｘ(N-1)が入力された時点では、最後の項の演算だけを行えばよい。この演算結果は図５の演算結果ファイル１７Ａに記憶される。最後に加算器１６Ｃにより、演算結果ファイル１７Ａに記憶した各演算結果を加算して、各フーリエ変換式の変換結果Ｘ(0)、Ｘ(1), ...Ｘ(N-1)を求める。フーリエ変換の最終結果は、表示器１８により、数値列或いはグラフ等の形態で表示させることができる。

好ましい実施例では、この各項別のフーリエ変換は、検波回路１３やＡＤ変換器１９における測定時間間隔△ｔの範囲内で終了する。したがって、この発明による高速フーリエ変換装置１４のフーリエ変換に要する時間は、図６に示すように、測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)の全体の測定時間Ｔ_MESに、項別フーリエ変換器１６Ｂの最後の項の演算処理時間Ｔ_DFTを加えた時間Ｔ_MES＋Ｔ_DFTで済むことになる。

項別フーリエ変換器１６Ｂの演算時間Ｔ_DFTは、測定点数Ｎを例えば２００点とした場合、５０ＭＨｚのクロック周波数で動作するＤＳＰ（ディジタル・シグナル・プロセッサ）を用いたとすると、約２００μｓで各項の演算を処理することができる。従って、周波数掃引発振器１１の掃引ステップ時間△ｔを約１ｍｓとし、ＡＤ変換器の変換速度をこのステップ時間に適合するようにすると、図６に示すように，測定値ｘ(0)，ｘ(1)，ｘ(2)・・・・ｘ(n-1)が入力される測定時間間隔△ｔの範囲で、十分にフーリエ変換式の各項の演算をすることができる。

このように一般に入手できるＤＳＰを用いると、項別フーリエ変換器１６Ｂの共通項についての演算時間Ｔ_DFTは、例えば２００マイクロセカンドであり、掃引信号発振器のステップ時間例えば１ミリセカンドより十分に短い時間で実行できる。したがって、本発明によれば、全体のフーリエ変換に要する時間は、図６に示す測定時間Ｔ_MESにほぼ等しい時間となる。したがって、本発明のフーリエ変換装置および方法では、従来のＦＦＴより高速に変換できる。

尚、上記の実施例では、フーリエ変換に用いる演算式の項番号に等しい数の配列変数部分Ａ_0,0...Ａ_(N-1),(N-1)を、演算結果ファイル１７Ａに設けた例を示したが、他のデータ蓄積管理方法も可能である。例えば各項別フーリエ関数の演算を行う毎に、過去に演算した演算結果に今回演算して得られた演算結果を加える方法を採ることもできる。この場合には、図７に示すように、演算結果ファイル１７Ａのメモリ配置は、Ａ₀,Ａ₁,Ａ₂,・・・・Ａ_N-1のように一方向のアレー構造でよく、そこにＮ個のフーリエ変換式の各フーリエ項の和を格納する。

本発明の第２の実施例について以下に説明する。この実施例においては、継続する複数のデータ点について、まとめて離散的フーリエ変換の演算を行う。この発明においては、継続する複数のフーリエ項の演算において存在する冗長性に注目することにより、全体としての演算数を減少させることができる。上記の式２におけるｅｘｐ(j2πn・m/N)をＷn:m に簡略して置き換えると、図４の離散的フーリエ変換式は以下のように表現される。
X(0)=x(0)W_0:0+x(1)W_0:1+x(2)W_0:2+...+x(N-1)W_0:N-1
X(1)=x(0)W_1:0+x(1)W_1:1+x(2)W_1:2+...+x(N-1)W_1:N-1
X(2)=x(0)W_2:0+x(2)W_2:1+x(2)W_2:2+...+x(N-1)W_2:N-1

