JP4172621B2 - ロッドレンズアレイの製造方法 - Google Patents
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイに関するものである。更に詳しく述べると本発明は、レンズ素子の列数Ｎと像の重なり度ｍの相関に着目して、それらの値の関係を規定することによって最少のレンズ列数で効率（明るさ）を向上できるロッドレンズアレイの製造方法に関するものである。この技術は、スキャナー等の読み取り系、あるいはＬＥＤプリンタ等の書き込み系など、線走査方式の光学系をもつ画像形成装置に有用である。
【０００２】
【従来の技術】
ロッドレンズアレイは、半径方向に屈折率分布をもつロッド状のレンズ素子を多数平行に整列配置し、例えば間隙に黒色シリコーン樹脂を含浸充填することにより結合一体化した構造の光集束性のレンズ部品である。このロッドレンズアレイは、隣り合ったレンズ素子の作る像の重ね合わせとして全体で１個の連続した正立等倍実像を結ぶように設計される。光路長が短く反転ミラーが不要であるため装置を小型化できる特徴があり、そのためスキャナーやプリンタなどの線走査用光学系において画像形成装置として多用されている。
【０００３】
このような線走査光学系で使用するロッドレンズアレイでは、通常、明るさよりも解像度を重視して、ｍ値（像の重なり度）がやや大きめの値となるように設定している。しかし用途によっては明るさをできるだけ確保したい場合もあり、その場合における画像のむらの悪化は電気的に光量や感度を補正することで改善している。その場合でも、周期光量むらを低く抑える上で都合の良いｍ値となるレンズアレイを採用している。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
上記のように、線走査方式の光学系で使用する場合には、ロッドレンズアレイは、そのｍ値が大きくなるほど同じレンズ列数では暗くなる。従来技術では、使用しているロッドレンズアレイが光量の点で十分に有利な設計になっていないために、光源、センサ／感光ドラム等への負担が大きくなっており、システムとしての処理速度（スキャナーなどにおける読み取り速度やプリンタなどにおける印刷速度）が狙い通りに向上していない。
【０００５】
本発明の目的は、作動距離・共役長などディメンジョン上の制約を前提に、光量の点で有利な構造のロッドレンズアレイの製造方法を提供することである。本発明の他の目的は、明るさと画像むらがある程度両立可能な多列のロッドレンズアレイの製造方法を提供することである。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ（但しＮは８以下）、像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（２８−Ｎ）／（９−Ｎ）｝1/2 ／４
及びＮ≦８
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００７】
また本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（５８−Ｎ）／（１９−Ｎ）｝1/2 ／４
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００８】
更に本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００９】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 −０．１≦ｍ≦｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 ＋０．１
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【００１０】
これらのロッドレンズにおいて、明るさと画像むらをある程度両立させる上では、レンズ列数を６以上とすることが好ましい。
【００１１】
あるいは本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、レンズ列数Ｎは２以上で且つ７以下であって、レンズ列数Ｎに応じて、
Ｎ＝２の場合は、ｍ値が０．６１〜１．３２
Ｎ＝３の場合は、ｍ値が１．３２〜１．５０
Ｎ＝４の場合は、ｍ値が１．５０〜２．１８
Ｎ＝５の場合は、ｍ値が２．１８〜２．３７
Ｎ＝６の場合は、ｍ値が２．３７〜３．０４
Ｎ＝７の場合は、ｍ値が３．０４〜３．２４
を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【００１２】
【発明の背景】
単一の屈折率分布型ロッドレンズが作る像の照度分布Ｅ（ｘ，ｙ）は、図１に示すような回転放物面
