JP3445010B2 - ベジェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置 - Google Patents
ベジェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、ＣＡＤ等の図形処理装
置におけるベジェ(Bezier)曲線と２次元図形、すなわ
ち、直線，円，楕円等との交点を算出する交点算出方法
に関するものである。
置におけるベジェ(Bezier)曲線と２次元図形、すなわ
ち、直線，円，楕円等との交点を算出する交点算出方法
に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】従来、ベジェ曲線と２次元図形との交点
の算出は、ベジェ曲線を表現するパラメトリックな式を
陰関数で表された２次元図形の式に代入することによっ
て、パラメータに関する式を作り、それを解く代数的方
法が知られている。又、例えばベジェ曲線と直線との交
点の算出としては、幾何的な方法として、ベジェ曲線の
凸閉包と２次元図形とが干渉するかぎりベジェ曲線を再
帰的に分割し、ベジェ曲線が直線とみなせる幾何的許容
誤差以内となる分割数に達した時点で、ベジェ曲線を直
線とみなして２直線の交点を求める方法が、ベジェ分割
法として知られている。
の算出は、ベジェ曲線を表現するパラメトリックな式を
陰関数で表された２次元図形の式に代入することによっ
て、パラメータに関する式を作り、それを解く代数的方
法が知られている。又、例えばベジェ曲線と直線との交
点の算出としては、幾何的な方法として、ベジェ曲線の
凸閉包と２次元図形とが干渉するかぎりベジェ曲線を再
帰的に分割し、ベジェ曲線が直線とみなせる幾何的許容
誤差以内となる分割数に達した時点で、ベジェ曲線を直
線とみなして２直線の交点を求める方法が、ベジェ分割
法として知られている。
【０００３】さらに、ベジェ曲線と２次元図形との交点
の算出として、ベジェ曲線から２次元図形までの距離と
なるような評価関数( 距離関数) を作成し、その関数の
値が“０”となるようなパラメータを交点とするベジェ
・クリッピング法も知られている。
の算出として、ベジェ曲線から２次元図形までの距離と
なるような評価関数( 距離関数) を作成し、その関数の
値が“０”となるようなパラメータを交点とするベジェ
・クリッピング法も知られている。
【０００４】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来の
方法でＣＡＤ等の計算機を使ってベジェ曲線と２次元図
形（直線，円，楕円）との交点算出を行う場合には、以
下のような問題があった。まず、代数的に解を求める従
来の方法だと、得られた交点が真の交点から幾何的許容
誤差だけ離れている場合があり、解がパラメトリックな
表現であるため、実空間との整合性がとりにくく誤差を
処理しにくくなる原因となっていた。更に、代数的方法
ではベジェ曲線の次数が高くなることによって解が求ま
らなくなってしまうという問題点があった。
方法でＣＡＤ等の計算機を使ってベジェ曲線と２次元図
形（直線，円，楕円）との交点算出を行う場合には、以
下のような問題があった。まず、代数的に解を求める従
来の方法だと、得られた交点が真の交点から幾何的許容
誤差だけ離れている場合があり、解がパラメトリックな
表現であるため、実空間との整合性がとりにくく誤差を
処理しにくくなる原因となっていた。更に、代数的方法
ではベジェ曲線の次数が高くなることによって解が求ま
らなくなってしまうという問題点があった。
【０００５】また、ベジェ分割法を用いた場合には、最
終的に求まる交点は直線に近似した曲線と直線との交点
なので、やはり交点が曲線上から幾何的許容誤差だけ離
れている所が交点として求まる場合が合った。従って、
代数的に解を求める方法あるいはベジェ分割法では、任
意の分割点を基に新たに元の曲線の部分曲線を生成して
いく過程で、部分曲線が元の曲線に乗らなくなり、新た
に生成した部分曲線と直線の交点と真の交点との誤差が
大きくなるという誤差の蓄積の問題が起る。
終的に求まる交点は直線に近似した曲線と直線との交点
なので、やはり交点が曲線上から幾何的許容誤差だけ離
れている所が交点として求まる場合が合った。従って、
代数的に解を求める方法あるいはベジェ分割法では、任
意の分割点を基に新たに元の曲線の部分曲線を生成して
いく過程で、部分曲線が元の曲線に乗らなくなり、新た
に生成した部分曲線と直線の交点と真の交点との誤差が
大きくなるという誤差の蓄積の問題が起る。
【０００６】以下に誤差の蓄積について、図示して説明
する。ベジェ曲線と直線の交点を求める従来の方法で
は、図２８に示すように、ステップ１１で得られたベジ
ェ曲線を直線に近似して算出された交点に基づいて、ス
テップ１２のように新たに生成された部分曲線は、交点
がベジェ曲線に乗ってないので元の曲線との間にズレが
生じる。さらに、ステップ１３のように、ステップ１２
で生成された部分曲線に対して直線近似により交点を求
め、さらに新たに部分曲線を生成して行くので、誤差が
蓄積して行くことになる。
する。ベジェ曲線と直線の交点を求める従来の方法で
は、図２８に示すように、ステップ１１で得られたベジ
ェ曲線を直線に近似して算出された交点に基づいて、ス
テップ１２のように新たに生成された部分曲線は、交点
がベジェ曲線に乗ってないので元の曲線との間にズレが
生じる。さらに、ステップ１３のように、ステップ１２
で生成された部分曲線に対して直線近似により交点を求
め、さらに新たに部分曲線を生成して行くので、誤差が
蓄積して行くことになる。
【０００７】また、ベジェ曲線と円の交点を求める従来
の方法でも、図２９に示すように、ステップ２１では幾
何的許容誤差以内に達した所で交点と定めるので、ステ
ップ２２のように、新たに生成された部分曲線に元の曲
線とのズレが生じる。更にステップ２３のように、ステ
ップ２２で生成された部分曲線に対して新たに部分曲線
を生成して行くので、誤差が蓄積して行くことになる。
の方法でも、図２９に示すように、ステップ２１では幾
何的許容誤差以内に達した所で交点と定めるので、ステ
ップ２２のように、新たに生成された部分曲線に元の曲
線とのズレが生じる。更にステップ２３のように、ステ
ップ２２で生成された部分曲線に対して新たに部分曲線
を生成して行くので、誤差が蓄積して行くことになる。
【０００８】また、ベジェ曲線と楕円の交点を求める従
来の方法でも、図３０に示すように、ステップ３１→ス
テップ３２→ステップ３３と新たに生成される曲線が、
元の曲線に乗らなくなる。本発明は、前記従来の欠点を
除去し、ベジェ曲線と２次元図形（例えば、直線または
円または楕円等）との交点算出において、正確にベジェ
曲線上に存在する交点を求めるベジェ曲線と２次元図形
との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置を提
供する。
来の方法でも、図３０に示すように、ステップ３１→ス
テップ３２→ステップ３３と新たに生成される曲線が、
元の曲線に乗らなくなる。本発明は、前記従来の欠点を
除去し、ベジェ曲線と２次元図形（例えば、直線または
円または楕円等）との交点算出において、正確にベジェ
曲線上に存在する交点を求めるベジェ曲線と２次元図形
との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置を提
供する。
【０００９】また、代数的方法で求まらなかった高い次
数のベジェ曲線との交点も求めることが可能となるベジ
ェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現す
る図形処理装置を提供する。更に、ベジェ曲線と２次元
図形（直線または円または楕円等）との交点を漏れなく
全て出力できるベジェ曲線と２次元図形との交点算出方
法及びこれを実現する図形処理装置を提供する。
数のベジェ曲線との交点も求めることが可能となるベジ
ェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現す
る図形処理装置を提供する。更に、ベジェ曲線と２次元
図形（直線または円または楕円等）との交点を漏れなく
全て出力できるベジェ曲線と２次元図形との交点算出方
法及びこれを実現する図形処理装置を提供する。
【００１０】
【課題を解決するための手段】上述の課題を解決するた
めに、本発明のベジェ曲線と２次元図形との交点算出方
法は、図形処理装置でベジェ曲線と２次元図形との交点
を算出する交点算出方法であって、記憶手段に制御点に
より記憶されている交点算出の対象となるベジェ曲線か
ら、de Casteljauのアルゴリズムに従って該ベジェ曲線
上の制御点であるｎ次までの制御点を順次算出して、算
出された制御点を前記記憶手段に記憶し、該ベジェ曲線
を前記ベジェ曲線上の制御点で分割するベジェ曲線分割
ステップと、前記分割されたベジェ曲線の各々に対応し
て、前記記憶手段に記憶された制御点から複数の凸閉包
ポリゴンを生成する凸閉包ポリゴン生成ステップと、前
記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉包ポリゴンと、前記記
憶手段に前記ベジェ曲線と同じ座標系で記憶されている
交点算出の対象となる２次元図形との交点を求めて、前
記記憶手段に記憶する交点算出ステップと、前記分割さ
れたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点と求められ
た前記交点との距離を求めて、該距離が幾何学的許容誤
差以内である場合に、前記記憶手段に記憶された前記始
点及び終点となる制御点の一方をベジェ曲線と２次元図
形との交点と決定する交点決定ステップとを備えること
を特徴とする。
めに、本発明のベジェ曲線と２次元図形との交点算出方
法は、図形処理装置でベジェ曲線と２次元図形との交点
を算出する交点算出方法であって、記憶手段に制御点に
より記憶されている交点算出の対象となるベジェ曲線か
ら、de Casteljauのアルゴリズムに従って該ベジェ曲線
上の制御点であるｎ次までの制御点を順次算出して、算
出された制御点を前記記憶手段に記憶し、該ベジェ曲線
を前記ベジェ曲線上の制御点で分割するベジェ曲線分割
ステップと、前記分割されたベジェ曲線の各々に対応し
て、前記記憶手段に記憶された制御点から複数の凸閉包
ポリゴンを生成する凸閉包ポリゴン生成ステップと、前
記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉包ポリゴンと、前記記
憶手段に前記ベジェ曲線と同じ座標系で記憶されている
交点算出の対象となる２次元図形との交点を求めて、前
記記憶手段に記憶する交点算出ステップと、前記分割さ
れたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点と求められ
た前記交点との距離を求めて、該距離が幾何学的許容誤
差以内である場合に、前記記憶手段に記憶された前記始
点及び終点となる制御点の一方をベジェ曲線と２次元図
形との交点と決定する交点決定ステップとを備えること
を特徴とする。
【００１１】ここで、前記交点決定ステップは、前記分
割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点と求め
られた前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内である
場合に、前記始点あるいは終点となる制御点をベジェ曲
線と２次元図形との交点候補とするステップと、前記交
点候補と前記分割されたベジェ曲線と２次元図形との既
に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以内でな
い場合は、前記交点候補を交点とするステップとを備え
る。また、前記交点決定ステップは、前記交点候補と前
記分割されたベジェ曲線と２次元図形との既に求められ
た交点との距離が幾何学的許容誤差以内である場合は、
前記交点候補を無効とするステップを更に備える。ま
た、前記分割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制
御点と求められた前記交点との距離が幾何学的許容誤差
以内でない場合に、前記分割されたベジェ曲線の１つを
交点算出の対象となるベジェ曲線と見なして、再帰的に
前記曲線分割ステップと凸閉包ポリゴン生成ステップと
交点算出ステップとを繰り返す再帰処理ステップを更に
備える。また、前記交点算出ステップでは、１つの前記
