JP4078527B2 - １次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造およびその形成方法 - Google Patents
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Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、反射防止膜の構造に関し、特にフォトニック結晶に対する反射防止膜の構造とその形成方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、特異な分散特性を有していること、あるいは光をサブμｍという微小な領域に強く閉じ込めたりすることができることなどから、フォトニック結晶が注目を浴びている。
【０００３】
フォトニック結晶とは、屈折率の異なる２つ以上の媒質が光の波長オーダ、すなわちサブμｍ周期で３次元もしくは２次元周期的に規則正しく配列されたものである。１次元の場合は、所謂誘電体多層膜であるが、その周期性によって特徴的な光学的性質を示すことや、理論解析の結果から２次元または３次元にも応用できる有益な情報が得られるため、ここではその１次元の場合も含めてフォトニック結晶と呼ぶことにする。
【０００４】
図１０（ａ）はこのフォトニック結晶の構造の一例として、２次元三角格子フォトニック結晶の概略構造を示す図である。図１０（ａ）に示すように、これは背景媒質１５中に２次元三角格子状に円柱形の原子媒質１７が埋め込まれた構造となっている。
【０００５】
また、図１０（ｂ）は図１０（ａ）の２次元三角格子構造に対応する、第１ブリルアンゾーンを示す図である。図１０（ｂ）に示すように、第１ブリルアンゾーンは正六角形をしており、その頂点がＫ点、各辺の中点がＭ点、正六角形の中心がΓ点となる。このようなフォトニック結晶においては、フォトニック結晶中に存在する光波に対して、エネルギーバンド構造（フォトニックバンド構造）を形成することが知られている。
【０００６】
図１１は、図１０のフォトニック結晶構造に対するフォトニックバンドの計算例を示す図である。図１１に示すように、ここでは背景媒質をＳｉに、原子媒質を空気とし、空気円柱の直径：ｄと格子間隔：ａの比はｄ／ａ＝０．８６７として計算している。なお、光の電場ベクトルの向きは紙面に垂直方向の場合について計算した。縦軸は規格化周波数であり、真空中での光の波長：λを用いてΩ＝ａ／λと表される。図１１中において破線でエネルギー領域には光の伝搬モードが存在せず、フォトニックバンドギャップ（ＰＢＧ）と呼ばれている。
【０００７】
ＰＢＧ以外のエネルギー領域ではフォトニック結晶中を光が伝搬することができるが、この中には強い波長分散を有するエネルギー領域が存在することが知られている。この強い波長分散特性を利用した発明として、特開平１１−２７１５４１号公報（従来技術１と呼ぶ）に開示されている波長分波回路や、特開２０００−１２１９８７（従来技術２と呼ぶ）に開示されている波長分散補償器が挙げられる。
【０００８】
しかし、従来技術１及び２に開示されたデバイスを実用化するためには、これらデバイスを構成するフォトニック結晶内に、フォトニック結晶と接する媒質（一般的には空気）から、光を高効率で入射させる必要がある。即ち、フォトニック結晶に対する無反射コーティングが必要となる。
【０００９】
一般に、屈折率の異なる２種類の一様媒質が平面で接する時に、境界面での反射率をゼロにする方法として、図１２に示す無反射防止膜１９が広く知られている。これは、一様媒質２１の屈折率がｎ１、一様媒質２３の屈折率がｎ３である時、波長λの光に対して、反射防止膜３３の屈折率ｎ３と膜厚ｄをそれぞれ次の数１式、数２式のようにすれば、とすれば、理論上無反射にすることが可能である。
【００１０】
【数１】
【数２】
【００１１】
上記数２式より、この反射防止膜はλ／４膜と呼ばれることがある。
【００１２】
ところが、フォトニック結晶の場合、一様媒質のようには屈折率を単純には定義できないし、またフォトニック結晶の領域がどこまでなのかを単純には定義できないので、上記のような一様媒質に対する反射防止膜の手法をそのまま用いることができない。
【００１３】
一方、フォトニック結晶に対する反射防止膜としては、第６２回応用物理学会学術講演会講演予稿集１０６５ページ（以下、従来技術３と呼ぶ）に掲載されている、突起付きフォトニック結晶構造も提案されている。
【００１４】
図１３は従来技術３による構造を示す図である。図１３を参照すると、背景媒質であるＳｉ２５中にと空気円柱２７が埋め込まれた２次元三角格子フォトニック結晶領域と、一様なＳｉの領域との境界部分に、半円柱と三角柱とを組み合わせた空気柱の突起構造２９を設けている。この突起構造２９の効果により、フォトニック結晶とそれと接するＳｉとの境界面での透過率が、突起構造のない場合と比較して約１５ｄＢほど改善されている。
【００１５】
ところが、従来技術３による例では、突起構造は実際問題として大きさが１μｍ程度かそれ以下であり、１０〜２０°程度の非常に鋭い角度の空気柱が必要となる。このような構造をドライエッチィング等により実際に作製する場合には、加工精度により角が丸くなることが予想され、設計した構造を正確に作製することは非常に困難であると考えられる。
【００１６】
【発明が解決しようとする課題】
このように、従来の均一媒質への反射防止膜の手法は、そのままではフォトニック結晶には適用できず、また、上述の突起構造付きフォトニック結晶による反射防止の手法は、その実現が非常に困難であった。
【００１７】
そこで、本発明の技術的課題は、このような従来のフォトニック結晶への反射防止膜形成手法における欠点を除去し、より簡単な方法で確実に、フォトニック結晶に対する反射防止を行うことができるフォトニック結晶への反射防止膜の構造を提供することにある。
【００１８】
【課題を解決するための手段】
本発明による１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造は、光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶において、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階偏微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面に付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴としている。
【００１９】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の構造は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴としている。
【００２０】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の構造は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、反射防止膜と１次元フォトニック結晶との境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴としている。
【００２５】
また、本発明のフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法であって、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階編微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴としている。
【００２６】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴とする。
【００２７】
また、本発明による１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、当該反射防止膜と１次元フォトニックとの境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴とする。
【００２８】
また、本発明によるフォトニック結晶へ反射防止膜の形成方法は、屈折率の異なる２種類以上の物質を、２次元あるいは３次元周期的に規則正しく配列した２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法であって、前記フォトニック結晶中への光の入射効率を高めるために、前記フォトニック結晶の端面に、当該フォトニック結晶を構成する媒質のうちの一つからなる媒質による薄膜を付加することを特徴とする。
【００２９】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質の膜厚が、所定の手法により求めた膜厚であることを特徴とする。