.
X(N-1)=x(0)W_N-1:0+x(1)W_N-1:1+x(2)W_N-1:2+...+x(N-1)W_N-1:N-1
...(3)
フーリエ変換を実行するために、フーリエ変換式の各項、例えば最初の式におけるｘ(2)Ｗ_0:2について８回の計算が必要である。その理由は以下である。２つの複素数のかけ算は以下のようにあらわされる。
（ａ＋ｊｂ）（ｃ＋ｊｄ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋ｊ（ａｄ＋ｂｃ） ...(4)
それは４回のかけ算と２回の足し算により構成さていることがわかる。フーリエ変換式では、さらにこの計算結果の実部と虚部を、その前の計算結果の実部と虚部にそれぞれ累積するための計算が２回必要である。したがって、変換式の１の項について、合計で８回の計算が必要であることになる。

離散的フーリエ変換に要する計算回数を減少させるために、３個の継続する項について、まとめて計算する場合を考える。式３における継続する３項を一般的な形式であらわすと以下のようになる。

この式５は以下のように変形できる。

複素共役数を添え字＊であらわすとＷ_n:-1＝Ｗ_n:1 ^* の関係が成り立つので、上記式６は以下のように書き換えられる。

式７の表現を実数部と虚数部の和の形式に変換すると、例えば式７中の第５行の部分は以下のようにあらわされる。
W_n:n{W_n:1 ^*x(n-1)+x(n)+W_n:1x(n+1)}
...(8)
説明の簡単のため、式８の表現において、データｘ中のｎを省略すると、式８は以下のように書き換えられる。
W_n:n{W_n:1 ^*x_-1+x₀+W_n:1x₊₁}
...(9)
式９を実数部と虚数部の和の形式に展開すると以下のようになる。

ここで、x_+r=x_-1r+x_+1r,
x_+i=x_-1i+x_+1i, x_-r=x_-1r-x_+1r,
x_+i=x_-1i-x_+1iの置き換えを式１０について行うと以下のようになる。
W_n:n{x_0r+W_n:1rx_+r+W_n:1ix_-i+j(x_0i+W_n:1rx_1i-W_n:1ix_-r)}
...(11)
したがって式７の全体を式１１のような実数部と虚数部の和の形式に当てはめると以下のようになる。
W_0:n{x_0r+W_0:1rx_+r+W_0:1ix_-i+j(x_0i+W_0:1rx_1i-W_0:1ix_-r)}

W_1:n{x_0r+W_1:1rx_+r+W_1:1ix_-i+j(x_0i+W_1:1rx_1i-W_1:1ix_-r)}

.
W_n-1:n{x_0r+W_n-1:1rx_+r+W_n-1:1ix_-i+j(x_0i+W_n-1:1rx_1i-W_n-1:1ix_-r)}

W_n:n{x_0r+W_n:1rx_+r+W_n:1ix_-i+j(x_0i+W_n:1rx_1i-W_n:1ix_-r)}

W_n+1:n{x_0r+W_n+1:1rx_+r+W_n+1:1ix_-i+j(x_0i+W_n+1:1rx_1i-W_n+1:1ix_-r)}
.
W_N-1:n{x_0r+W_N-1:1rx_+r+W_N-1:1ix_-i
+j(x_0i+W_N-1:1rx_1i-W_N-1:1ix_-r)}
...(12)
式１２のカッコ｛ ｝において、必要な計算回数は４回のかけ算と４回の足し算であることがわかる。この計算が完了すると、式１２は上述の式４と同じ形式となり、その計算には上記のように、４回のかけ算と２回の足し算が必要である。さらにこの計算結果の実部と虚部を、それまでに得られた計算結果の実部と虚部にそれぞれ累積するための計算が２回必要である。したがって、式１２の継続する３項の演算回数は、全体として１６回となる。式４で述べたように、並列離散的フーリエ変換の動作において、何らの簡略化がなされないとすれば、各変換式の３項について計２４回の計算が必要であった。継続した３項について上記のような演算がなされると、次の継続する３項について同様に演算が実行され、この計算プロセスを３項毎に繰り返す。

