JP3310632B2 - 非線形計画法による最適潮流計算システム - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、電力系統において
最も経済的な発電機の出力分布と端子電圧、調相設備
量、及び変圧器タップなどを決定する最適潮流計算シス
テムに関する。最適潮流計算を実行するには、前提とし
て該当する電力系統の状態変数や設備データを入力し、
該電力系統を後述するノード・ブランチモデル化してノ
ードの順序付けを行うと共に、該ノード・ブランチモデ
ルのアドミタンス行列を予め作成しておくことが必要で
ある。本発明はそのもとで行われる最適潮流計算を制約
条件付きの非線形計画法によって解くものである。

【０００２】

【従来の技術】系統内の多数の発電所、変電所等諸施設
の母線とそれらにつながる発電機や変圧器や調相設備又
は負荷、前記母線間を結ぶ長距離送電線網等を含む電力
系統における最適潮流計算は、個々の設備の制約及び運
用上の諸制約の元で系統の負荷分布に対して最も経済的
な発電機出力分布、調相設備量、及び変圧器タップなど
を決定するものであるため、計算が極めて複雑となり厳
格な解を求めることがほとんど不可能であって、近似的
な解を得るものにしても非常に多くの時間を要するもの
であった。難集束な系統状態でも速やかに計算を集束す
ることができ、現実に適合した結果を得ることができる
最適潮流計算装置を提供するものとして特開平６−２７
７３８３号公報や特開平９−７４６７６号公報のものが
出願されている。前者は最適潮流計算を実施する際に、
いかに制約条件を減らして計算量および収束回数を少な
くするかに特徴を有するもので、必要最小限の制約条件
が得られた後の最適潮流計算そのものの収束性を良く
し、計算時間を短縮する本発明とは異なる技術的思想で
ある。後者は母線電圧の大きさ及び位相角のそれぞれを
従来のように実数変数ではなく複素変数として扱うこと
により収束性を良くする点に特徴を有し、最適潮流計算
において実数解に集束しない場合には各母線の電圧の大
きさ及び位相角に対応する複素数変数の虚数部分が、予
め定めたゼロの範囲内に入るように制約を設定するか、
あるいは前記複素数変数に対してペナルティ係数を設定
することで、最適計算を再実行するものである。この発
明は最適計算の手法についてはラグランジュの未定係数
法を用いた２次グラジェント法であると述べているが、
各制約条件の定式化、および最適潮流計算の中での扱い
方など明確には示されていない。また、複素数に拡張す
ることで変数が倍となって計算量が膨大となり要計算時
間を大きくしてしまう問題があるし、更に、計算量を減
らし収束性を良くするために切り捨てた制約条件が、そ
の後の集束過程で満足されなくなる可能性があり、その
際切り捨てた制約条件を再度採用すると、今度は別の制
約条件を満たさなくなるなどかえって収束性を悪くした
り制約条件の一貫性を損なうなどの惧れがあるものであ
る。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】本発明は、従来技術で
は計算負荷が大きく実用化できなかった電力系統におけ
る潮流の最適計算を短時間で実行して現実に適合した解
が得られるように、非線形計画法を用い厳格な最適解を
短時間で求めることが出来るシステムを提供することを
目的とする。

【０００４】

【課題を解決するための手段】本発明は、ノード電圧を
そのまま複素数表現で扱い、制約条件はすべて定式化し
て制約条件付き非線形最小化問題とし、拡張ラグランジ
ュ乗数法により解を得る最適潮流計算システムであっ
て、その際の部分問題である無制約化された最小化問題
を需給バランスによる制約である電力方程式からヤコビ
行列を予め算出しておき、これを用いることで勾配ベク
トルとヘッセ行列を求めやすくすることによって、収束
性の速いニュートン法による解法を可能にした。更に具
体的には発電コストを最小にする目的関数において、電
力系統モデルにおける送電ロス、施設内ロスを考慮して
有効電力、無効電力の需給バランスを満たし、さらに発
電機の出力制約、潮流制約、電圧制約、位相角制約の条
件式を与えて最も経済的な発電機の出力分布となる最適
解を制約条件付き非線形計画法によって求める。また、
計算システムとしては電力系統における負荷状況や調相
設備量の検出データ、送電線及び機器の接続状況、変圧
器のタップ比等の変動データを入力する手段と、前記入
力データとデータベースに蓄積された当該電力系統に関
する各種設備データとから発電機の発電コストを最小に
する目的関数と需給バランスを始めとする当該電力系統
における諸制約条件とを定式化して拡張ラグランジュ関
数による制約条件付き最小化問題の形にする演算設定手
段と、上記問題を拡張ラグランジュ乗数法で解く演算手
段とからなるものであって、上記演算手段は上記問題の
部分問題である無制約化した最小化問題を、需給バラン
スによる制約である電力方程式から計算したヤコビ行列
を用いることによってヘッセ行列並びに勾配ベクトルの
計算負荷を軽減し、収束性の速いニュートン法によって
解くことを可能にする手順を含むものである。