【００３０】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質が、当該フォトニック結晶を構成する媒質とは独立の媒質からなり、その媒質の屈折率および膜厚が所定の手法により求めたものであることを特徴とする。
【００３１】
さらに、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質が、当該フォトニック結晶を構成する媒質とは独立の屈折率の異なる２つ以上の媒質によって構成される多層膜であることを特徴とする。
【００３２】
【発明の実施の形態】
本発明の実施の形態について、図面を参照して説明する。
【００３３】
まず、初めに、１次元フォトニック結晶（周期的な誘電体多層膜）に対する反射防止膜形成の新しい原理について説明する。１次元フォトニック結晶とは、ある１方向に周期的な屈折率の空間変化があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有するフォトニック結晶のことを言う。この１次元フォトニック結晶を碧開した表面に反射防止膜を形成する場合を考える。反射防止膜形成の基本的な考え方は従来のλ／４膜による無反射コーティングの手法に基づくが、フォトニック結晶内の屈折率は周期的に変化しているので、それを反射防止膜の設計においてどのように扱うかが発明のポイントとなる。
【００３４】
ここで、従来の技術の項で述べたように一様誘電体に対する無反射コーティングの手法は既に確立しているが、１次元フォトニック結晶（周期的な誘電体多層膜）に対する反射防止膜は本発明が最初である。
【００３５】
図１は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜（単層）を示す図である。図１に示す結晶は、単位胞３５が格子定数Λで１次元的に周期配列した１次元フォトニック結晶３７と反射防止膜又は無反射膜（膜厚ｄ２）３９が境界４１で接する構造を有する。単位胞３５の内部の屈折率分布４３は、１次元方向に任意の空間分布を有し、図１中の光が入射する側の一様媒質４５の屈折率をｎ１、反射防止膜３９の屈折率はｎ２であるとする。またこれらを構成するすべての物質は透明な媒質であるとする。図１のフォトニック結晶に一様媒質４５から光を入射させたときの反射率を求める方法は次の３つのステップからなる。
【００３６】
第１のステップとして、一様媒質４５、反射防止膜３９、１次元フォトニック結晶３７の各領域における電磁場を各領域での固有モードで展開する。第２のステップとしてマックスウェルの境界条件によって電磁場を接続する。第３のステップは境界条件から得られた線形連立代数方程式を解くことである。この手順は通常の巨視的な電磁気学における手法と全く同じであるが、対象が１次元フォトニック結晶であるために、１次元フォトニック結晶中の固有モードをいかにして求めるかがまず問題となる。
【００３７】
一様媒質４５、反射防止膜３９の中での固有モードは平面波であり、１次元フォトニック結晶３７は周期構造であるからその固有モードはブロッホ波である。このブロッホ波は１周期分の転送行列の固有ベクトルとして得られる。
【００３８】
一般に透明媒質からなる１次元周期構造の転送行列Ｍは、次の数３式のように書ける［Ｐ．Ｙｅｈ ｅｔ ａｌ．， Ｊ．Ｏｐｔ．Ｓｏｃ． Ａｍ． Ｖｏｌ．６７，４２３（１９７７）］。
【００３９】
【数３】
【００４０】
ここで、上記数３式において、ａ，ｂ，ｃ，ｄは単位胞の構造によって決まる実関数であり、Ｅ，Ｈは表面に平行方向の電磁場（電場のｙ成分と磁場のｘ成分）を表す。また、エネルギー保存則から行列式ｄｅｔ Ｍ＝１である。転送行列Ｍの固有値λ±、規格化定数を除いた固有ベクトルｖ±は次の数４式及び数５式のように書ける。
【００４１】
【数４】
【数５】
【００４２】
ここで、ｋはブロッホ波数であり電磁場のモードを指定するインデックスになる。また、数５式は、周期配列した１次元フォトニック結晶３７の固有モードであるので、これを用いてマックスウェルの境界条件から線形連立方程式を立てて振幅反射率を計算すると、一様媒質５６から光を垂直入射したときの振幅反射率は、次の数６式及び数７式で与えられる。
【００４３】
【数６】
【数７】
【００４４】
ここで、上記数６式において、ｋ２は反射防止膜３９中の光の波数である。また、上記数６式および数７式は、屈折率ｎ２の一様媒質の両側にそれぞれ屈折率ｎ１、ｎ３の一様媒質があるときの振幅反射率と形式的には同じであるが、ここでは１次元フォトニック結晶を考えているため、ｎ３が物質定数である実数の屈折率ではない点が決定的に異なる。上記数７式中でのｎ３の定義は、周期的に広がる結晶３７中の光の固有モードであるブロッホ波（数５式）の境界４１における値を用いて、次の数８式が得られる。
【００４５】
【数８】
【００４６】
周期構造からなる１次元フォトニック結晶が作り出す非常に複雑な反射率への効果を上記数８式にすべて繰り込んで表すことができていることになるため、数８式は本発明の核心部分の１つである。
【００４７】
一般には、上記数８式中のｎ３は複素数であるので、一様誘電体に対する反射防止コーティングのように振幅反射率（数６式）がゼロになる膜厚ｄ２、屈折率ｎ２を選ぶことは一般にはできないが、次の数９式で示される１層の無反射膜を有するフォトニック結晶の反射率を最小にすることはできる。
【００４８】
【数９】
【００４９】
すなわち、無反射膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２を設計するときは、反射率Ｒ１のｄ２、ｎ２に関する１階偏微分係数がゼロになり、２階偏微分係数が正であるｎ２、ｄ２を求めればよい。以上の原理によって単層の反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶の反射防止膜３９の最適な膜厚ｄ２と屈折率ｎ２を設計することが可能になる。また、上記数８式が実数になる場合、すなわち電場と磁場の位相が一致するときには無反射コーティングによって反射をゼロできる。１次元フォトニック結晶と反射防止膜との境界を無限１次元フォトニック結晶の鏡映面に選んだ場合は、上記数５式が必ず実数になるので、無反射コーティングで反射をゼロにする境界面を選ぶことができる。よって、そのように境界を選ぶことが重要である。また、鏡映面がない一般の場合でも、上記の手法によって反射を最小にできるし、以下に述べる多層の反射防止膜により反射をゼロにすることもできる。
【００５０】
次に、以上に示したフォトニック結晶への単層の反射防止膜の設計手法とその原理を、１次元フォトニック結晶への多層の反射防止の形成の場合に拡張する。また同時に、１次元フォトニック結晶に任意の入射角、任意の偏光（ＴＭ偏光（ｐ偏光）またはＴＥ偏光（ｓ偏光））入射する場合にも拡張する。
【００５１】
図２は、１次元フォトニック結晶へのＮ−１層の反射防止膜を形成し、任意の角度、任意の偏光で光が入射する場合を説明する図である。図２（多層反射防止膜の場合）と図１（単層反射防止膜の場合）では、（Ａ）反射防止膜が単層から多層になっている点，（Ｂ）光が任意の入射角をもっている点，（Ｃ）光が任意の偏光（ＴＭまたはＴＥ）をもっている点、の３点を除けば、１次元フォトニック結晶と反射防止膜の境界４１の定義、１次元フォトニック結晶の単位胞３５の定義と単位胞３５の中では任意の空間分布をもつ屈折率４３を含めてすべて図１と同じ条件の結晶を考える。
【００５２】
上記数８式と，振幅反射率ｒ２，３を表す上記数７式から屈折率がｎ２である一様媒質から１次元フォトニック結晶に光が入射したときの振幅反射率が求まるので、Ｎ−１層の無反射膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率ＲＮ−１は次の、数１０，１１，１２，及び１３式のようにかける。
【００５３】
【数１０】
【数１１】
【数１２】
【数１３】
【００５４】
上記数１１式は［Ｒ．Ｂｅｌｌｍａｎ ａｎｄ Ｇ．Ｍ．Ｗｉｎｇ， Ａｎ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｉｍｂｅｄｄｉｎｇ，ＮｅｗＹｏｒｋ， ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，１９７５］によるものであり、再帰的に用いて計算を行うことに注意を要する。ｋｉ、ｄｉ はｉ番目の反射防止膜での境界に垂直方向の光の波数と膜厚でありｎｉ（ｉ＝１，２，…Ｎ）はそれぞれの領域における屈折率である。また、α＝−１（ＴＭ偏光）、１（ＴＥ偏光）であり、β＝ｃｋＮ／ωｎＮ ２（ＴＭ偏光），−ω／ｃｋＮ（ＴＥ偏光）である。上記数１３式のＥｋ、Ｈｋ はＴＭ偏光、ＴＥ偏光それぞれにおける、表面に平行な電場成分と磁場成分であることに注意が必要である。反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率の式（数６式）と同様で、上記数１１式は形式的には一様誘電体多層膜の反射率と同じであるが、数８式に対応する数１３式が、物質定数である実数の屈折率ではないことが決定的に異なる。また光の反射において非常に複雑な振る舞いを示す１次元フォトニック結晶の効果が、すべて数１３式に繰り込まれているという重要性から、数１３式も本発明の核心部分の１つである。