凸閉包ポリゴンと２次元図形との交点が算出されない場
合に、前記複数の凸閉包ポリゴンの他の凸閉包ポリゴン
と２次元図形との交点を求め、前記複数の凸閉包ポリゴ
ンの全てと交点が算出されない場合には、その再帰処理
から抜ける。また、前記２次元図形が区間制限のある図
形であって、前記求めた交点が前記区間内にない場合に
は交点としない交点制限ステップを更に備える。また、
前記交点算出の対象となるベジェ曲線の次数と２次元図
形より予め最大の交点数を定め、求めた交点数が前記予
め定めた最大交点数を満たせば処理を終了する処理制限
ステップを更に備える。また、前記凸閉包ポリゴンを、
ベジェ曲線の制御点の座標の最大値と最小値とに基づい
て形成された長方形で代用する。また、前記２次元図形
は、無限直線，有限線分，半無限直線，円，円弧，楕
円，楕円弧を含む。
割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点と求め
られた前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内である
場合に、前記始点あるいは終点となる制御点をベジェ曲
線と２次元図形との交点候補とするステップと、前記交
点候補と前記分割されたベジェ曲線と２次元図形との既
に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以内でな
い場合は、前記交点候補を交点とするステップとを備え
る。また、前記交点決定ステップは、前記交点候補と前
記分割されたベジェ曲線と２次元図形との既に求められ
た交点との距離が幾何学的許容誤差以内である場合は、
前記交点候補を無効とするステップを更に備える。ま
た、前記分割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制
御点と求められた前記交点との距離が幾何学的許容誤差
以内でない場合に、前記分割されたベジェ曲線の１つを
交点算出の対象となるベジェ曲線と見なして、再帰的に
前記曲線分割ステップと凸閉包ポリゴン生成ステップと
交点算出ステップとを繰り返す再帰処理ステップを更に
備える。また、前記交点算出ステップでは、１つの前記
凸閉包ポリゴンと２次元図形との交点が算出されない場
合に、前記複数の凸閉包ポリゴンの他の凸閉包ポリゴン
と２次元図形との交点を求め、前記複数の凸閉包ポリゴ
ンの全てと交点が算出されない場合には、その再帰処理
から抜ける。また、前記２次元図形が区間制限のある図
形であって、前記求めた交点が前記区間内にない場合に
は交点としない交点制限ステップを更に備える。また、
前記交点算出の対象となるベジェ曲線の次数と２次元図
形より予め最大の交点数を定め、求めた交点数が前記予
め定めた最大交点数を満たせば処理を終了する処理制限
ステップを更に備える。また、前記凸閉包ポリゴンを、
ベジェ曲線の制御点の座標の最大値と最小値とに基づい
て形成された長方形で代用する。また、前記２次元図形
は、無限直線，有限線分，半無限直線，円，円弧，楕
円，楕円弧を含む。
【００１２】又、本発明の図形処理装置は、ベジェ曲線
と２次元図形との交点を算出する図形処理装置であっ
て、交点算出の対象となるｎ次のベジェ曲線を制御点で
記憶するベジェ曲線記憶手段と、de Casteljauのアルゴ
リズムに従って該ベジェ曲線上の制御点であるｎ次まで
の制御点を順次算出して、該ｎ次の制御点の少なくとも
１つを新たな始点及び終点となる制御点として、複数の
凸閉包ポリゴンを生成して記憶する凸閉包ポリゴン生成
手段と、記憶された前記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉
包ポリゴンと交点算出の対象となる２次元図形との交点
を求める交点算出手段と、前記各凸閉包ポリゴンの始点
及び終点となる制御点と前記交点算出手段で求められた
前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内である場合
に、前記始点及び終点となる制御点の一方をベジェ曲線
と２次元図形との交点とする交点決定手段とを備えるこ
とを特徴とする。
と２次元図形との交点を算出する図形処理装置であっ
て、交点算出の対象となるｎ次のベジェ曲線を制御点で
記憶するベジェ曲線記憶手段と、de Casteljauのアルゴ
リズムに従って該ベジェ曲線上の制御点であるｎ次まで
の制御点を順次算出して、該ｎ次の制御点の少なくとも
１つを新たな始点及び終点となる制御点として、複数の
凸閉包ポリゴンを生成して記憶する凸閉包ポリゴン生成
手段と、記憶された前記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉
包ポリゴンと交点算出の対象となる２次元図形との交点
を求める交点算出手段と、前記各凸閉包ポリゴンの始点
及び終点となる制御点と前記交点算出手段で求められた
前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内である場合
に、前記始点及び終点となる制御点の一方をベジェ曲線
と２次元図形との交点とする交点決定手段とを備えるこ
とを特徴とする。
【００１３】ここで、前記交点決定手段は、前記始点及
び終点となる制御点と求められた前記交点との距離が幾
何学的許容誤差以内である場合に、前記始点あるいは終
点となる制御点をベジェ曲線と２次元図形との交点候補
とし、前記交点候補と前記ベジェ曲線と２次元図形との
既に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以内で
ない場合は、前記交点候補を交点とする。また、前記交
点決定手段は、前記始点及び終点となる制御点と求めら
れた前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内でない場
合に、前記生成された凸閉包ポリゴンの制御点を交点算
出の対象となるベジェ曲線の制御点と見なして記憶し、
再帰的に前記凸閉包ポリゴン生成手段と交点算出手段と
による処理を繰り返すよう指示する。また、前記交点決
定手段は、前記２次元図形が区間制限のある図形である
場合に、前記求めた交点が前記区間内にない場合には交
点としない交点制限手段を更に備える。また、前記交点
算出の対象となるベジェ曲線の次数と２次元図形より予
め最大の交点数を定める最大交点数設定手段を更に備
え、前記交点決定手段は、求めた交点数が前記予め定め
た最大交点数を満たせば処理を終了する。また、前記２
次元図形は、無限直線，有限線分，半無限直線，円，円
弧，楕円，楕円弧を含む。
び終点となる制御点と求められた前記交点との距離が幾
何学的許容誤差以内である場合に、前記始点あるいは終
点となる制御点をベジェ曲線と２次元図形との交点候補
とし、前記交点候補と前記ベジェ曲線と２次元図形との
既に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以内で
ない場合は、前記交点候補を交点とする。また、前記交
点決定手段は、前記始点及び終点となる制御点と求めら
れた前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内でない場
合に、前記生成された凸閉包ポリゴンの制御点を交点算
出の対象となるベジェ曲線の制御点と見なして記憶し、
再帰的に前記凸閉包ポリゴン生成手段と交点算出手段と
による処理を繰り返すよう指示する。また、前記交点決
定手段は、前記２次元図形が区間制限のある図形である
場合に、前記求めた交点が前記区間内にない場合には交
点としない交点制限手段を更に備える。また、前記交点
算出の対象となるベジェ曲線の次数と２次元図形より予
め最大の交点数を定める最大交点数設定手段を更に備
え、前記交点決定手段は、求めた交点数が前記予め定め
た最大交点数を満たせば処理を終了する。また、前記２
次元図形は、無限直線，有限線分，半無限直線，円，円
弧，楕円，楕円弧を含む。
【００１４】
【実施例】以下、本発明の実施例を添付図面を用い詳細
に説明する。なお、実施例１はベジェ曲線と直線との交
点算出、実施例２はベジェ曲線と円との交点算出、実施
例３はベジェ曲線と楕円との交点算出に関する実施例で
ある。
に説明する。なお、実施例１はベジェ曲線と直線との交
点算出、実施例２はベジェ曲線と円との交点算出、実施
例３はベジェ曲線と楕円との交点算出に関する実施例で
ある。
【００１５】［実施例１］
＜図形処理装置の構成例＞図１は本実施例の図形処理装
置のシステム構成を示すブロック図である。図中、１は
入力処理，出力処理，外部記憶装置１１のファイルへの
書込み／読出し，処理プログラムの実行を行う中央処理
装置（ＣＰＵ) である。２は、ＣＰＵ１の実行に必要と
するランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ) であり、原
データや途中結果等の可変データ，テーブル，外部記憶
装置１１からロードするパラメータ，必要によりプログ
ラム等を記憶するメモリであり、制御点格納領域２１，
２次元図形格納領域，凸閉包ポリゴン交点２３ａ及びベ
ジェ曲線交点２３ｂを含む交点格納領域２３を有する。
３はリード・オンリー・メモリ（ＲＯＭ) で、ＣＰＵ１
が実行する処理プログラム３１や固有のパラメータ３２
等を記憶するメモリである。４は、ＣＰＵ１と他の構成
要素との間でデータや信号の受渡を行うバスである。５
は入力インターフェースで、キーボードやマウス等の本
実施例での種々の指示や制御点の入力に用いる入力装置
６とバス４との間を接続するインターフェースである。
７は、ＣＲＴ，ＬＣＤ等の表示装置８やプリンタ，プロ
ッタ等の印刷装置９へ、ＣＰＵ１からバス４を介して出
力するための出力インターフェースである。１０は、ハ
ードディスク（ＨＤ) ，フロッピーディスク（ＦＤ) ，
ＣＤ−ＲＯＭ，ＭＤ等の外部記憶装置１１とＣＰＵ１と
のインターフェースを行う外部記憶装置インターフェー
スである。
置のシステム構成を示すブロック図である。図中、１は
入力処理，出力処理，外部記憶装置１１のファイルへの
書込み／読出し，処理プログラムの実行を行う中央処理
装置（ＣＰＵ) である。２は、ＣＰＵ１の実行に必要と
するランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ) であり、原
データや途中結果等の可変データ，テーブル，外部記憶
装置１１からロードするパラメータ，必要によりプログ
ラム等を記憶するメモリであり、制御点格納領域２１，
２次元図形格納領域，凸閉包ポリゴン交点２３ａ及びベ
ジェ曲線交点２３ｂを含む交点格納領域２３を有する。
３はリード・オンリー・メモリ（ＲＯＭ) で、ＣＰＵ１
が実行する処理プログラム３１や固有のパラメータ３２
等を記憶するメモリである。４は、ＣＰＵ１と他の構成
要素との間でデータや信号の受渡を行うバスである。５
は入力インターフェースで、キーボードやマウス等の本
実施例での種々の指示や制御点の入力に用いる入力装置
６とバス４との間を接続するインターフェースである。
７は、ＣＲＴ，ＬＣＤ等の表示装置８やプリンタ，プロ
ッタ等の印刷装置９へ、ＣＰＵ１からバス４を介して出
力するための出力インターフェースである。１０は、ハ
ードディスク（ＨＤ) ，フロッピーディスク（ＦＤ) ，
ＣＤ−ＲＯＭ，ＭＤ等の外部記憶装置１１とＣＰＵ１と
のインターフェースを行う外部記憶装置インターフェー
スである。
【００１６】＜ベジェ曲線の概略説明＞一般に、ｎ次ベ
ジェ曲線は、ｎ＋１個の制御点Ｐi(ｘi ，ｙi)（０≦ｉ
≦ｎ）で指定される。ベジェ曲線の制御点Ｐ(t) は次の
様になる。
ジェ曲線は、ｎ＋１個の制御点Ｐi(ｘi ，ｙi)（０≦ｉ
≦ｎ）で指定される。ベジェ曲線の制御点Ｐ(t) は次の
様になる。
【００１７】
【数１】
即ち、ベジェ曲線は、制御点Ｐi の配置により曲線の形
状が決まるものである。前記各式では、ベジェ曲線の次
数ｎに対して、入力される制御点Ｐi(ｘi ，ｙ i)がｎ＋
１個となる。そこで、パラメータｔの値を定めれば、対
応する曲線上の点の座標が、制御点Ｐi の各座標成分と
Ｂi n(t) との積和をして計算できる。
状が決まるものである。前記各式では、ベジェ曲線の次
数ｎに対して、入力される制御点Ｐi(ｘi ，ｙ i)がｎ＋
１個となる。そこで、パラメータｔの値を定めれば、対
応する曲線上の点の座標が、制御点Ｐi の各座標成分と
Ｂi n(t) との積和をして計算できる。
【００１８】（３次ベジェ曲線）次数ｎを３とする３次
ベジェ曲線は最も多く用いられている。３次のベジェ曲
線のＰ(t) は、式（３) と式（４) より次の様になる。