【０００５】

【発明の実施の形態】電力系統は一般に多数の発電所、
変電所等諸施設の母線とそれらにつながる発電機や変圧
器や調相設備又は負荷、前記母線間を結ぶ長距離送電線
網等からなるものであり、図１にそのモデルを例示す
る。図中Ｐは発電所、Ｓは変電所、Ｂは母線、Ｔは変圧
器、Ｎは送電線そしてＬは負荷を表している。このモデ
ルは発電所１、変電所４ヶ所を送電線で結んだシンプル
なものである。この電力系統をノード・ブランチ ネッ
トワークで表すと図２に示すとおりである。ここで、ノ
ード(1)〜(9)は母線であり、ノード(10)は発電機インジ
ェクションを持ち、ノード(6)とノード(8)は負荷のイン
ジェクションを持つ。ブランチ<1>、ブランチ<4>〜<7>
は送電線でインピーダンスと対地静電容量を持ち、ブラ
ンチ<2>、ブランチ<3>、ブランチ<8>〜<10>は変電器で
インピーダンスとタップ比を持つ。

【０００６】本発明は、上記のような電力系統において
発電機の所内ロス及び系統ロスを考慮した上で、種々の
制約条件を満たした最も効率の良い発電機の出力配分を
オンラインで制御する際に、またオフラインで調相設備
量や変圧器のタップ比を決定したりする際に用いられる
最適潮流計算のシステムに関するものであって、その際
に有効、無効電力に関する需給バランス、発電機の
有効電力出力の上下限、発電機の電圧制限、送電線
及び変圧器を通過する有効、無効電力の制限、母線電
圧の制限、母線間の位相角制限、その他定式化できる
制約を全て制約条件式とし、そのもとで目的関数を最小
にする解を得ればよい。そうすれば、それが送電ロス及
び所内ロスを考慮した上の、有効、無効電力の需給バラ
ンスを満たし、種々の制約条件のもとでの最も経済的な
発電機の出力配分を決めるものとなる。このことは理論
上では当然といえるのであるが、この計算において非線
形の厳密な解法は計算負荷がかかりすぎて実際的でなか
ったものを、本発明ではノード電圧をそのまま複素数表
現で扱い、制約条件はすべて定式化して拡張ラグランジ
ュ関数に組み込んで制約条件付き非線形最小化問題と
し、その際の部分問題である無制約化された最小化問題
を収束性の優れたニュートン法によって解くようにした
ものであって、具体的には需給バランスによる制約であ
る電力方程式によってヤコビ行列をまず計算して、これ
を用いることでヘッセ行列並びに勾配ベクトルの計算負
荷を大きく削減でき前記拡張ラグランジュ関数の最小化
問題をニュートン法によって解くことを可能にした点に
特徴を有するものである。

【０００７】問題の定式化を行う前に、電力系統におけ
る既知量と未知量について整理しておくと、次の表１の
ようになる。

【表１】

【０００８】ここで、最も経済的な発電機の出力配分を
決定するために、発電コストを最小にする目的関数を考
える。発電機の燃料消費特性は一般に出力Ｐ_Ｇの関数で
表される。

【数１】 ここで、Ｐ_Ｇi： 発電機ｉの有効出力 ａ_ｉ,ｂ_ｉ,ｃ_ｉ ： 発電機ｉの燃料消費特性の係数で
ある。

【０００９】次に各種制約条件の定式化について考え
る。 （１）需給バランスによる制約 これは送電ロスと所内ロスを厳密に考慮した上で、有
効、無効電力に関する需給バランスがとれているように
する最適潮流計算においては最も基本となる制約条件で
ある。よく知られている潮流計算と同様に電力系統を図
２のようなノード・ブランチのモデルで表す。電力系統
のノード電流Ｉとノード電圧Ｖ、またアドミタンス行列
Ｙを次のように表す。

【数２】 ここで、アドミタンス行列の各要素はブランチij（ノー
ドｉとノードｊ間のブランチを意味する。）のアドミタ
ンスをＧ_ij＋ｊＢ_ijとし、その対地静電容量によるアド
ミタンスの１／２をｙ_ijとして該アドミタンス行列Ｙ_ij
を複素数で表せば、ｉ≠ｊの時とｉ＝ｊすなわちｉ＝ｉ
の時に分け次のようになる。