【００５５】
また、上記数１０式から数１３式を用いて反射率ＲＮ−１のｎｉ，ｄｉ（ｉ＝２，３，…，Ｎ）に関する１階微分係数がゼロになり、２階微分係数が正になるｎｉ，ｄｉ（ｉ＝２，３，…，Ｎ）を求めれば、その設計値を用いてＮ−１層の反射膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率を最小にすることができる。
【００５６】
以上のＮ−１層からなる反射防止膜の膜厚やその屈折率の設計手法とその原理は、入射光の入射角度、偏光方向によらず、コーティングする反射防止膜の枚数にも依存せず一般に成り立つ。またさらに単層の場合と同様に、単位胞を構成する物質の種類や数、形状、厚さに依存しないので、あらゆる多層反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶に対して成り立つ。
【００５７】
次に、本発明の第１の実施の形態を具体例の１つとして示すために、単層の反射防止膜を有し、周期部分の単位胞が膜厚の等しいＳｉＯ２（屈折率１．５）アモルファスＳｉ（屈折率３．５）の２層から構成されている結晶を考える。
【００５８】
図３は前述の原理を用いて求めた反射率が最小になる反射防止膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２のマップを示す図である。図３において、縦軸の膜厚はλ０／４ｎ２（λ０は真空中の波長）で規格化してある。図３中のＢ１〜Ｂ５はエネルギーの小さい順に第１バンドから第５バンドを表しており、それぞれがマップ上で曲線になって現れる理由は、最適な膜厚ｄ２、屈折率ｎ２がフォトニック結晶のバンドおよび光の波長に依存するからである。
【００５９】
図４は、図３によって得られた最適な膜厚ｄ２、屈折率ｎ２を用いて計算された反射率を示している。図４中の実線は反射防止膜をコーティングした結晶の反射率、点線は無反射膜が存在しない場合の反射率である。図４（ａ）、（ｂ）、（ｃ）はそれぞれ、規格化された光の振動数（Ω＝Λ／λ）が０．５、０．７、０．９のときに反射が最小になるように設計してあり、その周波数を矢印で示してある。
【００６０】
図３からわかるように矢印で示された光の振動数において、反射防止膜のある場合の反射率（実線）がゼロに極めて近くなり、反射防止膜がない場合（点線）の反射率を低減していることがわかる。
【００６１】
図５は、図４の計算に使われた反射防止膜の設計値（膜厚ｄ２、屈折率ｎ２）が確かに反射率を最小にする値であることを示すために、反射率の無反射膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２依存性を等高線でプロットしたものである。等高線は最大値と最小値の間に等間隔で１０本の線で描いてある。また、反射率の最大値を黒色、最小値を白色としてグラデーションをつけて併せて示している。×印で示した点が図４の反射率の計算に使われた最適設計値であり、確かにその設計値において反射率が最小になっていることが確認できる。
【００６２】
以上、１次元フォトニック結晶への反射防止膜形成法の原理に基づき、本発明の第１の実施の形態について説明した。ここではその単位胞が膜厚の等しいＳｉＯ２とアモルファスＳｉからなり、単層の反射防止膜をコーティングした場合の結果を示した。しかしながら、反射防止膜の設計方法とその原理は、単位胞を構成する物質の種類や数、形状、厚さに依存せず、コーティングする反射防止膜の枚数、入射光の入射角度、偏光方向にも依存しないため、あらゆる透明媒質からなる１次元フォトニック結晶について全く同じ原理に基づいて最適な（反射率が最小もしくはゼロになる）反射防止膜を設計することが可能である。
【００６３】
また、単層からなる反射防止膜の場合、反射防止膜の屈折率、膜厚のいずれか１つのみを最適化した構造も本発明の動作原理に基づくものである。更にＮ−１層からなる反射防止膜の場合、反射防止膜のＮ−１個の屈折率、Ｎ−１個の膜厚のいずれかを最適化した構造も本発明の動作原理に基づくものである。つまりすべての膜厚、屈折率について最適な値にならずとも、本発明の反射防止膜形成の動作原理によるものである。
【００６４】
次に、２次元または３次元フォトニック結晶に対する反射防止膜の構造について考える。２次元または３次元フォトニック結晶の反射率の計算は、１次元のそれと比較して計算量が膨大であり、厳密に計算することは非常に困難である。１次元の場合、ＰＢＧに近づくと反射率が急激に大きくなるが、これはｎ３の値が急激に大きくなっていることを示している。一方、ＰＢＧに近づくにつれて急激に大きくなるパラメータは群屈折率である。ここで群屈折率とは、フォトニック結晶中での光のエネルギー伝搬速度に対する、真空中での光速度の比であり、エネルギーバンド構造から、次の数１４式を用いて求めることができる。
【００６５】
【数１４】
【００６６】
従って、反射防止膜を設計するときにｎ３を計算によって厳密に求める替わりに、群屈折率ｎｇを用いても良い近似が成り立つと予想される。
【００６７】
続いて、参考例としての２次元もしくは３次元フォトニック結晶に対する反射防止膜形成法について説明する。
【００６８】
１次元フォトニック結晶の場合には、上述のようにｎ３の値を数式により厳密に求めることができたが、より構造が複雑な２次元または３次元フォトニック結晶の場合にはこの手法は適用できない。そこで、ｎ３の値の第一近似としては、フォトニックバンド図から容易に求めることができる群屈折率ｎｇを用いれば良い。フォトニックバンド図の計算は、平面波展開法や有限差分時間領域（ＦＤＴＤ）法等の一般的手法が適用できる。また、群屈折率ｎｇはフォトニックバンド図から上記数１４式を用いて導出できる。このｎｇを数１式、及び数２式へ代入することによって反射防止膜の屈折率ｎ３と膜厚ｄを導出することができる。
【００６９】
なお、これらの値は、ｎ３の値として第一近似としてのｎｇの値を元に設計されているため、反射防止膜の最適値からは若干ずれている可能性もあり、補正が必要な場合がある。具体的な補正の仕方は次の通りである。１次元結晶の場合の反射率の屈折率、膜厚の依存性を示した図４を見ると、屈折率をある値に固定した時に、反射率が最小となるある膜厚が必ず存在する。従って２次元或いは３次元フォトニック結晶の場合も同様であるので、上記のように求めた屈折率ｎ２を固定しておいて、ｄの値を上で求めた近似値を中心にして変化させて、ＦＤＴＤ法などの数値計算を用いて、透過率が最大（反射率が最小）となるｄの最適値を求めれば良い。
【００７０】
ところで、屈折率は物質定数であるため、ｎ２の屈折率を有する媒質が存在しないか、存在しても実際の作製が難しい場合も考えられる。その場合には、ｎ２に近い屈折率を有する媒質を反射防止膜として用いても、或る程度の反射防止効果が得られる。この時、膜厚ｄは変数として見なし、λ／４膜となる値を初期値としてＦＤＴＤ法などの数値計算を行い、透過率が最大となる膜厚の最適値ｄを見つけることができる。
【００７１】
図６は、このような原理に基づいて、２次元もしくは３次元フォトニック結晶への反射防止膜形成に関する参考例を示す図である。図６のフォトニック結晶５１はこの場合の例として、２次元三角格子構造であって、背景媒質はＳｉ（屈折率３．５）５３、原子媒質は空気（屈折率１．０）５５であり、格子定数ａ＝０．７５μｍ、空気円柱の直径ｄ＝０．６５μｍである。この時ｄ／ａ＝０．８６７であり、このフォトニック結晶に対するエネルギーバンド構造は図１１で与えられる。このフォトニック結晶に対して光の入射端面５７と出射端面５９がある。ここで、フォトニック結晶領域の境界は、無限に続くフォトニック結晶の空気円柱に接する切断面であると定義をする。従って、図６の場合はフォトニック結晶領域の境面は図６中の境界（ｉ）に相当する。また、フォトニック結晶の外側は、この場合空気層である。
【００７２】
波長分波器等では比較的周波数の高い（エネルギーの高い）領域が利用されるため、今、規格化周波数Ωが０．４５６〜０．４９６において伝搬モードを有するバンドに注目する。ａ＝０．７５μｍの時、Ω＝ａ／λより、このバンドは波長に換算して１．５１２μｍ〜１．６４５μｍに相当するバンドである。
【００７３】