ベジェ曲線は最も多く用いられている。３次のベジェ曲
線のＰ(t) は、式（３) と式（４) より次の様になる。
【００１９】
【数２】
式（５) を行列表示すると、
【００２０】
【数３】
となる。３次ベジェ曲線の制御点は４個であり、その入
力により種々の曲線を作り出せる。３次ベジェ曲線の４
個の制御点を変えた時の、曲線の例を図２の(a),(b),
(c),(d) に示す。すなわち、Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 の
制御点の入力により、破線で示す多角形を滑らかにする
曲線が作られる。図２より分るように、曲線の端点は、
制御点Ｐ0 ，Ｐ3 と一致している。ここで、端点の制御
点と次の制御点とを結ぶ線分に曲線は接することにな
る。更に、制御点によって構成される凸領域の内部に曲
線が存在することになる。これを凸閉包性という。
力により種々の曲線を作り出せる。３次ベジェ曲線の４
個の制御点を変えた時の、曲線の例を図２の(a),(b),
(c),(d) に示す。すなわち、Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 の
制御点の入力により、破線で示す多角形を滑らかにする
曲線が作られる。図２より分るように、曲線の端点は、
制御点Ｐ0 ，Ｐ3 と一致している。ここで、端点の制御
点と次の制御点とを結ぶ線分に曲線は接することにな
る。更に、制御点によって構成される凸領域の内部に曲
線が存在することになる。これを凸閉包性という。
【００２１】ベジェ曲線の始点と終点の位置は、一般に
次式になる。 始点（ｔ＝０） Ｐ（０) ＝Ｐ0 終点（ｔ＝１） Ｐ（１) ＝Ｐn …（７) また、ベジェ曲線の始点と終点における接線ベクトル、
すなわち１次微分ベクトルは、一般に次の式になる。
次式になる。 始点（ｔ＝０） Ｐ（０) ＝Ｐ0 終点（ｔ＝１） Ｐ（１) ＝Ｐn …（７) また、ベジェ曲線の始点と終点における接線ベクトル、
すなわち１次微分ベクトルは、一般に次の式になる。
【００２２】
始点（ｔ＝０） Ｐ’（０) ＝ｎ（Ｐ1−Ｐ0 ）
終点（ｔ＝１） Ｐ’（１) ＝ｎ（Ｐn−Ｐn-1 ） …（８)
更に、ベジェ曲線の始点と終点における２次微分ベクト
ルは、次の式になる。 始点（ｔ＝０） Ｐ”（０) ＝ｎ（Ｐ2−２Ｐ1＋Ｐ0 ） 終点（ｔ＝１） Ｐ”（１) ＝ｎ（Ｐn−２Ｐn-1＋Ｐn-2 ） …（９) （３次ベジェ曲線の性質）次に、３次（ｎ＝３) のベジ
ェ曲線の性質を考える。図３は、図２の（ａ) のベジェ
曲線と同様の配置の制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 から
なるベジェ曲線の図である。ベジェ曲線の式は、式
（５) または式（６) から与えられる。
ルは、次の式になる。 始点（ｔ＝０） Ｐ”（０) ＝ｎ（Ｐ2−２Ｐ1＋Ｐ0 ） 終点（ｔ＝１） Ｐ”（１) ＝ｎ（Ｐn−２Ｐn-1＋Ｐn-2 ） …（９) （３次ベジェ曲線の性質）次に、３次（ｎ＝３) のベジ
ェ曲線の性質を考える。図３は、図２の（ａ) のベジェ
曲線と同様の配置の制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 から
なるベジェ曲線の図である。ベジェ曲線の式は、式
（５) または式（６) から与えられる。
【００２３】ここで、３次のベジェ曲線の性質として、
次のことが一般に知られている。 （１) Ｐ（０) ＝Ｐ0 ，Ｐ（１) ＝Ｐ3 であり、ベジ
ェ曲線の両端点は制御点の両端点を通る。 （２) Ｐ’( ０) ＝３（Ｐ1 −Ｐ0)，Ｐ’( １) ＝３
（Ｐ3 −Ｐ2)であり、曲線は両端点で直線Ｐ0 Ｐ1 とＰ
2 Ｐ3 とにそれぞれ接する。（式（８) 参照） （３) de Casteljauのアルゴリズム(De Casteljau's A
lgorithm)より、線分Ｐ0Ｐ1 , Ｐ1 Ｐ2 , Ｐ2 Ｐ3 の
ｔ：（１−ｔ) の点を、それぞれＰ0 1, Ｐ1 1, Ｐ2 1と
し、更に線分Ｐ0 1Ｐ1 1, Ｐ1 1Ｐ2 1のｔ：（１−ｔ) の点
をそれぞれＰ0 2, Ｐ1 2, とし、更に線分Ｐ0 2Ｐ1 2のｔ：
（１−ｔ) の点をＰ0 3とすると、図３のように、曲線は
Ｐ0 3を通ることになる。従って、（ｔ＝０. ５）とする
と、式（５)または式（６) より、次のように計算でき
る。
次のことが一般に知られている。 （１) Ｐ（０) ＝Ｐ0 ，Ｐ（１) ＝Ｐ3 であり、ベジ
ェ曲線の両端点は制御点の両端点を通る。 （２) Ｐ’( ０) ＝３（Ｐ1 −Ｐ0)，Ｐ’( １) ＝３
（Ｐ3 −Ｐ2)であり、曲線は両端点で直線Ｐ0 Ｐ1 とＰ
2 Ｐ3 とにそれぞれ接する。（式（８) 参照） （３) de Casteljauのアルゴリズム(De Casteljau's A
lgorithm)より、線分Ｐ0Ｐ1 , Ｐ1 Ｐ2 , Ｐ2 Ｐ3 の
ｔ：（１−ｔ) の点を、それぞれＰ0 1, Ｐ1 1, Ｐ2 1と
し、更に線分Ｐ0 1Ｐ1 1, Ｐ1 1Ｐ2 1のｔ：（１−ｔ) の点
をそれぞれＰ0 2, Ｐ1 2, とし、更に線分Ｐ0 2Ｐ1 2のｔ：
（１−ｔ) の点をＰ0 3とすると、図３のように、曲線は
Ｐ0 3を通ることになる。従って、（ｔ＝０. ５）とする
と、式（５)または式（６) より、次のように計算でき
る。
【００２４】
Ｐ(0.5) ＝(1−0.5)3 Ｐ0 ＋３(1−0.5)3 Ｐ1 ＋３(1−0.5)(0.5)2Ｐ2 ＋(0.5
)3Ｐ3
＝(0.5)3Ｐ0 ＋３(0.5)3Ｐ1 ＋３(0.5)3Ｐ2 ＋(0.5)3Ｐ3
＝0.5(0.5(0.5(Ｐ0 ＋Ｐ1)＋0.5(Ｐ1 ＋Ｐ2)＋0.5(Ｐ1 ＋Ｐ2)＋0.5(
Ｐ1 ＋Ｐ3))
＝0.5(0.5(Ｐ0 1＋Ｐ1 1) ＋0.5(Ｐ1 1＋Ｐ2 1))
＝0.5(Ｐ0 2＋Ｐ1 2)
＝Ｐ0 3
従って、（ｔ＝０. ５）の場合、曲線（図３の点線の曲
線) は中点Ｐ03を通ることになる。
線) は中点Ｐ03を通ることになる。
【００２５】＜直線との交点算出＞ベジェ曲線と直線Ｌ
との交点を算出する処理フローチャートは、図４に示す
ようになる。なお、本実施例はｎ＝３（３次) の場合の
処理の実施例である。 （１) 曲線の２分割と新たなポリゴンの生成（Ｓ１０
０） 図４のステップＳ１００では、与えられたベジェ曲線を
ベジェ曲線上の点でａとｂとに２分割し、それぞれ凸閉
包ポリゴンＰａ, Ｐｂを生成する。ここで、凸閉包ポリ
ゴンとは、例えば図８のように制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ
2 ，Ｐ3 が与えられた場合は、ポリゴンＰ0 Ｐ2 Ｐ3 Ｐ
1 のようになる。
との交点を算出する処理フローチャートは、図４に示す
ようになる。なお、本実施例はｎ＝３（３次) の場合の
処理の実施例である。 （１) 曲線の２分割と新たなポリゴンの生成（Ｓ１０
０） 図４のステップＳ１００では、与えられたベジェ曲線を
ベジェ曲線上の点でａとｂとに２分割し、それぞれ凸閉
包ポリゴンＰａ, Ｐｂを生成する。ここで、凸閉包ポリ
ゴンとは、例えば図８のように制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ
2 ，Ｐ3 が与えられた場合は、ポリゴンＰ0 Ｐ2 Ｐ3 Ｐ
1 のようになる。
【００２６】この処理を、図５のフローチャートを参照
して更に詳細に示す。 （ステップＳ１：ベジェ曲線の分割）図１０に示すよう
に、制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 で与えられたベジェ
曲線を、ｔ＝０. ５としてde Casteljauのアルゴリズム
を用いて、分別点Ｐ03で曲線ａと曲線ｂとに分別する。
して更に詳細に示す。 （ステップＳ１：ベジェ曲線の分割）図１０に示すよう
に、制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ2 ，Ｐ3 で与えられたベジェ
曲線を、ｔ＝０. ５としてde Casteljauのアルゴリズム
を用いて、分別点Ｐ03で曲線ａと曲線ｂとに分別する。
【００２７】すなわち、まず、Ｐ0 とＰ1 の中点Ｐ
01と、Ｐ1 とＰ2 の中点Ｐ11と、Ｐ2 とＰ3 の中点Ｐ21
とを求め、次に、Ｐ01とＰ11の中点Ｐ02と、Ｐ11とＰ21
の中点Ｐ 12とを求め、更に、Ｐ02とＰ12の中点、すなわ
ち分割点Ｐ03を求める。従って、制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ
2 ，Ｐ3 によるベジェ曲線は、制御点Ｐ0 ，Ｐ01，
Ｐ02，Ｐ03とＰ03，Ｐ12，Ｐ21，Ｐ3 とからなる２つの
曲線に分割できる。
01と、Ｐ1 とＰ2 の中点Ｐ11と、Ｐ2 とＰ3 の中点Ｐ21
とを求め、次に、Ｐ01とＰ11の中点Ｐ02と、Ｐ11とＰ21
の中点Ｐ 12とを求め、更に、Ｐ02とＰ12の中点、すなわ
ち分割点Ｐ03を求める。従って、制御点Ｐ0 ，Ｐ1 ，Ｐ
2 ，Ｐ3 によるベジェ曲線は、制御点Ｐ0 ，Ｐ01，
Ｐ02，Ｐ03とＰ03，Ｐ12，Ｐ21，Ｐ3 とからなる２つの
曲線に分割できる。
【００２８】（ステップＳ２：凸閉包ポリゴンの生成）
ステップＳ１で分割されて作成された２曲線を対象に、
凸閉包ポリゴンの生成を行う。凸閉包ポリゴンの生成
は、制御点を反時計回りの順番にソートを行い凸閉包ポ
リゴンを生成する。即ち、図１１に示すように、制御点
Ｐ0 ，Ｐ01, Ｐ02, Ｐ03に対してポリゴンＰａが、制御
点Ｐ03, Ｐ12, Ｐ21, Ｐ3 に対してポリゴンＰｂが生成
される。
ステップＳ１で分割されて作成された２曲線を対象に、
凸閉包ポリゴンの生成を行う。凸閉包ポリゴンの生成
は、制御点を反時計回りの順番にソートを行い凸閉包ポ
リゴンを生成する。即ち、図１１に示すように、制御点
Ｐ0 ，Ｐ01, Ｐ02, Ｐ03に対してポリゴンＰａが、制御
点Ｐ03, Ｐ12, Ｐ21, Ｐ3 に対してポリゴンＰｂが生成
される。
【００２９】（２) ポリゴンＰａのエッジと直線Ｌとの
交点算出（Ｓ１０１） 凸閉包ポリゴンＰａのエッジと直線Ｌとの交点を求め
る。例えば、凸閉包ポリゴンＰ0 Ｐ2 Ｐ3 Ｐ1 が与えら
れた場合、直線との交点は図９に示すようになる。すな
わち、図９の例では、ポリゴンのエッジＰ0 Ｐ2 と直線
との交点Ａ, 並びにエッジＰ1 Ｐ3 と直線との交点Ｂを
算出する。
交点算出（Ｓ１０１） 凸閉包ポリゴンＰａのエッジと直線Ｌとの交点を求め
る。例えば、凸閉包ポリゴンＰ0 Ｐ2 Ｐ3 Ｐ1 が与えら
れた場合、直線との交点は図９に示すようになる。すな
わち、図９の例では、ポリゴンのエッジＰ0 Ｐ2 と直線
との交点Ａ, 並びにエッジＰ1 Ｐ3 と直線との交点Ｂを
算出する。
【００３０】この処理を、図６のフローチャートを参照
して更に詳細に示す。 （ステップＳ３−１：ポリゴンＰａと直線Ｌの交点算
出）図５のステップＳ２で生成された凸閉包ポリゴンＰ
ａに対して、交点算出の対象となる直線Ｌと干渉するか
否かの判定を行う。直線は無限の長さを持っているの
で、直線Ｌが凸閉包ポリゴンＰａと干渉するという条件
は、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと直線Ｌが交点を持て
ば良い。そこで、本実施例では、図１２に示すように、
ポリゴンの各エッジを線分とみなして、その各線分と直
線Ｌとの交点を求めてＣ1 ，Ｃ2 とする。
して更に詳細に示す。 （ステップＳ３−１：ポリゴンＰａと直線Ｌの交点算
出）図５のステップＳ２で生成された凸閉包ポリゴンＰ
ａに対して、交点算出の対象となる直線Ｌと干渉するか
否かの判定を行う。直線は無限の長さを持っているの
で、直線Ｌが凸閉包ポリゴンＰａと干渉するという条件
は、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと直線Ｌが交点を持て
ば良い。そこで、本実施例では、図１２に示すように、
ポリゴンの各エッジを線分とみなして、その各線分と直
線Ｌとの交点を求めてＣ1 ，Ｃ2 とする。
【００３１】（ステップＳ４−１：交点が存在するか否
かの判定)ステップＳ３−１の演算で、凸閉包ポリゴン
パＰａのエッジと直線Ｌとの交点が存在したか否かの判
定を行う。交点が存在しない場合は、現在処理中の曲線
と直線Ｌとの間には交点が存在しないとして処理を終了
し、交点が存在する場合はステップＳ５−１へ進む。本
実施例では、図１２に示したようにポリゴンＰａと直線
Ｌとの間には交点Ｃ1 ，Ｃ2 が存在するので、ステップ
Ｓ５−１へ進む。