【数３】 また、変圧器はπ型等価回路で表し、そのインピーダン
スをjx_ｉｊ、タップ比を１：Ｔとすると、変圧器ブラン
チｉｊのアドミタンスは

【数４】 調相設備量を指定する場合は、その指定量をアドミタン
スに変換して、接続するノードのアドミタンスに加え
る。

【００１０】さて、ノード電流を行列式で表せば、 Ｉ＝ＶＹ ‥‥‥‥‥‥‥‥(2−10) であり、したがって各ノードに流れる電力は

【数５】 ここで、ノードｉに流れ込む電力Ｓ_iは（Ｐ_i＋ｊＱ_i） ノードｉの電圧Ｖ_ｉは複素数表現で（ｅ_ｉ＋ｊｆ_ｉ） 発電器から系統に流れ込む有効電力Ｐは発電端出力Ｐ_Ｇ
から所内ロスを引いたものである。所内ロスは出力Ｐ_Ｇ
の２次式で表されるものとする。 Ｐ_ｉ＝Ｐ_Ｇi−α_ｉＰ_Ｇi ^２−β_ｉＰ_Ｇi−γ_ｉ ‥‥‥‥‥‥(2−12) 各ノードに対する制約により、ノードを次の３タイプに
分類する。 イ）Ｐ−Ｑノード：有効電力Ｐと無効電力Ｑが指定され
ているノード ロ）Ｐ−Ｖノード：有効電力Ｐと電圧の絶対値Ｖが指定
されているノード ハ）Ｐノード： 有効電力Ｐのみが指定されているノ
ード 以上のことから、系統モデルによる制約条件式は次のよ
うになる。

【数６】 これが本発明の最適潮流計算における基本制約条件とな
る。

【００１１】上記の需給バランスによる基本制約条件の
ほかに電力系統には以下のような制約がありそれぞれの
制約条件式を定式化する。 （２）発電機の出力制約 発電機には可能な有効出力範囲があり、さらに種々の運
用上の制約がある。これらの制約を満たすために、発電
機出力に上限下限を与える。 上限制約は Ｐ_Ｇi−Ｈ_ｉ≦０ ‥‥‥‥‥‥‥‥(2−16) 下限制約は Ｌ_ｉ−Ｐ_Ｇi≦０ ‥‥‥‥‥‥‥‥(2−17) （３）送電線及び変圧器を通過する有効、無効電力の制
限 送電線や変圧器には熱容量による制約や、運用上の制約
がある。これを満たすために必要な有効、無効潮流の制
約で、ブランチijを流れる電力をノードｉ側で表すと、

【数７】 （４）母線および発電機電圧の制限に基づく制約 母線および発電機電圧には許容される範囲がある。ま
た、系統の安定した運用のために電圧が指定されたり、
ある範囲内に納める必要がある。母線や発電機の電圧に
指定値がある場合は、そのノードを前述のＰ−Ｖノード
として扱い、電圧の絶対値を指定する。また、電圧の範
囲を指定する場合はＰ−ＱノードまたはＰノードとする
が、その場合のノードタイプの指定の仕方については
ノードが母線の場合はＰ−Ｑノードとする。ノードが
母線であり、最適な調相設備量を求めたい場合はＰノー
ドとする。ノードが発電機でその端子電圧の範囲指定
をする場合はＰノードとする。この場合の制約条件式は
下記となる。 上限制約 （ｅ_ｉ＋ｆ_ｉ）−Ｖ_Ｈi ^２≦０ ‥‥‥‥‥‥‥(2−23) 下限制約 Ｖ_Ｌi ^２−（ｅ_ｉ ^２＋ｆ_ｉ ^２）≦０ ‥‥‥‥‥‥(2−24) （５）母線間の位相角制限 系統の安定した運用のため、ある母線間の位相角差を一
定の範囲に収めるよう指定する場合がある。そのときの
制約条件である。

【数８】

【００１２】次に解法についてであるが、前述のノード
・ブランチ系統モデルによる需給バランスを満たす基本
制約条件式のもとで、式（2−1）の目的関数を最小にす
る問題を解けば、送電ロス及び所内ロスを考慮した上
で、有効、無効電力の需給バランスを満たす最も経済的
な発電機の出力配分を求めることができる。更に、その
他種々の制約条件式を与えれば、それらの条件も満足す
る最適解を求めることが出来るわけである。この目的関
数と制約条件式は共に２次以上の関数であるため、これ
を厳密に解くためには非線形計画法で解くことが必要と
なる。一般の制約条件付きの非線形計画法にはペナル
ティ法、拡張ラグランジュ乗数法（ＡＧＬ：AuGmente
d Lagrange multiplier method）、逐次２次計画法
（ＳＱＰ：Sequential Quadratic Programing）などの
手法が知られている。理論上はどの手法によっても解く
ことができるのであるが、最適潮流計算を実行する本発
明においては手続きが比較的単純で、収束性も良い拡張
ラグランジュ乗数法（ＡＧＬ）を用いるものとした。本
発明は、発電コストを最小にする目的関数（2-１）式を
ｆ(x)とし、不等式制約条件式をｇ_ｉ(x)≦０：ここでｉ
＝１,２,‥‥‥‥,ｍ、等式制約条件式をｈ _ｊ(x)＝０：
ここでｊ＝１,２,‥‥‥‥,ｌとしたときの拡張ラグラ
ンジュ関数を立て、ラグランジュ乗数とペナルティ・パ
ラメータを決めた形で無制約最小化問題を解き、その解
について違反量をチェックしながらラグランジュ乗数と
ペナルティ・パラメータの修正を繰り返し、適正解を得
るものである。無制約最小化問題を解く手法として、
ニュートン法（Newton method）、準ニュートン法（Q
N:Quasi-Newton method）、共役勾配法（CG:Conjugat
e Gradient method）が知られており一般には準ニュー
トン法や共役勾配法がよく使われている。ニュートン法
はヘッセ行列（Hessian matrix）を求める必要がある
が、ヘッセ行列を解析的に求めることは通常非常に困難
であったり時間を要するため、収束が非常に速いという
利点を有しながらこの手法は利用されてこなかった。本
発明はこの解法においてヘッセ行列の算出を、解析的に
しかも非常に高速に求めることができる方法を開発し、
収束性の速いニュートン法による解法を実用化した点に
大きな特徴を有している。すなわちニュートン法で必要
となるヘッセ行列を求める準備として、電力系統におけ
る需給バランスによる制約である電力方程式よりまずヤ
コビ行列（Jacobian matrix）を求めておき、これを用
いることでヘッセ行列を容易に求めることを可能にし
た。