図７は、図１１のフォトニックバンド図から数１４式を用いて計算した、本発明のフォトニック結晶における群屈折率を表した図である。群屈折率は最低で１０程度、バンド端に近づくにつれて数十から１００程度に急激に大きくなっていく。従ってこの場合、無反射コーティングを施さない場合、空気（屈折率１）との屈折率差が大きいため、界面で大きな反射が生ずることが予想される。
【００７４】
図８（ｉ）は、入出射端面がフォトニック結晶領域の境界であった場合（反射防止膜が無い場合）の、光の透過スペクトルの計算結果を示したものである。計算にはＦＤＴＤ法を用いた。短パルスを入射端面の外側から入射させ、出射端面外側での時間波形をモニタし、それをフーリエ変換することにより、透過スペクトルを計算した。計算結果から、光の透過率は注目している波長帯域においてせいぜい数％程度であることが分かる。なお、透過スペクトルに振動構造が見られるのは、２０μｍ×２０μｍの有限な計算領域を設定しており、入射端面と出射端面の間で光の多重反射の影響が出ているためである。
【００７５】
このままでは、フォトニック結晶に光が殆ど入射できないため、反射防止構造を施す必要がある。フォトニック結晶に接する媒質の屈折率は１であるから、反射防止を施す波長をλ＝１．５５μｍ、この時の群屈折率を図８からｎｇ＝１０だとすれば、上記数１式を用いて反射防止膜の屈折率はｎ２＝（１０＊１）１／２＝３．２が導かれる。これはあくまで近似であるから、ここでは屈折率が３．５である背景媒質のＳｉを反射防止膜として用いることを考える。この時、λ／４膜としての膜厚は０．１１μｍと導かれる。この値を中心として、いくつかの膜厚に対しての透過率計算をＦＤＴＤ法を用いて行い、透過率が最大となる膜厚を見つければ良い。この場合、膜厚の最適値は０．１０μｍであった。
【００７６】
図８（ｉｉ）には、最適値であるｄ＝０．１０μｍの場合の透過率を示している。このような手法を用いれば、考えている波長帯域において８０％以上の透過率を実現することが可能であり、（ｉ）と比較して１０倍以上も透過率が向上している。
【００７７】
このように、光の入出力端面においてフォトニック結晶を構成するＳｉ層の厚みをある値に設定するだけで、透過率を８０％以上にすることが可能となる。この方法は従来例のごとく、入出射端面に微細な突起構造を設ける必要性がなく、単純に平らな面を出すだけであり、容易に実現可能である。
【００７８】
図９は、本発明によるフォトニック結晶への反射防止の構造に関する第２の実施の形態を示す図である。参考例では、フォトニック結晶の背景媒質が反射防止膜として機能していたが、この場合、反射防止膜の屈折率はフォトニック結晶の背景媒質の屈折率と同じであるため、反射防止膜としての設計最適条件には制約があった。そこで、第２の実施の形態では、その制約を取り除くため、反射防止膜をフォトニック結晶の背景媒質とは独立の媒質を用いることにより、反射防止膜としての最適条件により近づけることができる。図９はこの構造を示しており、フォトニック結晶の端面を加工した後に、蒸着等によりアモルファスＳｉ薄膜６５等の適切な屈折率有する媒質を両端面に成膜している。成膜する媒質はフォトニック結晶の背景媒質と異なるものを用いることも可能である。この場合の反射防止膜の屈折率は、フォトニック結晶の群屈折率とそれと接する媒質の中間の値である必要がある。さらには、反射防止膜の屈折率は、上記数１式で求められる屈折率ｎ２に近い値であることがより望ましい。この屈折率を元に、数２式での設計波長に対する膜厚の近似値を出発点として、さらにＦＤＴＤ法による数値計算も用いることにより、膜厚の最適設計が可能となる。
【００７９】
また、この手法を用いれば、先に述べた参考例において、反射防止膜の厚さが設計からずれていたとしても、その上に成膜する膜の厚さを調整することで、そのズレを補償することも可能となる。
【００８０】
２次元または３次元フォトニック結晶の場合も、１次元の場合と同様に反射防止膜として、屈折率の異なる媒質が２層以上重なり合わさった多層膜を用いても構わない。この場合の膜厚等の設計方法は、１次元フォトニック結晶の場合の表式（数１０式）から数１３式を用いればよい。また、その多層膜として、屈折率が異なる媒質が周期的配列されたフォトニック結晶構造であっても構わない。
【００８１】
本実施の形態では、フォトニック結晶を構成する媒質としてＳｉと空気を例にとったが、ＧａＡｓのような化合物半導体、ＳｉＯ２のような絶縁体など、動作波長において透明な物質であればほかの媒質であっても良い。また、本実施の形態で示した三角格子以外に、正方格子、六方格子等の他の２次元フォトニック結晶、あるいはダイヤモンド構造等の３次元フォトニック結晶であっても良い。
【００８２】
また、反射防止膜としてλ／４膜としたが、上記数２式より、膜厚は３λ／４、５λ／４、…等であっても良い。
【００８３】
さらに、本実施の形態では図６の紙面垂直方向には構造が十分に長く続く２次元三角格子構造のフォトニック結晶を例に用いて説明したが、その厚さが格子定数と同程度で、その上下が空気などの低屈折率媒質によって挟まれたスラブ型フォトニック結晶であっても良い。この時、スラブ型フォトニック結晶のバンド構造を求め、さらに群屈折率を導き、さらにＦＤＴＤ法も利用して、上記の手順によって反射防止を実現するためのＳｉ層厚を決定することができる。
【００８４】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明においては、フォトニック結晶の光の入出射端面に、ある一定厚さの反射防止膜を付加することにより、単純にかつ効果的にフォトニック結晶への光の入出力結合効率を向上させることができるフォトニック結晶の反射防止膜の構造とその形成方法とを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】１次元フォトニック結晶への反射防止膜（単層）の構造を説明するための図である。
【図２】１次元フォトニック結晶への反射防止膜（Ｎ−１層）の構造を説明するための図である。
【図３】１次元フォトニック結晶に対する最適な反射防止膜の膜厚と屈折率をマップした図である。
【図４】１次元フォトニック結晶に対する最適な反射防止膜に対する、反射率を示した図である。
【図５】１次元フォトニック結晶の反射率の、屈折率と膜厚依存性を示した図である。
【図６】本発明による反射防止構造を有するフォトニック結晶の第２の実施の形態を示す図である。
【図７】 参考例によるフォトニック結晶構造に対する群屈折率を示した図である。
【図８】図６における、（ｉ）と（ｉｉ）に対応したフォトニック結晶の光の入出射端面の違いによる、透過スペクトルの変化を示した図である。
【図９】 本発明による反射防止構造を有するフォトニック結晶の第２の実施の形態を示す図である。
【図１０】（ａ）２次元フォトニック結晶の構造例を上面から見た図である。
（ｂ）２次元フォトニック結晶構造に対する第１ブリルアンゾーン示した図である。
【図１１】図１０（ａ）の構造に対するエネルギーバンド図の計算例である。
【図１２】屈折率の異なる２つの一様媒質の境界面における反射防止膜の設計手法を説明するための図である。
【図１３】フォトニック結晶に対する反射防止構造を有する従来例を説明するための図である。
【符号の説明】
１５ 背景媒質
１７ 原子媒質
１９ 反射防止膜
２１ 一様媒質
２３ 一様媒質
２５ Ｓｉ
２７ 空気円柱
２９ 突起構造
３１ 入射光
３３ 出射光
３５ フォトニック結晶の単位胞
３７ １次元フォトニック結晶
３９ 反射防止膜（無反射膜）
４１ フォトニック結晶と一様媒質との境界
４３ 屈折率分布
４５ 一様媒質
４７ 反射防止膜（無反射膜）
５１ フォトニック結晶
５３ Ｓｉ
５５ 空気
５７ 光の入射端面
５９ 光の出射端面
６１ 入射光
６３ 出射光
６５ アモルファスＳｉ薄膜
【発明の属する技術分野】
本発明は、反射防止膜の構造に関し、特にフォトニック結晶に対する反射防止膜の構造とその形成方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、特異な分散特性を有していること、あるいは光をサブμｍという微小な領域に強く閉じ込めたりすることができることなどから、フォトニック結晶が注目を浴びている。
【０００３】
フォトニック結晶とは、屈折率の異なる２つ以上の媒質が光の波長オーダ、すなわちサブμｍ周期で３次元もしくは２次元周期的に規則正しく配列されたものである。１次元の場合は、所謂誘電体多層膜であるが、その周期性によって特徴的な光学的性質を示すことや、理論解析の結果から２次元または３次元にも応用できる有益な情報が得られるため、ここではその１次元の場合も含めてフォトニック結晶と呼ぶことにする。
【０００４】
図１０（ａ）はこのフォトニック結晶の構造の一例として、２次元三角格子フォトニック結晶の概略構造を示す図である。図１０（ａ）に示すように、これは背景媒質１５中に２次元三角格子状に円柱形の原子媒質１７が埋め込まれた構造となっている。
【０００５】