Ｅ（ｘ，ｙ）＝（Ｅ0 ／ｘ0 ）・｛ｘ0 2−ｘ2 −ｙ2 ｝1/2
で表され、Ｅ−ｘ平面では放物線となる。このロッドレンズを１列直線状に配列したロッドレンズアレイの照度分布は、図２に示すように、断面が放物線の柱状モデルで表すことができる。このときの照度分布を球面レンズの像面照度と比較して等価Ｆ値を求めると、
Ｆ＝（ｍ／２π）1/2 ・（１／θ0 ）
となる。但し、ｍは像の重なり度、θ0 は開口角（rad ）である。
【００１３】
Ｎ列（Ｎは２以上の整数）のレンズアレイの照度分布については、図３に示すように上記放物線分布の重ね合わせで表すと、線走査方式の場合の等価Ｆ値は、次式で与えられる。
Ｆ＝｛ｍ／（２πＫN ）｝1/2 ・１／θ0 …（１）
ここで、ＫN は列数Ｎによって異なる値であり、以下の式で与えられる。
Ｋ1 ＝１
Ｋ2 ＝２−３／（８ｍ2 ）
Ｋ3 ＝３−３／（２ｍ2 ）
Ｋ4 ＝４−１５／（４ｍ2 ）
：
ＫN ＝Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍ2 ） …（２）
【００１４】
以上のことから、等価Ｆ値を用いてレンズ列数に応じて好ましいｍ値の範囲を規定することができる。しかし、応用上、より直接的に、光量の最小値を保証したい場合もある。そのような場合には、回転楕円体の光量分布を実際に重ね合わせて光量分布を求め、光量分布中における光量の最小値の観点から各レンズ列数におけるｍ値の範囲を規定すればよい。
【００１５】
【発明の実施の形態】
図４は、開口角θ0 ＝２２．７°の２〜１２列ロッドレンズアレイについて、線走査方式の場合の重なり度ｍに対する線走査等価Ｆ値の変化の計算結果を示したものである。等価Ｆ値は、「１列アレイ厚さ方向の光量分布を長手方向に一様な放物線分布とし、その重ね合わせとして多数列アレイの光量分布を求め、中心の照度から換算する」ことで求めた。なお、図４は上記のように、開口角θ0 ＝２２．７°についてのものであるが、他の開口角に対しても、絶対値がその逆比で変わるのみで、各列数に対する曲線同士の交点位置（ｍ値）は変わらない。
【００１６】
本発明は、多数の屈折率分布型のロッドレンズが複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイであり、上記のような技術的背景に基づきレンズ列数Ｎと像の重なり度ｍの関係を規定したものである。
【００１７】
図４に示す各Ｆ−ｍ曲線において、Ｎ−１列とＮ列、Ｎ列とＮ＋１列の交点を求める。前記（１）式より、同一レンズ素子を用いたレンズアレイにおいて、Ｎ列とＮ＋１列とで同一ｍ値に対してＦ値が等しくなる条件は、
ＫN ＝ＫN+1 …（３）
である。そこで（２）式を（３）式に代入して、
Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍN+1 2）＝Ｎ＋１−Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／（１６ｍN+1 2）
３Ｎ（Ｎ＋１）／１６ｍN+1 2＝１
∴ｍN+1 ＝｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2 …（４）
同様にして、Ｎ−１列とＮ列とでＦ値が等しくなるｍ値は、
ｍN-1 ＝｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 …（５）
（４）式及び（５）式より、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
を満たすｍ値とＮ列の組み合わせが、「各ｍ値に対して光量の点で最適な（必要最低限の）列数のロッドレンズアレイ」または「各列数のロッドレンズアレイが光量の点で最適であるｍ値範囲」を与えることになる。
【００１８】
次に、できるだけレンズ列数を少なくするという観点から、上記ｍ値の範囲を拡げて、「光量がＮ＋１列の１００α％（但し０＜α＜１）までＮ列で済ます」ことを考える。同一レンズ素子及び同一ｍ値で列数が違うレンズアレイ同士の光量比は、（１）式及び「光量はＦ-2に比例する」ことにより、ＫN の比で与えられる。よって、Ｎ列レンズアレイの光量がＮ＋１列レンズアレイの光量の１００α％となる重なり度をｍN+1 ′とすると、（２）式より、
Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍN+1 ′2 ）＝α｛Ｎ＋１−Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／（１６ｍN+1 ′2 ）｝
∴ｍN+1 ′＝［Ｎ（Ｎ＋１）・｛α（Ｎ＋２）−（Ｎ−１）｝／｛α（Ｎ＋１）−Ｎ｝1/2 ／４ …（６）
となる。
【００１９】
（ケースＡ）