かの判定)ステップＳ３−１の演算で、凸閉包ポリゴン
パＰａのエッジと直線Ｌとの交点が存在したか否かの判
定を行う。交点が存在しない場合は、現在処理中の曲線
と直線Ｌとの間には交点が存在しないとして処理を終了
し、交点が存在する場合はステップＳ５−１へ進む。本
実施例では、図１２に示したようにポリゴンＰａと直線
Ｌとの間には交点Ｃ1 ，Ｃ2 が存在するので、ステップ
Ｓ５−１へ進む。
【００３２】（ステップＳ５−１：交点から制御点まで
の距離算出)求められたポリゴンＰａと直線Ｌの交点Ｃ1
(またはＣ2)より、ベジェ曲線の始点及び終点となる制
御点までの距離を算出する。ここで、ベジェ曲線の始点
及び終点となる制御点は曲線上に存在する（図１２の最
初の分割ではＰ0 とＰ03となる）。従って、ステップＳ
３−１で求めた交点Ｃ1(またはＣ2)より、分割したベジ
ェ曲線上ａの正確な位置の把握できている点（始点，終
点) までの距離ｄ1 ，ｄ2 が算出できる。
の距離算出)求められたポリゴンＰａと直線Ｌの交点Ｃ1
(またはＣ2)より、ベジェ曲線の始点及び終点となる制
御点までの距離を算出する。ここで、ベジェ曲線の始点
及び終点となる制御点は曲線上に存在する（図１２の最
初の分割ではＰ0 とＰ03となる）。従って、ステップＳ
３−１で求めた交点Ｃ1(またはＣ2)より、分割したベジ
ェ曲線上ａの正確な位置の把握できている点（始点，終
点) までの距離ｄ1 ，ｄ2 が算出できる。
【００３３】（ステップ６−１：交点と制御点の距離が
幾何的許容誤差ε以内であるか否かの判定）ステップＳ
５−１で算出された交点Ｃ1(またはＣ2)から曲線ａの始
点及び終点までの距離ｄ1 ，ｄ2 が共に、幾何的許容誤
差ε以内であるかを判定し、共に幾何的許容誤差ε以内
でない場合はステップＳ７−１へ、共に幾何的許容誤差
ε以内の場合はステップＳ８−１へ進む。
幾何的許容誤差ε以内であるか否かの判定）ステップＳ
５−１で算出された交点Ｃ1(またはＣ2)から曲線ａの始
点及び終点までの距離ｄ1 ，ｄ2 が共に、幾何的許容誤
差ε以内であるかを判定し、共に幾何的許容誤差ε以内
でない場合はステップＳ７−１へ、共に幾何的許容誤差
ε以内の場合はステップＳ８−１へ進む。
【００３４】（ステップＳ７−１：分割された曲線ａに
ついて、図４のフローの再帰呼び出し）ステップＳ５−
１で算出された距離ｄ1 ，ｄ2 が共に幾何的許容誤差ε
以上であれば、ステップＳ３−１で算出されたポリゴン
と直線との交点はベジェ曲線上にないとみなし、現在処
理中の２分割された一方の曲線ａに対して図４に示す本
処理の再帰呼び出しを行う。この再帰呼び出しを行うこ
とにより、曲線が更に２分割されて行くので、交点は分
割して行った曲線の始点及び終点となる制御点に収束し
て行く。
ついて、図４のフローの再帰呼び出し）ステップＳ５−
１で算出された距離ｄ1 ，ｄ2 が共に幾何的許容誤差ε
以上であれば、ステップＳ３−１で算出されたポリゴン
と直線との交点はベジェ曲線上にないとみなし、現在処
理中の２分割された一方の曲線ａに対して図４に示す本
処理の再帰呼び出しを行う。この再帰呼び出しを行うこ
とにより、曲線が更に２分割されて行くので、交点は分
割して行った曲線の始点及び終点となる制御点に収束し
て行く。
【００３５】（ステップＳ８−１：制御点の交点候補
化）始点及び終点となるベジェ曲線の制御点と交点との
距離ｄ1 ，ｄ2 が共に幾何的許容誤差ε以内であれば、
始点あるいは終点を交点候補とする。尚、煩雑さを避け
るために図示しなかったが、この処理へ最初に入った場
合は交点候補ではなく、ステップＳ１２−１に進んで始
点あるいは終点を交点とする。
化）始点及び終点となるベジェ曲線の制御点と交点との
距離ｄ1 ，ｄ2 が共に幾何的許容誤差ε以内であれば、
始点あるいは終点を交点候補とする。尚、煩雑さを避け
るために図示しなかったが、この処理へ最初に入った場
合は交点候補ではなく、ステップＳ１２−１に進んで始
点あるいは終点を交点とする。
【００３６】ここで、交点候補（交点）にした始点ある
いは終点は、パラメータｔ＝０. ５の点で分割された曲
線の制御点なので、ベジェ曲線上にある。従って、同じ
手順の何度も分割処理を用い要素長の修正などを行う上
で、曲線の制御点の誤差の蓄積を未然に防ぐことができ
る。 （ステップＳ９−１：交点候補と以前に算出された交点
との距離ｄ3 の算出）ここで、本例では、幾何的許容誤
差εの範囲内となった制御点を全て交点とする可能性が
あるので、交点が複数あるか１つ（ベジェ曲線への接
線）であるかを判別するために、交点候補とすでに算出
された交点との距離ｄ3 を算出する。
いは終点は、パラメータｔ＝０. ５の点で分割された曲
線の制御点なので、ベジェ曲線上にある。従って、同じ
手順の何度も分割処理を用い要素長の修正などを行う上
で、曲線の制御点の誤差の蓄積を未然に防ぐことができ
る。 （ステップＳ９−１：交点候補と以前に算出された交点
との距離ｄ3 の算出）ここで、本例では、幾何的許容誤
差εの範囲内となった制御点を全て交点とする可能性が
あるので、交点が複数あるか１つ（ベジェ曲線への接
線）であるかを判別するために、交点候補とすでに算出
された交点との距離ｄ3 を算出する。
【００３７】（ステップＳ１０−１：距離ｄ3 が幾何的
許容誤差ε以内であるかの判定）ステップＳ９で算出さ
れた距離ｄ3 が幾何的許容誤差ε以内であるか否かの判
定を行う。距離ｄ3 が幾何的許容誤差εより小さい場合
（ｄ3 ＜ε) はステップＳ１１へ進み、そうでない場合
（ｄ3 ≧ε) はステップＳ１２へ進む。 （ステップＳ１１−１：交点候補を無効とする）ステッ
プＳ８−１で決めた交点候補はすでに算出された交点と
一致するとして、交点候補を無効にする。この処理によ
り、曲線と直線が接する点の付近で、交点を複数決めて
しまうのを防ぐことができる。
許容誤差ε以内であるかの判定）ステップＳ９で算出さ
れた距離ｄ3 が幾何的許容誤差ε以内であるか否かの判
定を行う。距離ｄ3 が幾何的許容誤差εより小さい場合
（ｄ3 ＜ε) はステップＳ１１へ進み、そうでない場合
（ｄ3 ≧ε) はステップＳ１２へ進む。 （ステップＳ１１−１：交点候補を無効とする）ステッ
プＳ８−１で決めた交点候補はすでに算出された交点と
一致するとして、交点候補を無効にする。この処理によ
り、曲線と直線が接する点の付近で、交点を複数決めて
しまうのを防ぐことができる。
【００３８】（ステップＳ１２−１：交点候補を交点と
する）ステップＳ８−１で決めた交点候補を交点とす
る。すなわち、ここで決められた交点をＲＡＭ２へ登録
する。または、外部記憶インターフェース１０を介して
外部記憶装置１１へ登録する。 （３）ポリゴンＰｂのエッジと直線Ｌとの交点（Ｓ１０
２） 次に、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと直線Ｌとの交点を
求める。この処理の詳細を図７のフローチャートに示
す。尚、図７のステップＳ３−２〜Ｓ１２−２は、対象
の分割された曲線が異なるだけで、それぞれ図６のステ
ップＳ３−１〜Ｓ１２−１に対応しており、ここでは詳
細な説明はしない。
する）ステップＳ８−１で決めた交点候補を交点とす
る。すなわち、ここで決められた交点をＲＡＭ２へ登録
する。または、外部記憶インターフェース１０を介して
外部記憶装置１１へ登録する。 （３）ポリゴンＰｂのエッジと直線Ｌとの交点（Ｓ１０
２） 次に、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと直線Ｌとの交点を
求める。この処理の詳細を図７のフローチャートに示
す。尚、図７のステップＳ３−２〜Ｓ１２−２は、対象
の分割された曲線が異なるだけで、それぞれ図６のステ
ップＳ３−１〜Ｓ１２−１に対応しており、ここでは詳
細な説明はしない。
【００３９】ここで、上記ステップＳ１０１またはＳ１
０２において求めた交点が幾何的許容誤差ε内に入って
いない場合は、更に、ステップＳ１０１またはＳ１０２
の中で、図４の処理を再帰的に呼び出し、ベジェ曲線を
更に２分割して処理を行う。幾何的許容誤差ε内に入っ
た所で１つの交点を決定すると、再帰的呼び出しの履歴
を逆に辿って２分割の内でまだ処理をしてない方の処理
を行う。与えられたベジェ曲線の全体で交点のチェック
が終ると処理を終了する。
０２において求めた交点が幾何的許容誤差ε内に入って
いない場合は、更に、ステップＳ１０１またはＳ１０２
の中で、図４の処理を再帰的に呼び出し、ベジェ曲線を
更に２分割して処理を行う。幾何的許容誤差ε内に入っ
た所で１つの交点を決定すると、再帰的呼び出しの履歴
を逆に辿って２分割の内でまだ処理をしてない方の処理
を行う。与えられたベジェ曲線の全体で交点のチェック
が終ると処理を終了する。
【００４０】また、先に求めた交点と後に求めた交点が
所定の距離範囲内の場合は、後で求めた交点を捨てる処
理により、曲線と直線とが接する点の付近で交点が複数
求まることを防ぐことができる。また、交点の存在しな
い凸閉包ポリゴンは評価対象としない処理をする。以
上、本実施例は、ベジェ曲線と直線との交点の算出を行
うときに、誤差の処理が容易であり精度の高い交点算出
方法を提供するものである。
所定の距離範囲内の場合は、後で求めた交点を捨てる処
理により、曲線と直線とが接する点の付近で交点が複数
求まることを防ぐことができる。また、交点の存在しな
い凸閉包ポリゴンは評価対象としない処理をする。以
上、本実施例は、ベジェ曲線と直線との交点の算出を行
うときに、誤差の処理が容易であり精度の高い交点算出
方法を提供するものである。
【００４１】＜有限線分との交点算出＞本例は、有限線
分とベジェ曲線との交点を求めるものである。本例の処
理では、前記実施例の図４と同様に、無限直線とベジェ
曲線との交点を求め、その後に求めた交点が有限線分上
にあるか否かを判定する。求めた交点が有限線分上にな
ければ無効とする。求めた交点が有限線分上にあれば交
点とする。
分とベジェ曲線との交点を求めるものである。本例の処
理では、前記実施例の図４と同様に、無限直線とベジェ
曲線との交点を求め、その後に求めた交点が有限線分上
にあるか否かを判定する。求めた交点が有限線分上にな
ければ無効とする。求めた交点が有限線分上にあれば交
点とする。
【００４２】この処理を示すフローチャートが図１３で
ある。図１３のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, Ｓ１０２は前記実施例と同様の処理なの
で説明は省き、ステップＳ１３−１またはステップＳ１
３−２について説明する。ステップＳ１３−１では、ス
テップＳ１０１により算出された交点と有限線分との最
短距離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤
差ε以内であれば、ステップＳ１０１で得られた交点を
有限線分との交点とする。
ある。図１３のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, Ｓ１０２は前記実施例と同様の処理なの
で説明は省き、ステップＳ１３−１またはステップＳ１
３−２について説明する。ステップＳ１３−１では、ス
テップＳ１０１により算出された交点と有限線分との最
短距離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤
差ε以内であれば、ステップＳ１０１で得られた交点を
有限線分との交点とする。
【００４３】また、ステップＳ１３−２では、ステップ
Ｓ１０２により算出された交点と有限線分との最短距離
を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤差ε以
内であれば、ステップＳ１０２で得られた交点を有限線
分との交点とする。交点と有限線分との最短距離が幾何
的許容誤差ε以上であれば、求めた交点を無効とし、Ｒ
ＡＭ２または外部記憶装置１１にステップＳ１０１ある
いはＳ１０２で登録した交点を削除する。
Ｓ１０２により算出された交点と有限線分との最短距離
を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤差ε以
内であれば、ステップＳ１０２で得られた交点を有限線
分との交点とする。交点と有限線分との最短距離が幾何
的許容誤差ε以上であれば、求めた交点を無効とし、Ｒ
ＡＭ２または外部記憶装置１１にステップＳ１０１ある
いはＳ１０２で登録した交点を削除する。
【００４４】以上の処理により、ベジェ曲線と有限線分
との交点を求めることができる。 ＜半無限線分との交点算出＞本例は、半無限線分とベジ
ェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理では、
前記実施例の図４と同様に、無限直線とベジェ曲線との
交点を求め、その後に求めた交点が半無限線分上にある
か否かを判定する。求められた交点が半無限線分上にな
ければ無効とする。求めた交点が半無限線分上にあれば
交点とする。
との交点を求めることができる。 ＜半無限線分との交点算出＞本例は、半無限線分とベジ
ェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理では、
前記実施例の図４と同様に、無限直線とベジェ曲線との
交点を求め、その後に求めた交点が半無限線分上にある
か否かを判定する。求められた交点が半無限線分上にな
ければ無効とする。求めた交点が半無限線分上にあれば
交点とする。
【００４５】この処理を示すフローチャートが図１４で
ある。図１４のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, Ｓ１０２は前記実施例と同様の処理なの
で説明は省き、ステップＳ１４−１またはステップＳ１
４−２について説明する。ステップＳ１４−１では、ス
テップＳ１０１により算出された交点と半無限線分との
最短距離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容
誤差ε以内であれば、ステップＳ１０１で得られた交点
を半無限線分との交点とする。
ある。図１４のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, Ｓ１０２は前記実施例と同様の処理なの
で説明は省き、ステップＳ１４−１またはステップＳ１
４−２について説明する。ステップＳ１４−１では、ス
テップＳ１０１により算出された交点と半無限線分との
最短距離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容
誤差ε以内であれば、ステップＳ１０１で得られた交点
を半無限線分との交点とする。
【００４６】また、ステップＳ１４−２では、ステップ
Ｓ１０２により算出された交点と半無限線分との最短距
離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤差ε
以内であれば、ステップＳ１０２で得られた交点を半無
限線分との交点とする。交点と半無限線分との最短距離
が幾何的許容誤差ε以上であれば、求めた交点を無効と
し、ＲＡＭ２または外部記憶装置１１にステップＳ１０
１あるいはＳ１０２で登録した交点を削除する。
Ｓ１０２により算出された交点と半無限線分との最短距
離を算出して、算出された最短距離が幾何的許容誤差ε
以内であれば、ステップＳ１０２で得られた交点を半無
限線分との交点とする。交点と半無限線分との最短距離
が幾何的許容誤差ε以上であれば、求めた交点を無効と
し、ＲＡＭ２または外部記憶装置１１にステップＳ１０
１あるいはＳ１０２で登録した交点を削除する。
【００４７】以上の処理により、ベジェ曲線と半無限線
分との交点を求めることができる。 ＜算出処理の短縮＞本例は、線分とベジェ曲線との交点
を求め、その算出された交点数が最大交点数に達した場
合の処理を示す実施例である。本例の処理では、前記実
施例と同様に、線分とベジェ曲線との交点を求め、その
後に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定す
る。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての処
理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達していな
ければ処理を続行する。
分との交点を求めることができる。 ＜算出処理の短縮＞本例は、線分とベジェ曲線との交点
を求め、その算出された交点数が最大交点数に達した場
合の処理を示す実施例である。本例の処理では、前記実
施例と同様に、線分とベジェ曲線との交点を求め、その
後に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定す
る。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての処
理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達していな
ければ処理を続行する。
【００４８】この処理を示すフローチャートが図１５で
ある。図１５のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, １０２は前記実施例と同様の処理なので
説明は省き、ステップＳ１５−１またはステップＳ１５
−２について説明する。図１５のステップＳ１５−１ま
たはステップＳ１５−２において、ステップＳ１０１ま
たはステップＳ１０２で算出された交点数の総数が、ベ
ジェ曲線の次数より得られるベジェ曲線と直線との最大
交点数に達したか否かを判定する。算出された交点数が
最大交点数に達していれば、全ての処理を終了する。算
出された交点数が最大交点数に達していなければ、処理
を続行する。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と
直線の場合“３”となり、５次のベジェ曲線と直線の場
合は“５”となる。
ある。図１５のフローチャートの中で、ステップＳ１０
０, Ｓ１０１, １０２は前記実施例と同様の処理なので
説明は省き、ステップＳ１５−１またはステップＳ１５
−２について説明する。図１５のステップＳ１５−１ま
たはステップＳ１５−２において、ステップＳ１０１ま
たはステップＳ１０２で算出された交点数の総数が、ベ
ジェ曲線の次数より得られるベジェ曲線と直線との最大
交点数に達したか否かを判定する。算出された交点数が
最大交点数に達していれば、全ての処理を終了する。算
出された交点数が最大交点数に達していなければ、処理
を続行する。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と
直線の場合“３”となり、５次のベジェ曲線と直線の場
合は“５”となる。
【００４９】上記のように最大交点数に達した時点で処
理を終了することで、余分な演算を省いて処理を速くす
ることができる。 ［実施例２］ ＜円Ｑとの交点算出＞本実施例では、ベジェ曲線と円Ｑ
との交点を算出する例を説明する。
理を終了することで、余分な演算を省いて処理を速くす
ることができる。 ［実施例２］ ＜円Ｑとの交点算出＞本実施例では、ベジェ曲線と円Ｑ
との交点を算出する例を説明する。
【００５０】図１６に、ベジェ曲線と円Ｑとの交点を算
出する処理フローチャートを示す。尚、ベジェ曲線Ｐ0
Ｐ1 Ｐ2 Ｐ3 のポリゴンＰ2 Ｐ3 Ｐ1 Ｐ0 と円Ｑの交点
の例は、図１９に示すようになる。図１６の処理は次の
処理からなる。 （１）曲線の２分割とポリゴンの生成（Ｓ２００） この処理は実施例１のステップＳ１００と同じなので説
明を省略する。
出する処理フローチャートを示す。尚、ベジェ曲線Ｐ0
Ｐ1 Ｐ2 Ｐ3 のポリゴンＰ2 Ｐ3 Ｐ1 Ｐ0 と円Ｑの交点
の例は、図１９に示すようになる。図１６の処理は次の
処理からなる。 （１）曲線の２分割とポリゴンの生成（Ｓ２００） この処理は実施例１のステップＳ１００と同じなので説
明を省略する。
【００５１】（２）ポリゴンＰａのエッジと円Ｑとの交
点（Ｓ２０１） ステップＳ２０１では、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと
円Ｑとの交点を求める。図１７は、ポリゴンＰａのエッ
ジと円Ｑとの交点を求める処理の詳細なフローチャート
である。以下、図１７のフローチャートを用いて説明す
る。なお、図中、ステップＳ３３−１，Ｓ３４−１，Ｓ
３６−１以外のステップは、直線Ｌを円Ｑに置き代えれ
ば前記実施例１と同様の処理なので、ここでは説明を省
略する。以下、前記実施例と異なる所について説明す
る。
点（Ｓ２０１） ステップＳ２０１では、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと
円Ｑとの交点を求める。図１７は、ポリゴンＰａのエッ
ジと円Ｑとの交点を求める処理の詳細なフローチャート
である。以下、図１７のフローチャートを用いて説明す
る。なお、図中、ステップＳ３３−１，Ｓ３４−１，Ｓ
３６−１以外のステップは、直線Ｌを円Ｑに置き代えれ
ば前記実施例１と同様の処理なので、ここでは説明を省
略する。以下、前記実施例と異なる所について説明す
る。
【００５２】（ステップＳ３３−１：円とポリゴンの内
外判定）ステップＳ２００で生成された凸閉包ポリゴン
Ｐａに、円Ｑが含まれているか否かの判定を行う。ポリ
ゴンの全てのエッジと交点を持たない円の場合、円の外
周の１点がポリゴンの中に含まれるか否かの判定を行
う。円の外周の１点がポリゴンの中に含まれる場合、円
はポリゴン中に含まれると判定する。円の外周の１点が
ポリゴンの中に含まれない場合、ポリゴンが完全に円に
含まれているか否かを判定する。
外判定）ステップＳ２００で生成された凸閉包ポリゴン
Ｐａに、円Ｑが含まれているか否かの判定を行う。ポリ
ゴンの全てのエッジと交点を持たない円の場合、円の外
周の１点がポリゴンの中に含まれるか否かの判定を行
う。円の外周の１点がポリゴンの中に含まれる場合、円
はポリゴン中に含まれると判定する。円の外周の１点が
ポリゴンの中に含まれない場合、ポリゴンが完全に円に
含まれているか否かを判定する。
【００５３】円の外周の一点（ｘ, ｙ）は、円の半径を
ｒとするとパラメータθを用いて、次の様に表わせる。 （ｘ, ｙ）＝（ｒcos θ, ｒsin θ） ０≦θ≦２π 従って、円の中心が原点にあると仮定して、任意のθに
対して円の外周の一点がポリゴンの内にあるか外にある
かを判定する。
ｒとするとパラメータθを用いて、次の様に表わせる。 （ｘ, ｙ）＝（ｒcos θ, ｒsin θ） ０≦θ≦２π 従って、円の中心が原点にあると仮定して、任意のθに
対して円の外周の一点がポリゴンの内にあるか外にある
かを判定する。
【００５４】（ステップＳ３４−１：交点が存在するか
否かの判定）ポリゴンＰａと円Ｑとの交点が算出された
か否かの判定を行う。交点が算出されずかつ円Ｑがポリ
ゴンＰａの中に含まれていない場合は、現在処理中のベ
ジェ曲線と円の間には交点が存在しないとして、処理を
抜ける。一方、交点が算出されたか、または円Ｑがポリ
ゴンＰａの中に含まれていると判定した場合は、ステッ
プＳ３５−１へ進む。
否かの判定）ポリゴンＰａと円Ｑとの交点が算出された
か否かの判定を行う。交点が算出されずかつ円Ｑがポリ
ゴンＰａの中に含まれていない場合は、現在処理中のベ
ジェ曲線と円の間には交点が存在しないとして、処理を
抜ける。一方、交点が算出されたか、または円Ｑがポリ
ゴンＰａの中に含まれていると判定した場合は、ステッ
プＳ３５−１へ進む。
【００５５】（ステップＳ６１−１：交点と制御点の距
離が幾何的許容誤差ε以内であるかの判定）交点と制御
点の距離ｄ1 ＞εまたはｄ2 ＞εの場合は、更に距離を
挟める必要があるので、ステップＳ７１−１へ進んで図
１６を再帰呼び出しし、ポリゴンＰａから形成されるベ
ジェ曲線を更に２分割する。また、円ＱがポリゴンＰａ
に含まれる場合も、交点を求めるためにステップＳ７１
−１へ進んで図１６を再帰呼び出しする。それ以外の場
合は、ステップＳ３８−１へ進む。
離が幾何的許容誤差ε以内であるかの判定）交点と制御
点の距離ｄ1 ＞εまたはｄ2 ＞εの場合は、更に距離を
挟める必要があるので、ステップＳ７１−１へ進んで図
１６を再帰呼び出しし、ポリゴンＰａから形成されるベ
ジェ曲線を更に２分割する。また、円ＱがポリゴンＰａ
に含まれる場合も、交点を求めるためにステップＳ７１
−１へ進んで図１６を再帰呼び出しする。それ以外の場
合は、ステップＳ３８−１へ進む。
【００５６】（３） ポリゴンＰｂのエッジと円Ｑとの
交点 ステップＳ２０２で、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと円
Ｑとの交点を求める。図１８は、ポリゴンＰｂのエッジ
と円Ｑとの交点を求める処理の詳細なフローチャートで
あるが、上記図１７のフローチャートと類似であるの
で、説明は省略する。
交点 ステップＳ２０２で、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと円
Ｑとの交点を求める。図１８は、ポリゴンＰｂのエッジ