【００１３】

【実施例１】以下に、最適潮流計算における制約条件付
きの最小化問題の解法を拡張ラグランジュ乗数法によっ
て実行するに際しての具体的定式化と解法について詳細
に示す。問題を発電コストを最小にする目的関数（2−
１）式をｆ(x)とし、不等式制約条件式をｇ_ｉ(x)≦０、
等式制約条件式をｈ_ｊ(x)＝０

【数９】 とする。ただし、 λ＝(λ₁,λ₂,…λ_m)^T，μ＝(μ₁,μ₂,…μ_l)^T はラグ
ランジュ乗数、 ｔ＝（ｔ₁,ｔ₂,…ｔ_m)^T，ｒ＝（ｒ₁,ｒ₂,…ｒ_l)^Tはペナ
ルティ・パラメータである。ここで前記の式を当てはめ
ると、上記（3-1）式のｆ(x)は(2-1)式であり、等式制
約の条件式ｈ_ｊ(x)は(2-13),(2-14),(2-15)式であり、
不等式制約の条件式ｇ_ｉ(x)は(2-16),(2-17),(2-21),(2
-22),(2-23),(2-24),(2-25)式である。従って、変数ｘ
は ｘ＝(Ｐ_Ｇ1,Ｐ_Ｇ2,…Ｐ_ＧNG,ｅ_１,ｆ_１,ｅ_２,ｆ_２,…,ｅ_ＮN,ｆ_ＮN)^T ‥‥‥‥（3-3） となり、目的関数と制約条件式を

【数10】 とおくと、拡張ラグランジュ関数は、次式となる。 なお上式中 注１：ｉは発電機Ｇ以外のノードの集合の
要素である。 注２：ｉは発電機Ｇの集合の要素である。 注３：ｉはＰＱノードの集合の要素である。 注４：ｉはＰＶノードの集合の要素という意味である。

【数11】 上式においてｍに関するΣ式である７式は不等式制約の
条件式であり、ｌ（Ｌの小文字）についてのΣ式である
４式は等式制約の条件式である。ここで、ＮＧ は発電
機の数である。ＮＮ はノードの数である。Ｇ は発
電機につけられた添字の集合である。ＰＱ はＰ−Ｑノ
ードにつけられた添字の集合である。ＰＶ はＰ−Ｖノ
ードにつけられた添字の集合である。Ｍ_gh は不等式制
約式gh(Ｐ_Ｇ)につけられた添字の集合である。Ｍ_gl は
不等式制約式gl(Ｐ_Ｇ)につけられた添字の集合である。
Ｍ_ph は不等式制約式ph(Ｐ_Ｇ)につけられた添字の集合
である。Ｍ_qh は不等式制約式qh(Ｐ_Ｇ)につけられた添
字の集合である。Ｍ_vh は不等式制約式vh(Ｐ_Ｇ)につけ
られた添字の集合である。Ｍ_vl は不等式制約式vl(Ｐ
_Ｇ)につけられた添字の集合である。Ｍ_δ は不等式制
約式δ(Ｐ_Ｇ)につけられた添字の集合である。Ｌ_pg は
等式制約式ｐ(Ｐ_Ｇ,e,f)につけられた添字の集合であ
る。Ｌ_ｐ は等式制約式ｐ(e,f)につけられた添字の
集合である。Ｌ_ｑ は等式制約式ｑ(e,f)につけられ
た添字の集合である。Ｌ_ｖ は等式制約式ｖ(e,f)に
つけられた添字の集合である。