光量減少を１列多いレンズ列数の光量の１０％まで許容するとすると、ｍ値と列数Ｎとの関係は、前記（６）式でα＝０．９とおいて、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（２８−Ｎ）／（９−Ｎ）｝1/2 ／４
となる。
【００２０】
（ケースＢ）
光量減少を１列多いレンズ列数の光量の５％まで許容するとすると、ｍ値と列数Ｎとの関係は、前記（６）式でα＝０．９５とおいて、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（５８−Ｎ）／（１９−Ｎ）｝1/2 ／４
となる。
【００２１】
（ケースＣ）
ｍ値範囲に対して最も光量が大きくなる最少のレンズ列数は、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
となる。これは、前記（６）式でα＝１の場合に相当する。
【００２２】
ケースＡ，Ｂは、できるだけ少ない列数で済ませることを意図したもので、ケースＡは１０％程度以内、ケースＢは５％程度以内の照度の向上を光源（例えばＬＥＤアレイ）側の出力増加によって比較的容易に補える範囲として設定している。ケースＣは、Ｆ−ｍ曲線の交点そのものから範囲を定めるものである。各範囲の下限、上限の数値を表１に示す。
【００２３】
【表１】
【００２４】
更に、各レンズ列数に対するＦ−ｍ曲線の極小値を求める。（１）式より
Ｆ2 ＝１／（２πθ0 2）・（ｍ／ＫN ）
であり、これをＡ・ｇ（ｍ）とおく。但し、Ａ＝１／（２πθ0 2）である。
ここで、（２）式より
ｇ（ｍ）＝ｍ／ＫN ＝１６ｍ3 ／｛１６Ｎｍ2 −（Ｎ−１）・Ｎ・（Ｎ＋１）｝ｄｇ（ｍ）／ｄｍ＝１６Ｎｍ2 ｛１６ｍ2 −３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）｝／｛１６Ｎｍ2 −（Ｎ−１）・Ｎ・（Ｎ＋１）｝2
ｄｇ（ｍ）／ｄｍ＝０より、ｇ（ｍ）、即ちＦが極小となる重なり度ｍ0 は、
ｍ0 ＝｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 …（７）
と求められる。これが、各列数のレンズアレイで光量の点で最も有利なｍ値である。
【００２５】
（ケースＤ）
照度が極大となるｍ値は、レンズ列数Ｎに対して前記（７）式から求まるが、実際的にはｍ値は±０．１程度はばらつく。このことを考慮すると、
｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 −０．１≦ｍ≦｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 ＋０．１
となるようにロッドレンズを設計すれば、照度の点では最も有利な製品が得られる。これは、前記（７）式でｍ0 ±０．１の範囲に相当する。各列数における最適値、下限値、上限値の数値を表２に示す。
【００２６】
【表２】
【００２７】
なお、レンズ列数Ｎは、Ｎ≧２とする。Ｎ＝１の場合もロッドレンズアレイとして実用できるが、本発明を適用すると最適ｍ値は小さくなり、殆ど像が重ならない範囲となるため、１列の場合は本発明を適用してｍ値を定めるのは適当ではないからである。なお、ケースＡの場合には、表１からも分かるように、Ｎ≦８とする必要がある。
【００２８】
ところで多列アレイの場合には、重なり度ｍをある程度大きくしないと、外側の列からの光がレンズアレイ中心まで届かず、少ない列数の場合と実質的に同じになってしまう。本発明の等価Ｆ値は全列のレンズからの光の総和を考えているので、対応するｍ値の範囲では各列からの光がレンズアレイ中心まで届いた状態が実現されていなければならない。従って多列アレイではｍ値の最適範囲は相対的に大きな値になる。列数の少ない場合は、本発明のｍ値の範囲は、必ずしも画像むらの点ではよい範囲ではないが、列数の多い場合（例えば６列以上）では、画像むらと明るさがある程度両立してくる。従って、レンズ列数は６以上とすることが好ましい。
【００２９】
任意のｍ値が与えられたときに最適列数Ｎのロッドレンズアレイを設計・製造するには、隣り合うＦ−ｍ曲線（図４参照）の交点における関係を列数Ｎについて解くことにより、次式で与えられる。
【数４】
但し、ＩＮＴ（ｘ）はｘを超えない最大の整数値を与える関数である。また、ＩＮＴ（ｘ）内で「０．９９」という値を用いているのは、交点のｍ値の場合に、少ない方の列数をとるようにするためである。
【００３０】
ところが、交点以外では上記のような式は容易に得られない。そこで、数値として得られるα＝０．９及び０．９５のとき（前記ケースＡ及びＢ）のｍ値の上限値を用い、ｍを関数ｆ（ｍ）で置き換えた
【数５】