と円Ｑとの交点を求める処理の詳細なフローチャートで
あるが、上記図１７のフローチャートと類似であるの
で、説明は省略する。
【００５７】ここで、ステップＳ２０１またはステップ
Ｓ２０２において、求めた交点が所定の誤差範囲内に入
っていない場合は、更に、ステップＳ２０１またはステ
ップＳ２０２の中で図１６の処理を再帰的に呼び出し、
ベジェ曲線を更に２分割して処理を行う。この処理を再
帰的に続け、所定の距離範囲内に誤差が入った所で交点
と決定する。
Ｓ２０２において、求めた交点が所定の誤差範囲内に入
っていない場合は、更に、ステップＳ２０１またはステ
ップＳ２０２の中で図１６の処理を再帰的に呼び出し、
ベジェ曲線を更に２分割して処理を行う。この処理を再
帰的に続け、所定の距離範囲内に誤差が入った所で交点
と決定する。
【００５８】但し、前記実施例と同様に、先に求めた交
点と後に求めた交点とが所定の距離範囲内の場合は、後
で求めた交点を捨てる。この処理により、ベジェ曲線と
円が接するような点付近で、交点が複数求まることを防
ぐことができる。また、交点の存在しない凸閉包ポリゴ
ンは評価対象としない処理をする。以上、本実施例によ
れば、ベジェ曲線と円の交点の算出を行うときに、誤差
の処理が容易な交点算出方式を提供するものである。
点と後に求めた交点とが所定の距離範囲内の場合は、後
で求めた交点を捨てる。この処理により、ベジェ曲線と
円が接するような点付近で、交点が複数求まることを防
ぐことができる。また、交点の存在しない凸閉包ポリゴ
ンは評価対象としない処理をする。以上、本実施例によ
れば、ベジェ曲線と円の交点の算出を行うときに、誤差
の処理が容易な交点算出方式を提供するものである。
【００５９】＜円弧との交点算出＞本例は、円弧とベジ
ェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理では、
前記実施例の図１６に示すと同様に、円とベジェ曲線と
の交点を求め、その後に求めた交点が円弧上にあるか否
かを判定する。求められた交点が円弧上になければ無効
とする。求めた交点が半無限線分上にあれば交点とす
る。
ェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理では、
前記実施例の図１６に示すと同様に、円とベジェ曲線と
の交点を求め、その後に求めた交点が円弧上にあるか否
かを判定する。求められた交点が円弧上になければ無効
とする。求めた交点が半無限線分上にあれば交点とす
る。
【００６０】この処理を示すフローチャートが図２０で
ある。図２０のフローチャートの中で、ステップＳ２０
０, Ｓ２０１, Ｓ２０２は、前記実施例と同様の処理な
ので説明は省き、ステップＳ１６−１またはステップＳ
１６−２について説明する。ステップＳ１６−１では、
ステップＳ２０１で算出された交点と円弧との最短距離
を算出し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、
ステップＳ２０１で得られた交点をベジェ曲線と円弧と
の交点とする。
ある。図２０のフローチャートの中で、ステップＳ２０
０, Ｓ２０１, Ｓ２０２は、前記実施例と同様の処理な
ので説明は省き、ステップＳ１６−１またはステップＳ
１６−２について説明する。ステップＳ１６−１では、
ステップＳ２０１で算出された交点と円弧との最短距離
を算出し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、
ステップＳ２０１で得られた交点をベジェ曲線と円弧と
の交点とする。
【００６１】一方、ステップＳ１６−２では、ステップ
Ｓ２０２で算出された交点と円弧との最短距離を算出
し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、ステッ
プＳ２０２で得られた交点をベジェ曲線と円弧との交点
とする。交点と円弧との最短距離が幾何的許容誤差ε以
上であれば、求めた交点を無効とし、ＲＡＭ２または外
部記憶装置１１に登録されていた交点を削除する。
Ｓ２０２で算出された交点と円弧との最短距離を算出
し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、ステッ
プＳ２０２で得られた交点をベジェ曲線と円弧との交点
とする。交点と円弧との最短距離が幾何的許容誤差ε以
上であれば、求めた交点を無効とし、ＲＡＭ２または外
部記憶装置１１に登録されていた交点を削除する。
【００６２】以上の処理により、ベジェ曲線と円弧との
交点を求めることができる。 ＜交点算出処理の短縮＞本例は、円弧とベジェ曲線との
交点を求め、その算出された交点数が最大交点数に達し
た場合の処理を示す実施例である。本例の処理では、前
記実施例の様に円とベジェ曲線との交点を求め、その後
に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定す
る。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての処
理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達していな
ければ処理を続行する。
交点を求めることができる。 ＜交点算出処理の短縮＞本例は、円弧とベジェ曲線との
交点を求め、その算出された交点数が最大交点数に達し
た場合の処理を示す実施例である。本例の処理では、前
記実施例の様に円とベジェ曲線との交点を求め、その後
に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定す
る。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての処
理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達していな
ければ処理を続行する。
【００６３】この処理を示すフローチャートが図２１で
ある。図２１のフローチャートの中で、ステップＳ２０
０, Ｓ２０１, ２０２は、前記実施例と同様の処理なの
で、説明は省き、ステップＳ１７−１またはステップＳ
１７−２について説明する。ステップＳ１７−１では、
ステップＳ２０１で算出された交点数が、最大交点数に
達したか否かを判定し、算出された交点数が最大交点数
に達していれば、全ての処理を終了する。算出された交
点数が最大交点数に達していなければ、処理を継続す
る。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と円の場合
“６”となる。
ある。図２１のフローチャートの中で、ステップＳ２０
０, Ｓ２０１, ２０２は、前記実施例と同様の処理なの
で、説明は省き、ステップＳ１７−１またはステップＳ
１７−２について説明する。ステップＳ１７−１では、
ステップＳ２０１で算出された交点数が、最大交点数に
達したか否かを判定し、算出された交点数が最大交点数
に達していれば、全ての処理を終了する。算出された交
点数が最大交点数に達していなければ、処理を継続す
る。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と円の場合
“６”となる。
【００６４】上記のように算出された交点数が最大交点
数に達すると処理を終了することで、交点算出処理の短
縮を図った。 ［実施例３］ ＜楕円Ｅとの交点算出＞本実施例のベジェ曲線と楕円Ｅ
との交点を算出する処理フローチャートを図２２に示
す。ベジェ曲線Ｐ0 Ｐ1 Ｐ2 Ｐ3 のポリゴンＰ2 Ｐ3 Ｐ
1 Ｐ0 と楕円の交点の例は、図２５に示すようになる。
数に達すると処理を終了することで、交点算出処理の短
縮を図った。 ［実施例３］ ＜楕円Ｅとの交点算出＞本実施例のベジェ曲線と楕円Ｅ
との交点を算出する処理フローチャートを図２２に示
す。ベジェ曲線Ｐ0 Ｐ1 Ｐ2 Ｐ3 のポリゴンＰ2 Ｐ3 Ｐ
1 Ｐ0 と楕円の交点の例は、図２５に示すようになる。
【００６５】図２５の処理は次の処理からなる。
（１）曲線の２分割とポリゴンの生成（Ｓ３００）
この処理は実施例１のステップＳ１００と同じなので説
明を省略する。 （２）ポリゴンＰａのエッジと楕円Ｅとの交点（Ｓ３０
１） ステップＳ３０１では、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと
楕円Ｅとの交点を求める。
明を省略する。 （２）ポリゴンＰａのエッジと楕円Ｅとの交点（Ｓ３０
１） ステップＳ３０１では、凸閉包ポリゴンＰａのエッジと
楕円Ｅとの交点を求める。
【００６６】図２３は、ポリゴンＰａのエッジと楕円Ｅ
との交点を求める処理の詳細なフローチャートである。
なお、図２３の処理は、前記実施例２の円を楕円に置き
代えたものであるので、ここではステップＳ５３−１の
楕円ＥとポリゴンＰａの内外判定以外の説明は省略す
る。 （ステップＳ５３−１：楕円とポリゴンの内外判定）ス
テップＳ３００で生成された凸閉包ポリゴンＰａに、楕
円が含まれているか否かの判定を行う。ポリゴンの全て
のエッジと交点を持たない楕円の場合は、楕円の外周の
１点がポリゴンの中に含まれるか否かの判定を行う。楕
円の外周の１点がポリゴンの中に含まれる場合は、楕円
はポリゴン中に含まれると判定する。楕円の外周の１点
がポリゴンの中に含まれない場合は、楕円はポリゴンが
完全に楕円に含まれているか否かを判定する。
との交点を求める処理の詳細なフローチャートである。
なお、図２３の処理は、前記実施例２の円を楕円に置き
代えたものであるので、ここではステップＳ５３−１の
楕円ＥとポリゴンＰａの内外判定以外の説明は省略す
る。 （ステップＳ５３−１：楕円とポリゴンの内外判定）ス
テップＳ３００で生成された凸閉包ポリゴンＰａに、楕
円が含まれているか否かの判定を行う。ポリゴンの全て
のエッジと交点を持たない楕円の場合は、楕円の外周の
１点がポリゴンの中に含まれるか否かの判定を行う。楕
円の外周の１点がポリゴンの中に含まれる場合は、楕円
はポリゴン中に含まれると判定する。楕円の外周の１点
がポリゴンの中に含まれない場合は、楕円はポリゴンが
完全に楕円に含まれているか否かを判定する。
【００６７】楕円の外周の一点（ｘ, ｙ）は、ｘ方向の
軸長をａ，ｙ方向の軸長をｂとしてパラメータθを用い
て表すと、次の様になる。 （ｘ, ｙ）＝（ａcos θ, ｂsin θ） ０≦θ≦２π 従って、任意のθに対して、点（ｘ, ｙ）がポリゴンの
内にあるか外にあるかを判定する。
軸長をａ，ｙ方向の軸長をｂとしてパラメータθを用い
て表すと、次の様になる。 （ｘ, ｙ）＝（ａcos θ, ｂsin θ） ０≦θ≦２π 従って、任意のθに対して、点（ｘ, ｙ）がポリゴンの
内にあるか外にあるかを判定する。
【００６８】実施例１及び２で説明したと同じように、
ベジェ曲線に対してベジェ曲線上の制御点において２分
割を繰り返し、本処理の再帰呼び出しを行うことによ
り、交点はベジェ曲線の始点及び終点となる制御点に収
束して行く。 （３）ポリゴンＰｂのエッジと楕円Ｅとの交点（Ｓ３０
２） ステップＳ３０２で、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと楕
円Ｅとの交点を求める。
ベジェ曲線に対してベジェ曲線上の制御点において２分
割を繰り返し、本処理の再帰呼び出しを行うことによ
り、交点はベジェ曲線の始点及び終点となる制御点に収
束して行く。 （３）ポリゴンＰｂのエッジと楕円Ｅとの交点（Ｓ３０
２） ステップＳ３０２で、凸閉包ポリゴンＰｂのエッジと楕
円Ｅとの交点を求める。
【００６９】図２４は、ポリゴンＰｂのエッジと楕円Ｅ
との交点を求める処理の詳細フローチャートである。な
お、図２４は図２３のポリゴンＰａをポリゴンＰｂに置
き代えたものなので、説明を省略する。ここで、ステッ
プＳ３０１またはステップＳ３０２において求めた交点
が所定の誤差範囲内に入っていない場合は、更に、ステ
ップＳ３０１またはステップＳ３０２の中で、図２２の
処理を再帰的に呼び出し、ベジェ曲線を更に２分割して
処理を行う。この処理を再帰的に続け、所定の距離範囲
内に誤差が入った所で交点と決定する。
との交点を求める処理の詳細フローチャートである。な
お、図２４は図２３のポリゴンＰａをポリゴンＰｂに置
き代えたものなので、説明を省略する。ここで、ステッ
プＳ３０１またはステップＳ３０２において求めた交点
が所定の誤差範囲内に入っていない場合は、更に、ステ
ップＳ３０１またはステップＳ３０２の中で、図２２の
処理を再帰的に呼び出し、ベジェ曲線を更に２分割して
処理を行う。この処理を再帰的に続け、所定の距離範囲