【００１４】次にこの拡張ラグランジュ乗数法の手順で
あるが、図３にフローチャートで示すように実行され
る。ステップ１において初期値を設定する。ｍ次元の実
ベクトルの要素であるλ^０はλ^０≧０，μ^０はｌ（Ｌの
小文字）次元の実ベクトルの要素，ｍ次元の実ベクトル
の要素であるｔ^０はｔ^０＞０，ｌ（Ｌの小文字）次元の
実ベクトルの要素であるｒ^０はｒ^０＞０， α＞１， ０＜β＜１， ε＞０ ， ｃ^０＝∞ という条件であるが、 λ^０ ＝０ ，μ^０ ＝０，ｔ^０ ＝１０，ｒ^０＝１０，α
＝１０，β＝1/4，ｃ^０＝１０⁵⁰ とおくのが普通である。しかし、これらの値は収束性の
よい値に設定すべきであるから、適宜の値に設定変更さ
れることもある。そして当然のことながら変数ｘの初期
値は最適解に近く設定されるほど収束性がよくなるわけ
であるから、ここでは従来から行われているフロー法や
ニュートン・ラプソン法或は状態推定法といったＡＣ法
潮流計算によって得た値を用いるのが合理的である。ス
テップ２においては、この拡張ラグランジュ関数の無制
約最小化を実行してその解をｘ^ｋ とする。本発明では
この無制約最小化問題を解く手法としてニュートン法を
用いるのであるが、この点は後で詳しく述べることにす
る。ステップ３において、Ｉは不等式制約についての違
反のチェックであり、Ｊは等式制約についての違反のチ
ェックである。収束計算ステップ２で得た解について閾
値βｃ^ｋとの比較を実行し、違反量をチェックする。ス
テップ４ではラグランジュ乗数の変更の必要性をチェッ
クし、この条件を満たしたもの(Yes)はステップ８に進
み、ラグランジュ乗数λ，μとｃの変更を行わずステッ
プ９に進める。ステップ５では、ステップ４の条件を満
たさなかった場合(No)にラグランジュ乗数並びにペナル
ティ・パラメータ双方の修正を要するものとし、違反量
の最大値を新たなｃ^ｋ+１と決める。ステップ６では新
たなｃ^ｋ+１ が閾値ε以下に収まっていればこれで収束
したと判断して演算を終了し、閾値ε内に収まっていな
いときはステップ７に進む。ステップ７ではラグランジ
ュ乗数λ，μの変更を実行する。ステップ９ではステッ
プ３で違反したものについてのみペナルティ・パラメー
タｔ，ｒの修正を実行し、ステップ２に戻り次回の計算
に入るものとしている。

【００１５】ところで前述のステップ２において実行す
る無制約最小化問題をニュートン法によって解く手法は
次のとおりで、その計算手順を図４に示したフローチャ
ートに沿って説明する。ここで解く問題は前記(3-2）式
の拡張ラグランジュ関数である。この手順におけるステ
ップ１では前述したとおり初回計算の初期値ｘ^０は従来
のＡＣ法潮流計算によって得た値を用いることにする
が、次回以降は前回結果を用いて収束するまで計算を繰
り返す作業となる。初期値ｘ^０に対するヤコビ行列およ
び勾配ベクトルをここでまず求めておく。ステップ２で
は勾配ベクトル∇Ｌ_ｔ,ｒ（ｘ）＝０となれば解が求ま
ったことになり、その際のｘ^ｋが最適解ということにな
るのであるが、実際は次式のように勾配ベクトルのノル
ムが一定値ε以下になった時点で収束したものとみなし
計算を終了する。この条件を満たさない場合にはステッ
プ３に進み計算を継続する。 ‖∇Ｌ_t,r（Ｐ_Ｇ,ｅ,ｆ,λ,μ）‖≦ε ‥‥‥‥‥‥（3-203） ステップ３ではヘッセ行列を求める。このヘッセ行列を
求めることが厄介であるため、従来はニュートン法によ
る解法が敬遠されてきたのであるが、本発明では需給バ
ランスによる制約である電力方程式よりヤコビ行列を求
めておきこれを用いることで、ヘッセ行列を容易に求め
られるようにしている。ステップ４では探索ベクトルｄ
^ｋを求める。探索ベクトルｄ^ｋ を求める方法はｄ^ｋ に
関する１次方程式 ∇^２Ｌ_y,r（ｘ^ｋ）ｄ^ｋ＝−∇Ｌ_y,r（ｘ^ｋ） ‥‥‥‥‥‥（3-204） を解いて探索ベクトルｄ^ｋ を求める。ここで、∇^２Ｌ
_y,r（ｘ^ｋ）がヘッセ行列、∇Ｌ_y,r（ｘ^ｋ）が勾配ベク
トルである。ヘッセ行列は対称行列であるから、修正コ
レスキー分解することにより、簡単に解くことができ
る。ステップ５では直線探索を行いステップ幅ｔを求
め、変数に+ｔｄ^ｋ修正を実行する。直線探索の方法は
数多くしられているが、ここではＷolfeの方法を用いる
ものとする。そしてこの際に新しいヤコビ行列と勾配ベ
クトルとを求めておき、ステップ６でｋを進めてステッ
プ２に戻り次回計算に入る。

【００１６】さて、ニュートン法で必要となる勾配ベク
トル∇Ｌ_ｔ,ｒ（ｘ）とヘッセ行列∇^２Ｌ_y,r（ｘ）を求
める準備として求めておくヤコビ行列Ｊであるが、これ
は次のようにして求める。ヤコビ行列は一般に