の式を用いて列数Ｎを求めるようにする。即ちｆ（ｍ）は、α≠１のときの上限のｍ値を上記交点におけるｍ値に変換する関数である。交点のｍ値（ケースＣ）と、ケースＡ及びＢの上限ｍ値の関係を図５及び図６に示す。これらの曲線を多項式近似すると２次関数で比較的よく近似できることが判明した。具体的には次のようになる。
ケースＡ：ｆ（ｍ）＝−０．０４３ｍ2 ＋０．７６ｍ＋０．２９
ケースＢ：ｆ（ｍ）＝−０．０３９ｍ2 ＋０．９８ｍ＋０．０２３
従ってこれらの関係から求まるｆ（ｍ）を数５に代入することで、レンズ列数Ｎが求まる。
【００３１】
上記の構成は、球面レンズで使われるＦ値を用いた規定であり、ロッドレンズアレイの光量平均値を高くするために効率のよいレンズ列数と重なり度との組み合わせの一般形を示している。しかし、ロッドレンズアレイを実際に装置に組み込んで使用する際、特に光量が重視され少しでも光量を高くできるように厳しい設計をする場合には、光量最小値に合わせて各部の光量を補正することになり、光量平均値の点で最適な設計が必ずしも装置にとって最適でない場合が生じてくる。そのような場合には、回転楕円体の光量分布を実際に重ね合わせて光量分布を求め、光量分布中における光量の最小値の観点から各レンズ列数におけるｍ値の範囲を規定するのがよい。
【００３２】
そこで、開口角θ＝１１．５°、レンズ素子径Ｄ＝１．０８５mmのロッドレンズについて、レンズ素子による半割りの回転楕円体状光量分布を周知のｃｏｓ４乗則を加味した形で重ね合わせることで、各レンズ列数Ｎ・ｍ値に対するレンズアレイ中心線上での光量平均値、光量最小値を求めた。その結果を図７及び図８に示す。前述したＦ値とｍ値の関係と、この光量平均値とｍ値の関係は、よく対応している。図７及び図８に示す結果から、奇数列レンズアレイの周期光量むらが偶数列レンズアレイに比べて相対的に大きいことに対応して、偶数列から奇数列への１列増が光量最小値の増加に寄与しないので、偶数列のままとすべきｍ値範囲が存在することが分かる。
【００３３】
図８の結果から、０．６１〜３．２４のｍ値範囲に対して最も光量最小値が高くなる最少レンズ列数は、表３に示すようになる。なお、ｍ＞３．２４の領域では、奇数列でも周期光量むらは大きくないので、光量平均値基準での最適設計との違いは殆ど生じない。
【００３４】
【表３】
【００３５】
光量最小値を基準として規定するｍ値範囲は、レンズ列数が３以上の場合には等価Ｆ値を基準とするケースＣに包含される。しかし、レンズ列数が２の場合には、ｍ値が大きい範囲でレンズ列数が３の場合と特性が重なっており、できるだけレンズ列数を少なくすることを優先すると、ｍ値の範囲（上限側）が例外的にケースＣよりも拡大することになる。
【００３６】
なお、ここでは上記特定品種のレンズアレイに対する計算結果を示したが、他品種についてもほぼ同様の結果が得られる。
【００３７】
このようにして得られる複数列のロッドレンズアレイは、スキャナーなどの読み取り系、ＬＥＤプリンタなどの書き込み系のような線走査方式の光学系をもつ画像形成装置に用いられる。
【００３８】
【発明の効果】
本発明は上記のように、レンズ素子の列数Ｎと像の重なり度ｍの相関に着目して、それらの値の関係を所定の範囲に規定したロッドレンズアレイであるので、最少のレンズ列数で効率（明るさ）を向上させることができる。ロッドレンズアレイが光量の点で十分に有利な設計にできるために、光源、センサ／感光ドラム等への負担を小さくでき、画像形成装置のシステムとしての処理速度（スキャナーなどにおける読み取り速度やプリンタなどにおける印刷速度）を狙い通りに向上させることができる。
【００３９】
特に、多列ロッドレンズアレイの場合に、本発明で６列以上とすると、ｍ値の最適範囲はある程度大きくなり、画像むらと明るさが両立する良好な特性が得られる。また、作動距離、共役長等レンズの特性に起因する寸法上の制約で重なり度をある程度大きくとらざるを得ない場合でも明るさを確保できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】単一の屈折率分布型ロッドレンズが作る像の照度分布を示す説明図。
【図２】１列のロッドレンズアレイの照度分布を示す説明図。
【図３】２列のロッドレンズアレイの照度分布を示す説明図。
【図４】等価Ｆ値とｍ値の関係を示すＦ−ｍ曲線図。
【図５】交点のｍ値とケースＡにおける上限ｍ値の関係を示すグラフ。
【図６】交点のｍ値とケースＢにおける上限ｍ値の関係を示すグラフ。
【図７】レンズ列数をパラメータとし光量平均値とｍ値の関係を示すグラフ。
【図８】レンズ列数をパラメータとし光量最小値とｍ値の関係を示すグラフ。
【符号の説明】
１０ Ｆ−ｍ曲線