また、図１０（ｂ）は図１０（ａ）の２次元三角格子構造に対応する、第１ブリルアンゾーンを示す図である。図１０（ｂ）に示すように、第１ブリルアンゾーンは正六角形をしており、その頂点がＫ点、各辺の中点がＭ点、正六角形の中心がΓ点となる。このようなフォトニック結晶においては、フォトニック結晶中に存在する光波に対して、エネルギーバンド構造（フォトニックバンド構造）を形成することが知られている。
【０００６】
図１１は、図１０のフォトニック結晶構造に対するフォトニックバンドの計算例を示す図である。図１１に示すように、ここでは背景媒質をＳｉに、原子媒質を空気とし、空気円柱の直径：ｄと格子間隔：ａの比はｄ／ａ＝０．８６７として計算している。なお、光の電場ベクトルの向きは紙面に垂直方向の場合について計算した。縦軸は規格化周波数であり、真空中での光の波長：λを用いてΩ＝ａ／λと表される。図１１中において破線でエネルギー領域には光の伝搬モードが存在せず、フォトニックバンドギャップ（ＰＢＧ）と呼ばれている。
【０００７】
ＰＢＧ以外のエネルギー領域ではフォトニック結晶中を光が伝搬することができるが、この中には強い波長分散を有するエネルギー領域が存在することが知られている。この強い波長分散特性を利用した発明として、特開平１１−２７１５４１号公報（従来技術１と呼ぶ）に開示されている波長分波回路や、特開２０００−１２１９８７（従来技術２と呼ぶ）に開示されている波長分散補償器が挙げられる。
【０００８】
しかし、従来技術１及び２に開示されたデバイスを実用化するためには、これらデバイスを構成するフォトニック結晶内に、フォトニック結晶と接する媒質（一般的には空気）から、光を高効率で入射させる必要がある。即ち、フォトニック結晶に対する無反射コーティングが必要となる。
【０００９】
一般に、屈折率の異なる２種類の一様媒質が平面で接する時に、境界面での反射率をゼロにする方法として、図１２に示す無反射防止膜１９が広く知られている。これは、一様媒質２１の屈折率がｎ１、一様媒質２３の屈折率がｎ３である時、波長λの光に対して、反射防止膜３３の屈折率ｎ３と膜厚ｄをそれぞれ次の数１式、数２式のようにすれば、とすれば、理論上無反射にすることが可能である。
【００１０】
【数１】
上記数２式より、この反射防止膜はλ／４膜と呼ばれることがある。
【００１２】
ところが、フォトニック結晶の場合、一様媒質のようには屈折率を単純には定義できないし、またフォトニック結晶の領域がどこまでなのかを単純には定義できないので、上記のような一様媒質に対する反射防止膜の手法をそのまま用いることができない。
【００１３】
一方、フォトニック結晶に対する反射防止膜としては、第６２回応用物理学会学術講演会講演予稿集１０６５ページ（以下、従来技術３と呼ぶ）に掲載されている、突起付きフォトニック結晶構造も提案されている。
【００１４】
図１３は従来技術３による構造を示す図である。図１３を参照すると、背景媒質であるＳｉ２５中にと空気円柱２７が埋め込まれた２次元三角格子フォトニック結晶領域と、一様なＳｉの領域との境界部分に、半円柱と三角柱とを組み合わせた空気柱の突起構造２９を設けている。この突起構造２９の効果により、フォトニック結晶とそれと接するＳｉとの境界面での透過率が、突起構造のない場合と比較して約１５ｄＢほど改善されている。
【００１５】
ところが、従来技術３による例では、突起構造は実際問題として大きさが１μｍ程度かそれ以下であり、１０〜２０°程度の非常に鋭い角度の空気柱が必要となる。このような構造をドライエッチィング等により実際に作製する場合には、加工精度により角が丸くなることが予想され、設計した構造を正確に作製することは非常に困難であると考えられる。
【００１６】
【発明が解決しようとする課題】
このように、従来の均一媒質への反射防止膜の手法は、そのままではフォトニック結晶には適用できず、また、上述の突起構造付きフォトニック結晶による反射防止の手法は、その実現が非常に困難であった。
【００１７】
そこで、本発明の技術的課題は、このような従来のフォトニック結晶への反射防止膜形成手法における欠点を除去し、より簡単な方法で確実に、フォトニック結晶に対する反射防止を行うことができるフォトニック結晶への反射防止膜の構造を提供することにある。
【００１８】
【課題を解決するための手段】
本発明による１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造は、光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶において、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階偏微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面に付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴としている。
【００１９】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の構造は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴としている。
【００２０】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の構造は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、反射防止膜と１次元フォトニック結晶との境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴としている。
【００２５】
また、本発明のフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法であって、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階編微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴としている。
【００２６】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴とする。
【００２７】
また、本発明による１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、当該反射防止膜と１次元フォトニックとの境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴とする。
【００２８】
また、本発明によるフォトニック結晶へ反射防止膜の形成方法は、屈折率の異なる２種類以上の物質を、２次元あるいは３次元周期的に規則正しく配列した２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法であって、前記フォトニック結晶中への光の入射効率を高めるために、前記フォトニック結晶の端面に、当該フォトニック結晶を構成する媒質のうちの一つからなる媒質による薄膜を付加することを特徴とする。
【００２９】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質の膜厚が、所定の手法により求めた膜厚であることを特徴とする。
【００３０】
また、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法は、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質が、当該フォトニック結晶を構成する媒質とは独立の媒質からなり、その媒質の屈折率および膜厚が所定の手法により求めたものであることを特徴とする。
【００３１】
さらに、本発明によるフォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、２次元あるいは３次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるためにフォトニック結晶の端面に付加する媒質が、当該フォトニック結晶を構成する媒質とは独立の屈折率の異なる２つ以上の媒質によって構成される多層膜であることを特徴とする。
【００３２】
【発明の実施の形態】
本発明の実施の形態について、図面を参照して説明する。
【００３３】
まず、初めに、１次元フォトニック結晶（周期的な誘電体多層膜）に対する反射防止膜形成の新しい原理について説明する。１次元フォトニック結晶とは、ある１方向に周期的な屈折率の空間変化があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有するフォトニック結晶のことを言う。この１次元フォトニック結晶を碧開した表面に反射防止膜を形成する場合を考える。反射防止膜形成の基本的な考え方は従来のλ／４膜による無反射コーティングの手法に基づくが、フォトニック結晶内の屈折率は周期的に変化しているので、それを反射防止膜の設計においてどのように扱うかが発明のポイントとなる。