本発明の第３の実施例を以下に説明する。上記の第２の実施例における継続する３項の演算の説明において、Ｗ_N-m:n＝Ｗ_m:n ^*であるので、以上のような計算の簡略化に加えて、さらに計算回数を減少させることができる。例えば式１２の最後の行は以下のように変換できる。
W_1:n ^*{x_0r+W_1:1rx_+r-W_1:1ix_-i+j(x_0i+W_1:1rx_1i+W_1:1ix_-r)}
...(13)
また式１２の２番目の行は以下のように変換できる。
W_1:n{x_0r+W_1:1rx_+r+W_1:1ix_-i+j(x_0i+W_1:1rx_1i-W_1:1ix_-r)}
...(14)
式１３と式１４を比較すると、互いに６個の共通な演算を有することがわかる。したがって、例えば式１３の計算が完了すると、その中の演算で式１４と共通なものは式１４の計算の際には実行する必要がない。このような関係は、他の一対の式間にも同様に当てはまるので、計算回数をさらに減少させることができる。この例では２つの式の間で、６個の共通な演算があるので、１つの式については３回の計算回数を省略でき、したがって１の式全体として１３回の計算でよいことになる。したがって、本発明の第１の実施例では、３項についての計算回数が２４回必要であったが、この第３の実施例では計算回数が２４回から１３回へと、大きな減少を実現できる。

本発明の第４の実施例を以下に説明する。上述した高速フーリエ変換装置を、図１０の概略図に示すようなネットワークアナライザに有効に適用することができる。周波数掃引発生器のような高周波信号源３１は、被試験デバイス３２に周波数掃引信号を与える。周波数掃引は例えば図２に示すようなステップ掃引であり、多数の周波数ステップにより実質的に直線的な周波数変化がなされる。周波数ステップ数（測定点）は、前記した離散的フーリエ変換のデータ点の数Ｎに対応する。高周波信号源３１はまた、基準信号Ｒを発生する。例えば基準信号Ｒは、被試験デバイス３２に与えられる周波数掃引信号と同一であり、振幅や位相の基準として用いられる。

被試験デバイス３２の出力信号（試験信号）は、周波数変換器３３に印加される。この例においては、周波数変換器３３は、被試験デバイス３２から方向性結合器や方向性ブリッジ（図示せず）を通して、２つの試験信号ＡおよびＢを受ける。２つの試験信号の例としては、被試験デバイス３２からの、伝達信号と反射信号がある。周波数変換器３３はさらに、高周波信号源３１からの基準信号Ｒを受ける。周波数変換器３３はこれらの入力信号Ａ、Ｂ、Ｒを、対応する中間周波試験信号ＡI、ＢI、および中間周波基準信号ＲIに変換する。この周波数変換は既知のプロセスによりなされ、例えば周波数ミキサあるいはハーモニックサンプラにより、入力された信号周波数をローカル信号周波数との差となるようにダウンコンバートする。

ＡＤ変換器３４ー３６は対応する中間周波信号ＡI、ＢI、ＲIを受け取り、その中間周波信号をディジタル信号に変換して、マルチプレクサ３８に与える。マルチプレクサ３８はディジタル信号を選択的に検波器４１に与える。検波器４１は例えばディジタル直交検波器である。検波器４１は入力ディジタル信号の同相（Ｉ）成分（実数部）と、９０度差（Ｑ）成分（虚数部）を検波する。当業者によく知られているように、そのような直交検波器は一対のマルチプレクサを有し、一方のマルチプレクサは、入力ディジタル信号とコサインローカル信号をかけ算し、他方のマルチプレクサは、入力ディジタル信号とサインローカル信号をかけ算する。さらに一対のローパスフィルタが、対応するマルチプレクサの出力に接続される。

伝達関数アナライザ４２は、ディジタル直交検波器４１からＩ成分とＱ成分をそれぞれ受け取り、被試験デバイス３２の各種の応答特性、例えば伝達関数や反射係数を分析する。典型的にはそのような応答特性は、周知のスキャッタリング（Ｓ）パラメータＳ11，Ｓ12，Ｓ21，Ｓ22によりあらわされる。スキャッタリングパラメータを、メモリ４５に格納された誤差補正データにより、誤差補正することができ、その結果は表示器４８上に、周波数領域の形式（周波数対各パラメータ）で表示される。