【発明の属する技術分野】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイに関するものである。更に詳しく述べると本発明は、レンズ素子の列数Ｎと像の重なり度ｍの相関に着目して、それらの値の関係を規定することによって最少のレンズ列数で効率（明るさ）を向上できるロッドレンズアレイの製造方法に関するものである。この技術は、スキャナー等の読み取り系、あるいはＬＥＤプリンタ等の書き込み系など、線走査方式の光学系をもつ画像形成装置に有用である。
【０００２】
【従来の技術】
ロッドレンズアレイは、半径方向に屈折率分布をもつロッド状のレンズ素子を多数平行に整列配置し、例えば間隙に黒色シリコーン樹脂を含浸充填することにより結合一体化した構造の光集束性のレンズ部品である。このロッドレンズアレイは、隣り合ったレンズ素子の作る像の重ね合わせとして全体で１個の連続した正立等倍実像を結ぶように設計される。光路長が短く反転ミラーが不要であるため装置を小型化できる特徴があり、そのためスキャナーやプリンタなどの線走査用光学系において画像形成装置として多用されている。
【０００３】
このような線走査光学系で使用するロッドレンズアレイでは、通常、明るさよりも解像度を重視して、ｍ値（像の重なり度）がやや大きめの値となるように設定している。しかし用途によっては明るさをできるだけ確保したい場合もあり、その場合における画像のむらの悪化は電気的に光量や感度を補正することで改善している。その場合でも、周期光量むらを低く抑える上で都合の良いｍ値となるレンズアレイを採用している。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】
上記のように、線走査方式の光学系で使用する場合には、ロッドレンズアレイは、そのｍ値が大きくなるほど同じレンズ列数では暗くなる。従来技術では、使用しているロッドレンズアレイが光量の点で十分に有利な設計になっていないために、光源、センサ／感光ドラム等への負担が大きくなっており、システムとしての処理速度（スキャナーなどにおける読み取り速度やプリンタなどにおける印刷速度）が狙い通りに向上していない。
【０００５】
本発明の目的は、作動距離・共役長などディメンジョン上の制約を前提に、光量の点で有利な構造のロッドレンズアレイの製造方法を提供することである。本発明の他の目的は、明るさと画像むらがある程度両立可能な多列のロッドレンズアレイの製造方法を提供することである。
【０００６】
【課題を解決するための手段】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ（但しＮは８以下）、像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（２８−Ｎ）／（９−Ｎ）｝1/2 ／４
及びＮ≦８
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００７】
また本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（５８−Ｎ）／（１９−Ｎ）｝1/2 ／４
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００８】
更に本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【０００９】
本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍとしたとき、両者が
｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 −０．１≦ｍ≦｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 ＋０．１
という関係を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【００１０】
これらのロッドレンズにおいて、明るさと画像むらをある程度両立させる上では、レンズ列数を６以上とすることが好ましい。
【００１１】
あるいは本発明は、多数のロッド状のレンズ素子が複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイにおいて、
レンズ列数をＮ、像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、レンズ列数Ｎは２以上で且つ７以下であって、レンズ列数Ｎに応じて、
Ｎ＝２の場合は、ｍ値が０．６１〜１．３２
Ｎ＝３の場合は、ｍ値が１．３２〜１．５０
Ｎ＝４の場合は、ｍ値が１．５０〜２．１８
Ｎ＝５の場合は、ｍ値が２．１８〜２．３７
Ｎ＝６の場合は、ｍ値が２．３７〜３．０４
Ｎ＝７の場合は、ｍ値が３．０４〜３．２４
を満たしていることを特徴とするロッドレンズアレイである。
【００１２】
【発明の背景】
単一の屈折率分布型ロッドレンズが作る像の照度分布Ｅ（ｘ，ｙ）は、図１に示すような回転放物面