【００３４】
ここで、従来の技術の項で述べたように一様誘電体に対する無反射コーティングの手法は既に確立しているが、１次元フォトニック結晶（周期的な誘電体多層膜）に対する反射防止膜は本発明が最初である。
【００３５】
図１は、１次元フォトニック結晶への反射防止膜（単層）を示す図である。図１に示す結晶は、単位胞３５が格子定数Λで１次元的に周期配列した１次元フォトニック結晶３７と反射防止膜又は無反射膜（膜厚ｄ２）３９が境界４１で接する構造を有する。単位胞３５の内部の屈折率分布４３は、１次元方向に任意の空間分布を有し、図１中の光が入射する側の一様媒質４５の屈折率をｎ１、反射防止膜３９の屈折率はｎ２であるとする。またこれらを構成するすべての物質は透明な媒質であるとする。図１のフォトニック結晶に一様媒質４５から光を入射させたときの反射率を求める方法は次の３つのステップからなる。
【００３６】
第１のステップとして、一様媒質４５、反射防止膜３９、１次元フォトニック結晶３７の各領域における電磁場を各領域での固有モードで展開する。第２のステップとしてマックスウェルの境界条件によって電磁場を接続する。第３のステップは境界条件から得られた線形連立代数方程式を解くことである。この手順は通常の巨視的な電磁気学における手法と全く同じであるが、対象が１次元フォトニック結晶であるために、１次元フォトニック結晶中の固有モードをいかにして求めるかがまず問題となる。
【００３７】
一様媒質４５、反射防止膜３９の中での固有モードは平面波であり、１次元フォトニック結晶３７は周期構造であるからその固有モードはブロッホ波である。このブロッホ波は１周期分の転送行列の固有ベクトルとして得られる。
【００３８】
一般に透明媒質からなる１次元周期構造の転送行列Ｍは、次の数３式のように書ける［Ｐ．Ｙｅｈ ｅｔ ａｌ．， Ｊ．Ｏｐｔ．Ｓｏｃ． Ａｍ． Ｖｏｌ．６７，４２３（１９７７）］。
【００３９】
【数３】
ここで、上記数３式において、ａ，ｂ，ｃ，ｄは単位胞の構造によって決まる実関数であり、Ｅ，Ｈは表面に平行方向の電磁場（電場のｙ成分と磁場のｘ成分）を表す。また、エネルギー保存則から行列式ｄｅｔ Ｍ＝１である。転送行列Ｍの固有値λ±、規格化定数を除いた固有ベクトルｖ±は次の数４式及び数５式のように書ける。
【００４１】
【数４】
ここで、ｋはブロッホ波数であり電磁場のモードを指定するインデックスになる。また、数５式は、周期配列した１次元フォトニック結晶３７の固有モードであるので、これを用いてマックスウェルの境界条件から線形連立方程式を立てて振幅反射率を計算すると、一様媒質５６から光を垂直入射したときの振幅反射率は、次の数６式及び数７式で与えられる。
【００４３】
【数６】
ここで、上記数６式において、ｋ２は反射防止膜３９中の光の波数である。また、上記数６式および数７式は、屈折率ｎ２の一様媒質の両側にそれぞれ屈折率ｎ１、ｎ３の一様媒質があるときの振幅反射率と形式的には同じであるが、ここでは１次元フォトニック結晶を考えているため、ｎ３が物質定数である実数の屈折率ではない点が決定的に異なる。上記数７式中でのｎ３の定義は、周期的に広がる結晶３７中の光の固有モードであるブロッホ波（数５式）の境界４１における値を用いて、次の数８式が得られる。
【００４５】
【数８】
周期構造からなる１次元フォトニック結晶が作り出す非常に複雑な反射率への効果を上記数８式にすべて繰り込んで表すことができていることになるため、数８式は本発明の核心部分の１つである。
【００４７】
一般には、上記数８式中のｎ３は複素数であるので、一様誘電体に対する反射防止コーティングのように振幅反射率（数６式）がゼロになる膜厚ｄ２、屈折率ｎ２を選ぶことは一般にはできないが、次の数９式で示される１層の無反射膜を有するフォトニック結晶の反射率を最小にすることはできる。
【００４８】
【数９】
すなわち、無反射膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２を設計するときは、反射率Ｒ１のｄ２、ｎ２に関する１階偏微分係数がゼロになり、２階偏微分係数が正であるｎ２、ｄ２を求めればよい。以上の原理によって単層の反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶の反射防止膜３９の最適な膜厚ｄ２と屈折率ｎ２を設計することが可能になる。また、上記数８式が実数になる場合、すなわち電場と磁場の位相が一致するときには無反射コーティングによって反射をゼロできる。１次元フォトニック結晶と反射防止膜との境界を無限１次元フォトニック結晶の鏡映面に選んだ場合は、上記数５式が必ず実数になるので、無反射コーティングで反射をゼロにする境界面を選ぶことができる。よって、そのように境界を選ぶことが重要である。また、鏡映面がない一般の場合でも、上記の手法によって反射を最小にできるし、以下に述べる多層の反射防止膜により反射をゼロにすることもできる。
【００５０】
次に、以上に示したフォトニック結晶への単層の反射防止膜の設計手法とその原理を、１次元フォトニック結晶への多層の反射防止の形成の場合に拡張する。また同時に、１次元フォトニック結晶に任意の入射角、任意の偏光（ＴＭ偏光（ｐ偏光）またはＴＥ偏光（ｓ偏光））入射する場合にも拡張する。
【００５１】
図２は、１次元フォトニック結晶へのＮ−１層の反射防止膜を形成し、任意の角度、任意の偏光で光が入射する場合を説明する図である。図２（多層反射防止膜の場合）と図１（単層反射防止膜の場合）では、（Ａ）反射防止膜が単層から多層になっている点，（Ｂ）光が任意の入射角をもっている点，（Ｃ）光が任意の偏光（ＴＭまたはＴＥ）をもっている点、の３点を除けば、１次元フォトニック結晶と反射防止膜の境界４１の定義、１次元フォトニック結晶の単位胞３５の定義と単位胞３５の中では任意の空間分布をもつ屈折率４３を含めてすべて図１と同じ条件の結晶を考える。
【００５２】
上記数８式と，振幅反射率ｒ２，３を表す上記数７式から屈折率がｎ２である一様媒質から１次元フォトニック結晶に光が入射したときの振幅反射率が求まるので、Ｎ−１層の無反射膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率ＲＮ−１は次の、数１０，１１，１２，及び１３式のようにかける。
【００５３】
【数１０】
上記数１１式は［Ｒ．Ｂｅｌｌｍａｎ ａｎｄ Ｇ．Ｍ．Ｗｉｎｇ， Ａｎ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｉｍｂｅｄｄｉｎｇ，ＮｅｗＹｏｒｋ， ＭｃＧｒａｗ−Ｈｉｌｌ，１９７５］によるものであり、再帰的に用いて計算を行うことに注意を要する。ｋｉ、ｄｉ はｉ番目の反射防止膜での境界に垂直方向の光の波数と膜厚でありｎｉ（ｉ＝１，２，…Ｎ）はそれぞれの領域における屈折率である。また、α＝−１（ＴＭ偏光）、１（ＴＥ偏光）であり、β＝ｃｋＮ／ωｎＮ ２（ＴＭ偏光），−ω／ｃｋＮ（ＴＥ偏光）である。上記数１３式のＥｋ、Ｈｋ はＴＭ偏光、ＴＥ偏光それぞれにおける、表面に平行な電場成分と磁場成分であることに注意が必要である。反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率の式（数６式）と同様で、上記数１１式は形式的には一様誘電体多層膜の反射率と同じであるが、数８式に対応する数１３式が、物質定数である実数の屈折率ではないことが決定的に異なる。また光の反射において非常に複雑な振る舞いを示す１次元フォトニック結晶の効果が、すべて数１３式に繰り込まれているという重要性から、数１３式も本発明の核心部分の１つである。
【００５５】
また、上記数１０式から数１３式を用いて反射率ＲＮ−１のｎｉ，ｄｉ（ｉ＝２，３，…，Ｎ）に関する１階微分係数がゼロになり、２階微分係数が正になるｎｉ，ｄｉ（ｉ＝２，３，…，Ｎ）を求めれば、その設計値を用いてＮ−１層の反射膜を有する１次元フォトニック結晶の反射率を最小にすることができる。
【００５６】
以上のＮ−１層からなる反射防止膜の膜厚やその屈折率の設計手法とその原理は、入射光の入射角度、偏光方向によらず、コーティングする反射防止膜の枚数にも依存せず一般に成り立つ。またさらに単層の場合と同様に、単位胞を構成する物質の種類や数、形状、厚さに依存しないので、あらゆる多層反射防止膜を有する１次元フォトニック結晶に対して成り立つ。
【００５７】
次に、本発明の第１の実施の形態を具体例の１つとして示すために、単層の反射防止膜を有し、周期部分の単位胞が膜厚の等しいＳｉＯ２（屈折率１．５）アモルファスＳｉ（屈折率３．５）の２層から構成されている結晶を考える。
【００５８】