もしさらに使用者が、被試験デバイスの時間領域での、仮想的信号についての応答を、求めることを望む場合のために、ネットワークアナライザは、窓関数発生器４３と多項並列離散的フーリエ変換器（ＰＤＦＴ）４４を有している。時間領域での応答の例としては、仮想インパルス信号に対する被試験デバイスの時間領域反射特性（タイムドメインリフレクトメトリ：ＴＤＲ）がある。使用者によりインターフェイス５１を経由して与えられたインストラクションに応答して、伝達関数アナライザ４２により得られた周波数領域データは、窓関数発生器４３により変更される。窓関数の例としては、方形ウィンドウやハミングウィンドウがある。例えば適切なハミングウィンドウを周波数領域に用いると、時間領域におけるリンギングを効果的に除去することができる。

周波数領域における窓関数に対応する、時間領域でのインパルス波形例を、図１１（Ａ）および図１１（Ｂ）に示す。１１（Ａ）は周波数領域における窓間関数が、方形ウィンドウである場合の、時間領域のインパルス波形を示す。図１１（Ｂ）は周波数領域における窓間関数が、ハミングウィンドウである場合の、時間領域のインパルス波形を示す。したがって例えば、周波数領域でハミングウィンドウを伝達関数に乗ずることにより、被試験デバイスに、図１１（Ｂ）のインパルスを仮想的に与えた場合に対応する、時間領域での波形を得ることができる。

窓関数発生器４３は、伝達関数アナライザ４２から得られた、周波数領域のデータを用いて、被試験デバイスの仮想信号に対する時間領域での応答特性を、指定された窓関数により求める。その結果えられた時間領域での応答特性は、表示器４８により表示される。多項並列離散的フーリエ変換器４４は、基本的には図１の高速フーリエ変換装置１４と同じ構成を有しており、上記の各実施例において説明した逆フーリエ変換動作を行う。この並列離散的フーリエ変換器４４で必要な計算回数は、上述したようにフーリエ変換式の複数項中の、計算の冗長分を考慮することにより、減少させることができる。したがって、本発明の高速離散的フーリエ変換装置をもちいることにより、本発明のネットワークアナライザは、被試験デバイスの時間領域での応答特性を、実質的にリアルタイムで求めることができる。

さらに当技術分野でよく知られているように、伝達関数にベクトル誤差補正をほどこして、ネットワークアナライザの周波数変換器や他のコンポーネントにより生じた誤差を補正することができる。また時間領域で得られた出力に直接的に時間軸でのゲートを与え、あるいは周波数領域で得られた出力に、周波数軸でのゲートをコンボリューションにより与えてもよい。

また、上記では周波数領域データを時間領域データに変換する場合について説明したが、時間領域データを周波数領域データにと変換する場合にも、この発明による高速フーリエ変換装置を同様に用いることができることは容易に理解できよう。さらに、上述の各実施例は説明の便宜上の例として用いられているものであり、本発明の範囲を限定することを意図するものではない。特許請求範囲に記載された、本発明の技術的範囲を逸脱することなく、さまざまな変形や変更ができることが理解されるであろう。

本発明は、上述の説明内容から、下記に記載される効果を奏する。この発明によれば、測定時間Ｔ_MESにフーリエ変換式中の１項分の演算処理に要する時間Ｔ_DFTを加えたＴ_MES＋Ｔ_DFTの時間により、全ての演算処理が終了する。フーリエ変換式中の１項分の演算処理に要する時間Ｔ_DFTは、各測定点間の時間△ｔより短いので、この発明によれば、測定データの取得終了とほぼ同時に最終的なフーリエ変換結果を得ることができた。本発明の他の実施例では、離散的フーリエ変換における計算の冗長性を省き、全体としての計算回数を減少させる手法を実現できた。