Ｅ（ｘ，ｙ）＝（Ｅ0 ／ｘ0 ）・｛ｘ0 2−ｘ2 −ｙ2 ｝1/2
で表され、Ｅ−ｘ平面では放物線となる。このロッドレンズを１列直線状に配列したロッドレンズアレイの照度分布は、図２に示すように、断面が放物線の柱状モデルで表すことができる。このときの照度分布を球面レンズの像面照度と比較して等価Ｆ値を求めると、
Ｆ＝（ｍ／２π）1/2 ・（１／θ0 ）
となる。但し、ｍは像の重なり度、θ0 は開口角（rad ）である。
【００１３】
Ｎ列（Ｎは２以上の整数）のレンズアレイの照度分布については、図３に示すように上記放物線分布の重ね合わせで表すと、線走査方式の場合の等価Ｆ値は、次式で与えられる。
Ｆ＝｛ｍ／（２πＫN ）｝1/2 ・１／θ0 …（１）
ここで、ＫN は列数Ｎによって異なる値であり、以下の式で与えられる。
Ｋ1 ＝１
Ｋ2 ＝２−３／（８ｍ2 ）
Ｋ3 ＝３−３／（２ｍ2 ）
Ｋ4 ＝４−１５／（４ｍ2 ）
：
ＫN ＝Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍ2 ） …（２）
【００１４】
以上のことから、等価Ｆ値を用いてレンズ列数に応じて好ましいｍ値の範囲を規定することができる。しかし、応用上、より直接的に、光量の最小値を保証したい場合もある。そのような場合には、回転楕円体の光量分布を実際に重ね合わせて光量分布を求め、光量分布中における光量の最小値の観点から各レンズ列数におけるｍ値の範囲を規定すればよい。
【００１５】
【発明の実施の形態】
図４は、開口角θ0 ＝２２．７°の２〜１２列ロッドレンズアレイについて、線走査方式の場合の重なり度ｍに対する線走査等価Ｆ値の変化の計算結果を示したものである。等価Ｆ値は、「１列アレイ厚さ方向の光量分布を長手方向に一様な放物線分布とし、その重ね合わせとして多数列アレイの光量分布を求め、中心の照度から換算する」ことで求めた。なお、図４は上記のように、開口角θ0 ＝２２．７°についてのものであるが、他の開口角に対しても、絶対値がその逆比で変わるのみで、各列数に対する曲線同士の交点位置（ｍ値）は変わらない。
【００１６】
本発明は、多数の屈折率分布型のロッドレンズが複数列に整列した状態で結合一体化されている構造のロッドレンズアレイであり、上記のような技術的背景に基づきレンズ列数Ｎと像の重なり度ｍの関係を規定したものである。
【００１７】
図４に示す各Ｆ−ｍ曲線において、Ｎ−１列とＮ列、Ｎ列とＮ＋１列の交点を求める。前記（１）式より、同一レンズ素子を用いたレンズアレイにおいて、Ｎ列とＮ＋１列とで同一ｍ値に対してＦ値が等しくなる条件は、
ＫN ＝ＫN+1 …（３）
である。そこで（２）式を（３）式に代入して、
Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍN+1 2）＝Ｎ＋１−Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／（１６ｍN+1 2）
３Ｎ（Ｎ＋１）／１６ｍN+1 2＝１
∴ｍN+1 ＝｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2 …（４）
同様にして、Ｎ−１列とＮ列とでＦ値が等しくなるｍ値は、
ｍN-1 ＝｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 …（５）
（４）式及び（５）式より、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
を満たすｍ値とＮ列の組み合わせが、「各ｍ値に対して光量の点で最適な（必要最低限の）列数のロッドレンズアレイ」または「各列数のロッドレンズアレイが光量の点で最適であるｍ値範囲」を与えることになる。
【００１８】
次に、できるだけレンズ列数を少なくするという観点から、上記ｍ値の範囲を拡げて、「光量がＮ＋１列の１００α％（但し０＜α＜１）までＮ列で済ます」ことを考える。同一レンズ素子及び同一ｍ値で列数が違うレンズアレイ同士の光量比は、（１）式及び「光量はＦ-2に比例する」ことにより、ＫN の比で与えられる。よって、Ｎ列レンズアレイの光量がＮ＋１列レンズアレイの光量の１００α％となる重なり度をｍN+1 ′とすると、（２）式より、
Ｎ−（Ｎ−１）Ｎ（Ｎ＋１）／（１６ｍN+1 ′2 ）＝α｛Ｎ＋１−Ｎ（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）／（１６ｍN+1 ′2 ）｝
∴ｍN+1 ′＝［Ｎ（Ｎ＋１）・｛α（Ｎ＋２）−（Ｎ−１）｝／｛α（Ｎ＋１）−Ｎ｝1/2 ／４ …（６）
となる。
【００１９】
（ケースＡ）