【数12】 で表される行列であるが、これに電力方程式（2-13）,
（2-14）,（2-15）を当てはめると、f₁,f₂,…,f_nは関数
（3-5）,（3-6）,（3-7）,（3-8）であり、x₁,x₂,…,x_n
はe₁,f₁,e₂,f₂,…,ｅ_ＮN,ｆ_ＮN であるから、

【数13】 ヤコビ行列の各要素はそれぞれ次のように計算される。
ｉ≠ｊのとき、

【数14】 ｉ＝ｊのとき、

【数15】

【００１７】勾配ベクトル∇Ｌ_t,r(ｘ)は

【数16】 となる。この勾配ベクトルをГと表し、その要素をГ
_ＰGI,Г_ｅi,Г_ｆi などのように表すことにする。さ
て、この勾配ベクトルГは目的関数と各制約条件式の勾
配ベクトル（gradient）を重ね合わせることで求められ
るので、以下の手順により求めることができる。 （１）目的関数ｆ(Ｐ_Ｇ)に関する計算 （3-4）式より、 Г_ＰGi ＝２ａ_ｉＰ_Ｇi ＋ｂ_ｉ ‥‥‥‥‥‥‥‥（3-32） Г_ｅi ＝０ ‥‥‥‥‥‥‥‥（3-33） Г_ｆi ＝０ ‥‥‥‥‥‥‥‥（3-34） （２）不等式制約条件式gh(Ｐ_Ｇ)に関する計算 (3-9)および(3-16)式より、λ_2(i-1)+1 +ｔ_2(i-1)+1gh
_ｉ(Ｐ_Ｇi)＞０ならば、

【数17】 （３）不等式制約条件式gl(Ｐ_Ｇ)に関する計算 (3-10),(3-16)式より、λ_2(i-1)+2＋ｔ_2(i-1)+2gl_ｉ(Ｐ
_Ｇi)＞０ならば、

【数18】 （４）不等式制約条件式ph(e,f)に関する計算 (3-11)式より、

【数19】 (3-16)および(3-37)〜(3-40)式より、λ_m＋ｔ_mph_m（e,
f）＞０ならば、

【数20】 （５）不等式制約条件式qｈ(e,f)に関する計算 (3-12)式より、

【数21】 (3-16)および(3-45)〜(3-48)式より、λ_m＋ｔ_mqh_m（e,
f）＞０ならば、

【数22】 （６）不等式制約条件式vｈ(e,f)に関する計算 (3-13)式より

【数23】 (3-16)および(3-53)〜(3-54)式より、λ_m＋ｔ_mvh_m（e,
f）＞０ならば、

【数24】 （７）不等式制約条件式vl(e,f)に関する計算 (3-14)式より、

【数25】 (3-16)および(3-57)〜(3-58)式より、λ_m＋ｔ_mvl_m（e,
f）＞０ならば、

【数26】 （８）不等式制約条件式δ(e,f)に関する計算 (3-15)式より、

【数27】 (3-16)および(3-61)〜(3-64)式より、λ_m＋ｔ_mδ_m（e,
f）＞０ならば、

【数28】 （９）等式制約条件式ｐ(Ｐ_Ｇ,e,f)に関する勾配ベクト
ル要素Г_ＰGi の計算 （3-6）式より

【数29】 （3-16）および（3-69）式より、

【数30】 （１０）等式制約条件式ｐ(Ｐ_G,e,f)、ｐ(e,f)、ｑ(e,
f)およびｖ(e,f)に関する勾配ベクトル要素Г_ｅ ，Г_ｆ
の計算 （3-5）〜(3-8)式、(3-18)〜(3-29)および(3-16)式よ
り、

【数31】 上記の式中Ｊ は先に求めたヤコビ行列（3-17）であ
る。添字l（Ｌの小文字）は等式制約式の添字である
が、これはヤコビ行列の行に対応する。また、ｈ_ｌ(e,
f)はヤコビ行列のl行に対応する関数ｐ(Ｐ_G,e,f)、ｐ
(e,f)、ｑ(e,f)またはｖ(e,f)の値である。

【００１８】つづいてヘッセ行列を計算する手法を説明
する。ヘッセ行列は

【数32】 であるが、これに(3-16)式を当てはめると、

【数33】 と書くことができる。これは対称行列である。このヘッ
セ行列をＨで表し、その要素をＨ_ＰGi,ＰGi,Ｈ_ｅi,ｆj
などのように表すことにする。このヘッセ行列は目的
関数および各制約条件式のそれぞれのヘッセ行列の和と
して求めることができるので、以下の手順により順次求
めてゆく。 （１）目的関数ｆ(Ｐ_Ｇ)に関する計算 （3-4）および(3-32)式より、 Ｈ_ＰGi,ＰGi ＝２ａ_ｉ ‥‥‥‥‥‥‥‥（3-75） その他の要素は全て０とする。 （２）不等式制約条件式gh(Ｐ_Ｇ)に関する計算 (3-9)（3-35）式および(3-16)式より、λ_2(i-1)+1＋ｔ
_2(i-1)+1gh_ｉ(Ｐ_Ｇｉ)＞０ならば、