内に誤差が入った所で交点と決定する。
【００７０】但し、前記実施例と同様に、先に求めた交
点と後に求めた交点とが所定の距離範囲内の場合は、後
で求めた交点を捨てる。この処理により、ベジェ曲線と
楕円が接するような点付近で、交点が複数求まることを
防ぐことができる。また、交点の存在しない凸閉包ポリ
ゴンは評価対象としない処理をする。以上、本実施例に
よれば、ベジェ曲線と楕円の交点の算出を行うときに、
誤差の処理が容易な交点算出方式を提供するものであ
る。
点と後に求めた交点とが所定の距離範囲内の場合は、後
で求めた交点を捨てる。この処理により、ベジェ曲線と
楕円が接するような点付近で、交点が複数求まることを
防ぐことができる。また、交点の存在しない凸閉包ポリ
ゴンは評価対象としない処理をする。以上、本実施例に
よれば、ベジェ曲線と楕円の交点の算出を行うときに、
誤差の処理が容易な交点算出方式を提供するものであ
る。
【００７１】＜楕円弧との交点算出＞本例は、楕円弧と
ベジェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理で
は、前記実施例の図２２に示すと同様に、楕円とベジェ
曲線との交点を求め、その後に求めた交点が楕円弧上に
あるか否かを判定する。求められた交点が楕円弧上にな
ければ無効とする。求めた交点が半無限線分上にあれば
交点とする。
ベジェ曲線との交点を求めるものである。本例の処理で
は、前記実施例の図２２に示すと同様に、楕円とベジェ
曲線との交点を求め、その後に求めた交点が楕円弧上に
あるか否かを判定する。求められた交点が楕円弧上にな
ければ無効とする。求めた交点が半無限線分上にあれば
交点とする。
【００７２】この処理を示すフローチャートが図２６で
ある。図２６のフローチャートの中で、ステップＳ３０
０, Ｓ３０１, Ｓ３０２は、前記実施例と同様の処理な
ので説明は省き、ステップＳ１８−１またはステップＳ
１８−２について説明する。ステップＳ１８−１では、
ステップＳ３０１で算出された交点と楕円弧との最短距
離を算出し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれ
ば、ステップＳ３０１で得られた交点をベジェ曲線と楕
円弧との交点とする。
ある。図２６のフローチャートの中で、ステップＳ３０
０, Ｓ３０１, Ｓ３０２は、前記実施例と同様の処理な
ので説明は省き、ステップＳ１８−１またはステップＳ
１８−２について説明する。ステップＳ１８−１では、
ステップＳ３０１で算出された交点と楕円弧との最短距
離を算出し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれ
ば、ステップＳ３０１で得られた交点をベジェ曲線と楕
円弧との交点とする。
【００７３】一方、ステップＳ１８−２では、ステップ
Ｓ３０２で算出された交点と楕円弧との最短距離を算出
し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、ステッ
プＳ３０２で得られた交点をベジェ曲線と楕円弧との交
点とする。交点と楕円弧との最短距離が幾何的許容誤差
ε以上であれば、求めた交点を無効とし、ＲＡＭ２また
は外部記憶装置１１に登録されていた交点を削除する。
Ｓ３０２で算出された交点と楕円弧との最短距離を算出
し、最短距離が幾何的許容誤差ε以内であれば、ステッ
プＳ３０２で得られた交点をベジェ曲線と楕円弧との交
点とする。交点と楕円弧との最短距離が幾何的許容誤差
ε以上であれば、求めた交点を無効とし、ＲＡＭ２また
は外部記憶装置１１に登録されていた交点を削除する。
【００７４】以上の処理により、ベジェ曲線と楕円弧と
の交点を求めることができる。 ＜交点算出処理の短縮＞本例は、楕円弧とベジェ曲線と
の交点を求め、その算出された交点数が最大交点数に達
した場合の処理を示す実施例である。本例の処理では、
前記実施例の様に楕円とベジェ曲線との交点を求め、そ
の後に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定
する。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての
処理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達してい
なければ処理を続行する。
の交点を求めることができる。 ＜交点算出処理の短縮＞本例は、楕円弧とベジェ曲線と
の交点を求め、その算出された交点数が最大交点数に達
した場合の処理を示す実施例である。本例の処理では、
前記実施例の様に楕円とベジェ曲線との交点を求め、そ
の後に求めた交点数が最大交点数に達したか否かを判定
する。求めた交点数が最大交点数に達していれば全ての
処理を終了する。求めた交点数が最大交点数に達してい
なければ処理を続行する。
【００７５】この処理を示すフローチャートが図２７で
ある。図２７のフローチャートの中で、ステップＳ３０
０, Ｓ３０１, ３０２は、前記実施例と同様の処理なの
で、説明は省き、ステップＳ１９−１またはステップＳ
１９−２について説明する。ステップＳ１９−１では、
ステップＳ３０１で算出された交点数が、最大交点数に
達したか否かを判定し、算出された交点数が最大交点数
に達していれば、全ての処理を終了する。算出された交
点数が最大交点数に達していなければ、処理を継続す
る。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と楕円の場
合“６”となる。
ある。図２７のフローチャートの中で、ステップＳ３０
０, Ｓ３０１, ３０２は、前記実施例と同様の処理なの
で、説明は省き、ステップＳ１９−１またはステップＳ
１９−２について説明する。ステップＳ１９−１では、
ステップＳ３０１で算出された交点数が、最大交点数に
達したか否かを判定し、算出された交点数が最大交点数
に達していれば、全ての処理を終了する。算出された交
点数が最大交点数に達していなければ、処理を継続す
る。最大交点数は、例えば３次のベジェ曲線と楕円の場
合“６”となる。
【００７６】上記のように算出された交点数が最大交点
数に達すると処理を終了することで、交点算出処理の短
縮を図った。以上の説明では、パラメータｔ＝０. ５の
点でベジェ曲線の分割を行った。しかし、ｔ＝０. ３や
０. ７のように任意のパラメータ値で処理することがで
きる。
数に達すると処理を終了することで、交点算出処理の短
縮を図った。以上の説明では、パラメータｔ＝０. ５の
点でベジェ曲線の分割を行った。しかし、ｔ＝０. ３や
０. ７のように任意のパラメータ値で処理することがで
きる。
【００７７】また、ベジェ曲線を２分割して処理を行っ
たが、例えば３分割や４分割等の任意の分割数で処理を
行えることはいうまでもない。更に、３次のベジェ曲線
を対象として説明したが、任意の次数ｎで処理を行うこ
とができる。更に、凸閉包ポリゴンを生成して交点算出
の処理を行ったが、このステップの計算コストが高いと
される場合は、制御点の座標の最大値及び最小値をとっ
て長方形を作り、この長方形を制御点ポリゴンの代わり
として処理を行うことができ、交点算出の計算の短縮が
可能である。
たが、例えば３分割や４分割等の任意の分割数で処理を
行えることはいうまでもない。更に、３次のベジェ曲線
を対象として説明したが、任意の次数ｎで処理を行うこ
とができる。更に、凸閉包ポリゴンを生成して交点算出
の処理を行ったが、このステップの計算コストが高いと
される場合は、制御点の座標の最大値及び最小値をとっ
て長方形を作り、この長方形を制御点ポリゴンの代わり
として処理を行うことができ、交点算出の計算の短縮が
可能である。
【００７８】尚、本発明は、複数の機器から構成される
システムに適用しても、１つの機器から成る装置に適用
しても良い。また、本発明はシステム或は装置にプログ
ラムを供給することによって達成される場合にも適用で
きることはいうまでもない。
システムに適用しても、１つの機器から成る装置に適用
しても良い。また、本発明はシステム或は装置にプログ
ラムを供給することによって達成される場合にも適用で
きることはいうまでもない。
【００７９】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
ベジェ曲線と２次元図形（例えば、直線または円または
楕円等）との交点算出において、正確にベジェ曲線上に
存在する交点が求まる。すなわち、本発明では、交点を
基に新たに元の曲線の部分曲線を生成して行く過程で従
来起っていた誤差の蓄積、すなわち生成した部分曲線が
元の曲線に重ならなくなるために、新たに生成した部分
曲線と２次元図形（直線または円または楕円等）との交
点と真の交点との誤差の蓄積を未然に防ぐことが可能に
なった。従って、部分曲線が元の曲線上にないという矛
盾も防ぐことが可能となった。また、代数的方法で求ま
らなかった高い次数のベジェ曲線との交点も求めること
が可能となった。
ベジェ曲線と２次元図形（例えば、直線または円または
楕円等）との交点算出において、正確にベジェ曲線上に
存在する交点が求まる。すなわち、本発明では、交点を
基に新たに元の曲線の部分曲線を生成して行く過程で従
来起っていた誤差の蓄積、すなわち生成した部分曲線が
元の曲線に重ならなくなるために、新たに生成した部分
曲線と２次元図形（直線または円または楕円等）との交
点と真の交点との誤差の蓄積を未然に防ぐことが可能に
なった。従って、部分曲線が元の曲線上にないという矛
盾も防ぐことが可能となった。また、代数的方法で求ま
らなかった高い次数のベジェ曲線との交点も求めること
が可能となった。
【００８０】更に、ベジェ曲線と２次元図形（直線また
は円または楕円等）との交点を漏れなく全て出力できる
効果がある。
は円または楕円等）との交点を漏れなく全て出力できる
効果がある。
【図１】本実施例の図形処理装置のブロック図である。
【図２】ベジェ曲線の例を示す図である。
【図３】ベジェ曲線の性質を考察するための図である。
【図４】実施例１のベジェ曲線と直線との交点を算出す
る処理フローチャートである。
る処理フローチャートである。
【図５】ベジェ曲線の２分割と凸閉包ポリゴンの生成と
を示すフローチャートである。
を示すフローチャートである。
【図６】ポリゴンＰａと直線との交点を求める処理フロ
ーチャートである。
ーチャートである。
【図７】ポリゴンＰｂと直線との交点を求める処理フロ
ーチャートである。
ーチャートである。
【図８】制御点に対するポリゴンの例を示す図である。
【図９】図８のポリゴンと直線の交点の例を示す図であ
る。
る。
【図１０】ベジェ曲線の分割を示す図である。
【図１１】図１０で分割されたベジェ曲線の凸閉包ポリ
ゴンの生成を説明するための図である。
ゴンの生成を説明するための図である。
【図１２】図１１で生成されたポリゴンと直線との交点
を説明するための図である。
を説明するための図である。
【図１３】ベジェ曲線と有限線分との交点の算出をする
ためのフローチャートである。
ためのフローチャートである。
【図１４】ベジェ曲線と半無限直線との交点の算出をす
るためのフローチャートである。
るためのフローチャートである。
【図１５】ベジェ曲線と直線との最大交点数による終了
の処理フローチャートである。
の処理フローチャートである。
【図１６】実施例２のベジェ曲線と円との交点を算出す
る処理フローチャートである。
る処理フローチャートである。
【図１７】ポリゴンＰａと円との交点を求める処理フロ
ーチャートである。
ーチャートである。
【図１８】ポリゴンＰｂと円の交点を求めるフローチャ
ートである。
ートである。
【図１９】ポリゴンと交点の例を示す図である。
【図２０】ベジェ曲線と円弧との交点を算出するための
フローチャートである。
フローチャートである。
【図２１】ベジェ曲線と円との最大交点数による終了の
処理フローチャートである。
処理フローチャートである。
【図２２】実施例３のベジェ曲線と楕円との交点を算出
する処理フローチャートである。
する処理フローチャートである。
【図２３】ポリゴンＰａと楕円との交点を求める処理フ
ローチャートである。
ローチャートである。
【図２４】ポリゴンＰｂと楕円との交点を求める処理フ
ローチャートである。
ローチャートである。
【図２５】ポリゴンと楕円の交点の例を示す図である。
【図２６】ベジェ曲線と楕円弧との交点を算出するため
のフローチャートである。
のフローチャートである。
【図２７】ベジェ曲線と楕円との最大交点数による終了
の処理フローチャートである。
の処理フローチャートである。
【図２８】従来のベジェ曲線と直線との交点を求める時