図３は前述の原理を用いて求めた反射率が最小になる反射防止膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２のマップを示す図である。図３において、縦軸の膜厚はλ０／４ｎ２（λ０は真空中の波長）で規格化してある。図３中のＢ１〜Ｂ５はエネルギーの小さい順に第１バンドから第５バンドを表しており、それぞれがマップ上で曲線になって現れる理由は、最適な膜厚ｄ２、屈折率ｎ２がフォトニック結晶のバンドおよび光の波長に依存するからである。
【００５９】
図４は、図３によって得られた最適な膜厚ｄ２、屈折率ｎ２を用いて計算された反射率を示している。図４中の実線は反射防止膜をコーティングした結晶の反射率、点線は無反射膜が存在しない場合の反射率である。図４（ａ）、（ｂ）、（ｃ）はそれぞれ、規格化された光の振動数（Ω＝Λ／λ）が０．５、０．７、０．９のときに反射が最小になるように設計してあり、その周波数を矢印で示してある。
【００６０】
図３からわかるように矢印で示された光の振動数において、反射防止膜のある場合の反射率（実線）がゼロに極めて近くなり、反射防止膜がない場合（点線）の反射率を低減していることがわかる。
【００６１】
図５は、図４の計算に使われた反射防止膜の設計値（膜厚ｄ２、屈折率ｎ２）が確かに反射率を最小にする値であることを示すために、反射率の無反射膜の膜厚ｄ２と屈折率ｎ２依存性を等高線でプロットしたものである。等高線は最大値と最小値の間に等間隔で１０本の線で描いてある。また、反射率の最大値を黒色、最小値を白色としてグラデーションをつけて併せて示している。×印で示した点が図４の反射率の計算に使われた最適設計値であり、確かにその設計値において反射率が最小になっていることが確認できる。
【００６２】
以上、１次元フォトニック結晶への反射防止膜形成法の原理に基づき、本発明の第１の実施の形態について説明した。ここではその単位胞が膜厚の等しいＳｉＯ２とアモルファスＳｉからなり、単層の反射防止膜をコーティングした場合の結果を示した。しかしながら、反射防止膜の設計方法とその原理は、単位胞を構成する物質の種類や数、形状、厚さに依存せず、コーティングする反射防止膜の枚数、入射光の入射角度、偏光方向にも依存しないため、あらゆる透明媒質からなる１次元フォトニック結晶について全く同じ原理に基づいて最適な（反射率が最小もしくはゼロになる）反射防止膜を設計することが可能である。
【００６３】
また、単層からなる反射防止膜の場合、反射防止膜の屈折率、膜厚のいずれか１つのみを最適化した構造も本発明の動作原理に基づくものである。更にＮ−１層からなる反射防止膜の場合、反射防止膜のＮ−１個の屈折率、Ｎ−１個の膜厚のいずれかを最適化した構造も本発明の動作原理に基づくものである。つまりすべての膜厚、屈折率について最適な値にならずとも、本発明の反射防止膜形成の動作原理によるものである。
【００６４】
次に、２次元または３次元フォトニック結晶に対する反射防止膜の構造について考える。２次元または３次元フォトニック結晶の反射率の計算は、１次元のそれと比較して計算量が膨大であり、厳密に計算することは非常に困難である。１次元の場合、ＰＢＧに近づくと反射率が急激に大きくなるが、これはｎ３の値が急激に大きくなっていることを示している。一方、ＰＢＧに近づくにつれて急激に大きくなるパラメータは群屈折率である。ここで群屈折率とは、フォトニック結晶中での光のエネルギー伝搬速度に対する、真空中での光速度の比であり、エネルギーバンド構造から、次の数１４式を用いて求めることができる。
【００６５】
【数１４】
従って、反射防止膜を設計するときにｎ３を計算によって厳密に求める替わりに、群屈折率ｎｇを用いても良い近似が成り立つと予想される。
【００６７】
続いて、参考例としての２次元もしくは３次元フォトニック結晶に対する反射防止膜形成法について説明する。
【００６８】
１次元フォトニック結晶の場合には、上述のようにｎ３の値を数式により厳密に求めることができたが、より構造が複雑な２次元または３次元フォトニック結晶の場合にはこの手法は適用できない。そこで、ｎ３の値の第一近似としては、フォトニックバンド図から容易に求めることができる群屈折率ｎｇを用いれば良い。フォトニックバンド図の計算は、平面波展開法や有限差分時間領域（ＦＤＴＤ）法等の一般的手法が適用できる。また、群屈折率ｎｇはフォトニックバンド図から上記数１４式を用いて導出できる。このｎｇを数１式、及び数２式へ代入することによって反射防止膜の屈折率ｎ３と膜厚ｄを導出することができる。
【００６９】
なお、これらの値は、ｎ３の値として第一近似としてのｎｇの値を元に設計されているため、反射防止膜の最適値からは若干ずれている可能性もあり、補正が必要な場合がある。具体的な補正の仕方は次の通りである。１次元結晶の場合の反射率の屈折率、膜厚の依存性を示した図４を見ると、屈折率をある値に固定した時に、反射率が最小となるある膜厚が必ず存在する。従って２次元或いは３次元フォトニック結晶の場合も同様であるので、上記のように求めた屈折率ｎ２を固定しておいて、ｄの値を上で求めた近似値を中心にして変化させて、ＦＤＴＤ法などの数値計算を用いて、透過率が最大（反射率が最小）となるｄの最適値を求めれば良い。
【００７０】
ところで、屈折率は物質定数であるため、ｎ２の屈折率を有する媒質が存在しないか、存在しても実際の作製が難しい場合も考えられる。その場合には、ｎ２に近い屈折率を有する媒質を反射防止膜として用いても、或る程度の反射防止効果が得られる。この時、膜厚ｄは変数として見なし、λ／４膜となる値を初期値としてＦＤＴＤ法などの数値計算を行い、透過率が最大となる膜厚の最適値ｄを見つけることができる。
【００７１】
図６は、このような原理に基づいて、２次元もしくは３次元フォトニック結晶への反射防止膜形成に関する参考例を示す図である。図６のフォトニック結晶５１はこの場合の例として、２次元三角格子構造であって、背景媒質はＳｉ（屈折率３．５）５３、原子媒質は空気（屈折率１．０）５５であり、格子定数ａ＝０．７５μｍ、空気円柱の直径ｄ＝０．６５μｍである。この時ｄ／ａ＝０．８６７であり、このフォトニック結晶に対するエネルギーバンド構造は図１１で与えられる。このフォトニック結晶に対して光の入射端面５７と出射端面５９がある。ここで、フォトニック結晶領域の境界は、無限に続くフォトニック結晶の空気円柱に接する切断面であると定義をする。従って、図６の場合はフォトニック結晶領域の境面は図６中の境界（ｉ）に相当する。また、フォトニック結晶の外側は、この場合空気層である。
【００７２】
波長分波器等では比較的周波数の高い（エネルギーの高い）領域が利用されるため、今、規格化周波数Ωが０．４５６〜０．４９６において伝搬モードを有するバンドに注目する。ａ＝０．７５μｍの時、Ω＝ａ／λより、このバンドは波長に換算して１．５１２μｍ〜１．６４５μｍに相当するバンドである。
【００７３】
図７は、図１１のフォトニックバンド図から数１４式を用いて計算した、本発明のフォトニック結晶における群屈折率を表した図である。群屈折率は最低で１０程度、バンド端に近づくにつれて数十から１００程度に急激に大きくなっていく。従ってこの場合、無反射コーティングを施さない場合、空気（屈折率１）との屈折率差が大きいため、界面で大きな反射が生ずることが予想される。
【００７４】
図８（ｉ）は、入出射端面がフォトニック結晶領域の境界であった場合（反射防止膜が無い場合）の、光の透過スペクトルの計算結果を示したものである。計算にはＦＤＴＤ法を用いた。短パルスを入射端面の外側から入射させ、出射端面外側での時間波形をモニタし、それをフーリエ変換することにより、透過スペクトルを計算した。計算結果から、光の透過率は注目している波長帯域においてせいぜい数％程度であることが分かる。なお、透過スペクトルに振動構造が見られるのは、２０μｍ×２０μｍの有限な計算領域を設定しており、入射端面と出射端面の間で光の多重反射の影響が出ているためである。
【００７５】
このままでは、フォトニック結晶に光が殆ど入射できないため、反射防止構造を施す必要がある。フォトニック結晶に接する媒質の屈折率は１であるから、反射防止を施す波長をλ＝１．５５μｍ、この時の群屈折率を図８からｎｇ＝１０だとすれば、上記数１式を用いて反射防止膜の屈折率はｎ２＝（１０＊１）１／２＝３．２が導かれる。これはあくまで近似であるから、ここでは屈折率が３．５である背景媒質のＳｉを反射防止膜として用いることを考える。この時、λ／４膜としての膜厚は０．１１μｍと導かれる。この値を中心として、いくつかの膜厚に対しての透過率計算をＦＤＴＤ法を用いて行い、透過率が最大となる膜厚を見つければ良い。この場合、膜厚の最適値は０．１０μｍであった。
【００７６】
図８（ｉｉ）には、最適値であるｄ＝０．１０μｍの場合の透過率を示している。このような手法を用いれば、考えている波長帯域において８０％以上の透過率を実現することが可能であり、（ｉ）と比較して１０倍以上も透過率が向上している。
【００７７】