光量減少を１列多いレンズ列数の光量の１０％まで許容するとすると、ｍ値と列数Ｎとの関係は、前記（６）式でα＝０．９とおいて、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（２８−Ｎ）／（９−Ｎ）｝1/2 ／４
となる。
【００２０】
（ケースＢ）
光量減少を１列多いレンズ列数の光量の５％まで許容するとすると、ｍ値と列数Ｎとの関係は、前記（６）式でα＝０．９５とおいて、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛Ｎ（Ｎ＋１）（５８−Ｎ）／（１９−Ｎ）｝1/2 ／４
となる。
【００２１】
（ケースＣ）
ｍ値範囲に対して最も光量が大きくなる最少のレンズ列数は、
｛３（Ｎ−１）Ｎ／１６｝1/2 ＜ｍ≦｛３Ｎ（Ｎ＋１）／１６｝1/2
となる。これは、前記（６）式でα＝１の場合に相当する。
【００２２】
ケースＡ，Ｂは、できるだけ少ない列数で済ませることを意図したもので、ケースＡは１０％程度以内、ケースＢは５％程度以内の照度の向上を光源（例えばＬＥＤアレイ）側の出力増加によって比較的容易に補える範囲として設定している。ケースＣは、Ｆ−ｍ曲線の交点そのものから範囲を定めるものである。各範囲の下限、上限の数値を表１に示す。
【００２３】
【表１】
更に、各レンズ列数に対するＦ−ｍ曲線の極小値を求める。（１）式より
Ｆ2 ＝１／（２πθ0 2）・（ｍ／ＫN ）
であり、これをＡ・ｇ（ｍ）とおく。但し、Ａ＝１／（２πθ0 2）である。
ここで、（２）式より
ｇ（ｍ）＝ｍ／ＫN ＝１６ｍ3 ／｛１６Ｎｍ2 −（Ｎ−１）・Ｎ・（Ｎ＋１）｝ｄｇ（ｍ）／ｄｍ＝１６Ｎｍ2 ｛１６ｍ2 −３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）｝／｛１６Ｎｍ2 −（Ｎ−１）・Ｎ・（Ｎ＋１）｝2
ｄｇ（ｍ）／ｄｍ＝０より、ｇ（ｍ）、即ちＦが極小となる重なり度ｍ0 は、
ｍ0 ＝｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 …（７）
と求められる。これが、各列数のレンズアレイで光量の点で最も有利なｍ値である。
【００２５】
（ケースＤ）
照度が極大となるｍ値は、レンズ列数Ｎに対して前記（７）式から求まるが、実際的にはｍ値は±０．１程度はばらつく。このことを考慮すると、
｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 −０．１≦ｍ≦｛３（Ｎ−１）（Ｎ＋１）／１６｝1/2 ＋０．１
となるようにロッドレンズを設計すれば、照度の点では最も有利な製品が得られる。これは、前記（７）式でｍ0 ±０．１の範囲に相当する。各列数における最適値、下限値、上限値の数値を表２に示す。
【００２６】
【表２】
なお、レンズ列数Ｎは、Ｎ≧２とする。Ｎ＝１の場合もロッドレンズアレイとして実用できるが、本発明を適用すると最適ｍ値は小さくなり、殆ど像が重ならない範囲となるため、１列の場合は本発明を適用してｍ値を定めるのは適当ではないからである。なお、ケースＡの場合には、表１からも分かるように、Ｎ≦８とする必要がある。
【００２８】
ところで多列アレイの場合には、重なり度ｍをある程度大きくしないと、外側の列からの光がレンズアレイ中心まで届かず、少ない列数の場合と実質的に同じになってしまう。本発明の等価Ｆ値は全列のレンズからの光の総和を考えているので、対応するｍ値の範囲では各列からの光がレンズアレイ中心まで届いた状態が実現されていなければならない。従って多列アレイではｍ値の最適範囲は相対的に大きな値になる。列数の少ない場合は、本発明のｍ値の範囲は、必ずしも画像むらの点ではよい範囲ではないが、列数の多い場合（例えば６列以上）では、画像むらと明るさがある程度両立してくる。従って、レンズ列数は６以上とすることが好ましい。
【００２９】
任意のｍ値が与えられたときに最適列数Ｎのロッドレンズアレイを設計・製造するには、隣り合うＦ−ｍ曲線（図４参照）の交点における関係を列数Ｎについて解くことにより、次式で与えられる。
【数４】
【００３０】
ところが、交点以外では上記のような式は容易に得られない。そこで、数値として得られるα＝０．９及び０．９５のとき（前記ケースＡ及びＢ）のｍ値の上限値を用い、ｍを関数ｆ（ｍ）で置き換えた
【数５】
ケースＡ：ｆ（ｍ）＝−０．０４３ｍ2 ＋０．７６ｍ＋０．２９
ケースＢ：ｆ（ｍ）＝−０．０３９ｍ2 ＋０．９８ｍ＋０．０２３
従ってこれらの関係から求まるｆ（ｍ）を数５に代入することで、レンズ列数Ｎが求まる。
【００３１】