【数34】 （３）不等式制約条件式gl(Ｐ_Ｇ)に関する計算 (3-10),(3-36)式および（3-16)式より、λ_2(i-1)+2＋ｔ
_2(i-1)+2gl_ｉ(Ｐ_Ｇi)＞０ならば、

【数35】 （４）不等式制約条件式ph(e,f)に関する計算 (3-37)〜(3-40)式より、

【数36】 (3-11)式、(3-37)〜(3-40)式、(3-78)〜(3-87)式および
(3-16)式より、λ_m＋ｔ_mph_m（e,f）＞０ならば、

【数37】

【数38】

【数39】 （５）不等式制約条件式qｈ(e,f)に関する計算 (3-45)〜(3-48)式より、

【数40】 (3-12)式、(3-45)〜(3-48)式、(3-98)〜(3-107)式およ
び(3-16)式より、λ_m＋ｔ_mqh_m（e,f）＞０ならば、

【数41】

【数42】

【数43】 （６）不等式制約条件式vｈ(e,f)に関する計算 (3-43)〜(3-54)式より

【数44】 (3-13)式、(3-53)〜(3-54)式、(3-118)〜(3-120)式およ
び(3-16)式より、λ_m＋ｔ_mvh_m（e,f）＞０ならば、

【数45】 ７）不等式制約条件式vl(e,f)に関する計算 (3-57)〜(3-58)式より、

【数46】 (3-14)式、(3-57)〜(3-58)式、(3-124)〜(3-126)式およ
び(3-16)式より、λ_m＋ｔ_mvl_m（e,f）＞０ならば、

【数47】 （８）不等式制約条件式δ(e,f)に関する計算 (3-61)〜（3-64）式より、

【数48】 (3-15)式、(3-61)〜(3-64)式、(3-130)〜(3-139)式およ
び(3-16)式より、λ_m＋ｔ_mδ_m（e,f）＞０ならば、

【数49】

【数50】

【数51】 （９）等式制約条件式ｐ(Ｐ_G,e,f)に関するＨ
_{ＰGi，ＰGi} の計算 （3-69）式より

【数52】 （3-6）式、(3-18)〜(3-29)式、(3-69)式、(3-150)およ
び（3-16）式より、

【数53】 Ｊ はヤコビ行列（3-17）である。 （１０）等式制約条件式ｐ(Ｐ_G,e,f)、ｐ(e,f)、ｑ(e,
f)およびｖ(e,f)に関するＨ_e,e、Ｈ_e,f、Ｈ_f,e、Ｈ_f,f
の計算 (3-18)〜(3-29)式より、

【数54】

【数55】

【００１９】(3-5)〜(3-8)式、(3-18)〜(3-29)式、(3-1
54)〜(3-180)式および(3-16)式より、まず、Ｐの項を計
算する。ｋ＝ｉ＝ｊの場合、

【数56】 ｋ＝ｉかつｉ≠ｊの場合、

【数57】 ｋ＝ｊかつｉ≠ｊの場合、Ｈ_ｅi,ｅj＝Ｈ_ｅj,ｅiはｋ＝
ｉかつｉ≠ｊの場合と同様。

【数58】 Ｈ_ｆi,ｆj＝Ｈ_ｆj,ｆiはｋ＝ｉかつｉ≠ｊの場合と同
様。ｋ≠ｉかつｋ≠ｊの場合、

【数59】

【００２０】次に、Ｐ−ＱノードのＱの項を計算する。
ｋ＝ｉ＝ｊの場合、

【数60】 ｋ＝ｉかつｉ≠ｊの場合、

【数61】 ｋ＝ｊかつｉ≠ｊの場合、Ｈ_ｅi,ｅj＝Ｈ_ｅj,ｅiはｋ＝
ｉかつｉ≠ｊの場合と同様。

【数62】 Ｈ_ｆi,ｆj＝Ｈ_ｆj,ｆiはｋ＝ｉかつｉ≠ｊの場合と同
様。ｋ≠ｉかつｋ≠ｊの場合、

【数63】

【００２１】さらに、Ｐ−ＶノードのＶの項を計算す
る。ｋ＝ｉ＝ｊの場合、

【数64】 その他の場合は、この項は０であるので計算は不要であ
る。Ｐノードの場合は、Ｑ，Ｖの項の計算は不要であ
る。Ｊはヤコビ行列（３−１７）である。

【００２２】以上の計算手法によって、電力系統の最適
潮流計算を実行するわけであるが、この計算に先立ち、
実際の電力系統の具体的な発電所と発電機の数や変電
所、それらを結ぶ送電線網といった諸設備とその設置状
況に応じたデータ、各種制約条件については別途データ
ベース化しておくことが必要であることは当然であり、
本発明はそのデータをもとに当該電力系統の負荷分布に
対しオンラインでの発電機の最適出力配分の決定や、オ
フラインでの最適調相設備量の決定、諸制約のもとでの
母線における無効電力や電圧値、変圧器の最適タップ比
の決定を迅速適正に実行できる計算システムを提供した
ものである。なお、アドミタンス行列、ヤコビ行列、お
よびヘッセ行列は、非零要素が少ないスパース行列とな
るので、メモリの節約と計算速度を向上させるために、
スパース処理が必要であるが、これについては種々の方
法が考案されているので、適当な方法を用いるとよい。