このように、光の入出力端面においてフォトニック結晶を構成するＳｉ層の厚みをある値に設定するだけで、透過率を８０％以上にすることが可能となる。この方法は従来例のごとく、入出射端面に微細な突起構造を設ける必要性がなく、単純に平らな面を出すだけであり、容易に実現可能である。
【００７８】
図９は、本発明によるフォトニック結晶への反射防止の構造に関する第２の実施の形態を示す図である。参考例では、フォトニック結晶の背景媒質が反射防止膜として機能していたが、この場合、反射防止膜の屈折率はフォトニック結晶の背景媒質の屈折率と同じであるため、反射防止膜としての設計最適条件には制約があった。そこで、第２の実施の形態では、その制約を取り除くため、反射防止膜をフォトニック結晶の背景媒質とは独立の媒質を用いることにより、反射防止膜としての最適条件により近づけることができる。図９はこの構造を示しており、フォトニック結晶の端面を加工した後に、蒸着等によりアモルファスＳｉ薄膜６５等の適切な屈折率有する媒質を両端面に成膜している。成膜する媒質はフォトニック結晶の背景媒質と異なるものを用いることも可能である。この場合の反射防止膜の屈折率は、フォトニック結晶の群屈折率とそれと接する媒質の中間の値である必要がある。さらには、反射防止膜の屈折率は、上記数１式で求められる屈折率ｎ２に近い値であることがより望ましい。この屈折率を元に、数２式での設計波長に対する膜厚の近似値を出発点として、さらにＦＤＴＤ法による数値計算も用いることにより、膜厚の最適設計が可能となる。
【００７９】
また、この手法を用いれば、先に述べた参考例において、反射防止膜の厚さが設計からずれていたとしても、その上に成膜する膜の厚さを調整することで、そのズレを補償することも可能となる。
【００８０】
２次元または３次元フォトニック結晶の場合も、１次元の場合と同様に反射防止膜として、屈折率の異なる媒質が２層以上重なり合わさった多層膜を用いても構わない。この場合の膜厚等の設計方法は、１次元フォトニック結晶の場合の表式（数１０式）から数１３式を用いればよい。また、その多層膜として、屈折率が異なる媒質が周期的配列されたフォトニック結晶構造であっても構わない。
【００８１】
本実施の形態では、フォトニック結晶を構成する媒質としてＳｉと空気を例にとったが、ＧａＡｓのような化合物半導体、ＳｉＯ２のような絶縁体など、動作波長において透明な物質であればほかの媒質であっても良い。また、本実施の形態で示した三角格子以外に、正方格子、六方格子等の他の２次元フォトニック結晶、あるいはダイヤモンド構造等の３次元フォトニック結晶であっても良い。
【００８２】
また、反射防止膜としてλ／４膜としたが、上記数２式より、膜厚は３λ／４、５λ／４、…等であっても良い。
【００８３】
さらに、本実施の形態では図６の紙面垂直方向には構造が十分に長く続く２次元三角格子構造のフォトニック結晶を例に用いて説明したが、その厚さが格子定数と同程度で、その上下が空気などの低屈折率媒質によって挟まれたスラブ型フォトニック結晶であっても良い。この時、スラブ型フォトニック結晶のバンド構造を求め、さらに群屈折率を導き、さらにＦＤＴＤ法も利用して、上記の手順によって反射防止を実現するためのＳｉ層厚を決定することができる。
【００８４】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明においては、フォトニック結晶の光の入出射端面に、ある一定厚さの反射防止膜を付加することにより、単純にかつ効果的にフォトニック結晶への光の入出力結合効率を向上させることができるフォトニック結晶の反射防止膜の構造とその形成方法とを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】１次元フォトニック結晶への反射防止膜（単層）の構造を説明するための図である。
【図２】１次元フォトニック結晶への反射防止膜（Ｎ−１層）の構造を説明するための図である。
【図３】１次元フォトニック結晶に対する最適な反射防止膜の膜厚と屈折率をマップした図である。
【図４】１次元フォトニック結晶に対する最適な反射防止膜に対する、反射率を示した図である。
【図５】１次元フォトニック結晶の反射率の、屈折率と膜厚依存性を示した図である。
【図６】本発明による反射防止構造を有するフォトニック結晶の第２の実施の形態を示す図である。
【図７】 参考例によるフォトニック結晶構造に対する群屈折率を示した図である。
【図８】図６における、（ｉ）と（ｉｉ）に対応したフォトニック結晶の光の入出射端面の違いによる、透過スペクトルの変化を示した図である。
【図９】 本発明による反射防止構造を有するフォトニック結晶の第２の実施の形態を示す図である。
【図１０】（ａ）２次元フォトニック結晶の構造例を上面から見た図である。
（ｂ）２次元フォトニック結晶構造に対する第１ブリルアンゾーン示した図である。
【図１１】図１０（ａ）の構造に対するエネルギーバンド図の計算例である。
【図１２】屈折率の異なる２つの一様媒質の境界面における反射防止膜の設計手法を説明するための図である。
【図１３】フォトニック結晶に対する反射防止構造を有する従来例を説明するための図である。
【符号の説明】
１５ 背景媒質
１７ 原子媒質
１９ 反射防止膜
２１ 一様媒質
２３ 一様媒質
２５ Ｓｉ
２７ 空気円柱
２９ 突起構造
３１ 入射光
３３ 出射光
３５ フォトニック結晶の単位胞
３７ １次元フォトニック結晶
３９ 反射防止膜（無反射膜）
４１ フォトニック結晶と一様媒質との境界
４３ 屈折率分布
４５ 一様媒質
４７ 反射防止膜（無反射膜）
５１ フォトニック結晶
５３ Ｓｉ
５５ 空気
５７ 光の入射端面
５９ 光の出射端面
６１ 入射光
６３ 出射光
６５ アモルファスＳｉ薄膜
Claims (6)
- 光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶において、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階偏微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面に付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造。
- 請求項１記載の１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造。
- 請求項１記載の１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造において、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、当該反射防止膜と１次元フォトニック結晶との境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の構造。
- 光を伝搬させようとするある一方向にのみ周期的な屈折率の空間分布があり、その方向に垂直な方向には均一な屈折率分布を有する１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法であって、屈折率がｎ １ の一様媒質を介して前記１次元フォトニック結晶へ光を入射する場合、反射防止膜の厚さｄ２と屈折率ｎ２ とし、前記１次元フォトニック結晶と前記反射防止膜の境界面におけるブロッホ電場をＥｋ、ブロッホ磁場をＨｋと定義した時、屈折率ｎ ３ ＝−Ｈｋ／Ｅｋの一様媒質と見なして反射率をｎ １ 、ｎ ２ 、ｄ ２ およびｎ ３ を用いて表わした時、反射率のｄ２とｎ２に関する１階編微分係数がゼロになり、反射率のｄ２とｎ２に関する２階微分係数が正である屈折率と厚さを有する媒質をその端面付加することにより、前記１次元フォトニック結晶中への光の入射効率を高めることを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法。
- 請求項４に記載の１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるために付加する媒質が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されていることを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法。
- 請求項４に記載の１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法において、光の入射効率を高めるために付加する構造が１種類以上の媒質からなる薄膜で構成されており、当該反射防止膜と１次元フォトニックとの境界面が無限フォトニック結晶の鏡映面と一致することを特徴とする１次元フォトニック結晶への反射防止膜の形成方法。
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