この発明による高速フーリエ変換装置の基本的実施例を示すブロック図。 図１に示した高速フーリエ変換装置の周波数掃引信号を示す概念図。 図１に示した高速フーリエ変換装置により得られた周波数領域データの例を示す概念図。 この発明で用いる離散的フーリエ変換の演算式を説明するための概念図。 この発明による演算結果ファイルのデータ例を示す概念図。 この発明による高速フーリエ変換装置の動作タイミングを示すためのタイミングチャート。 この発明の変形実施例による演算結果ファイルのデータ例を示す概念図。 従来のＦＦＴ技術の動作を説明するためのタイミングチャート。 従来のチャープＺ変換の動作を説明するためのタイミングチャート。 この発明の高速フーリエ変換装置を用いたネットワークアナライザの構成例を示すブロック図。 図１１（Ａ）および図１１（Ｂ）は、それぞれ周波数領域における窓関数に対応する時間領域でのインパルス波形例を示す図。

符号の説明

１１ 周波数掃引発振器
１２ 被試験回路
１３ 検波回路
１４ 高速フーリエ変換装置
１５ 入力手段
１６ 信号処理装置
１６Ａ 測定回数計数器
１６Ｂ 項別フーリエ変換器
１６Ｃ 加算器
１７ メモリ
１７Ａ 演算結果ファイル
１８ 表示器
３１ 高周波信号源
３２ 被試験デバイス
３３ 周波数変換器
３４ ＡＤ変換器
３５ ＡＤ変換器
３６ ＡＤ変換器
３８ マルチプレクサ
４１ 検波器
４２ 伝達関数アナライザ
４３ 窓関数発生器
４４ 並列離散的フーリエ変換器
４５ メモリ
４８ 表示器
５１ インターフェイス

Claims (2)

1. Ｎ個のデータx(m)（ただし、Ｎは２以上の整数であり、mは０以上Ｎ−１以下の整数）に基づき、前記データx(m)に、ｍに基づき定められる所定の係数を乗じたものの和である結果データX(n)（ただし、nは０以上の整数）を導出する高速フーリエ変換装置であって、
   一個のデータx(m)が得られる毎に、全ての結果データX(n)について、得られたデータx(m)に前記所定の係数を乗じるフーリエ変換器と、
   前記フーリエ変換器の演算結果を、前記結果データX(n)の各々について合計する合計手段と、
   を備え、
   前記合計手段が、
   任意の結果データX(n1)（ただし、n1はnのなかの一つの値）に関して、三個のデータx(m1)、x(m1+1)、x(m1+2)（ただし、m1はmのなかの一つの値）について合計（「第一の合計」という）を完了すると、
   他の結果データX(n2)（ただし、n2はnのなかの一つの値であって、n1以外の値）に関して、三個のデータx(m1)、x(m1+1)、x(m1+2)についての合計（「第二の合計」という）を求め、
   前記第一の合計は、所定の複素成分に、第一複素数と第二複素数との和を乗じたものであり、
   前記第二の合計は、前記第一複素数から前記第二複素数を減じたものを、前記所定の複素成分の共役複素数に乗じたものであり、
   前記第一の合計を求める際に使用した前記第一複素数の実部および虚部と前記第二複素数の実部および虚部とを、前記第二の合計を求める際に使用する、
   高速フーリエ変換装置。
2. 被試験装置の応答特性を分析するためのネットワークアナライザにおいて、
   印加された信号に対する被試験装置の応答をあらわす信号をディジタルに変換する変換器と、
   該変換器に接続され、該ディジタル信号を周波数領域において処理して、該印加された信号に対する被試験装置の応答の、伝達関数を計算し、該計算された伝達関数に基づいて、該被試験装置のシミュレートされた信号に対する応答特性に対応する、周波数領域での信号を計算する伝達関数アナライザと、
   該周波数領域信号を受け、該周波数領域信号を時間領域信号に変換する請求項１に記載の高速フーリエ変換装置と、
   を備え、
   該各離散的フーリエ式は得られた時間領域信号点に対応する、
   ネットワークアナライザ。

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