【００２３】

【発明の効果】本発明は、従来最適潮流計算において非
線形計画法を用いた厳密な最適解を得ることは不可能と
思われていたものを、発電機の発電コストを最小にする
目的関数と需給バランスを始めとする諸制約条件をすべ
て定式化して拡張ラグランジュ関数によって制約条件付
き最小化問題の形にした上で、該最小化問題の部分問題
である無制約化された最小化問題をニュートン法によっ
て速い収束をもって解を得ることが出来る実用可能な計
算システムを提供することができたものである。それ
は、一般に算出に多大の時間を要するとされていたニュ
ートン法におけるヘッセ行列並びに勾配ベクトルの計算
を需給バランスによる制約である電力方程式によってヤ
コビ行列を予め計算して用いることで、ニュートン法に
おける計算負荷を大きく削減したものである。以上のよ
うに、本発明は電力系統の諸設備の設備的な制約及び運
用上の諸制約のもとで、系統負荷分布の状況に応じて最
も経済的な発電機出力配分、調相設備量、及び変圧器の
タップ比などを決定する最適潮流計算システムにおい
て、厳密な最適解を非線形計画法によって実現すること
ができた。

【００２４】本発明の実施検証に際しては、試験データ
にはＩＥＥＥの118ノードをもちい、計算機はHewlett P
ackard 社のModel712/80 を使用した。制約条件として
ＩＥＥＥの118の系統と、発電機１５台の出力上下限の
みの場合、計算時間は１秒であった。また、上記に有効
電力Ｐと無効電力Ｑの潮流制約を１箇所づつ加えた場合
の計算時間は4.59秒であった。なお、上記時間にはメモ
リディスクへのアクセス時間は含まれていない。上記実
験は前記ワークステーションを使用してのものであり、
実際に電力会社などで電力系統の制御に使用されている
計算機を用いれば、計算速度は数十倍速いので、十分に
実用に耐えられるものである。

【図面の簡単な説明】

【図１】電力系統のモデルを示した例。

【図２】図１の電力系統モデルをノード・ブランチ ネ
ットワークで表したもの。

【図３】拡張ラグランジュ関数解法のフローチャート。

【図４】最小化問題をニュートン法によって解くフロー
チャート。

【符号の説明】 Ｐ 発電所 Ｇ 発電機 Ｓ 変電所 Ｔ 変圧器 Ｂ 母線 Ｎ 送電線 Ｌ 負荷

フロントページの続き (56)参考文献 特開 平２−159672（ＪＰ，Ａ) 特開 平７−334561（ＪＰ，Ａ) 特開 平８−33207（ＪＰ，Ａ) 特開 平４−49816（ＪＰ，Ａ) 特開 平４−79726（ＪＰ，Ａ) 特開 平８−140262（ＪＰ，Ａ) 特開 平９−74676（ＪＰ，Ａ) 特開 昭58−151831（ＪＰ，Ａ) 特開 昭62−155728（ＪＰ，Ａ) 特開 昭61−210830（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) H02J 3/00 - 5/00

Claims (2)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】発電機の発電コストを最小にする目的関数
   と需給バランスを始めとする当該電力系統における諸制
   約条件とを定式化して制約条件付き非線形最小化問題と
   し、拡張ラグランジュ乗数法により解を得るものであ
   り、その際の部分問題である無制約化された最小化問題
   を収束性の優れたニュートン法によって解くものであっ
   て、まず需給バランスによる制約である電力方程式によ
   ってヤコビ行列を計算して、これを用いることでヘッセ
   行列並びに勾配ベクトルの計算負荷を大きく削減して前
   記拡張ラグランジュ関数の最小化問題をニュートン法に
   よって解くことを可能にした電力系統における最適潮流
   計算手法。
2. 【請求項２】電力系統における負荷状況や調相設備量の
   検出データ、送電線及び機器の接続状況、変圧器のタッ
   プ比等の変動データを入力する手段と、 前記入力データとデータベースに蓄積された当該電力系
   統に関する各種設備データとから発電機の発電コストを
   最小にする目的関数と需給バランスを始めとする当該電
   力系統における諸制約条件とを定式化して拡張ラグラン
   ジュ関数による制約条件付き最小化問題の形にする演算
   設定手段と、 上記問題を拡張ラグランジュ乗数法で解く演算手段とか
   らなるものであって、 上記演算手段は上記問題の部分問題である無制約化した
   最小化問題を、需給バランスによる制約である電力方程
   式から計算したヤコビ行列を用いることによってヘッセ
   行列並びに勾配ベクトルの計算負荷を軽減し、収束性の
   速いニュートン法によって解くことを可能にしたことを
   特徴とする電力系統の最適潮流計算システム。