上記の構成は、球面レンズで使われるＦ値を用いた規定であり、ロッドレンズアレイの光量平均値を高くするために効率のよいレンズ列数と重なり度との組み合わせの一般形を示している。しかし、ロッドレンズアレイを実際に装置に組み込んで使用する際、特に光量が重視され少しでも光量を高くできるように厳しい設計をする場合には、光量最小値に合わせて各部の光量を補正することになり、光量平均値の点で最適な設計が必ずしも装置にとって最適でない場合が生じてくる。そのような場合には、回転楕円体の光量分布を実際に重ね合わせて光量分布を求め、光量分布中における光量の最小値の観点から各レンズ列数におけるｍ値の範囲を規定するのがよい。
【００３２】
そこで、開口角θ＝１１．５°、レンズ素子径Ｄ＝１．０８５mmのロッドレンズについて、レンズ素子による半割りの回転楕円体状光量分布を周知のｃｏｓ４乗則を加味した形で重ね合わせることで、各レンズ列数Ｎ・ｍ値に対するレンズアレイ中心線上での光量平均値、光量最小値を求めた。その結果を図７及び図８に示す。前述したＦ値とｍ値の関係と、この光量平均値とｍ値の関係は、よく対応している。図７及び図８に示す結果から、奇数列レンズアレイの周期光量むらが偶数列レンズアレイに比べて相対的に大きいことに対応して、偶数列から奇数列への１列増が光量最小値の増加に寄与しないので、偶数列のままとすべきｍ値範囲が存在することが分かる。
【００３３】
図８の結果から、０．６１〜３．２４のｍ値範囲に対して最も光量最小値が高くなる最少レンズ列数は、表３に示すようになる。なお、ｍ＞３．２４の領域では、奇数列でも周期光量むらは大きくないので、光量平均値基準での最適設計との違いは殆ど生じない。
【００３４】
【表３】
光量最小値を基準として規定するｍ値範囲は、レンズ列数が３以上の場合には等価Ｆ値を基準とするケースＣに包含される。しかし、レンズ列数が２の場合には、ｍ値が大きい範囲でレンズ列数が３の場合と特性が重なっており、できるだけレンズ列数を少なくすることを優先すると、ｍ値の範囲（上限側）が例外的にケースＣよりも拡大することになる。
【００３６】
なお、ここでは上記特定品種のレンズアレイに対する計算結果を示したが、他品種についてもほぼ同様の結果が得られる。
【００３７】
このようにして得られる複数列のロッドレンズアレイは、スキャナーなどの読み取り系、ＬＥＤプリンタなどの書き込み系のような線走査方式の光学系をもつ画像形成装置に用いられる。
【００３８】
【発明の効果】
本発明は上記のように、レンズ素子の列数Ｎと像の重なり度ｍの相関に着目して、それらの値の関係を所定の範囲に規定したロッドレンズアレイであるので、最少のレンズ列数で効率（明るさ）を向上させることができる。ロッドレンズアレイが光量の点で十分に有利な設計にできるために、光源、センサ／感光ドラム等への負担を小さくでき、画像形成装置のシステムとしての処理速度（スキャナーなどにおける読み取り速度やプリンタなどにおける印刷速度）を狙い通りに向上させることができる。
【００３９】
特に、多列ロッドレンズアレイの場合に、本発明で６列以上とすると、ｍ値の最適範囲はある程度大きくなり、画像むらと明るさが両立する良好な特性が得られる。また、作動距離、共役長等レンズの特性に起因する寸法上の制約で重なり度をある程度大きくとらざるを得ない場合でも明るさを確保できる。
【図面の簡単な説明】
【図１】単一の屈折率分布型ロッドレンズが作る像の照度分布を示す説明図。
【図２】１列のロッドレンズアレイの照度分布を示す説明図。
【図３】２列のロッドレンズアレイの照度分布を示す説明図。
【図４】等価Ｆ値とｍ値の関係を示すＦ−ｍ曲線図。
【図５】交点のｍ値とケースＡにおける上限ｍ値の関係を示すグラフ。
【図６】交点のｍ値とケースＢにおける上限ｍ値の関係を示すグラフ。
【図７】レンズ列数をパラメータとし光量平均値とｍ値の関係を示すグラフ。
【図８】レンズ列数をパラメータとし光量最小値とｍ値の関係を示すグラフ。
【符号の説明】
１０ Ｆ−ｍ曲線
Claims (3)
- 多数のロッド状のレンズ素子を複数列に整列配置し、間隙に樹脂を充填して結合一体化するロッドレンズアレイの製造方法において、
像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、レンズ列数Ｎを、
で与えられる整数値とすることを特徴とするロッドレンズアレイの製造方法。 - 多数のロッド状のレンズ素子を複数列に整列配置し、間隙に樹脂を充填して結合一体化するロッドレンズアレイの製造方法において、
像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、レンズ列数Ｎを、
で与えられる整数値とすることを特徴とするロッドレンズアレイの製造方法。 - 多数のロッド状のレンズ素子を複数列に整列配置し、間隙に樹脂を充填して結合一体化するロッドレンズアレイの製造方法において、
像の重なり度をｍ（＝Ｘ0 ／Ｄ、但しＤ：レンズ径、Ｘ0 ：レンズの作る視野半径）としたとき、レンズ列数Ｎを、
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