の誤差を説明するための図である。
の誤差を説明するための図である。
【図２９】従来のベジェ曲線と円との交点を求める時の
誤差を説明するための図である。
誤差を説明するための図である。
【図３０】従来のベジェ曲線と楕円との交点を求める時
の誤差を説明するための図である。
の誤差を説明するための図である。
１ 中央処理装置（ＣＰＵ）
２ ランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）
３ リード・オンリー・メモリ（ＲＯＭ）
４ バス
５ 入力インターフェース
６ 入力装置（キーボード，マウス）
７ 出力インターフェース
８ 表示出力
９ 印刷出力
１０ 外部記憶装置インターフェース
１１ 外部記憶装置（ファイル）
２１ 制御点格納領域
２２ ２次元図形格納領域
２３ 交点格納領域
２３ａ 凸閉包ポリゴン交点
２３ｂ ベジェ曲線交点
３１ 処理プログラム
３２ パラメータ
─────────────────────────────────────────────────────
フロントページの続き
(58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名)
G06T 11/20
G06T 11/60
Claims (15)
- 【請求項１】 図形処理装置でベジェ曲線と２次元図形
との交点を算出する交点算出方法であって、記憶手段に制御点により記憶されている 交点算出の対象
となるベジェ曲線から、de Casteljauのアルゴリズムに
従って該ベジェ曲線上の制御点であるｎ次までの制御点
を順次算出して、算出された制御点を前記記憶手段に記
憶し、該ベジェ曲線を前記ベジェ曲線上の制御点で分割
するベジェ曲線分割ステップと、 前記分割されたベジェ曲線の各々に対応して、前記記憶
手段に記憶された制御点から複数の凸閉包ポリゴンを生
成する凸閉包ポリゴン生成ステップと、 前記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉包ポリゴンと、前記
記憶手段に前記ベジェ曲線と同じ座標系で記憶されてい
る交点算出の対象となる２次元図形との交点を求めて、
前記記憶手段に記憶する交点算出ステップと、 前記分割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点
と求められた前記交点との距離を求めて、該距離が幾何
学的許容誤差以内である場合に、前記記憶手段に記憶さ
れた前記始点及び終点となる制御点の一方をベジェ曲線
と２次元図形との交点と決定する交点決定ステップとを
備えることを特徴とするベジェ曲線と２次元図形との交
点算出方法。 - 【請求項２】 前記交点決定ステップは、 前記分割されたベジェ曲線の始点及び終点となる制御点
と求められた前記交点との距離が幾何学的許容誤差以内
である場合に、前記始点あるいは終点となる制御点をベ
ジェ曲線と２次元図形との交点候補とするステップと、 前記交点候補と前記分割されたベジェ曲線と２次元図形
との既に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以
内でない場合は、前記交点候補を交点とするステップと
を備えることを特徴とする請求項１記載のベジェ曲線と
２次元図形との交点算出方法。 - 【請求項３】 前記交点決定ステップは、前記交点候補
と前記分割されたベジェ曲線と２次元図形との既に求め
られた交点との距離が幾何学的許容誤差以内である場合
は、前記交点候補を無効とするステップを更に備えるこ
とを特徴とする請求項２記載のベジェ曲線と２次元図形
との交点算出方法。 - 【請求項４】 前記分割されたベジェ曲線の始点及び終
点となる制御点と求められた前記交点との距離が幾何学
的許容誤差以内でない場合に、前記分割されたベジェ曲
線の１つを交点算出の対象となるベジェ曲線と見なし
て、再帰的に前記曲線分割ステップと凸閉包ポリゴン生
成ステップと交点算出ステップとを繰り返す再帰処理ス
テップを更に備えることを特徴とする請求項１記載のベ
ジェ曲線と２次元図形との交点算出方法。 - 【請求項５】 前記交点算出ステップでは、１つの前記
凸閉包ポリゴンと２次元図形との交点が算出されない場
合に、前記複数の凸閉包ポリゴンの他の凸閉包ポリゴン
と２次元図形との交点を求め、前記複数の凸閉包ポリゴ
ンの全てと交点が算出されない場合には、その再帰処理
から抜けることを特徴とする請求項４記載のベジェ曲線
と２次元図形との交点算出方法。 - 【請求項６】 前記２次元図形が区間制限のある図形で
あって、前記求めた交点が前記区間内にない場合には交
点としない交点制限ステップを更に備えることを特徴と
する請求項１記載のベジェ曲線と２次元図形との交点算
出方法。 - 【請求項７】 前記交点算出の対象となるベジェ曲線の
次数と２次元図形より予め最大の交点数を定め、求めた
交点数が前記予め定めた最大交点数を満たせば処理を終
了する処理制限ステップを更に備えることを特徴とする
請求項１記載のベジェ曲線と２次元図形との交点算出方
法。 - 【請求項８】 前記凸閉包ポリゴンを、ベジェ曲線の制
御点の座標の最大値と最小値とに基づいて形成された長
方形で代用することを特徴とする請求項１乃至７のいず
れか１つに記載のベジェ曲線と２次元図形との交点算出
方法。 - 【請求項９】 前記２次元図形は、無限直線，有限線
分，半無限直線，円，円弧，楕円，楕円弧を含むことを
特徴とする請求項１乃至８のいずれか１つに記載のベジ
ェ曲線と２次元図形との交点算出方法。 - 【請求項１０】 ベジェ曲線と２次元図形との交点を算
出する図形処理装置であって、 交点算出の対象となるｎ次のベジェ曲線を制御点で記憶
するベジェ曲線記憶手段と、 de Casteljauのアルゴリズムに従って該ベジェ曲線上の
制御点であるｎ次までの制御点を順次算出して、該ｎ次
の制御点の少なくとも１つを新たな始点及び終点となる
制御点として、複数の凸閉包ポリゴンを生成して記憶す
る凸閉包ポリゴン生成手段と、 記憶された前記複数の凸閉包ポリゴンの各凸閉包ポリゴ
ンと交点算出の対象となる２次元図形との交点を求める
交点算出手段と、 前記各凸閉包ポリゴンの始点及び終点となる制御点と前
記交点算出手段で求められた前記交点との距離が幾何学
的許容誤差以内である場合に、前記始点及び終点となる
制御点の一方をベジェ曲線と２次元図形との交点とする
交点決定手段とを備えることを特徴とする図形処理装
置。 - 【請求項１１】 前記交点決定手段は、前記始点及び終
点となる制御点と求められた前記交点との距離が幾何学
的許容誤差以内である場合に、前記始点あるいは終点と
なる制御点をベジェ曲線と２次元図形との交点候補と
し、前記交点候補と前記ベジェ曲線と２次元図形との既
に求められた交点との距離が幾何学的許容誤差以内でな
い場合は、前記交点候補を交点とすることを特徴とする
請求項１０記載の図形処理装置。 - 【請求項１２】 前記交点決定手段は、 前記始点及び終点となる制御点と求められた前記交点と
の距離が幾何学的許容誤差以内でない場合に、前記生成
された凸閉包ポリゴンの制御点を交点算出の対象となる
ベジェ曲線の制御点と見なして記憶し、再帰的に前記凸
閉包ポリゴン生成手段と交点算出手段とによる処理を繰
り返すよう指示することを特徴とする請求項１０記載の
図形処理装置。 - 【請求項１３】 前記交点決定手段は、 前記２次元図形が区間制限のある図形である場合に、前
記求めた交点が前記区間内にない場合には交点としない
交点制限手段を更に備えることを特徴とする請求項１０
記載の図形処理装置。 - 【請求項１４】 前記交点算出の対象となるベジェ曲線
の次数と２次元図形より予め最大の交点数を定める最大
交点数設定手段を更に備え、前記交点決定手段は、求め
た交点数が前記予め定めた最大交点数を満たせば処理を
終了することを特徴とする請求項１０記載の図形処理装
置。 - 【請求項１５】 前記２次元図形は、無限直線，有限線
分，半無限直線，円，円弧，楕円，楕円弧を含むことを
特徴とする請求項１０乃至１４のいずれか１つに記載の
図形処理装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP3533295A JP3445010B2 (ja) | 1995-02-23 | 1995-02-23 | ベジェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP3533295A JP3445010B2 (ja) | 1995-02-23 | 1995-02-23 | ベジェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH08235368A JPH08235368A (ja) | 1996-09-13 |
| JP3445010B2 true JP3445010B2 (ja) | 2003-09-08 |
Family
ID=12438886
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP3533295A Expired - Lifetime JP3445010B2 (ja) | 1995-02-23 | 1995-02-23 | ベジェ曲線と２次元図形との交点算出方法及びこれを実現する図形処理装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3445010B2 (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN109141338A (zh) * | 2018-07-18 | 2019-01-04 | 上海华测导航技术股份有限公司 | 一种基于贝塞尔曲线拟合路径的农机作业面积计算方法 |
Families Citing this family (6)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| US6396492B1 (en) * | 1999-08-06 | 2002-05-28 | Mitsubishi Electric Research Laboratories, Inc | Detail-directed hierarchical distance fields |
| KR100788650B1 (ko) | 2001-10-13 | 2007-12-26 | 삼성전자주식회사 | 고밀도 디스크 |
| JP4844449B2 (ja) * | 2006-04-17 | 2011-12-28 | 日本ビクター株式会社 | 動画像符号化装置、方法、プログラム、動画像復号化装置、方法、およびプログラム |
| JP5687612B2 (ja) * | 2011-12-21 | 2015-03-18 | 京セラドキュメントソリューションズ株式会社 | 画像形成装置 |
| KR102237559B1 (ko) * | 2015-12-09 | 2021-04-07 | 현대자동차주식회사 | 고정밀 지도의 제공을 위한 세그먼트 모델링 기반의 도로의 형상 정보 생성 방법 |
| CN112419440A (zh) * | 2020-11-10 | 2021-02-26 | 深圳市益欣网络科技有限公司 | 一种2d水滴张力模拟粘合方法 |
-
1995
- 1995-02-23 JP JP3533295A patent/JP3445010B2/ja not_active Expired - Lifetime
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 鳥谷浩志，千代倉弘明，３次元ＣＡＤの基礎と応用，日本，共立出版株式会社，１９９１年 ２月２５日，ｐｐ．９６−９８ |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN109141338A (zh) * | 2018-07-18 | 2019-01-04 | 上海华测导航技术股份有限公司 | 一种基于贝塞尔曲线拟合路径的农机作业面积计算方法 |
| CN109141338B (zh) * | 2018-07-18 | 2021-03-26 | 上海华测导航技术股份有限公司 | 一种基于贝塞尔曲线拟合路径的农机作业面积计算方法 |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH08235368A (ja) | 1996-09-13 |
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